高中数学第一章数列1.2等差数列1.2.1.2等差数列的性质及应用课件北师大版必修5
高中数学 第一章 数列 1.2 等差数列 1.2.1.1 等差数列的定义和通项公式课后习题(含解析)
§2等差数列2.1等差数列第1课时等差数列的定义和通项公式课后篇巩固探究1.若{a n}是等差数列,则下列数列中也成等差数列的是()A.{a n2}B.{1a n} C.{3a n} D.{|a n|}解析:设{a n}的公差为d,则3a n+1-3a n=3(a n+1-a n)=3d是常数,故{3a n}一定成等差数列.{a n2},{1a n},{|a n|}都不一定是等差数列,例如当{a n}为{3,1,-1,-3}时.答案:C2.在等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为()A.1B.2C.3D.4解析:∵a1+a5=10=a1+a1+4d=2(a1+2d)=2a3,∴a3=5.故d=a4-a3=7-5=2.答案:B3.已知{a n}是首项a1=2,公差为d=3的等差数列,若a n=2 018,则序号n等于()A.670B.671C.672D.673解析:∵a1=2,d=3,∴a n=2+3(n-1)=3n-1.令3n-1=2018,解得n=673.答案:D4.等差数列{a n}中,a1=8,a5=2,如果在每相邻两项间各插入一个数,使之成为新的等差数列,那么新的等差数列的公差是()A.34B.-34C.-67D.-1解析:设新数列a1,b1,a2,b2,a3,b3,a4,b4,a5,…,公差为d,则a5=a1+8d,所以d=a5-a18=2-88=-68=-34.故选B.答案:B5.已知点(n,a n)(n∈N+)都在直线3x-y-24=0上,则在数列{a n}中有()A.a7+a9>0B.a7+a9<0C.a7+a9=0D.a7·a9=0解析:∵(n,a n)在直线3x-y-24=0,∴a n=3n-24.∴a7=3×7-24=-3,a9=3×9-24=3,∴a7+a9=0.答案:C6.在等差数列{a n }中,若a 1=7,a 7=1,则a 5= . 答案:37.在等差数列{a n }中,已知a 5=10,a 12>31,则公差d 的取值范围是 . 解析:设此数列的首项为a 1,公差为d ,由已知得{a 1+4d =10,a 1+11d >31,①②②-①,得7d>21,所以d>3.答案:d>38.在数列{a n }中,a 1=3,且对任意大于1的正整数n ,点(√a n ,√a n -1)在直线x-y-√3=0上,则数列{a n }的通项公式为a n = .解析:由题意知√a n −√a n -1=√3(n ≥2),∴{√a n }是以√a 1为首项,以√3为公差的等差数列, ∴√a n =√a 1+(n-1)d=√3+√3(n-1)=√3n. ∴a n =3n 2.答案:3n 29.已知数列{a n },{b n }满足{1a n +b n}是等差数列,且b n =n 2,a 2=5,a 8=8,则a 9= .解析:由题意得1a2+b 2=19,1a8+b 8=172,因为{1a n +b n }是等差数列,所以可得该等差数列的公差d=-772×6,所以1a 9+b 9=172−772×6=-1432,所以a 9=-513.答案:-51310.如果在等差数列{3n-1}的每相邻两项之间插入三项后使它们构成一个新的等差数列,那么新数列的第29项是原数列的第 项.解析:设a n =3n-1,公差为d 1,新数列为{b n },公差为d 2,a 1=2,b 1=2,d 1=a n -a n-1=3,d 2=d14=34,则b n =2+34(n-1)=34n+54,b 29=23,令a n =23,即3n-1=23.故n=8. 答案:811.若一个数列{a n }满足a n +a n-1=h ,其中h 为常数,n ≥2且n ∈N +,则称数列{a n }为等和数列,h 为公和.已知等和数列{a n }中,a 1=1,h=-3,则a 2 016= . 解析:易知a n ={1,n 为奇数,-4,n 为偶数,∴a 2016=-4.答案:-412.已知a ,b ,c 成等差数列,且它们的和为33,又lg(a-1),lg(b-5),lg(c-6)也构成等差数列,求a ,b ,c 的值. 解由已知,得{2b =a +c ,a +b +c =33,2lg (b -5)=lg (a -1)+lg (c -6),∴{b =11,a +c =22,(b -5)2=(a -1)(c -6),解得a=4,b=11,c=18或a=13,b=11,c=9. 13.导学号33194005已知无穷等差数列{a n },首项a 1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b n }. (1)求b 1和b 2; (2)求{b n }的通项公式;(3){b n }中的第110项是{a n }的第几项? 解(1)∵a 1=3,d=-5,∴a n =3+(n-1)(-5)=8-5n.∵数列{a n }中项的序号被4除余3的项依次是第3项,第7项,第11项,…, ∴{b n }的首项b 1=a 3=-7,b 2=a 7=-27.(2)设{a n }中的第m 项是{b n }的第n 项,即b n =a m , 则m=3+4(n-1)=4n-1,∴b n =a m =a 4n-1=8-5(4n-1)=13-20n (n ∈N +).∴{b n }的通项公式为b n =13-20n (n ∈N +).(3)b 110=13-20×110=-2187,设它是{a n }中的第m 项,则8-5m=-2187,则m=439. 14.导学号33194006已知数列{a n }满足a 1=15,且当n>1,n ∈N +时,有an -1a n=2a n -1+11-2a n,设b n =1a n,n ∈N +.(1)求证:数列{b n }为等差数列.(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.(1)证明当n>1,n ∈N +时,an -1a n=2a n -1+11-2a n⇔1-2a n a n=2a n -1+1a n -1⇔1a n-2=2+1an -1⇔1a n−1a n -1=4⇔b n -b n-1=4,且b 1=1a 1=5.∴{b n }是等差数列,且公差为4,首项为5.(2)解由(1)知b n =b 1+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1.∴a n =1b n=14n+1,n ∈N +.∴a 1=15,a 2=19,∴a 1a 2=145.令a n=14n+1=145,∴n=11,即a1a2=a11.∴a1a2是数列{a n}中的项,是第11项.。
高中数学 第一章 数列 1.2 等差数列 1.2.2 第2课时 等差数列的综合问题学案(含解析)北师
第2课时等差数列的综合问题知识点一等差数列的性质[填一填](1)若{a n}为等差数列，则距首末距离相等的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1＋a n＝a2＋a n－1＝a3＋a n－2＝….(2)若{a n}为等差数列，m，n，p，q∈N＋，且m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q.(3)若{a n}为等差数列，m，k，n成等差数列，则a m，a k，a n也成等差数列(m，k，n∈N＋)，即若m＋n＝2k，则a m＋a n＝2a k.[答一答]1．对于性质：若{a n}为等差数列，m，n，p，q∈N＋，且m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p ＋a q，请给出证明．提示：证明：设{a n}的公差为d，则a m＝a1＋(m－1)d，a n＝a1＋(n－1)d，a p＝a1＋(p－1)d，a q＝a1＋(q－1)d，∴a m＋a n＝2a1＋(m＋n－2)d，a p＋a q＝2a1＋(p＋q－2)d，∵m＋n＝p＋q，∴a m＋a n＝a p＋a q.知识点二 等差数列前n 项和的性质[填一填](1)等差数列前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 可写成S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，即S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)的形式，当A ≠0时(即d ≠0)，S n 是关于n 的二次函数，其图像是抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上的一群孤立的点．(2)若{a n }，{b n }都是等差数列，则{pa n ＋qb n }(p ，q 为常数)是等差数列．(3)若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则数列S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…(k ∈N ＋)也是等差数列，其公差等于k 2d .(4)若等差数列{a n }的项数为2n (n ∈N ＋)，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)(a n ，a n ＋1为中间两项)，且S偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n.(5)若等差数列{a n }的项数为2n －1(n ∈N ＋)，则S 2n －1＝(2n －1)a n (a n 为中间项)，且S 奇－S偶＝a n ，S 偶S 奇＝n －1n .[答一答]2．等差数列前n 项和的“奇偶”性质：在等差数列{a n }中，公差为d ，①若数列共有2n 项，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n ；②若数列共有2n ＋1项，则S 2n＋1＝(2n ＋1)a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n(n ＋1)．请给出证明．提示：证明：①若数列共有2n 项，则S 2n ＝2n (a 1＋a 2n )2＝2n (a n ＋a n ＋1)2＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2＝2na n ＋12＝na n ＋1，S 奇＝n (a 1＋a 2n －1)2＝2na n2＝na n ，S 偶－S 奇＝na n ＋1－na n ＝n (a n ＋1－a n )＝nd ， S 偶S 奇＝a n ＋1a n ；②若数列共有2n ＋1项，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝2(2n ＋1)a n ＋12＝(2n ＋1)a n ＋1，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2＝2na n ＋12＝na n ＋1，S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝2(n ＋1)a n ＋12＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1， S 偶S 奇＝n(n ＋1)．1．三数成等差数列的设法为：a －d ，a ，a ＋d ，其中d 为公差；四数成等差数列的设法为：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，其公差为2d .2．会用方程的思想处理等差数列的有关问题．等差数列的通项公式与前n 项和公式涉及五个量：a 1，d ，n ，a n ，S n ，知道其中任意三个就可以通过列方程组求出另外两个(俗称“知三求二”)．解等差数列问题的基本方法是方程法，在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换，使运算更加迅速和准确．类型一 等差数列的性质的应用【例1】 在等差数列{a n }中，(1)若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝350，则a 2＋a 8＝________；(2)若a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，且a 4<a 2，则a 5＝________； (3)若a 3＝6，则a 1＋2a 4＝________.【解析】 若设出a 1，d 从通项公式入手，运算过程较为繁琐，若能利用性质，可使问题简化．(1)∵a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5＝a 2＋a 8，又由已知a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝350，∴5a 5＝350， ∴a 5＝70，∴a 2＋a 8＝2a 5＝140.(2)∵a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，又由等差数列的性质知a 3＋a 4＝a 2＋a 5，∴2(a 2＋a 5)＝34，∴a 2＋a 5＝17.又a 2·a 5＝52，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝17a 2·a 5＝52，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4a 5＝13，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝13a 5＝4，又∵a 4<a 2，∴a 4－a 2＝2d <0， ∴d <0，∴a 2>a 5，∴a 5＝4.(3)∵a 3＝6，∴a 1＋2a 4＝a 1＋a 3＋a 5＝a 3＋(a 1＋a 5)＝a 3＋2a 3＝3a 3＝18. 【答案】 (1)140 (2)4 (3)18规律方法 等差数列具有一些性质，例如当m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)时，有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N ＋)时，有a m ＋a n ＝2a k ；a n ＝a m ＋(n －m )d 等等．灵活运用这些性质，可大大简化解题过程．【例2】 在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 5＋a 8＝9，a 3a 5a 7＝－21，求数列的通项公式． 【思路探究】 要求通项公式，需要求出首项a 1及公差d ，由a 2＋a 5＋a 8＝9和a 3a 5a 7＝－21直接求解很困难，这就促使我们转换思路．如果考虑到等差数列的性质，注意到a 2＋a 8＝2a 5＝a 3＋a 7，问题就容易解决了．【解】 a 2＋a 5＋a 8＝9，a 3a 5a 7＝－21，又由等差数列的性质知a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝2a 5，∴a 5＝3， ∴a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝6，① 又a 3a 5a 7＝－21， ∴a 3a 7＝－7，②由①②解得a 3＝－1，a 7＝7或a 3＝7，a 7＝－1. ∴a 3＝－1，d ＝2或a 3＝7，d ＝－2. 由通项公式的变形公式a n ＝a 3＋(n －3)d ， 得a n ＝2n －7或a n ＝－2n ＋13.规律方法 若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，此性质要求等式两边必须是两项和的形式，否则不成立，如a 10≠a 2＋a 8，只能是a 2＋a 8＝a 3＋a 7，使用时应切记它的结构特征．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝36，则a 2＋a 4＋a 5＋a 6＋a 8＝90. 解析：a 3＋a 7＝a 2＋a 8＝a 4＋a 6＝2a 5＝36， ∴a 2＋a 4＋a 5＋a 6＋a 8＝＝36＋36＋18＝90.类型二 等差数列前n 项和的性质【例3】 项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．【思路探究】 根据等差数列中的奇数项依次仍成等差数列，偶数项依次仍成等差数列可求解．【解】 设等差数列{a n }共有(2n ＋1)项，则奇数项有(n ＋1)个，偶数项有n 个，中间项是第(n ＋1)项，即a n ＋1，所以S 奇S 偶＝12(a 1＋a 2n ＋1)·(n ＋1)12(a 2＋a 2n )·n＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n ＝4433＝43.解得n ＝3.又因为S 奇＝(n ＋1)·a n ＋1＝44，所以a n ＋1＝11. 故这个数列的中间项为11，共有2n ＋1＝7项．规律方法 在等差数列{a n }中，(1)若项数为2n ＋1(n ∈N ＋)，则S 奇S 偶＝n ＋1n ，其中S 奇＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝na n ＋1；(2)若数列的项数为2n (n ∈N ＋)，则S 偶－S 奇＝nd .【例4】 已知等差数列{a n }的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( )A ．100B ．120C ．390D ．540【解析】 方法一：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝30，30a 1＋435d ＝210，解得⎩⎨⎧a 1＝65，d ＝25.∴S n ＝65n ＋n (n －1)2·25＝15(n 2＋5n )．∴S 20＝15×(202＋5×20)＝100.方法二：设S n ＝An 2＋Bn ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧100A ＋10B ＝30，900A ＋30B ＝210，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝15，B ＝1.∴S n ＝15n 2＋n .∴S 20＝15×202＋20＝100.方法三：由题意，知S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也是等差数列． ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20，即S 20＝13(3S 10＋S 30)＝S 10＋13S 30＝100.【答案】 A规律方法 一个等差数列，从首项起，分成项数相等的若干段后，各段内诸项之和组成新的等差数列．若每段含有n 项，则新公差是原公差的n 2倍．(1)已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为3. (2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 017，其前n 项和为S n ，若S 1010－S 88＝2，则S 2 017的值等于－2_017.解析：(1)由等差数列前n 项和的性质，得S 偶－S 奇＝102×d (d 为该数列的公差)，即30－15＝5d ，解得d ＝3.(2)方法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 1010－S 88＝2得－2 017×10＋10×92d10－－2 017×8＋8×72d8＝2，解得d ＝2，所以S 2 017＝－2 017×2 017＋2 017×2 0162×2＝－2 017.方法二：由等差数列前n 项和的性质可知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列，设其公差为d ，则由S 1010－S 88＝2可得2d ＝2，即d ＝1.又S 11＝－2 017，所以S 2 0172 017＝－2 017＋(2 017－1)×1＝－1，所以S 2 017＝－2 017.类型三 等差数列的综合应用题【例5】 已知数列{a n }是等差数列． (1)若a m ＝n ，a n ＝m (m ≠n )，求a m ＋n ； (2)若S m ＝n ，S n ＝m (m >n )，求S m ＋n .【思路探究】 (1)由通项公式或前n 项和公式得a 1和d 的关系，通过解方程组求得a 1和d ，进而求得a m ＋n 和S m ＋n .(2)利用等差数列的性质可使问题简化．【解】 设首项为a 1，公差为d ， (1)解法一：由a m ＝n ，a n ＝m ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(m －1)d ＝n ，a 1＋(n －1)d ＝m ，解得a 1＝m ＋n －1，d ＝－1.∴a m ＋n ＝a 1＋(m ＋n －1)d ＝m ＋n －1－(m ＋n －1)＝0. 解法二：由a m ＝n ，a n ＝m ，得d ＝n －mm －n ＝－1，∴a m ＋n ＝a m ＋(m ＋n －m )d ＝n ＋n ×(－1)＝0. (2)解法一：由已知可得 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝na 1＋n (n －1)2d ，n ＝ma 1＋m (m －1)2d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝n 2＋m 2＋mn －m －nmn ，d ＝－2(m ＋n )mn .∴S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋(m ＋n )(m ＋n －1)2d ＝－(m ＋n )．解法二：∵{a n }是等差数列， ∴可设S n ＝An 2＋Bn .则⎩⎪⎨⎪⎧Am 2＋Bm ＝n ，①An 2＋Bn ＝m .②①－②得A (m 2－n 2)＋B (m －n )＝n －m ， ∵m ≠n ，∴A (m ＋n )＋B ＝－1.∴S m ＋n ＝A (m ＋n )2＋B (m ＋n )＝－(m ＋n )．规律方法 (1)灵活运用性质求等差数列中的量，可以简化运算，提高解题速度及准确性；(2)在应用性质：若m ＋n ＝l ＋k ，则a m ＋a n ＝a l ＋a k 时，首先要找到项数和相等的条件，然后根据需要求解，解决此类问题要有整体代换的意识．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，且前n 项和为S n . (1)求数列{S nn }的前n 项和T n ；(2)求数列{1T n}的前n 项和．解：(1)由a n ＋1＝a n ＋2，得数列{a n }是等差数列，且a 1＝1，公差d ＝2， 从而a n ＝2n －1，∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2.∴S nn ＝n ，从而T n ＝n (n ＋1)2. (2)由(1)有1T n ＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)，其前n 项和为2[(11－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝2nn ＋1.——多维探究系列—— 特殊值法解等差数列问题特殊值法在解一些选择题和填空题中经常用到，就是通过取一些特殊值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形等来求解或否定问题的目的．用特殊值法解题时要注意，所选取的特例一定要简单，且符合题设条件．【例6】 在等差数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n 满足条件S 2n S n ＝4n ＋2n ＋1，n ＝1,2，…，则a n ＝________.【思路分析】 因S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ＋n (n －1)2d ，则S 2n ＝2na 1＋2n (2n －1)2d ＝2n ＋n (2n －1)d ，故S 2n S n ＝2n ＋n (2n －1)d n ＋n (n －1)2d＝2(2dn ＋2－d )dn ＋2－d ＝4n ＋2n ＋1， 解得d ＝1，则a n ＝n . 【规范解答】 n已知正数数列{a n }对任意p ，q ∈N ＋，都有a p ＋q ＝a p ＋a q ，若a 2＝4，则a 9＝( C ) A ．6 B ．9 C ．18D ．20解析：解法一：∵a 2＝a 1＋1＝a 1＋a 1＝4，∴a 1＝2，a 9＝a 8＋1＝a 8＋a 1＝2a 4＋a 1＝4a 2＋a 1＝18.解法二：∵a 2＝a 1＋1＝a 1＋a 1＝4，∴a 1＝2，令p ＝n ，q ＝1，所以a n ＋1＝a n ＋a 1，即a n ＋1－a n ＝2，∴{a n }是等差数列，且首项为2，公差为2，故a 9＝2＋(9－1)×2＝18.一、选择题1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 5＝10，则a 3的值为( C ) A.65B ．1C ．2D ．3 解析：∵S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3，∴a 3＝15S 5＝15×10＝2.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( C ) A ．1 B.53C ．－2D ．3解析：由题意，得6＝3×4＋3×22d ，解得d ＝－2.3．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项和S 10等于( C ) A ．138 B ．135 C ．95 D ．23解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋3d ＝4，a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝10， 解得a 1＝－4，d ＝3，所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝95. 二、填空题4．在数列{a n }中，a n ＝5n －105，则当n ＝20或21时，S n 取最小值．5．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N ＋，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为110.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . a 3＝a 1＋2d ＝16，S 20＝20a 1＋20×192d ＝20. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝16，2a 1＋19d ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝20，d ＝－2.∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝200－90＝110. 三、解答题6．等差数列{a n }中，a 2＋a 3＝－38，a 12＝0，求S n 的最小值以及相对应的n 值． 解：解法一：(单调性法)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋d )＋(a 1＋2d )＝－38a 1＋11d ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－22d ＝2.∴当⎩⎨⎧ a n ≤0a n ＋1≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－22＋2(n －1)≤0－22＋2n ≥0时，S n 有最小值，解得11≤n ≤12， ∴当n ＝11或12时，S n 取得最小值，最小值为S 11＝S 12＝－132. 解法二：(配方法)由解法一得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－22d ＝2，∴S n ＝－22n ＋n (n －1)2×2＝n 2－23n ＝⎝⎛⎭⎫n －2322－5294， ∴当n ＝11或12时，S n 取得最小值，最小值为S 11＝S 12＝－132. 解法三：(邻项比较法)由解法二得S n ＝n 2－23n ，又由⎩⎪⎨⎪⎧ S n ≤S n －1，S n ≤S n ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2－23n ≤(n －1)2－23(n －1)，n 2－23n ≤(n ＋1)2－23(n ＋1)， 解得11≤n ≤12，故S 11＝S 12， ∴当n ＝11或12时，S n 取得最小值，最小值为S 11＝S 12＝－132.。
1.2.1.2等差数列的性质 课件(北师大版必修五)
中项法
【例2】已知a、b、c成等差数列，那么a2(b+c)、b2(c+a)、
c2(a+b)是否构成等差数列？
【审题指导】本题考查等差数列定义、等差中项等.由a、b、c
成等差数列可知2b=a+c,再证是否有2b2（c+a）=a2（b+c）+
c2（a+b）即可.
【规范解答】∵a、b、c成等差数列，∴a+c=2b. 又∵a2（b+c）+c2（a+b）-2b2（c+a）=a2c+c2a+ab（a-2b）
依题意，3a=6且a(a-d)(a+d)=-24,
所以a=2,代入a(a-d)(a+d)=-24,
化简得d2=16,于是d=〒4，
故三个数为-2，2，6或6，2，-2.
方法二：设首项为a,公差为d，这三个数分别为 a,a+d,a+2d，
依题意，3a+3d=6且a(a+d)(a+2d)=-24,
所以a=2-d，代入a(a+d)(a+2d)=-24,
项的下标，这将有助于快速解题，发现规律.
【例1】数列{an}为等差数列，已知a2+a5+a8=9,a3a5a7=-21,
求数列{an}的通项公式.
【审题指导】已知数列中某些项与项之间的关系，求其通项， 可利用a1,d建立方程组来求解.但是，注意到a2,a5,a8及 a3,a5,a7的各项下标之间的关系，也可考虑利用等差数列的 性质来求解，此法运算量较小.
对等差中项的进一步认识.
（1）任何两个数都有等差中项，a与b的等差中项是这两个数
的算术平均数；
北师版高中数学选择性必修第二册精品课件 第一章 1.2 数列的函数特性
解法二:an=3n2-n,an+1=3(n+1)2-(n+1),则
+1 3(+1)2 -(+1) +1 3+2
=
=
×
>1.
2
3 -
3-1
又an>0,故an+1>an,即数列{an}是递增数列.
解法三:令 y=3x2-x,则函数的图象是开口向上的抛物线,其对称轴为直线
1
1
2
x= <1,则函数 y=3x -x 在区间 , + ∞ 上单调递增,故数列{an}是递增数列.
使用作商比较法较方便.
≥ -1 ,
2.利用当n≥2时, ≥
确定n的取值范围,进而确定{an}的最大项,也
+1
是常用的解题方法.
2
【变式训练3】 在数列{an}中,an= 2 + 1 .判断数列{an}的增减性,并求最
小项.
2
2
解:∵an+1-an=
− 2
2
(+1) +1 +1
(3)若∃m,n∈N+,且m<n,使得am>an,则数列{an}不是递增数列.( √ )
(4)若数列{an},an=kn+b是递增数列,则k>0.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
数列增减性的判断
【例1】 已知数列{an}的通项公式为an=3n2-n,判断数列{an}的增减性.
分析
解法一:先写出an+1,通过比较an+1-an与0的大小判断{an}的增减性,解
(第4题)
北师大版高中数学课本目录大全(必修)
北师大版(新课标)高中数学课本目录大全（含必修和选修）北师大必修《数学1(必修)》全书目录：第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算阅读材料康托与集合论第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究§5 简单的幂函数阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数概念的扩充§3 指数函数§4 对数§5 对数函数§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读材料历史上数学计算方面的三大发明第四章函数应用§1 函数与方程§2 实际问题的函数建模阅读材料函数与中学数学探究活动同种商品不同型号的价格问题必修2全书目录：第一章立体几何初步§1 简单几何体§2 三视图§3 直观图§4 空间图形的基本关系与公理§5 平行关系§6 垂直关系§7 简单几何体的面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程§2 圆与圆的方程§3 空间直角坐标系阅读材料笛卡儿与解析几何探究活动1 打包问题探究活动2 追及问题必修3全书目录第一章统计§1 统计活动：随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动：结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法阅读材料统计小史课题学习调查通俗歌曲的流行趋势第二章算法初步§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句课题学习确定线段n等分点的算法第三章概率§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用探究活动用模拟方法估计圆周率∏的值必修4 全书目录：第一章三角函数§1 周期现象与周期函数§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数§5 余弦函数§6 正切函数§7 函数的图像§8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐课题学习利用现代信息技术探究的图像第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量§2 从位移的合成到向量的加法§3 从速度的倍数到数乘向量§4 平面向量的坐标§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例阅读材料向量与中学数学第三章三角恒等变形§1 两角和与差的三角函数§2 二倍角的正弦、余弦和正切§3 半角的三角函数§4 三角函数的和差化积与积化和差§5 三角函数的简单应用课题学习摩天轮中的数学问题探究活动升旗中的数学问题必修5全书共三章：数列、解三角形、不等式。
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高中数学北师大版目录北师大版《数学 (必修 1)》§ 5 平行关系全书目录：§ 6 垂直关系第一章集合§ 7 简单几何体的面积和体积§ 1 集合的含义与表示§ 8 面积公式和体积公式的简单应用§ 2 集合的基本关系阅读材料蜜蜂是对的§ 3 集合的基本运算课题学习正方体截面的形状阅读材料康托与集合论第二章解析几何初步第二章函数§ 1 直线与直线的方程§ 1 生活中的变量关系§ 2 圆与圆的方程§ 2 对函数的进一步认识§ 3 空间直角坐标系§ 3 函数的单调性阅读材料笛卡儿与解析几何§ 4 二次函数性质的再研究探究活动 1 打包问题§ 5 简单的幂函数探究活动 2 追及问题阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算必修 3全书目录第三章指数函数和对数函数第一章统计§ 1 正整数指数函数§ 1 统计活动：随机选取数字§ 2 指数概念的扩充§ 2 从普查到抽样§ 3 指数函数§ 3 抽样方法§ 4 对数§ 4 统计图表§ 5 对数函数§ 5 数据的数字特征§ 6 指数函数、幂函数、对数函数增长§ 6 用样本估计总体的比较§ 7 统计活动：结婚年龄的变化阅读材料历史上数学计算方面的三大§ 8 相关性发明§ 9 最小二乘法阅读材料统计小史第四章函数应用课题学习调查通俗歌曲的流行趋势§ 1 函数与方程§ 2 实际问题的函数建模第二章算法初步阅读材料函数与中学数学§ 1 算法的基本思想探究活动同种商品不同型号的价格问§ 2 算法的基本结构及设计题§ 3 排序问题§ 4 几种基本语句必修 2 课题学习确定线段 n 等分点的算法全书目录：第一章立体几何初步第三章概率§ 1 简单几何体§ 1 随机事件的概率§ 2 三视图§ 2 古典概型§ 3 直观图§ 3 模拟方法――概率的应用§ 4 空间图形的基本关系与公理探究活动用模拟方法估计圆周率∏的值 1.2 数列的函数特性§ 2 等差数列必修 4 全书目录： 2.1 等差数列2.2 等差数列的前ｎ项和第一章三角函数§ 3 等比数列§ 1 周期现象与周期函数 3.1 等比数列§ 2 角的概念的推广 3.2 等比数列的前ｎ项和§ 3 弧度制§ 4 书雷在日常经济生活中的应§ 4 正弦函数用§ 5 余弦函数本章小节建议§ 6 正切函数复习题一§ 7 函数的图像课题学习教育储蓄§ 8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐第二章解三角形课题学习利用现代信息技术探究的图§ 1 正弦定理与余弦定理像 1.1 正弦定理1.2 余弦定理第二章平面向量§ 2 三角形中的几何计算§ 1 从位移、速度、力到向量§ 3 解三角形的实际应用举例§ 2 从位移的合成到向量的加法本章小结建议§ 3 从速度的倍数到数乘向量复习题二§ 4 平面向量的坐标§ 5 从力做的功到向量的数量积第三章不等式§ 6 平面向量数量积的坐标表示§ 1 不等关系§ 7 向量应用举例 1.1 不等关系阅读材料向量与中学数学 1.2 比较大小§ 2 一元二次不等式第三章三角恒等变形 2.1 一元二次不等式的解法§ 1 两角和与差的三角函数 2.2 一元二次不等式的应用§ 2 二倍角的正弦、余弦和正切§ 3 基本不等式§ 3 半角的三角函数 3.1 基本不等式§ 4 三角函数的和差化积与积化和差 3.2 基本不等式与最大（小）§ 5 三角函数的简单应用值课题学习摩天轮中的数学问题§ 4 简单线性规划探究活动升旗中的数学问题 4.1 二元一次不等式（组）与平面区域4.2 简单线性规划必修 5 4.3 简单线性规划的应用全书共三章：数列、解三角形、不等式。
1.2.1《等差数列的性质》课件(北师大版必修5)
•
(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24， 求这三个数； • (2)四个数成递增等差数列，中间两数和为2， 首末两项的积为－8，求这四个数．
• [规范作答]
•
(1)方法一：设等差数列的等差中项为a，公 差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d，
• 依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，
an＝a1＋(n－1)d， ．等差数列的通项公பைடு நூலகம்_________________
(n∈N＋) ________．
或an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)．
2.等差中项 (1)如果在 a 与 b 中插入一个数 A，使 a，A，b 等差数列 成_________，那么 A 叫作 a 与 b 的等差中项， a＋b A＝ 2 且_______. 或2A=a+b (2)在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项(有 前一项 穷等差数列的末项除外)都是它的________与 an－1＋an＋1 后一项 _______的等差中项，即 an＝ 或 2an 2 ＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N＋)．
• • • • •
1．等差数列增减性 对于数列an＝a1＋(n－1)d (1)当d＞0时，{an}为 递增数列 ； (2)当d＜0时，{an}为 递减数列 ； (3)当d＝0时，{an}为 常数列．
•若数列{an}的通项公式为an＝3n＋1，则 a1＋a6＝23，a2＋a5＝23，a3＋a4＝23. 你能看出有什么规律吗？
• 得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，
• 即d2＝16，于是d＝±4，这三个数为－2,2,6 或6,2，－2.
(2)四个数成递增等差数列，中间两数和为2，首
末两项的积为－8，求这四个数．
高中数学第一章数列2.1.2等差数列的性质课时素养评价含解析北师大版必修5
等差数列的性质(20分钟35分)1.在等差数列{a n}中,a10=30,a20=50,则a40等于( )A.40B.70C.80D.90【解析】选D.方法一:设公差为d.因为a20=a10+10d,所以50=30+10d,所以d=2,a40=a20+20d=50+20×2=90.方法二:因为2a20=a10+a30,所以2×50=30+a30,所以a30=70,又因为2a30=a20+a40,所以2×70=50+a40,所以a40=90.2.在等差数列{a n}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( )A.40B.42C.43D.45【解析】选B.因为a2+a3=13,所以2a1+3d=13.因为a1=2,所以d=3.所以a4+a5+a6=3a5=3(a1+4d)=42.3.在等差数列{a n}中,首项a1=0,公差d≠0.若a k=a1+a2+a3+…+a7,则k= ( )A.22B.23C.24D.25【解题指南】利用等差数列的性质得:a1+a2+a3+…+a7=7a4.【解析】选A.因为数列{a n}为等差数列,首项a1=0,公差d≠0,所以a k=a1+(k-1)d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d.解得k=22.4.设{a n}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13等于 ( )A.120B.105C.90D.75【解析】选B.设公差为d.因为a1+a2+a3=3a2=15,所以a2=5,又因为a1a2a3=80,所以a1a3=16,即(a2-d)(a2+d)=16,因为d>0,所以d=3.则a11+a12+a13=3a12=3(a2+10d)=105.5.(2020·重庆高一检测)等差数列中a2+a4+a6+a8=20,则a3+a7= .【解析】a2+a4+a6+a8=2=20,所以a3+a7=10.答案:106.(1)三个数成等差数列,和为6,积为-24,求这三个数;(2)四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.【解析】(1)方法一:设等差数列的等差中项为a,公差为d,则这三个数分别为a-d,a,a+d,由已知,3a=6且a(a-d)(a+d)=-24,所以a=2,代入a(a-d)(a+d)=-24,化简得d2=16,于是d=±4,所以这三个数为-2,2,6或6,2,-2.方法二:设首项为a,公差为d,则这三个数分别为a,a+d,a+2d,由已知,3a+3d=6,且a(a+d)(a+2d)=-24,所以a=2-d,代入a(a+d)(a+2d)=-24,得2(2-d)(2+d)=-24,整理得4-d2=-12,即d2=16,于是d=±4,所以,这三个数为-2,2,6或6,2,-2.(2)方法一:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),由已知,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,所以d2=1,所以d=1或d=-1.又四个数成递增等差数列,所以d>0,所以d=1,所以所求的四个数为-2,0,2,4.方法二:设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d(公差为d),由已知,2a+3d=2,且a(a+3d)=-8, 把a=1-d代入a(a+3d)=-8,得=-8,即1-d2=-8,化简得d2=4,所以d=2或-2.又四个数成递增等差数列,所以d>0,所以d=2,所以所求的四个数为-2,0,2,4.【补偿训练】设数列{a n}是等差数列,b n=,又因为b1+b2+b3=,b1b2b3=,求通项a n.【解析】因为b1b2b3=,又因为b n=,所以··=.所以=,所以a1+a2+a3=3,又因为{a n}成等差数列,所以a2=1,a1+a3=2,所以b1b3=,b1+b3=,所以或即或所以a n=2n-3或a n=-2n+5.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020·石嘴山高一检测)在等差数列中,若a1+a2=4,a3+a4=12,则a5+a6= ( )A.8B.16C.20D.28【解析】选C.因为为等差数列,则a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等差数列,公差为12-4=8.所以a5+a6=a3+a4+8=12+8=20.2.在数列中,已知a n+1-a n=a n+2-a n+1,a1 011=1,则该数列中a1+a2 021= ( )A.1B.2C.3D.4【解题指南】根据条件判断出为等差数列,利用等差数列的等差中项得到答案.【解析】选B.因为a n+1-a n=a n+2-a n+1,所以2a n+1=a n+a n+2,所以为等差数列,因为a1 011=1,所以a1+a2 021=2a1 011=2.【光速解题】选B.根据题意,可以让a1=a2=…=a2 021=1求解.3.(2020·邢台高一检测)在等差数列{a n}中,若a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为( )A.30B.27C.24D.21【解题指南】首先由等差中项的性质知:a4=13,a5=11,由d=a5-a4,a3+a6+a9=3a6,计算a6代入即可. 【解析】选B.因为a1+a4+a7=3a4=39,所以a4=13.因为a2+a5+a8=3a5=33,所以a5=11.所以d=a5-a4=-2.又a6=a5+d=9,所以a3+a6+a9=3a6=27.4.(2020·福州高三检测)在等差数列中,已知a1=3,公差d=2,若a m=a1+a2+a3+a4+a5(m∈N*),则m= ( )A.19B.18C.17D.16【解题指南】依题意a n=2n+1,且a1+a2+a3+a4+a5=5a3=35,令a m=35解方程即可.【解析】选C.根据题意,数列{a n}是等差数列,且a1=3,公差d=2,所以a n=a1+(n-1)d=3+2n-2=2n+1,又因为a m=2m+1=a1+a2+a3+a4+a5=5a3=35(m∈N*),所以m=17.5.设等差数列满足a3+a7=36,a4a6=275,且a n a n+1有最小值,则这个最小值为( )A.-10B.-12C.-14D.-16【解题指南】设该等差数列的首项为a1,公差为d,根据题意,分析可得(a1+2d)+(a1+6d)=36,(a1+3d)(a1+5d)=275,解可得a1与d的值,即可得数列的通项,将其代入a n a n+1中,结合二次函数的性质分析可得答案.【解析】选B.根据题意,设该等差数列的首项为a1,公差为d,若a3+a7=36,a4a6=275,则有(a1+2d)+(a1+6d)=36,(a1+3d)(a1+5d)=275,解得或,则数列的通项为a n=7n-17或a n=-7n+53,当a n=7n-17时,a n a n+1=(7n-17)(7n-10)=49=49-,分析可得当n=2时,a n a n+1有最小值,且其最小值为-12;当a n=-7n+53时,a n a n+1=(-7n+53)(-7n+46)=(7n-53)(7n-46)=49,因为=≈7.07,分析可得当n=7时,a n a n+1有最小值,且其最小值为-12;即a n a n+1有最小值-12.【误区警示】本题因为d有两个解,所以求解a n易错,最后在计算a n a n+1的最值时由于计算量较大,也容易出错.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(5分)已知{a n}为等差数列,且a6=4,则a4a7的最大值为.【解析】设等差数列的公差为d,则a4a7=(a6-2d)(a6+d)=(4-2d)(4+d)=-2(d+1)2+18,即a4a7的最大值为18.答案:187.已知数列{a n}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为.【解析】由等差数列的性质得a1+a7+a13=3a7=4π,所以a7=.所以tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan =tan =-.答案:-8.在△ABC中,若lgsin A,lgsin B,lgsin C成等差数列,且三个内角A,B,C也成等差数列,则△ABC的形状为.【解析】因为lgsin A,lgsin B,lgsin C成等差数列,得lgsin A+lgsin C=2lgsin B,即sin2 B=sin Asin C①,又三内角A,B,C也成等差数列,所以B=60°,代入①得sin Asin C=②,设A=60°-α,C=60°+α,代入②得sin(60°+α)sin(60°-α)=,⇒cos2α-sin2α=,即cos2α=1,所以α=0°,所以A=B=C=60°,所以△ABC为等边三角形.答案:等边三角形三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知无穷等差数列{a n},首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b n}.(1)求b1和b2;(2)求数列{b n}的通项公式;(3)数列{b n}中的第110项是数列{a n}中的第几项?【解析】(1)由题意,等差数列{a n}的通项公式为a n=3+(n-1)(-5)=8-5n,设数列{b n}的第n项是数列{a n}的第m项,则需满足m=4n-1,n∈N+,所以b1=a3=8-5×3=-7,b2=a7=8-5×7=-27.(2)由(1)知b n+1-b n=a4(n+1)-1-a4n-1=4d=-20,所以新数列{b n}也为等差数列,且首项为b1=-7,公差为d′=-20,所以b n=b1+(n-1)d′=-7+(n-1)×(-20)=13-20n.(3)因为m=4n-1,n∈N+,所以当n=110时,m=4×110-1=439,所以数列{b n}中的第110项是数列{a n}中的第439项.10.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产,已知该厂连续生产n个月的累计产量为f(n)=n(n+1)(2n-1)吨,但如果月产量超过96吨,将会给环境造成危害.(1)请你代表环保部门给厂拟定最长的生产周期.(2)若该厂在环保部门的规定下生产,但需要每月交纳a万元环保税,已知每吨售价0.6万元,第n个月的工人工资为g(n)=n2-n-1万元,若每月都赢利,求出a的范围?【解析】(1)设化工厂每个月的产量构成数列{a n},则a n=f(n)-f(n-1)=n(n+1)(2n-1)-(n-1)n(2n-3)=3n2-2n,所以产量逐月递增.当3n2-2n≤96时,解得n≤6,所以环保部门给厂拟定最长的生产周期为6个月.(2)若每月都赢利,则(3n2-2n)--a>0恒成立,所以a<,当n=2时,=,所以a<.又因为a>0,所以0<a<.1.在数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列.第1列第2列第3列…第1行 1 2 3 …第2行 2 4 6 …第3行 3 6 9 ………………那么位于表中的第n行第n+1列的数是.【解析】观察可知,第n行的数构成以n为首项,n为公差的等差数列,所以第n行第n+1列的数是n+[(n+1)-1]×n=n2+n.答案:n2+n2.已知,,成等差数列,求证:,,也成等差数列. 【证明】因为,,成等差数列,所以=+,即2ac=b(a+c).因为+=====,所以,,成等差数列.。
高中数学课件-1-2-1-1等差数列的概念和通项公式 课件(北师大版必修5)
第一章 数列
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2.1 等差数列
第一章 数列
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第1课时 等差数列的概念和通项公式
预习篇 课堂篇 提高篇
巩固篇 课时作业
第一章 数列
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学习目标
1.理解等差数列的特点与定义，掌握等差数列的判断 方法.
2.记住等差数列的概念、等差数列的通项公式，并能 运用通项公式解决一些简单问题.
第一章 数列
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【尝试解答】 数列5,8,11，…记为{an}，数列 3,7,11，…记为{bm}，则an＝5＋(n－1)·3＝3n＋2，bm＝3＋ (m－1)·4＝4m－1.
令an＝bm，得3n＋2＝4m－1(n，m∈N＋)， 即n＝43m－1(n，m∈N＋)． 要使n为正整数，m必须是3的倍数，记m＝3k(k∈N＋)． ∴n＝43·3k－1＝4k－1.
第一章 数列
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理解等差数列的定义需注意以下问题： (1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件的两层含 义：其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一 项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且 必须从第2项起，以便保证数列中各项均与其前一项作差． (2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算 要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后 面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
第一章 数列
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规律方法 求解时要紧紧抓住“同一个常数”这个条件，本例中 的第2小题是从第2项开始的等差数列，即1，2，3，…n构 成等差数列，但整个数列不是等差数列.
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根据下列数列的通项公式an，判断各数列是否为等差 数列：
(1)an＝3n＋5；(2)an＝n2.
北师大版高中数学课本目录(含重难点及课时分布)
高中数学课本内容及其重难点北师大版高中数学必修一·第一章集合（考点的难度不是很大，是高考的必考点）· 1、集合的基本关系· 2、集合的含义与表示· 3、集合的基本运算（重点)（2课时）·第二章函数· 1、生活中的变量关系· 2、对函数的进一步认识· 3、函数的单调性（重点）· 4、二次函数性质的再研究（重点)· 5、简单的幂函数(5课时)·第三章指数函数和对数函数· 1、正整数指数函数· 2、指数概念的扩充· 3、指数函数（重点）· 4、对数· 5、对数函数（重点）· 6、指数函数、幂函数、对数函数增减性（重点）(3课时）·第四章函数应用· 1、函数与方程· 2、实际问题的函数建模（2课时）北师大版高中数学必修二·第一章立体几何初步· 1、简单几何体· 2、三视图（重点）· 3、直观图（1课时）· 4、空间图形的基本关系与公理（重点)· 5、平行关系(重点）· 6、垂直关系（重点)· 7、简单几何体的面积和体积（重点）· 8、面积公式和体积公式的简单应用(重点、难点）(4课时）·第二章解析几何初步· 1、直线与直线的方程· 2、圆与圆的方程· 3、空间直角坐标系（4课时）北师大版高中数学必修三·第一章统计· 1、统计活动：随机选取数字· 2、从普查到抽样· 3、抽样方法· 4、统计图表· 5、数据的数字特征(重点）· 6、用样本估计总体· 7、统计活动：结婚年龄的变化· 8、相关性· 9、最小二乘法(3课时)·第二章算法初步· 1、算法的基本思想· 2、算法的基本结构及设计（重点）· 3、排序问题（重点）· 4、几种基本语句（2课时）·第三章概率· 1、随机事件的概率（重点）· 2、古典概型(重点）· 3、模拟方法――概率的应用（重点、难点）（4课时)北师大版高中数学必修四·第一章三角函数· 1、周期现象与周期函数· 2、角的概念的推广· 3、弧度制· 4、正弦函数（重点)· 5、余弦函数（重点）· 6、正切函数(重点）· 7、函数的图像（重点)· 8、同角三角函数的基本关系(重点、难点）（5课时）·第二章平面向量· 1、从位移、速度、力到向量· 2、从位移的合成到向量的加法（重点）· 3、从速度的倍数到数乘向量（重点）· 4、平面向量的坐标（重点)· 5、从力做的功到向量的数量积(重点）· 6、平面向量数量积的坐标表示（重点)· 7、向量应用举例（难点）（5课时）·第三章三角恒等变形(重点）· 1、两角和与差的三角函数· 2、二倍角的正弦、余弦和正切· 3、半角的三角函数· 4、三角函数的和差化积与积化和差· 5、三角函数的简单应用（难点）（4课时)北师大版高中数学必修五·第一章数列· 1、数列的概念· 2、数列的函数特性· 3、等差数列（重点）· 4、等差数列的前n项和（重点）· 5、等比数列（重点）· 6、等比数列的前n项和（重点)· 7、数列在日常经济生活中的应用(6课时）·第二章解三角形（重点）· 1、正弦定理与余弦定理正弦定理· 2、正弦定理· 3、余弦定理· 4、三角形中的几何计算（难点）· 5、解三角形的实际应用举例(6课时）·第三章不等式· 1、不等关系· 1。
北师大版高中数学必修一全册课件
按照项数是否有限，数列可分为有穷数列和无穷数列；按照项数是否递增，数列 可分为递增数列、递减数列和常数列。
等差数列与等比数列的通项公式和前n项和公式
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和公式
$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$是首项 ，$d$是公差。
$S_n = frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$。
对数函数具有对称性，即对于任意实数 $x > 0$，有$log_a x = -log_a frac{1}{x}$。
对数函数总是经过点$(1,0)$；
对数函数的性质 对数函数是递增的；
指数函数与对数函数的应用
在金融中的应用
在实际生活中的应用
指数函数和对数函数在金融领域中有 着广泛的应用，如复利计算、股票价 格分析等。
三角函数的定义与性质
三角函数的性质
奇偶性：正弦函数和余弦函数是 奇函数和偶函数，正切函数是奇 函数。
三角函数的定义：三角函数是圆 的角度与其边长的比值或积的比 值，通常用希腊字母$sin$、 $cos$、$tan$等表示。
周期性：三角函数具有周期性， 最小正周期为$2pi$。
单调性：在每个周期内，正弦函 数、余弦函数和正切函数都有单 调区间。
指数函数和对数函数在实际生活中也 有着广泛的应用，如计算复利、求解 方程等。
在科学计算中的应用
指数函数和对数函数在科学计算中也 有着重要的应用，如求解方程、计算 复利等。
04
幂函数、三角函数与反三角函 数
Chapter
幂函数的定义与性质
幂函数的性质
奇偶性：当$n$为奇数时，幂函 数为奇函数；当$n$为偶数时， 幂函数为偶函数。
2017-2018学年高中数学 第一章 数列 1.2 等差数列 1.2.1.1 等差数列的概念和通项公式讲义 北师大版必修5
������1 + ������1 + ������ = 3,
������1 + 2������ + ������1 + 3������ = 5,
解得
a1=
5 4
,
������
=
12.
所以a7+a8=a1+6d+a1+7d=9.
答案:9
12345
5若{an}为等差数列,且a15=8,a60=20,求a75.
题型一 题型二 题型三
题型二 等差数列的通项公式 【例2】 在等差数列{an}中, (1)an=2n+3,求a1和d; (2)a7=131,a14=61,求a100,并判断0是不是该数列的项. 分析:(1)在an的表达式中,令n=1即可得到a1,然后再令n=2求出a2, 而d=a2-a1,或者根据等差数列的定义求d; (2)利用等差数列的通项公式和已知条件,可以列方程解决.
解得
������1 = 191, ������ = -10.
故an=a1+(n-1)·d=-10n+201.
所以a100=-10×100+201=-799.
令-10n+201=0,解得n=20.1∉N+, 故0不是该数列的项.
题型一 题型二 题型三
反思在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元素;有 关等差数列的问题,若条件与结论间的关系不明显,则均可化成有 关a1,d的关系列方程组求解,但是,要注意公式的变形及整体计算,以 减少计算量.
=
24.
A.an=4-2n B.an=2n-4 C.an=6-2n D.an=2n-6
解析:通项公式an=a1+(n-1)d=4+(n-1)×(-2)=6-2n.
湘教版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 数列 1.2.1 第2课时 等差数列的性质
为等差数列.
2.方法归纳:利用对称性设等差数列的项,建立等差数列模型解决问题.
3.注意事项:若{an}是等差数列,且m+n=p(m,n,p均为正整数),则am+an≠ap,将
实际问题转化为等差数列模型要注意条件.
变式探究
将本例题中的条件改为“已知三个数成等差数列,若这三个数的和为6,积为
-24”,求此数列.
(-) + + ( + ) = 6,
解 设所求数列为:a-d,a,a+d,依题意,得
(-)( + ) = -24,
3 = 6,
= 2,
= 2,
化简,得 3
解得
或
2
=4
- = -24,
5.在等差数列{an}中,a10=30,a20=50,则a40=
90
.
解析 由等差数列的性质可知,a10,a20,a30,a40成等差数列.
故由a10=30,a20=50,可得a30=70,a40=90.
1 2 3 4 5 6
6.已知三个数成等差数列,它们的和为6,且第三个数是第一个数的三倍,求
7
A.3斤
7
B.2斤
5
C.2斤
D.3 斤
解析 由题意可设金棰由粗到细各尺质量构成的等差数列为{an},首项
a1=4,a5=2,则公差
5 - 1
d=
5-1
=
2-4 1
=- ,故
5-1 2
7
a2=a1+d= .故选
2
北师版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第一章 数列 1.2 数列的函数特性
1
1
a> ,∴ <a<1.
2
2
(n∈N+),若对于任意 n∈N+都有
.
探究点三 数列的最值
【例3】 (1)已知数列{an}满足an=n2-5n-6,n∈N+.
①数列中有哪些项是负数?
②当n为何值时,an取得最小值?求出此最小值.
(2)已知数列{an}的通项公式an=(n+1)
10
11
(n∈N+),试问数列{an}有没有
1
(3 -)
-7
+ 2, > 8,
, ≤ 8
an>an+1,则实数 a 的取值范围是
答案
1
( ,1)
2
解析 ∵对于任意的 n∈N+都有 an>an+1,
∴数列{an}是递减数列,可知 0<a<1.
1
1
当3<a<1,n>8 时,an=(3-a)n+2 为递减数列,
1
又( -a)×9+2<a8-7,解得
4
10 +1
10
10 9-
(2)(方法一)∵an+1-an=(n+2)
-(n+1)
=
· ,
11
11
11
11
2
∴当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an.
1-2-2 等差数列与一次函数课件-高二上学期数学湘教版(2019)选择性必修第一册
知识回顾
等差数列的性质：
性质1： 下标性质：在等差数列{an}中，若k＋l ＝ m＋n (k，l，m，n∈N*)，则
ak＋al＝ am＋an. 特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝ 2ap .
性质2： 在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然 是一个等差数列.
新课进行
等差数列与一次函数
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课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.等差数列的图象. 2.等差数列与一次函数的关系.
课后 作业
1.在等差数列{an}中，a100＝120，a90＝100，求公差d. 2.在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，求a14. 3.数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，求log6(a5＋a7＋a9)的值. 4.设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，求a5 ＋b5. 5.三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三 个数.
作业讲评
an=4n－2 不是
作业讲评
1. 已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. 24 法一：(方程组法)
法二：(利用an＝am＋(n－m)d) 法三：(利用隔项成等差数列)
作业讲评
2. 已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，求b8. 8 法一：(方程组法)
法二：(利用 d =
an－am n－m
)
作业讲评
3. 已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，求a3＋a15的值. 14 法一：(通项公式法) 法二：(利用下标和的性质)