第8章 数学教育的核心问题
高等数学第八章多元函数积分学
D
证:f (x, y)d
y
D
d
f1(x) f2(y)dxdy
c
D
bd
dx ac
f1(x)
f2(y)dy
0a
bx
b
d
d
b
a[f1(x) c f2(y)d]ydxc f2(y)dy af1(x)d.x
.
比如， 1dx3xyed y1xd x 3eyd.y
y
xydxdy
1
dx
1x2
xydy
D
00
11x(1x2)dx1(x2x4)11. 1
02
22 4 0 8
D
本 题 若 先 对 x 积 分 ， 解 法 类 似 . O x 1
x
.
例4
改变积分
01dx
1
0
x
f
( x,
y )dy 的次序.
解 积分区域为 y
0x1, D:
1
0y1x.
0x1y, D:
f (x, y)d
b
d
a dxc f(x,y)dy
D
d
b
c dya f(x,y)dx
（2）如果被积函数 f (x, y) = f1(x)·f2(y),且积分区域是矩
形区域，则
f(x,y)da bf1(x)dxcdf2(y)d.y
D
.
设D：a x b, c y d. f (x, y) = f1(x)·f2(y)可积，
y
4
2
yx
D2 D1
D D 1D 2.
D1 :
2 x4, 2 y x.
(完整版)小学数学课堂中的核心问题教学
小学数学课堂中的核心问题教学 【关键词】核心素养核心问题探究学习 核心问题是近年来的研究热点之一，?S多专家的研究更偏向于理论探讨，我们一线教师则应该重点关注核心问题的教学策略，呈现分析与提炼核心问题的具体做法。
“用核心问题引领探究学习，培育小学生数学核心素养”，是当前数学课堂的首要任务。
一、数学核心素养、核心问题是什么 数学素养是人们通过数学的学习建立起来的认识、理解和处理周围事物时所具备的品质，通常是在人们与周围环境产生相互作用时所表现出来的思考方式和解决问题的策略。
“核心素养、探究学习、核心问题”是数学核心素养的三个关键词，这三个关键词的含义不难理解，但若能真正地落实在课堂教学中，将对新课程改革的“再出发”有着重要的意义。
可以看出核心素养的培养来源于核心问题的探究，核心素养是数学教育的最高目标，探究学习是培育核心素养的重要途径，核心问题是有效探究的重要前提。
也就是说，我们一线教师要把研究的重点放在“如何用核心问题引领探究学习”上。
二、数学核心问题来源于哪里 “用核心问题引领探究学习，培育小学生数学核心素养”，是当前数学课堂的首要任务，那么学生的核心素养的培养要从什么地方入手，核心问题从哪来？从教师创设的情境中来。
一个好的情境，它应该能唤起兴趣、激活已知、产生冲突、激发创造.而这样的情境，它来自于教师对教材的深度发掘所制定的教学目标;来自于教师对班级不同学生认知特点的充分了解;来自于教师让学生先行的课堂教学活动;来自于教师对学生想法的倾听、敏感和捕捉;来自于教师教学实践、反思所生成的教学智慧……即来自于教师。
三、数学核心问题如何引领探究活动 数学核心问题如何引领探究活动，我认为，一定不是教师的“强行引领”（即教师用一个个小问题将学生的思维预设的轨道），而是学生为解决核心问题又产生系列的子问题，以不断地发现问题、进行探究，再发现问题、再进行探究的方式，使探究活动层层展开，学生的思维也随之不断地拓展、深入。
幼儿数学教育的核心要点
幼儿数学教育的核心要点数学作为一门科学，不仅是理解和应用数字和算法的工具，也是培养幼儿逻辑思维能力和解决问题能力的重要途径。
幼儿数学教育的核心要点如下：1. 创造性游戏与学习结合：幼儿喜欢通过游戏来探索和学习，因此，幼儿数学教育应该通过创造性的游戏活动，将数学概念融入到幼儿熟悉的环境中。
例如，利用游戏中的积木或玩具，让幼儿通过建立模型和排序等活动，感受数学的规律性和数量关系。
2. 强调实际应用：幼儿数学教育应注重将数学概念与实际生活联系起来。
通过观察和解决实际问题，幼儿能够在日常经验中建立起数学的意义和价值。
例如，在购物时让幼儿进行简单的货币计算，或者在家庭菜园中让幼儿测量植物的生长和水分需求，都能让幼儿体会到数学在实践中的应用。
3. 强化基本概念：在幼儿数学教育中，培养幼儿的基本数学概念是至关重要的。
这包括数字、形状、空间、时间和量的概念。
通过有趣的教具和游戏，幼儿可以学习数目的顺序，形状的特征，空间的定位，时间的顺序以及数量的比较等。
教师可以通过多样化的教学方法，帮助幼儿真正理解这些基本数学概念。
4. 鼓励探索和实验：探索和实验是幼儿数学教育中的重要环节。
幼儿在自主探索和实验中，可以通过观察和推理，建立起数学的认知结构。
教师可以提供开放性的问题和情境，鼓励幼儿主动思考和解决问题。
例如，在沙盒中让幼儿找到沙子的重量和体积之间的联系，或者让幼儿通过尝试不同的排列组合，来发现形状和模式的规律。
5. 培养问题解决能力：数学教育旨在培养幼儿的问题解决能力。
幼儿应该学会分析问题、寻找解决方案以及评估结果的有效性。
教师可以提供不同难度的问题，引导幼儿运用已学数学知识进行思考和解决。
在解决问题的过程中，幼儿将培养逻辑思维、创造性思维和批判性思维的能力。
总而言之，幼儿数学教育的核心要点是通过创造性游戏与学习结合，强调实际应用，强化基本概念，鼓励探索和实验，并培养幼儿的问题解决能力。
这些要点将帮助幼儿建立数学思维，为他们未来的学习和生活打下坚实的基础。
数学课堂教学应关注的四个核心问题
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）在“课程基本理念”中指出：“数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法.”这实质上是向广大数学教师提出的宏观教学要求.人们不禁要问，在数学课堂教学中应重点关注哪些核心要素，才能符合这一要求？笔者认为在数学课堂教学中教师应关注的问题很多，但下面四个问题是最重要的：中国论文网1激发学生的学习兴趣古人云：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者.”爱因斯坦有句至理名言：“兴趣是最好的老师.”兴趣是学习的原动力、是学习的催化剂，它对学生的学习有着神奇的内驱动作用，能变无效为有效，化低效为高效.可见，数学教学必须把培养学生的学习兴趣放在首位.学生原本对客观世界就有浓厚的好奇心，数学教学应该努力把学生的这种好奇心引导到探索事物的数量关系上来，把这种好奇心转化为学习数学的兴趣上来.关于激发学习兴趣的话题是一个古老但又“长青”的问题.许多心理学家、教育专家、教学名师等对此都有自己的见解，提出了很多激发学习兴趣有效的方法.例如，可以通过列举应用数学的实例，让学生了解数学的价值，知道数学具有广泛的应用性，与我们的日常生活、学习、工作息息相关.特别是在今天，随着信息科学技术的飞速发展，人们几乎可以把任何信息数字化，包括文字信息、行为信息、情感信息和图像信息.如网络查询、电视图像、手机信息、心理测量、身体扫描等.这样可以让学生看到数学内在的本质和自身的魅力，从而引起学生学习数学的兴趣.笔者认为，引发兴趣最主要的在于教师的教学方法.从这个角度讲，教师要在教学设计上狠下功夫，如选择新颖有趣的学习材料，采用启发式的教学方式，创设引人入胜的教学情境，采用讲故事、做游戏的方法，带领学生解决某些带有挑战性的问题等等都是很有效的.实践证明无论采用怎样的方法，只要能引发学生持久的乐学，课堂教学的效率就会不断得到提高.有的教师在学习列方程组解应用题前，用下面的问题作为引例来激发学生的学习兴趣：案例1自行车轮胎报废问题.一个自行车轮胎，若安装在前轮上，则行驶5000千米后报废；若安装在后轮上，则行驶3000千米后报废.如果行驶一定路程后交换前、后轮，使一对新轮胎同时报废，那么最多可行驶多少千米.学生甲：最多可行驶8000千米；学生乙：最多可行驶4000千米.还有很多学生无从入手.教师要抓住时机，告诉同学们学生甲、乙的答案都不对.为什么呢？只要学习了列方程组解应用题的知识后你们就知道答案了.这样学生学习的积极性就高了，学习注意力也集中起来了，教师开始了新课的学习.事实上，本题应该这样来解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为k5000，安装在后轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为k3000；又设一对新轮胎交换位置前走了x千米、交换位置后走了y千米，分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，得kx5000+ky3000=kky5000+kx3000=k方程组的两边相加，得k（x+y）5000+k（x+y）3000=2k，从而可得（x+y）=215000+13000=3750（千米）.故，自行车的一对新（前后）轮胎最多可行驶3750千米便能同时报废.事实上，成功的数学教育无不是建立在学生对数学极大的兴趣基础之上的.有兴趣的学习活动，一定会大大提高学生学习数学的效率.我们在与一些教师的座谈中，经常听到老师抱怨学生不“喜欢”数学、学习效率低的“声音”.其根源或许就是因为学生没有学习数学的兴趣，从这个角度讲学生不“喜欢”数学、学习效率低的原因在教师而不在学生.因此，教师应在研究教材与学生的基础上，对教学内容进行“二次加工”，结合具体内容创设必要的教学情境，利用有效的学习机制和教学手段，营造高效的学习氛围，彻底改变学生的学习状态，激发学生的学习欲望，实现学生由“苦学”、“厌学”到“乐学”的转变.2引发学生进行数学思考对于数学思考，《标准》分以下四点进行了详细的描述：（1）建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维.（2）体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象.（3）在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法.（4）学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式.上述四点是数学课程在“数学思考”方面应达到的目标.前三点是从数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个领域来阐述的，后一点是概括的阐述.它向我们指出了“数学思考”这一方面课程目标希望达到的三个目的：让学生学会独立思考，体会数学思想，体会数学思维方式.事实上，数学思考是数学教学中最有价值的行为.这就要求我们在数学教学中要引导学生在学会知识的过程中也要学会思考，学会思考远比学会知识本身更重要.这种思考是“运用数学的思维方式进行”的思考，也就是“数学方式的理性思维”.它有丰富的内涵，包括形象思维、逻辑思维和辩证思维，包括合情推理和演绎推理，等等.教学中让学生学会思考，就能形成用数学的眼光看世界，从数学的角度去分析问题的素养，能使学生终生受益.我国历来十分重视对基础知识的教学，但存在着“重结果、轻过程”的现象，如果长期采用这种教法，学生就难以学会独立思考，无法体会到一些数学基本思想的作用，形成不了正确的思维方式.例如，数学概念是重要的数学基础知识，许多老师对概念的教学采取的是“定义+例题”的方式，实质上是在“满堂灌”，最后只能导致学生是“知其然，但不知其所以然”.事实上，一个概念的形成往往与学生的思考、探索等活动融合在一起，密不可分.所以，在数学概念的教学中，教师一定要引导学生经历这个概念的建立过程，不可错失培养学生数学思考的良机. 图1案例2圆的有关概念的建立.圆是生活中常见的几何图形，从集合的观点定义圆是同学们学习的一个难点，为了克服难点，我们可以设计下面的问题，引导学生进行思考、探索等活动：画一个半径为5厘米的⊙O，在⊙O上任取A，B两点，连接OA，OB.（1）OA与OB的长分别是多少？（2）如果OC=5厘米，你能说出点C的位置吗？（3）如果M，N是平面内的两点，且OM=7厘米，ON=3厘米，你能分别说出点M，N与圆的位置关系吗？（4）观察图1，A，B，C三点与⊙O具有什么样的关系？由此可知，平面内的点与圆有几种位置关系？分别用这个点到圆心的距离与圆的半径的大小关系加以说明.（5）如果我们把“圆看成是平面内到定点的距离等于定长的点的集合”，那么请你用集合的语言描述圆的内部和外部：①圆的内部是点的集合；②圆的外部是点的集合.学生在上述五个问题的引导下，通过对点与圆的位置关系的思考与探究，经历了圆的集合定义的形成过程，进一步增强了学生对圆的本质属性的认识.圆是点的集合，而这个集合是由平面内所有“到定点的距离等于定长”的点组成的.这里的定点就是圆心，定长就是半径.把一个集合图形看成是满足某些条件的点的集合的思想，在数学学习中十分重要.这样的导学设计能让学生初步感受这种思想，符合《标准》强化对数学思想要求的精神.3使学生掌握恰当的学习方法国务院总理温家宝曾就如何制定《国家中长期教育改革和发展规划纲要》时强调指出：现在，在学习中我们比较注重认知，认知是学习的一部分，就是学习.在认知方法上我们还有缺陷，主要是灌输.其实，认知应该是启发，学生学会如何学习，掌握认知的手段，而不仅在知识的本身.学生不仅要学会知识，还要学会动手，学会动脑，学会做事，学会生存，学会与别人共同生活，这是整个教育和学习改革的内容.我们知道，学习方式是指学生在完成学习任务过程中基本的行为和认知的取向，它的基本纬度是自主性、探究性和合作性.《标准》论述学习方式时指出“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.”20世纪末，世界一批最优秀的科学家特别是一批诺贝尔奖获得者倡导在儿童和学校教育中开展“做中学”活动，以提高幼儿园和学生的科学教育水平，培育科学的思维方式.“做中学”是让儿童和学生参与一些“科学活动”.学生在参与这些活动的过程中不仅能获得对数学的理解，还能体会到数学的研究方法，并且在活动中不断优化自己的数学认知结构.为了让学生主动的进行数学学习活动，并且在这个活动中使其个性得到充分的发展.教师应结合具体的教学内容创设有助于学生自主学习的问题情境，以此引导学生进行观察、操作、探究、归纳、猜想、讨论、交流等一系列的活动.在活动中获得数学的基础知识和基本技能，经历数学基本思想的形成过程，并且不断积累基本的数学活动经验.案例3“垂线段最短的性质”的发现过程.对于“垂线段最短的性质”，可以创设如下的问题情境，激发学生进行探索、发现、交流等活动.问题1：如图2，怎样测量跳远的成绩？图2图3问题2：在图3中，如果要从人行横道线点P处过马路，怎样走线路最短？你能把最短的线路画出来吗？图4（问题1、问题2是引导学生经历观察、操作、探索的过程，引导学生运用生活经验感知：直线外一点与直线上各点连接所得的所有线段中，垂线段最短）.问题3：如图4，点P在直线l外，点O1、O2、O3…在直线l上，其中PO⊥l，量出线段PO、PO1、PO2、PO3…的长度.在这些线段中，哪一条最短？（问题3是从数学内部提出的问题，引导学生通过数学活动感知：直线外一点与直线上各点连接所得的所有线段中，垂线段最短）.图5问题4：如图5，P是直线l外一点，PO⊥l，垂足为点O，O1、O2是l上任意两点.（1）画出所给图形沿直线l翻折后的图形；（2）你能说PO。
第8章 数学教育核心问题
第七节 数学教学模式
（一）几种基本的教学模式
1、讲授式教学模式 2、讨论式教学模式 3、学生活动教学模式 4、探究式模式 5、发现式模式
（二）当前我国数学教学模式的发展趋势
教学模式的理论基础进一步加强； 数学教学模式由“以教师为中心”，逐步转向更多“学
二、我国20世纪数学教育目标的变迁
1922年11月1日北京政府公布《学校系统改革令》 ，1923年6月刊布《初级中学算学课程纲要》，其 中规定的教学目的是：
（1）使学生依据数理关系， 推出事物的当然结果 ；
（2）供给研究自然科学的工具； （3） 适应社会上生活的需要； （4） 以数学的方法发展学生的论理能力。
2001年颁布的《义务教育阶段数学课程标准》设置的总体目标 是：
通过义务教育阶段的数学学习，学生能够： （1）获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知
识(包括数学事实、数学活动经验)以及基本的数学思想方法和必 要的应用技能； （2）初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去 解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意 识； （3）体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值 ，增进对数学的理解和学好数学的信心； （4）具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力 方面都能得到充分发展。 分析：这一总目标的提法，在实用功能和思维培养功能上得到 比较好的平衡，在了解数学价值， 情感态度，实践能力上都有 新的提法。
6．将不同领域的知识进行数学联结的能力； 7．总结已有数学成果达到新认识水平的能力； 8．巧妙地进行逻辑连接作出严密论证的能力； 9．善于运用计算机技术展现信息时代的数学风貌； 10．知道什么是“好”的数学，什么是“不大好”的
新人教版高中数学必修二第八章立体几何初步精品教案
基本立体图形【第1课时】棱柱、棱锥、棱台的结构特征教学重难点教学目标核心素养棱柱的结构特征理解棱柱的定义，知道棱柱的结构特征，并能识别直观想象棱锥、棱台的结构特征理解棱锥、棱台的定义，知道棱锥、棱台的结构特征，并能识别直观想象应用几何体的平面展开图能将棱柱、棱锥、棱台的表面展开成平面图形直观想象【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．空间几何体的定义是什么？2．空间几何体分为哪几类？3．常见的多面体有哪些？4．棱柱、棱锥、棱台有哪些结构特征？二、新知探究棱柱的结构特征例1：下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是__________．【解析】①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；②错误，棱柱的底面可以是三角形；③正确，由棱柱的定义易知；④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以正确说法的序号是③④.【答案】③④[规律方法]棱柱结构特征的辨析技巧（1）扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．（2）举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．棱锥、棱台的结构特征例2：下列关于棱锥、棱台的说法：①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③棱锥的侧面只能是三角形；④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．【解析】①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台．②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形．③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形．④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．所以正确说法的序号为②③④.【答案】②③④[规律方法]判断棱锥、棱台形状的两种方法（1）举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．（2）直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点空间几何体的平面展开图例3：（1）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图（图中数字写在正方体的外表面上），若图中的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（）A．1 B．9C．快D．乐（2）如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？【解】（1）选B.由题意，将正方体的展开图还原成正方体，“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0”与“快”相对，所以下面是“9”．（2）题图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱的特点；题图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥的特点；题图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点，把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．[求解策略]多面体展开图问题的解题策略（1）绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．（2）由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推，同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图．【课堂总结】1．空间几何体的定义及分类（1）定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．（2）分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．2．空间几何体类别定义图示多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点旋转体一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的这条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴3.棱柱、棱锥、棱台的结构特征结构特征及分类图形及记法棱柱结构特征（1）有两个面（底面）互相平行（2）其余各面都是四边形（3）相邻两个四边形的公共边都互相平行记作棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′分类按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱…续表结构特征及分类图形及记法棱锥结构特征（1）有一个面（底面）是多边形（2）其余各面（侧面）都是有一个公共顶点的三角形记作棱锥S-ABCD 分类按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥……棱台结构特征（1）上下底面互相平行，且是相似图形（2）各侧棱延长线相交于一点（或用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台）记作棱台ABCD-A′B′C′D′分类由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别为三棱台、四棱台、五棱台……[名师点拨]（1）棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来（以三棱柱、三棱锥、三棱台为例）．（2）各种棱柱之间的关系①棱柱的分类棱柱⎩⎨⎧直棱柱⎩⎨⎧正棱柱（底面为正多边形）一般的直棱柱斜棱柱②常见的几种四棱柱之间的转化关系【课堂检测】1．下面的几何体中是棱柱的有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：选 C.棱柱有三个特征：（1）有两个面相互平行．（2）其余各面是四边形．（3）侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.2．下面图形中，为棱锥的是（ ）A ．①③B ．③④C ．①②④D ．①②解析：选 C.根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.3．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为（ ）A ．四棱柱B ．四棱锥C ．三棱柱D ．三棱锥解析：选D.根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．4．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm ，则每条侧棱长为__________cm.解析：因为棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为605＝12（cm ）．答案：125．画一个三棱台，再把它分成： （1）一个三棱柱和另一个多面体． （2）三个三棱锥，并用字母表示． 解：画三棱台一定要利用三棱锥．（1）如图①所示，三棱柱是棱柱A ′B ′C ′AB ″C ″，另一个多面体是B ′C ′C ″B ″BC . （2）如图②所示，三个三棱锥分别是A ′ABC ，B ′A ′BC ，C ′A ′B ′C . 第2课时教学重难点教学目标核心素养圆柱、圆锥、圆台、球的概念理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义，知道这四种几何体的结构特征，能够识别和区分这些几何体直观想象简单组合体的结构特征了解简单组合体的概念和基本形式直观想象 旋转体中的计算问题会根据旋转体的几何体特直观想象、数学运算征进行相关运算【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．常见的旋转体有哪些？是怎样形成的？2．这些旋转体有哪些结构特征？它们之间有什么关系？3．这些旋转体的侧面展开图和轴截面分别是什么图形？二、新知探究圆柱、圆锥、圆台、球的概念例1：（1）给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．（2）给出以下说法：①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形．其中正确说法的序号是________．【解析】（1）①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线延长相交于一点；④不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．（2）根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆面；④正确．【答案】（1）①②（2）①④[规律方法]（1）判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线．（2）简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量；②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．简单组合体的结构特征例2：如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的（）【解析】该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A.【答案】A[变条件、变问法]若将本例选项B中的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．解：①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是直角梯形，旋转后形成圆台；③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示．通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．[求解策略]不规则平面图形旋转形成几何体的结构特征的分析策略（1）分割：首先要对原平面图形适当分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆（半圆或四分之一圆）等基本图形．（2）定形：然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析．旋转体中的计算问题例3：如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台O′O的母线长．【解】设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm，4r cm.过轴SO作截面，如图所示，则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.所以SA′SA＝O′A′OA，所以33＋l＝r4r＝14.解得l＝9，即圆台O′O的母线长为9 cm.[规律方法]解决旋转体中计算问题的方法用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中的轴截面（经过旋转轴的截面）的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程（组）而解得．[注意]在研究与截面有关的问题时，要注意截面与物体的相对位置的变化．由于相对位置的改变，截面的形状也会随之发生变化．【课堂总结】1．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征（1）圆柱的结构特征定义以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆柱的轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边柱体：圆柱和棱柱统称为柱体（2）圆锥的结构特征定义以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆锥的轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边锥体：圆锥和棱锥统称为锥体（3）圆台的结构特征定义用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分图示及相关概念轴：圆锥的轴底面：圆锥的底面和截面侧面：圆锥的侧面在底面和截面之间的部分母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分台体：圆台和棱台统称为台体（4）球的结构特征定义以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球图示及相关概念球心：半圆的圆心半径：半圆的半径直径：半圆的直径[名师点拨]（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面．（2）球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系：r ＝R2－d2.2．简单组合体（1）概念由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．（2）两种构成形式①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成．【课堂检测】1．如图所示的图形中有（）A．圆柱、圆锥、圆台和球B．圆柱、球和圆锥C．球、圆柱和圆台D．棱柱、棱锥、圆锥和球解析：选B.根据题中图形可知，（1）是球，（2）是圆柱，（3）是圆锥，（4）不是圆台，故应选B.2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，则这个几何体不可能是（）A．圆锥B．圆柱C．球D．棱柱答案：D3．下列说法中正确的是________．①连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；③通过圆台侧面上一点，有无数条母线．解析：①错误，连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定与圆柱的轴平行，所以①不正确．③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．答案：②4．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高h为________cm.解析：h＝20cos 30°＝20×32＝103（cm）．答案：10 35．如图所示，将等腰梯形ABCD绕其底边所在直线旋转一周，可得到怎样的空间几何体？该几何体有什么特点？解：若将等腰梯形ABCD绕其下底BC所在的直线旋转一周，所得几何体可以看作是以AD为母线，BC所在的直线为轴的圆柱和两个分别以AB，CD为母线的圆锥组成的几何体，如图（1）所示．若将等腰梯形ABCD绕其上底AD所在的直线旋转一周，所得几何体可以看作是以BC为母线，AD所在的直线为轴的圆柱中两底分别挖去以AB，CD为母线的两个圆锥得到的几何体，如图（2）所示．简单几何体的表面积与体积【第一课时】【教学目标】1．了解柱体、锥体、台体的侧面展开图，掌握柱体、柱、锥、台的体积2．能利用柱体、锥体、台体的体积公式求体积，理解柱体、锥体、台体的体积之间的关系【教学重难点】1．柱、锥、台的表面积2．锥体、台体的表面积的求法【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？二、新知探究柱、锥、台的表面积例1：（1）若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的（）A.2倍B．3 倍C．2 倍D．5 倍（2）已知正方体的8 个顶点中，有 4 个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为（）A．1∶ 2B．1∶ 3C．2∶ 2D．3∶ 6（3）已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3 ，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为（）A．7B．6C．5D．3【解析】（1）设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则由题意可知，l＝2r，于是S侧＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2，可知选 C.（2）棱锥B′ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为1，则B′C＝2，S△B′AC＝3 2.三棱锥的表面积S锥＝4×32＝23，又正方体的表面积S正＝6.因此S锥∶S正＝23∶6＝1∶ 3.（3）设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π（r ＋3r）＝84π，解得r＝7.【答案】（1）C（2）B（3）A[规律方法]空间几何体表面积的求法技巧（1）多面体的表面积是各个面的面积之和．（2）组合体的表面积应注意重合部分的处理．（3）圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．柱、锥、台的体积例2：如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．（1）求剩余部分的体积；（2）求三棱锥A-A1BD的体积及高．【解】（1）V三棱锥A1-ABD＝13S△ABD·A1A＝13×1 2·AB·AD·A1A＝16a3.故剩余部分的体积V＝V正方体－V三棱锥A1-ABD＝a3－16a3＝56a3.（2）V三棱锥A-A1BD＝V三棱锥A1-ABD＝16a 3.设三棱锥A-A1BD的高为h，则V三棱锥A-A1BD＝13·S△A1BD·h＝13×12×32（2a）2h＝36a2h，故36a2h＝16a3，解得h＝3 3a.[规律方法]求几何体体积的常用方法（1）公式法：直接代入公式求解．（2）等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．（3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．（4）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．[提醒]求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面（尤其为圆柱、圆锥时），准确求出几何体的高和底面积．组合体的表面积和体积例3：如图在底面半径为2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．【解】设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝42－22＝2 3.如图所示，易知△AEB∽△AOC，所以AEAO＝EBOC，即323＝r2，所以r＝1，S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝23π.所以S＝S底＋S侧＝2π＋23π＝（2＋23）π.1．[变问法]本例中的条件不变，求圆柱的体积与圆锥的体积之比．解：由例题解析可知：圆柱的底面半径为r＝1，高h＝3，所以圆柱的体积 V 1＝πr 2h ＝π×12×3＝3π.圆锥的体积 V 2＝13π×22×23＝833π.所以圆柱与圆锥的体积比为 3∶8.2．[变问法]本例中的条件不变，求图中圆台的表面积与体积．解：由例题解析可知：圆台的上底面半径 r ＝1，下底面半径 R ＝2，高 h ＝3，母线 l ＝2，所以圆台的表面积 S ＝π（r 2＋R 2＋r ·l ＋Rl ）＝π（12＋22＋1×2＋2×2）＝11π.圆台的体积 V ＝13π（r 2＋rR ＋R 2）h ＝13π（12＋2＋22）×3＝733π. 3．[变条件、变问法]本例中的“高为3”改为“高为 h ”，试求圆柱侧面积的最大值．解：设圆锥的底面半径为 R ，圆柱的底面半径为 r ， 则 R ＝OC ＝2，AC ＝4， AO ＝42－22＝2 3.如图所示易知△AEB ∽△AOC ，所以AE AO ＝EB OC ，即23－h 23＝r 2，所以 h ＝23－3r ，S 圆柱侧＝2πrh ＝2πr （23－3r ） ＝－23πr 2＋43πr ，所以当 r ＝1，h ＝3时，圆柱的侧面积最大，其最大值为 23π. [规律方法]求组合体的表面积与体积的步骤（1）分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量．（2）设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，利用“切割”“补形”的方法求体积．（3）计算求值：根据设计的计算方法求值．【课堂总结】1．棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．2．棱柱、棱锥、棱台的体积（1）V 棱柱＝Sh ；（2）V 棱锥＝13Sh ；V 棱台＝13h （S ′＋SS ′＋S ），其中S ′，S 分别是棱台的上、下底面面积，h 为棱台的高．3．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 名称图形公式圆柱底面积：S 底＝πr 2侧面积：S 侧＝2πrl 表面积：S ＝2πrl ＋2πr 2 体积：V ＝πr 2l 圆锥底面积：S 底＝πr 2 侧面积：S 侧＝πrl表面积：S ＝πrl ＋πr 2体积：V ＝13πr 2h 圆台上底面面积：S 上底＝πr ′2 下底面面积：S 下底＝πr 2 侧面积：S 侧＝πl （r ＋r ′）表面积：S ＝π（r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl ） 体积：V ＝13πh （r ′2＋r ′r ＋r 2）[名师点拨]1．柱体、锥体、台体的体积（1）柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh .（2）锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh .（3）台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝13()S ′＋SS ′＋S h .2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝r S 圆台侧＝π（r ′＋r ）l ――→r ′＝0S 圆锥侧＝πrl . 3．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V 柱体＝Sh ――→S ′＝S V 台体＝13（S ′＋S ′S ＋S ）h ――→S ′＝0V 锥体＝13Sh .【课堂检测】1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（ ）A ．22B ．20C ．10D ．11解析：选A.所求长方体的表面积S ＝2×（1×2）＋2×（1×3）＋2×（2×3）＝22.2．正三棱锥的高为3，侧棱长为23，则这个正三棱锥的体积为（ ） A.274 B.94 C.2734 D.934解析：选D.由题意可得底面正三角形的边长为3，所以V ＝13×34×32×3＝934.故选D.3．已知圆台的上、下底面的面积之比为9∶25，那么它的中截面截得的上、下两台体的侧面积之比是________．解析：圆台的上、下底面半径之比为3∶5，设上、下底面半径为3x ，5x ，则中截面半径为4x ，设上台体的母线长为l ，则下台体的母线长也为l ，上台体侧面积S 1＝π（3x ＋4x ）l ＝7πxl ，下台体侧面积S 2＝π（4x ＋5x ）l ＝9πxl ，所以S 1∶S 2＝7∶9.答案：7∶9 4.如图，三棱台ABC A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1ABC ，三棱锥B A 1B 1C ，三棱锥CA 1B 1C 1的体积之比．解：设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S .所以VA 1ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，VC A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 台＝13h （S ＋4S ＋2S ）＝73Sh ， 所以VB A 1B 1C ＝V 台－VA 1ABC －VC A 1B 1C 1＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ， 所以体积比为1∶2∶4.【第二课时】【教学目标】1．记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积2．能解决与球有关的组合体的计算问题【教学重难点】1．球的表面积与体积2．与球有关的组合体【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．球的表面积公式是什么？2．球的体积公式什么？二、新知探究球的表面积与体积例1：（1）已知球的体积是32π3，则此球的表面积是（）A．12πB．16πC.16π3 D.64π3（2）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（）A．17π B．18πC．20π D．28π【解析】（1）设球的半径为R，则由已知得V＝43πR3＝32π3，解得R＝2.所以球的表面积S＝4πR2＝16π.（2）由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r，故78×43πr3＝283π，所以r＝2，表面积S＝78×4πr2＋34πr2＝17π，选A.【答案】（1）B（2）A[归纳反思]球的体积与表面积的求法及注意事项（1）要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．（2）半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．球的截面问题例2：如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为（）A.500π3cm3 B.866π3cm3C.1 372π3cm3 D.2 048π3cm3【解析】如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2（cm），BM＝12AB＝12×8＝4（cm）．设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝（R－2）2＋42，所以R＝5，所以V球＝43π×53＝5003π （cm3）．【答案】A[规律方法]球的截面问题的解题技巧（1）有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．（2）解题时要注意借助球半径R ，截面圆半径r ，球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.与球有关的切、接问题 角度一球的外切正方体问题例3：将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）A.4π3B.2π3C.3π2D.π6【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是43×π×13＝4π3.【答案】A角度二球的内接长方体问题例4：一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为________．【解析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R ＝12＋22＋32＝14，所以球的表面积 S ＝4πR 2＝14π. 【答案】14π角度三球的内接正四面体问题例5：若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上，求球的表面积．【解】把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为 x ，则 a ＝2x ，由题意 2R＝3x ＝3×2a 2＝62a ，所以 S 球＝4πR 2＝32πa 2.角度四球的内接圆锥问题例6：球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．【解析】①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为 r ，则球心到该圆锥底面的距离是r 2，于是圆锥的底面半径为 r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22＝3r 2，高为3r 2.该圆锥的体积为 13×π×⎝⎛⎭⎪⎫3r 22×3r 2＝38πr 3，球体积为43πr 3，所以该圆锥的体积和此球体积的比值为38πr 343πr 3＝932.②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为332.【答案】932或332角度五球的内接直棱柱问题例7：设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2D ．5πa 2【解析】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a ．如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径 R ＝ OA 满足R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝712a 2，故 S 球＝4πR 2＝73πa 2. 【答案】B [规律方法]（1）正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图（1）．（2）长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，。
例谈小学数学核心问题的设计
例谈小学数学核心问题的设计
小学数学核心问题是指小学阶段数学教学中的核心概念和问题，是学生学习数学的关键基础。
小学数学核心问题的设计需要遵循学生年龄、认知水平和学习特点，同时注重培养学生的数学思维和解决问题的能力。
首先，小学数学核心问题的设计要注重基础概念和操作的建设。
小学数学核心问题的基础是数字、算术、几何等基本概念和操作，如加减乘除、时间、长度、面积等等。
在教学中需要充分体现这些基本概念和操作的重要性，帮助学生掌握这些知识点的基本要素和运用方法，以此保证学生在后续学习中具备顺利过渡和融合知识的能力。
其次，小学数学核心问题的设计要注重数学思维的培养。
数学思维是指学生在面对复杂问题时所具有的分析、推理、归纳和演绎的思维方式。
在小学数学教学中，应注重培养学生分析问题、寻求规律和解决问题的能力。
这可以通过精心设计问题和情境的形式，以及启发式的教学方法等途径来实现。
最后，小学数学核心问题的设计要注重问题解决能力的培养。
问题解决能力是指学生在遇到难题时能够主动寻求解决方案的能力。
在小学数学核心问题的设计中，需要设置能够激发学生探究能力，引导学生自主探究和思考的问题及情境。
通过这种方式，使学生能够掌握自主思考的能力，进而自我探究和解决各种数学问题。
综上所述，小学数学核心问题的设计需要注重基础概念和操作建设、数学思维的培养和问题解决能力的提高。
在实际教学中，应根据学生的实际情况，配合多种教学模式，探索更加适合学生的教学方法，提升学生数学学习效果。
数学教学的命脉——核心问题
数学教学的命脉——核心问题作者：覃天宣来源：《小学教学参考·中旬》 2017年第4期［摘要］核心问题是数学教学的命脉。
核心问题能够揭示数学知识的本质，能够激活儿童的数学思考。
教学中，教师要善于设置核心问题，可以在新旧知识链接处设置，可以在知识本质处设置，可以在知识整合处设置，让学生围绕核心问题思考，使学生的数学思维呈现层次性和连贯性。
［关键词］核心问题；数学教学；命脉［中图分类号］G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］1007-9068（201７）11-0078-01美国著名数学家哈尔莫斯说，“问题是数学的心脏。
”在诸多数学问题中，最具思维价值，最有利于学生展开数学思考以及最能揭示数学知识本质的问题就是“核心问题”，它是数学教学的统领，能够让教学从被动转向主动，让学生从学会转向会学。
那么，如何确定数学核心问题，并运用核心问题展开教学呢？一、在新旧知识链接处确定“核心问题”数学知识是一个有机的整体，知识之间存在着横向和纵向的关联。
教学中，教师可以在新旧知识的链接处设置核心问题，让学生通过核心问题展开数学知识的比较、迁移。
例如，教学“除数是小数的除法”时，教师可以在新旧知识的“节点”上设置三个问题：除数是小数的除法如何转化成除数是整数的除法？转化时，同时移动被除数和除数小数点的操作依据是什么？同时移动被除数和除数的小数点以谁为标准？三个问题层层递进、提纲挈领，其间敞亮着数学的重要思想方法——转化，可以说是“除数是小数的除法”教学的灵魂，并且对学生以后学习“异分母分数转化成同分母分数”“分数除法转化成分数乘法”等都具有较强的启发性和迁移性。
在新旧知识的链接处设置核心问题，能引导学生兴趣盎然地展开探索。
在核心问题的引导下，学生逐渐学会用联系的眼光看问题。
二、在知识本质处确定“核心问题”数学教学归根结底是数学思想方法的教学，如何帮助学生形成数学思想方法？实践中，教师可以引导学生对数学知识进行探究，在数学知识的本质处设定“核心问题”。
数学核心问题,引领学生走向深度学习
数学核心问题，引领学生走向深度学习深度学习是指对某一特定领域知识的深入学习，而不是泛泛地涉猎知识点。
在数学学科中，深度学习的核心问题是数学的基本概念、原理和方法。
只有深刻理解了这些核心问题，学生才能在以后的学习中运用自如，而不是机械地应用公式和定理。
接下来，我们将分析数学的核心问题，引领学生走向深度学习。
第二，数学的核心问题是基本原理。
数学的基本概念是由基本原理推导而来的，它是数学思维的逻辑基础。
加法和乘法的交换律、结合律和分配律，是数学的基本原理。
学生必须深入理解这些原理的逻辑思维过程，从而建立起数学的逻辑推理能力。
只有深入理解加法和乘法原理，才能理解线性代数和抽象代数知识；只有深入理解交换律和结合律，才能理解集合论和拓扑学知识。
学生在学习数学时，必须逐步深入理解数学的基本原理，建立起数学逻辑推理的能力。
数学的核心问题是基本方法。
数学的基本方法是由基本概念和基本原理引出的，它是数学解决问题的手段。
因式分解、方程求解、极限运算等，都是数学的基本方法。
学生必须深入掌握这些方法的运用，从而建立起数学解决问题的能力。
只有深入掌握因式分解的方法，才能解决高阶多项式和方程组；只有深入掌握极限运算的方法，才能理解微积分和数学分析知识。
学生在学习数学时，必须注重基本方法的训练，掌握数学解决问题的技巧。
数学的核心问题是基本概念、基本原理和基本方法。
只有深入理解了这些核心问题，学生才能真正掌握数学的精髓，走向深度学习。
学生在学习数学时，必须注重数学基础知识的扎实建设，掌握数学逻辑推理的能力，培养数学解决问题的技巧，从而引领学生走向数学学科的深度学习。
数学教研活动核心问题
一、引言数学教研活动是提高教师教育教学水平、促进教师专业成长的重要途径。
在我国，数学教研活动已经成为教师队伍建设的重要组成部分。
为了更好地开展数学教研活动，本文将从以下几个方面探讨数学教研活动的核心问题。
二、数学教研活动核心问题1. 教研活动的定位与目标（1）教研活动的定位：数学教研活动是以提高数学教学质量、促进教师专业成长为目的，通过教师之间的交流、研讨、实践等活动，推动数学教育教学改革。
（2）教研活动的目标：提高教师数学教育教学水平，培养学生的数学素养，推动学校数学教育质量的整体提升。
2. 教研活动的内容与形式（1）教研活动的内容：主要包括数学教育教学理论、教学方法、教学技巧、教学资源等方面。
（2）教研活动的形式：可以分为集体备课、教学观摩、专题研讨、案例分析、经验交流、学术讲座等。
3. 教研活动的组织与实施（1）组织形式：教研活动可以由学校、教研组、备课组、年级组等组织，也可以由教师自发组织。
（2）实施策略：制定合理的教研活动计划，明确教研活动的主题、内容、时间、地点等；组织教师积极参与，确保教研活动的顺利进行。
4. 教研活动的评价与反思（1）评价方式：采用定量评价与定性评价相结合的方式，对教研活动进行综合评价。
（2）反思与改进：教师针对教研活动中的不足，进行反思与总结，提出改进措施，为后续教研活动提供借鉴。
5. 教研活动的保障与支持（1）政策保障：学校应制定相关政策，支持数学教研活动的开展，为教师提供必要的条件和保障。
（2）资源支持：学校应提供丰富的教学资源，如图书、网络资源、教学设备等，为教研活动提供有力支持。
（3）经费保障：学校应设立专项经费，用于教研活动的开展，确保教研活动的顺利进行。
6. 教研活动的创新与发展（1）创新教研活动形式：结合现代教育技术，开展线上线下相结合的教研活动，提高教研活动的实效性。
（2）拓展教研活动领域：关注数学教育发展趋势，拓展教研活动领域，如数学教育评价、数学教育心理、数学教育哲学等。
数学核心问题,引领学生走向深度学习
数学核心问题，引领学生走向深度学习我们来看一下什么是数学核心问题。
数学核心问题是指数学中最基本、最重要的问题，它是数学知识的基石和核心，是数学教育的重点和难点。
数学核心问题不仅仅是个别的难题或者定理，更是一类问题体系，它涉及到数学的基本概念、基本原理以及解决问题的通用方法。
通常来说，数学核心问题包括数学基本运算、代数方程、几何证明、概率统计等方面的问题，这些问题贯穿了整个数学学科，是学生学习数学的基础，也是学生能否掌握数学知识的重要指标。
数学核心问题的重要性不言而喻。
数学核心问题是数学知识的纲目和脉络。
在现代数学中，数学核心问题构成了数学学科的主干，它囊括了数学的基本原理和基本方法，是数学学科的重要组成部分。
数学核心问题是培养学生数学思维和解决问题能力的重要途径。
通过学习数学核心问题，学生可以了解数学问题的本质和规律，培养数学思维和数学直觉，提高解决实际问题的能力。
数学核心问题也是衡量学生数学水平和能力的重要标准。
只有掌握了数学核心问题，学生才能在各种竞赛和考试中取得好成绩，才能在未来的学习和工作中有所作为。
传统的数学教育往往忽视了数学核心问题的重要性，更多地注重于考试成绩和应试技巧。
学生在课堂上只是被灌输大量的知识点和方法，缺乏对数学核心问题的深入思考和理解。
这种教学方式不仅影响了学生对数学的兴趣和学习积极性，也使得学生对数学核心问题的掌握程度大打折扣。
引导学生走向深度学习数学核心问题，成为了当下数学教育亟需解决的问题。
那么，如何引导学生走向深度学习数学核心问题呢？教师需要转变教学理念，重视数学核心问题的教学。
教师应该从课程设计、教学方法和教学手段等方面入手，将数学核心问题贯穿于整个教学过程中，使得学生在学习数学的过程中自然而然地感受到数学核心问题的重要性。
教师需要引导学生从实际问题出发，自主探究数学核心问题。
通过提出有趣的、贴近学生实际生活的问题，激发学生的兴趣和求知欲，鼓励学生通过实际操作和思考，逐步深入理解数学核心问题。
小学数学教育核心内容与教学建议
小学数学教育核心内容与教学建议数学作为一门基础学科，对于小学生的学习发挥着重要的作用。
在小学数学教育中，培养学生的数学思维能力、逻辑思维能力和问题解决能力是至关重要的。
本文将介绍小学数学教育的核心内容和提出相应的教学建议，以帮助教师更好地教授数学课程。
核心内容一：数的认识和初步数学运算小学数学教育的核心内容之一是培养学生对数的认识和初步数学运算的能力。
这包括自然数的认识、数的排序、数的比较以及简单的加减乘除运算。
教师可以通过使用具体的物体或图片来引导学生进行对数的认识，同时结合生活中的实际问题，让学生进行简单的数学运算，培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。
教学建议：1. 利用具体寓教于乐的教具和游戏帮助学生认识和掌握数的概念，例如使用珠算、计数棒等教具进行数的教学。
2. 结合日常生活中的实际问题，引导学生运用数学知识解决问题，例如购物计算、分配物品等，培养学生的实际运用能力。
3. 引导学生进行适当的数学游戏，例如数独、数学拼图等，通过游戏的方式提高学生对数的敏感度和兴趣。
核心内容二：几何形体和空间思维几何形体和空间思维是小学数学教育的另一个核心内容。
通过几何和空间的学习，学生可以培养他们的观察力、空间想象力和逻辑推理能力。
小学阶段的几何学习主要包括平面图形的认识、简单的图形组合和分解、对称和投影等内容。
教学建议：1. 利用实物、图片、幻灯片等视觉辅助教具，引导学生认识几何形体的各种特征，例如边数、角的性质等。
2. 鼓励学生进行几何形体的拼贴、组合，培养学生的观察和创造力，例如通过拼装积木、利用纸片折叠制作各种图形。
3. 引导学生进行简单的图形投影和对称的学习，例如通过点线面切割、镜面映射等活动，提高学生的空间思维能力。
核心内容三：数据的收集和处理在小学数学教育中，培养学生数据的收集和处理的能力是非常重要的。
学生需要学会通过各种方式收集数据，并进行简单的统计和图表表示。
这不仅可以培养学生的观察和归纳能力，还可以让他们了解到数据在现实生活中的应用。
第8章数学问题解决
迈克尔和斯契夫在其有关问题的解决模式的研究中， 按照问题、途径、方法、将问题进行分类， 如图表8-2 此外，还可以依据是否具有现实的背景而 分为课堂中的问题与实际生活中的问题； 依据是否具有创造性分为创造性文图与非 创造性问题等。
8.1.3问题的功能
不同类型的问题具有不同的教学功能，不同的场 合需要不同的问题。例如，标准题与练习题常用
§8.2数学问题解决的基本过程
对数学问题解决过程的研究主要有四个层面（1）心理 学界对数学解题心理办的问题的解决行为，过程（表征、 策划、实施、检验）的研究，这类研究基本上都是针对 小学阶段的数学问题的解决，讨论的是人类一般的问题 解决行为，较少表现数学的学科特征；（2）西方数学 （） 教育界对数学问题解决特征及专家-新手的比较研究， 代表人物就是美国的匈菲尔德，这类研究通常以大学数 学专业的学生或者数学家为研究对象（3)钱苏联数学教 育界对数学解题的逻辑过程饿研究，侧重于问题的逻辑 结构，较少关注解题者的心理变化及情感与态度；（4） 对具体数学解题行为过程的研究，如我国的学者和教师 对学生有水平的高低之分，主要是研究的角度不同。
第三，实现你的计划
第四,验算所得到的解。
8.2.1.3纽维尔和西蒙的问题解决过程模型
纽维尔和西蒙依据信息加工理论来分析人 类的问题解决过程，编制了称为“通用问题 解决者”的计算机程序，并成功的解决课诸 如河内塔、牧羊人过河等古典问题，它们认 为，整个问题解决的过程包含了问题出事状 态和最后的目标状态，这些状态组合起来就 成为“问题空间”。在问题空间及信息处理 理论的前提下，一般的问题的解决过程可分 为以下两个阶段： 1了解问题 2寻找解决方法
第三、四条原则是密切相关的，从正面考虑， 这些问题能够把学生印象真正的、城市的、 有价值的数学。 第五，也是最重要的一条就是，问题应该成为 丰富的数学探索活动的起点，目的是给学生 “做数学”的机会。 为了说明上述的原则，匈菲尔德在他的书给 出了两个例子，其一是对勾股定理的推广， 其二是三阶幻方问题。
确立数学教学中的“核心问题”
确立数学教学中的“核心问题”核心问题是一节课的中心问题。
教师确立每节课数学教学中的“核心问题”，并围绕解决核心问题的过程展开教学，促进学生对新知的深入明白得，显得至关重要。
一、什么是“核心问题”数学家哈尔莫斯曾说：问题是数学的心脏。
诚然，问题之于数学教学的重要性差不多不需多言。
那什么是问题？《现代汉语大词典》的说明是：“要求回答或说明的题目”，“必须要研究讨论并加以解决的矛盾、疑难”。
可见，所谓的问题不是学生能赶忙作答的，而是要能引发学生深入摸索，合作探究，交流互动、具有一定思维价值的问题。
而核心问题能够是针对概念的本质内涵所提的问题，也能够为了引导学生探究知识的启发性问题，还能够在学生认知困惑处的方法指导或思路点拨的问题。
为此，数学的核心问题应有利于学生摸索与揭示事物本质的问题，既要符合问题的特点，又要满足教学的需要。
它是在教学过程中，为学生更好地明白得和把握新知、积存学习体会和方法，并依据具体教材内容，课堂教学互动生成的情形，提炼出的本节课教学的核心问题。
二、为何确立“核心问题”在数学课堂教学中，教师善于确立每节课的核心问题，并以此作为统领，能有效提高课堂教学效益。
1.有利于教师把握教学内容。
确实是教师要弄明白“教什么”。
第一要梳理知识点，即通过认真阅读教材，明确教材内容，弄清了通过本节课教学，应让学生把握哪些知识，形成哪些技能，感悟哪些数学思想方法等。
为此，教师应对知识点进行梳理，不仅要关注例题，也要关注“做一做”、“练一练”等练习题。
其次要明确教学重难点，教师在了解知识点之后，需要对多个知识点进行分析，专门是从班级学生情形的实际动身，合理地确定教学重难点，从教学重难点提炼出教学的核心问题。
2.有利于学生清晰学习目标。
关于一节课的教学内容来讲，核心问题不可能琐碎，必定高度凝练，直截了当指向学习目标，学生依照问题就能直截了当或间接地明确学习任务，这是教学是否有效的关键。
我们不难发觉在有的课上，由于教学内容被过于肢解，问题太多，问题的角度变换过频，学生专门难把握学习的重点，弄不清学习的目标，以至于教完课后，学生还不清晰怎么说学到了什么。
浅谈数学课堂中的核心问题
浅谈数学课堂中的核心问题核心问题是每节课的中心问题.在数学教学中要确立好每节课的的“核心问题"，并围绕解决核心问题展开教学,让学生充分经历知识的形成过程，从而促进学生对新知的深入理解.那什么是“核心问题”数学家哈尔莫斯曾说:问题是数学的心脏。
显然,问题对于数学教学的重要性已无需多言.那什么是问题?对学生而言，在学习过程中需要研究解决的矛盾或障碍就称作问题。
而对教师而言，问题就是能够引起学生思考、探究的语言.那核心问题则是在每节数学教学中能起指导作用，能引发学生积极思考、讨论、理解的问题，是能对知识的学习、方法的探究、问题的解决起到“牵一发而动全身"的问题.一般可以抓住知识的内容结构，在关联处设计核心问题。
也可以巧用解决问题的方法结构，在迁移处设计核心问题。
而激活学生的思维结构，在难点处设计问题，不仅提纲挈领，而且提高课堂效率。
对此，我们应该怎么应用核心问题?一.抓住内容结构，在关联处设计问题根据教材内容逻辑结构的特点设计核心问题,往往可以事半功倍.一方面可以统领本节课的关键内容和重点内容，另一方面与该内容有密切联系的相关内容之间便于比较，激活学生思维。
例如：三年级上册《分数的初步认识》这一课中，我根据信息窗内容设计一个小厨师分餐的情景，让同学们仔细观察图片，然后提问“小厨师是怎么样分的,他分的公平吗？”引导学生理解，分东西想要分的公平，必须要平均分，方便学生从整体上构建数学知识,为后面认识分数奠定基础；接着借此提出“一个月饼平均分成两份，其中一份是一半，那一半怎么样表示?”通过这个问题激励学生自发产生符号（表示一半）创造的需要，从而进入二分之一这个知识点的学习。
由此将新知识“分数”与平均分问题联系在一起,激活已有的知识经验，并启发学生主动思考解决问题。
二。
巧用方法结构，在迁移处设计问题现在的教材例题变少,习题变活，教学时我们要突出思想方法，以点带面，以不变的思想方法应对多变的实际情况，引导学生举一反三，形成解决问题的策略，培养创新精神和实践能力。
数学教案核心问题
数学教案核心问题教案标题：数学教案核心问题——培养学生数学思维能力一、教学目标：1. 知识目标：通过本节课的学习，学生能够掌握数学中的核心问题，并能够灵活运用数学思维解决实际问题。
2. 能力目标：培养学生的数学思维能力，包括观察、分析、推理、创新等方面的能力。
3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学探究精神和解决问题的勇气。
二、教学重点：1. 理解数学中的核心问题，如数的性质、运算规律等。
2. 培养学生的数学思维能力，提高解决问题的能力。
三、教学难点：1. 如何引导学生发现和理解数学中的核心问题。
2. 如何培养学生的数学思维能力，提高解决问题的能力。
四、教学准备：1. 教学课件：包含核心问题的示例和解题方法的演示。
2. 学生练习册：提供相关的练习题，用于巩固学生的学习成果。
3. 教学实例：准备一些实际生活中的问题，引导学生运用数学思维解决。
五、教学过程：1. 导入：通过一个生活中的问题引发学生的思考，如：小明有5个苹果，他送给了小红2个，还剩下几个苹果？引导学生思考核心问题，即数的减法运算。
2. 概念讲解：通过课件展示数的减法运算的定义和规则，帮助学生理解核心问题的概念和基本原理。
3. 案例分析：通过多个实际问题的案例分析，引导学生运用数的减法运算解决问题，并让学生自己总结规律。
4. 拓展延伸：提供一些更复杂的问题，引导学生运用数的减法运算解决，并培养学生的推理和创新能力。
5. 练习巩固：让学生在练习册上完成相关的练习题，巩固所学的知识和技能。
6. 总结归纳：帮助学生总结核心问题的特点和解决方法，激发学生对数学的兴趣和探究欲望。
7. 作业布置：布置相关的作业，要求学生运用数的减法运算解决实际问题，并鼓励学生提出自己的思考和解决方法。
六、教学评价：1. 教师观察：观察学生在课堂上的学习表现，包括参与度、思考能力、解决问题的方法等。
2. 学生练习册：检查学生在练习册上的答题情况，评价学生对核心问题的掌握程度。
基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题
《基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题》的学习笔记放假前，在网上挑选了几本暑假期间要读的书，其中就有这本史宁中教授主编的《基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题》一书，每读一页都有很多收获，结合《课标》和另外一本关于案例式解读《课标》的书，使得我对“四基”、“四能”、“十大核心概念”等有了更深刻、更具体的认识。
书读过一遍后，感觉还有必要再读一遍并做好笔记，于是就有了下面的摘要。
史宁中教授的思考：（1）课程标准应当规定哪些教学内容，为什么要规定这些内容，这些内容的教育价值是什么？（2）数学的本质是什么，应该如何在教学中体现这些本质？（3）思考数学教育的本质，为了学生一生的发展，在义务教育阶段应当实施一种什么样的数学教育？（4）培养创新型人才的关键是什么，应当通过什么样的教学活动进行培养？基本思想和基本活动经验是一种隐性的东西，恰恰是这种隐性的东西体现了数学素养。
判定数学基本思想的准则：（1）数学的产生和发展所必须依赖的那些思想；（2）学习过数学的人和没有学习过数学的人的思维差异。
数学基本思想：抽象、推理、模型。
基础知识主要指概念和法则的记忆，基本技能主要是计算和证明的能力。
对教师的更高要求：除了“双基”之外，（1）还要求教师能够把握教学内容的数学实质，并且能够设计出符合学生认知规律的教学过程让学生感悟这些实质；（2）引发学生思考问题，并且帮助学生养成良好的独立思考的习惯；（3）引导学生能够正确的思维与实践，并且帮助学生积累思维的和实践的经验。
数是对数量的抽象，因此在认识数之前，首先要认识数量。
数学的本质：在认识数量的同时认识数量之间的关系，在认识数的同时认识数之间的关系。
分数：虽然可以把分数看作除法运算，但分数更重要的还是数，分数本身是数而不是运算，人们用这种数表示自然数之间的两种重要关系：一种是整体与等分的关系，一种是整数的比例关系。
数量是对现实生活中事物量的抽象。
例如：一粒米、两条鱼、三只鸡、四个蛋等。
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四、常规数学思维能力的界定
新颁布的数学教学大纲对常规的数学思维能力作 了界定。本文拟沿着这一思路作更具体的阐述，提出 了以下十个方面 ： 1．数学感觉与判断能力 6．归纳猜想与合情推理 2．数据收集与分析 7．逻辑思考与演绎证明 3．几何直观和空间想象 8．数学联结与数学洞察 4．数学表示与数学建模 9．数学计算和算法设计 5．数学运算和数学交换 10．理性思维与构建体系
渗透数学思想方法原则。
第三节 数学知识的教学
数学知识的呈现方式 ——火热的思考到冰冷的美丽 数学教学的呈现方式 ——冰冷的美丽到火热的思考 形式化与非形式化
对数学的深入理解； 借助于人文精神的融合。
把数学知识转化为教育形态
第四节 数学能力的界定
思考：
什么是数学能力？ 数学能力应该包含哪些方面?
一、前苏联克鲁捷茨基的数学能力观
克鲁捷茨基在《中小学生数学能力心理学》”一 书中提到数学能力的组成部分是：(1)把数学材料 形式化；(2)概括数学材料发现共同点；(3)运用 数学符号进行运算；(4)连贯而有节奏的逻辑推理； (5)缩短推理结构进行简洁推理；(6)逆向思维能 力；(7)思维的灵活性；(8)数字记忆；(9)空间概 念。 分析：强调“形式化”的抽象、记忆、推理能力。 但没有包括数学建模、数学应用的能力， 显然在 数学形式主义的观点下进行数学能力的考察。
二、20世纪90年代以来我国数学能力观的变化
“三大能力” → “三大能力”+“逐步培养分析和解决实 际问题的能力” →“三大能力”+“提出问题、分析问题、解 决问题的能力”+“数学建模能力”
三、国内外关于数学能力提法的新变化
2000年，美国数学教师协会发布《数学课程标准》 [5]，其中提到6项能力：(1)数的运算能力；(2) 问题解决的能力；(3)逻辑推理能力；(4)数学联 结能力；(5)数学交流能力；(6)数学表示能力。
第八章 数学教育的核心内容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 数学教育目标的确定 数学教学原则 数学知识的教学 数学能力的界定 数学思想方法的教学 数学活动经验 数学教学模式 数学教学的德育功能
第一节 数学教育目标的确定
一、数学教育的基本功能 二、我国20世纪数学教育目标的变迁 三、确定中学数学教育目标的主要依据
奚定华等在最近出版的《高中数学能力型问题研 究》[4]中，强调在高考中要着重考察“一般数学 能力”，其中包括以下四项：学习数学新知识的 能力；探究数学问题的能力；应用数学知识解决 实际问题的能力；以及数学创新能力。
2002年颁布的全日制高中《数学教学大纲》，对高 中学生应具备的数学能力有了更细致的描述。除了 提到一般数学能力之外，更明确地界定了惟有数学 学科才有的“数学思维能力”。它包括：空间想象、 直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、定中学数学教育目标的主要依据
从以上数学教育目标的变迁可以看出，数学教育目 标是一个“与时俱进”的、动态的、变化着的研究 课题，那么它的确定与哪些因素有关呢？ 1．教育的总目标。 各门学科的教育目标服从于总的教育目标，并为完 成总体教育目标服务。 因此数学教育必需服从总目 标。 2．社会的需求 教育的作用是要把自然的人培养成社会的人、社会 的生产力。所以，社会的政治经济和科学技术的需 求也在很大程度上影响着数学课程的目标和内容。
三种比较有代表性的观点: 实用性功能:数学模型是描述自然现象和社会现象 的工具，数学是能够产生经济效益的技术。 思维训练功能:数学能够提升思维品质，养成严谨、 准确、符合逻辑的思维习惯，形成科学的思维方法， 养成优良的心智素质，培育正确的世界观，以及欣 赏数学的美学价值。
选拔性功能:升学选拔以“语文、数学、外语”为 主要科目。数学教育承担为高一级学校输送人才的 任务。
第六节 数学活动经验
二、基本数学活动经验的类型
1、直接数学活动经验。 2、间接数学活动经验。 3、专门设计的数学活动经验。 4、意境连结性数学活动经验。
第六节 数学活动经验
三、积累数学活动经验的策略
1 、数学活动应该成为数学学习的有机部 分，不能可有可无。 2、数学活动来源于生活，但高于日常生 活。 3、拓展生活现实领域，扩大数学经验的 范围。
第六节 数学活动经验
一、什么是基本数学活动
1 、数学活动经验，是具有数学目标的主动学习 的结果。 2、数学经验，专指对具体、形象的事物进行具 体操作好探究所获得的经验。 3、数学经验，是人们的“数学现实”最贴近的 部分。 4、学生积累的丰富的数学活动经验，需要和探 究性学习联系在一起，使其善于发现日常生活中 的数学问题，解决问题。
第八节 数学教育的德育功能
一、数学德育总体设计
一个基点：热爱数学。 三个维度：人文精神，开学素养，道德品质。 六个层次：
数学本身的文化内涵，以优秀的数学文化感染学生；
教学内容的美学价值，以特有的数学美陶冶学生；
数学课题的历史背景，以丰富的数学发展史激励学生； 数学体系的辩证因素，以科学的数学观指导学生；
3．1963年，中国数学教育的重点有变化。 数学教学的目的 是： “使学生牢固地掌握代数、平面几何、立体几伺、三角和 平面解析几何的基础知识，培养学生正确而且迅速的计算能 力，逻辑推理能力和空间想象能力，以适应参加生产劳动和 进一步学习的需要”． 分析：这一提法重点突出“三大能力”，加强了思维培养的 功能，但却削弱了实用功能。 4．20世纪80年代，拨乱反正， 依然回到1963年的提法。 由于社会上追求升学率需求的驱使， 数学教育的选拔性功能 日益加强。
20世纪90年代， 中华人民共和国教育部颁布的《义 务教育初中数学教学大纲》规定了义务教育阶段初 中数学的教学目的是：使学生学好当代社会中每一 个公民适应日常生活、参加生产和进一步学习所必 需的代数、几何的基础知识与基本技能，进一步培 养运算能力，发展思维能力和空间观念，使他们能 够运用所学知识解决简单的实际问题，并逐步形成 数学创新意识。培养学生良好的个性品质和初步的 辩证唯物主义的观点。
2001年颁布的《义务教育阶段数学课程标准》设置的总体目标 是： 通过义务教育阶段的数学学习，学生能够： （1）获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知 识(包括数学事实、数学活动经验)以及基本的数学思想方法和必 要的应用技能； （2）初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去 解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意 识； （3）体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值 ，增进对数学的理解和学好数学的信心； （4）具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力 方面都能得到充分发展。 分析：这一总目标的提法，在实用功能和思维培养功能上得到 比较好的平衡，在了解数学价值， 情感态度，实践能力上都有 新的提法。
确定中学数学教育目标的主要依据
3．数学学科的特点 数学本身的特点包括模型化，数量化，算法化， 论 述的逻辑严谨性，简约的语言表达，问题解决的思维 过程， 辨证因素等诸多方面。 让学生学习和理解这 些特点， 都是数学教育应当努力达到的目标。 4．教师的状况 教师是数学教学目的的贯彻者，系统数学知识的传授 者，教学活动的组织者和学生活动的引导者。 因此 ， 大多数数学教师的数学学科基础能力的状况是确 定中学数学教学内容的基本依据。
2．1951年的数学教学大纲规定的教学目的是： （1）形数知识：本科讲授数量计算、空间形式及其 相互关系之普通知识为主； （2）科学习惯：本科教学须因数理之严谨以培养学 生观察、分析、归纳、判断、推理等科学习惯，以及 探讨的精神，系统的好风尚． （3）辩证思想： 本科教学须相机指示因某数量(或形 式)之变化所引起之量变质变；藉以启发学生之辩证思 想． （4）应用技能： 本科教学须训练学生熟悉工具(名词 、记号，定理、公式、方法)使能准确计算、精密绘图 ，稳健地应用它们去解决(在日常生活，社会经济及自 然环境所遇到的)有关形与数的实际问题．
第七节 数学教学模式
（一）几种基本的教学模式
1、讲授式教学模式 2、讨论式教学模式 3、学生活动教学模式 4、探究式模式 5、发现式模式
（二）当前我国数学教学模式的发展趋势
教学模式的理论基础进一步加强； 数学教学模式由“以教师为中心”，逐步转向更多“学 生参与”； 现代教育技术成为改变传统教学模式的一个突破口； 教学模式由单一化走向多样化和综合化； 研究性学习列入课程之后，随着“创新教育”的倡导， 探究和发现的数学教育模式将会有一个大的发展。
二、我国20世纪数学教育目标的变迁
1922年11月1日北京政府公布《学校系统改革令》 ，1923年6月刊布《初级中学算学课程纲要》，其 中规定的教学目的是： （1）使学生依据数理关系， 推出事物的当然结果 ； （2）供给研究自然科学的工具； （3） 适应社会上生活的需要； （4） 以数学的方法发展学生的论理能力。
第一节 数学教育目标的确定
一、数学教育的基本功能
思考与讨论： “为什么要学习数学”？ 答案A：“数学有用”。 俗话说：“学了语文会写信，学了数学会算帐”。
答案B：“数学能训练人的思维”。
一句名言说：“数学是思想的体操”。 答案C：“数学是升学的主课”。 常言道：“数学是筛选人才的过滤器” 。
一、数学教育的基本功能
五、数学创新能力的界定
数学创新能力，属于一般的数学能力。那么数学创 新能力有什么特点? 具体说来，可分为以下10点： 1．提出数学问题和质疑能力。具有能疑、善思、敢想 的品质； 2．建立新的数学模型并用于实践的能力； 3．发现数学规律的能力。包括提出定义、定理、公式； 4．推广现有数学结论的能力。放松条件或加强结论； 5．构作新数学对象(概念、理论、关系)的能力；