微积分课件第3节 空间曲线及其在坐标面上的投影

二、 画出下列曲线在第一卦限的图形：
1.
z
4 x2 y2
x y 0
2.
x2 y2 a2

x
2

z2

a2
三、将曲线 x 2 y 2 z 2 9化为参数方程． y x
练习题
x a cos 四、求螺旋线 y a sin 在三个坐标面上的投影曲线
几种常用的柱面方程及图形
（1）圆柱面 x2 y2
（3）双曲柱面
x2 a2

R2;
y2
（2）椭圆柱面
x2 a2

y2 b2
1;
b2 1;（4）抛物柱面 x2 2 py.
统
称
为
二
次
柱 面 圆柱面
椭圆柱面
抛物柱面
三、 旋转曲面
一平面曲线 C 绕同一平面上的一条定直线 L 旋转一周
所形成的曲面称为 旋转曲面. 曲线C 称为旋转曲面的
H(x, y) 0 z 0
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
yoz 面上的投影曲线, xoz面上的投影曲线,
R( y, z) 0

x

0
T( x, z) 0

y

0
x2 y2 z2 64 球面 x2 ( y 4)2 16 圆柱面
例4 求曲线 曲线的方程.
第三节 空间曲线及其在坐标面上的投影
x2 y2 1
例2 方程组
表示怎样的曲线？
2x 3 y 3z 6
解 x2 y2 1 表示圆柱面， 2x 3 y 3z 6 表示平面， x2 y2 1 2x 3 y 3z 6
交线为椭圆.
第三节 空间曲线及其在坐标面上的投影
2. 通过曲线2x2 y2 z2 16, x2 z2 y2 0，且
母线平行于 y 轴的柱面方程是____________；
3. 曲线 x2 z2 3 yz 2x 3z 3 0, y z 1 0在
xoz平面上的投影方程是_______________；
4.
方程组
y y

5x 2x

1 在平面解析几何中表示______； 3
x2 y2 5. 方程组 4 9 1在平面解析几何中表示_______
y 3
______，在空间解析几何中表示_______________；
练习题
6 . 旋转抛物面 z x2 y2(0 z 4) 在 xoy面上的投影为__________， 在 yoz面上的投影为____________， 在 zox面上的投影为__________.
空间曲线在坐标面上的投影．
H ( x, y) 0 R( y, z) 0 T ( x, z) 0
z 0

x

0

y

0
练习：P267:1(单)，2(单)，3，4(单)
第三节 空间曲线及其在坐标面上的投影
思考题
求椭圆抛物面2 y2 x 2 z 与抛物柱面 2 x 2 z的交线关于xoy面的投影柱面和 在 xoy面上的投影曲线方程.
Γ
x2
:

x
2

y2 y2
在z2xoy6坐4 ,标面上的投影
8y
解 方程 x2 y2 8 y 就是 关于xoy 坐标面的投影 柱面方程，因而曲线 在 x y
坐标面上的投影曲线是圆.
x2 y2 8y , z 0 .
x2 ( y 4)2 16
三元一次方程
Ax+By+Cz+D=0 (A、B、C，D不全为0)
复习
4.空间曲线方程的概念
5.n维空间
Rn x1, x2 , , xn xi R, i 1,2, , n
二.柱面及旋转曲面
柱面的概念
准线
母线
平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线L 所形成的曲面称为柱面.
复习
z a2 x2 y2
例3
方程组

(
x

a )2 2

y2
a2
4
表示怎样的曲线？
解 z a2 x2 y2
上半球面,
( x a )2 y2 a2 圆柱面,
2
4
交线如图.
二、空间曲线在坐标面上的投影 2、投影曲线
设空间曲线C的方程为
F ( x, G( x,
二、空间曲线在坐标面上的投影
例5 求曲线
x2 y2 z2 1

z

1 2
在坐标面上的投影.
解 （1）消去变量z后得
x2 y2 3, 4
在 xoy 面上的投影为
x2

y2

3 4,
z 0
二、空间曲线在坐标面上的投影
（2）因为曲线在平面 z 1 上， 2

3 cos t 2
3 cos t ,(0 t 2) .
2
z 3sin t

四、 x2

y2

a2
, z

b arcsin
y a
, z

b arccos
x a
.
z 0
x 0
y 0
五、 x2 y2 ax; z2 ax a2 , x 0, z 0.
定直线 L 称为旋转曲面的 旋转轴.
z
1.圆锥面方程
z2 a( x2 y2 ).
2. 旋转抛物面
z a(x2 y2 )
O
y
x
第三节 空间曲线及其在 坐标面上的投影
第四节 二次曲面
第三节 空间曲线及其在坐标 面上的投影
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线在坐标面上的投影 三、小结 思考题
一个圆,
二、空间曲线在坐标面上的投影
则交线 C 在 xoy 面上的投影为
x2 y2 1, z 0.
一个圆,
所求立体在xoy 面上的投影区域为
x2 y2 0

.
z 0
第三节 空间曲线及其在坐标面上的投影
三、小结
空间曲线的一般方程:
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
和 z 3( x2 y2 )锥面所围 成,求 它 在xoy
面 上 的 投 影 区 域.
解 半球面和锥面的交线为
C
:
z

4 x2 y2,
z 3( x2 y2 ),
消去 z 得投影柱面 x2 y2 1,
在 xoy 面上的投影为
x2 y2 1

,
z 0
z b
的直角坐标方程 . 五、求 由 上 半 球 面 z a 2 x 2 y 2 , 柱 面
x 2 y 2 ax 0 及 平面z 0 所 围成的 立体， 在 xoy 面和 xoz面上的投影 .
练习题答案
一、1.

y2

10 9
z；
x 0
2. 3 y2 z2 16,3x2 2z2 16；
得投影
x2

5z2

2 xz

4x

0 ,
y 0
（3）消去x 得投影
y2
z2
2y z

0 .
x 0
二、空间曲线在坐标面上的投影
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影. 空 间 立 体
曲 面
二、空间曲线在坐标面上的投影
例7 设一个立 体,由上半球 面z 4 x2 y2
第三节 空间曲线及其在 坐标面上的投影
第四节 二次曲面
复习
一.空间直角坐标系 1.空间直角坐标系（轴、面、卦限） 2.空间两点间距离公式
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
3.曲面方程的概念 F( x, y, z) 0 (1)球面方程 ( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 (2)平面的方程
z) z)

0 0
消去变量z，所得方程 H( x, y) 0 为投影柱面方程.
xOy坐标面上的投影曲线方程
H
(
x, y) z0
0 ;
二、空间曲线在坐标面上的投影
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
第三节 空间曲线及其在坐标面上的投影
空间曲线在xoy 面上的投影曲线
3.

x2

4z2

2x

3

0；
y 0
4. 两直线的交点,两平面的交线；
5. 椭圆与其一切线的交点,椭圆柱面 x2 y2 1与 49
其切平面 y 3的交线；
6. x2 y2 4, y2 z 4, x2 z 4.
练习题答案

x

三、 y
所以在 xoz 面上的投影为线段.
z

1 2,
y 0
| x | 3 ; 2
x2 y2 3, 4
（3）同理在 yoz 面上的投影也为线段.
z

1 2,
x 0
| y | 3 . 2
二、空间曲线在坐标面上的投影
例 6 求抛物面 y2 z2 x与平面 x 2 y z 0