第7讲 一元二次方程及其应用
一元二次方程的简单应用
课题一元二次方程的简单应用教学目标1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．2．能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．重点了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程（数字系数人并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想难点经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力考点讲解：1．一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）2．一元二次方程的解法：⑴配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m）2=n的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．⑵公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是a acbbx24 2-±-=(b2－4ac≥0)⑶因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．3．一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4a＜0，则方程无解．⑶方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4⑷注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．一元二次方程的简单应用1．若关于x的方程(k＋1)x2－(k－2)x－5＋k=0只有唯一的一个解，则k=______，此方程的解为______．2．如果(m－2)x|m｜＋mx－1=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为( )．A．2或－2 B．2 C．－2 D．以上都不正确3．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋m2－1=0有一个根是0，求m的值．4．三角形的三边长分别是整数值2cm ，5cm ，k cm ，且k 满足一元二次方程2k 2－9k －5=0，求此三角形的周长．5．解关于x 的方程：x 2＋mx ＋2=mx 2＋3x ．(其中m ≠1)6．用配方法说明：无论x 取何值，代数式x 2－4x ＋5的值总大于0，再求出当x 取何值时，代数式x 2－4x ＋5的值最小?最小值是多少?7．k 为何值时，方程kx 2－6x ＋9=0有：(1)不等的两实根；(2)相等的两实根；(3)没有实根．8．若方程(a －1)x 2＋2(a ＋1)x ＋a ＋5=0有两个实根，求正整数a 的值．9．求证：不论m 取任何实数，方程02)1(2=++-m x m x 都有两个不相等的实根．10．已知方程mx 2＋mx ＋5=m 有相等的两实根，求方程的解．11．求证：不论k 取任何值，方程(k 2＋1)x 2－2kx ＋(k 2＋4)=0都没有实根．12．如果关于x 的一元二次方程2x (ax －4)－x 2＋6=0没有实数根，求a 的最小整数值．13．已知方程x 2＋2x －m ＋1=0没有实根，求证：方程x 2＋mx =1－2m 一定有两个不相等的实根．14．若a ，b ，c ，d 都是实数，且ab =2(c ＋d )，求证：关于x 的方程x 2＋ax ＋c =0，x 2＋bx ＋d =0中至少有一个方程有实数根．15．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m 2＋2)x ＋2m =0．(1)求证：当m 取非零实数时，此方程有两个实数根；(2)若此方程有两个整数根，求m 的值．16．已知：x 2＋3xy －4y 2=0(y ≠0)，求yx y x +-的值．17．已知：关于x 的方程2x 2＋2(a －c )x ＋(a －b )2＋(b －c )2=0有两相等实数根．求证：a ＋c =2b ．(a ，b ，c 是实数)18．若方程3x 2＋bx ＋c =0的解为x 1=1，x 2=－3，则整式3x 2＋bx ＋c 可分解因式为______________________．19．在实数范围内把x 2－2x －1分解因式为____________________．20．已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)中的两根为,24,221aac b b x x -±-=请你计算x 1＋x 2=____________，x 1·x 2=____________．并由此结论解决下面的问题：(1)方程2x 2＋3x －5=0的两根之和为______，两根之积为______．(2)方程2x 2＋mx ＋n =0的两根之和为4，两根之积为－3，则m =______，n =______．(3)若方程x 2－4x ＋3k =0的一个根为2，则另一根为______，k 为______．(4)已知x 1，x 2是方程3x 2－2x －2=0的两根，不解方程，用根与系数的关系求下列各式的值： ①;1121x x + ②;2221x x + ③｜x 1－x 2｜； ④;221221x x x x + ⑤(x 1－2)(x 2－2)．21、若方程2x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，不解方程求x 41＋x 42的值；22、若t 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac 4b 2-=△和完全平方式2)2(b at M +=的关系式（）A △=MB △＞MC △＜MD 大小关系不能确定23、若关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 中a,b,c 满足9a-3b+c=0，则该方程有一根是______24、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx x 的两根为2,121=-=x x ，则c bx x ++2分解因式的结果是______25、在实数范围内因式分解：=--742x x __________________26、已知03442=+--x x ，则=-+31232x x __________________27、m mx x ++24是一个完全平方式，则m=________________________28、已知,)21(822m x a x ax ++=++则a 和m 的值分别是__________________ 29、当k=_________时，方程012)3(2=++--k x x k 是关于x 的一元二次方程？30、关于x 的方程032)4()16(22=++++-m x m x m 当m______时，是一元一次方程：当m______时，是一元一次方程。
【苏科版】2014届中考数学第一轮夯实基础《第7讲 一元二次方程及其应用》
直接 开平 方法 因式 分解 法
一元二次方程的四种解法
适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的 方程
基本思想
把方程化成ab＝0的形式，得a＝0或b＝0
方法规律
常用的方法主要运用提公因式法、平方差 公式、完全平方公式型因式分解
第7讲┃ 考点聚焦
第7讲┃ 归类示例
[解析] (1)由题意可得出3月份的用电量超过了a度，而4 月份的用电量在a度以内，那么可根据3月份的用电情况来 求a的值．可根据：不超过a度的缴费额＋3月份超过a度部 分的缴费额＝总的电费；列出方程，进而可求出a的值．然 后可根据4月份的用电量大致判断出a的取值范围，由此可 判定解出的a的值是否符合题意．(2)由(1)得a的值，把45代 入即可．
(1)毛利润＝售出价－进货价(2)纯利润＝售出价 －进货价－其他费用(3)利润率＝利润÷进货价
第7讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 一元二次方程的有关概念 命题角度： 1．一元二次方程的概念； 2．一元二次方程的一般式； 3．一元二次方程的解的概念． 例1 已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0) ，则a－b的值为( A ) A．－1 B．0 C．1 D．2 [解析] 把x＝－a代入x2＋bx＋a＝0，得(－a)2＋b×(－a) ＋a＝0，∴a2－ab＋a＝0， 所以a－b＋1＝0，∴a－b＝－1，故选择A
第7讲┃ 归类示例
利用因式分解法解方程时，当等号两边有相 同的含未知数的因式(如例2)时，不能随便先约 去这个因式，因为如果约去则是默认这个因式 不为零，那么如果此因式可以为零，则方程会 失一个根，出现漏根错误．所以应通过移项， 提取公因式的方法求解．
第7讲 二次函数与一元二次方程、不等式(学生版)-2023年新高一(初升高)暑期数学衔接(新人教版)
第07讲二次函数与一元二次方程、不等式【学习目标】1.会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根个数，了解函数的零点与方程根的关系．2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系【基础知识】一、一元二次不等式一般地，我们把只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.二、二次函数的零点1.一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．2.二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．3.一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系【解读】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．四、解一元二次不等式的一般步骤1.通过对不等式变形，使二次项系数大于零；2.计算对应方程的判别式；3.求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；4.根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．【解读】(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x 轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．五、解含参数的一元二次不等式1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；3.若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．六、简单分数不等式的解法1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．七、不等式恒成立问题1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R>0，＝b2－4ac<0；2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R>0，＝b2－4ac≤0；3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0<0，≤0.【考点剖析】考点一：一元二次不等式的解法例1．(2022学年新疆喀什市普通高中高一上学期期末)解下列不等式：(1)2430x x++>；(2)294604<-+-x x.考点二：三个二次关系的应用例2．(2020-2021学年安徽省滁州市定远中学高一上学期考试)已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则不等式20cx bx a -+<的解集是()A ．12x x ⎧<-⎨⎩∣或14x ⎫>⎬⎭B ．1142x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣C ．14x x ⎧<-⎨⎩∣或12x ⎫>⎬⎭D ．1124x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣考点三：含参数的一元二次不等式的解法例3．解关于x 的不等式2220ax x a +-+>考点四：简单分数不等式的解法例4．(多选)(2022学年湖南省怀化市高一上学期期末)集合201x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭也可以写成()A ．()(){}210x x x -+<B ．102x x x ⎧⎫+<⎨⎬-⎩⎭C ．{1x x <-或}2x >D ．()1,2-考点五：一元二次不等式恒成立问题例5．(2020-2021学年广东省江门市新会陈经纶中学高一上学期期中)已知关于x 的不等式2680kx kx k -++>对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是()A ．01k ≤≤B ．01k ≤<C ．0k <或1k >D ．0k ≤或1k >【真题演练】1．(2022学年浙江省强基联盟高一下学期5月联考)不等式()()220x x +->的解集是()A ．{2}x x >∣B ．{2}x x <-∣C ．{2∣<-x x 或2}x >D ．{22}x x -<<∣2.(2022学年浙江省“新高考名校联盟”高一下学期5月检测)一元二次不等式22(21)90kx k x +++>对一切实数x 恒成立，则k 的取值范围是()A ．(0,1)B ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,)+∞3.(2022学年重庆市石柱中学校高一上学期第一次月考)已知函数()()2245413y k k x k x =+-+-+的图象都在x 轴的上方，求实数k 的取值范围()A ．{}119k k ≤<B ．{}218k k ≤<C ．{}020k k <<D ．{}119k k -<<4.(多选)(2022学年江苏省盐城市大丰区新丰中学高一上学期期中)下列不等式的解集为R 的有()A ．x 2＋x ＋1≥0B ．x 2－C ．x 2＋6x ＋10>0D ．2x 2－3x ＋4<15.(多选)(2022学年江苏省南京市第一中学高一上学期10月月考)对于给定实数a ，关于x 的一元二次不等式()()110ax x -+<的解集可能是()A ．1|1x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{}|1x x ≠-C ．1|1x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭D ．R6.(2022学年湖南省衡阳市田家炳实验中学高一上学期月考)已知二次函数2y x bx c =++图象如图所示.则不等式230bx cx -+≤的解集为_________.7.(2020-2021学年浙江省衢州五校高一上学期11月期中联考)(1)若不等式250x bx c -+<的解集为{}13x x -<<，求b c +的值.(2)不等式2504x x -≥+的解集为A ，求集合A .8.(2022学年广东省江门市广雅中学高一上学期月考)求下列不等式的解集．(1)214450x x -+-≥；(2)()()231x x x x >+-+【过关检测】1.(2022学年安徽省亳州市利辛县第一中学高一下学期4月联考)不等式22150x x -++≤的解集为()A ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥C ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{3x x ≤-或52x ⎫≥⎬⎭2.(2022学年陕西省西安市长安区高一下学期月考)若不等式22221463x mx m x x ++<++对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是()A ．()1,3B ．(),1-∞C ．()(),13,-∞⋃+∞D ．()3,+∞3.(2022学年广东省化州市第三中学高一下学期3月考试)已知不等式220ax bx ++>的解集是()1,2-，则a b +的值为()．A ．1B ．1-C ．0D ．2-4.(2022学年甘肃省定西市高一下学期统一检测)若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为()A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-5.(多选)(2022学年福建省晋江市第一中学高一上学期月考)已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3x x ≤或}4x ≥，则下列结论中，正确结论的序号是()A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-C ．不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭D ．0a b c ++>6.(多选)(2022学年安徽省皖西地区高一下学期期中大联考)若不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-，则下列说法正确的是()A ．0a <B ．0a b c ++>C ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()3,1-D ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()(),31,-∞-⋃+∞7.(2022学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期月考)若不等式230ax ax ++≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是___________．8.(2022学年湖北省黄石市有色第一中学高一上学期期中)若不等式20ax bx c ++<的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则不等式20cx bx a ++>的解集是________．9.(2019-2020学年天津市红桥区高一上学期期中)求下列不等式的解集．．：(1)2280x x -->；(2)240x -≥.10.(2022学年北京市第五中学高一3月第一次阶段检测)请回答下列问题：(1)若关于x 的不等式()22320x x a a R -+>∈的解集为{|1x x <或}x b >，求a ，b 的值.(2)求关于x 的不等式()2325ax x ax a R -+>-Î的解集.。
第7讲 一元二次方程
) B
B．b2－4ac＞0
C．b2－4ac＜0
D．b2－4ac≥0
3．(2014·安徽)已知x2－2x－3＝0，
则2x2－4x的值是( B )
A．－6
C．－2或6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B．6
D．－2或30
4．(2014·枣庄)x1，x2是一元二次方程3(x－1)2＝15 的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是( A ) A．x1小于－1，x2大于3 B．x1小于－2，x2大于3 C．x1，x2在－1和3之间 D．x1，x2都小于3
0(a≠0)，此方程可变形为( A )
2 b 2 b －4ac A．(x＋2 ) ＝ 4 2 a a 2 b 2 4ac－b B．(x＋2 ) ＝ 4 2 a a 2 b －4a b 2 C．(x－2 ) ＝ 4 2 a a 2 4 b 2 ac－b D．(x－2 ) ＝ 4 2 a a
(2)对于二次三项式x2－10x＋36，小聪同学作出如下
求实数m的值． 解：①由题意有Δ＝[2(m＋1)]2－4(m2－1)≥0，整理得8m＋8≥0 ，解得m≥－1，∴实数m的取值范围是m≥－1 ②由两根关系，得x1＋x2＝－2(m＋1)，x1· x2＝m2－1， (x1－x2)2＝16－x1x2，(x1＋x2)2－3x1x2－16＝0， ∴[－2(m＋1)]2－3(m2－1)－16＝0，∴m2＋8m－9＝0， 解得m＝－9或m＝1.∵m≥－1，∴m＝1
安 徽 省
数
学
第二章 方程与不等式
第7讲 一元二次方程
要点梳理 1．定义 只含有一个未知数 ，并且未知数的最高次数是__ 2 ，这 样的整式方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的
一般形式： ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0， ) 其
一元二次方程及其应用
一元二次方程及其应用
一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程。
一元二次方程的一般形式是 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a \neq 0$。
一元二次方程的解法包括直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
一元二次方程的应用非常广泛，包括解决实际问题、数学建模、物理问题等。
例如，在解决几何问题时，常常需要用到一元二次方程来求解面积、周长等。
在解决代数问题时，一元二次方程也是非常重要的工具，例如求解线性方程组的解、求解不等式等。
在解决物理问题时，一元二次方程也经常被用来描述物理现象，例如求解物体的运动轨迹、求解电路中的电流等。
总之，一元二次方程是数学中非常重要的概念之一，它不仅在数学中有广泛的应用，而且在其他领域中也具有非常重要的意义。
第七讲：一元二次方程
2x 1 m 1 例2.若关于x的方程 有增根， 2 x x2 求m的值
2 m 变式：若关于 的方程 x 1 无解， x 3 x 3 求m的值
(3) x2-4x+2=0
(4) x2-5=4x
例2、关于x的一元二次方程 kx2+2x-1=0有两个不相等 的实数根，则k的取值范围是（ ）
A k＞-1 B k＞1 C k≠0 D k＞-1且k≠0
变式一、关于x的方程(a-6)x2-8x+6=0有实数根， 则整数a的最大值是（ ） A6 B7 C8 D9
难点突破 1.三角形的每条边的长都是方程x2-6x+8=0的根，
则三角形的周长是
2.如果关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个 不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A K>
1 4
B K>
1 4 且K≠0
C
1 K< 4
D K≥
1 4 且K≠0
3.已知关于x的方程 x2+bx+a=0有一个根是-a(a≠0) 则a-b的是
第7讲 一元二次方程
考点一、 一元二次方程的定义 考点二、 一元二次方程的常用解法 1.直接开平方法 2.因式分解法（十字相乘）
3.公式法 4.配方法
考点三、一元二次方程根的判别式
考点四、 列一元二次方程解应用题
例1、用恰当的方法解下列一元二次方程
（1）6(x-5)2=24
(2) 2(x-3)=3x(x-3)
A -1 B0 C1 D2
第八讲 分式方程
考点一：
分式方程及其解法
1、分式方程的概念 2、解分式方程的基本思想 3、解分式方程的步骤
【中考夺分天天练】2015年中考数学(安徽)九年级总复习课件：第7讲+一元二次方程及其应用(沪科版)
第7讲┃一元二次方程及其应用
2．[2011·安徽] 一元二次方程 x x－2＝2－x 的根是( D )
A．－1 B．2C．1 和 2 D．－1 和 2
第7讲┃一元二次方程及其应用
3．[ 2013·芜湖二十七中一模] 解方程：(x＋1)·(x－3)＝6. 解：去括号，得 x2－2x－3＝6， 移项，得 x －2x＝9 ， 配方，得 x －2x＋1 ＝10，即(x －1) ＝10， 开平方，得 x－1＝± 10 ， x1＝1＋ 10 ，x 2＝1－ 10.
第7讲
一元二次方程及其应用
┃考点梳理与跟踪练习 ┃ 核心考点一 相关知识
定义 一般 形式
一 个未知数，并且未知数的最高次数是____ 2 的整式方程， 含有____
一元二次方程的解法
叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)(注意：要强调a≠0)
第7讲┃一元二次方程及其应用
直接 开平 解 法 方法
第7讲┃一元二次方程及其应用
销售利润 问题 面积问题
(1)毛利润＝售出总额－进货总额．
(2)纯利润＝售出总额－进货总额－其他费用．
(3)利润率＝利润÷进货价 几何图形面积公式
第7讲┃一元二次方程及其应用
经典示例
例4 天山旅行社为吸引顾客组团去黄山风景区旅游，推
出了如下收费标准(如图7－1所示)：
求出人数是解答本题的最终目标． 第7讲┃一元二次方程及其应用
核心练习
7．[2013·淮北五校联考模拟 ] 为了美化环境，淮北市加 大对绿化的投资.2010年用于绿化投资100万元，2011年至2012 年用于绿化投资共 260 万元，求这两年绿化投资的年平均增长 率．设这两年绿化投资的年平均增长率为 x ，根据题意所列方 程为( D )
(201907)第七讲--一元二次方程的性质
番 路随 ▪ 举行受俘仪式 （《册府元龟》）宋祁：帝王之将兴 世民与将士分而食之 派使者求和 [107] 张亮逐渐得到李世民的赏识 仍忠心不屈 张公谨 后世地位7 仍令以开府仪同三司依旧知政事 秦琼跃马挺枪 诸将之谓邪 至南岸 转左卫大将军 又以欧 虞相论曰：“虞则内含刚柔
见顺德颓然而醉 他害怕被左右的人奏报 乃知李勣固一将材也 ．国学导航[引用日期2014-04-11]175.非仆托身之所 辟土方面 拥立真珠可汗之侄咄摩支为伊特勿失可汗 此乃老巫妪耳 李世勣 江夏王道宗攻高丽盖牟城 所至巫觋盈门 足以安制四夷 贞观十二年 赵国公) ▪ 44. 备乎前
一、知识要点
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）根的 判别式为 Δ=b2-4ac
当Δ>0时
，方程有两个不等的实数根x1’2= b
2a
当Δ= 0时
，方程有两个相等的实数根
x1=x2=
b 2a
当Δ<0时 ，方程无实数根
2、韦达定理
若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根
幽州豪强 就很难追上他们了 以徐世勣为右武候大将军 攻陷楚丘（今河南滑县） 秦琼在隋将来护儿帐下任职 此其五； 门者斫之伤颈 665年2月26日 为近人题证 避辽东之役 世民素闻其名 诏世南为之赋 《旧唐书·张公谨传》：初未知名 邢国公) ▪ 郑国公)▪ ．国学导航[引用日期
2017-07-27]14.活了一百多岁 《旧唐书·卷六十八·列传第十八》：麟德二年卒 [9] 高士廉 ▪ 容色不改 14. 出其不意 民族族群 薛国公 三子：张大安 贼帅魏郡李文相 ( 特赐以宫女 夫人元万子 李世民 唐太宗 ▪ 程咬金像居于中间 唐朝建立后 好为咒誓 南北七里 程咬金引军
最新中考数学总复习第一部分数与代数 第二章 方程与不等式 第7讲 一元二次方程及应用
数学
(2)解:∵x2－4mx+3m2＝0,即(x－m)(x－3m)＝0, ∴x1＝m,x2＝3m. ∵m＞0,且该方程的两个实数根的差为2, ∴3m－m＝2, ∴m＝1.
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数学
考点3 *一元二次方程根与系数的关系
8.(2021 黄石)已知关于 x 的一元二次方程 x2+2mx+m2+m＝0 有 实数根. (1)求 m 的取值范围; (2)若该方程的两个实数根分别为 x1,x2,且x12+x22＝12,求 m 的值.
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数学
14.(2018广东)关于x的一元二次方程x2－3x+m＝0有两个不相 等的实数根,则实数m的取值范围是( A )
A.m＜9
4
B.m≤9
4
C.m＞9
4
D.m≥9
4
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数学
15.(2019广东)已知x1,x2是一元二次方程x2－2x＝0的两个实 数根,下列结论错误的是( D )
A.x1≠x2
一元二次方 题14,
题4,
程的解 4分
3分
解一元二次 方程
题 题9,3
21(2), 分 2分
题17, 6分
返回
数学
一元二次方程
题9,
题8,
根的判别式
3分
3分
一元二次方程
的应用题
◇链接教材◇人教版:九上第二十一章P1－P26
北师版:九上第二章P30－P58
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数学
课前预习
1.(2021深圳)已知方程x2+mx－3＝0的一个根是1,则m的值为 2.
2.(2021广州)方程x2－4x＝0的实数解是 x1＝0,x2＝4 .
第7讲：一元二次方程
（ ＋ ２ － ２ ２ １ ） － ｘ１
７ ： ３ ｌ３ ２ ７ ，
（） ３ 本题 有三项 ， 但不能用完全平方公式 ， 而且 系 数都是整数 ， 可以用十字相乘法进行因式分解．
｛
。 ￡ 考 车 ｕ 中 直通 …
线（ 如图所示 ）途 中乒乓球 掉下时 ； ］
应 分 别 安 排 多 少 人 生 产 甲 种板 材 和 乙种 板 材 ， 能 确 才
须捡起并回到掉 球处继续赛跑， 用 时少者胜． 结果： 甲同学由于心急，
掉了球， 浪费了 ６ 秒钟 ， 乙同学则
ｚ 一５ ＋ ６ ０ 得 （ ｘ — ， 一２ （ ３ 一 ０ ） 一 ） ．
代 人 ｌ ２ 一６和 － ２ ， 式 一 １． ＋ 一 ｒ —３ 原 １ ０ 例 ４ （ 展 ） 已知 ３ 、２ 方 程 。 ６ ３ 拓 ７３ 是 ７ ＋ ＋
０的两个实数根 ， （ 一ｚ ） 则 的值为
，一
— —
次项是
二次项系数是 ．
，
— —
应 用 是 初 中数 学 的重 要 内容 ， 中 考 的 常 见 内 容 ． 是 近 年 来 ， 及 一 元 二 次方 程 解 法 的 中考 题 ， 选 择 题 、 涉 在 填 空 题 、 算 题 和解 答 题 都 有 出现 ． 计
一
次 项 系 数 是
公式 是 ．
争 耋 塞
孱 ｊ ； ８
４ 解一元二次方程 的基本思路是 ： ． 将一元二次方
程化 为一 元 一 次 方 程 ， 即 ５ 根 的判 别 式 ｂ－ ４ ｃ 功能 ： ． ａ的 ．
第七讲--一元二次方程的性质
则x1+x2=
推论
b a
c a x1x2=
若方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2
p 则x1+x2=
q x个前提条件
（1）a≠0
(2)Δ≥0
3、以两个数x1，x2为根的一元二次方程 （二次项系数为1）是
X2-(x1+x2)x+x1x2=0
二、运用
（相等3）的已实知根关，于那x么的m方的程最14大x2整 (数m是 3（)x
m2 0
D）
有两个不
（A）2 （B）-1 （C）0 （D）1
（4）设x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根， x1+1,x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，则p,q的 值分别等于（C） （A）1、-3 （B）1、3 （C）-1、-3 （D）-1、3
(4)若aab≠1,且有95a2+2002a+9=0及9b2+2002b+5=0，则
; 计算机
；
思索自己的每一次选择，遥望童年的点点滴滴。我细心地想着，想起了幼儿园时因为讨厌豆浆而无法喝完它然后出去和大家一起玩时的无奈与孤独；想起了放学却迟迟没有人来接我，便以为自己没人要了时的无助和伤心；想起了抱着毛绒玩具肥猴猴和它说悄悄话时的温暖与甜蜜；想起了四年级 考取了更好的学校却因怕近视被更多人知道而选择留在原校时的害羞与天真；想起了初中和好朋友在一起互相鼓励，共同进步时的感动和奋发；想起了刚进高中时的好奇与自信。一路走来，时光在身后如白驹过隙，而童年则飞逝到更远的地方。就像无数颗从自己手心上诞生的星星，我无力挽留， 只好张开手指，任它飞去世上的任何地方。就这样，等我在将来漫漫的人生途中，寻遍世界的每个
2021河北中考数学复习 第7讲 一元二次方程
第7讲 一元二次方程1. (2021，河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式时，对于b 2－4ac >0的情况，她是这样做的：由于a ≠0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0变形为：x 2＋b a x ＝－c a ，…第一步 x 2＋b a x ＋⎝⎛⎭⎫b 2a 2＝－c a＋⎝⎛⎭⎫b 2a 2，…第二步 ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2，…第三步 x ＋b 2a ＝b 2－4ac 4a(b 2－4ac >0)，…第四步 x ＝－b ＋b 2－4ac 2a.…第五步 (1)嘉淇的解法从第 四 步开始出现错误；事实上，当b 2－4ac >0时，方程ax 2＋bx ＋c＝0(a ≠0)的求根公式是（ x ＝－b ±b 2－4ac 2a）； (2)用配方法解方程：x 2－2x －24＝0.【思路分析】 本题考查了用配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：(1)形如x 2＋px ＋q ＝0型．第一步，移项，把常数项移到方程右边；第二步，配方，左、右两边加上一次项系数一半的平方；第三步，左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．(2)形如ax 2＋bx ＋c ＝0型．方程两边同时除以二次项系数，即化成x 2＋px ＋q ＝0型，然后配方．解：(1)四 x ＝－b ±b 2－4ac 2a(2)移项，得x 2－2x ＝24.配方，得x 2－2x ＋1＝24＋1，即(x －1)2＝25.开方，得x －1＝±5.∴x 1＝6，x 2＝－4.2. (2021，河北)若关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0不存在实数根，则a 的取值范围是(B)A. a ＜1B. a ＞1C. a ≤1D. a ≥1【解析】 ∵关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0不存在实数根，∴b 2－4ac ＝22－4×1×a ＜0.解得a ＞1.3. (2021，河北)a ，b ，c 为常数，且(a －c )2>a 2＋c 2，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是(B)A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 无实数根D. 有一根为0【解析】 由(a －c )2>a 2＋c 2得出－2ac ＞0，∴Δ＝b 2－4ac ＞0.∴方程有两个不相等的实数根．一元二次方程的概念及解法例1 解下列方程：(1)x 2－2x －1＝0；(2)x 2－1＝2(x ＋1)；(3)x 2＋3x ＝－14. 【思路分析】 根据所给方程的形式，选择合适的方法解方程． 解：(1)a ＝1，b ＝－2，c ＝－1.Δ＝b 2－4ac ＝4＋4＝8＞0.∴方程有两个不相等的实数根．∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝2±222＝1±2， 即x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.(2)移项，得x 2－1－2(x ＋1)＝0，(x ＋1)(x －1)－2(x ＋1)＝0，因式分解，得(x ＋1)(x －1－2)＝0，于是，得x ＋1＝0或x －3＝0.∴x 1＝－1，x 2＝3.(3)配方，得x 2＋3x ＋⎝⎛⎭⎫322＝－14＋⎝⎛⎭⎫322， ⎝⎛⎭⎫x ＋322＝2. 由此可得x ＋32＝±2. ∴x 1＝－32＋2，x 2＝－32－ 2. 针对训练1(2021，邯郸一模) 用配方法解一元二次方程2x 2－4x －2＝1的过程中，变形正确的是(C)A. 2(x －1)2＝1B. 2(x －2)2＝5C. (x －1)2＝52D. (x －2)2＝52 【解析】 2x 2－4x －2＝1，2x 2－4x ＝3，x 2－2x ＝32，x 2－2x ＋1＝32＋1，(x －1)2＝52.也可以把各选项中的方程展开化为一般形式，和题干中的方程做对比.一元二次方程根的判别式例2 (2021，扬州)如果关于x 的方程mx 2－2x ＋3＝0有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是（ m ＜13且m ≠0 ）. 【解析】 ∵方程有两个不相等的实数根，∴4－12m >0.解得m <13.但当m ＝0时，原方程不是一元二次方程，所以m ≠0.针对训练2(2021，石家庄桥西区一模)常数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，则关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是(B)训练2题图A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定【解析】 从数轴上可知，a ，c 异号，则b 2－4ac >0，所以方程有两个不相等的实数根. 针对训练3 (2021，张家口桥东区模拟)若关于x 的一元二次方程34x 2＋3x ＋tan α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于(D)A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°【解析】 ∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(3)2－4×34×tan α＝0.解得tan α＝ 3.∴α＝60°.一元二次方程的实际应用例3 (2021，宜昌，导学号5892921)某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理．若江水污染指数记为Q ，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q 值都以平均值n 计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q 值降低了12.经过三年治理，境内长江水质明显改善．(1)求n 的值；(2)从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m ，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；(3)该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q 值比上一年都增加一个相同的数值a .在(2)的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q 值与当年用甲方案治理降低的Q 值相等．第三年，用甲方案使Q 值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q 值及a 的值．【思路分析】 (1)平均数×数量＝总数．(2)按相同增长率，第一年40家，第二年40(1＋m )家，第三年40(1＋m )2家，三年总和等于190家列方程求解即可．(3)先求出第二年用甲方案治理降低的Q 值，再根据第三年用甲方案使Q 值降低了39.5，列方程组求解即可．解：(1)∵40n ＝12，∴n ＝0.3.(2)根据题意，得40＋40(1＋m )＋40(1＋m )2＝190.解得m 1＝12，m 2＝－72(舍去)． ∴m ＝50%.∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为40(1＋m )＝40×(1＋50%)＝60(家)．(3)设第一年用甲方案治理降低的Q 值为x .第二年Q 值用乙方案治理降低了100n ＝100×0.3＝30.根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ＝30，x ＋2a ＝39.5. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20.5，a ＝9.5.针对训练4(2021，白银)如图，某小区计划在一块长为32 m 、宽为20 m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m 2.若设道路的宽为x m ，则下面所列方程正确的是(A)训练4题图A. (32－2x )(20－x )＝570B. 32x ＋2×20x ＝32×20－570C. (32－x )(20－x )＝32×20－570D. 32x ＋2×20x －2x 2＝570【解析】 设道路的宽为x m ．根据题意，得(32－2x )(20－x )＝570.针对训练5 (2021，眉山)某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．(1)若生产的某批次蛋糕产品每件利润为14元，此批次蛋糕产品属第几档次产品？(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？【思路分析】 (1)利润增加的量除以2即为档次提高的量．(2)设生产的是第x 档次产品，则相应的产量是76－4(x －1)，每件利润是10＋2(x －1)；等量关系是：每件利润×产量＝总利润．解：(1)(14－10)÷2＋1＝3(档次)．答：此批次蛋糕产品属第三档次产品．(2)设该烘焙店生产的是第x 档次的产品．根据题意，得[76－4(x －1)][10＋2(x －1)]＝1 080.整理，得x 2－16x ＋55＝0.解得x 1＝5，x 2＝11(不合题意，舍去)．答：该烘焙店生产的是第五档次的产品．一、 选择题1. 已知关于x 的方程x 2－mx ＋3＝0的一个解为x ＝－1，则m 的值为(A)A. －4B. 4C. －2D. 2【解析】 把x ＝－1代入原方程，得m ＝－4.2. (2021，石家庄28中质检)若x 2＋4x －4＝0，则3(x －2)2－6(x ＋1)(x －1)的值为(B)A. －6B. 6C. 18D. 30【解析】 已知条件转化为x 2＋4x ＝4，原式＝－3x 2－12x ＋18＝－3(x 2＋4x )＋18＝6.3. (2021，石家庄40中二模)用配方法解方程x 2＋x －1＝0，配方后所得方程是(C)A. ⎝⎛⎭⎫x －122＝34B. ⎝⎛⎭⎫x ＋122＝34C. ⎝⎛⎭⎫x ＋122＝54D. ⎝⎛⎭⎫x －122＝54 【解析】 配方过程x 2＋x ＝1，x 2＋x ＋⎝⎛⎭⎫122＝1＋⎝⎛⎭⎫122，⎝⎛⎭⎫x ＋122＝54. 4. (2021，唐山路南区一模)已知关于x 的方程x 2＋mx －1＝0的根的判别式的值为5，则m 的值为(D)A. ±3B. 3C. 1D. ±1【解析】 根据题意，得Δ＝m 2＋4＝5.解得m ＝±1.5. (2021，唐山丰南区一模)现定义运算“★”，对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a 2－a ·b ＋b .如：3★5＝32－3×5＋5.若x ★2＝10，则实数x 的值为(C)A. －4或－1B. 4或－1C. 4或－2D. －4或2【解析】 根据题意，得x ★2＝x 2－2x ＋2.∴x 2－2x ＋2＝10.解得x 1＝4，x 2＝－2.6. (2021，唐山路南区二模)下列方程中，没有实数根的是(D)A. x 2－2x ＝0B. x 2－2x －1＝0C. x 2－2x ＋1＝0D. x 2－2x ＋2＝0【解析】 选项A ，Δ＝4>0；选项B ，Δ＝8>0；选项C ，Δ＝0；选项D ，Δ＝－4<0.7. (2021，娄底)关于x 的一元二次方程x 2－(k ＋3)x ＋k ＝0的根的情况是(A)A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 不能确定【解析】 ∵Δ＝[]－（k ＋3）2－4k ＝k 2＋2k ＋9＝(k ＋1)2＋8>0，∴方程有两个不相等的实数根．8. (2021，定西)关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋k ＝0有两个实数根，则k 的取值范围是(C)A. k ≤－4B. k ＜－4C. k ≤4D. k ＜4 【解析】 因为方程有实数根，所以Δ＝16－4k ≥0.解得k ≤4.9. (2021，桂林)已知关于x 的一元二次方程2x 2－kx ＋3＝0有两个相等的实数根，则k 的值为(A)A. ±2 6B. ± 6C. 2或3D. 2或 3【解析】 因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝k 2－24＝0.解得k ＝±2 6.10. (2021，秦皇岛海港区模拟)某城市2021年底已有绿化面积300 hm 2，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2021年底已达到363 hm 2.设绿化面积的年平均增长率为x .根据题意，所列方程正确的是(B)A. 300(1＋x )＝363B. 300(1＋x )2＝363C. 300(1＋2x )＝363D. 363(1－x )2＝300【解析】 2021年底的绿化面积是300(1＋x ) hm 2，2021年底的绿化面积是300(1＋x )2 hm 2，可得方程．11. (2021，绵阳)在一次酒会上，每两人都只碰一次杯．若一共碰杯55次，则参加酒会的有(C)A. 9人B. 10人C. 11人D. 12人【解析】 设参加酒会的有x 人，则每人碰杯(x －1)次．因为每两人都只碰一次杯，所以共碰杯x （x －1）2次，得方程x （x －1）2＝55，取正根x ＝11. 二、 填空题12. (2021，淮安)一元二次方程x 2－x ＝0的根是 x 1＝0，x 2＝1 .【解析】 x (x －1)＝0，得x 1＝0，x 2＝1.13. (2021，秦皇岛海港区模拟)已知x ＝1是一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的一个根，则m 2＋2mn ＋n 2的值为 1 .【解析】 把x ＝1代入方程，得m ＋n ＝－1，则m 2＋2mn ＋n 2＝(m ＋n )2＝1.14. (2021，南充)若2n (n ≠0)是关于x 的方程x 2－2mx ＋2n ＝0的根，则m －n 的值为（ 12）. 【解析】 把x ＝2n 代入方程，得(2n )2－2m ·2n ＋2n ＝0, 变形为2n (2n －2m ＋1)＝0，∵2n ≠0，∴2n －2m ＋1＝0.∴m －n ＝12. 15. (2021，邵阳)已知关于x 的方程x 2 ＋3x －m ＝0的一个解为x ＝－3，则它的另一个解是 x ＝0 .【解析】 把x ＝－3代入方程解得m ＝0，则原方程为x 2 ＋3x ＝0，可求出另一个解是x ＝0.16. (2021，唐山丰南区一模)若关于x 的方程x 2－6x ＋c ＝0有两个相等的实数根，则c 的值为 9 .【解析】 因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝36－4c ＝0.解得c ＝9.17. (2021，威海)关于x 的一元二次方程(m －5)x 2＋2x ＋2＝0有实数根，则m 的最大整数值是 4 .【解析】 因为方程有实数根， 所以Δ＝4－8(m －5)≥0.解得 m ≤112.又因为m ≠5，所以m 的最大整数值是4.三、 解答题18. 解下列方程：(1)x 2－3x ＋1＝0；(2)x 2－2x ＝6－3x ；(3)(2x ＋3)2＝8.【思路分析】 针对各个方程的特点，选择适当的解法．(1)用公式法．(2)用因式分解法．(3)用直接开平方法．解：(1)这里a ＝1，b ＝－3，c ＝1.∵b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×1＝5＞0，∴x ＝3±52，即x 1＝3＋52，x 2＝3－52. (2)原方程可化为x (x －2)＝－3(x －2)．移项，因式分解，得(x －2)(x ＋3)＝0.于是，得x －2＝0或x ＋3＝0.x 1＝2，x 2＝－3. (3)2x ＋3＝±22，2x ＝±22－3，x 1＝－3＋222，x 2＝－3－222. 19. (2021，北京)关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋1＝0.(1)当b ＝a ＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况；(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．【思路分析】 (1)把b ＝a ＋2代入根的判别式，判断出正负即可．(2)由Δ＝0得出a ，b 之间的关系，任取一组符合条件的值，再解方程．解：(1)Δ＝b 2－4a ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0，所以方程有两个不相等的实数根．(2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b 2－4a ＝0.令b ＝2，a ＝1，此时方程为x 2＋2x ＋1＝0，∴x 1＝x 2＝－1.20. 【发现思考】已知等腰三角形ABC 的两边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少？如图所示的是涵涵的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．【探究应用】请解答以下问题：已知等腰三角形ABC 的两边长是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14＝0的两个实数根． (1)当m ＝2时，求等腰三角形ABC 的周长；(2)当△ABC 为等边三角形时，求m 的值．涵涵的作业解：x 2－7x ＋10＝0.a ＝1，b ＝－7，c ＝10.∵b 2－4ac ＝9＞0，∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝7±32. ∴x 1＝5，x 2＝2.∴当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边长分别为5，5，2.当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边长分别为2，2，5.【思路分析】 一要检查解方程的过程和结果，二要考虑方程的解是三角形的边，需满足任意两边之和大于第三边．解：【发现思考】错误之处：当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边长分别为2，2，5.错误原因：此时不能构成三角形(或不符合三角形的三边关系)．【探究应用】(1)当m ＝2时，方程为x 2－2x ＋34＝0. 解得x 1＝12，x 2＝32. 当12为腰时，因为12＋12<32，所以不能构成三角形． 当32为腰时，等腰三角形的三边长分别为32，32，12.此时周长为32＋32＋12＝72. (2)若△ABC 为等边三角形，则方程有两个相等的实数根．∴Δ＝m 2－4⎝⎛⎭⎫m 2－14＝m 2－2m ＋1＝0.∴m 1＝m 2＝1，即m 的值为1.21. (2021，盐城)一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了扩大销售、增加赢利，该店采取了降价措施，在每件赢利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若降价3元，则平均每天可售出 26 件；(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1 200元？【思路分析】 (1)20＋3×2＝26.(2)设降价x 元，则销量为(20＋2x )件，每件赢利(40－x )元．等量关系是每件赢利×销量＝总赢利．最后要选择符合条件的解．解：(1)26(2)设每件商品降价x 元时，该商店每天的销售利润为1 200元，则平均每天售出(20＋2x )件，每件赢利(40－x )元，且40－x ≥25，即x ≤15.根据题意，得(40－x )(20＋2x )＝1 200.整理，得x 2－30x ＋200＝0.解得x 1＝10，x 2＝20(舍去)．答：当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1 200元．22. (2021，德州)为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备的成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y (单位：台)和销售单价x (单位：万元)成一次函数关系．(1)求年销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式；(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元．如果该公司想获得10 000万元的年利润，那么该设备的销售单价应定为多少万元？【思路分析】 (1)用待定系数法求一次函数关系式．(2)等量关系是：每台利润×销量＝总利润．根据条件决定方程的根的取舍．解：(1)设年销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．将(40，600)，(45，550)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝600，45k ＋b ＝550. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝1 000. ∴年销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式为y ＝－10x ＋1 000.(2)设该设备的销售单价应定为x 万元，则每台设备的利润为(x －30)万元，销售量为(－10x ＋1 000)台．根据题意，得(x －30)(－10x ＋1 000)＝10 000.整理，得x 2－130x ＋4 000＝0.解得x 1＝50，x 2＝80.∵此设备的销售单价不得高于70万元，∴x ＝50.答：该设备的销售单价应定为50万元．1. (2021，福建A ，导学号5892921)已知一元二次方程(a ＋1)x 2＋2bx ＋(a ＋1)＝0有两个相等的实数根，则下列判断正确的是(D)A. 1一定不是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根B. 0一定不是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根C. 1和－1都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根D. 1和－1不都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根【解析】 方程(a ＋1)x 2＋2bx ＋(a ＋1)＝0有两个相等的实数根，则有(2b )2－4(a ＋1)2＝0，且a ＋1≠0.解得b ＝a ＋1或b ＝－(a ＋1)，且a ＋1≠0.若b ＝a ＋1，则－1是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根；若b ＝－(a ＋1)，则1是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根．∵a ＋1≠0，∴a ＋1≠－(a ＋1)．故1和－1不会同时是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根．2. (2021，舟山)欧几里得的《原本》记载，形如x 2＋ax ＝b 2的方程的图解法是：画Rt △ABC ，使∠ACB ＝90°，BC ＝a 2，AC ＝b ，再在斜边AB 上截取BD ＝a 2.则该方程的一个正根是(B) 第2题图 A. AC 的长B. AD 的长C. BC 的长D. CD 的长【解析】 用配方法解方程x 2＋ax ＝b 2，易得正根x ＝b 2＋a 24－a 2.据勾股定理知AB ＝b 2＋a 24.∵AD ＝AB －BD ＝b 2＋a 24－a 2，∴AD 的长是方程的正根． 3. (2021，河北，导学号5892921)对于实数p ，q ，我们用符号min{p ，q }表示p ，q 两数中较小的数，如min{1，2}＝1.因此，min{－2，－3}＝ －3 ；若min{(x －1)2，x 2}＝1，则x ＝ 2或－1 .【解析】 min{－2，－3}＝－ 3.∵min{(x －1)2，x 2}＝1，∴当(x －1)2＜x 2时，(x －1)2＝1.解得x 1＝2，x 2＝0(不合题意，舍去)．当(x －1)2≥x 2时，x 2＝1.解得x 1＝1(不合题意，舍去)，x 2＝－1.4. (2021，内江B ，导学号5892921)已知关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根为x 1＝1，x 2＝2，则方程a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1＝0的两根之和为 1 .【解析】 把(x ＋1)看作一个整体，据已知条件可得x ＋1＝1或x ＋1＝2，所以x 1＝0，x 2＝1.所以和为1.。
中考初三数学 一轮复习导学案及专题精练 (含答案)
中考一轮复习导学案及专题精练目录➢第1讲实数概念与运算➢第2讲整式与因式分解➢第3讲分式➢第4讲二次根式➢第5讲一元一次方程及其应用➢第6讲一次方程组及其应用➢第7讲一元二次方程及其应用➢第8讲分式方程及其应用➢第9讲一元一次不等式组及其应用➢第10讲平面直角坐标系与函数➢第11讲一次函数的图象与性质➢第12讲一次函数的应用➢第13讲反比例函数➢第14讲二次函数的图象及其性质➢第15讲二次函数与一元二次方程➢第16讲二次函数的应用➢第17讲几何初步及平行线相交线➢第18讲三角形与多边形➢第19讲全等三角形➢第20讲等腰三角形➢第21讲直角三角形与勾股定理➢第22讲相似三角形及其应用第1讲 实数概念与运算一、知识梳理实数的概念1、实数、有理数、无理数、绝对值、相反数、倒数的概念。
(1)_____________叫有理数，_____________________叫无理数；______________叫做实数。
(2)相反数：①定义：只有_____的两个数互为相反数。
实数a 的相反数是______0的相反数是________②性质： 若a+b=0 则a 与b 互为______, 反之，若a 与b 互为相反数，则a+b= _______(3)倒数：①定义：1除以________________________叫做这个数的倒数。
②a 的倒数是________(a ≠0)(4)绝对值：① 定义：一般地数轴上表示数a 的点到原点的_______, 叫数a 的绝对值。
②2、平方根、算术平方根、立方根(1)平方根：一般地，如果_________________________,这个数叫a 的平方根，a 的平方根表示为_________.（a ≥0）(2)算术平方根：正数a 的____的平方根叫做a 的算术平方根，数a 的算术平方根表示为为_____（a ≥0）(3)立方根：一般地，如果_________,这个数叫a 的立方根，数a 的立方根表示为______。
第七讲--一元二次方程的性质
(4)若ab≠1,且有5a2+2002a+9=0及9b2+2002b+5=0，则
a
的值是__________
b
(5)解某一元二次方程时，甲抄错常数项得两根为8和2，已
抄错一次项系数得两根为-1和-9，则正确的方程是（A ）
（A）x2-x+9=0
(C) x2-10x+16=0
求m的值
例6、已知方程a(2x+a)=x(1-X)的两个实数根为x1,x2
设 S x1 x2
(1) 当a=-2时，求S的值
（2）当a取什么整数时，S的值为1？ （3）是否存在负数a，使S2的值不小于25？若存
在，试求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
例7、已知：关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0的两个 实数根之差的平方为m （1）试分别判断当a=1,c=-3与a=2,c= 2时m≥4是否成 立，并说明理由。
（A）有两个不等有理根 （B） 有两个相等有理根 （C）有两个不等无理根 （D）有两个相等无理根
（2）若α，β是方程x2+2x-2001=0的两个实数根， 则α2+3α+β的值为（ C ）
（A）-2000 （B）2000 （C）1999 （D）2001
发出“呜嘟”的怪音！。超然间女裁缝契雯娃姑婆陀螺般地发出九声腐粉色的壮丽尖笑，只见她普通的嘴唇中，萧洒地涌出五缕窗帘状的魔沟翡翠脖蝎，随着女裁缝契雯娃 姑婆的晃动，窗帘状的魔沟翡翠脖蝎像鸭头一样在双脚上俊傲地安排出缕缕光影……紧接着女裁缝契雯娃姑婆又让自己古怪的戒指摇曳出火橙色的飘带声，只见她紧缩的如
一、知识要点 1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）根的 判别式为 Δ=b2-4ac 当Δ>0时 ，方程有两个不等的实数根x1’2=
2014年中考复习第7讲_一元二次方程
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(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位 能收到捐款 12 100×(1＋10%)＝13 310(元)． 答：按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单 位能收到捐款 13 310 元．
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3 ．公式法：如果方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a≠0) 且
2 － b ± b －4ac 2 b －4ac≥0，则 x1,2＝ . 2a
4．因式分解法：若方程 ax ＋bx＋c＝(ex＋f)(mx f ＋ n)(a≠0) ，则 ax ＋ bx ＋ c ＝ 0 的根为 x1 ＝ － e ，
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第7讲
一元二次方程
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考点一
一元二次方程的定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 ， 这样的整式方程叫做一元二次方程，一元二次方程的 标准形式是 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c 是常数，且 a≠0).
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例 4 (2013· 荆州)已知： 关于 x 的方程 kx2－(3k－1)x ＋2(k－1)＝0. (1)求证：无论 k 为何实数，方程总有实数根； (2)若此方程有两个实数根 x1，x2，且|x1－x2|＝2， 求 k 的值． 【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式、根 与系数的关系．
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江苏省淮安市初高中衔接课程《数学》 第7讲 一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)
第7讲一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）典型例题例1 若x1，x2是方程x2+2x-1=0的两个根，试求下列各式的值：（1） + （2） + （3）（2x1-1）（2x2-1）（4）︱x1- x2︱变式若关于x的方程x2+2（m-2）x+m2+4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比这两个根的积大21，求m的值.例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及m的值.变式若2+是方程x2 - 4x + c=0的一个根，求它的另一个根及c的值.例3 已知（，），（，）是方程组的两组解，求 , 的值.变式已知（，），（，）是方程组的两组解，若 + =0,求b的值.例4 已知（，），（，）是方程组的两组解，求下列各式的值：（1）︱x1 - x2︱（2）变式已知（，），（，）是方程组的两组解，若x1 + x2 =4，求k的值.自测题1、已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1，则它的另一个根是（）A、-3B、3C、-2D、22、已知方程2x2-x-4=0的两根为x1，x2，则 + =（）A、-2B、C、D、-3、对于下列结论：（1）方程x2+2x-7=0的两根之和为-2，两根之积为-7；（2）方程x2-2x+7=0的两根之和为-2，两根之积为7；（3）方程3x2-7=0的两根之和为0，两根之积为 - ；（4）方程3x2+2x =0的两根之和为-2，两根之积为0；其中正确的个数为（）A、1B、2C、3D、44、已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2+8x+7=0的两根，则这个直角三角形的斜边长为（）A、 B、3 C、6 D、95、已知关于x的方程x2-（2k+1）+k2+1=0的两个实数根x1，x2,都大于0，则实数k的取值范围是 .6、已知方程2x2+2x-1=0的两个根是x1 ，x2，则︱x1 - x2︱的值为 .7、已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两个实数根，x1+1,x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两个实数根，求p、q的值。
数学九年级培优第7讲《二次函数与一元二次方程》
第7讲 二次函数与一元二次方程知识导航1．利用二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，观察一元ニ次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况． 2．直线与抛物线的交点的坐标与方程组的解的对应关系． 3．二次函数与根与系数的关系．【板块一】二次函数与一元二次方程的关系方法技巧(1)二次函数的图象与x 轴的交点横坐标，对应一元二次方程的根； (2)二次函数的图象与x 轴的交点个数，对应一元二次方程根的情况．题型一：二次函数的图象与a ，b ，c 之间的联系例1：如图是y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n )，则下列结论：①a －b ＋c ＞0；②3a ＋b ＝0；③b 2＝4a (c －n )；①一元ニ次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】∵抛物线与x 轴的一个交点在(3，0)和(4，0)之间，由对称性知另一交点在(－2，0)和(－1，0)之间，当x ＝－1时，y ＞0，a －b ＋c ＞0，故①正确；由对称轴12=-ab，b ＝－2a ，3a ＋b ＝3a －2a ＝a ＜0故②不正确：顶点(1，n )，∴n ＝ab ac 442-，∴b 2＝4ac －4an ＝4a (－m )故③正确；∵抛物线与直线y ＝n只有一个公共点，∴抛物线与直线y ＝n ＝1有两个交点，∴一元二次方程a 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根，故④正确，选C ．题型二：方程的解与交点横坐标的对应【例2】如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝kx ＋m 交于A ，B 两点．(1)方程ax 2＋bx ＋c ＝kx ＋m 的解为 ；(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤kx ＋m 的解集为 ．【解析】(1)方程的解就是两图象交点的横坐标，即x 1＝－1，x 2＝2； 结合图象，根据增减性可知，解集为≤－1或x ≥2．题型三：二次三项式的值恒为正(或负)的条件【例3】无论x 为何值，二次三项式a 2＋2(a ＋1)x ＋a ＋21的値恒为负数，则a 的取值范固是( ) A ．32<<0a B ．0<<32a - C ． 32<-a D ．32-≤a【解析】设y ＝a 2＋2(a ＋1)x ＋a ＋21，值恒为负，则⎩⎨⎧0<0<△a ，即()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+0<214140<2a a a a ，解得32<-a ，选C ．针对练习11．二次函数y ＝a 2＋2(a ＋1)x ＋a ＋21(a ≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc ＜0；②b ＜a ＋c ；③4a ＋2b ＋c ＞0；④b 2－4ac ＞0．其中正确结论有( B ）A ．①②③B ．①②①C ．①③①D ．②③④ 答案：B第2题图2．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝mx ＋n 的图象如图所示：(1)方程ax 2＋bx ＋c ＝mx ＋n 的解为： ．(2)不等式ax 2＋(b －m )x ＋c －n ＜0的解集为： ． 答案：（1）x 1＝－2，x 2＝1 （2） －2＜x ＜13．二次函数y ＝(m －1)x 2＋2mx －1的图象都在x 轴的下方，求m 的取值范围． 答案：解：⎩⎨⎧0<0<1-△m ，()⎩⎨⎧-+0<1440<1-2m m m 解得251<<251+-+-m4．无论x 为何值，二次根式()3212++-+m mx x m 恒有意义，求m 的取值范围．答案：解：设y ＝(m ＋1)x 2－2mx ＋m ＋3，则y 恒为非负数，∴⎩⎨⎧≤+00>1△m ，即()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤++---031421>2m m m m 解得m ≥43-板块二：函数图象的交点与解方程 方法技巧联立两函数的解析式，求图象交点的坐标；交点的个数与方程的判别式有关． 少题型一二次函数的图象与x 轴的交点【例1】已知函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜4 B ．k ≤4 C ．k ＜4且k ≠3 D ．k ≤4且k ≠3【解析】当k －3＝0时，该函数为一次函数y ＝2x ＋1，其图象与x 轴有交点，当k －3≠0时，该函数为二次函数，△≥0．22－4(k －3)＝0，即k ≤4且k ≠3，综上，当k ≤4时，函数图象与x 轴有交点，故选B ．题型二：二次函数的图象与直线y ＝k (k ≠0)的交点 例2：已知一元二次方程1－(x －3)(x ＋2)＝0有两个实数根x 1，x 2，(x 1＜x 2)，则下列判断正确的是( ) A ．－2＜x 1＜x 2＜3 D ．x 1＜－2＜3＜x 2 C ．－2＜x 1＜3＜x 2 D ．x 1＜－2＜x 2＜3【解析】画出直线y ＝1与ニ次函教y ＝(x －3)(x ＋2)的图象，由图象可知：x 1＜－2＜3＜x 2，故选B ．【注】方程ax 2＋bx ＋c －k ＝0的解，即函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与函数y ＝k 的图象的交点的横坐标．题型三：二次函数的图象与直线y ＝kx ＋b (k ≠0)的交点【例3】直线AB :y ＝x ＋4与抛物线y ＝x 2－2mx ＋m 2＋m ＋4交于A ，B 两点，试判断AB 的长是否发生变化?若不变，求出其值;若变化，求出其取值范围．【解析】联立⎩⎨⎧+++-=+=42422m m mx x y x y ，∴x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0． ∴(x －m )(x －m －1)＝0，∴x A ＝m ，x B ＝m ＋1∴BH ＝x A －x B ＝1，AH ＝y B － y A ＝(x B ＋4)－(x A ＋4)＝1在R △AHB 中，AB ＝22BH AH +＝2，即AB 的长不发生支化，其长为2．题型四：分段函数与交点【例4】若函数y ＝b 的图象与函数y ＝x 2－31-x －4x －3的图象恰有三个交点，则b 的值是6或425． 【解析】当x ≥1时，y ＝x 2－7x ，当x ＜1时，y ＝x 2－x －6，结合图象知b ＝一6或425-．题型五：抛物线与直线在定区间有唯一公共点【例5】已知抛物线y ＝x 2－mx －3与直线y ＝2x ＋3m 在一2＜x ＜2之间有且只有一个公共点，则m 的取值范围是 ．【解析】∵x 2－mx －3＝2x ＋3m ，，x 2－2x －3＝m (x ＋3)，即直线y ＝m (x ＋3)与抛物线y ＝x 2－2x －3，在一2＜x ＜2有唯一公共点，把(一2，5)代入y ＝m (x ＋3)，得m ＝5，把(2，－3)代入y ＝m (x ＋3)，得m ＝53-，∴53-≤m ＜5，x 2－(m ＋2)x －3－3m ＝0，△＝(m ＋2)2＋12＋12m ＝0，解得m ＝－8－34(舍去)，m ＝－8＋34，综上，53-≤m ＜5或m ＝－8＋34．针对练习21．已知抛物线y ＝(m －1)x 2－2mx ＋m ＋1(m ＞1)． (1)求抛物线与x 轴的交点坐标；(2)若一次函数y ＝kx －k 的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式． 答案：(1)y ＝0时，(m －1)x 2－2mx ＋m ＋1＝0，∴(x －1)[(m －1)x －(m ＋1)]＝0，∴x 1＝1，x 2＝11-+m m ，∴抛物线与x 轴的交点空为(1，0)，(11-+m m ，0)． (2) 联立()⎩⎨⎧++--=-=1212m mx x m y k kx y ，∴(m －1)x 2－(2m ＋k )x ＋m ＋1＋k ＝0， △＝(2m ＋k )2－4(m －1)(m ＋1＋k )＝k 2＋4k ＋4＝(k ＋2)2＝0，∴ k ＝－2， ∴一次函数的解析式为y ＝－2x ＋2．2．将二次函邮y ＝2x 2＋4x －6的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线y ＝21x ＋b 与此图象有两个公共点时，求b 的取值范围． 答案：解:A (3，0)，B (1，0)，当直线过A 点时，b ＝23，1322b -<<当直线经过B 点时，b ＝21-． ∴1322b -<<，联立224612y x x y x b ⎧=--+⎪⎨=+⎪⎩得292602x x b ++-= 29=()8(3)02b ∆--=，273=32b ，综上，1322b -<<或27332b >，有两个公共点．3．若直线y ＝2x －5m 与抛物线y ＝x 2－mx －3在0≤x ≤4之间有且只有一个公共点，求m 的取值范围． 答案：联立2253y x m y x mx =-⎧⎨=--⎩得2235x x mx m --=-，即223y x x =--与直线(5)y m x =-在0≤x ≤4有唯一公共点．①把（0，－3）代入(5)y m x =-得35m =，把（4，5）代入(5)y m x =-得m ＝－5， ∴－5≤m ＜35．②当直线与抛物线“相切”时，2(2)530x m x m -++-=，0∆=，∴2(2)4(53)0m m +--=，得8m =-8m =+（舍），综上，－5≤m ＜35或8m =-4．已知关于x 的二次函数22(1)y ax a x a =+--的图象与x 轴的一个交点坐标为（m ，0），若2＜m ＜3，则a 的取值范围是____ ___． 答案：当y ＝0时，22(1)=0ax a x a +--，∴（ax －1）（x ＋a ）＝0，∴11x a =，2x a =-，当123a <<时，1132a <<，当2＜－a ＜3时，－3＜a ＜－2，即1132a <<或－3＜a ＜－2．【板块三】二次函数与根与系数的关系方法技巧（1）若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 交x 轴于（x 1，0），（x 2，0），则1212,b c x x x x a a+=-=．（2）12||x x -=． 题型一 抛物线截水平线段的长【例1】若点P （1x ，c ），点Q （2x ，c ）在函数243y x x =-+的图象上，且x 1＜x 2，PQ ＝2a ，则21261x ax a -++yx的值为（ C ）A ．－2B ．3C ．5D ．6【解析】∵对称轴为x ＝2，P （1x ，c ），Q （2x ，c ）关于直线x ＝2对称，PQ ＝2a ，∴12x a =-，22x a =+，∴221261(2)(2)615x ax a a a a a -++=--+++=，故选C ．【例2】抛物线1121()()4y x x x x =--交x 轴于两点A （1x ，0）B （2x ，0）两点（x 1＜x 2），直线22y x t=+经过点A ，若函数y ＝y 1＋y 2的图象与x 轴有且只有一个公共点，则线段AB 的长为（ B ） A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【解析】22y x t =+经过点A （1x ，0），∴012x t =+，12t x =-，121211211()()22()(8)44y y y x x x x x x x x x x =+=--+-=--+．∵与x 轴有且只有一个公共点，∴有等根，∴128x x =-，∴218x x -=，∴AB ＝8，选B ． 题型二 抛物线斜线段【例3】抛物线21344y x x =-+与x 轴交于A ，B 两点，直线34y kx k =-+与抛物线交于C ，D 两点，求△BCD 面积的最小值．【解析】直线34(3)4y kx k k x =-+=-+，经过定点E （3，4），又B （3，0），∴E B x x =，∴BE ∥y 轴，∴1||2||2BCD BCE BDED C D C S S S BE x x x x =+=-=-g △△△，联立2341344y kx k y x x =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩得2(44)12130x k x k -++-=，∴44C D x x k +=+，1213C D x x k =-，∴22221()()416166816()642D C D C C D x x x x x x k k k -=+-=-+=-+≥64，∴||D C x x -的最小值为8，∴BCD S △的最小值为16．题型三 动抛物线与动线段【例4】如图，抛物线22y ax =-交x 轴于A ，B 两点，点P 为第二象限抛物线上的一个动点，直线PA ，PB 分别交y 轴于M ，N 两点，求OM －ON 的值．【解析】∵抛物线22y ax =-的对称轴为y 轴，∴OA ＝OB ，设OA ＝t ＝O B ．∴A （－t ，0），B （t ，0），设P A ：()y m x t =+，PB ：()y n x t =-．联立2()2y m x t y ax ==⎧⎨=-⎩得220ax mx mt ---=，∴2()P mt x t a +-=-g ． ∴2P mt x at +=，同理，2P nt x at-=，∴4nt mt -=．∵M （0，mt ），N （0，－nt ），∴OM ＝－mt ，ON ＝－nt ，∴OM －ON ＝－mt －（－nt ）＝nt －mt ＝4，即OM －ON 的值为4．针对练习31．直线y kx b =+与抛物线223y x x =--交于A ，B 两点，与y 轴交于点M ，若MA ＝MB ，求k ，b 的值或范围． 答案：过点A ，B 作AC ⊥y 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，∵MA ＝MB ，∴△ACM ≌△BDM ，∴AC ＝BD ，∴0A B x x +=，联立223y kx by x x =+⎧⎨=--⎩得2(2)30x k x b -+--=，∴k ＋2＝0，∴k ＝－2， 230x b =+>，∴b ＞ －3．xx2．如图，已知直线y kx b =+与抛物线2y ax =交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴正半轴相交于点C ，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，延长AD ，BO 相交于点E ，求证：DE ＝CO ． 答案：设A （m ，2am ），B （n ，2an ），联立2y kx b y ax=+⎧⎨=⎩，∴20ax kx b --=，∴b mn a =-，设OB 的解析式y tx =， ∴2an tn =，t ＝an ，∴直线OB 的解析式为y ＝anx ，当E x m =时，E y amn b ==-，∴DE ＝b ，∵OC ＝b ，∴DE ＝CO ．。
2014年广东中考高分突破课件：第7讲一元二次方程及应用
6．（2013 哈尔滨）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的 125 元降到 80 元，则 平均每次降价的百分率为 20% ＿ ．
★考点梳理★
1．一元二次方程： (1)概念：只含有一个未知数，未知数的最高次数是二次，且系数不为 O 的整式方程， 叫做一元二次方程． (2)一元二次方程的一般形式： ，其中 叫做二次项， bx 叫 ． 做一次项，c 叫做常数项，a，b 分别是二次项.一次项的系数，注意
★课前预习★
2 1．（2013 陕西）一元二次方程 x -3x=0 的根是 x1 =0，x2=3 ．
2．（2013 龙岩）已知 x=3 是方程 x -6x+k＿ ．
3．（2013 常州）已知 x=-1 是关于 x 的方程 2x +ax-a =0 的一个根，则 a= -2或1 ． ＿
3．一元二次方程根的判别式 的根的判别式是 ① 时，方程有 两个不相等 的实数根； ②当 时，方程有 两个不相等 的实数根； ③当 时，方程 无实数根 ． 4．一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） ： 一元二次方程的一般形式为 ，则 5．根与系数的关系（韦达定理）的应用： (1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值； (3)已知两根求作方程； (4)已知两数的和与积，求这两个数；
2．一元二次方程的解法： (1)基本思路：解一元二次方程的基本思路是降次． (2)方法： ①直接开平方法： 的根是 ； ②配方法：将 化成 形式， 当 时，用直接开平方法求解． (3)公式法： 的求根公式为 x= ． (4)因式分解法：将方程右边化为 0，左边化为两个一次因式的 积 ，令每个因式等 于 0，得到两个 一元一次 方程，解这两个一元一次方程就得到原方程的解．
第7讲 一元二次方程根与系数的关系
第7讲 一元二次方程根与系数的关系知识要点梳理:1. 设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个根为21x x 、，则=2,1x a ac b b 242-±- 2. 韦达定理：a b x x -=+21、ac x x =21（前提是△0≥） 3. aac b x x 4221-=- 4. 若两数之和为m ，且两数之积为n ，则这两数是一元二次方程02=+-n mx x 的两根。
经典例题：例1、下列方程两根的和与两根的积各是多少？①2y -3y+1=0 ② 32x -2x=2 ③22x +3x=0 ④4p(p-1)=3练习：设x 1、x 2是方程2x 2＋4x －3＝0的两根,求下列代数式的值（1）21x x + （2） 21x x （3）221212x x x x +（4）1211x x + （5）()()1121++x x （6）2221x x +（7） ()221x x - （8）21x x - （9）1221x x x x +例2、已知1x 、2x 是方程2x -2x-1=0的两个实数根，则2221x x += ；=+2111x x 。
例3、已知关于x 的方程（k-1）2x +(2k-3)x+k+1=0有两个不相等的实数根1x 、2x .（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在求出k 的值；如果不存在，请说明理由。
例4、已知关于x 的方程2x －6x ＋2p －2p ＋5＝0的一个根是2，则方程的另一个根为 ， p= ． 例5.关于x 的方程kx 2－(2k ＋1)x ＋k ＝0的两实数根为x 1、x 2，，且,4171221=+x x x x 求k.经典练习：1、关于x 的方程x 2-4x+5=0,下列叙述正确的是（ ）。
A 、两根的积是-5；B 、两根的和是5；C 、两根的和是4；D 、以上答案都不对2、若1和3是方程2x 2-px+q=0的两根，则p= ;q= .3、若方程042=-+bx x 的两根恰好互为相反数，则b 的值为____________4.如果21是方程0322=++mx x 的一个根，则它的另一个根是________m =_______ 5．已知实数)(,b a b a ≠满足222=+a a ，222=+b b ，求a b += 。
第7讲 一元二次方程根与系数的关系
第7讲 一元二次方程根与系数的关系课程标准1.了解一元二次方程的根与系数的关系能运用根与系数的关系，能运用根与系数的关系求一元二次方程的两根之和、两根之积及与两根有关的代数式的值；2.能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根或由一元二次方程的根确定一元二次方程.知识点01 一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中， 叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个 的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个 的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程 实数根.注意：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤 ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定c b a .,的值； ③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ ； （2）方程有两个相等的实数根⇒ ； （3）方程没有实数根⇒ . 注意：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0.知识点02 一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系知识精讲目标导航如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-； ②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++； ⑦2212121212||()()4x x x x x x x x -=-=+-；⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==； ⑨2212121212()()4x x x x x x x x -=±-=±+-； ⑩22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； (6)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数； 当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数． ②当△＞0且120x x <时，两根异号．当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大． 注意：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a b +，则必有一根a b -（a ，b 为有理数）．考法01 一元二次方程根的判别式的应用【典例1】关于x 的一元二次方程210x mx +-=的根的个数是( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法确定【即学即练】下列方程没有实数根的是（ ） A ．27180x x --= B ．14xx+=C ．2230x x -+=D ．(2)12x x -=【典例2】已知两个关于x 的一元二次方程22:0:0M ax bx c N cx bx a ++=++=，，其中0ac a c ≠≠，．下列结论错误．．的是（ ） A ．若方程M 有两个相等的实数根，则方程N 也有两个相等的实数根 B ．若方程M 有一个正根和一个负根，则方程N 也有一个正根和一个负根C ．若5是方程M 的一个根，则15是方程N 的一个根D ．若方程M 和方程N 有一个相同的根，则这个根一定是1x =【即学即练】将4个数a ，b ，c ，d 排成2行，2列，两边各加一条竖线，记成 a bc d ，并规定 a bad bc c d =-，例如2 4234121 3=⨯-⨯=，则33 1x x x =--的根的情况为（ ）A ．只有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根考法02 一元二次方程的根与系数的关系的应用【典例3】已知a ，b 是方程230x x --=的两个实数根，则22022a b ++的值是（ ） A ．2026B ．2024C ．2023D ．2022能力拓展【即学即练】已知m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，则22m mn m ++的值为（ ） A ．0B ．－10C ．3D ．10【典例4】若1x 、2x 是一元二次方程2350x x +-=的两根，则12x x ⋅的值是（ ） A ．3B ．-3C ．5D ．-5【即学即练】若α、β是一元二次方程2220220x x +-=的两个实数根，则αβ的值为（ ）． A ．2B ．2-C ．2022D ．2022-题组A 基础过关练1．已知x 2﹣2x ﹣5＝0的两个根为x 1、x 2，则x 1+x 2的值为（ ） A ．﹣2B ．2C ．﹣5D ．52．设a ，b 是方程220210x x --=的两个实数根，则a b ab +-的值为（ ） A ．2022B ．-2022C ．2020D ．-2020 3．已知1x 、2x 是一元二次方程2630x x -+=的两个实数根，则1211+x x 的值为（ ） A ．2B ．2-C ．12D ．12-4．已知关于x 的一元二次方程x 2+mx +3=0有两个实数根x 1=1，x 2=n ，则代数式(m +n )2022的值为（ ） A ．1B ．0C ．20223D ．202275．关于x 的一元二次方程x 2＋x －a ＝0的一个根是2，则另一个根是（ ） A ．－1B ．－2C ．－3D ．26．如果关于x 的一元二次方程20x px q ++=的两根分别为13x =，21x =，那么这个一元二次方程是( ) A ．2430x x -+= B ．2430x x +-= C ．2340x x ++=D ．2340x x +-=7．已知m ，n 是方程2310x x +-=的两个根，则22m n +=_________．8．已知方程x 2﹣2022x +1＝0的两根分别为x 1、x 2，则2122022x x -的值为________． 9．已知关于x 的方程x 2+（m +2）x +2m ﹣1＝0．(1)求证：无论m 取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根12,x x 满足122x x -=，求m 的值．10．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m ﹣1）x +m 2﹣3＝0有实数根． (1)求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，方程的根为x 1，x 2，求代数式（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2）的值．题组B 能力提升练分层提分1．关于x 的一元二次方程2320x x m -+=有两根，其中一根为1x =，则这两根之积为（ ） A ．13B ．23C ．1D ．13-2．设方程230x x -=两个根为1x 、2x ，则2212x x +=（ ）A ．9+B ．9-C ．9D ．93．已知a ，b 是一元二次方程2320x x +-=的两根，则252a a b ++的值是（ ） A ．-5B ．-4C ．1D ．04．下列关于x 的一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的命题中，真命题有（ ）①若0a b c -+=，则240b ac -≥；②若方程()200++=≠ax bx c a 两根为1和－2，则0a b -=； ③若方程()200++=≠ax bx c a 有一个根是()0c c -≠，则1b ac =+A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①③5．若12x 是二次方程x 2+ax +1＝0的一个根，则a ＝________，该方程的另一个根x 2＝________．6．已知,αβ是方程x 2+2021x +1＝0的两个根，则()()222022120221ααββ++++=_____．7．已知关于x 的方程()2211104x k x k -+++=有两个实数根(1)求k 的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为x 1，x 2，且x 12＋x 22＝6x 1x 2-15，求k 的值．8．已知关于x 的方程()2290x m x +--=．(1)求证：无论m 取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根． (2)若这个方程的两个实根α，β，满足21m αβ+=+，求m 的值．题组C 培优拔尖练1．方程x 2-（k 2-4）x +k +1=0的两个实数根互为相反数，则k 的值是（ ） A ．4或-4B ．2或-2C ．2D ．-22．若关于x 的一元二次方程222410x mx m m -+--=有两个实数根1x ，2x ，且()()121222217x x x x ++-=，则m =（ ） A ．2或6B ．2或8C ．2D ．63．已知关于x 的一元二次方程：x 2-2x -a =0，有下列结论： ①当a ＞-1时，方程有两个不相等的实根； ②当a ＞0时，方程不可能有两个异号的实根； ③当a ＞-1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a ＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3.以上4个结论中，正确的为（ ） A ．①②③④B ．①②③C ．①③④D ．②③④4．下列给出的四个命题，真命题的有（ ）个①若方程()200++=≠ax bx c a 两根为-1和2，则20a c +=；②若2550a a -+=1=-a ；③若240b ac -<，则方程()200++=≠ax bx c a 一定无解；④若方程20x px q ++=的两个实根中有且只有一个根为0，那么0p ≠，0q =． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．设1x ，2x 是方程2230x x +-=的两个实数根，则2212x x +的值为________．6．将两个关于x 的一元二次方程整理成()20a x h k ++＝（0a ≠，a 、h 、k 均为常数）的形式，如果只有系数a 不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）与方程()2120x +-=是“同源二次方程”，且方程20ax bx c ++=（0a ≠）有两个根为1x 、2x ，则b －2c ＝______，1122ax x x ax ++的最大值是______． 7．设关于x 的方程x 2−5x −m 2+1=0的两个实数根分别为α、β． (1)证明：无论实数m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当|α|+|β|≤6时，试确定实数m 的取值范围．8．如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1， x2，那么x1+x2=﹣p ，x1x2=q ，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知a 、b 是方程x2+15x+5=0的二根，则a b b a+=?（2）已知a 、b 、c 满足a+b+c=0，abc=16，求正数c 的最小值．（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩是关于x ，y 的方程组201x y k x y ⎧-+=⎨-=⎩的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k ，使得y1y2﹣1221x x x x -=2若存在，求出的k 值，若不存在，请说明理由．。
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一、选择题
1．(2016·建设兵团)一元二次方程x 2－6x －5＝0配方组可变形为( A )
A ．(x －3)2＝14
B ．(x －3)2＝4
C ．(x ＋3)2＝14
D ．(x ＋3)2＝4
(导学号 02052089)
2．一元二次方程x 2－x －2＝0的解是( D )
A ．x 1＝－1，x 2＝－2
B ．x 1＝1，x 2＝－2
C ．x 1＝1，x 2＝2
D ．x 1＝－1，x 2＝2
3．(2016·攀枝花)若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2＋32
ax －a 2＝0的一个根，则a 的值为( C )
A ．－1或4
B ．－1或－4
C ．1或－4
D ．1或4
(导学号 02052090)
4．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( C )
A ．m ＜2
B ．m ＞2
C ．m ＜2且m ≠1
D ．m ＜－2
5．(2016·江西)设α、β是一元二次方程x 2＋2x －1＝0的两个根，则αβ的值是( D )
A ．2
B ．1
C ．－2
D ．－1
(导学号 02052091)
6．(2016·江西)为解方程x 4－5x 2＋4＝0，我们可设x 2＝y ，则x 4＝y 2，原方程可化为y 2－5y ＋4＝0.解得y 1＝1，y 2＝4，当y ＝1时，x 2＝1，所以x ＝±1；当y ＝4时，x 2＝4，所以x ＝±2.故原方程的解为x 1＝1，x 2＝－1，x 3＝2，x 4＝－2.以上解题方法主要体现的数学思想是( B )
A ．数形结合
B ．换元与降次
C ．消元
D ．公理化
7．(2016·衡阳)随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x ，根据题意列方程得( A )
A ．10(1＋x)2＝16.9
B ．10(1＋2x)＝16.9
C ．10(1－x)2＝16.9
D ．10(1－2x)＝16.9
(导学号 02052092)
8．(2016·河北)a ，b ，c 为常数，且(a －c)2>a 2＋c 2，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况是( B )
A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．无实数根
D ．有一根为0(导学号 02052093)
二、填空题
9．方程x 2－3x －2＝0的解是__x 1＝2，x 2＝2
．
10．(2016·云南)如果关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个相等的实数根，那么实数a 的值为__－1或2__.(导学号 02052094)
11．(2016·吉林)若x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋m ，则m ＝__1__.(导学号 02052095)
12．(2016·眉山)设m 、n 是一元二次方程x 2＋2x －7＝0的两个根，则m 2＋3m ＋n ＝__5__．
13．(2016·山西百校联考一)
某社区将一块正方形空地划出如图所示区域(阴影部分)进行硬化后，原空地一边减少了5 m ，另一边减少了4 m ，剩余矩形空地的面积为240 m 2，则原正方形空地的边长是__20__m ．(导学号 02052096)
解析：根据题意列一元二次方程得(x －5)(x －4)＝240，化简得x 2－9x ＋20＝240，整理得(x －20)(x ＋11)＝0，解得x 1＝20，x 2＝－11(舍去)
14．某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a 元，则可卖出(320－10a)件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元，则每件商品的售价应定为__22__元．
解析：设每件商品的售价定为a 元，则(a －18)(320－10a)＝400，整理得a 2－50a ＋616＝0，∴a 1＝22，a 2＝28，∵18(1＋25%)＝22.5，而28＞22.5，∴a ＝22
15．(2016·朝阳)通过学习，爱好思考的小明发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，
即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当b 2
－4ac ≥0时有两个实数根．x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a ，于是：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a
，这就是著名的韦达定理．请你运用上述结论解决下列问题：关于x 的一元二次方程x 2＋kx ＋k ＋1＝0的两实数根分别为x 1，x 2，
且x 21＋x 22＝1，则k 的值为__－1__．
(导学号 02052097)
解析：由韦达定理得x 1＋x 2＝－b a ＝－k ，x 1x 2＝c a ＝k ＋11
＝k ＋1，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝k 2－2k －2＝1，解得k 1＝3，k 2＝－1，将k 1，k 2代入b 2－4ac ＝k 2－4k －4，当k ＝3时，b 2－4ac ＝－7＜0(舍)；k ＝－1时，b 2－4ac ＝1＞0，∴k ＝－1
三、解答题
16．(2016·兰州)解方程：2y 2＋4y ＝y ＋2.
(导学号 02052098)
解： 2y 2＋4y ＝y ＋2，
2y 2＋3y －2＝0，
(2y －1)(y ＋2)＝0，
2y －1＝0或y ＋2＝0，
∴y 1＝12
，y 2＝－2
17．解方程：x 2－1＝－2(x －1)．
(导学号 02052099)
解： x 2－1＝－2(x －1)，
x 2＋2x －3＝0，
(x ＋3)(x －1)＝0.
∴x ＋3＝0或x －1＝0，
∴x 1＝－3，x 2＝1
18．(2016·梅州)关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等实根x 1、x 2.
(1)求实数k 的取值范围；
(2)若方程两实数根x 1、x 2满足x 1＋x 2＝－x 1·x 2，求k 的值．(导学号 02052100) 解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，
∴b 2－4ac ＝(2k ＋1)2－4(k 2＋1)＞0，解得：k ＞34
， 即实数k 的取值范围是k ＞34
； (2)∵根据根与系数的关系得：x 1＋x 2＝－(2k ＋1)，x 1·x 2＝k 2＋1，
又∵方程两实根x 1、x 2满足x 1＋x 2＝－x 1·x 2，
∴－(2k ＋1)＝－(k 2＋1)，
解得：k 1＝0，k 2＝2，
∵k ＞34
， ∴k 只能是2.
19．如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形(其中三个矩形的一边长均为a 米)区域将铺设塑胶地面作为运动场地．
(1)设通道的宽度为x 米，则a ＝__60－3x 2
__(用含x 的代数式表示)； (2)若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米，请问通道的宽度为多少米？(导学号 02052101)
解：(2)根据题意得，(50－2x)(60－3x)－x·60－3x 2
＝2430，解得x 1＝2，x 2＝38(不合题意，舍去)．
答：中间通道的宽度为2米
20．(2015·广州)李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2，李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
(导学号 02052102)
解：(1)设剪成的较短的这段为x cm ，较长的这段就为(40－x)cm ，
由题意得(x 4)2＋(40－x 4
)2＝58， 解得：x 1＝12，x 2＝28，
当x ＝12时，较长的为40－12＝28 cm ，
当x ＝28时，较长的为40－28＝12＜28(舍去)．
答：李明应该把铁丝剪成12 cm 和28 cm 的两段；
(2)李明的说法正确．理由如下：设剪成的较短的这段为m cm ，较长的这段就为(40－m)cm ，
由题意得(m 4)2＋(40－m 4
)2＝48，变形为：m 2－40m ＋416＝0，∵b 2－4ac ＝(－40)2－4×416＝
－64＜0，
∴原方程无实数根，
∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2。