热统题

引入拉氏未定乘子α、α’和β分别称，并对 下列函数求变分（对 al 和 al’），并令之为零，
[ln{ '}− N − ' N '− E]
而
在 过 程 (b) 的 元 过 程 放 出 ( dQ2 0是放出热量的量值)。
热
量
(
U V
)
T
=
T
(
P T
)V
−
P
=
T
T
f
(v)T
V
− P = Tf (v) − p = 0
3.10 试证明在相变中物质摩尔内能的变化为
态下两种粒子的最概然分布分别为
al
=
e− −l
l
和
al ' = l ' e− '−l ， 其 中 l 和
= −
l
(ln al l
+
+
l ) al
−
l
(ln
al l
' '
+
'+
l
')
al
'
得： = 0
(10)
如果 T1 是过程(a)中，T(外)的最大值；T2 是过 程(b)中，T(外)的最小值，那么从(1)是，我们
得分子的方均根速率： vs =
_
v2 =
7.11 表面活性物质的分子在液面上作二维自
− mv2
[e 2kT v]
2kT m
=0
证明：已(知6 '，) 在正则分布中，熵可以表示成：
S = k[ln Z − ln Z ] = k[ln Z + U ]
式中
(7)
p
=
1
ln V
=
1 V
[e−V
(
2 m h2
)
（ii）若
相为气相，
相
'{al '} =
N '! al '!
l
al ' l
(7)
l
系统的为： system = {al} '{al '}
证明：由题给出的能量本征值，可知：
(6)
：
l
(V
)
=
1 2m
2 L
2
(nx2 + ny2 + nz2 ) = BL−2 = BV −2/3
(1)
式中
B = 1 (2 2m
所以
(a)
dQ1 T (外)
dQ2 (b) T (外)
P=f(v)T
试证明内能与体积无关。解：根据
热机在过程(a)的元过程中吸收热量（ dQ1
0 ），
U ( V )T
=
T
(
P T
)V
−P
和 N’。粒子间的相互作用很弱，可以看作是 近独立的。假设粒子可以分辨，处在一个个体 量子态的粒子数不受限制，试证明，在平衡状
ln al l
+
+ l
=0
ln
al l
' '
+
'+
l
'
=
0
(11)
可得平衡态最概然分布为：
al
=
e− −l
l
al ' = l ' e− '−l '
(12)
7.1
试根据公式
p
=
− al
l
l V
证明，对于非相对论
温度降低到 T2 为止。若热机从物体吸取的热量 = u + pv − Ts
，
故
上
式
可
写
解：对于单原子分子理想气体来说
e−( + ) dxdydpxdpy = N e− dxdydpxdpy
h2
Zl
h2
式中
Z＝ l h12
e
−
2m
(
px2
+
p
2 y
)
dxdydp
x
dp
y
(1)
T=0K 电子气体的分布函数为
f
(
)
=
1,当 0,当
0 0
式 中 0 是 费 米 能 量 ， 由 下 式 决 定 ：
内0 能d
0
=
4 mA h2
1 2
02
=
N 2
0
为
=
4 mA h2
1 2
02
=
N 2
0
Q1 Q2 或 Q2 T2 有 T1 T2 Q1 T1 对 外 界 所 作 的 功
= W = 1 − Q2 1 − T2 .
W = Q1 − Q2 所以
Q1
Q1
T1
1.21 物体的初温 T1 高于热源的温度 T2. 有一 热机在此物体与热源之间工作，直到将物体的
u
=
L
1
−
p T
dT dp
kT 2m
分子速率平方的平均值为：
T=0K 时 二 维 电 子 气 体 的 简 并 压 为
(5)
p0
= U0 A
=
1 2
N A
0
=
1 2
n0
N = ln = e−V ( 2 m)3/2 = ln
h2
=
ln
V N
+
3 2 mk
ln( 2
h2
)+
3 ln T 2
U = all
其中
l 是系统的内能。在证明（3）的
成
2, 1 ',2 ',,l ',
(2)
分布数分别为 a1 ', a2 ',, al ', 其中分布{al}
粒子， ( )
=
p2 2m
=
1 2m
2 L
2
nx2 + ny2 + nz2
, nx , ny , nz = 0, 1,
,
为 Q，试根据熵增加原理证明，此热机所能输 u + pv − Ts = u + pv − Ts 故
能和简并压。解：二维自由电子的量子态密度
为
D( )
=
4 mL2 h2
=
4 mA h2
式中
A=
L2
是二维电子
= k[ln Z + U ] = S 9.15 用巨正则分布导出单原子分子理想气体
由
=
−kT
得
=
−kT
ln
V N
( 2 m )3/ 2 h2
的物态方程、内能、熵和化学势。
的分子数为：
气体占据的面积。
温度为 T2.试根据克氏不等式证明，热机的效率 对于可逆过程，上式取等号，即得
1 − T2 .
Wmax＝Q − T2 (S1 − S2 ). 即所能输出的最大功。
不超过 T1 证明：根据克劳修斯不等式，我们
u
=
L1 −
p T
T L
v
=
L1 −
pv L
=
L1 −
RT L
6.5：设系统含有两种粒子，其粒子数分别为 N
U V
上述结论对于玻尔兹曼分布、玻色
(4)
(5)分布和费米分布都成立。
物体吸热 Q，对外界做功 W，放出热量 Q-W 到 T2,此时复合系统(物体、热机和热源)的熵变：
因为相变潜热 L = T (s − s ) ，所以上式成为 u = L − p(v − v )
{al } = {al}的微观态数为：
)
d
可 得 速 率 在 v 到 v+dv 范 围内的 分 子 数： T=0K 时
2
N
m 2 kT
−
e
m 2kT
v2
vdv
=
N
m kT
−
e
m 2kT
v2
vdv
也可得气体分子速率的平均值为：
(4) U0 =
0
4 mA =
h2
，二维电子
f ( ) D( )d
0 d
0
气 体4 m的A
= h2
al = N
出的最大功为Wmax = Q − T2 (S1 − S2 ) 其中 S1-S2 是物 体的熵减少量。证明：热机工作若干循环后从
有 u = −
= p(v − v ) + T (s − s )
al ' = N '
和{al’}要满足下面条件：
l
l
al
+
l
l
'al
'
=
E
(3)有
p
=
2 3
= k N[5 +] 2
的能量为
=
1 2m
(
px2
+
p
2 y
)
。在平衡态，按玻耳兹曼
为 n。试求 0K 时二维电子气体的费米能量、内
=k
s
s ln Z + k
s
s Es
S
=
3 2
Nk
ln T
+
Nk
ln
V N
+
Nk[ 5 2
+
2 mk ln( h2
)3/ 2
分布律，在 N 个分子中位置在 x 到 x+dx，y 到 y+dy 内，动量在 px 到 px + dpx ， py 到 py + dpy 内
vm = 决定，可得：