一元二次方程及其应用复习
一元二次方程专题复习
一元二次方程专题复习（一）直接开平方法→配方法要点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程x 2-7x-1＝0．【答案与解析】将方程变形为x 2-7x ＝1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x 2-7x+＝1+，所以有＝1+．直接开平方，得x-＝或x-＝-．所以原方程的根为x ＝+或x ＝-．【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行： (1)把形如ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的方程中二次项的系数化为1； (2)把常数项移到方程的右边；2222()a ab b a b ±+=±(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n ≥0)的方程； (4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2＝0； (2)x 2+6x+8＝0.要点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，一定要学好．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式，，则的值（ ）A ．一定是负数B ．一定是正数C ．一定不是负数D ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.221078Ma b a =+-+2251N a b a =+++M N -22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>3．用配方法说明：代数式x2+8x+17的值总大于0.【答案与解析】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.举一反三：【变式】求代数式 x2+8x+17的最小值4．（2014春•滦平县期末）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求（x+y）2013的值．【思路点拨】采用配方法求出x、y的值，代入计算即可得到答案．【答案与解析】解：x2+y2﹣4x+6y+13＝0，x2﹣4x+4+y2﹣+6y+9＝0，（x﹣2）2+（y+3）2＝0∴x﹣2＝0，y+3＝0，解得，x＝2，y＝﹣3，（x+y）2013＝﹣1．【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.20 (0)ax bx c a ++=≠2224()24b b ac x a a -+=240b ac ∆=->1,22b x a-±=240b ac ∆=-=1,22b x a=-240b ac ∆=-<5． 用公式法解下列方程．(1)； (2)．【总结升华】 用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程6．用公式法解下列方程：(1)； (2) ．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．23310x x --=2241x x =-24b ac -24b ac -2341x x =+2100x -+=(1)(1)x x +-=240b ac -≥举一反三：【变式】（2014秋•泽州县校级期中）用公式法解方程：5x 2﹣4x ﹣12＝0．【巩固练习】 一、选择题1.已知关于x 的一元二次方程，用配方法解此方程，配方后的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．化为B ．化为C ．化为D ．化为3．（2015春•张家港市校级期中）若M=2x 2﹣12x+15，N=x 2﹣8x+11，则M 与N 的大小关系为（ ） A ．M ≥N B ． M ＞N C ． M ≤N D ． M ＜N 4．不论x 、y 为何实数，代数式的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（ ）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题 7．（1）x 2-x+ =（ ）2； （2）x 2+px+ =（ ）2. 220x x m --=2(1)1x m -=+2(1)1x m +=+22(1)1x m -=+22(1)1x m +=+22990x x --=2(1)100x -=22740t t --=2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2890x x ++=2(4)25x +=23420x x --=221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22247x y x y ++-+438．已知，则的值为 ． 9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，∴所以方程的根为_________． 11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．（2015春•重庆校级期中）a 2+b 2﹣4a+2b+5=0，则b a 的值为 ．三、解答题 13. 用配方法解方程.(1) 3x 2-4x-2=0； (2)x 2-4x+6=0．14. 用公式法解下列方程：（2） ．15．（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．16．已知在⊿ABC 中,三边长a 、b 、c ,满足等式a 2-16b 2-c 2+6ab+10bc=0，求证:a+c=2b223730216b a a b -+-+=a -2(1)210x ax --=；22222(1)()ab x a x b x a b +=+>一元二次方程专题复习（二）温故知新:1.直接开平方法2.配方法3.公式法一、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
一元二次方程知识点复习(学生用)
一元二次方程知识点复习2、1.一元二次方程的一般式: 。
3、一元二次方程的解法（1）直接开平方法（也可以使用因式分解法）①解为:②解为:③解为:（2）④解为:因式分解法: 提公因式, 平方公式, 平方差, 十字相乘法如：此类方程适合用提公因式, 而且其中一个根为0290(3)(3)0-=⇔-=x x xx x x x-=⇔+-=230(3)0---=⇔--=x x x x x3(21)5(21)0(35)(21)02241290(23)0-+=⇔-=x x x-+=⇔-=22694(3)4x x x24120(6)(2)0x x x x+-=⇔-+= --=⇔-+=225120(23)(4)0 x x x x（3）配方法①二次项的系数为“1”的时候: 直接将一次项的系数除于2进行配方,②二次项的系数不为“1”的时候: 先提取二次项的系数, 之后的方法同上:（4）公式法: 一元二次方程, 求根公式是:①当时, 方程②当时, 方程③当时, 方程备注: 公式法解方程的步骤:①把方程化成一般形式: 一元二次方程的一般式: , 并确定出、、②求出, 并判断方程解的情况。
③代公式:3.一元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程定的两个根为, 那么：常用变形:练习：【练习1】若是方程的两个根, 试求下列各式的值:(1) ；(2) ；(3) ；(4) .【练习2】已知关于的方程, 根据下列条件, 分别求出的值.(1) 方程两实根的积为5；(2) 方程的两实根满足.4.韦达定理相关知识（1）若一元二次方程有两个实数根, 那么, 。
我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系, 简称韦达定理。
（2）如果一元二次方程的两个根是, 则, 。
（3）在一元二次方程中, 有一根为0, 则；有一根为1, 则；有一根为, 则；若两根互为倒数,则；若两根互为相反数, 则。
5.一元二次方程的应用列方程解应用题的一般步骤是1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位；3.列:列代数式,列方程；4.解:解所列的方程；5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意；6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.常见几种类型:末值=初值×（1+增长率）2 末值=初值×（1—降低率）22）传染问题: （几何级数）传染源: 1个【 每一轮1个可传染给x 个】【前后轮患者数的比例为1: （1+x ）】患者: 第一轮后: 共（1+x ）个第二轮后: 共（1+x ）•（1+x ）, 即（1+x ）2个第三轮后：共（1+x ）•（1+x ）•（1+x ）, 即（1+x ）3个 ……第n 轮后: 共（1+x ）n 个[注意: 上面例举的是传染源为“1”的情况得到的结论。
人教版初中数学中考复习一轮复习——一元二次方程解法及其应用(1)
D 1．(2021·河南) 若方程 x2-2x+m=0没有实数根，则 m的值可以是（ ）
A．-1
B．0
C．1
D． 3
2．（2021•岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+6x+k＝0有两个相等 的实数根，则实数k的值为 k 9．
3．（2021•台州）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，
a 1,b 3, c 4
b2 4ac -3 2 41（- 4） 9 16 25 0
所以方程有两个不等实数根
x b 3 25 3 5
2a
2
2
x1 4, x2 1
考点二：一元二次方程的解法
1x2 3x 4
2x2 6x 7 0
32 x2 4x 5 0
解：a 1,b (k 3),c 1 k
b2 4ac (k 3)2 41 (1 k) k 2 2k 5 k 2 2k 1 4 (k 1)2 4
因为(k 1)2 4 0, 所以方程有两个不等实数根。
考点三：判别式和一元二次方程根的情况
5．（2021•烟台）已知关于x的一元二次方程x2﹣mnx+m+n＝0，其中
考点二：一元二次方程的解法
2.配方法
对应练习： 1x2 4x 1 0
22x2 8x 3 0
12x2 1 3x
22x2 8x 3 0 x2 4x 3 0
2
x2 4x 3 2
x2 4x 4 3 4 2
x22 11 2
x 2 22 2
x1 2
22 ,x 2
变式2．若方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的 取值范围是（a 1且a 0 ）
一元二次方程的应用总复习
2500 2500 （ 1 x） 2500 （ 1 x） 9100
开启
智慧
10.一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一 次手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数 是多少?
解 : 设这次到会的人数为 x, 根据题意 ,得
整理得 :
x 2 x 132 0.
习题探究
• 7.某化肥厂去年五月份生产化肥450t, 从六月份开始，产量因市场关系，逐 月上升，到七月份达到了648t，求六、 七月份平均增长率.
变式训练
• 8.某公司前年缴税40万元，今年缴税 48.4万元.该公司这两年缴税的年平均 增长率为多少？
解：设该公司这两年缴税的年平均增 长率为x，根据题意得，
一、面积问题
• 1.长方形面积= • 2.正方形面积=
长×宽 边长×边长 （上底+下底）×高÷2 边长×边长×边长
• 3.梯形面积=
• 4.正方体体积=
• 5.长方体体积=
长×宽×高
一、面积问题
几何与方程
1. 如图,在一块长92m,宽60m的 矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽 度都相等.水渠把耕地分成面积均 为885m2的6个矩形小块,水渠应挖 多宽.
一元二次方程的应用总复习
复习回顾
• 列一元二次方程解应用题的一般步骤： • 1.审：审清题意；已知什么，求什么，已知未知之间有什 么关系
2.设：设未知数，语句要完整，有单位的要注明单位.
3.列：列代数式，列方程. 4.解：解所列方程 5.验：检验是否是所列方程的根；是否符合题意. 6.答：答也必须是完整语句，注明单位.
解:设如果产量增加15.2%，那么应多种x棵桃树， 根据题意得， （1000-2x)(100+x)=1000×100+1000×100×15.2%
中考数学总复习考点知识讲解课件30---一元二次方程及其应用
C．x2－x＋1＝0
D．x2＝1
百变四：已知方程系数关系，判断方程根的情况 4．(2016·河北)a，b，c为常数，且(a－c)2＞a2＋c2，则关于x的方程ax2 ＋bx＋c＝0的根的情况( ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为0
【解析】 ∵(a－c)2＝a2＋c2－2ac＞a2＋c2，∴ac＜0.∴在方程ax2＋bx＋ c＝0中，b2－4ac≥－4ac＞0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数 根．故选B.
【自主解答】 解：(1)四 x＝ (2)x2－2x－24＝0， 移项，得x2－2x＝24， 配方，得x2－2x＋1＝24＋1， 即(x－1)2＝25， 两边开平方，得x－1＝±5， ∴x1＝6，x2＝－4.
解一元二次方程的注意点
(1)在运用公式法解一元二次方程时，要先把方程化为一般形式，再确定 a，b，c的值，否则易出现符号错误； (2)用因式分解法确定一元二次方程的解时，一定要保证等号的右边化为 0，否则易出现错误； (3)如果一元二次方程的常数项为0，不能在方程两边同时除以含有未知数 的相同因式； (4)对于含有不确定量的方程，需要把求出的解代入原方程检验，避免增 根．
知识点二 一元二次方程的解法
x＝b b2 4ac 2a
知识点三 一元二次方程根的判别式
b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式．判别式 的符号决定了方程根的情况，即
(1)b2－4ac>0⇔方程有两个 _不__相__等__的实数根；
(2)b2－4ac_＝__0⇔方程有两个相等的实数根； (3)b2－4ac<0⇔方程__没__有___实数根．
【分析】由每个月的平均增长率相同，可分别表示二月份和三月份的工业 产值，再结合第一季度总产值为175亿元列方程即可． 【自主解答】由平均每月增长的百分率为x，则二月的工业产值为50(1＋x) 亿元，三月的工业产值为50(1＋x)2 亿元，则根据题意可得方程：50＋ 50(1＋x)＋50(1＋x)2＝175，故选D.
一元二次方程复习课(精品)
一元二次方程复习一、一元二次方程知识点1、一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程2、一元二次方程的解法(1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。
在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，(X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a3、解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法（就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c4、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a ，二根之积=c/a也可以表示为x 1+x 2=-b/a,=c/a 。
利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数， 在题目中很常用 5、一元二次方程根的情况利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为“△”，读作“dei er ta”， 而△=b 2-4ac ，这里可以分为3种情况：I 、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II 、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；￥III 、当△<0时，一元二次方程没有实数根（在这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数根）二、考点研究考点一、概念例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x x B 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
中考总复习数学第3节 一元二次方程及其应用
边的长是方程 x2－8x＋12＝0 的解，则这个三角形的周
长是 17 ．
3. (2020·无锡)解方程：x2＋x－1＝0.
解：x1＝－1＋2
5，x2＝－1－2
5 .
4. (2020·荆州)阅读下列“问题”与“提示”后，将 解方程的过程补充完整，求出 x 的值．
【问题】解方程：x2＋2x＋4 x2＋2x－5＝0. 【提示】可以用“换元法”解方程． 解：设 x2＋2x＝t(t≥0)，则有 x2＋2x＝t2， 原方程可化为：t2＋4t－5＝0. 【续解】
－4ac ＞ 0.即可得到关于 a 的不等式，从而求得 a 的 范围．(2)将 x＝1 代入方程 x2＋2x＋a－2＝0 得到 a
的值，再根据根与系数的关系求出另一根．
【自主作答】(1)b2－4ac＝22－4×1×(a－2)＝12－ 4a＞0，解得 a＜3.
(2)设方程的另一根为 x1，由解的定义及根与系数的 1＋2＋a－2＝0， a＝－1，
关系，得 1×x1＝a－2， 解得 x1＝－3，则 a 的值是 －1，该方程的另一根为－3.
类型3：一元二次方程的应用 ►例3沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产 企业在两年内的销售额从 20 万元增加到 80 万元．设这 两年的销售额的年平均增长率为 x，根据题意可列方程为 () A．20(1＋2x)＝80 B．2×20(1＋x)＝80 C．20(1＋x2)＝80 D．20(1＋x)2＝80
数学 中考总复习
第3节 一元二次方程及其应用
类型1：一元二次方程的解法 ►例1分别用两种不同的方法解下列一元二次方程： (1)x2＋6x＝1； (2)(x－3)2＋4x(x－3)＝0.
分析：公式法是解一元二次方程通用的方法，在运
第二章 一元二次方程复习 讲义
龙文教育学科教师辅导讲义学员姓名： 辅导课目：数学 年级：八年级 学科教师：汪老师 授课日期及时段课 题第二章 一元二次方程复习重点、难点、考点1、一元二次方程的基本概念2、一元二次方程的解法及应用学习目标1、理解一元二次方程的基本概念及其相应的应用2、一元二次方程的解法及其应用教学内容一、知识回顾:1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数。
2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （注意：用直接开平方的方法时要记得取正、负.）（2）配方法：关键化原方程为2()x m n +=的形式 （警告： 用配方法时二次项系数要化1.）（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是221,24(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥.（注意：方程要先化成一般形式.）（4）因式分解法（主要有提取公因式、运用平方差公式、运用完全平方公式、十字相乘法）：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积； ③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.（注意：方程要先化成一般形式.）3．一元二次方程根的判别式: 24b ac ∆=-(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况：①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆=时，方程有两个相等的实数根； ③当0∆<时，方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况； (3)确定字母的值或取值范围。
知识点练习知识一：一元二次方程的概念1、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x 2+1的一般形式是 它的二次项系数是 ； 一次项系数是 ；常数项是 。
一元二次方程专题复习资料
一元二次方程专题复习 知识盘点1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。
2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。
（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；③配方，即方程两边都加上 的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。
如果n ＜0，则原方程 。
（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于 ，得到两个 方程；④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。
3.一元二次方程的根的判别式 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根,即-----=-----=2,1x x（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有两个 的实数根，即-----==21x x ,（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。
4. 一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x ，则12x x += ，12x x =提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。
5. 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步。
中考数学一轮复习专题解析—一元二次方程及其应用
中考数学一轮复习专题解析—一元二次方程及其应用复习目标 1、理解配方法2、会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程； 考点梳理一、一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 它的一般形式为20ax bx c ++=(a ≠0)．例1．下列是一元二次方程的有（ ）个．①240x =；②()200++=≠ax bx c a ；③223(1)32x x x -=+；④2120x -=． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【分析】一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．进而可以判断． 【详解】解：①240x =，是一元二次方程；②()200++=≠ax bx c a ，是一元二次方程；③223(1)32x x x -=+，整理得830x -=，是一元一次方程，不是一元一次方程； ④2120x -=，不是整式方程，不是一元二次方程；综上，是一元二次方程的是①②，共2个， 故选：B ．二、一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成2x m =的形式，当m ＞0时，方程的解为x =；当m ＝0时，方程的解1,20x =；当m ＜0时，方程没有实数解．（2）配方法：通过配方把一元二次方程20ax bx c ++=变形为222424b b ac x a a -⎛⎫+=⎪⎝⎭的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac -≥时，它的解为x =．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．注意：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．例2．关于x 的一元二次方程21x =的根是（ ） A ．1x = B ．11x =，21x =- C ．1x =- D ．121x x ==【答案】B 【分析】利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵x 2=1， ∴x 1=1，x 2=-1， 故选：B ．三、一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为ac 4b 2-=∆．△>0⇔方程有两个不相等的实数根； △＝0⇔方程有两个相等的实数根； △<0⇔方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． 注意： △≥0⇔方程有实数根.例3．一元二次方程2310x x --=的根的情况为（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根【答案】B 【分析】计算出一元二次方程根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】∵a =1，b =－3，c =－1∴224(3)41(1)130b ac ∆=-=--⨯⨯-=>∴一元二次方程2310x x --=有两个不相等的实数根 故选：B.四、一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x 、，那么acx x a b x x 2121=⋅-=+，．例4．方程22x －5x ＋m ＝0没有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞258B ．m ＜258C ．m ≤258D ．m ≥258【答案】A 【分析】利用判别式的意义得到△＝（-5）2﹣4×2m <0，然后解关于m 的不等式即可． 【详解】解：∵方程22x －5x ＋m ＝0没有实数根， ∴△＝（-5）2﹣4×2m <0， 解得m>258． 故选：A ．1．（2022·福建省福州杨桥中学九年级开学考试）方程()50x x -=的根是（ ） A ．5 B ．-5，5C ．0，-5D ．0，5【答案】D 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵x （x －5）＝0∴x ＝0或x －5＝0， ∴10x =，25x =． 故选D ．2．（2022·福建省福州延安中学九年级开学考试）若0x =是一元二次方程2240x b ++-=的一个根，则b 的值是（ ）A ．2B ．2-C ．2±D ．4【答案】A 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把0x =代入2240x b ++-=得240b -=，然后解关于b 的方程即可． 【详解】解：把x =0代入2240x b ++-=得b 2-4=0， 解得b =±2， ∵b -1≥0， ∴b ≥1， ∴b =2． 故选：A ．3．（2022·云南师范大学实验中学九年级期末）如图，用长为20m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC 上用其他材料做了宽为1m 的两扇小门．若花圃的面积刚好为240m ，设AB 长为x m ，则可列方程为（ ）A ．()22340x x -=B ．()20240x x -=C ．()18340x x -=D ．()20340x x -=【答案】A 【分析】设AB =x 米，则BC =（20-3x +2）米，根据围成的花圃的面积刚好为40平方米，即可得出关于x 的一元二次方程． 【详解】解：设AB =x 米，则BC =（20-3x +2）米=（22-3x ）米， 依题意，得：x （22-3x ）=40， 故选A ．4．（2022·蒙城县第六中学九年级开学考试）国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ．则可列方程为（ ） A ．()5000127500x += B ．()5000217500x ⨯+= C ．()2500017500x +=D ．()()2500050001500017500x x ++++= 【答案】C 【分析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，根据增长率的定义即可列出一元二次方程． 【详解】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ， ∵2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元， 即2019年我国快递业务收入为7500亿元， ∴可列方程：()2500017500x +=， 故选：C ．5．（2022·厦门海沧实验中学九年级开学考试）判断关于x 的方程()2110kx k x -++=（k 是常数，1k <）的根的情况（ ）A ．存在一个k ，使得方程只有一个实数根B ．无实数根C ．一定有两个不相等的实数根D ．一定有两个相等的实数根【答案】A 【分析】当k =0时，可求出方程的根；k ≠0时，利用，Δ=[-（k +1）]2-4k =（k -1）2＞0即可判断原方程有实数根． 【详解】 解：∵k ＜1，∴当k =0时，原方程为-x +1=0， 解得：x =1；当k ≠0时，Δ=[-（k +1）]2-4k =（k -1）2＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根，故选：A．6．（2022·厦门海沧实验中学九年级开学考试）为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，某市今年第一季度进行宣传准备工作，从第二季度开始到今年年底全市全面实现垃圾分类．已知该市一共有285个社区，第二季度已有60个社区实现垃圾分类，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（）A．()2x601285-=x+=B．()2601285C．()()2+++=D．()()2 601601285x x++++=60601601285x x【答案】D【分析】设第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，则第三季度有60（1+x）个社区实现垃圾分类，第四季度有60（1+x）2个社区实现垃圾分类，根据年底全市共285个社区实现垃圾分类，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，则第三季度有60（1+x）个社区实现垃圾分类，第四季度有60（1+x）2个社区实现垃圾分类，依题意得：60+60（1+x）+60（1+x）2=285．故选：D．7．（2022·深圳市新华中学九年级期末）已知关于x的一元二次方程230+-=x x c没有实数根，即实数c的取值范围是________．【答案】94c <- 【分析】根据题意可知，判别式∆<0，求解即可． 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴2340c =+<，解得94c <-故答案为94c <-8．（2022·全国九年级课时练习）已知关于x 的一元二次方程2(21)20ax a x a +++-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是______． 【答案】112a >-且0a ≠ 【分析】根据一元二次方程的定义，以及根的判别式确定a 的取值范围即可． 【详解】根据题意得0a ≠且2Δ(21)4(2)0a a a =+-->， 解得112a >-且0a ≠． 故答案为：112a >-且0a ≠． 9．（2022·山东省青岛第二十六中学九年级期中）解下列方程： （1）2x 2+7x +3=0（用配方法）． （2）5（x +3）2=x 2﹣9．【答案】（1）12132x x =-=-，；（2）x 1=−3，x 2=−92． 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1）方程整理得：27322x x +=-，配方得：22277372424x x ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2725416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，开方得：7544x +=±，解得：12132x x =-=-，； （2）∵5(x +3)2=(x +3) (x -3)， ∴5(x +3)2-(x +3) (x -3)=0， ∴(x +3) [5(x +3)-(x -3)]=0， 即(x +3) (4x +18)=0， ∴x 1=−3，x 2=−92．10．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）某玩具商店以每件50元为成本购进一批新型玩具，以每件80元的价格销售则每天可卖出20件，为了扩大销售，增加盈利，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件玩具每降价1元，则每天可多卖2件．（1）若商店打算每天盈利750元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件玩具的售价应定为多少元？最多？最多盈利多少元？【答案】（1）65元；（2）每件玩具的售价定为70元时，商店每天盈利最多，最多盈利为800元【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出相应的方程，然后求解即可，注意又要使顾客得到更多的实惠，也就是售价越低越好；（2）根据题意，可以写出利润和售价之间的函数关系，然后根据二次函数的性质解答即可．【详解】解：（1）设每件玩具的售价为a元，由题意可得，（a﹣50）[20＋2（80﹣a）]＝750，解得a1＝65，a2＝75，∵要使顾客得到更多的实惠，∴a＝65，答：商店打算每天盈利750元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件玩具的售价应定为65元；（2）设每件玩具的售价定为x元，商店每天盈利为w元，由题意可得，w＝（x﹣50）[20＋2（80﹣x）]＝﹣2（x﹣70）2＋800，∵a＝﹣2，∴该函数开口向下，有最大值，∴当x＝70时，该函数取得最大值，此时w＝800，最多盈利为800元．。
专题08一元二次方程及其应用(知识点总结例题讲解)-2021届中考数学一轮复习
中考数学专题 08 一元二次方程及其应用（知识点总结+例题讲解）一、一元二次方程有关概念：1.一元二次方程定义：只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程；2.一般形式：ax2+bx+c=0；(其中 a、b、c 为常数，a≠0)（1）其中 ax2、bx、c 分别叫做二次项、一次项和常数项；（2）a、b 分别称为二次项系数和一次项系数；（3）二次项系数：a≠0；（当 a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程）3.一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程（等号两边都是整式）；（2）必须只含有 1 个未知数；（3）所含未知数的最高次数是 2；4.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解；一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
【例题1】（2020 秋•奉贤区期末）下列各方程中，一定是一元二次方程的是（）A．1 + 1 −2 = 0 B．ax2+bx+c＝0x2 xC．（x﹣2）2＝2（x﹣2）D．x2+2y＝3【答案】C【解析】利用一元二次方程定义进行解答即可．解：A、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、当 a＝0 时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、是一元二次方程，故此选项符合题意；= D 、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：C ．【变式练习 1】（2020 秋•丹阳市期末）关于 x 的方程（m+1）x 2+2mx ﹣3＝0 是一元二次方程，则（ ）A ．m≠±1B ．m ＝1C ．m≠1D ．m≠﹣1【答案】D【解析】根据一元二次方程定义可得 m+1≠0，再解可得答案． 解：由题意得：m+1≠0，解得：m≠﹣1；故选：D ．【例题 2】（2020 秋•郫都区期末）若 x ＝m 是方程 x 2+x ﹣1＝0 的根，则 m 2+m+2020 的值为（）A ．2022B ．2021C ．2019D ．2018【答案】B【解析】把 x ＝m 代入已知方程，可以求得 m 2+m ＝1，然后整体代入所求的代数式求值即可．解：∵x＝m 是方程 x 2+x ﹣1＝0 的根，∴m 2+m ﹣1＝0，∴m 2+m ＝1，∴m 2+m+2020＝1+2020＝2021．故选：B ．【变式练习 2】设 m 是方程 x 2﹣3x+1＝0 的一个实数根，则m 4+m 2+18 ． m 2【答案】8【解析】利用一元二次方程的解的意义得到 m 2﹣3m+1＝0，两边除以 m 得到 m + 1=3，m再把原式变形得到原式＝m 2+1+ 1m 2=（m + 1 ）2﹣2+1，然后利用整体代入的方法计算． m解：∵m 是方程 x 2﹣3x+1＝0 的一个实数根，∴m 2﹣3m+1＝0，∴m + 1 =3，∴原式＝m 2+1+ 1 ＝（m + 1）2﹣2+1＝9﹣2+1＝8．mm 2mq b 4ac ≥0 二、一元二次方程的解法：1.解一元二次方程的基本思想：转化思想，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解；2.常用方法：（1）直接开平方法：适用形式：x 2=p(p≥0)，(x+n)2=p 或(mx+n)2=p(p≥0)的方程；（2）配方法：套用公式 a 2+2ab+b 2=(a+b)2；a 2-2ab+b 2=(a-b)2将一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)配方为(x+m)2=n 的形式，再用直接开平方法求解； 配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①将已知方程化为一般形式；②化二次项系数为 1；③常数项移到右边；④方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； 变形为(x+p)2=q 的形式：如果 q≥0，方程的根是 x=-p± ；如果 q ＜0，方程无实根；（3）公式法：利用求根公式 x = -b ±∆ = 2 -)解一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a≠0)； 2a（4）因式分解法：将一元二次方程通过分解因式变为(x-a)(x-b)=0 的形式；进而得到 x-a=0 或 x-b=0 来求解； 3.方法选择技巧：（1）若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为 0，可考虑用因式分解法求解；（2）若一元二次方程缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；（3）若一元二次方程的二次项系数为 1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解；（4）若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解。
《一元二次方程》全章复习
《一元二次方程》全章复习1． 一元二次方程的有关概念2． 配方法的应用3． 根判别式，根与系数的关系4． 一元二次方程的解法：1）直接开平方法 2)因式分解法 3）配方法 4）公式法5． 实际问题：1）传播与数字问题 2）增长率与销售问题 3）有关面积的问题【巩固练习】1.下列方程是一元二次方程的是（ ） A.211x x x-=+ B.224x xy y -+= C.20ax bx c +=+ D.(x 1)1x x -=- 2.在一元二次方程2410x x --=中，二次项系数和一次项系数分别为（ ）A.1，4B.1，-4C.-1，-4D.2,4x x -3.在一元二次方程260x kx --=中，已知一个根为3x =，则实数k 的值为（ ）A.1B.-1C.2D.-24.关于x 的一元二次方程22(a 1)10x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）A.1B.-1C.1或-1D.12 5.若关于x 的一元二次方程220x x m -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A.m <1B.m > -1C.m < -1D.m > 16. 若关于x 的方程2(m 1)02x m mx +-+=有两个不等的实数根，则m 的取值范围是7. 已知2410x x a +=-可变为2(2)x b -的形式，则ab=8. 若关于x 的方程2(2)10x x m m +++=-有两个相等的实数根，则m=9.已知一个矩形长比宽多2cm ，其面积为82cm ，则此长方形的周长是10. 若方程2310x x b +=+无解，则b 应满足的条件是11. 若关于x 的方程22(21)20k x x k -+-+=+有实数根，则k 的取值范围是 12. 若分式2817x x x -+-的值为0，则x= 13. 关于x 的方程22202x x a b a +-=+的根是14. 若关于x 的方程260x x k +=+的两根之差为2，则k=15. 已知关于x 的方程22(31)0x x m m --+=有两根为12,x x ，且121134x x +=-，则m= 16.用恰当的方法解下列方程： （1）21(3)13x += （2）2(21)2(2x 1)x +=+（3）(x 8)16x += （4）2280x x +-=（5）22(32)(2x 1)x +=- （5）2(21)4(21)40y y +-++=17.已知,αβ是方程2250x x +-=的两个实数根，求22ααβα++的值18.已知12,x x 是方程2214160x x +-=的两个实数根，求下列代数式的值，（1）212()x x - （2）2112x x x x + （3）12(2)(2)x x -- （4）12x x -19.已知关于x 的方程222(a 1)740x x a a +-+--=的两根为12,x x ，且满足12123340x x x x --+=，求a 的值20.实数k 在什么范围取值时，方程22(k 1)0kx kx -+-=有两个正的实数根21.若关于x 的方程2430x x k -+-=的两根为12,x x ，且满足123x x =，试求出方程的两个实数根及k 的值23.若n > 0，关于x 的方程21(m 2n)04x x mn --+=有两个相等的正的实数根，求m n24.如果2246130x x y y -++=，求(xy)z25.水果店花500元进了一批水果，按40%的利润定价，无人购买．决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利67元．若两次打折相同，每次打了几折？26.如图，在△ABC中，AB=10m，BC= 40m，∠C=90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着CB匀速移动，几秒时，△PCQ的面积等于450m2?25.某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为_________ 万元；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）。
中考数学总复习之一元二次方程及应用 课件
B．难题突破 8．(2020·临沂)一元二次方程 x2－4x－8＝0 的 解是( B ) A．x1＝－2＋2 3，x2＝－2－2 3 B．x1＝2＋2 3，x2＝2－2 3 C．x1＝2＋2 2，x2＝2－2 2 D．x1＝2 3，x2＝－2 3
9．(2020·通辽)关于 x 的方程 kx2－6x＋9＝0 有 实数根，k 的取值范围是( D )
(2)当 Δ＝0 时，原方程有 C．7x2－14x＋7＝0
两个相等的实数根； D．x2－7x＝－5x＋3
(3)当 Δ<0 时，原方程没
有实数根.
4.一元二次方程根与系 4.若方程 x2－5x＋2＝0
数的关系：
的两个根分别为 x1，x2，
若一元二次方程 ax2＋bx 则 x1＋x2－x1x2 的值为
答：预计4月份平均日产量为26 620个．
A．夯实基础
1．(2018·柳州)一元二次方程x2－9＝0的解是
_x_1＝__3_，__x_2_＝__－__3_．
2．(2017·广东)如果x＝2是方程x2－3x＋k＝0
的一个根，则常数k的值为( B )
A．1
B．2
C．－1
D．－2
3．(2020·邵阳)设方程 x2－3x＋2＝0 的两根分
A．1
B．－3
C．3
D．－4
2．(2020·常州)若关于x的方程x2＋ax－2＝0有 一个根是1，则a＝______1__．
3．(2020·扬州)方程(x＋1)2＝9的根是 __x_1＝__2_，__x_2_＝__－__4__．
4．(2020·齐齐哈尔)解方程：x2－5x＋6＝0.
解：因式分解，得(x－2)(x－3)＝0 于是得x－2＝0或者x－3＝0， x1＝2，x2＝3.
《一元二次方程及应用》复习(面向中考)
明
考点1
确
考
点
一元二次方程的概念
1.概念：能够整理成右端为0，左边是只含一个未 知数，并且未知数的最高次幂是2的二次多项式， 这样的方程称为一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式是：
y=ax² +bx+c(其中a，b，c为常数，且a≠0)
.
准确理解概念须知： ①必须通过整理后判断是否为一元二次方程.
x1 x2 =
-b ， x x = 1 2
c
.
考点5
一元二次方程的应用
常见数量关系： 1.增长率问题：设基础量为a，平均增长率(或下 降率)为x，n次增长(或下降)后的量为b， n a (1 ± x ) 则 =b. 2.利率问题：利息= 本金×利率×期数 .
3.利润问题： ①利润=进价×利润率 ②总利润=一件利润×数量 ③总利润=销售总价-全部成本 ④总利润=（售价-进价）×数量
解析：先根据四边形APCQ的面积=△ABC的面积-△ABC
的面积，列出方程，再根据解的情况作出判断.
解 ∵∠B=90°，AC=10，BC=6，∴AB=8.
∴BQ=x，PB=8-2x;
假设存在x的值,使得四边形APCQ的面积等于16m² ，则
1 1 68 x 8 2 x 16. 2 2 整理得：x² -4x+8=0
2x y 3
互为相反数，
（ A ） D.9
6.（2017•滨州）根据要求，解答下列问题 ：
(1)解下列方程(直接写出方程的解即可) ①方程x² -2x+1=0的解为 x1=x2=1 ； ②方程x² -3x+2=0的解为 x1=1，x2=2 ； ③方程x² -4x+3=0的解为 x1=1，x2=3 ； …… …… (2)根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： ①方程x² -9x+8=0的解为 x1=1，x2=8 ； -(n+1)9x+n=0 的解为x1=1，x2=n. ②方程 x² (3)请用配方法解方程x² -9x+8=0，以验证猜想的结果.
2022年中考数学专题复习(一元二次方程及其应用)
－3＜x1＜－1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为．
5.（2021·海南）用配方法解方程x2－6x＋5＝0，配方后所得的方程是（ ）
A．（x＋3）2＝－4B．（x－3）2＝－4C．（x＋3）2＝4D．（x－3）2＝4
11.（2021·河南）若方程x2﹣2x＋m＝0没有实数根，则m的值可以是（ ）
A．－1B．0C．1D．
12.（2021·泰安）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x＋k﹣2＝0有两个不相等
的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣ B．k＜ C．k＞﹣ 且k≠0D．k＜ 且k≠0
13.（2021·怀化）对于一元二次方程2x2－3x＋4＝0，则它根的情况为（ ）
23.（2020·济南）如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为米.
24.（2021·山西）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
9.（2021·通辽）关于x的一元二次方程x2－（k－3）x－k＋1＝0的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
10.（2021·吉林）若关于x的一元二次方程x2＋3x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为.
19.（2021·永州）若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则x1＋x2＝ ，x1x2＝ .现已知一元二次方程px2＋2x＋q＝0的两根分别为m，n.
2023中考一轮复习：一元二次方程及其应用
考点05一元二次方程及其应用【命题趋势】一元二次方程这个考点是中考数学，特别是几何数学中计算的基础，像二次函数以及相似的问题中，经常需要用到解一元二次方程，其根的判别式以及韦达定理也经常在二次函数图形问题中占据重要地位。
但是，在浙江中考中，一元二次方程单独出题的几率却不是很大，单独出题时，也常以选择或者填空题考察其简单应用，偶尔会在简答题17题出一元二次方程的求解问题，综合题出一元二次方程则基本是和其他知识点结合在22题统一考察。
单独出题在一张试卷里占分并不大。
【中考考查重点】一、一元二次方程及其解法二、一元二次方程根的判别式三、一元二次方程根与系数的关系四、一元二次方程的简单应用考向一：一元二次方程及其解法1.一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 判断一元二次方程的特征：是整式方程③次未知数的最高次数是②只含有一个未知数①.2..2.一元二次方程的解法：1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（）A ．1﹣x ＝3xB ．ax 2+bx +c ＝0C ．x 2﹣2x ﹣1＝x 2D ．（x ﹣2）2+1＝02．已知关于x 的一元二次方程（a ﹣3）x 2﹣2x +a 2﹣9＝0的常数项是0，则a ＝，方程的根为．3．用配方法解一元二次方程x 2﹣x ＝0，配方后的方程为（）A ．（x ﹣）2＝B ．（x +）2＝C ．（x ﹣9）2＝62D ．（x +9）2＝624．方程（5x ﹣1）2＝3（5x ﹣1）的解是．5．方程7x 2﹣6x ﹣5＝0的解为．6．用适当的方法解下列方程：（1）（x ﹣1）2＝9；（2）x 2+4x ﹣1＝0．（3）3（x ﹣5）2＝4（5﹣x ）．（4）x 2﹣4x +10＝0．2考向二：一元二次方程根的判别式对于一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，(1)042＞ac b -方程有两个不相等的实数根(2)042=-ac b 方程有两个相等的实数根(3)42＜ac b -方程没有实数根【易错警示】【同步练习】1．如果关于x 的一元二次方程x 2﹣8x +2k ＝0有两个不相等的实数根，那么实数k 的取值范围是（）A ．k ≤8B ．k ＜8C ．k ≥8D ．k ＞82．若一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的系数满足ac ＜0，则方程根的情况是（）A ．没有实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法判断3．下列一元二次方程中有两个相等实数根的是（）A ．x 2﹣8＝0B ．x 2﹣4x +4＝0C ．2x 2+3＝0D ．x 2﹣2x ﹣1＝04．如果关于x 的方程ax 2+2x +3＝0有两个相等的实数根，那么a ＝．5．已知关于x 的一元二次方程（a ﹣3）x 2﹣4x +3＝0，若方程有实数根，求满足条件的正整数a 的值．6．求证：无论m 取任何实数，关于x 的方程mx 2﹣（3m ﹣1）x +2m ﹣2＝0恒有实数根．考向三：一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为21x x 、，则有a b x x -21=+，ac x x =∙21【同步练习】1．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣kx +k ﹣3＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，且x 12+x 22＝5，则k 的值是（）A ．﹣2B ．2C ．﹣1D ．12．如果方程x 2﹣x ﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（）A ．7B ．6C ．﹣2D ．03．若x 1，x 2是方程x 2﹣4x ﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x 12﹣2x 1+2x 2的值等于（）A ．2020B ．2019C ．2029D ．20284．若a 、b 为方程x 2﹣2x ﹣5＝0的两个不相等的实数根，则+的值为．5．已知关于x 的一元二次方程x 2+2mx +m 2+m ＝0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x 1、x 2，且x 12+x 22＝12，求m 的值．考向四：一元二次方程的实际应用列方程解应用题的一般步骤：【同步练习】1．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确是（）A．x+x（1+x）＝81B．1+x+x2＝81C．1+x+x（1+x）＝81D．x（1+x）＝812．如图是一个长20cm，宽15cm的矩形图案，其中有两条宽度相等，互相垂直的彩条，彩条所占面积是图案面积的，设彩条的宽度为xcm，则下列方程正确的是（）A．B．C．D．3．永德利商场某书包原价144元，连续两次降价a%后售价为81元，下列所列方程正确的是（）A．144（1+a%）2＝81B．144（1﹣a%）2＝81C．144（1﹣2a%）2＝81D．144（1﹣a2%）2＝814．某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？（1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程：．小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程：．（2）请写出一种完整的解答过程．5．某学校为美化校园，准备在长35米，宽20米的长方形场地上，修建若干条宽度相同的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与方案设计，现有3位同学各设计了一种方案，图纸分别如图1、图2和图3所示（阴影部分为草坪）．请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程不解．①甲方案设计图纸为图1，设计草坪的总面积为600平方米．②乙方案设计图纸为图2，设计草坪的总面积为600平方米．③丙方案设计图纸为图3，设计草坪的总面积为540平方米．1．（2021秋•越秀区校级期中）方程4x2﹣3x﹣2＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．4，3，2B．4，﹣3，2C．4，﹣3，﹣2D．4，3，﹣22．（2021秋•越秀区校级期中）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2018的值为（）A．2018B．2019C．2020D．20213．（2021秋•天津期中）用配方法解方程x2+8x+3＝0，正确的变形为（）A．（x﹣4）2＝13B．（x+4）2＝5C．（x+4）2＝13D．（x+4）2＝﹣54．（2021秋•兴平市期中）若关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是（）A．m＞﹣4B．m＞4C．m≤﹣4D．m＜45．（2021秋•偃师市月考）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有（）个班级．A．8B．9C．10D．116．（2021秋•常州期中）中秋佳节前某月饼店7月份的销售额是2万元，9月份的销售额是4.5万元，从7月份到9月份，该店销售额平均每月的增长率是（）A．20%B．25%C．50%D．62.5%7．（2021秋•温岭市期中）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则﹣6m2+9m﹣13的值为（）A．﹣16B．﹣13C．﹣10D．﹣88．（2021春•西城区校级期中）已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x﹣3）2＝4的根，则此三角形的周长为（）A．17B．11C．15D．11或159．（2021春•永嘉县校级期末）方程x2﹣25＝0的解为．10．（2021秋•江岸区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两根α，β．若＝1，则m的值为（）A．3B．﹣1C．3或﹣1D．11．（2021秋•奉贤区校级期中）方程的根的情况是．12．（2014秋•东西湖区校级期末）某校准备组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，共有多少个队参加？设有x个队参赛，则所列方程为．13．用合适的方法解下列方程（1）36x2＝81．（2）3x2﹣10x+6＝0；（3）（x﹣3）2﹣2（x+1）＝x﹣7．14．（2021秋•玉田县期中）卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”．如果某镇有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有144人成为新冠肺炎病毒的携带者．（1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？请先写出结论，再说明理由；（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？1.（2021·浙江丽水）用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣2）2＝5B．（x﹣2）2＝3C．（x+2）2＝5D．（x+2）2＝32.（2021·浙江台州）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞2B．m＜2C．m＞4D．m＜43.（2021·浙江舟山）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：小敏：两边同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，则x＝6．小霞：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝0．你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．4.（2021·浙江湖州）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：购票方式甲乙丙可游玩景点A B A和B门票价格100元/人80元/人160元/人据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？1.（2020•绍兴月考）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣3）2＝17B．（x﹣3）2＝14C．（x﹣6）2＝44D．（x﹣3）2＝12.（2021•莲都区校级模拟）不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无实数根3.（2021•吴兴区二模）关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+m2＝0有实数根，则m的最小整数值为（）A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣34.（2021•余杭区一模）某市2017年年底自然保护区覆盖率为8%，经过两年努力，该市2019年年底自然保护区覆盖率达到9%，求该市这两年自然保护区面积的平均增长率．设年均增长率为x，可列方程为（）A．9%（1﹣x）2＝8%B．8%（1﹣x）2＝9%C．9%（1+x）2＝8%D．8%（1+x）2＝9%5.（2021•嘉善县一模）若关于x的一元二次方程mx2+（2m﹣1）x+m﹣＝0有实数根，则m的取值范围是．6.（2021•嘉善县一模）新能源汽车节能环保，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌相继投放市场．某地2018年新能源汽车的销售量为50.7万辆，销售量逐年增加，到2020年为125.6万辆．若年增长率x不变，则x的值是多少？根据题意可列方程为．7.（2021•南浔区模拟）设x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则4x12+4x1﹣2x2的值为．8．（2021秋•西城区校级期中）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，若设平均每次降价的百分率为x，则由题意可列方程为，可得x＝．9．（2021秋•西城区校级期中）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2，求道路的宽是多少m？10．（2021秋•奉贤区校级期中）某单位组织员工前往九棵树艺术中心欣赏上海说唱《金铃塔》的表演．表演前，主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米呢？11。
完整版一元二次方程知识点总结和例题复习
知识框架 知识点总结：一兀二次方程4. 一元二次方程的解法(1) 直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如 (X 可知，X a 是b 的平方根，当 b<0时，方程没有实数根。
(2) 配方法 配方法是一种重要的数学方法，2a) b 的一元二次方程。
根据平方根的定义b 0 时，X a4b , X a J b ，当它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式2 2 2a 2ab b (a b)，把公式中的a 看做未知数x ，并用x X 2 2bx b 2(x b)2。
配方法解一元二次方程的一般步骤： 现将已知方程化为一般形式；代替，则有 化二次项系知识点、概念总结 1. 一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元) ，并且未知 数的最高次数是 2 (二次)的方程，叫做一元二次方程。
2. 一元二次方程有四个特点：(1) 含有一个未知数； (2) 且未知数次数最高次数是 2; (3) 是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整 式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a 丰0)的形 式，则这个方程就为一元二次方程。
(4 )将方程化为一般形式： 3. 一元二次方程的一般形式 过整理，？都能化成如下形式 一个一元二次方程经过整理化成 是二次项系数；bx 是一次项， 2ax +bx+c=0时，应满足( :一般地，任何一个关于 X 2ax +bx+c=0 (aM 0)。
2ax +bx+c=0 (a 丰 0)后，b 是一次项系数；a 丰0) 的一元二次方程，经其中ax 2是二次项,c 是常数项。
数为1;常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边 配成一个完全平方式；变形为 (X+P) 2=q 的形式，如果q > 0，方程的根是x=-p ±V q ;如果qv 0,方程无实根.(3) 公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法， 方法。
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一元二次方程及其应用
考点2 一元二次方程的四种解法
直接 开平 方法
适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2 形式的
方程
因式 分解 法
基本思想 方法规律
把方程化成ab＝0的形式，得a＝0或b＝0
常用的方法主要运用提公因式法、平方差 公式、完全平方公式型因式分解
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一元二次方程及其应用
定义
通过配成完全平方的形式解一元二次方 程
配方 法
①化二次项系数为1；②把常数项移到 配方法 方程的另一边；③在方程两边同时加上 解方程 一次项系数一半的平方；④把方程整理
的步骤 成(x＋a)2＝b的形式；⑤运用直接开平
方解方程
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一元二次方程及其应用
探究四 (选讲)一元二次方程根与系数的关系
命题角度： 1．利用根与系数的关系计算两根之和与两根之积； 2．利用根与系数的关系求有关两根的代数式的值； 3．利用根与系数的关系求方程中未知系数的值．
例4 [2013·荆州] 已知：关于x的方程kx2－(3k－1)x＋ 2(k－1)＝0.
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例1 [2013·牡丹江] 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋5 ＝0(a≠0)的解是x＝1，则2013－a－b的值是( A )
A．2018 B．2008 C．2014 D．2012
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一元二次方程及其应用
解 析 ∵x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋5＝0的一个 根， ∴a·12＋b·1＋5＝0，∴a＋b＝－5， ∴2013－a－b＝2013－(a＋b)＝2013－(－5)＝2018.
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一元二次方程及其应用
探究二 一元二次方程的解法
命题角度： 1．直接开平方法； 2．配方法； 3．公式法； 4．因式分解法．
例2 解方程：2x－3＝3xx－3.
解 析 可用因式分解法或公式法．
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一元二次方程及其应用
均下降率时，则a(1－m)n＝b
(1)本息和＝本金＋利息(2)利息＝本金 ×利率×期数
(1)毛利润＝售出价－进货价(2)纯利润 ＝售出价－进货价－其他费用(3)利润率
＝利润÷进货价
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一元二次方程及其应用
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探究一
一元二次方程的有关概念
命题角度： 1．一元二次方程的概念； 2．一元二次方程的一般式； 3．一元二次方程的解的概念．
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一元二次方程及其应用
利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含 未知数的因式(如例2)时，不能随便先约去这个因式， 因为如果约去则是默认这个因式不为零，那么如果此 因式可以为零，则方程会失去一个根，出现漏根错 误．所以应通过移项，提取公因式的方法求解．
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解
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解法一(因式分解法)：(x－3)(2－3x)＝0， x－3＝0 或 2－3x＝0，
所以 x1＝3，x2＝32. 解法二(公式法)： 2x－6＝3x2－9x， 3x2－11x＋6＝0， a＝3，b＝－11，c＝6， b2－4ac＝121－72＝49，
x＝112±×349，
∴x1＝3，x2＝23.
舍去． 答：她购买了 20 件这种服装．
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一元二次方程解法多
教材母题 北师大版九上P56例2
解方程：3x2＋8x－3＝0. 解：两边都除以 3，得 x2＋83x－1＝0. 移项，得 x2＋83x＝1. 配方，得
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例5 [2013·淮安]小丽为校合唱队购买某种服装时，商 店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件， 单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件， 购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50 元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200 元．请问她购买了多少件这种服装？
1± 5－2k. ∵方程的解为整数，∴5－2k 为完全平方数， 则 k 的值为 2.
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一元二次方程及其应用
(1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别 式Δ ＝b2－4ac的值，看它是否大于0.因此，在计算 前应先将方程化为一般式．
(2)注意二次项系数不为零这个隐含条件．
一元二次方程及其应用
一元二次方程及其应用
考点聚焦
考点1 一元二次方程的概念及一般形式
含有___一_____个未知数，并且未知数的最高次 数是____2____的整式方程．
一般形式：__a_x_2_＋__b_x_＋__c_＝__0_(_a_≠_0_) _． 注意：在一元二次方程的一般形式中要注意强
调a≠0.
一元二次方程及其应用
解
(1)证明：①当 k＝0 时，方程是一元一次方程，有实数根；
②当 k≠0 时，方程是一元二次方程，
∵Δ＝(3k－1)2－4k×2(k－1)＝(k－1)2≥0，
∴无论 k 为何实数，方程总有实数根．
(2)∵此方程有两个实数根 x1，x2，
∴x1＋x2＝3k－k 1，x1x2＝2（k－k 1）.
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一元二次方程及其应用
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0, 且 b2
求根公式
－4ac≥0 时，则 x1,2＝
－b± b2－4ac
公式
_____2_a_____
法
(1)将方程化成 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
公式法解方程 的一般步骤
的形式；(2)确定 a，b，c 的值；(3) 若 b2－4ac≥0，则代入求根公式，得 x1，x2；若 b2－4ac<0，则方程无实数
1．解方程：(x－3)2－9＝0
解
(x－3)2＝9，x－3＝±3，
∴x1＝0，x2＝6.
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一元二次方程及其应用
2．解方程：x2＋4x－2＝0.
解
∵b2－4ac＝42－4×1×(－2)＝24，
∴x＝－42±×124＝－4±22 6＝－2± 6 ，
即 x1＝－2－ 6，x2＝－2＋ 6.
一元二次方程及其应用
x2＋83x＋432＝1＋432， x＋432＝295. 两边同时开平方，得 x＋43＝±53， 即 x＋43＝53或 x＋34＝－53. 所以 x1＝31，x2＝－3.
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一元二次方程及其应用
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(1)求证：无论k为何实数，方程总有实数根； (2)若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1－x2|＝2，求k
的值
一元二次方程及其应用
解 析 (1)确定判别式的范围即可得出结论； (2)根据根与系数的关系表示出x1＋x2，x1x2，继而根 据题意可得出方程，解出即可．
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一元二次方程及其应用
解 析 根据一次性购买多于10件，那么每增加1件， 购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单 价，进而得出方程，解出即可．
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一元二次方程及其应用
解 设购买了 x 件这种服装，根据题意得出： [80－2(x－10)]x＝1200， 解得 x1＝20，x2＝30， 当 x＝30 时，80－2(30－10)＝40＜50，不合题意，
∵|x1－x2|＝2， ∴(x1－x2)2＝4， ∴(x1＋x2)2－4x1x2＝4，
即9k2－k62k＋1－4×2（k－k 1）＝4，
解得 k＝1 或 k＝－13.
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一元二次方程及其应用
探究五
一元二次方程的应用
命题角度： 1．用一元二次方程解决变化率问题； 2．用一元二次方程解决商品销售问题．
根 关系
数根；
的
(3)b2－4ac<0⇔方程__没_有_____实数根
判 别 式
防错提 醒
在使用根的判别式解决问题时，如果 二次项系数中含有字母，要加上二次
项系数不为零这个限制条件
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一元二次方程及其应用
考点4 〈选学〉一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根为 x1， x2，则 x1＋x2＝－ab，x1x2＝ac.
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一元二次方程及其应用
探究三 一元二次方程根的判别式
命题角度： 1．判别一元二次方程根的情况； 2．求一元二次方程字母系数的取值范围．
例3 [2013·北京] 已知关于x的一元二次方 程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围； (2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k
误区警示：利用一元二次方程根与系数的关 系时，要注意判别式Δ ≥0.
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考点5 一元二次方程的应用
应用类型 增长率问题 利率问题 销售利润问题
等量关系