一元二次方程及其应用
一元二次方程的解法及其应用
一元二次方程的解法及其应用一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数且a ≠ 0。
解法：一元二次方程的解法主要有两种：因式分解法和求根公式法。
1. 因式分解法：当一元二次方程的形式可以直接因式分解时，使用因式分解法可以快速求得其解。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0。
根据零乘法，当一个乘积等于零时，其中一个或多个因子必须为零。
因此，我们得到x + 2 = 0或x + 3 = 0，从而解得x = -2或x = -3。
这两个解是方程的根，即方程的解集为{-2, -3}。
2. 求根公式法：对于一般形式的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式法求得其解。
根据求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，我们可以直接计算出方程的解。
例如，对于方程2x^2 + 5x - 3 = 0，根据求根公式，我们有x = (-5 ±√(5^2 - 4*2*(-3))) / (2*2)。
计算得x = (-5 ± √(25 + 24)) / 4，进一步化简得x = (-5 ± √49) / 4，即x = (-5 ± 7) / 4。
因此，方程的解为x = (-5 + 7) / 4或x = (-5 - 7) / 4，简化得x = 1/2或x = -3/2。
解集为{1/2, -3/2}。
应用：一元二次方程的解法在数学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 几何问题：一元二次方程的解法可以应用于几何问题中，例如求解二次函数的零点，即方程y = ax^2 + bx + c = 0的解，可以帮助我们确定函数的图像与x轴的交点，从而求得抛物线的顶点、焦点等信息。
2. 物理问题：在物理学中，一元二次方程的解法可以用于解决与运动和力有关的问题。
数学知识点：一元二次方程及其应用_知识点总结
数学知识点：一元二次方程及其应用_知识点总结
数学知识点：一元二次方程及其应用一元二次方程的定义：
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的应用：
建立一元二次方程模型进行求解，把得到的答案带回实际问题中检验是否合理，来解决实际问题，如打折、营销、增长率问题等。
一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程的两个实数根是，那么。
命题的概念：
1、命题：把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题；
2、真命题、假命题：判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题。
注意：
1、并不是所有的语句都是命题,高考物理，只有能够判断真假的语句才是命题。
2、如果一个语句是命题，则它是真命题或是假命题，二者必具其一。
一元二次方程的实际应用
一元二次方程的实际应用一元二次方程是高中数学的重要内容之一，通过求解一元二次方程，我们可以得到方程的解，从而解决一些实际生活中的问题。
在本文中，我们将探讨一些实际应用中使用一元二次方程的案例。
一、物体自由下落物体自由下落是我们日常生活中经常遇到的情境之一。
在没有空气阻力的情况下，物体自由下落的运动可以用一元二次方程来描述。
设一个物体从某个高度h0自由下落，下落的时间为t秒，则根据物体自由下落的公式，我们可以得到：h = h0 - 0.5gt^2其中，h为物体下落的高度，g为重力加速度。
通过将h设为0，即可求解出物体自由下落的时间。
此时，我们可以将方程转化为一元二次方程进行求解：-0.5gt^2 + h0 = 0通过求解出这个一元二次方程，我们就可以知道物体自由下落所需的时间。
二、抛物线的轨迹抛物线是一种常见的曲线形态，其运动轨迹可以用一元二次方程来描述。
在很多实际应用中，抛物线的轨迹被广泛应用。
例如，当我们抛出一个物体，以一定的初速度和角度进行抛射时，物体的轨迹就是一个抛物线。
抛物线的方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，x和y分别代表抛物线上的点的坐标。
通过求解一元二次方程，我们可以确定抛物线的方程中的参数a、b、c的值，从而获得抛物线的具体形状和特征。
这对于工程设计、物体抛射等实际问题具有重要的意义。
三、最大值和最小值问题在许多实际应用中，我们常常需要确定一个函数的最大值或最小值。
而求解函数的最大值或最小值问题，可以转化为求解一元二次方程的实根问题。
考虑一个抛物线函数 y = ax^2 + bx + c，其中a不等于0。
当a大于0时，抛物线开口向上，此时函数的最小值为抛物线的顶点坐标。
当a小于0时，抛物线开口向下，此时函数的最大值为抛物线的顶点坐标。
通过将函数求导，我们可以求解出函数的极值点，进而确定函数的最大值或最小值。
而求解函数的极值点的过程，实际上就是求解一元二次方程的实根。
一元二次方程的解法及其实际应用
。
例 3 已知 关 于 x 的 一元 二 次 方 程 ax2 bx c 0a 0 的 系 数 满 足 a c b ， 则 此 方 程 必 有 一 根
为
。
针对练习：
★1、已知方程 x2 kx 10 0 的一根是 2，则 k 为
，另一根是 kx 2 0 的一个解与方程 x 1 3 的解相同。⑴求 k 的值； ⑵方程的另一个 x 1
。
变式 3：若 x2 xy y 14 ， y 2 xy x 28 ，则 x+y 的值为
。
例 3、方程 x2 x 6 0 的解为（ ）
A. x1 3，x 2 2 B. x1 3，x 2 2 C. x1 3，x 2 3
例 4、已知 2x 2 3xy 2 y 2 0 ,则 x y 的值为
例2、 已知 x、y 为实数，求代数式 x 2 y 2 2x 4 y 7 的最小值。
例3、 已知 x2 y 2 4x 6 y 13 0，x、y 为实数，求 x y 的值。
针对练习：
★★1、试用配方法说明 10x2 7x 4 的值恒小于 0。
★★2、已知 x2 1 x 1 4 0，则 x 1
.
x2
x
x
类型四、公式法
⑴条件： a 0,且b2 4ac 0
⑵公式： x b b2 4ac , a 0,且b2 4ac 0 2a
类型五、 “降次思想”的应用
⑴求代数式的值；
⑵解二元二次方程组。
典型例题：
例1、 已知 x2 3x 2 0 ，求代数式 x 13 x 2 1 的值。
④ x2 y2 (x y)( x y)( x y) ⑤方程 (3x 1)2 7 0 可变形为 (3x 1 7 )(3x 1 7) 0
一元二次方程的应用
一元二次方程的应用一元二次方程是中学数学中比较基础的内容之一。
在实际应用中，一元二次方程也有着广泛的适用性。
本文将介绍一元二次方程在实际中的应用，并分析其具体的数学方法和过程。
一、抛物线的应用一个抛物线可以用一元二次方程的形式表示。
其中，方程中的a、b、c分别代表抛物线关于x的二次项系数、一次项系数和常数项系数。
在实际应用中，我们经常需要利用一元二次方程来求解以下问题：（1）给定一个抛物线，求出其顶点坐标顶点坐标可以通过求解方程a(x-p)²+q得到，其中，p、q分别为顶点的横、纵坐标。
根据平面几何的知识，抛物线的顶点就是其对称轴的交点。
因此，我们可以通过求解关于x的一元二次方程来确定对称轴的位置，从而得到顶点坐标。
（2）给定一个抛物线，求出其与x轴的交点1）当抛物线在x轴下方时，交点个数为0。
2）当抛物线与x轴相切时，交点个数为1。
3）当抛物线在x轴上方时，交点个数为2。
根据以上规律，我们可以利用求根公式或配方法求解一元二次方程，从而确定交点坐标。
二、最值与最优解在实际问题中，有许多情形下需要求解一个函数的最值或最优解。
通过构建一元二次函数，我们可以通过求解其极值点来得到最值或最优解。
在解决此类问题时，我们需要用到以下定理：1）一元二次函数在x=a处取得最大值或最小值，当且仅当a为该函数的极值点。
2）一元二次函数的对称轴是该函数最大值或最小值的轴线。
通过对称轴和极值点的求解，我们可以得到一元二次函数的最优解或最值。
三、勾股定理勾股定理在平面几何中由比达赖创建。
在实际问题中，我们可以利用一元二次方程的求根公式验证勾股定理。
对于一个直角三角形，其斜边又可以表示为一元二次方程的形式。
利用求根公式，我们可以求出其两个直角边的长度。
如果其长短满足勾股定理，则该三角形是一个合法的直角三角形。
四、变速直线运动直线运动是物理学中比较基础的内容。
在实际问题中，我们可以将变速直线运动建模成一元二次函数。
一元二次方程的应用(优秀5篇)
一元二次方程的应用(优秀5篇)元二次方程篇一教学目的1.了解整式方程和一元二次方程的概念；2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。
3.通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。
教学难点和难点：重点：1.一元二次方程的有关概念2.会把一元二次方程化成一般形式难点：一元二次方程的含义。
教学过程设计一、引入新课引例：剪一块面积是壹五0cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪？分析：1.要解决这个问题，就要求出铁片的长和宽。
2.这个问题用什么数学方法解决？(间接计算即列方程解应用题。
3.让学生自己列出方程( x（x十5）＝壹五0 )深入引导：方程x(x十5)＝壹五0有人会解吗？你能叫出这个方程的名字吗？二、新课1.从上面的引例我们有这样一个感觉：在解决日常生活的计算问题中确需列方程解应用题，但有些方程我们解不了，但必须想办法解出来。
事实上初中代数研究的主要对象是方程。
这部分内容从初一一直贯穿到初三。
到目前为止我们对方程研究的还很不够，从今天起我们就开始研究这样一类方程--------一元一二次方程(板书课题)2.什么是—元二次方程呢？现在我们来观察上面这个方程：它的左右两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程，就这一点来说它与一元一次方程没有什么区别、也就是说一元二次方程首先必须是一个整式方程，但是一个整式方程未必就是一个一元二次方程、这还取决于未知数的最高次数是几。
如果方程未知数的最高次数是2、这样的整式方程叫做一元二次方程。
(板书一元二次方程的定义)3.强化一元二次方程的概念下列方程都是整式方程吗？其中哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？(1)3x十2＝5x—3：(2)x2＝4(2)(x十3)(3x·4)＝(x十2)2；(4)(x—1)(x—2)＝x2十8从以上4例让学生明白判断一个方程是否是一元二次方程不能只看表面、而是能化简必须先化简、然后再查看这个方程未知数的最高次数是否是2。
一元二次方程的应用
一元二次方程的应用一元二次方程是数学中常见且重要的概念，广泛应用于各个领域。
本文将探讨一元二次方程的应用，并分析其在实际问题中的具体应用场景。
一、物理学中的应用1. 抛体运动在物理学中，抛体运动是一种常见的物体运动形式。
通过解一元二次方程，可以求解物体的运动轨迹、落地时间和最大高度等相关参数。
例如，一个抛掷物体在抛出后的运动可以用一元二次方程表示，通过求解该方程，我们可以得到物体的落地时间和最大高度，从而更好地理解物体的运动规律。
2. 天体运动在天体物理学中，一元二次方程可以用来描述天体运动的轨迹。
例如，行星的运动可以用一元二次方程来表示。
通过解方程，可以计算行星的运行周期、离心率等重要参数。
这些参数对于研究宇宙的运行规律和天体力学有着重要的意义。
二、工程学中的应用1. 抛物线天桥设计在工程学中，抛物线天桥是一种被广泛使用的结构。
设计师可以利用一元二次方程来计算抛物线天桥的曲线形状和斜率。
通过合理的抛物线曲线设计，可以使天桥具有更好的稳定性和美观性。
2. 弹道学弹道学是研究飞行物体的轨迹和运动规律的学科。
一元二次方程广泛应用于弹道学中，用于计算弹道飞行的高度、速度和飞行时间等参数。
通过解一元二次方程，可以优化发射角度和发射速度，提高弹道导弹的命中率和射程。
三、经济学中的应用1. 供求关系在经济学中，供求关系是研究市场经济的基本规律之一。
供求关系可以用一元二次方程来描述。
通过分析供求方程的解，可以确定市场均衡点的价格和数量，了解市场供应和需求的关系，并为经济政策制定提供依据。
2. 成本和收益分析在经济决策中，成本和收益分析是一种常见的方法。
通过建立成本和收益方程，并求解一元二次方程，可以确定最大利润的产量和价格，从而指导企业的生产和经营决策。
综上所述，一元二次方程在物理学、工程学和经济学等领域有着广泛的应用。
通过解方程，我们可以得到丰富的信息和参数，从而更好地理解和分析实际问题。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的一元二次方程，并利用解方程的方法得出准确的结果。
了解一元二次方程的应用
了解一元二次方程的应用一元二次方程是高中数学中重要的内容之一，它在实际生活中有广泛的应用。
本文将探讨一元二次方程的应用，并介绍其中的一些常见实例。
一、物理应用1. 自由落体运动自由落体运动是物理学中常见的现象之一，可以用一元二次方程来描述物体的运动。
例如，一个物体从高处自由落下，其高度h与时间t 的关系可以用方程h = -gt² + vt + h₀表示，其中g是重力加速度，v是初始速度，h₀是初始高度。
2. 弹性力的计算一元二次方程也可以描述弹性力的计算。
例如，当一个弹簧受到一定的拉伸或压缩时，其回复的力与位移之间可以用方程F = kx²表示，其中F是弹性力，k是弹性系数，x是位移。
二、经济应用1. 成本与利润在经济学中，一元二次方程可以用来描述成本与利润之间的关系。
例如，一个制造商生产某种产品的成本与产量的关系可以用方程C = ax² + bx + c来表示，其中C是成本，x是产量，a、b、c是常数。
2. 供求关系供求关系是经济学中重要的概念，一元二次方程可以用来描述供求关系的平衡点。
例如，市场上某种商品的供应量与价格之间的关系可以用方程S = ax² + bx + c表示，而需求量与价格之间的关系可以用方程D = dx² + ex + f表示，其中S和D分别是供应量和需求量。
三、工程应用1. 物体运动轨迹一元二次方程可以用来描述物体在平面上的运动轨迹。
例如，一个发射的炮弹的运动轨迹可以用方程y = ax² + bx + c来表示，其中y是垂直方向上的位移，x是水平方向上的位移，a、b、c是常数。
2. 斜抛运动斜抛运动是工程中常见的一种运动形式，可以用一元二次方程来描述。
例如，一个以一定速度和角度斜抛的物体的运动轨迹可以用方程y = -gx² / (2v₀²cos²θ) + xtanθ表示，其中g是重力加速度，v₀是初始速度，θ是斜抛角度。
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一元二次方程及其应用
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1．如果2是一元二次方程x 2
＋bx ＋2＝0的一个根，那么常数b 的值为 ． 2.方程042=-x x 的解______________． 3．方程240x -=的根是（ ） A ．2x =
B ．2x =-
C ．1222x x ==-，
D ．4x =
4.由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x ，则根据题意可列方程为 ．
【参考答案】1.－3 2.x 1=0, x 2=4 3. C 4.2
16(1)9x -=
◆考点聚焦 知识点:
一元二次方程、解一元二次方程及其应用 大纲要求:
1.了解一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式。
2.会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程、
3.能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。
考查重点与常见题型:
考查一元二次方程、有关习题常出现在填空题和解答题。
◆备考兵法
（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，
注意一元二次方程一般形式中0≠a .
（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.
（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. ◆考点链接
1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法：
（1）直接开平方法：形如)0(2
≥=a a x 或)0()(2
≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用
直接开平方的方法.
（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02
≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二
次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2
()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.
（3）公式法：一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是
221,2
4(40)2b b ac x b ac a
-±-=-≥.
（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程
的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.
◆典例精析
例1（湖南长沙）已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ） A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
【答案】A
【解析】本题考查了一元二次方程的根。
因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程，
原方程成立，即06332
=--k 成立，解得k=1。
故选A 。
例2（湖北仙桃）解方程：2
420x x ++=
【分析】根据方程的特点, 灵活选用方法解方程.观察本题特点，可用配方法求解.
【答案】2
42x x +=-
24424x x ++=-+ 2(2)2x +=
22x +=± 22x =±-
122222x x ∴=-=--，
例3（广东省）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 【答案】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x 台电脑，依题意得： 1+()181x x x ++=，
()
2
181x +=，
19x +=或19x +=-，
18x =或210x =-（舍去），
()
()3
3
118729700x +=+=>．
答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台． 【点评】解应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出方程.•最后还要注意求出的未知数的值,是否符合实际意义.凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去． ◆迎考精炼 一、选择题
1.(湖北武汉)已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是（ ） A ．3-
B ．3
C ．0
D ．0或3
2.（内蒙古呼和浩特）用配方法解方程2
3610x x -+=，则方程可变形为（ ）
A ．21(3)3
x -=
B ．213(1)3x -=
C ．2
(31)1x -=
D ．22
(1)3
x -=
3.（河南）方程2x =x 的解是 （ ）
A.x =1
B.x =0
C.x 1=1 x 2=0
D.x 1=﹣1 x 2=0
4.（湖南衡阳）两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程0342=+-x x 的两个根，则两圆的位置关系是 （ ）
A ．相交
B ．外离
C ．内含
D ．外切
5．（湖北黄石）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为（ ） A ．14
B ．12
C ．12或14
D ．以上都不对
6.（湖北襄樊）为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为210m 提高到212.1m ，若每年的年增长率相同，则年增长率为 （ ）
A ．9%
B ．10%
C ．11%
D ．12% 二、填空题
1.（内蒙古赤峰）已知关于x 的方程x 2
-3x+2k=0的一个根是1，则k= 2.（山东威海）若关于x 的一元二次方程2
(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______．
3.(浙江温州)方程(x-1)2
=4的解是 . 4.（广西崇左）分解因式：2242x x -+= ． 5．（山西）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ．
6.（江苏省）某县农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x ，则可列方程 ． 三、解答题
1.（山西省）解方程：2
230x x --=
2.（广西梧州）解方程： 0)3(2)3(2
=-+-x x x
3．（甘肃庆阳）某企业2006年盈利1500万元，克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求： （1）该企业2007年盈利多少万元？
（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计盈利多少万元？
4.(山东潍坊)要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD 进行绿化和硬化．
（1）设计方案如图①所示，矩形P 、Q 为两块绿地，其余为硬化路面，P 、Q 两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD 面积的1
4
，求P 、Q 两块绿地周围的硬化路面的宽．
（2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为1O 和2O ，且1O 到
AB BC AD 、、的距离与2O 到CD BC AD 、、的
距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．
【参考答案】 一、选择题
1. A
2. D
3. C
4. A
5. B
6.B 解析：本题考查方程解决增长率问题，设年增长率x ，可列方程()2
10112.1x +=，解得10.110%x ==，2 2.1x =-（舍去），所以年增长率10%，故选B 。
二、填空题
1.1
2.1
3.x 1=3,x 2=-1
4.2
2(1)x - 5.答案不唯一，如21x = 6.2
7800(1)9100x += 三、解答题
1.解：移项，得223x x -=， 配方，得()2
14x -=， ∴12x -=±， ∴1213x x =-=，．
2.解:0)23)(3(=+--x x x
0)33)(3(=--x x 03=-x 或033=-x 即31=x 或12=x
3.解：（1）设每年盈利的年增长率为x ，
根据题意，得2
1500(1)2160x +=． 解得120.2 2.2x x ==-，（不合题意，舍去）．
1500(1)1500(10.2)1800x ∴+=+=．
答：2007年该企业盈利1800万元． （2） 2160(10.2)2592+=． 答：预计该企业盈利2592万元．
4.解：（1）设P Q 、两块绿地周围的硬化路面的宽都为x 米，根据题意，得：
1(603)(402)60404
x x -⨯-=⨯⨯
解之，得：121030x x ==， 经检验，230x =不符合题意，舍去．
所以，两块绿地周围的硬化路面宽都为10米．
（2）设想成立．设圆的半径为r 米，1O 到AB 的距离为y 米，根据题意，得：
240
2260
y y r =⎧⎨
+=⎩ 解得：2010y r ==，．符合实际． 所以，设想成立，此时，圆的半径是10米．
可以编辑的试卷（可以删除）。