1.6微积分基本定理1
人教版高中数学第一章1.6微积分基本定理
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
归纳升华 (1)利用微积分基本定理求定积分，关键是求使 F′(x) ＝f(x)的 F(x)，其求法是反方向运用求导公式． (2)当被积函数是积的形式时，应先化和差的形式， 再利用定积分的性质化简，最后再用微积分基本定理求定 积分的值．
(3)对于多项式函数的原函数，应注意 xn(n≠－1)的原 xn＋1
函数为 ，它的应用很广泛． n＋1
[变式训练] 下列积分值为 2 的是( )
A.∫50(2x－4)dx C.∫311xdx
B.∫0π cos xdx D.∫0π sin xdx
解析：∫50(2x－4)dx＝(x2－4x)|50＝5，∫0π cos xdx＝sin
x|π0 ＝0，∫311xdx＝ln x|31＝ln 3，∫π0 sin xdx＝－cos x|0π ＝2.
x 的原函数为
F(x)
π
＝12x－12sin x，所以 sin2 x2dx＝12x－12sin x|20＝π4－12＝
π－2 4. π－2 答案： 4
5．曲线 y＝2x2 与直线 x＝1，x＝2 及 y＝0 所围成的 平面图形的面积为________．
解析：依题意，所求面积为 S＝∫212x2dx＝23x3|21＝136－ 23＝134. 答案：134
＝sin 1－23. 答案：sin 1－23
类型 3 微积分基本定理的综合应用(互动探究)
微积分基本定理
或记作
f ( x)dx F ( x) F (b) F (a).
b a b a
说明：
牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便 的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积
函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数
在
计算定积分归结为求原函数的问题。
1、已知f ( x)是一次函数，其图象过点(3,4), 且
1
0
f ( x)dx 1, 求f ( x)的解析式
2、已知f (a) (2ax a x)dx, 求f (a)的最大值。
2 2 0
1
练一练：已知f(x)=ax² +bx+c,且f(-1)=2,f’(0)=0,
1
0
f ( x)dx 2, 求a, b, c的值
' ' -1
+1
'
'
'
'
'
问题：通过计算下列定积分，进一步说明其定
积分的几何意义。通过计算结果能发现什么结 论？试利用曲边梯形的面积表示发现的结论．
2
sin xdx
2
0
sin xdx
我们发现：
（１）定积分的值可取正值也可取负值，还可以是0； （2）当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值； （3）当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值； （4）当曲边梯形位于x轴上方的面积等于位于x轴下方 的面积时，定积分的值为0．
得到定积分的几何意义：曲边梯形面积的代数和。
例３:计算 解
2
0
2 x , 0 x 1 f ( x)dx,其中 f ( x) 5, 1 x 2
要点讲解：微积分基本定理
1 / 21.6 微积分基本定理自主探究学习1. 微积分基本定理：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰. 2. 定积分的性质：()()()()bc ba a c f x dx f x dx f x dx a cb =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）名师要点解析要点导学1.微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果，它揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效办法.2.寻找满足()()F x f x 的函数F(x )，一般运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x ).3. 为了方便起见，还常用()|ba F x 表示()()Fb F a -，即()()|()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰.该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式.它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁. 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础.【经典例题】【例1】计算下列定积分：2200sin ,sin ,sin xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论.【分析】求出sin x 的原函数，利用微积分基本定理求解.然后观察规律.【解】因为'(cos )sin x x -=，所以00sin (cos )|(cos )(cos 0)2xdx x πππ=-=---=⎰，22sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x ππππππ=-=---=-⎰，2 / 22200sin (cos )|(cos 2)(cos 0)0xdx x πππ=-=---=⎰.可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.（1）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．【点拨】要注意定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.【例2】计算下列定积分：（1）3211(2)x dx x -⎰； （2）⎰+2021dx xx . 【分析】根据被积函数的特点，求出其原函数，利用微积分基本定理求解.【解】（1）因为2''211()2,()x x x x ==-，所以3332211111(2)2x dx xdx dx xx -=-⎰⎰⎰ 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=. （2）)1()1(211221220202x d x dx x x ++=+-⎰⎰151221202-=+⋅=x .【点拨】把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，寻找满足()()F x f x '=的函数F(x )，一般运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x ).。
( 人教A版)微积分基本定理课件 (共38张PPT)
2
2
答案：D
3．设 f(x)＝x22－，x0，≤1x<≤x≤1，2，
则2f(x)dx 等于________． 0
解析：2f(x)dx＝1x2dx＋2(2－x)dx
0
0
1
＝x3310 ＋(2x－x22)21
＝13＋[(2×2－222)－(2－12)]＝56.
答案：56
探究一 计算简单函数的定积分
[自主梳理]
如果 f(x)是区间[a，b]上的 连续 函数，并且 F′(x) 内容 ＝ f(x)，那么bf(x)dx＝ F(b)－F(a)
a
符号
bf(x)dx＝F(x)ba ＝ F(b)－F(a)
a
二、定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面积为 S 下，则 1．当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图(1)， 则bf(x)dx＝ S 上．
(7)baxdx＝lnaxaba (a>0 且 a≠1)． a
1．计算下列定积分．
(1)1(x3－2x)dx； 0
(2)
2 0
(x＋cos
x)dx；
(3
解析：(1)∵(14x4－x2)′＝x3－2x，
∴1(x3－2x)dx＝(14x4－x2)10 ＝－34. 0
2．(1)若
f(x)＝x2 cos
x≤0 x－1
x>0
2．常见函数的定积分公式： (1)bCdx＝Cxba (C 为常数)．
a
(2)abxndx＝n＋1 1xn＋1ba (n≠－1)． (3)bsin xdx＝－cos xba .
a
(4)bcos xdx＝sin xba . a
(5)b1xdx＝ln xba (b>a>0)． a
2015高中数学-1.6微积分基本定理-课件(人教A版选修2-2)
[解]
∵f(x)＝－ x
(12t＋
a
4a)dt
＝ (6t2＋ 4at)|x－ a ＝ 6x2＋ 4ax－ (6a2－ 4a2 )
＝ 6x2＋ 4ax－ 2a2，
∴ F(a)＝01[f(x)＋ 3a2 ]dx＝01(6x2＋ 4ax＋ a2)dx
＝ (2x3＋ 2ax2＋ a2 x)|10＝ a2＋ 2a＋ 2 ＝ (a＋ 1)2＋ 1≥ 1，
4
4.02(x2－23x)dx＝ ____3____.
第一章 导数及其应用
B．01 (x＋ 1)dx D．0112dx
第7页，共30页。
栏目 导引
第一章 导数及其应用
求简单函数的定积分
计算下列定积分：
(1)121xdx；(2)02πsin xdx；(3)13(2x－x12)dx；
(4)0－
(cos
9＋2× 3
93－ 2
(4＋2× 3
43)＝ 2
27－(4＋16)＝53.
33
第11页，共30页。
栏目 导引
第一章 导数及其应用
计算分段函数的定积分
计算下列定积分：
(1)若 f(x)＝x2
x≤ 0
cos x－1 x＞0
，求－ π2
f(x)dx；
1
(2)12
[解]
|3－ (1)
2x|dx.
－ π2
第一章 导数及其应用
1．6 微积分基本定理
第1页，共30页。
第一章 导数及其应用
学习导航
学习 目标
1.了解微积分基本定理的内容与含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． (重点、难点)
通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，直观 学法 了解微积分基本定理的含义．微积分基本定理不仅揭示 指导 了导数和定积分之间的内在联系，而且还提供了计算定
微积分基本定理
(理)1.6微积分基本定理【素养目标】1．利用图形直观了解并掌握微积分基本定理的含义，培养直观想象的核心素养。
2．会利用微积分基本定理求函数的积分，培养数学运算的核心素养。
【课前·预习案】[问题导学]知识点1.微积分基本定理已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x，【思考1】f(x)和F(x)有何关系？[提示]F′(x)＝f(x)．【思考2】利用定积分的几何意义求⎰20(2x＋1)d x 的值．[提示]由定积分的几何意义得⎰20(2x＋1)d x＝6. 【思考3】求F(2)－F(0)的值．[提示]F(2)－F(0)＝4＋2＝6.【思考4】你得出什么结论？[提示]⎰20f(x)d x＝F(2)－F(0)，且F′(x)＝f(x)．〖梳理〗微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)．知识点2.定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则ʃb a f(x)d x＝S上．(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则ʃb a f(x)d x＝－S下．(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb a f(x)d x＝S上－S下，若S上＝S下，则ʃbaf(x)d x＝0.[达标自评]1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”：(1)满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)唯一。
（）(2)如果⎰b a f(x)d x＝⎰b a g(x)d x，那么是否一定有f(x)＝g(x)。
（）（3）⎰b a f(x)d x=⎰b a|f(x)|d x。
（）解析：满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值，（1）错；当f(x)＝2x，g(x)＝3x2时，⎰102x d x＝⎰103x2d x，但f(x)≠g(x)，（2）错；⎰b a f(x)d x表示的是由x轴，函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a<b)所围图形面积的代数和(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积)，||f(x)是非负的，所以⎰b a|f(x)|d x表示在区间[a，b]上所有以||f(x)的图象为曲边的曲边梯形的面积和，（3）错；答案：（1）×（2）×（3）×2．π2π2-⎰(1＋cos x)d x等于()A．π B．2C ．π－2D ．π＋2解析：∵(x ＋sin x )′＝1＋cos x ， ∴π2π2-⎰(1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )|π2π2-＝π2＋sin π2－⎣⎡⎦⎤－π2＋sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝π＋2. 答案：D 3．若ʃa 1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：ʃa 1(2x ＋1x )d x ＝ʃa 12x d x ＋ʃa 11xd x ＝x 2|a 1＋ln x |a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2，解得a ＝2.答案：D4．ʃ20(x 2－23x )d x ＝________. 解析：ʃ20(x 2－23x )d x ＝ʃ20x 2d x －ʃ2023x d x ＝x 33|20－x 23|20＝83－43＝43. 答案：435．若ʃ10(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________.解析：∵ʃ10(2x ＋k )d x ＝(x 2＋kx )|10＝1＋k ＝2，∴k＝1. 答案：1【课堂·探究案】探究一 求简单函数的定积分【例1】计算下列定积分：(1)ʃ211x d x ；(2)ʃ31(2x －1x2)d x ；(3)ʃ0－π(cos x －e x )d x . 解：(1)因为(ln x )′＝1x ，所以ʃ211x d x ＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2.（2）因为(x 2)′＝2x ，(1x )′＝－1x 2，所以ʃ31(2x －1x 2)d x ＝ʃ312x d x －ʃ311x 2d x ＝x 2|31＋1x |31＝(9－1)＋(13－1)＝223. (3)ʃ0－π(cos x －e x)d x ＝ʃ0－πcos x d x －ʃ0－πe xd x ＝sin x |0－π－e x |0－π＝1eπ－1. 【方法总结】求简单的定积分关键注意两点： (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．【跟踪训练1】若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211x d x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析：S 1＝ʃ21x 2d x ＝13x 3|21＝73， S 2＝ʃ211x d x ＝ln x |21＝ln 2<1， S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)>73. 所以S 2<S 1<S 3.答案：B探究二 分段函数的定积分【例2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分． 【素养解读】解：图象如图．ʃ40f (x )d x ＝π20⎰sin x d x ＋π20⎰1d x ＋42⎰(x －1)d x＝(－cos x )|π20＋x |2π2＋(12x 2－x )|42 ＝1＋(2－π2)＋(4－0)＝7－π2.【方法总结】求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．【跟踪训练2】设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，求ʃ1－1f (x )d x .解：ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ10(cos x －1)d x ＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|10＝sin 1－23. 探究三 定积分的应用【例3】已知x ∈(0,1]，t ∈[－1,1]，f (x )＝⎰1(1－2x＋2t )d t ，则f (x )的值域为________．解析：f (x )＝⎰1(1－2x ＋2t )d t ＝[(1－2x )t ＋t 2]|10＝2－2x∵x ∈(0,1]，∴f (x )∈[0,2)． 答案：[0,2)【方法总结】解决定积分问题时，一要确定好积分变量，二要清楚积分上、下限，三要明确积分的几何意义，注意积分与平面图形面积的区别与联系，四要会用导数方法寻找原函数，五要用好积分性质和微积分基本定理． 【互动探究】⎰1(t 2＋t )d x ＝________．解析：⎰1(t 2＋t )d x ＝(t 2＋t )x |10＝t 2＋t .答案：t 2＋t【跟踪训练3】求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)．解：所求面积为 S ＝5π4π2-⎰|sin x |d x＝－0π2-⎰sin x d x ＋ʃπ0sin x d x －5π4π⎰sin x d x＝1＋2＋(1－22)＝4－22.【本节小结】【基础巩固】1．已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( )①它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝s (t )|b a ； ②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)； ③它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝lim n→∞∑=n1i b －ans ′(ξi )；④它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝ʃb a s ′(t )d t . A ．① B ．①② C ．①②④ D ．①②③④解析：由定积分可得①②③④都正确。
微积分基本定理教案
1.6微积分基本定理一：教学目标知识与技能目标通过实例,直观了解微积分基本定理的内容,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义情感态度与价值观通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力;二：教学重难点重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分;难点：了解微积分基本定理的含义三：教学过程：1、知识链接：定积分的概念：用定义计算的步骤：2、合作探究：⑴导数与积分的关系;我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法;有没有计算定积分的更直接方法,也是比较一般的方法呢下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例：设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为St,速度为vt ()v t o ≥, 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰; 另一方面,这段路程还可以通过位置函数St 在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即 21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T - 而()()S t v t '=;说出你的发现⑵ 微积分基本定理对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有()()()ba f x dx Fb F a =-⎰若上式成立,我们就找到了用()f x 的原函数即满足()()F x f x '=的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法;设()()F x f x '=则在[,]a b 上,⊿y=()()F b F a -将[,]a b 分成n 等份,在第i 个区间x i-1,x i 上,记⊿yi=F x i -F x i-1,则⊿y=∑⊿y i 如下图,因为⊿h i =f x i-1 ⊿x 而⊿y i ≈⊿h i 所以⊿y ≈∑⊿h i =∑f x i-1 ⊿x 故⊿y=lim ∑⊿h i =∑f x i-1 ⊿x=⎰b a dx x f )(即⎰b a dx x f )(=()()F b F a - 所以有微积分基本定理： 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数,则此处并不要求学生理解证明的过程为了方便起见,还常用()|ba F x 表示()()Fb F a -,即该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式;它指出了求连续函数定积分的一般方法,把求定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥梁; 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法,为后面的学习奠定了基础;因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启下的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果;⑶应用举例例1．计算下列定积分： 1211dx x ⎰； 23211(2)x dx x-⎰; 解：1因为'1(ln )x x=, 所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x==-=⎰; 2因为2''211()2,()x x x x==-, 所以3332211111(2)2x dx xdx dx xx -=-⎰⎰⎰ 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=; 练习：计算120x dx ⎰ 解：由于313x 是2x 的一个原函数,所以根据牛顿—莱布尼兹公式有120x dx ⎰=3101|3x =33111033⋅-⋅=13例2．计算下列定积分： 2200sin ,sin ,sin xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰; 由计算结果你能发现什么结论 试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论;解：因为'(cos )sin x x -=,所以00sin (cos )|(cos )(cos 0)2xdx x πππ=-=---=⎰,22sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x ππππππ=-=---=-⎰, 2200sin (cos )|(cos 2)(cos 0)0xdx x πππ=-=---=⎰. 可以发现,定积分的值可能取正值也可能取负值,还可能是0:l 当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时图1.6一3 ,定积分的值取正值,且等于曲边梯形的面积；图1 . 6 一 3 22当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时图 1 . 6 一 4 ,定积分的值取负值,且等于曲边梯形的面积的相反数；3当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时,定积分的值为0图 1 . 6 一 5 ,且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．例3．汽车以每小时32公里速度行驶,到某处需要减速停车;设汽车以等减速度a =1.8米/秒2刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间;当t=0时,汽车速度0v =32公里/小时=3210003600⨯米/秒≈8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为0(t)=t=8.88-1.8t v v a -当汽车停住时,速度(t)=0v ,故从(t)=8.88-1.8t=0v 解得8.88t= 4.931.8≈秒 于是在这段时间内,汽车所走过的距离是4.934.9300(t)(8.88 1.8t)s v dt dt ==-⎰⎰= 4.93201(8.88 1.8t )21.902-⨯≈米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理,它使微积分学蓬勃发展起来,成为一门影响深远的学科,可以毫不夸张地说,微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．⑷课堂练习课本p55练习⑴----⑻四：课堂小结：本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立,进而推广到了一般的函数,得出了微积分基本定理,得到了一种求定积分的简便方法,运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数,这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练,希望,不明白的同学,回头来多复习五：教学后记：从教以来,一直困惑于一个问题：课堂上如何突出重点并突破难点;当然,理论方面自己早已烂熟于心,关键是缺乏实践方面的体验及感悟;在今天的课堂上,本来一个相当简单的问题,可在课堂上却花费了大量时间,更严重的是学生却听得更为糊涂;一个主要原因在于,对相关知识结构理解不到位,眉毛胡子一把抓,而难点又无法解决;。
1.6 微积分基本定理
2������-
1 ������2
dx,
∴
3 1
2������3-1dx=
������2
������2
+
1 ������
3 1
=
22.
3
探究一
探究二
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
反思感悟1.用微积分基本定理求定积分的步骤: (1)求被积函数f(x)的一个原函数F(x); (2)计算F(b)-F(a). 2.用微积分基本定理求定积分的注意事项: (1)有时需先化简被积函数f(x),再求积分; (2)被积函数f(x)的原函数有无穷多个,即F(x)+C,计算时,一般只写 一个最简单的,不再加任意常数C.
F'(x)=f(x),那么
������ ������
f(x)dx=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,
也叫做牛顿—莱布尼茨公式.
(2)符号表示:
������ ������
f(x)dx=F(x)|������������ =F(b)-F(a).
名师点拨利用微积分基本定理计算定积分
������ ������
探究一
探究二
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
求分段函数和简单复合函数的定积分
例2 求解下列各题:
(1)求定积分
4 0
|2x-6|dx;
(2)若
f(x)=
e������ ,������ ≤ sin������,������
0, > 0,
求
π -1f(x)dx;
π
(3)求定积分
2
0
cos
4xdx.
分析:(1)可改写为分段函数,然后根据定积分的性质求解;(2)是分
高一数学微积分基本定理1
常用积分公式
(1)
2)
b a
b
a
1 n 1 b x dx x a ( n 1Байду номын сангаас n1
n
1 b dx ln x a (a , b 0) 2 ) x
b a
b
a
1 b dx ln( x ) a (a , b 0) x
(2)
1 dx ln x x
b a
解
0
2
f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
1
2
y
在[1,2]上规定当x 1 时， f ( x ) 5 ,
原式 2 xdx 5dx 6.
0 1
1
2
o
1
2
x
例4
求定积分 |x －1|dx
0
2
2
例5
1 2 计算定积分 ( x＋ ) 6xdx. x 1
3
解
3 1
3
1 2 1 3 ( x＋ ) 6xdx＝ (x＋ ＋2)6xdx x x 1 1
2 3 2 3 ＋6x＋6x )|1
＝ (6x ＋6＋12x)dx＝(2x
＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)＝112.
例 6 计算
3 1－ x 2 dx 2 x
(3)
(5)
b
a
b
e dx e
x
x b a
b
1 x (4) a dx a a ln a
b x
b a
b
a
sin xdx cos x a
1.5.3_定积分的概念_1.6_微积分基本定理
c，都有[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x).
梳理
(1)微积分基本定理
①条件：f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x) ；
②结论：ʃ b af(x)dx＝ F(b)－F(a) ； ③符号表示：ʃ b af(x)dx＝
F(x)|b a ＝ F(b)－F(a) .
类型一 求定积分
1 2 ＝(－cos x) | ＋x | ＋(2x －x)|4 2 2 π π ＝1＋(2－2)＋(4－0)＝7－2.
2 (2)求定积分 ʃ 2 | x 0 －1|dx.
解
2 1 － x ，x∈[0，1， 2 ∵|x －1|＝ 2 x －1，x∈[1，2]，
3 x3 x 又(x－ 3 )′＝1－x2，( 3 －x)′＝x2－1， 2 1 2 2 2 ∴ʃ 2 | x － 1|d x ＝ ʃ | x － 1|d x ＋ ʃ 0 0 1|x －1|dx 2 2 2 ＝ʃ 1 (1 － x )d x ＋ ʃ 0 1(x －1)dx
答案
1 1 由定积分的几何意义知，ʃ 0(2x＋1)dx＝ ×(1＋3)×1＝2， 2
F(1)－F(0)＝2，故 ʃ 1 0(2x＋1)dx＝F(1)－F(0).
引申思考：f(x)与F(x)之间有关系吗？
思考2
对一个连续函数 f(x) 来说，是否存在唯一的 F(x) ，使得 F′(x) ＝ f(x)? 答案 不唯一.根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数
ʃ2 x＝2，y＝0，f(x)＝x＋1 围成的梯形 1(x＋1)dx 的值与直线 x＝1， 面积有何关系？
答案 相等.
梳理
从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有 f(x)≥0，那么定
人教版数学高二第一章 1.6微积分基本定理
1.6 微积分基本定理数学选修2－21.6 微积分基本定理[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 51～P 54的内容，回答下列问题．(1)观察教材P 51图1.6－1，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y ＝y (t )，并且y (t )有连续的导数，设这个物体在时间段[a ，b ]内的位移为S .①由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度v (t )与y (t )之间有什么关系？ 提示：v (t )＝y ′(t )．②如何利用y ＝y (t )表示物体在t ∈[a ，b ]上的位移S? 提示：S ＝y (b )－y (a )．③若v (t )表示物体在任意时刻t 的速度，如何用v (t )求物体在t ∈[a ，b ]上的位移S? 提示：S ＝⎠⎛a bv (t )d t .④由①②③能否得出结论S ＝⎠⎛a bv (t )d t ＝⎠⎛a by ′(t )d t ＝y (b )－y (a )成立？ 提示：能．(2)计算定积分⎠⎛0πS i n x d x ，∫2ππS i n x d x ，∫2π0S i n x d x ，由计算结论你能发现什么规律？ 提示：⎠⎛0πS i n x d x ＝2，∫2ππS i n x d x ＝－2，∫2π0 S i n x d x ＝0. 即定积分的值可正， 可负，还可能为0.(3)根据⎠⎛0πS i n x d x ，∫2ππS i n x d x 和∫2π0S i n x d x 值的特点以及曲边梯形的面积，你能得出定积分与曲边梯形的面积有什么关系吗？(参阅教材P 54图1.6－3，图1.6－4，图1.6－5)．提示：当曲边梯形在x 轴上方时，定积分的值取正值；当曲边梯形在x 轴下方时，定积分的值取负值；当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0.2．归纳总结，核心必记 (1)微积分基本定理 内容如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．符号⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a ). 设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下．则 ①当曲边梯形在x 轴上方时，如图(1)，则⎠⎛a bf (x )d x ＝S 上． ②当曲边梯形在x 轴下方时，如图(2)，则⎠⎛a b f (x )d x ＝－S 下．③当曲边梯形在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则⎠⎛a bf (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则⎠⎛a bf (x )d x ＝0.[问题思考](1)满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )唯一吗？提示：不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值．(2)如果⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a bg (x )d x ，那么是否一定有f (x )＝g (x )？请举例说明．提示：不一定，例如：当f (x )＝2x ，g (x )＝3x 2时，⎠⎛012xdx ＝⎠⎛013x 2dx ，但f(x )≠g(x )．(3)如图，如何用阴影面积S 1，S 2，S 3表示定积分⎠⎛a bf(x )dx 的值？提示：⎠⎛a bf(x )dx ＝S 1－S 2＋S 3.(4)你认为⎠⎛a bf(x )dx ，⎠⎛a b|f(x )|dx 和||⎠⎛a bf (x )d x 有什么不同？提示：①⎠⎛a b f(x )dx 表示的是由x 轴，函数f(x )的图象及直线x ＝a ，x ＝b(a<b)所围图形面积的代数和(即x 轴上方的面积减去x 轴下方的面积)；②||f (x )是非负的，所以⎠⎛a b|f(x )|dx 表示在区间[a ，b]上所有以||f (x )的图象为曲边的曲边梯形的面积和；③||⎠⎛a bf (x )d x 则是⎠⎛a bf(x )dx 的绝对值．三者的值一般情况下是不同的，但对于f(x )≥0，x ∈[a ，b]，三者的值是相同的．[课前反思](1)微积分基本定理的内容是什么？ (2)定积分与曲边梯形的面积有什么关系？知识点1求简单函数的定积分[思考1] 如何利用微积分基本定理求函数f(x )在[a ，b]上的定积分⎠⎛a bf(x )dx ?名师指津：用微积分基本定理求定积分的步骤： (1)求f(x )的一个原函数F(x )； (2)计算F(b)－F(a)．[思考2] 我们知道，已知函数f(x )，则满足F ′(x )＝f(x )的函数y ＝F(x )不唯一，那么⎠⎛abf(x )dx 的值唯一吗？名师指津：由于⎠⎛a bf(x )dx ＝F(b)－F(a)，且f(x )的原函数间相差一个常数，在计算时，不影响F(b)－F(a)的值，故⎠⎛a b f(x )dx 是唯一的．讲一讲1．(链接教材P 53－例1)计算下列定积分． (1)⎠⎛01(x 3－2x )dx ； (2)∫π20(x ＋coS x )dx ；(3)∫π20Sin 2x 2dx ; (4)⎠⎛121x (x ＋1)dx .[尝试解答] (1)∵⎝⎛⎭⎫14x 4－x 2′＝x 3－2x ， ∴⎠⎛01(x 3－2x )dx ＝⎝⎛⎭⎫14x 4－x 2|10＝－34. (2)∵⎝⎛⎭⎫12x 2＋sin x ′＝x ＋coS x ， ∴∫π20(x ＋coS x )dx ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋sin x |π20＝π28＋1. (3)Sin 2x 2＝1－cos x 2，而⎝⎛⎭⎫12x －12sin x ′＝12－12coS x ， ∴∫π20Sin 2x 2dx ＝∫π20⎝⎛⎭⎫12－12cos x dx ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x |π20＝π4－12＝π－24. (4)∵f(x )＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1，且[ln x －ln(x ＋1)]′＝1x －1x ＋1，∴⎠⎛121x (x ＋1)dx ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫1x －1x ＋1dx＝[ln x －ln(x ＋1)]21＝ln 43.类题·通法用微积分基本定理求定积分，实质上是导数的逆运算，即求导数等于被积函数的一个函数，求解时需要注意以下两点：(1)熟练掌握基本函数的导数及导数的运算法则，学会逆运算；(2)当被积函数较为复杂，不容易找到原函数时，可适当变形后再求解．特别地，需要弄清楚积分变量，精确定位积分区间，分清积分上限与积分下限．练一练1．计算下列定积分．(1)⎠⎛1－2(1－t 3)d t ；(2)⎠⎛0－π(coS x ＋e x )dx ；(3)⎠⎛49x(1＋x)dx ；(4)⎠⎛0e33x ＋2dx ；(5)∫π2－π2coS 2xdx .解：(1)∵⎝⎛⎭⎫t －14t 4′＝1－t 3， ∴⎠⎛1－2(1－t 3)d t ＝⎝⎛⎭⎫t －14t 41－2＝⎝⎛⎭⎫1－14－⎣⎡⎦⎤－2－14(－2)4＝274. (2)∵(Sin x ＋e x )′＝coS x ＋e x ， ∴⎠⎛0－π(coS x ＋e x )dx ＝(Sin x ＋e x )0－π＝(0＋1)－(0＋e －π)＝1－e －π. (3)原式＝⎠⎛49(x ＋x )dx＝⎠⎛49x 12dx ＋⎠⎛49xdx . ∵⎝⎛⎭⎫23x 32′＝x 12，⎝⎛⎭⎫12x 2′＝x ， ∴⎠⎛49x 12dx ＋⎠⎛49xdx＝23x 3294＋12x 294＝2716. (4)∵[ln(3x ＋2)]′＝33x ＋2，∴⎠⎛0e33x ＋2dx ＝ln(3x ＋2)e 0＝ln(3e ＋2)－ln(3×0＋2)＝ln 3e ＋22.(5)原式＝∫π2－π2coS 2xdx ＝∫π2－π21＋cos 2x2dx∵⎝⎛⎭⎫x 2＋sin 2x 4′＝1＋cos 2x 2，∴∫π2－π2coS 2xdx ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋14sin 2x |π2－π2 ＝π4＋14Sin π－⎝⎛⎭⎫－π4＋14sin (－π) ＝π2.知识点2求分段函数的定积分[思考] ⎠⎛ab f(x )dx 、⎠⎛ac f(x )dx 、⎠⎛cb f(x )dx (其中a<c<b)之间有什么关系？名师指津：⎠⎛a b f(x )dx ＝⎠⎛a c f(x )dx ＋⎠⎛cb f(x )dx (其中a<c<b)．讲一讲2．求函数f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈[1，2]，2x ，x ∈[2，3]在区间[0,3]上的积分．[尝试解答] 由积分性质，得：⎠⎛03f(x )dx ＝⎠⎛01f(x )dx ＋⎠⎛12f(x )dx ＋⎠⎛23f(x )dx＝⎠⎛01x 3dx ＋⎠⎛12x dx ＋⎠⎛232x dx＝⎠⎛01x 3dx ＋⎠⎛12x 12dx ＋⎠⎛232x dx ＝x 4410＋23x 3221＋2x ln 232＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2 ＝－512＋432＋4ln 2.类题·通法分段函数定积分的求法求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段定积分和的形式，若函数解析式中含有绝对值，应根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值符号，化为分段函数后再求积分．练一练2．计算定积分⎠⎛0－4|x ＋3|dx . 解：因为f(x )＝|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x<－3，x ＋3，x ≥－3，所以⎠⎛－40|x ＋3|dx＝⎠⎜⎛－4－3(－x －3)dx ＋⎠⎛－30(x ＋3)dx＝⎝⎛⎭⎫－12x 2－3x |－3－4＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋3x |0－3＝5.知识点3根据定积分求参数讲一讲3．设函数f(x )＝a x 2＋c(a ≠0)，若⎠⎛01f(x )dx ＝f(x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值．[思路点拨] 分别求出⎠⎛01f(x )dx 和f(x 0)的值，然后利用二者相等建立关于x 0的方程求解．[尝试解答] 因为f(x )＝a x 2＋c(a ≠0)，且⎝⎛⎭⎫a 3x 3＋cx ′＝a x 2＋c ，所以⎠⎛01f(x )dx ＝∫10(a x 2＋c)dx ＝⎝⎛⎭⎫a 3x 3＋cx |10＝a 3＋c ＝a x 20＋c ，解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)．即x 0的值为33.类题·通法利用定积分求参数应注意的问题利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限．练一练3．设f(x )＝a x ＋b ，且⎠⎛1－1[f(x )]2dx ＝1，求f(a)的取值范围．解：由⎠⎛1－1[f(x )]2dx ＝1可得，⎠⎛1－1(a x ＋b)2dx ＝⎠⎛1－1(a 2x 2＋2ab x ＋b 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫a 23x 3＋abx 2＋b 2x |1－1＝1，即2a 2＋6b 2＝3，则b 2＝3－2a 26≤36＝12， 即－22≤b ≤22. 于是f(a)＝a 2＋b ＝－3b 2＋b ＋32＝－3⎝⎛⎭⎫b －162＋1912， 所以－22≤f(a)≤1912.即f(a)的取值范围为⎣⎡⎦⎤－22，1912. [课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是利用微积分基本定理求定积分，难点是根据定积分求参数． 2．本节课要重点掌握的规律方法(1)利用微积分基本定理求定积分，见讲1和讲2； (2)根据定积分求参数的值(或取值范围)，见讲3.3．正确确定原函数是利用微积分基本定理求定积分的关键，也是本节课的易错点．课下能力提升(十)[学业水平达标练]题组1 求简单函数的定积分 1.⎠⎛02(x －1)d x 等于( )A ．－1B ．1C ．0D ．2解析：选C ⎠⎛02(x －1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－x |20＝12×22－2＝0.2.⎠⎛01(e x ＋2x )dx 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1解析：选C ⎠⎛01(e x ＋2x )dx ＝(e x ＋x 2)10＝(e 1＋1)－e 0＝e .3．∫π2－π2(1＋coS x )dx ＝( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2解析：选D ∵(x ＋Sin x )′＝1＋coS x ， ∴∫π2－π2(1＋coS x )dx ＝(x ＋Sin x )π2－π2＝π＋2.4．计算定积分∫1－1(x 2＋Sin x )dx ＝________.解析：∫1－1(x 2＋Sin x )dx ＝⎝⎛⎭⎫x 33－cos x |1－1＝23. 答案：23题组2 求分段函数的定积分5．设f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤1，2－x ，1<x ≤2，则⎠⎛02f(x )d x 等于( )A.34B.45C.56D ．不存在 解析：选C ⎠⎛02f(x )dx ＝⎠⎛01x 2dx ＋⎠⎛12(2－x )dx ＝13x 310＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 221＝13＋4－2－2＋12＝56. 6．计算下列定积分： (1)⎠⎛25|x －3|dx ；(2)若f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x>0，求∫π2－1f(x )dx .解：(1)∵|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x ∈[2，3)，x －3，x ∈[3，5]，∴⎠⎛25|x －3|dx ＝⎠⎛23|x －3|dx ＋⎠⎛35|x －3|dx＝⎠⎛23(3－x )dx ＋⎠⎛35(x －3)dx＝⎝⎛⎭⎫3x －12x 232＋⎝⎛⎭⎫12x 2－3x 53 ＝⎝⎛⎭⎫9－12×9－6＋2＋⎝⎛⎭⎫252－15－92＋9＝52.(2)由已知∫π2－1f(x )dx ＝⎠⎛0－1x 2dx ＋∫π20(coS x －1)dx ＝13x 30－1＋(Sin x －x )π20 ＝13＋⎝⎛⎭⎫1－π2＝43－π2. 题组3 根据定积分求参数7．若∫a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x dx ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．6B ．4C ．3D ．2解析：选D ∫a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x dx ＝(x 2＋ln x )|a 1 ＝(a 2＋ln a)－(1＋ln 1)＝(a 2－1)＋ln a ＝3＋ln 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1＝3，a>1，a ＝2，∴a ＝2.8．设f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f(f(1))＝1，则a ＝________. 解析：显然f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3a 0＝a 3，得a 3＝1，a ＝1. 答案：19．已知2≤⎠⎛12(k x ＋1)dx ≤4，则实数k 的取值范围为________． 解析：⎠⎛12(k x ＋1)dx ＝⎝⎛⎭⎫12kx 2＋x 21＝(2k ＋2)－12k ＋1＝32k ＋1，所以2≤32k ＋1≤4，解得23≤k ≤2.答案：⎣⎡⎦⎤23，210．已知f(x )是二次函数，其图象过点(1,0)，且f ′(0)＝2，⎠⎛01f(x )dx ＝0，求f(x )的解析式．解：设f(x )＝a x 2＋b x ＋c(a ≠0)，∴a ＋b ＋c ＝0.∵f ′(x )＝2a x ＋b ，①∴f ′(0)＝b ＝2.②⎠⎛01f(x )dx ＝⎠⎛01(a x 2＋b x ＋c)dx ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx |10＝13a ＋12b ＋c ＝0.③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－32，b ＝2，c ＝－12，∴f(x )＝－32x 2＋2x －12. [能力提升综合练] 1．已知⎠⎛02f(x )dx ＝3，则⎠⎛02[f(x )＋6]dx ＝( ) A ．9 B ．12 C ．15 D ．18解析：选C ⎠⎛02[f(x )＋6]dx ＝⎠⎛02f(x )dx ＋⎠⎛026dx ＝3＋6x 20＝3＋12＝15. 2．若函数f(x )＝x m ＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x ＝( )A .56B .12C .23D .16 解析：选A ∵f(x )＝x m ＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，∴f(x )＝x 2＋x ，∴⎠⎛12f(－x )dx ＝⎠⎛12(x 2－x )dx ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 221＝56.3．若y ＝⎠⎛0x (Sin t ＋coS t·Sin t)d t ，则y 的最大值是( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．0解析：选B y ＝⎠⎛0x (Sin t ＋coS t·Sin t)d t ＝⎠⎛0x Sin t d t ＋⎠⎛0x sin 2t 2d t ＝－coS t x 0－14coS 2t x 0＝－coS x ＋1－14(coS 2x －1)＝－14coS 2x －coSx ＋54＝－12coS 2x －coS x ＋32＝－12(coS x ＋1)2＋2≤2. 4．若f(x )＝x 2＋2⎠⎛01f(x )dx ，则⎠⎛01f(x )dx 等于( ) A ．－1 B ．－13 C .13D ．1解析：选B 因为⎠⎛01f(x )dx 是常数，所以f ′(x )＝2x ， 所以可设f(x )＝x 2＋c(c 为常数)，所以c ＝2⎠⎛01f(x )dx ＝2⎠⎛01(x 2＋c)dx ＝2⎝⎛⎭⎫13x 3＋cx |10， 解得c ＝－23，⎠⎛01f(x )dx ＝⎠⎛01(x 2＋c)dx ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x 2－23dx ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－23x 10＝－13. 5.⎠⎛02(4－2x )(4－3x 2)dx ＝________. 解析：⎠⎛02(4－2x )(4－3x 2)dx ＝⎠⎛02(16－12x 2－8x ＋6x 3)dx ＝⎝⎛⎭⎫16x －4x 3－4x 2＋32x 420＝8. 答案：86．若f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，sin x －1，x>0，则⎠⎛1－1f(x )dx ＝________. 解析：⎠⎛1－1f(x )dx ＝⎠⎛0－1x 2dx ＋⎠⎛01(Sin x －1)dx ＝13x 30－1＋(－coS x －x )10＝13－coS 1. 答案：13－coS 1 7．计算下列定积分．(1)⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x |)dx ；(2)⎠⎛14⎝⎛⎭⎫2x －1x dx . 解：(1)∵|2x ＋3|＋|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4x ，x ≤－32，6，－32＜x ＜32，4x ，x ≥32.∴⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x |)dx ＝∫－32－3(－4x )dx ＋∫32－326dx ＋⎠⎛3324xdx ＝－2x 2－32－3＋6x 32－32＋2x 2332＝(－2)×⎝⎛⎭⎫－322－(－2)×(－3)2＋6×32－6×⎝⎛⎭⎫－32＋2×32－2×⎝⎛⎭⎫322＝45.(2)⎠⎛14⎝⎛⎭⎫2x －1x dx ＝⎠⎛142x dx －⎠⎛141xdx ＝2x ln 241－2x 41＝⎝⎛⎭⎫16ln 2－2ln 2－(24－2)＝14ln 2－2. 8．已知f(x )＝⎠⎛x －a (12t ＋4a)d t ，F(a)＝⎠⎛01[f(x )＋3a 2]dx ，求函数F(a)的最小值． 解：∵f(x )＝⎠⎛x －a (12t ＋4a)d t ＝(6t 2＋4at)x －a ＝6x 2＋4a x －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4a x －2a 2， ∴F(a)＝⎠⎛01[f(x )＋3a 2]dx ＝⎠⎛01(6x 2＋4a x ＋a 2)dx ＝(2x 3＋2a x 2＋a 2x )10＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1，∴当a ＝－1时，F(a)最小值＝1.。
微积分基本定理
微积分基本定理微积分基本定理是微积分中的重要定理之一，是关于定积分和不定积分的联系的一个基本性质。
它由牛顿和莱布尼茨共同发现并证明。
微积分基本定理分为两个部分：第一部分是关于不定积分（原函数）和定积分之间的关系，第二部分是关于定积分的求导。
第一部分：不定积分和定积分之间的关系微积分基本定理的第一部分指出，如果一个函数在[a, b]区间上连续，并且存在一个原函数F(x)，则该函数在[a, b]区间上的定积分等于该原函数在区间端点处的差值。
换句话说，如果函数f(x)的原函数是F(x)，则有：∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)这个定理的意义在于，它提供了一种从定积分求出不定积分的方法。
通过找到一个函数的原函数，我们可以用微积分基本定理计算出它在某个区间上的定积分。
这为解决很多实际问题提供了便利，例如求曲线下面积、求物体的质量等。
第二部分：定积分的求导微积分基本定理的第二部分是关于定积分的求导规则。
它表明，如果一个函数f(x)在[a, b]区间上连续，且F(x)是其在[a, b]区间上的一个原函数，那么定积分关于上限的函数F(t)在[a, b]区间上是可微的，并且它的导数等于原函数f(x)本身，即：d/dt ∫[a, t] f(x) dx = f(t)这个定理的意义在于，它提供了一种通过求定积分的导数来得到原函数的方法。
通过微积分基本定理的第二部分，我们可以推导出导数与定积分之间的关系，进一步应用于求解导数和积分的问题。
综合应用微积分基本定理在微积分中起着重要的作用，它将定积分和不定积分联系在一起，使得我们可以更加灵活地处理函数、曲线和面积之间的关系。
通过合理应用微积分基本定理，我们可以解决诸如求定积分、求曲线下面积、求物体的质心等实际问题。
举例来说，我们可以利用微积分基本定理计算一个函数在某一区间上的定积分。
假设我们有一个函数f(x)，我们希望求解它在区间[a, b]上的定积分。
高中数学(新课标)选修2课件1.6微积分基本定理
求使3f(x)dx＝430恒 k
成立的 k 值．
【解析】 (1)当 k∈(2,3]时，
k3f(x)dx＝k3(1＋x2)dx＝x＋13x33k ＝3＋13×33－k＋13k3 ＝430， 整理得 k3＋3k＋4＝0，即 k3＋k2－k2＋3k＋4＝0， ∴(k＋1)(k2－k＋4)＝0， ∴k＝－1. 而 k∈(2,3]，∴k＝－1 舍去．
∴∫2ππ(cos x＋sin x)dx＝(sin x－cos x)2ππ ＝(sin 2π－cos 2π)－
(sin π－cos π)＝(0－1)－[0－(－1)]＝－1－1＝－2.
(3)∵(ex－sin x)′＝ex－cos x，
∴∫
0 -π
(ex
－
cos
x)dx ＝ (ex － sin
x)
0 －π
1.6 微积分基本定理
知识导图
学法指导 1.在理解定积分概念的基础上，从图形的角度直观理解微积分 基本定理． 2．从形式上体会原函数与被积函数之间的关系，并深化认识 微积分基本定理． 3．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，同 时它也提供了计算定积分的一种有效方法．
高考导航 对于本节知识，高考中多与定积分的几何意义和其他知识相结 合考查定积分的计算，以选择题或填空题的形式呈现，分值 5 分.
(2)当 k∈[－2,2]时，
3f(x)dx＝2(2x＋1)dx＋3(1＋x2)dx
k
k
2
＝(x2＋x)2k ＋x＋13x332
＝(22＋2)－(k2＋k)＋3＋13×33－2＋13×23 ＝430－(k2＋k)＝430，
∴k2＋k＝0，
解得 k＝0 或 k＝－1，
综上所述，k＝0 或 k＝－1.
(vip免费)【数学】1.6《微积分基本定理(第1课时)》课件(人教A版选修2-2)
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现 。每当杨蕙心在某科考试中出现了问题 ，她能很快找到问题的原因，并马上拿 出解决办法。
Si
t
s'
(ti 1 )
b
n
a
v(ti 1 )
S s1 s2
si
sn
n i 1
Si
n i 1
b a v(t) n
n
n ba
S
lim
n
i 1
Si
lim
n
i 1
n
v(t)
b
v(t)dt
a
b s' (t)dt s(b) s(a)
a
由定积分的定义得
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
公式1:
b a
1dx x
=
lnx|ab
公式2:
b a
xndx
=
nxn++11|ab
作业：P６２ A 1 (2)(3)(5)(6)
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附赠 中高考状元学习方法
前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
第一章 1.6 微积分基本定理
b (4) cos xdx＝sin x a .
a
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1 b (5) xdx＝ln x a (b>a>0)．
b
a
x b x (6) e dx＝e a .
b
a
x a b b x (a>0 且 a≠1)． (7) a dx＝ a ln a a
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1．计算下列定积分．
1 3 (1) (x －2x)dx；
0
(2) (x＋cos x)dx； (3)
2 0
1
2 0
x sin2 dx； 2
1 (4) dx. xx＋1
2
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1 4 解析：(1)∵( x －x2)′＝x3－2x， 4 1 4 3 1 2 ∴ (x －2x)dx＝( x －x )0 ＝－ . 4 4
3 (2)求 (|2x＋3|＋|3－2x|)dx.
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在区间[0,3]上的定积分；
-3
[解析]
3 1 2 3 (1) f(x)dx＝ f(x)dx＋ f(x)dx＋ f(x)dx
0
0
1
2
1 3 2 3 x ＝ x d x ＋ x dx＋ 2 dx
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求分段函数与绝对值函数定积分的方法： (1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常 常利用定积分的性质(3)，转化为各区间上定积分的和计算． (2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分 再计算．
1.6 微积分基本定理
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预习交流 2
填一填:结合下列各图形,判断相应定积分的值的符号: ������ (1) ������ f(x)dx 0
(2)
������ ������
g(x)dx
0
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(3)
������ ������
h(x)dx
0
提示:(1)> (2)< (3)>
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课堂合作探究
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问题导学
1.6
微积分基本定理
课前预习导学
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目标导航
学习目标 1.能说出微积分基本定理; 2.能运用微积分基本定理计算 简单的定积分; 3.能掌握微积分基本定理的应 用. 重点难点 重点:微积分基本定理以及利用 定理求定积分; 难点:复合函数定积分计算.
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预习导引
1.微积分基本定理 (1)一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F'(x)=f(x),那 么
一、简单定积分的计算 活动与探究 1
计算下列各定积分. 2 (1) 0 xdx; (2) (3) (4)
1 3 (1-t )dt; -2 0 x ( cos x+ e )dx; -π 4 2 t dx. 2
思路分析:根据导数与积分的关系,求定积分要先找到一个导数 等于被积函数的原函数,再据牛顿—莱布尼茨公式写出答案,找原函 数可结合导数公式表.
1 3
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三、微积分基本定理的应用 活动与探究 3
已知 f(x)=ax +bx+c(a≠0),且 f(-1)=2,f'(0)=0, 的值. 思路分析:解决本题的关键是根据题设条件,列出方程组,通过解 方程组求出 a,b,c 的值.
微积分基本定理
解 ∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2，
①
f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b＝0，
②
ʃ 10f(x)dx＝ʃ 10(ax2＋c)dx＝31ax3＋cx10
＝13a＋c＝－2，
③
由①②③可得a＝6，b＝0，c＝－4.
1234
解答
4.已知 f(x)＝c4oxs－x2，π，π2<0x≤≤xπ≤，π2，
＋x |2＋(12x2－x)|42
＝1＋(2－π2)＋(4－2 0)＝7－π2.
解答
(2)求定积分 ʃ 20|x2－1|dx.
解 ∵|x2－1|＝1x2－－x12， ，xx∈ ∈[[01， ，12]， ， 又(x－x33)′＝1－x2，(x33－x)′＝x2－1， ∴ʃ 20|x2－1|dx＝ʃ 10|x2－1|dx＋ʃ 21|x2－1|dx ＝ʃ 10(1－x2)dx＋ʃ 21(x2－1)dx ＝(x－x33)|10＋(x33－x)|21 ＝1－13＋83－2－13＋1＝2.
有什么关系？
答案 由定积分的几何意义知，ʃ 10(2x＋1)dx＝12×(1＋3)×1＝2，
F(1)－F(0)＝2，故 ʃ 10(2x＋1)dx＝F(1)－F(0).
答案
思考2
对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使得F′(x)＝ f(x)? 答案 不唯一.根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数 c，都有[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x).
④ʃ bacos xdx＝sin x|ba.
⑤ʃ ba1xdx＝ln x|ba(b>a>0).
⑥ʃ baexdx＝ex|ba. ⑦ʃ baaxdx＝lnaxaba(a>0 且 a≠1).
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1.6微积分基本定理（1）
编写：孙又国 魏博
一、学习目标
1．通过实例(变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系)，直观了解微积分基本定理的含义； 2．了解微积分基本定理；
3．会用微积分基本定理求函数的定积分．
二、知识梳理
1．通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼，我们可给出用定积分计算某个量的条件与步骤：
(1)化整为零：用任意一组分点<<=10x x a ┅i i x x <<-1┅
b x n =< 将区间分成______个小区间；
(2)以不变量代替 ，以 代替曲边梯形，给出‘‘零”的近似值；
(3)积零为整，给出“______ ”的近似值； (4)取 ，使近似值向精确值转化．
2．定积分的几何意义：__________________ ．
3．微积分基本定理 一般地，如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，并且，)()(x f x F ='，那么=⎰dx x f b
a )(________．这个结论叫做微积分
基本定理，又叫做牛顿一莱布尼兹公式．为了方便，常把)()(b F a F -记成_________，即
()()|b
b
a
a
f x dx F x ==⎰
________________________．
4．利用微积分基本定理计算定积分
dx x f b
a
⎰
)(的关键是找到满足
____________的函数)(x F ，通常，可以用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从 _______上求出)(x F ．
5．求导数运算与求原函数运算互为 ___ ． 在微积分基本定理中函数)(x F 叫函数)(x f 在区间[]b a ,上的一个原函数．因为
[])()(x F C x F '='+，所以C x F +)(也是函数_________的原函数．
三、思考探究
利用微积分基本定理求定积分的关键是什么
四、自主测评
1．已知)()(x f x F ='，则下列等式正确的是 ( )
A.
⎰
-=b
a a F
b F dx x f )()()( B.⎰-=b
a
b F a F dx x f )()()(
C.
)(lim )(1i n
i b
a
n F n
a
b dx x f ξ∑
⎰
=∞
→-= D.
x F n a
b dx x f i n
i b
a
n ∆-=∑
⎰
=∞→)(lim )(1
ξ．
2．已知⎩⎨⎧<<≤≤-=1
0,10
1,)(2x x x x f ，则⎰-11
)(dx x f 的值为 ( )
（A ）23
（B ）3
2- （C ）32 （D ）34 3．设⎰⎰
⎰===
1
1
1
32s i n ,,x d x c dx x b dx x a ，
则c b a ,,的大小关系是( ) （A ）c b a <= （B ）c b a >= （C ）c a b << （D ）a b c >>．
4.计算下列定积分：
（1）
dx x ⎰
2
1
1； （2）dx x x ⎰⎪⎭⎫
⎝
⎛-31212； (3)
dx x x ⎰
+2
32)43( ．
5. 计算下列定积分：
（1）
dx x ⎰
π
sin ； （2）dx x ⎰ππ
2sin ； （3）dx x ⎰π
20
sin ．
五、典型例题：
例1求下列定积分
(1) dx x x
⎰-1
2
)(； (2)
dx x x ⎰
+20
)sin 3(π
；
(3)
dx x
⎰
2
1
1
； (4) dx x x ⎰⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-3
1212．
例2求下列定积分
(1)
dx x
⎰
20
22
sin π
；（3）⎰π0cos xdx
（3）dx x x 2
20
2cos 2
sin ⎰
⎪⎭⎫ ⎝⎛
+π
．
例3 求定积分dx ⎰+4
|)3-x ||1-x (|的值。
六、小结
1、知识
2、方法
3、思想
七、当堂练习
1由抛物线x y =2和直线x =1所围成的图形的面积等于 （ ）
A ．1
B ．
3
4 C ．3
2 D ．3
1 2如图，阴影部分的面积是 （ ）
A ．32
B ．329-
C ．
332 D ．
3
35 3.dx x |4|1
02
⎰
-=
（ ）
A ．
321 B ．322 C ．323
D ．
3
25
4． 如果⎰
⎰-==1
2
1)(,1)(dx x f dx x f ，则⎰=2
1
)(dx x f ．
5．
⎰
-=-1
1
21dx x ．
6.求下列定积分的值
(1)
dx x
⎰
3
1
1； （2）dx e x
⎰2
2
；
（3）
dx x e ⎰
++1
2
1
1
； (4) dx x
x x
⎰
-20
sin cos 2cos π
.
7.已知
()
62311
3
+=-++⎰-a dx b a ax x
且()dx
b a ax x t f t
⎰-++=0
33)(为偶函数，求b a ,。