一元二次方程及其应用复习

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一元二次方程专题复习

一元二次方程专题复习（一）直接开平方法→配方法要点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程x 2-7x-1＝0．【答案与解析】将方程变形为x 2-7x ＝1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x 2-7x+＝1+，所以有＝1+．直接开平方，得x-＝或x-＝-．所以原方程的根为x ＝+或x ＝-．【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行： (1)把形如ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的方程中二次项的系数化为1； (2)把常数项移到方程的右边；2222()a ab b a b ±+=±(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n ≥0)的方程； (4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2＝0； (2)x 2+6x+8＝0.要点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，一定要学好．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式，，则的值（）A ．一定是负数B ．一定是正数C ．一定不是负数D ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.221078Ma b a =+-+2251N a b a =+++M N -22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>3．用配方法说明：代数式x2+8x+17的值总大于0.【答案与解析】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.举一反三：【变式】求代数式 x2+8x+17的最小值4．（2014春•滦平县期末）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求（x+y）2013的值．【思路点拨】采用配方法求出x、y的值，代入计算即可得到答案．【答案与解析】解：x2+y2﹣4x+6y+13＝0，x2﹣4x+4+y2﹣+6y+9＝0，（x﹣2）2+（y+3）2＝0∴x﹣2＝0，y+3＝0，解得，x＝2，y＝﹣3，（x+y）2013＝﹣1．【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.20 (0)ax bx c a ++=≠2224()24b b ac x a a -+=240b ac ∆=->1,22b x a-±=240b ac ∆=-=1,22b x a=-240b ac ∆=-<5．用公式法解下列方程．(1)； (2)．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程6．用公式法解下列方程：(1)； (2) ．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．23310x x --=2241x x =-24b ac -24b ac -2341x x =+2100x -+=(1)(1)x x +-=240b ac -≥举一反三：【变式】（2014秋•泽州县校级期中）用公式法解方程：5x 2﹣4x ﹣12＝0．【巩固练习】一、选择题1.已知关于x 的一元二次方程，用配方法解此方程，配方后的方程是（）A ．B ．C ．D ． 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A ．化为B ．化为C ．化为D ．化为3．（2015春•张家港市校级期中）若M=2x 2﹣12x+15，N=x 2﹣8x+11，则M 与N 的大小关系为（） A ．M ≥N B ． M ＞N C ． M ≤N D ． M ＜N 4．不论x 、y 为何实数，代数式的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题 7．（1）x 2-x+ =（）2；（2）x 2+px+ =（）2. 220x x m --=2(1)1x m -=+2(1)1x m +=+22(1)1x m -=+22(1)1x m +=+22990x x --=2(1)100x -=22740t t --=2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2890x x ++=2(4)25x +=23420x x --=221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22247x y x y ++-+438．已知，则的值为． 9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，∴所以方程的根为_________． 11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．（2015春•重庆校级期中）a 2+b 2﹣4a+2b+5=0，则b a 的值为．三、解答题 13. 用配方法解方程.(1) 3x 2-4x-2=0； (2)x 2-4x+6=0．14. 用公式法解下列方程：（2）．15．（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．16．已知在⊿ABC 中,三边长a 、b 、c ,满足等式a 2-16b 2-c 2+6ab+10bc=0，求证:a+c=2b223730216b a a b -+-+=a -2(1)210x ax --=；22222(1)()ab x a x b x a b +=+>一元二次方程专题复习（二）温故知新:1.直接开平方法2.配方法3.公式法一、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

一元二次方程知识点复习(学生用)

一元二次方程知识点复习2、1.一元二次方程的一般式: 。

3、一元二次方程的解法（1）直接开平方法（也可以使用因式分解法）①解为:②解为:③解为:（2）④解为:因式分解法: 提公因式, 平方公式, 平方差, 十字相乘法如：此类方程适合用提公因式, 而且其中一个根为0290(3)(3)0-=⇔-=x x xx x x x-=⇔+-=230(3)0---=⇔--=x x x x x3(21)5(21)0(35)(21)02241290(23)0-+=⇔-=x x x-+=⇔-=22694(3)4x x x24120(6)(2)0x x x x+-=⇔-+= --=⇔-+=225120(23)(4)0 x x x x（3）配方法①二次项的系数为“1”的时候: 直接将一次项的系数除于2进行配方,②二次项的系数不为“1”的时候: 先提取二次项的系数, 之后的方法同上:（4）公式法: 一元二次方程, 求根公式是:①当时, 方程②当时, 方程③当时, 方程备注: 公式法解方程的步骤:①把方程化成一般形式: 一元二次方程的一般式: , 并确定出、、②求出, 并判断方程解的情况。

③代公式:3.一元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程定的两个根为, 那么：常用变形:练习：【练习1】若是方程的两个根, 试求下列各式的值:(1) ；(2) ；(3) ；(4) .【练习2】已知关于的方程, 根据下列条件, 分别求出的值.(1) 方程两实根的积为5；(2) 方程的两实根满足.4.韦达定理相关知识（1）若一元二次方程有两个实数根, 那么, 。

我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系, 简称韦达定理。

（2）如果一元二次方程的两个根是, 则, 。

（3）在一元二次方程中, 有一根为0, 则；有一根为1, 则；有一根为, 则；若两根互为倒数,则；若两根互为相反数, 则。

5.一元二次方程的应用列方程解应用题的一般步骤是1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位；3.列:列代数式,列方程；4.解:解所列的方程；5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意；6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.常见几种类型:末值=初值×（1+增长率）2 末值=初值×（1—降低率）22）传染问题: （几何级数）传染源: 1个【每一轮1个可传染给x 个】【前后轮患者数的比例为1: （1+x ）】患者: 第一轮后: 共（1+x ）个第二轮后: 共（1+x ）•（1+x ）, 即（1+x ）2个第三轮后：共（1+x ）•（1+x ）•（1+x ）, 即（1+x ）3个 ……第n 轮后: 共（1+x ）n 个[注意: 上面例举的是传染源为“1”的情况得到的结论。

人教版初中数学中考复习一轮复习——一元二次方程解法及其应用(1)

D 1．(2021·河南) 若方程 x2-2x+m=0没有实数根，则 m的值可以是（）
A．-1
B．0
C．1
D． 3
2．（2021•岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+6x+k＝0有两个相等的实数根，则实数k的值为 k 9．
3．（2021•台州）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，
a 1,b 3, c 4
b2 4ac -3 2 41（- 4） 9 16 25 0
所以方程有两个不等实数根
x b 3 25 3 5
2a
2
2
x1 4, x2 1
考点二：一元二次方程的解法
1x2 3x 4
2x2 6x 7 0
32 x2 4x 5 0
解：a 1,b (k 3),c 1 k
b2 4ac (k 3)2 41 (1 k) k 2 2k 5 k 2 2k 1 4 (k 1)2 4
因为(k 1)2 4 0, 所以方程有两个不等实数根。
考点三：判别式和一元二次方程根的情况
5．（2021•烟台）已知关于x的一元二次方程x2﹣mnx+m+n＝0，其中
考点二：一元二次方程的解法
2.配方法
对应练习： 1x2 4x 1 0
22x2 8x 3 0
12x2 1 3x
22x2 8x 3 0 x2 4x 3 0
2
x2 4x 3 2
x2 4x 4 3 4 2
x22 11 2
x 2 22 2
x1 2
22 ,x 2
变式2．若方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（a 1且a 0 ）

一元二次方程的应用总复习

2500 2500 （ 1 x） 2500 （ 1 x） 9100
开启
智慧
10.一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数是多少?
解 : 设这次到会的人数为 x, 根据题意 ,得
整理得 :
x 2 x 132 0.
习题探究
• 7.某化肥厂去年五月份生产化肥450t, 从六月份开始，产量因市场关系，逐月上升，到七月份达到了648t，求六、七月份平均增长率.
变式训练
• 8.某公司前年缴税40万元，今年缴税 48.4万元.该公司这两年缴税的年平均增长率为多少？
解：设该公司这两年缴税的年平均增长率为x，根据题意得，
一、面积问题
• 1.长方形面积= • 2.正方形面积=
长×宽边长×边长（上底+下底）×高÷2 边长×边长×边长
• 3.梯形面积=
• 4.正方体体积=
• 5.长方体体积=
长×宽×高
一、面积问题

几何与方程
1. 如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽.
一元二次方程的应用总复习
复习回顾
• 列一元二次方程解应用题的一般步骤： • 1.审：审清题意；已知什么，求什么，已知未知之间有什么关系
2.设：设未知数，语句要完整，有单位的要注明单位.
3.列：列代数式，列方程. 4.解：解所列方程 5.验：检验是否是所列方程的根；是否符合题意. 6.答：答也必须是完整语句，注明单位.
解:设如果产量增加15.2%，那么应多种x棵桃树，根据题意得，（1000-2x)(100+x)=1000×100+1000×100×15.2%

中考数学总复习考点知识讲解课件30---一元二次方程及其应用

C．x2－x＋1＝0
D．x2＝1
百变四：已知方程系数关系，判断方程根的情况 4．(2016·河北)a，b，c为常数，且(a－c)2＞a2＋c2，则关于x的方程ax2 ＋bx＋c＝0的根的情况( ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为0
【解析】 ∵(a－c)2＝a2＋c2－2ac＞a2＋c2，∴ac＜0.∴在方程ax2＋bx＋ c＝0中，b2－4ac≥－4ac＞0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．故选B.
【自主解答】解：(1)四 x＝ (2)x2－2x－24＝0，移项，得x2－2x＝24，配方，得x2－2x＋1＝24＋1，即(x－1)2＝25，两边开平方，得x－1＝±5， ∴x1＝6，x2＝－4.
解一元二次方程的注意点
(1)在运用公式法解一元二次方程时，要先把方程化为一般形式，再确定 a，b，c的值，否则易出现符号错误； (2)用因式分解法确定一元二次方程的解时，一定要保证等号的右边化为 0，否则易出现错误； (3)如果一元二次方程的常数项为0，不能在方程两边同时除以含有未知数的相同因式； (4)对于含有不确定量的方程，需要把求出的解代入原方程检验，避免增根．
知识点二一元二次方程的解法
x＝b b2 4ac 2a
知识点三一元二次方程根的判别式
b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式．判别式的符号决定了方程根的情况，即
(1)b2－4ac>0⇔方程有两个 _不__相__等__的实数根；
(2)b2－4ac_＝__0⇔方程有两个相等的实数根； (3)b2－4ac<0⇔方程__没__有___实数根．
【分析】由每个月的平均增长率相同，可分别表示二月份和三月份的工业产值，再结合第一季度总产值为175亿元列方程即可．【自主解答】由平均每月增长的百分率为x，则二月的工业产值为50(1＋x) 亿元，三月的工业产值为50(1＋x)2 亿元，则根据题意可得方程：50＋ 50(1＋x)＋50(1＋x)2＝175，故选D.

一元二次方程复习课(精品)

一元二次方程复习一、一元二次方程知识点1、一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程2、一元二次方程的解法(1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。

在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，(X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a3、解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法（就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c4、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a ，二根之积=c/a也可以表示为x 1+x 2=-b/a,=c/a 。

利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用 5、一元二次方程根的情况利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为“△”，读作“dei er ta”，而△=b 2-4ac ，这里可以分为3种情况：I 、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II 、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；￥III 、当△<0时，一元二次方程没有实数根（在这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数根）二、考点研究考点一、概念例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A ()()12132+=+x x B 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

中考总复习数学第3节一元二次方程及其应用

边的长是方程 x2－8x＋12＝0 的解，则这个三角形的周
长是 17 ．
3. (2020·无锡)解方程：x2＋x－1＝0.
解：x1＝－1＋2
5，x2＝－1－2

5 .
4. (2020·荆州)阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出 x 的值．
【问题】解方程：x2＋2x＋4 x2＋2x－5＝0. 【提示】可以用“换元法”解方程．解：设 x2＋2x＝t(t≥0)，则有 x2＋2x＝t2，原方程可化为：t2＋4t－5＝0. 【续解】
－4ac ＞ 0.即可得到关于 a 的不等式，从而求得 a 的范围．(2)将 x＝1 代入方程 x2＋2x＋a－2＝0 得到 a
的值，再根据根与系数的关系求出另一根．
【自主作答】(1)b2－4ac＝22－4×1×(a－2)＝12－ 4a＞0，解得 a＜3.
(2)设方程的另一根为 x1，由解的定义及根与系数的 1＋2＋a－2＝0， a＝－1，
关系，得 1×x1＝a－2，解得 x1＝－3，则 a 的值是－1，该方程的另一根为－3.
类型3：一元二次方程的应用 ►例3沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从 20 万元增加到 80 万元．设这两年的销售额的年平均增长率为 x，根据题意可列方程为 () A．20(1＋2x)＝80 B．2×20(1＋x)＝80 C．20(1＋x2)＝80 D．20(1＋x)2＝80
数学中考总复习
第3节一元二次方程及其应用
类型1：一元二次方程的解法 ►例1分别用两种不同的方法解下列一元二次方程： (1)x2＋6x＝1； (2)(x－3)2＋4x(x－3)＝0.
分析：公式法是解一元二次方程通用的方法，在运

第二章一元二次方程复习讲义

龙文教育学科教师辅导讲义学员姓名：辅导课目：数学年级：八年级学科教师：汪老师授课日期及时段课题第二章一元二次方程复习重点、难点、考点1、一元二次方程的基本概念2、一元二次方程的解法及应用学习目标1、理解一元二次方程的基本概念及其相应的应用2、一元二次方程的解法及其应用教学内容一、知识回顾:1．一元二次方程：在整式方程中，只含个未知数，并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项；叫做二次项的系数，叫做一次项的系数。

2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （注意：用直接开平方的方法时要记得取正、负.）（2）配方法：关键化原方程为2()x m n +=的形式（警告：用配方法时二次项系数要化1.）（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是221,24(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥.（注意：方程要先化成一般形式.）（4）因式分解法（主要有提取公因式、运用平方差公式、运用完全平方公式、十字相乘法）：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积； ③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.（注意：方程要先化成一般形式.）3．一元二次方程根的判别式: 24b ac ∆=-(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况：①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆=时，方程有两个相等的实数根； ③当0∆<时，方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况； (3)确定字母的值或取值范围。

知识点练习知识一：一元二次方程的概念1、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x 2+1的一般形式是它的二次项系数是；一次项系数是；常数项是。

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考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
一元二次方程及其应用
考点2 一元二次方程的四种解法
直接开平方法
适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2 形式的
方程
因式分解法
基本思想方法规律
把方程化成ab＝0的形式，得a＝0或b＝0
常用的方法主要运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式型因式分解
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
一元二次方程及其应用
定义
通过配成完全平方的形式解一元二次方程
配方法
①化二次项系数为1；②把常数项移到配方法方程的另一边；③在方程两边同时加上解方程一次项系数一半的平方；④把方程整理
的步骤成(x＋a)2＝b的形式；⑤运用直接开平
方解方程
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一元二次方程及其应用
探究四 (选讲)一元二次方程根与系数的关系
命题角度： 1．利用根与系数的关系计算两根之和与两根之积； 2．利用根与系数的关系求有关两根的代数式的值； 3．利用根与系数的关系求方程中未知系数的值．
例4 [2013·荆州] 已知：关于x的方程kx2－(3k－1)x＋ 2(k－1)＝0.
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例1 [2013·牡丹江] 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋5 ＝0(a≠0)的解是x＝1，则2013－a－b的值是( A )
A．2018 B．2008 C．2014 D．2012
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一元二次方程及其应用
解析 ∵x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋5＝0的一个根， ∴a·12＋b·1＋5＝0，∴a＋b＝－5， ∴2013－a－b＝2013－(a＋b)＝2013－(－5)＝2018.
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一元二次方程及其应用
探究二一元二次方程的解法
命题角度： 1．直接开平方法； 2．配方法； 3．公式法； 4．因式分解法．
例2 解方程：2x－3＝3xx－3.
解析可用因式分解法或公式法．
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一元二次方程及其应用
均下降率时，则a(1－m)n＝b
(1)本息和＝本金＋利息(2)利息＝本金 ×利率×期数
(1)毛利润＝售出价－进货价(2)纯利润＝售出价－进货价－其他费用(3)利润率
＝利润÷进货价
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一元二次方程及其应用
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探究一
一元二次方程的有关概念
命题角度： 1．一元二次方程的概念； 2．一元二次方程的一般式； 3．一元二次方程的解的概念．
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一元二次方程及其应用
利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含未知数的因式(如例2)时，不能随便先约去这个因式，因为如果约去则是默认这个因式不为零，那么如果此因式可以为零，则方程会失去一个根，出现漏根错误．所以应通过移项，提取公因式的方法求解．
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解
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解法一(因式分解法)：(x－3)(2－3x)＝0， x－3＝0 或 2－3x＝0，
所以 x1＝3，x2＝32. 解法二(公式法)： 2x－6＝3x2－9x， 3x2－11x＋6＝0， a＝3，b＝－11，c＝6， b2－4ac＝121－72＝49，
x＝112±×349，
∴x1＝3，x2＝23.
舍去．答：她购买了 20 件这种服装．
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一元二次方程及其应用
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一元二次方程解法多
教材母题北师大版九上P56例2
解方程：3x2＋8x－3＝0. 解：两边都除以 3，得 x2＋83x－1＝0. 移项，得 x2＋83x＝1. 配方，得
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例5 [2013·淮安]小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50 元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200 元．请问她购买了多少件这种服装？
1± 5－2k. ∵方程的解为整数，∴5－2k 为完全平方数，则 k 的值为 2.
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一元二次方程及其应用
(1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别式Δ ＝b2－4ac的值，看它是否大于0.因此，在计算前应先将方程化为一般式．
(2)注意二次项系数不为零这个隐含条件．
一元二次方程及其应用
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考点1 一元二次方程的概念及一般形式
含有___一_____个未知数，并且未知数的最高次数是____2____的整式方程．
一般形式：__a_x_2_＋__b_x_＋__c_＝__0_(_a_≠_0_) _．注意：在一元二次方程的一般形式中要注意强
调a≠0.
一元二次方程及其应用
解
(1)证明：①当 k＝0 时，方程是一元一次方程，有实数根；
②当 k≠0 时，方程是一元二次方程，
∵Δ＝(3k－1)2－4k×2(k－1)＝(k－1)2≥0，
∴无论 k 为何实数，方程总有实数根．
(2)∵此方程有两个实数根 x1，x2，
∴x1＋x2＝3k－k 1，x1x2＝2（k－k 1）.
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一元二次方程及其应用
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0, 且 b2
求根公式
－4ac≥0 时，则 x1,2＝
－b± b2－4ac
公式
_____2_a_____
法
(1)将方程化成 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
公式法解方程的一般步骤
的形式；(2)确定 a，b，c 的值；(3) 若 b2－4ac≥0，则代入求根公式，得 x1，x2；若 b2－4ac<0，则方程无实数
1．解方程：(x－3)2－9＝0
解
(x－3)2＝9，x－3＝±3，
∴x1＝0，x2＝6.
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2．解方程：x2＋4x－2＝0.
解
∵b2－4ac＝42－4×1×(－2)＝24，
∴x＝－42±×124＝－4±22 6＝－2± 6 ，
即 x1＝－2－ 6，x2＝－2＋ 6.
一元二次方程及其应用
x2＋83x＋432＝1＋432， x＋432＝295. 两边同时开平方，得 x＋43＝±53，即 x＋43＝53或 x＋34＝－53. 所以 x1＝31，x2＝－3.
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一元二次方程及其应用
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(1)求证：无论k为何实数，方程总有实数根； (2)若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1－x2|＝2，求k
的值
一元二次方程及其应用
解析 (1)确定判别式的范围即可得出结论； (2)根据根与系数的关系表示出x1＋x2，x1x2，继而根据题意可得出方程，解出即可．
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一元二次方程及其应用
解析根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出方程，解出即可．
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一元二次方程及其应用
解设购买了 x 件这种服装，根据题意得出： [80－2(x－10)]x＝1200，解得 x1＝20，x2＝30，当 x＝30 时，80－2(30－10)＝40＜50，不合题意，
∵|x1－x2|＝2， ∴(x1－x2)2＝4， ∴(x1＋x2)2－4x1x2＝4，
即9k2－k62k＋1－4×2（k－k 1）＝4，
解得 k＝1 或 k＝－13.
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一元二次方程及其应用
探究五
一元二次方程的应用
命题角度： 1．用一元二次方程解决变化率问题； 2．用一元二次方程解决商品销售问题．
根关系
数根；
的
(3)b2－4ac<0⇔方程__没_有_____实数根
判别式
防错提醒
在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次
项系数不为零这个限制条件
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一元二次方程及其应用
考点4 〈选学〉一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根为 x1， x2，则 x1＋x2＝－ab，x1x2＝ac.
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探究三一元二次方程根的判别式
命题角度： 1．判别一元二次方程根的情况； 2．求一元二次方程字母系数的取值范围．
例3 [2013·北京] 已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围； (2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k
误区警示：利用一元二次方程根与系数的关系时，要注意判别式Δ ≥0.
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一元二次方程及其应用
考点5 一元二次方程的应用
应用类型增长率问题利率问题销售利润问题
等量关系