非稳态传热
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特征值μ
2014-12-9
n
与毕渥数 Bi 有关。
8
第三章 非稳态导热
2.非稳态导热正规状况阶段分析解的简化
对无限大平板： F0 a 2 ,
当 F0 0.2 取无穷级数的首项，即n＝1，平板中心（x=0）
温度误差小于1%。因此，无量纲过余温度
( , ) 2 sin 1 2 exp 1 F0 cos(1 ) 0 1 sin 1 cos 1
t
t h
0
x
因平板两边换热状况对称，只研究半块平壁 (0 x )
2014-12-9 3
第三章 非稳态导热
此半块平板的数学描写：
2 t t a 2 导热微分方程： x
( 0 x , 0 )
初始条件：
0 x ， 0 t ( x,0) t0，
10
2014-12-9
m m 0 0
第三章 非稳态导热
当 Fo 0.2 以后，过余温度 , 及m 均与时间 有
关，但其比值与 无关，仅取决于几何位置（ η ）及边界
条件（ Bi 数）。
重Baidu Nhomakorabea结论：
无论初始温度分布怎样，只
( , ) cos(1 ) m ( )
和
(0, ) m ( ) 2 sin 1 exp 12 F0 0 0 1 sin 1 cos 1
则，Fo 0.2 以后，任一点的过余温度与平板中心的过 余温度比值：
( x, ) cos(1 ) m ( )
与时间无关 与边界条件有关
“无限大”平板：
抽象和简化模型。
平板的长度和宽度远大于其厚 度，因而平板的长度和宽度的 边缘向四周的散热对平板内的 温度分布影响很小。因此，可
把平板内各点的温度看作仅是
厚度的函数。t
2014-12-9
f ,
2
第三章 非稳态导热
1.无限大平板的分析解（温度分布）
厚度 2 的无限大平板，已知、a为常数，=0时温度为t0 ； 突然放在温度为t的流体中，壁面与介质之间的表面传热系 数为h（常数）。两侧冷却情况相同、温度分布对称。
P130图3-8
2014-12-9 21
第三章 非稳态导热
t
t h
0
2014-12-9 22
x
第三章 非稳态导热
2014-12-9
23
第三章 非稳态导热
( , ) 2 sin 1 exp 12 F0 cos(1 ) （3-25） 0 1 sin 1 cos 1
2014-12-9 28
第三章 非稳态导热 若x 即
4a 2 , erf (2) 0.9953
t tw erf ( ) 99.53% 0 t0 t w
erf ( )
可认为x处的温度仍为t0。
把物体看作半无限大 的条件:
x 2 4a
x 4 a
t t dV 1 V t0 t 0
12
第三章 非稳态导热
--时刻 的平均过余温度。
1 V
2 2sin 1 ( 1 F0 ) sin 1 V dv 0 1 sin 1 cos 1 e 1
把平均过余温度代入上式可得：
0 x , 0
0
x 0
初始条件
边界条件
x
5
2014-12-9
第三章 非稳态导热
用分离变量法可得其分析解为：
, 2 Cn exp n Focos n 0 n 1
2 sin n 式中， Cn n cos n sin n
Fo 2
x
此处
2014-12-9
n 为离散值（特征值），n=1，2，…
6
第三章 非稳态导热 μ
n
为下列超越方程的根 ctg n n
Bi
n=1，2，…
特征值μn 与毕渥数Bi有关。
2014-12-9
7
第三章 非稳态导热
对于“圆柱”，一维非稳态导热分析解（了解）：
式中常数a ,b ,c ,d 见P128表3-2，表3-3； 适合于用计算机求解。
2014-12-9 16
第三章 非稳态导热
2014-12-9
17
第三章 非稳态导热
4.正规状况阶段工程计算方法－图线算法（会用）
诺谟图：按分析解的级数首项绘制的一些图线。其中，
用以确定温度分布的图线称为海斯勒图。 对于无限大平板，Fo>0.2 时，
平板中心处（x=0，即η=0）的无量纲过余温度：
x
(0, ) m ( ) 2 sin 1 exp 12 F0 0 0 1 sin 1 cos 1
2014-12-9
9
第三章 非稳态导热
由
( , ) 2 sin 1 exp 12 F0 cos(1 ) 0 1 sin 1 cos 1
第三章 非稳态导热
第三章 非稳态导热
§3.1 非稳态导热的基本概念
§3.2 零维问题的分析法－集中参数法
§3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
§3.4 半无限大物体的非稳态导热
§3.5 简单几何形状物体多维非稳态导热的分析解
2014-12-9
1
第三章 非稳态导热
§3.3 典型一维非稳态导热的分析解
1
4 3
2
0
1 0
t
特点：从x=0的界面开始
可以向x轴正向及y、z方 向无限延伸。
tw
t0
x
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26
第三章 非稳态导热
求：半无限大物体在第一类边界条件下温度场的 分析解？ t 解：控制方程： t
w
t 2t a x 2 0，t t 0 x 0，t t w； x ，t t 0
m 0 m 0
解的应用范围:
书中诺谟图及拟合函数仅适用于：恒温介质的第三类边界 条件或第一类边界条件的加热及冷却过程，且Fo>0.2。
2014-12-9 19
第三章 非稳态导热
( , ) ( , ) m ( ) ; 0 m ( ) 0
t 0 x x 0
边界条件：
t
(对称性)
t h
0
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t h( t t ) x
x
(非奇次)
x
4
第三章 非稳态导热 引入变量－－过余温度
令：
( x, ) t( x, ) t
上式化为：
抛物线型方程
2 a 2 x 0 0 x h x
m 0
f (Bi, ) ， f (Bi, Fo)
2014-12-9
m ( ) (Bi, Fo) 0
P129图3-7
20
第三章 非稳态导热
( , ) ( , ) m ( ) ; 0 m ( ) 0
f (Bi, ) ， f (Bi, Fo)
2014-12-9 24
第三章 非稳态导热
5.分析解应用范围的推广
对于无限大平板的分析解，教材中是以平板被加热为例，上 述推导是以平板被冷却为例，结果相同。 从无限大平板的数学描述来看，分析解（3-21）也适用于一 侧绝热、另一侧为第三类边界条件、厚为 的平板情形。
( , ) 2 sin 1 exp 12 F0 cos(1 ) （3-21） 0 1 sin 1 cos 1
从初始时刻到某一时刻 所传递的热量Q与Q0之比：
Q sin 1 2 sin 1 2 1 exp 1 Fo Q0 1 1 sin 1 cos 1
2014-12-9
13
第三章 非稳态导热
对无限大平板、长圆柱体及球，在正规状况阶段的
温度场和导热量均可用一通式表达：
( , ) 2 A exp 1 F0 f ( 1 ) 0
t0
x
引入过余温度 问题的解为
t tw
2
误差函数 无量纲变量
x 4 a v 2
0
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0
e
dv erf
x 4a
＝erf ( )
27
第三章 非稳态导热
无量纲坐标
其中
x 4a
t tw erf ( ) 0 t0 t w
要
Fo 0.2 ，比值 x, / m
即无量纲温度分布与初始温度无关。
说明非稳态导热进入正规状况阶段 或充分发展阶段。
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t
1
4 3
2
1
t
0
0
11
第三章 非稳态导热
考察非稳态导热过程中传递的热量
从初始时刻到平板与周围介质达到热平衡传递的最大热量：
Q0 cV (t0 t )
令Q为任意时间段 [ 0 , ] 内所传递热量，则
Q c V [t0 t ( x, )]dV 1 Q0 cV (t0 t ) V 1 1 V
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t0 t t t dV V t0 t
Q 2 1 A exp 1 Fo B Q0
无限大平板 长圆柱体及球
y x yx
R
Bi h Bi hR
F0 az F0 az
2
R2
式中的A，B及函数 f (1 ) 见P127表3-1。
2014-12-9 14
第三章 非稳态导热
2014-12-9
15
当固体表面与流体间的表面传热系数趋于无穷大时，固体的
表面温度就趋于流体温度，因而，Bi 的分析解就是物 体在第一类边界条件下的解。
2014-12-9
25
第三章 非稳态导热
§3-4 半无限大物体的非稳态导热
半无限大物体：
在非稳态导热的初始阶段， t 对于有限厚度的平板，起 初温度均匀，而后一侧表 面突然收到热扰动，扰动 t 的影响局限在表面附近， 而未深入到平板内部。
第三章 非稳态导热
3.正规状况阶段工程计算方法－拟合公式法（了解）
对上述公式中的A，B，μ 1，J0 可用下式拟合
b 1 (a ) Bi
2 1
A a b(1 e cBi ) a cBi B 1 bBi J 0 ( x ) a bx cx 2 dx 3
2 2 sin 1 x 1 F0 ( , ) 0 cos(1 ) f ( Fo, Bi, ) e 1 sin 1 cos 1 （3-25） 有三个变量，因此，需要分开来画：
m (1) 据（3-25）先画出曲线 f ( Fo, Bi ) 0
2014-12-9 18
( , ) 2 Cn exp n Fo J o n 0 n 1
J1 n Cn n J 02 n J12 n 2
μn 为下列超越方程的根： J1 n Bi , n 1, 2,... n J 0 n
第三章 非稳态导热 (2) 再根据公式(3-28)绘制其线算图
( , ) cos(1 ) f ( Bi, ) (3-28) m ( )
x
(3) 于是，平板中任一点的温度为
同理，从初始时刻到时刻 所交换的热量也可以利用（331）～（3-33）绘制出图线（图3-9）。
29
2014-12-9
第三章 非稳态导热
把物体看作半无限大的条件: 由此得到两个重要参数：
①
x 2 4a
几何位置
若 2 x 4 a 对一厚度2δ 的平板，若 4 a 即可作为半无限大物体来处理。
②
时间 若2
x2 16a 对于有限大的实际物体，半无限大物体的概念只适用于
误差函数： 2 erf ( ) 说明：
0
erf ( ) 1 e dv 有限大小时，erf ( ) 1
v 2
(1) 无量纲过余温度仅与无量纲坐标 有关；
(2) 实际上，一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历 多么短的时间，无论x有多么大，该x处总能感受到温度 的变化；但因温度变化很小，我们就认为没有变化。
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n
与毕渥数 Bi 有关。
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第三章 非稳态导热
2.非稳态导热正规状况阶段分析解的简化
对无限大平板： F0 a 2 ,
当 F0 0.2 取无穷级数的首项，即n＝1，平板中心（x=0）
温度误差小于1%。因此，无量纲过余温度
( , ) 2 sin 1 2 exp 1 F0 cos(1 ) 0 1 sin 1 cos 1
t
t h
0
x
因平板两边换热状况对称，只研究半块平壁 (0 x )
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第三章 非稳态导热
此半块平板的数学描写：
2 t t a 2 导热微分方程： x
( 0 x , 0 )
初始条件：
0 x ， 0 t ( x,0) t0，
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m m 0 0
第三章 非稳态导热
当 Fo 0.2 以后，过余温度 , 及m 均与时间 有
关，但其比值与 无关，仅取决于几何位置（ η ）及边界
条件（ Bi 数）。
重Baidu Nhomakorabea结论：
无论初始温度分布怎样，只
( , ) cos(1 ) m ( )
和
(0, ) m ( ) 2 sin 1 exp 12 F0 0 0 1 sin 1 cos 1
则，Fo 0.2 以后，任一点的过余温度与平板中心的过 余温度比值：
( x, ) cos(1 ) m ( )
与时间无关 与边界条件有关
“无限大”平板：
抽象和简化模型。
平板的长度和宽度远大于其厚 度，因而平板的长度和宽度的 边缘向四周的散热对平板内的 温度分布影响很小。因此，可
把平板内各点的温度看作仅是
厚度的函数。t
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f ,
2
第三章 非稳态导热
1.无限大平板的分析解（温度分布）
厚度 2 的无限大平板，已知、a为常数，=0时温度为t0 ； 突然放在温度为t的流体中，壁面与介质之间的表面传热系 数为h（常数）。两侧冷却情况相同、温度分布对称。
P130图3-8
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第三章 非稳态导热
t
t h
0
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x
第三章 非稳态导热
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第三章 非稳态导热
( , ) 2 sin 1 exp 12 F0 cos(1 ) （3-25） 0 1 sin 1 cos 1
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第三章 非稳态导热 若x 即
4a 2 , erf (2) 0.9953
t tw erf ( ) 99.53% 0 t0 t w
erf ( )
可认为x处的温度仍为t0。
把物体看作半无限大 的条件:
x 2 4a
x 4 a
t t dV 1 V t0 t 0
12
第三章 非稳态导热
--时刻 的平均过余温度。
1 V
2 2sin 1 ( 1 F0 ) sin 1 V dv 0 1 sin 1 cos 1 e 1
把平均过余温度代入上式可得：
0 x , 0
0
x 0
初始条件
边界条件
x
5
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第三章 非稳态导热
用分离变量法可得其分析解为：
, 2 Cn exp n Focos n 0 n 1
2 sin n 式中， Cn n cos n sin n
Fo 2
x
此处
2014-12-9
n 为离散值（特征值），n=1，2，…
6
第三章 非稳态导热 μ
n
为下列超越方程的根 ctg n n
Bi
n=1，2，…
特征值μn 与毕渥数Bi有关。
2014-12-9
7
第三章 非稳态导热
对于“圆柱”，一维非稳态导热分析解（了解）：
式中常数a ,b ,c ,d 见P128表3-2，表3-3； 适合于用计算机求解。
2014-12-9 16
第三章 非稳态导热
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第三章 非稳态导热
4.正规状况阶段工程计算方法－图线算法（会用）
诺谟图：按分析解的级数首项绘制的一些图线。其中，
用以确定温度分布的图线称为海斯勒图。 对于无限大平板，Fo>0.2 时，
平板中心处（x=0，即η=0）的无量纲过余温度：
x
(0, ) m ( ) 2 sin 1 exp 12 F0 0 0 1 sin 1 cos 1
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9
第三章 非稳态导热
由
( , ) 2 sin 1 exp 12 F0 cos(1 ) 0 1 sin 1 cos 1
第三章 非稳态导热
第三章 非稳态导热
§3.1 非稳态导热的基本概念
§3.2 零维问题的分析法－集中参数法
§3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
§3.4 半无限大物体的非稳态导热
§3.5 简单几何形状物体多维非稳态导热的分析解
2014-12-9
1
第三章 非稳态导热
§3.3 典型一维非稳态导热的分析解
1
4 3
2
0
1 0
t
特点：从x=0的界面开始
可以向x轴正向及y、z方 向无限延伸。
tw
t0
x
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第三章 非稳态导热
求：半无限大物体在第一类边界条件下温度场的 分析解？ t 解：控制方程： t
w
t 2t a x 2 0，t t 0 x 0，t t w； x ，t t 0
m 0 m 0
解的应用范围:
书中诺谟图及拟合函数仅适用于：恒温介质的第三类边界 条件或第一类边界条件的加热及冷却过程，且Fo>0.2。
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第三章 非稳态导热
( , ) ( , ) m ( ) ; 0 m ( ) 0
t 0 x x 0
边界条件：
t
(对称性)
t h
0
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t h( t t ) x
x
(非奇次)
x
4
第三章 非稳态导热 引入变量－－过余温度
令：
( x, ) t( x, ) t
上式化为：
抛物线型方程
2 a 2 x 0 0 x h x
m 0
f (Bi, ) ， f (Bi, Fo)
2014-12-9
m ( ) (Bi, Fo) 0
P129图3-7
20
第三章 非稳态导热
( , ) ( , ) m ( ) ; 0 m ( ) 0
f (Bi, ) ， f (Bi, Fo)
2014-12-9 24
第三章 非稳态导热
5.分析解应用范围的推广
对于无限大平板的分析解，教材中是以平板被加热为例，上 述推导是以平板被冷却为例，结果相同。 从无限大平板的数学描述来看，分析解（3-21）也适用于一 侧绝热、另一侧为第三类边界条件、厚为 的平板情形。
( , ) 2 sin 1 exp 12 F0 cos(1 ) （3-21） 0 1 sin 1 cos 1
从初始时刻到某一时刻 所传递的热量Q与Q0之比：
Q sin 1 2 sin 1 2 1 exp 1 Fo Q0 1 1 sin 1 cos 1
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第三章 非稳态导热
对无限大平板、长圆柱体及球，在正规状况阶段的
温度场和导热量均可用一通式表达：
( , ) 2 A exp 1 F0 f ( 1 ) 0
t0
x
引入过余温度 问题的解为
t tw
2
误差函数 无量纲变量
x 4 a v 2
0
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0
e
dv erf
x 4a
＝erf ( )
27
第三章 非稳态导热
无量纲坐标
其中
x 4a
t tw erf ( ) 0 t0 t w
要
Fo 0.2 ，比值 x, / m
即无量纲温度分布与初始温度无关。
说明非稳态导热进入正规状况阶段 或充分发展阶段。
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t
1
4 3
2
1
t
0
0
11
第三章 非稳态导热
考察非稳态导热过程中传递的热量
从初始时刻到平板与周围介质达到热平衡传递的最大热量：
Q0 cV (t0 t )
令Q为任意时间段 [ 0 , ] 内所传递热量，则
Q c V [t0 t ( x, )]dV 1 Q0 cV (t0 t ) V 1 1 V
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t0 t t t dV V t0 t
Q 2 1 A exp 1 Fo B Q0
无限大平板 长圆柱体及球
y x yx
R
Bi h Bi hR
F0 az F0 az
2
R2
式中的A，B及函数 f (1 ) 见P127表3-1。
2014-12-9 14
第三章 非稳态导热
2014-12-9
15
当固体表面与流体间的表面传热系数趋于无穷大时，固体的
表面温度就趋于流体温度，因而，Bi 的分析解就是物 体在第一类边界条件下的解。
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第三章 非稳态导热
§3-4 半无限大物体的非稳态导热
半无限大物体：
在非稳态导热的初始阶段， t 对于有限厚度的平板，起 初温度均匀，而后一侧表 面突然收到热扰动，扰动 t 的影响局限在表面附近， 而未深入到平板内部。
第三章 非稳态导热
3.正规状况阶段工程计算方法－拟合公式法（了解）
对上述公式中的A，B，μ 1，J0 可用下式拟合
b 1 (a ) Bi
2 1
A a b(1 e cBi ) a cBi B 1 bBi J 0 ( x ) a bx cx 2 dx 3
2 2 sin 1 x 1 F0 ( , ) 0 cos(1 ) f ( Fo, Bi, ) e 1 sin 1 cos 1 （3-25） 有三个变量，因此，需要分开来画：
m (1) 据（3-25）先画出曲线 f ( Fo, Bi ) 0
2014-12-9 18
( , ) 2 Cn exp n Fo J o n 0 n 1
J1 n Cn n J 02 n J12 n 2
μn 为下列超越方程的根： J1 n Bi , n 1, 2,... n J 0 n
第三章 非稳态导热 (2) 再根据公式(3-28)绘制其线算图
( , ) cos(1 ) f ( Bi, ) (3-28) m ( )
x
(3) 于是，平板中任一点的温度为
同理，从初始时刻到时刻 所交换的热量也可以利用（331）～（3-33）绘制出图线（图3-9）。
29
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第三章 非稳态导热
把物体看作半无限大的条件: 由此得到两个重要参数：
①
x 2 4a
几何位置
若 2 x 4 a 对一厚度2δ 的平板，若 4 a 即可作为半无限大物体来处理。
②
时间 若2
x2 16a 对于有限大的实际物体，半无限大物体的概念只适用于
误差函数： 2 erf ( ) 说明：
0
erf ( ) 1 e dv 有限大小时，erf ( ) 1
v 2
(1) 无量纲过余温度仅与无量纲坐标 有关；
(2) 实际上，一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历 多么短的时间，无论x有多么大，该x处总能感受到温度 的变化；但因温度变化很小，我们就认为没有变化。