一元二次方程的应用—面积 问题
人教版九年级数学上册《一元二次方程的应用——面积问题》教学设计
一元二次方程的应用—面积问题知识与技能1.以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法.2.能根据实际问题正确列出一元二次方程解应用题.3.能够发现，归纳出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决问题.4.提高分析问题，解决问题的能力。
过程与方法通过自主探索、合作交流，使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动，发展学生数学思维，培养学生合作学习意识、动手、动脑习惯，激发学生学习热情。
情感态度与价值观，培养学生数形结合的思想。
重点：二次函数的模型的刻画难点：二次函数的性质的应用教学过程创设情境引入新课.。
[创设情境引入新课]1. 请学生回顾举行的面积公式，并进行两个小题的列方程来巩固矩形的面积公式。
2问:若纸板长为80cm,宽60cm，做成的长方体盒子底面积1500cm2。
同学们想一想怎样求剪去的小正方形的边长。
3 把无盖长方体盒重新展开，又会得到原来的长方形纸板，帮助学生从实际问题1.学生们动手制作，在长方形纸板的四个角上截去四个大小相同的正方形，然后把四边折起做成一个无盖的长方体包装盒..2.小组讨论学生们不难发现截去的正方形的边长就是盒子的高.从学生熟悉的矩形的面积入手，能迅速激发学生参与学习的兴趣；让学生发现生活中有些实际问题可以通过列一元二次方程来解决，从而顺利地引入新课。
启发探究建立模型启发探究，建立模型如图，在一个长为20m,宽为15m的长方形空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条互相垂直且宽度相同的小路，剩余的地方种植花草，如图所示，要是种植花草的面积为266m2，那么小道的宽度应为多少米？。
1. 学生观察、相互讨论得出等量关系：（1）大矩形的面积—两条小路的面积=四个小矩形的面积之和；（2）大矩形的面积—四个小矩形的面积之和=两条小路的面积。
2、学生讨论，合作交流，请学生板演讲解.让学生经历从具体情境中抽象出一元二次方程的模型的过程，探索具体问题中的数量关系和变化规律，既起到了深化例题的作用，又复习了根的判别式的知识.一元二次方程应用教学反思这节课是“列一元二次方程解应用题”，讲授在几何问题中以学生熟悉的现实生活为问题的背景，让学生从具体的问题情境中抽象出数量关系，归纳出变化规律，并能用数学符号表示，最终解决实际问题。
一元二次方程解决面积问题
一元二次方程解决面积问题面积问题在数学中广泛存在，而解决这类问题时，一元二次方程是一个重要的工具。
一元二次方程是一个带有一个未知数的二次方程，通常写作ax² + bx + c = 0，其中a、b和c是已知常数，且a不等于0。
当涉及到面积问题时，我们可以利用一元二次方程来求解。
例如，考虑一个长方形的问题：给定长方形的宽度x，其长度为（3x + 4）。
我们希望求解这个长方形的面积。
首先，我们需要确定长方形的面积公式。
长方形的面积等于长度乘以宽度，即A = x(3x + 4)。
然后，我们将这个面积公式转化为一个一元二次方程。
展开表达式，我们得到A = 3x² + 4x。
现在，我们要解决的问题是找到一个x的值，使得面积A达到最大或最小。
我们可以利用一元二次方程的特性来求解这个问题。
一元二次方程的图像是一个抛物线，对于正系数a，抛物线开口向上。
因此，当a大于0时，抛物线的最小值出现在顶点处。
通过求解一元二次方程的顶点，我们可以找到长方形的最大或最小面积。
一元二次方程的顶点的x坐标由公式x = -b/2a给出。
对于我们的长方形问题，a = 3，b= 4，所以x = -4/(2*3)。
计算得出x = -2/3。
将这个值代入原方程，我们可以计算出面积A的最小值或最大值。
这样，我们就可以通过求解一元二次方程来解决长方形的面积问题。
一元二次方程在解决面积问题以及其他数学问题中具有广泛的应用。
通过灵活运用一元二次方程的特性，我们能够解决各种各样的面积问题。
列一元二次方程解面积类应用题教案
成共识6、（CAI动态演示）各图形中路的平行移动过程，师概括点明做此类题目的方法并板书过程。
7、观察图形⑸，能否用上述方法，又如何理解呢？同学们讨论得出将图⑹的路平行向四周移动可得图⑸（CAI动态演示）。
8、学生独立完成此题。
（CAI课件展示）例2、要设计一本书的封面，封面长27 cm ,宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1 cm）.1、讨论：此题与上题的图⑸有什么不同？又如何解答？2、师讲解：如何由封面及正中的长宽比例相同为9:7，得出上、下边衬宽与左、右边衬宽的比也是9：7.。
3、学生讨论得出直接设中央的长与宽的比9X:7X，从而列方程求解。
4、一人演板。
5、集体订正，强调结果验证。
1、如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？论形成的结果，易记熟且能灵活运用。
设疑，激发学生积极思考用题目之间的联系培养学生灵活处理问题的能力。
此方法不易理解，但可以借助图⑸，拓宽了学生的知识面。
设元的灵活性。
触类旁通，你有哪些心得体会。
拓展延伸总结反思2、有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的长和宽各多少米？归纳小结：系统地总结此类应用题的解法。
布置作业：（略）板书设计：12.6 一元二次方程的应用（二）例1．略例2．略解：设………解：………………………………课后反思，本节课的收获，还有没有需要老师帮助解决的问题。
18米2米。
一元二次方程应用--面积------教案
一元二次方程的应用复习教学目标【知识技能】能根据几何图形找出问题中的等量关系，列出一元二次方程解决实际问题，并检验解的合理性。
【过程与方法】经历读题、审题和解题，让学生进一步体会“问题情境--建立模型--求解--解释与应用”的过程。
【情感、态度与价值观】获得运用数学知识分析和解决实际问题的方法和经验，更好的体会数学的价值观。
教学重点、难点重点：将实际问题转化为一元二次方程的数学模型，并根据实际问题检验解的合理性。
难点：建立数学模型解决实际问题，借助方程验证方案的可行性。
突破方法：引导学生用不同图形的面积公式列出方程。
教法与学法教学方法：启发引导，创设情境，利用多媒体课件激发学生学习兴趣；引导学生分析设计方案，借助方程验证方案的可行性。
学习方法：小组合作探究，组内讨论交流教学准备教师准备:多媒体课件学生准备：完成导学案教学过程一、前置诊断1.在长a米，宽b米的一块草坪上修了一条1米宽的笔直小路，则余下的草坪面积可表示为米2，为了增加美感，把这条小路改为宽恒为1米的弯曲小路，则剩余草坪的面积可表示为米2。
2.幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周的宽度是多少。
3.如图，学校准备在校园里利用围墙的一段，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25米），现有50米的栅栏，请设计一种围法，使矩形花园的面积为300米2。
【设计说明】：本环节的目的是发挥教材的引领作用。
把教材、学生和教师三个方面有机地结合起来，帮助学生回顾应用一元二次方程解决应用题的一般步骤，解决图形公式型应用题的基本方法，纠正学生解答过程中出现的问题。
【学生活动】：独立思考和交流合作相结合，完成学案中的问题。
【题后反思】列方程解应用题的基本步骤：【拓展应用】幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设两块地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，若地毯面积是教室矩形地面面积的32，求四周的宽度是多少。
一元二次方程应用题(几何图形面积问题)
解题思路
假设长方形的长为l，宽为w， 通过列方程建立方程组，然后 求解得出面积。
解答与解析
通过解方程组，得出长方形的 长、宽和面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
实例3 ：三角形面积问题
问题提出
已知直角三角形的斜边长度为c， 某一直角边的长度为a，求三角形 的面积。
解题思路
根据已知条件，利用勾股定理和三 角形面积公式建立方程，然后求解 得出面积。
一元二次方程应用题(几 何图形面积问题)
本演示将介绍一元二次方程的应用，特别是在解决几何图形面积问题时的应 用。通过精彩的实例和深入的讲解，帮助你全面理解和掌握这一知识点。
一元二次方程介绍
简要介绍一元二次方程的概念、形式和解法方法，以及元二次方程解决几何图形的面积问题，通过代入、求解方程， 计算各种图形的面积。
解答与解析
通过解方程和应用三角形面积公式， 得出三角形的面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
总结与实践建议
总结一元二次方程在解决几何图形面积问题中的应用要点，并提供一些建议和实践步骤，以帮助你更好地掌握这一 知识。
实例1：正方形面积问题
1
问题提出
给定正方形的对角线长度为d，求正方形的面积。
2
解题思路
假设正方形的边长为x，利用勾股定理建立方程，然后求解得出面积。
3
解答与解析
通过解方程，得出正方形的边长和面积的具体数值，详细解析计算过程和答案。
实例2 ：长方形面积问题
问题提出
已知长方形的周长为P，求长方 形的面积。
12.解一元二次方程的实际应用——面积问题
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试
x
35－2x 当x=7.5时，35-2x=20＞18，因此不合题意，舍去；
当x=10时，35-2x=15. 答：鸡场的长、宽分别为15米、10米.
例2 某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地四周修
筑等宽的道路,中间的矩形部分作草坪, 若草坪的面积为540米2，求图中道路 的宽是多少? x x 32－2x 20－2x x x 解：设草坪四周道路的宽为x米， 则草坪的长为(32－2x)米，宽为(20－2x)米.
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分
英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现。 每当杨蕙心在某科考试中出现了问题， 她能很快找到问题的原因，并马上拿出
一元二次方程应用题面积问题
一元二次方程应用题面积问题1. 引言：面积问题的迷人世界大家好！今天咱们聊聊一元二次方程中的面积问题。
别急着皱眉头，这个话题其实特别贴近咱们的生活，学会了，能让你在解答一些日常问题时得心应手。
比如说，买草坪、规划花园、甚至是设计墙面装饰，这些都能用到哦！2. 面积问题的基础：概念简述2.1 什么是面积问题？说白了，面积问题就是要求你计算一个区域的大小。
在几何中，咱们经常需要找出矩形、三角形或者其他形状的面积。
那一元二次方程为什么会出现在这个问题里呢？好问题！因为有些面积计算需要用到二次方程来解决。
2.2 为什么用一元二次方程？一元二次方程，看起来有点复杂，但其实就是形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程。
它能帮我们解决一些涉及面积的实际问题，比如说，计算一个长方形的面积，特别是当这个长方形的边长变化时，就需要用到这样的方程了。
3. 实际例子：如何应用一元二次方程解决面积问题。
3.1 示例一：草坪面积假设你想在家里的花园里铺草坪，花园的长度是 ( x ) 米，宽度比长度少 5 米。
那么，花园的宽度就是 ( x 5 ) 米。
你知道草坪的面积是 84 平方米。
我们可以用一元二次方程来找出长度和宽度。
首先，面积 ( A ) = 长度 ( times ) 宽度。
根据题意，有：[ A = x times (x 5) = 84 ]。
简化一下，得到方程：[ x^2 5x = 84 ]接着，把 84 移到方程的另一边：[ x^2 5x 84 = 0 ]现在咱们可以用因式分解法或者求根公式来解这个方程。
因式分解的话，我们可以得到：[ (x 9)(x + 4) = 0 ]。
从中可以得到 ( x = 9 ) 或 ( x = 4 )。
因为长度不能是负数，所以我们取 ( x = 9 ) 米。
这样，花园的宽度就是 ( 9 5 = 4 ) 米。
3.2 示例二：墙面装饰再来一个例子，假如你要装饰一面墙，墙的高度比宽度多 2 米，装饰的总面积是60 平方米。
人教版初中数学九上 微专题5 一元二次方程的应用(二)——面积问题
解：由题意，得x（180－2x）＝4 000， 解得x1＝40，x2＝50． 当x＝40时，180－2x＝100＞90，不符合题意，舍去； 当x＝50时，180－2x＝80＜90，符合题意． 答：若矩形场地的面积为4 000 m2，则BC的长为50 m．
2．某精准扶贫小组帮助一农户建立如图所示的矩形养鸡场．已知矩形养鸡场 的面积为 45 m2（分为两部分），一边靠着一面长为 14 m 的墙，另外几边用 总长为 22 m 的竹篱笆围成，每部分养鸡场的前面各开一个宽为 1 m 的门，求 这个养鸡场的长与宽．
微专题5 一元二次方程的应用（二） ——面积问题
1．如图，某工程队在工地利用互相垂直的两面墙 AE，AF，用铁栅栏围成一 个矩形场地 ABCD，中间再用铁栅栏将矩形场地分割成两个小矩形，铁栅栏 总长为 180 m．已知墙 AE 的长为 90 m，墙 AF 的长为 60 m． （1）设 BC＝x m，则 CD 的长为 （180－2x） m，四边形 ABCD 的面积 为 x（180－2x） m2； （2）若矩形场地 ABCD 的面积为 4 000 m2，问 BC 的长为多少米？
解：（1）设篱笆BC的长为x m，则AB的长为（37＋15，x2＝5． 答：篱笆BC的长为15 m或5 m． （2）不可能．理由如下： 假设矩形鸡舍ABCD的面积是210 m2， 由题意，得（37＋3－2x）x＝210， 整理，得x2－20x＋105＝0． ∵此方程中Δ＝（－20）2－4×105＝－20＜0， ∴方程无实数解， ∴矩形鸡舍ABCD的面积不可能达到210 m2．
解得x1＝15，x2＝9． ∵14＜15，不合题意，舍去，
答：这个养鸡场的长为9 m，宽为5 m．
3．如图，利用两面靠墙（图中虚线部分），且墙足够长，用总长度 37 m 的 篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍 ABCD，且中间共留三个 1 m 的小 门． （1）若矩形鸡舍 ABCD 的面积为 150 m2，求篱笆 BC 的长； （2）矩形鸡舍 ABCD 的面积是否有可能达到 210 m2？若有可能，求出相应 x 的值；若不可能，请说明理由．
一元二次方程 面积问题
思考： 练习：P48第8题 1. 你读到了哪些信息？ 封面中央图案所占的面积是封面面积的 四分之三
21cm 9xc m 27c m 7x cm 7x cm
彩色边衬所占面积是封面面积的四分之 一
2. 题目中哪些量是已知 的，哪些量是未知的？ 3. 你认为哪些是解决问 题的关键字句？ 4. 问题中的相等关系是 什么？ 5. 你认为可以怎样设元？
(32 2 х)(20 х) 540
4、若把甲同学的道路由直路改为斜路，那么道路
的宽又是多少米？（列出方程，不用求解）
20 32
如图，要设计一本书的 封面，封面长27cm， 宽21cm，正中央是一 个与整个封面长宽比例 相同的矩形，如果要使 四周的彩色边衬所占面 积是封面的四分之一， 上、下边衬等宽，左、 右边衬等宽，应如何设 计四周边衬得宽度？
答：纸盒的高为5形纸板，剪去四个边 长为5cm的小正方形，并用它做一个无盖的长方体形状 的包装盒。要使包装盒的容积为200cm3（纸板的厚度略
去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少cm？
设长为5x，宽为2x，得：
5cm
5（5x-10）（2x-10）=200
18米
2米
例1、如图甲，有一张长40cm，宽25cm的长方形硬纸片， 裁去角上四个小正方形之后，折成如图乙所示的无盖纸 盒。若纸盒的底面积是450cm2，那么纸盒的高是多少？
40cm 25cm
解:设高为xcm,可列方程为 （40－2x)(25 -2x)=450
甲
乙
解得x1=5, x2=27.5
经检验：x=27.5不符合实际，舍去。
(32 x) (20 x)
(32 x)(20 x) 540
化简，得
一元二次方程应用题 面积问题
1(8x)6(x)1186.
A
2
22
整理得:
x21x42 40.
P
8cm
解这个方程,得:
x12;x21(2 不合 ,舍 题 )去 .意 C
B Q
答 :2s后 ,PC 的 D面 P积 tAB 是 面 C积的 . 一 6cm 半
老师 :当 提方 示程 x2配 2 0方 10 时 ,为 0 特别,要
负数是没 . 有平方根的
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P,Q同时由A,B 两点出发,分别沿AC,BC方向向点C匀速移动,它们 的速度都是1m/s.几秒后△PCD的面积是Rt△ACB面 积的一半?
解 :设 x后 s , P的 CD 面 P A t积 面 BC 是 积 ,根 的 据 ,得 一
这是鸡场最 . 大的面积
4. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一 边靠墙(墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏 长40m.
解:(3)设养鸡场的长为xm,根据题意得
x 4 0x 2 5 0. 2 即 x24x0500.
解这个方程,知
25m 180m2
40 x 2
这个方程无解 .
x
答: 鸡场的面积不能达25到0m2.
解：如果设花边的宽为xm , 根据题意得
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18. 即2x2-13x+11 = 0.
3.如图,在一块长35m,宽26m矩形地面上,修建同 样宽的两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草, 在使剩余部分的面积为850m2,道路的宽应是多少？
解：设道路的宽为 x m，根据题意得
解:(1)设养鸡场的宽为xm,根据题意得
x4 02x18. 0
25m
一元二次方程方程的应用面积问题
一元二次方程方程的应用面积问题一元二次方程是数学中的重要概念，它在现实生活中有着丰富的应用。
其中之一就是在解决面积问题时发挥作用。
从简到繁，本文将深入探讨一元二次方程在面积问题中的应用，以便读者能够更深入地理解这一概念。
一、一元二次方程的基本概念在深入讨论一元二次方程在面积问题中的应用之前，我们先来复习一下一元二次方程的基本概念。
一元二次方程通常具有如下形式：\[ax^2 + bx + c = 0\]其中，\(a\)、\(b\) 和 \(c\) 分别是一元二次方程的系数，而 \(x\) 则是未知数。
通过求解一元二次方程，我们可以得到该方程的根，从而找到方程所代表的数学意义。
二、一元二次方程在面积问题中的应用1. 求矩形的面积假设矩形的长为 \(x+3\)，宽为 \(x-1\)，我们希望求解这个矩形的面积。
根据矩形面积的计算公式 \[面积 = 长 \times 宽\]我们可以建立一个关于矩形面积的一元二次方程，通过求解这个方程，就可以得到这个矩形的面积。
2. 求三角形的面积假设有一个底边长为 \(x+2\)，高为 \(2x-1\) 的三角形，我们可以利用一元二次方程来求解这个三角形的面积。
根据三角形面积的计算公式\[面积 = \frac{底边 \times 高}{2}\]我们可以建立一个关于三角形面积的一元二次方程，通过求解这个方程，就可以得到这个三角形的面积。
3. 求圆的面积对于圆的面积问题，我们需要利用一元二次方程的相关知识进行转化。
假设一个圆的半径为 \(x+1\)，我们希望求解这个圆的面积。
根据圆的面积公式 \[面积 = \pi \times 半径^2\]我们可以建立一个关于圆面积的一元二次方程，通过求解这个方程，就可以得到这个圆的面积。
三、总结与回顾通过以上的例子，我们可以看到一元二次方程在面积问题中的广泛应用。
无论是矩形、三角形还是圆，我们都可以利用一元二次方程来求解其面积，这为我们在实际生活中的计算提供了便利。
一元二次方程的应用--面积问题》教学设计
一元二次方程的应用--面积问题》教学设计本节课的学生已经学过一元二次方程的基本知识，但对于如何将方程应用于实际问题解决中还存在一定的困惑。
因此，本节课需要通过生活化的面积问题引导学生思考，提高他们的运算能力和思维能力，并让他们体验到建模思想的魅力。
同时，通过合作研究和探索交流，培养学生的主动探究、深度思考的研究品质，使他们学会智慧生活。
二、教学重难点教学重点：通过面积问题引导学生理解一元二次方程解的实际意义，掌握列一元二次方程解决实际问题的方法，加强对XXX的合理性的理解。
教学难点：寻找等量关系，对方程的解在实际情境中的合理理解。
为了突破这些难点，我们将采用共同分析问题、灵感碰撞、辨析比较、数学类比、转化、建模思想的运用、归纳提炼等方法，帮助学生生成方法，提高他们的综合能力，达成教学目标。
三、教学过程1.引入问题老师：同学们，你们去过花园吗？在花园里，我们经常能看到各种各样的小路，那么设计这些小路的时候，有没有考虑过它们的面积呢？今天，我们就来探讨一下如何用数学方法解决这个问题。
2.讲解面积问题的解法老师：同学们，我们可以将小路看成长方形，这样，小路的面积就是长和宽的乘积。
但是，有些小路的形状并不规则，如何求出它们的面积呢？我们可以将它们分成若干个规则的图形，然后再求出每个图形的面积，最后将它们加起来。
这个方法叫做分割法，你们可以试一试。
3.解决实际问题老师：现在，我们假设有一个长方形的花坛，它的周长是20米，面积是56平方米，那么这个花坛的长和宽各是多少呢？请你们用一元二次方程解决这个问题。
4.检验解的合理性老师：同学们，我们已经求出了这个花坛的长和宽，但是，我们还需要检验一下这个解是否合理。
请你们思考一下，如果这个花坛的长和宽与我们求出的解不同，会出现什么情况呢？5.总结归纳老师：同学们，今天我们研究了如何用一元二次方程解决面积问题，并通过一个实际问题体验了建模思想的魅力。
你们觉得这个方法有用吗？有哪些需要注意的地方呢？请你们思考一下，并做一下总结。
一元二次方程应用题面积问题
例子三
如果花坛的面积为40平方 米，求出花坛的长度和宽 度。
常见面积问题的总结
1 房屋面积
如何利用一元二次方程 计算房屋的面积？让我 们总结一下。
2 花坛面积
通过一元二次方程解决 花坛面积的问题有哪些 常见方法？我们来一起 回顾一下。
3 其他应用题
一元二次方程在其他面 积问题中还有哪些实际 应用？让我们一起探索。
结论和要点
通过本次讲座，我们了解了一元二次方程在面积问题中的应用。我们学习了一元二次方程的定义和公式， 探讨了解决面积问题的步骤，并举例演示了实际应用。希望这些知识能够帮助你在日常生活中解决面积 问题。
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的代数方程，其中a、b、c是已知常数，x是未知数。解一元二次 方程可以使用二次方程的公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
应用题面积问题的例子
假设我们想计算一个长方形花坛的面积。已知花坛的一条边长为x米，另一条边长为x + 2米。如何利用 一元二次方程来解决这个问题呢？让我们看一下具体的例子。
一元二次方程应用题面积 问题
欢迎来到本次讲座！今天我们将探讨一元二次方程在面积问题中的应用。让 我们一起享受这个令人兴奋且具有挑战性的话题吧！
问题背景
在实际生活中，我们经常遇到需要计算面积的问题，例如房屋面积、花坛面 积等。那么，如何利用一元二次方程来解决这类问题呢？让我们一起探索吧！
一元二次方程的定义和公式
解决面积问题的步骤
1
步骤二
面积：A = 长 × 宽。
3
步骤一
假设花坛的长度为x米，宽度为x + 2 米。
步骤三
将面积公式代入一元二次方程：x(x + 2) = A。
一元二次方程应用__图形面积问题
(1)
解2：解1计算时分块较多，还要注意重叠部分要减去。 我们可以利用图形的平移，对图形进行重新整理，如右图。
解：设图中道路的宽为x米， 由题得：（32 x）(20 x) 540
整理得： x2 52 x 100 0 (x 2)(x 50) 0
解得：x1 2, x2 50(不合题意，舍去 ) 故道路宽为 2米.
练习：如图，小华从市场上买回一块矩形铁皮，他将此 矩形铁皮的四个角落各剪去一个边长为1m的正方形后， 剩下的部分刚好能围成一个容积为15m³的无盖长方体箱 子，且此长方体箱子的底面长比宽多2m。已知购买这种 铁皮每平方米需20元，算一算小华购回这张矩形铁皮共 花了多少钱？
解：设无盖长方体箱子宽x米，则长（x 2）米
由题： x( x 2) 1 15
则矩形铁皮面积为： （5 2）（3 2） 35(平方米)
整理得： x2 2x 15 0
35 20 700 元
解得：x1 3, x2 5(舍去)
故这张铁皮共花了 700 元.
课堂小结： 本节课你有哪些收获？
1、仔细分析题目，找准题目中的量，会用含未知 数的代数式准确表示出所需量，进而根据等量关 系列出方程；
解：设金色纸边的宽为xcm,则挂图长为 (80+2x)cm、宽为(50+2x)cm
由题意得：（80 2x）(50 2x) 5400
4x2 260x 1400 0
整理得： x2 6 5, x2 70(不合题意舍去 ) 故金色纸边的宽为5cm.
17.5 一元二次方程应用 ---图形面积问题
例1：学校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的 长方形草地上修筑若干条宽度相同的道路,余下部分作 草坪。现有一位学生设计了如下一种方案，如图（1）, 若使草坪面积为540㎡，求图中道路的宽。
一元二次方程的应用之面积问题
化简得，x2 36x 35 0 (x 35)(x 1) 0 x1 35, x2 1
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.
答:道路的宽为1米.
小结： 列一元二次方程
解应用题的步骤？
5
（8－2x）
x
１８m2
x
例1.镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的
长为8m，宽为5m．如果镜框中央长方形图案的面积为
18m2 ，则镜框多宽?
审
解：设镜框的宽为xm ，则镜框中央长方形
图案的长为（8-2x）m宽, 为 （5-2x）m,得
设
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18
40米
22米
[例4] 学校要建一个面积为150平方米的长方形 自行车棚，为节约经费，一边利用18米长的教 学楼后墙，另三边利用总长为35米的铁围栏围 成，求自行车棚的长和宽.
解：设与教学楼后墙垂直的一条边长为x米，则与教学
楼后墙平行的那条边长为
(352x)米，根据题意，得 x(352x)150 解当得x x115时12，5 3, x522x1200.18不合题意，舍去；
列
即2X2 － 13 X ＋ 11＝0
解
解得X1＝1，
X2＝5.5(不合题意)
答:镜框的宽为1m.
答
例2．如图，一块长和宽分别为60厘米和40 厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个 相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水 槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正 方形的边长。
例2．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相 等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形 的边长。
22.3.2一元二次方程的应用——面积问题
27米
(70 2x) x 528
x 2 35x 264 0
x
x
( x 11)(x 24) 0
x1 11 x2 24
27米＝48（不合题意，舍去）
当 x 24 时，
x 70－2x＝70－48＝22
答：鸡场的长是24米，宽是22米。
540米2。
解法一、 如图，设道路的宽为x米，
(2)
则横向的路面面积为 32x 米2 ，
纵向的路面面积为 20x 米2 。
？ 所列的方程是不是 32 20 (32x 20x) 540
注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米2
图中的道路面积不是 32x 20x米2。
而是从其中减去重叠部分，即应是 32x 20x x2 米2
答：所求道路的宽为2米。
解法二：
我们利用“图形经过移动， 它的面积大小不会改变”的道理， 把纵、横两条路移动一下，使列 方程容易些（目的是求出路面的 宽，至于实际施工，仍可按原图 的位置修路）
(2)
(2)
如图，设路宽为x米，横向路面 32x米2 ，
纵向路面面积为20x米2。
草坪矩形的长（横向为2 ) （32-x，)米
练习：
2．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边 靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总 长为35m，所围的面积为150m2，则此长方 形鸡场的长、宽分别为_______．
长、宽分别为7.5cm,20cm 或10cm,15cm
练习：
3、用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2
的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明
4. (p58-5题)一个长方体的长与宽的比为5:2,高为 5cm,表面积为40cm2,画出这个长方体的展开图. 56页活动1
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通过以上的设计，我们又学到了什么处理图形面积类的好方 法？转化成规则图形的方法是什么？平移图形 应用1、邻居张老汉养了一群鸡，现在要建一面积是150平方米的长方 新巩知固形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的 能力门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．请同学计 算一下鸡场的长和宽各多少米？ 2、如图,在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周镶上一条宽度相同的 金色纸边,制成一幅挂画.如果要求挂画的面积是整个面积的72%, 那么金边的宽应是多少?
已知矩形(记为A)长为4，宽为1，是否存在另一个矩形(记为B), 使得这个矩形的周长和面积都为原来矩形周长和面积的一半?如果 存在,求出这个矩形的长和宽；如果不存在,试说明理由。
知 如何解决实际问题？
识 1、 解决实际问题时要本着什么样的思路？
小 结
2、 如何根据题目的条件选择正确的模型。
形 3、 在对问题的再反思，再改变的过程中要不断探索，
请计算： 若要求折成的无盖纸盒的底面积是450平方厘米，那么那么应
剪去边长为多少的正方形？ 找一名学生读题，并通过审题得出：
分析： （1）观察图形，底面积是由什么决定的？ （2）题目中的已知量和未知量都有哪些？它们之间有什么关系？
找一名学生板书过程： 解：设需要剪去的小正方形边长为xcm，则盒底面长方形的长为 （40-2x）cm，宽为（25-2x）cm，
教师总结：要注意检验两个根是否符合实际意义。画出图形 时，看是否能直观准确的找到已知量和未知量之间的关系。 发散 现有一项美化校园的设计任务,准备在长32m，宽20m的长方形 思提维高场地上，修筑宽度相同的若两条道路（不一定是直的），可以有 能力重合部分，余下的设计成草坪，要求草坪总面积为540m2，请你 计算一下设计方案中道路的宽. （注意设计的合理性和美观性）。 找一名学生读题后，审清题目要求； 让学生在学案上画出自己的设计图； 结合学生画出的图形，利用实物投影进行讲解： 第一类：直线类； 第二类：折线类； 第三类：曲线类； 小结方法：通过图形的拼接，只要道路每一处的宽度相同，就可以 通过平移，把图形变成规则图形来解决。 若将题目改成：若干条呢？我们看这个设计方案，你又有了什么发 现？结果是否相同？
难点： 把复杂的图形转化成简单的基本图形，从而找到简洁的相等关系。
教学手段：电脑
教学方式：探究,合作。
教学
教学过程
环节
（1）我们都学习过哪些方程工具？ 温故 知 （2）利用不同的方程解应用题的步骤有什么区别？ 新： （3）分析问题的方法都有哪些？
今天我们会学到更多的分析问题，转化未知的方法
学习 在生活中，包装盒是很常见，如果有一张长方形纸片，长 新形知成40cm，宽25cm，你会把它做成一个无盖的纸盒吗？说说你的方 能力法。
17.3 一元二次方程的应用——面积问题
教学目标：1.使学生会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用 问题．
2. 进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问 题的能力，培养用数学的意识．
3. 进一步使学生深刻体会转化以及方程的思想方法、渗透数形结合的思 想．
重点： 一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用题．
据题意：（40-2x）（25-2x）=450． 得2x2－65x＋275＝0， 解得x1=2，x2=27.5． ∴ 当x=27.5时，25-2x=-30（不合题意，舍去．） 答：截取的小正方形边长应为2cm，可制成符合要求的无盖盒 子．
小结： （1） 在解决这个问题中，都使用了哪种分析问题的方法？ (2)在解题过程中要注意什么？
成
提高创新能力。
系
统
布 练习册
置 作 业
2米 18米
A
B
一． ----------------------------------------------
板书设计：
二． -------------------------------------------------
三． -----------------------------------------------