第一章+热力学的基本规律

1.3 在0C

和1n p 下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为

51714.8510K 7.810.n p ακ----=⨯=⨯T 和T ακ和可近似看作常量，今使铜块加热至10C 。

问：

（a ）压强要增加多少n p 才能使铜块的体积维持不变？（b ）若压强增加100n p ，铜块的体积改变多少？

解：（a ）根据1.2题式（2），有

.T dV

dT dp V ακ=- （1）

上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差dV ，温度差dT 和压强差dp 之间的关系。如果系统的体积不变，dp 与dT 的关系为

.T

dp dT α

κ=

（2）

在α和T κ可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得

()2121.

T p p T T α

κ-=

- （3）

将式（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态和终态的压强差和温度差满足式（3）。 但是应当强调，只要初态()1,V T 和终态()2,V T 是平衡态，两态间的压强差和温度差就满足式（3）。 这是因为，平衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历史无关。 本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。 在加热过程中，铜块各处的温度可以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3）。

将所给数据代入，可得

5

2174.851010622.

7.810n p p p --⨯-=⨯=⨯

因此，将铜块由0C 加热到10C

，要使铜块体积保持不变，压强要增强622n p

（b ）1.2题式（4）可改写为

()()21211

.T V

T T p p V ακ∆=--- （4）

将所给数据代入，有

571

44.8510107.8101004.0710.

V

V ---∆=⨯⨯-⨯⨯=⨯

因此，将铜块由0C 加热至10C

，压强由1n p 增加100n p ，铜块体积将增加原体

积的4

4.0710-⨯倍。

1.4 简单固体和液体的体胀系数α和等温压缩系数T κ数值都很小，在一定温度范围内可以把α和T κ看作常量. 试证明简单固体和液体的物态方程可近似为

()()000(,),01.T V T p V T T T p ακ=+--⎡⎤⎣⎦

解: 以,T p 为状态参量，物质的物态方程为

(),.

V V T p =

根据习题1.2式（2），有

.T dV

dT dp V ακ=- （1）

将上式沿习题1.2图所示的路线求线积分，在α和T κ可以看作常量的情形下，有

()()000

ln

,T V

T T p p V ακ=--- （2）

或

()()()()

0000,,.

T T T p p V T p V T p e

ακ---= （3）

考虑到α和T κ的数值很小，将指数函数展开，准确到α和T κ的线性项，有

()()()()0000,,1.T V T p V T p T T p p ακ=+---⎡⎤⎣⎦ （4）

如果取00p =，即有

()()()00,,01.T V T p V T T T p ακ=+--⎡⎤⎣⎦ （5）

1.16 理想气体分别经等压过程和等容过程，温度由1T 升至2T 。 假设γ是常数，试证明前者的熵增加值为后者的γ倍。

解：根据式（1.15.8），理想气体的熵函数可表达为

0ln ln .

p S C T nR p S =-+ （1）

在等压过程中温度由1T 升到2T 时，熵增加值p S ∆为

2

1ln

.

p p T S C T ∆= （2）

根据式（1.15.8），理想气体的熵函数也可表达为

0ln ln .V S C T nR V S =++ （3） 在等容过程中温度由1T 升到2T 时，熵增加值V S ∆为

2

1ln

.

V V T S C T ∆= （4）

.

p p V

V

S C S C γ∆=

=∆ （5）

1.17 温度为0C

的1kg 水与温度为100C

的恒温热源接触后，水温达到100C

。试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。欲使参与过程的整个系统

的熵保持不变，应如何使水温从0C 升至100C

？已知水的比热容为

114.18J g K .--⋅⋅

解：0C 的水与温度为100C 的恒温热源接触后水温升为100C

，这一过程是不可逆过程。为求水、热源和整个系统的熵变，可以设想一个可逆过程，它使水和热源分别产生原来不可逆过程中的同样变化，通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的熵变。

为求水的熵变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源，其温度分布在

0C 与100C 之间。令水依次从这些热源吸热,使水温由0C 升至100C 。在这可

逆过程中,水的熵变为

373

31273

373373

ln

10 4.18ln 1304.6J k .273273p p mc dT S mc T

-∆===⨯⨯=⋅⎰

水 （1）

水从0C 升温至

100C

所吸收的总热量Q 为 3510 4.18100 4.1810J.

p Q mc T =∆=⨯⨯=⨯

为求热源的熵变，可令热源向温度为100C

的另一热源放出热量Q 。在这可逆过程中，热源的熵变为

5

14.18101120.6J K .

373S -⨯∆=-=-⋅热源

（2）

由于热源的变化相同，式（2）给出的熵变也就是原来的不可逆过程中热源的熵变。则整个系统的总熵变为

1184J K .

S S S -∆=∆+∆=⋅总水热源 （3）