第八章+弹性体应力与应变
第八章弹性体的应力和应变§81弹性体的拉伸和压缩弹性体有四种
第八章 弹性体的应力和应变§8.1 弹性体的拉伸和压缩弹性体有四种形变：拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。
其实，最基本的形变只有两种：拉伸压缩和剪切形变；扭转和弯曲可以看作是由两种基本形变的组成。
1. 正压力（拉伸压缩应力） 其中， 沿作用力截面的法线方向。
2. 线应变（相对伸长或压缩）绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸伸长nF Sσ＝（1）例：如图示， 0σ>（或压缩）。
公式：当 时，为拉伸形变； 时，为压缩形变，因而，它很好地反映形变程度。
如直杆拉伸压缩时，还产生横向形变，则对应的应变(或形变)为：其中：设想直杆横截面是正方形每边长为 ，横向形变后为 。
横向形变和纵向形变之比为泊松系数：3. 胡克定律当应变较小时，应力与应变成正比：其中：Y 称为杨氏模量，反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。
l l ε∆=（2）0100b b b b b ε-∆==（3）1εμε=（4）Y σε＝（5） 或n F lY S l ∆=（6） 0ε<0ε<设一纵波传播中，t 时刻 x 处媒质的变形情况， 表示 所取媒质的长度，x 处媒质的位移为 y(x) ，处媒质的位移为 ，因此 媒质的应变为： ，取，即为 x 处媒质的应变：拉伸或压缩的形变势能同时有：弹性势能密度，即单位体积中的弹性势能：§8.2 弹性体的剪切形变 一、剪切形变·剪切应力与应变（9）()y x x +∆0()()lim x y x x y x y x x ε∆→+∆-∂==∆∂xy ∆ ∆ / 0x ∆→x ∆x x +∆所以： （7）n F y Y S x ∂=∂212pE Y V ε=（8）0212pE Y ε=当物体受到力偶作用使物体的两个平行截面间发生相对平行移动时的形变叫做剪切形变。
例如：用剪刀剪断物体前即发生这类形变。
1.剪应力其中：S 为假想截面ABCD 的面积，力F 在该面上均匀分布。
弹性体的应变与应力特性
弹性体的应变与应力特性弹性体是一种特殊的材料，具有独特的应变和应力特性。
在应用中，了解弹性体的应变和应力特性对于设计和制造具有弹性特性的产品至关重要。
首先，了解什么是应变。
应变是弹性体在受力作用下发生的形变量。
它通常以变形体积与初始体积之比来表示。
当施加外力时，弹性体内的分子或原子之间的相对位置会发生变化，从而引起材料的形变。
应变是弹性体发生的可逆性变形，即当外力消失时，弹性体会恢复到原始形态。
而应力则是弹性体内部由于外界施加力而产生的内部力。
应力和力的大小成正比，与受力点附近的弹性体横截面积成反比。
应力可以分为拉伸应力、压缩应力和剪切应力等。
在材料的应变-应力曲线中，通常可以观察到不同阶段的特征。
首先是线性弹性阶段，这个阶段的特点是应变与应力成正比。
当外力移除时，弹性体会回到原始状态，没有留下永久变形。
接着是屈服点之后的塑性变形阶段。
在这个阶段，应变增加，但材料没有完全失去可逆性。
当外力移除后，材料会部分恢复，但仍然存在永久塑性变形。
最后是断裂阶段，材料无法恢复原状，会发生破裂。
这时，应变和应力之间的关系失去线性关系，也就是材料的断裂点。
弹性体的应变和应力特性对于产品设计和材料选择至关重要。
学习和预测这些特性可以帮助工程师选择恰当的材料，并了解产品在受力时的行为。
例如，汽车制造业中常用的悬挂系统。
这些悬挂系统需要具有弹性特性，以吸收和缓解车辆在不平路面上的震动和冲击。
由于弹性体的应变和应力特性，悬挂系统可以使车辆在行驶过程中保持稳定性和驾驶舒适度。
另一个例子是运动鞋的制造。
在设计运动鞋的缓震系统时，工程师必须考虑弹性体的应变和应力特性。
优秀的缓震系统可以缓解由于跑步等运动产生的震动和冲击，为运动员提供更加舒适和安全的体验。
除了产品设计，了解弹性体的应变和应力特性还有助于研究材料的性能和改进材料的制造工艺。
利用工程分析和模拟方法，可以精确地预测弹性体在不同受力情况下的行为，进而优化产品的设计和生产过程。
最新力学漆安慎(第二版)答案08节
力学（第二版）漆安慎习题解答第八章弹性体的应力和应变第八章一、基本知识小结1•弹性体力学研究力与形变的规律；弹性体的基本形变有拉伸压缩形变和剪切形变，弯曲形变是由程度不同的拉伸压缩形变组成，扭转形变是由程度不同的剪切形变组成。
2•应力就是单位面积上作用的内力；如果内力与面元垂直就叫正应力，用c表示; 如果内力方向在面元内，就叫切应力，用T表示。
3•应变就是相对形变；在拉压形变中的应变就是线应变，如果10表示原长，A l表示绝对伸长或绝对压缩，则线应变c =A l/l o;在剪切形变中的应变就是切应变，用切变角书表示。
4.力与形变的基本规律是胡克定律，即应力与应变成正比。
在拉压形变中表示为c = Y c Y是由材料性质决定的杨氏模量，在剪切形变中表示为T = N书，N 是由材料性质决定的切变模量。
5.发生形变的弹性体具有形变势能：拉压形变的形变势能密度E p0弓Y 2，剪切形变的形变势能密度E p01N 26•梁弯曲的曲率与力偶矩的关系12Ybh37•杆的扭转角与力偶矩的关系NR421、思考题解答8.1作用于物体内某无穷小面元上的应力是面元两侧的相互作用力，其单位为N.这句话对不对？答：不对，应力为作用于该无穷小面元两侧单位面积上的相互作用内力，其单位为或。
其面元法向分量称正应力，切向分量称切应力。
8.2（8.1.1）式关于应力的定义当弹性体作加速运动时是否仍然适用？答：适用，（8.1.1）式中的是面元两侧的相互作用内力，它与作用于物体上的外力和物体的运动状态有关。
8.3牛顿第二定律指出：物体所受合力不为零，则必有加速度。
是否合力不为零，必产生变形，你能否举出一个合力不为零但无形变的例子？答：不一定，物体是否发生形变应看物体内应力是否为零，应力为零，则不形变。
自由落体运动，物体受重力作用，但物体内部应力为零，则不发生形变。
8. 4胡克定律是否可叙述为：当物体受到外力而发生拉伸（压缩）形变时，外力与物体的伸长（压缩）成正比，对于一定的材料，比例系数是常数，称作该材料的杨氏模量？答：不对。
第八章弹性体的应力和应变-盐城师范学院
第八章弹性体的应力和应变学时安排：3课时教学目的与要求：1、掌握应力和应变的相互关系、拉伸形变的胡克定律及其适用范围；2、了解杨氏模量、泊松比、剪切模量、固体的弹性形变势能、弹性形变势能密度等概念；3、了解梁的弯曲、杆的扭转的基本知识和结论。
教学重点：弹性体的拉伸和压缩。
教学难点：应力、杨氏模量、剪切模量、泊松比等概念的物理意义。
习题：8.1.2 8.1.3 8.1.6Chapter8 弹性体的应力和应变形变的分类：塑性形变：外力撤消后，形变不完全消失；弹性形变：外力撤消后，形变完全消失，此类物体为弹性体——理想模型；本章的研究范围：各向同性的均匀弹性体的弹性形变，均匀弹性体：体内各点的弹性相同。
各向同性的弹性体：体内各点的弹性与方向无关。
弹性形变的种类：伸长、缩短、切变、扭转、弯曲……； 弹性形变的基本种类：长应变、切应变。
§8—1 弹性体的拉伸和压缩一、外力、内力与应力1．外力：对于给定物体，外界（其它物体）对它的作用力2．内力：物体内部各部分之间的相互作用力。
内力的求法：外力→物体形变→内力，为了研究内力，用一假想的平面S 将物体分为两个部分：则S 面的两侧的相互作用力——内力F ' 、F求内力的方法：隔离体法，S 面的两侧分别为一个隔离体。
物体处于平衡时，列出左侧（或右侧）隔离体的平衡方程式，由外力求内力。
S 面上受力不均匀时，在S 面上任一点（O 点）处取面元S ∆，0n 自受力一侧指向施力物一侧，是S ∆的外法向，S ∆确定了即可确定S ∆的受力（内力）。
3．应力：描述物体内部各点处内力强度的物理量（1）定义：①平均应力：F p S ∆=∆ ②应力：0lim S F p S∆→∆=∆ 物理意义：作用于物体某点处某有向面元的平均应力，当面元0S ∆→时的极限——该无限小有向面元上的应力。
③正应力：p n σ=⋅ σ正应力为p 在无穷小有向面元的外法向上的投影，σ取“+”——有向面元的某一侧受到另一侧的拉力σ取“－”——有向面元的某一侧受到另一侧的压力 ④剪切应力：τ，p 在无穷小有向面元的外法线垂直方向上的投影。
弹性体力学中的应变与应力关系
弹性体力学中的应变与应力关系弹性体力学是研究物体在力的作用下变形和恢复原状的力学分支学科，研究的对象主要是固体物质。
在弹性体力学中，应变与应力是两个重要的概念，它们描述了物体的变形和受力状态。
应变和应力之间的关系在弹性体力学中具有重要意义，它们可以通过材料力学模型来描述。
应变是物体在受力作用下发生形变的程度。
一般来说，我们可以将应变分为线性应变和非线性应变。
线性应变是指物体的形变与受力成正比。
例如，当我们拉伸一根弹簧时，弹簧的长度会发生变化，而这种形变与拉力之间是线性相关的。
用数学的语言来表达，线性应变可以用应变量ε表示，其与外力F之间存在着关系ε=ΔL/L，其中ΔL为物体长度的增量，L为物体的原始长度。
非线性应变则是指物体的形变与受力不成比例。
在高强度材料的情况下，非线性应变是不可忽视的。
非线性应变与材料的本构关系有关，常用的本构关系模型包括背应变率本构关系、黏弹性本构关系等。
这些模型可以更准确地描述材料的力学行为，使得我们能够更准确地计算应变。
与应变相对应的是应力。
应力可以看作是物体单位面积的受力情况。
一般来说，应力可以分为正应力和剪应力。
正应力是指垂直于物体内部某一面的力的作用情况。
例如，当我们用一把剪刀剪断一根木棍时，剪刀的受力情况可以被描述为正应力。
剪应力则是指平行于物体内部某一面的力的作用情况。
例如，当我们剪断一个绳索时，绳索的受力情况可以被描述为剪应力。
应变与应力之间的关系又可以通过应力-应变曲线来描述。
应力-应变曲线是弹性体力学研究中的一个重要工具，它可以体现材料的力学性质。
一般来说，应力-应变曲线可以分为弹性阶段、屈服阶段、塑性阶段和断裂阶段。
在弹性阶段，应力与应变成正比。
这个阶段的曲线是一个直线，斜率即为弹性模量，用来描述材料的刚度。
当应力超过一定值时，物体进入屈服阶段。
在屈服阶段，物体的应变不再与应力成正比，而是呈现出非线性关系。
此时物体会发生塑性变形，形成剩余应变。
当应力进一步增加时，物体可能发生断裂。
第八章 弹性体的应力和应变
第八章 弹性体的应力和应变习题解答8．1．1一钢杆的截面积为，所受轴向外力如图所示，试计算A 、B,B 、C ，C 、D之间的应力。
、、。
解：在AB 段、BC 段、CD 段各假想一截面、、，对整体取为隔离体为拉应力取为隔离体为压应力取为隔离体为拉应力8．1．2利用直径为0.02m的钢杆CD固定刚性杆AB。
若CD杆内的应力不得超过，问至多悬挂多大重量（不计杆自重）。
解：设B处悬挂W重的物体时AB杆刚好能承受，由于CD杆静止，故对过A点的垂直轴力矩代数和为零。
由得8．1．3图中上半段横截面等于且杨氏模量为的铝制杆，下半段横截面等于且杨氏模量为的钢杆，铝杆内允许最大应力为，钢杆内允许最大应力为。
不计杆的自重，求杆下端所能承受的最大负荷以及在此负荷下杆的总伸长量。
解：钢杆能承受的最大拉力：铝杆能承受的最大拉力：杆下端能承担的最大负荷为。
由胡克定律：8．1．4电梯用不在一条直线上的三根钢索悬挂，电梯质量为500kg。
最大负载极限5.5KN。
每根绳索都能独立承担总负载，且其应力仅为允许应力的70%，若电梯向上的最大加速度为g/5，求钢索的直径为多少？将钢索看作圆柱体，且不计其自重，取钢的允许应力为。
解：电梯与负载总质量：m=500+550=1050(kg)当电梯向上的加速度上升时，由牛顿第二定律：因为：，所以钢索拉力为：该力与绳索内力相等即：8．1．5（1）矩形横截面杆在轴向拉力作用下拉伸应变为，此材料的柏松系数为。
求证杆体积的相对改变为。
表示原体积，V表示变形后的体积。
（2）上式是否适用于压缩？（3）低碳钢杨氏模量为，柏松系数受到的应力为，求杆件体积的相对改变量。
（1）、解：设杆原长，经过拉伸后变为两者之间关系分别为：由纵向应变公式：，横向相对应变公式：泊松系数公式：含有两个或三个项，为高阶无穷小量，可省略。
（2）、压缩证明同上，同样适用。
（3）、解：，，，代入（1）的证明结果：体积相对变化8．1．6（1）杆件受轴向拉力F，其横截面积为S，材料的重度（单位体积物质的重量）为，证明考虑材料的重量时横截面内的应力为：（2）杆内应力如上式，证明杆的总伸长量：（1）、解：建立如图所示坐标，任意一点x 处做一微分截面，以斜面下方物体为隔离体： 因为处于平衡状态所以，为拉应力。
弹性体的应力与应变
弹性体的应力与应变弹性体是一种在受力作用下可以发生形变，但当受力停止时，能够恢复原来形状和大小的材料。
了解弹性体的应力与应变关系对于工程设计和材料科学具有重要意义。
在本文中，我们将探讨弹性体的应力与应变之间的关系，分析材料的弹性性质以及应力与应变的计算方法。
1. 应力的概念与计算方法应力是指单位面积上作用的力，合理地计算应力是分析弹性体性质的关键。
在计算应力时，常用到两种基本的力学概念：张力和压力。
张力是指沿一维方向的受力情况，通常用F表示，单位为牛顿。
而压力是指在一个平面上均匀分布的力，用P表示，单位是帕斯卡。
应力的计算公式如下：应力 = 受力 / 横截面积2. 应变的概念与计算方法应变是指材料在受力作用下发生的形变，一般用ΔL / L表示。
其中，ΔL是材料长度的变化量，L是材料的初始长度。
应变可以分为线性弹性应变和非线性应变。
线性弹性应变是指材料在受力作用下，形变与受力成正比的状态。
计算线性弹性应变的方法如下：应变 = 形变 / 初始长度而非线性应变则需要更复杂的计算方法来进行分析，涉及到材料的本构关系等。
3. 应力与应变的关系应力与应变之间存在一定的关系，即应力-应变曲线。
弹性体的应力-应变曲线通常可以分为三个阶段：弹性阶段、屈服点和塑性阶段。
在弹性阶段，材料受力时会产生应变，但当受力停止时，材料会完全恢复到原来的状态。
这是因为材料内部的原子或分子只发生了相对位移，而没有发生永久性的结构变化。
当应力超过材料的屈服点时，就进入了屈服点阶段。
在这个阶段中，材料开始发生塑性变形，不再能够完全恢复到原来的状态，具有一定的永久性形变。
塑性阶段是材料的应力与应变不再成正比，继续增加应力会导致更大的应变。
这是由于材料的内部结构发生了永久性的改变，无法恢复原状。
4. 弹性模量和刚度弹性模量是描述材料抵抗形变的能力，可以用来评估材料的刚度。
弹性模量越大，表示材料越难发生形变，具有较高的刚度。
常用的弹性模量有三种：杨氏模量、剪切模量和体积模量。
弹性体的应力和应变
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数学弹性力学的典型问题主要有一般性理论、柱体扭转和弯曲、 数学弹性力学的典型问题 主要有 一般性理论 、 柱体扭转和弯曲 、 主要有一般性理论 平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面 平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面。 等方面。 在近代，经典的弹性理论得到了新的发展。例如， 在近代 ， 经典的弹性理论得到了新的发展 。 例如 ， 把切应力的成 对性发展为极性物质弹性力学；把协调方程(保证物体变形后连续，各 对性发展为极性物质弹性力学；把协调方程(保证物体变形后连续， 应变分量必须满足的关系)发展为非协调弹性力学；推广胡克定律， 应变分量必须满足的关系)发展为非协调弹性力学；推广胡克定律，除 机械运动本身外，还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为本 机械运动本身外 ， 还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为 本 构方程。对于弹性体的某一点的本构方程， 构方程 。 对于弹性体的某一点的本构方程 ， 除考虑该点本身外还要考 虑弹性体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。 虑弹性体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。 但是，由于课程所限， 但是 ， 由于课程所限 ， 我们在以下几节里仅对弹性体力学作简单 的介绍，为振动部分和波动部分作准备。 的介绍，为振动部分和波动部分作准备。
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§8.1 弹性体力学－－弹性体的应力和应变简介 弹性体力学－－ －－弹性体的应力和应变简介
弹性体有四种形变 拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。其实， 弹性体有四种形变：拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。其实，最基本的形 四种形变： 变只有两种 拉伸压缩和剪切形变； 两种： 变只有两种：拉伸压缩和剪切形变；扭转和弯曲可以看作是由两种基本形变 的组成。 的组成。
Fn ∆l =Y S l0
其中：Y 称为杨氏模量，反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。 杨氏模量， 其中： 称为杨氏模量 反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。
弹性力学弹性体的应力与应变关系
弹性力学弹性体的应力与应变关系弹性力学是一门研究固体材料在外力作用下的变形和应力分布规律的学科。
其中，弹性体是一类能够在外力作用下发生形变，但恢复力可以将其恢复到原始状态的物质。
弹性体的应力与应变关系是弹性力学中的基本概念和重要理论。
一、什么是应力与应变在力学中，应力是物体受来自外界作用的力引起的单位面积内的力的大小。
它是描述物体受力情况的物理量。
应力可分为正应力和剪应力两种，正应力作用于物体的表面上的垂直方向，而剪应力则作用于物体的表面上的切向方向。
应变是描述材料形变程度的物理量，是物体在受力下发生变形时单位长度的变化。
应变也可分为正应变和剪应变两种，正应变是物体长度在受力作用下产生的相对变化量，而剪应变则是物体形状的变化量与原始尺寸之比。
二、背景知识弹性体的应力与应变关系可以通过背景知识来理解。
弹性体的主要特性是能够在外力的作用下发生形变，但当外力消失时，它能够恢复到原来的形状和尺寸。
这是因为弹性体的分子或原子之间存在着弹性力，当外力作用结束时，弹性力将趋于平衡，使得物体恢复到原来的状态。
三、胡克定律胡克定律是描述弹性体应力与应变关系的基本定律。
根据胡克定律，当外力作用于弹性体时，弹性体内部的应力与应变成正比。
具体数学描述如下：σ = Eε其中，σ代表应力，单位为帕斯卡（Pa），E代表弹性模量，单位为帕斯卡（Pa），ε代表应变，为无单位。
胡克定律适用于弹性体在线性弹性范围内，即应力与应变成正比，并且比例系数恒定。
此时的应力-应变关系为线性关系，称为胡克定律。
超出线性弹性范围后，材料会发生塑性变形。
四、弹性模量弹性模量是表征弹性体抵抗形变的能力大小的物理量。
它是胡克定律中比例系数的倒数，可以用来度量弹性体的刚度。
常见的弹性模量有：1. 杨氏模量（Young's Modulus）：用E表示，描述的是物体在拉伸或压缩时的应变与应力之间的关系。
2. 剪切模量（Shear Modulus）：用G表示，描述的是物体在受剪时的应变与应力之间的关系。
力学(专)第八章 弹性体的应力和应变
（ 3）
b b 0
其中：设想直杆横截面是正方形每边长为 b，横向形变后为 b。 其中： 0 横向形变和纵向形变之比为泊松系数 横向形变和纵向形变之比为泊松系数： 泊松系数：
7
用S表示横截面面积， n 表示内力在 en 上的投影，则 表示横截面面积， 上的投影， F
F σ＝ n S
称作假想截面S上的拉伸或压缩应力，又统称正应力 称作假想截面S上的拉伸或压缩应力，又统称正应力 为正， σ为正，表示有向面元 为负， σ 为负，表示有向面元
(1) 若内力与有向假想截面外法向方向相同，则 若内力与有向假想截面外法向方向相同， 某一侧受到另外一侧的拉力， 某一侧受到另外一侧的拉力，为拉伸应力 (2) 若内力与有向假想截面外法向方向相反，则 若内力与有向假想截面外法向方向相反， 某一侧受到另外一侧的压力， 某一侧受到另外一侧的压力，为压缩应力
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弹性力学的基本内容 弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和 弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和 基本规律有三个 运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。 运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中 许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。 许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。 连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时， 连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变 形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展 形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的 裂纹不扩展的 情况。这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。 情况。这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。 求解一个弹性力学问题，就是设法确定弹性体中各点的位移、 求解一个弹性力学问题，就是设法确定弹性体中各点的位移、应变和 应力共15个函数。从理论上讲，只有15个函数全部确定后，问题才算解决。 应力共15个函数。从理论上讲，只有15个函数全部确定后，问题才算解决。 15个函数 15个函数全部确定后 但在各种实际问题中，起主要作用的常常只是其中的几个函数， 但在各种实际问题中，起主要作用的常常只是其中的几个函数，有时甚至 只是物体的某些部位的某几个函数。所以常常用实验和数学相结合的方法， 只是物体的某些部位的某几个函数。所以常常用实验和数学相结合的方法， 就可求解。 就可求解。
力学 第八章 应力和应变
τ = Gψ
G为切变模量,是由材料本身决定. 为切变模量,是由材料本身决定. 为切变模量 材料的杨氏模量,切变模量和泊松系数有如下关系: 材料的杨氏模量,切变模量和泊松系数有如下关系:
E G= 2(1 + )
三,剪切形变的势能密度: 剪切形变的势能密度:
0 E p = 1 Gψ 2 2
11
§8.3 弯曲和扭转
一,梁的弯曲
梁仅在一对等大反向力偶矩作用下的弯曲称为纯弯曲. 梁仅在一对等大反向力偶矩作用下的弯曲称为纯弯曲.
1 12M K= = 3 R Ebh
M ——力偶矩 E ——材料的弹性模量 b ——梁的宽度 h ——梁的高度
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二, 杆的扭转
M =
π GR 4
2l
= c
c——圆柱体的扭转系数 R ——圆柱体半径 lG ——圆柱体长度 G ——切变模量
2
§8.1 弹性体的拉伸和压缩
一,外力.内力与应力 外力.
1,外力:外界对弹性体的作用力. ,外力:外界对弹性体的作用力. 2,内力:弹性体内部各部分间的相互作用力 . ,内力:
为研究内力, 为研究内力,必须在弹性体内部取一假想截面 S ,它把弹 性体分为两部分, 性体分为两部分,这两部分间的相互作用力叫截面 S 上的 内力, 内力,内力总是成对出现的
9
b
切应力互等定律证明: 切应力互等定律证明:
S F" F F"'
b a F'
c
v v v v v v M ( F , F ′ ) = M ( F ′′, F ′′′ )
∴ Fb = F " a
∴ (τ ac ) b = (τ ' bc ) a τ = τ '
弹性体
§8.1 外力、内力、应力
㈠外力与内力
• 外界对弹性体的作用力称为外力；内力就是弹性体内 部各部分间的相互作用力 • 为研究内力，必须在弹性体内部取一假想截面 S ，它 把弹性体分为两部分，这两部分间的相互作用力叫截 面 S 上的内力，内力总是成对出现的 • 在一般情况下，取不同的截面，内力不同；在同一截 面的不同点处，内力也不相同
z
τ'
R
r
⒈切应变和切应力的分布规律
从外观看，上端面各半径直线相对下底面转过一个相同 的角度φ ，此角称为杆的扭转角 ；侧面轴向直线倾斜一 个相同角度 r ，它就是外层体元的切变角 L r 坐标为r的体元，切变角为： L G r 由胡克定律，切应力 M G L 11
B B'
γ A
C C' D
F
8
§8.4弯曲和扭转
㈠梁的纯弯曲
b h F R F
o' θ
o
y
o x
y dx
x 梁仅在一对等大反向力偶距作用下的弯曲称为纯弯曲,上层被 压缩, 下层被拉长，y 轴所在的中间层，既不被压缩，也不被 拉长,保持原长，称为中性层,可见纯弯曲形变是由程度不同的 拉、压形变组成。
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㈡剪切形变的胡克定律：
在切应变较小的情况下，切应力与切应变成正比，即 τ=Gγ，G是由材料本身决定的切变弹性模量 通过理论推导可知，材料的杨氏模量、切变模量和泊 松系数有如下关系： G
E 2(1 )
0 2 Ep 1 G 2
F
㈢剪切形变的势能密度：
0 2 E 与拉、压形变的势能密度 Ep 1 具有相同的形式 2
⒈应变、应力分布规律 • x 处取一厚度为 dx 薄层, 其线应变
弹性体的应力和应变
第八章 弹性体的应力和应变迄今为止，我们总是把研究对象简化为“质点”或“刚体”这样的理想模型。
我们都知道刚体是在任何情况下形状大小都不发生变化的力学对象，用质点系的观点来说，就是内部质点之间没有相对运动。
但是，任何物体在力的作用下都或多或少的发生形变，而且，有些物理现象，从本质上来讲，就是形变引起的，如声音在弹性媒质中的传播和媒质内的形变有关。
因此，讨论物体在力作用下形变的规律，也是力学不可缺少的内容。
本章及后面两章将讨论连续媒质力学：连续媒质的共同特点是其内部质点间可以有相对运动。
宏观地看，连续媒质可以有形变或非均匀流动。
弹性体：若物体所受外力撤消后，在外力作用下所发生的形状和体积的变化能够消失的物体，相应的形变叫弹性形变。
显然，弹性体也是一种理想模型。
即不存在绝对弹性体，只有近似的弹性体，例如，房屋的地基，水库的堤坝等在形变极小时，均可视为弹性体。
若弹性体内各点弹性相同，则叫作均匀弹性体，若每点的弹性不仅相同，而且与方向无关，则叫均匀、各向同性弹性体。
处理连续媒质的办法不是把它们看成一个个离散的质点，而是取“质元”，即有质量的体积元。
在连续媒质力学中，力也不再看作是作用在一个个离散的质元上，而看成是作用在“质元”的表面上，因而需要引进作用在单位面积上的力，即“应力”的概念，为止，我们先来讨论弹性体的拉伸和压缩。
§8.1 弹性体的拉伸和压缩在上一章中采用的是刚体模型，要把固体的一切形变都忽略了，在本章中我们将讨论固体的弹性，即讨论固体在外力作用的形变规律。
（一） 外力、内力和应力我们先来研究横截面线度远小于其长度的直杆的拉伸和压缩形变。
如图所示，直杆的典型受力情况为两端受到沿轴线的力且处于平衡。
称一对拉力或压力F和连续媒质F '' 为外力，一般情况下 |F ' |>>mg(忽略不计)|F '' |>> mg内力：假想截面AB 两侧相互施以向上（下）的拉（压）力：F 和–F 于忽略重力，且处于平衡，故而 |F | = |F ' | = |F ''| （正）应力：s nF =σ其中: s — 横截面积n F — 内力在横截面处法线(即nˆ方向)上的投影 拉伸应力 > 0 F 与nˆ同向 σ压缩应力 < 0 F 与nˆ反向σσ的单位: 2m N 称为 “帕斯卡” (国际单位制)σ的量纲：21--MT L(L — 长度 M — 质量 T — 时间)〔例题1〕P333求壁内沿圆周切向的应力(忽略容器自重和大气压力)解：过圆心沿纵向取假想截面,其长度取为一个单位,将一半圆柱形容器和气体作为研究对象,受力情况如下图:按平衡条件:022=+⋅-d R p σ(R p 2⋅-下方气体对上方气体的力 d σ2下方器壁对上方气壁的力)则有: ⇒=d Pp σ器壁内沿圆周的拉伸压力,由此可见： 圆柱形容器外部受压而内部压强较小时,刚沿圆周切向有压缩压力。
工程力学基础第8章 应力、应变和应力应变关系
第8章 应力、应变和应力-应变关系
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
一点处的应力状态 平面应力状态分析 应变状态分析 广义胡克定律 材料失效和失效判据
第一节 一点处的应力状态
一、引言 在本章中，将应用微元体法，从力、变形、力与变形的关系三 方面研究变形固体内一点处的性态。本章的内容覆盖了固体力 学的三大理论基础：应力理论、应变理论和本构关系(主要是对 理想弹性体)。在此基础上建立复杂受载条件下，材料的失效判 据和构件的强度设计准则，从而为解决杆件在复杂受载条件下 的强度、刚度和稳定性问题创造条件。
（1）一点处的应变状态由六个应变分量εx、εy、εz、γxy、γyz、 γzx完全决定，即由它们可以确定该点处任一方向的线应变和任
第三节 应变状态分析
（2）在任一点处都存在三个互相垂直的方向，它们在变形过 程中保持垂直，即切应变为零，这三个方向称为应变主方向， 沿应变主方向的线应变称为主应变，记为ε1≥ε2≥ε3。主应变ε1 和ε3 试验证明，对于各向同性的线弹性材料的小变形问题，应变主 方向与应力主方向重合，即一对切应力为零的正交截面在变形 过程中保持垂直。应变和应力由材料的力学性能相联系。在工 程中除接触应力等少数情形外，直接测量应力是很困难的，而 变形则比较容易测量。通常是从测得的应变来确定应力。应变 分析的实际意义在于：通过测得的应变确定主方向和主应变，
第一节 一点处的应力状态 三、主应力和主方向 如果微元体某对截面上的切应力等于零，该对截面就称为主平 面，主平面的法向称为主方向，主平面上的正应力称为主应力。 按不等于零的主应力的个数分类，可以把一点处的应力状态分
（1）单向(单轴)应力状态，也称为简单应力状态，只有一个主 应力不为零，如受轴向拉压的直杆和纯弯曲直梁中各点处的应
弹性体应力应变关系
σx=f1 εx,εy,εz,γyz,γxz,γxyσy=f2 εx,εy,εz,γyz,γxz,γxyσz=f3 εx,εy,εz,γyz,γxz,γxyτyz=f4 εx,εy,εz,γyz,γxz,γxyτxz=f5 εx,εy,εz,γyz,γxz,γxyτxy=f6 εx,εy,εz,γyz,γxz,γxy或者简写为：σi=f i εj,i,j=1,6满足小变形假设的弹性体，应力可以表示为应变的线性函数：σi=C ijεj,C ij为常数弹性体的应变能可以表示为：Vε=vεdVVvε为应变能密度，可以表示为：vε=1σiεi≥0,i=1,6且满足：σi=ðvεi该式称为格林公式，通过热力学第一定律和第二定律导出。
σ1=ðvεðε1=C11ε1+C12ε2+C13ε3+C14ε4+C15ε5+C16ε6σ5=ðvε5=C51ε1+C52ε2+C53ε3+C54ε4+C55ε5+C56ε6ð2vεðε1ðε5=C15ð2vεðε5ðε1=C51由于偏导的次序可以交换，因此必满足：C15=C51说明C ij是对称的，则对于各向异性体，具有6+30/2=21个独立的弹性常数。
下面考虑材料性能对称问题。
若材料存在对称面，则材料在与该对称面对称的两个方向上具有相同的弹性，称该对称面为弹性对称面，而垂直于弹性对称面的方向称为弹性主方向。
例如：设X轴为材料弹性主方向，则OYZ面为弹性对称面，X轴转动180度后，应力与应变σi′j′=σij n i′i n j′jεi′j′=εij n i′i n j′jσx =C 11εx +C 12εy +C 13εz +C 14γyz +C 15γxz +C 16γxy σy =C 21εx +C 22εy +C 23εz +C 24γyz +C 25γxz +C 26γxy σz =C 31εx +C 32εy +C 33εz +C 34γy′z′+C 35γxz +C 36γxy τyz =C 41εx +C 42εy +C 43εz +C 44γyz +C 45γxz +C 46γxy τxz =C 51εx +C 52εy +C 53εz +C 54γyz +C 55γxz +C 56γxy τxy =C 61εx +C 62εy +C 63εz +C 64γyz +C 65γxz +C 66γxy 坐标变换后应力分量满足以下关系：σx′=σx ,σy′=σy ,σz′=σzτx′y′=−τxy ,τx′z′=−τxz ,τy′z′=τyz 应变分量满足以下关系：εx′=εx ,εy′=εy ,εz′=εzγx′y′=−γxy ,γx′z′=−γxz ,γy′z′=γyz那么，应力——应变关系成为：σx′=C 11εx′+C 12εy′+C 13εz′+C 14γy′z′−C 15γx ′z ′−C 16γx′y′ σy′=C 21εx′+C 22εy′+C 23εz′+C 24γy′z′−C 25γx ′z ′−C 26γx′y′ σz′=C 31εx′+C 32εy′+C 33εz′+C 34γy′z′−C 35γx ′z ′−C 36γx′y′ τy′z′=C 41εx′+C 42εy′+C 43εz′+C 44γy′z′−C 45γx ′z ′−C 46γx′y′ −τx′z′=C 51εx′+C 52εy′+C 53εz′+C 54γy′z′−C 55γx ′z ′−C 56γx′y′ −τx′y′=C 61εx′+C 62εy′+C 63εz′+C 64γy′z′−C 65γx ′z ′−C 66γx′y′ 为了满足坐标变换后应力——应变关系不变，必须满足：C 15=C 16=C 25=C 26=C 35=C 36=C 45=C 46=0则应力——应变关系为：σx =C 11εx +C 12εy +C 13εz +C 14γyz σy =C 21εx +C 22εy +C 23εz +C 24γyz σz =C 31εx +C 32εy +C 33εz +C 34γy′z′ τyz =C 41εx +C 42εy +C 43εz +C 44γyzτxz =C 55γxz +C 56γxy τxy =C 65γxz +C 66γxy 根据对称性，独立的弹性常数为：6+（30-16）/2=13个（21-8=13）。
弹性体与变形弹性体的应力与应变关系
弹性体与变形弹性体的应力与应变关系弹性体是指在外部施加力后能够发生形变，但在去除力后能够恢复原状的物质。
而变形弹性体则是指在外力作用下形变后不能完全恢复原状的物质。
弹性体与变形弹性体在受力时会出现应力与应变的关系，这种关系是研究材料力学性能的重要内容。
一、弹性体的应力与应变关系弹性体在外力作用下，发生形变。
应力是单位面积上的力，定义为单位面积上的力与面积的比值，通常用σ表示，单位为帕斯卡（Pa）。
应变是物体的相对形变，定义为单位长度的变化量与被测长度的比值，通常用ε表示，无单位。
根据弹性体的应力与应变关系，我们可以得到胡克定律，即应力与应变成正比关系。
弹性体的胡克定律可表示为：σ = E * ε其中，E表示弹性体的弹性模量，是反映弹性体变形能力大小的重要参数，单位为帕斯卡（Pa）。
弹性模量越大，代表弹性体越难形变，具有较好的弹性性能。
根据胡克定律，当外力施加于弹性体上时，应力与应变成正比，且两者之间的关系是线性的。
即在弹性极限之内，如果应力增大，应变也会相应增大；如果应力减小，应变也会相应减小。
而且，当外力去除后，弹性体会恢复到原来的形状和大小，应变会回到零。
二、变形弹性体的应力与应变关系变形弹性体与弹性体不同，其在外力作用下形变后不能完全恢复原状。
因此，其应力与应变关系也存在一定的差异。
变形弹性体的应力与应变关系可以用应力-应变曲线来描述。
在应力-应变曲线中，随着应变的逐渐增大，物体的应力并不是线性变化的，而是呈现出一定的非线性特性。
应力-应变曲线通常可以分为弹性阶段、屈服阶段、塑性阶段和断裂阶段。
在弹性阶段，应力与应变基本保持线性关系，符合胡克定律；而在屈服阶段，应力增加的同时，应变开始出现非比例增长。
当应力达到一定程度后，材料会发生塑性变形，进入塑性阶段；在断裂阶段，材料发生破裂。
变形弹性体的应力与应变关系还可以通过一些指标进行描述，如屈服强度、断裂强度、延伸率等。
这些指标是衡量材料变形能力和抗破坏能力的重要参数。
关于弹性体受力后某一方向的应力与应变关系
弹性力学中应力与应变为线性关系，应力与应变的比例常数E 被称为弹性系数或扬氏模量，不同的材料有其固定的扬氏模量。
虽然无法对应力进行直接的测量但是通过测量由外力影响产生的应变可以计算出应力的大小。
应力是应变的原因，应变是应力的结果。
应力概念解释：物体由于外因(受力、湿度、温度场变化等)而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并力图使物体从变形后的位置回复到变形前的位置。
在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力。
同截面垂直的称为正应力或法向应力，同截面相切的称为剪应力或切应力。
拓展资料
应力会随着外力的增加而增长，对于某一种材料，应力的增长是有限度的，超过这一限度，材料就要破坏。
对某种材
料来说，应力可能达到的这个限度称为该种材料的极限应力。
极限应力值要通过材料的力学试验来测定。
将测定的极限应力作适当降低，规定出材料能安全工作的应力最大值，这就是许用应力。
材料要想安全使用，在使用时其内的应力应低于它的极限应力，否则材料就会在使用时发生破坏。
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，通常“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始，因此，有必要区别并定义应力概念。
探究胡克定律(弹性体的应力和应变).
2. 杆的扭转 杆扭转的原因：杆受到作用在与其轴线垂直的两个平面上 大小相等方向相反的力矩。 杆扭转形变的实质上是由剪切形变组成的。（见图8.12）
r 在微小形变的条件下，狭长体元的剪切应变等于 l 由剪切形变的胡克定律 N ,可知外层所受剪切应力
比内层大。还可以算出
NR 4
bb' bb' tg ab ab
式中 为切变角。
2. 剪切形变的胡克定律 实验表明，若形变在一定限度内， 剪切应力与剪切应变成正比
N
式中 N 为剪切模量 对于各向同性的、均匀的弹性体，有
Y N 2 1
这可由图8.8加以说明。 剪切形变的弹性势能密度为
1 2 E N 2
1 2 E Y V 2
0 p
Ep
§８.2 弹性体的剪切形变
1. 剪切形变· 剪切应力与应变 剪切形变：物体受到力偶的作用使物体两个平行截面 发生相对平行移动。 设作用于两假想截面上的力偶为Ｆ和Ｆ‘＝－Ｆ， 则剪切应力为
F S
剪切应力互等定律： 作用于互相垂直的假想截面上并垂直于该两平面交线 的剪切应力是相等的。 剪切应变： 平行截面间相对滑动位移与截面垂直距离之比。
外力撤消后பைடு நூலகம்够消失。研究弹性体的力学称弹性力
学，弹性力学将弹性体看作是连续介质，所以也叫 连续介质力学。 弹性体的形变有四种：拉伸压缩、剪切、扭转 和弯曲，其中最基本的是拉伸压缩和剪切。
§8.1 弹性体的拉伸和压缩
§８.2 弹性体的剪切形变
§8.3 弯曲和扭转
§8.1 弹性体的拉伸和压缩
1. 外力、内力和应力 研究横截面远小于长度的直 杆。其假想横截面上的应力为
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第八章弹性体的应力和应变 8.1.1 一钢杆的横截面积为425.010m-⨯，所受轴向外力如图所示，试计算A 、B ，B 、C 和C 、D 之间的应力.41F 610N=⨯，42F 810N=⨯，43F 510N=⨯ ，44F 310N=⨯。
[解 答]建立坐标系O-x ，水平向右为正方向，作垂直于Ox 的假想截面123s ,s ,s 于AB 间E 处，BC 间G 处，CD 间H 处.42123s s s 5.010m-===⨯以杆的全部为隔离体。
受力1234F ,F ,F ,F杆所受合力1234F=F F F F +++∑X 轴上投影：1234F F F F 0-+-+=合力为零，杆平衡。
在以杆的AE 部为隔离体，受力1F ，1s 面外侧对它的应力1σ根据平衡方程8111F ˆ1.210ns σ=-=⨯由于1σ与X 轴同向，821 1.210(N /m )σ∴=⨯为拉应力。
在以杆的AG 部为隔离体，经过同样分析可得：8220.410(N /m )σ∴=-⨯为压应力最后以杆的AH 部为隔离体，经过同样分析可得：8230.610(N /m )σ∴=⨯为拉应力。
8.1.2利用直径为0.02m 的钢杆CD 固定刚性杆AB.若CD 杆内的应力不得超过7m ax 1610Paσ=⨯.问B 处至多能悬挂多大重量（不计杆自重）.[解 答]以杆AB为隔离体。
受力F,T，建立坐标系A xy,z -轴如图。
根据刚体平衡时M 0i =∑，在z 轴方向投影方程为：1.6F 1.0T 0-⨯=得到F=0.39T对CD ，因72m ax1.610(N /m ),σ=⨯故2m axm ax T rσπ=所以4m ax m ax F 0.39T 1.9610(N )==⨯8.1.3图中上半段为横截面等于-424.010m⨯且杨氏模量为106.910Pa⨯的铝制杆，下半段是横截面为421.010m-⨯且杨氏模量为1019.610Pa⨯的钢杆，又知铝杆内允许最大应力为77.810Pa ⨯，钢杆内允许的最大应力为713.710Pa⨯.不计杆的自重，求杆下端所能承担的最大负荷以及在此负荷下杆的总伸长量.[解 答]对于铅杆允许最大内力为4m ax 1m ax 11F s 3.1210(N )σ==⨯对于钢杆允许最大内力为4m ax 2m ax 22F s 1.3710(N )σ==⨯所以杆的最大承受能力是：41.3710(N )⨯ 根据胡克定律。
在力4F 1.3710(N )=⨯的作用下铅杆伸长量为111111111F F Y s s Y ==故y同理钢杆的伸长量为2222F s Y =所以总的伸长量312121122F F 2.8910(m )s Y s Y -=+=+=⨯8.1.4 电梯用不在一条直线上的三根钢索悬挂.电梯质量为500kg.最大负载极限5.5kN.每根钢索都能独立承担总负载，且其应力仅为允许应力的70%，若电梯向上的最大加速度为g/5,求钢索的直径为多少？将钢索看作圆柱体，且不计其自重，取钢的允许应力为86.010Pa⨯.[解 答]以电梯和最大负载为物体系，受力1212W W (m m )g+=+由牛顿第二定律：121212g F (m m )g=(m m )56g F (m m )5-++=+对某根钢索，根据题意82max 2max max6.010(N /m )d F ()2σπσ=⨯=m ax 2m ax30.7F F Fd ()0.72d 6.1510(m )πσ-=∴===⨯8.1.5 (1)矩形横截面杆在轴向拉力作用下拉伸应变为ε.此材料的泊松系数为μ.求证杆体积的相对改变为OV V (12).V εμ-=-V 表示原来体积，V 表示变形后的体积.（2）上式是否适用于压缩？ （3）低碳钢杨氏模量为10Y 19.610Pa=⨯，泊松系数0.3μ=，受到的拉应力为 1.37P aσ=，求杆体积的相对改变.[解 答]（1）设杆长为0 ，横截面积的二边长为00a ,b 。
1εμε=，（1ε为横向应变，ε为长应变）拉伸时ε〉0，1ε〈 0 故1εμε=-001010000000v v (1)(1)a (1)b a b v a b εεε-+++-=21222(1)(1)1(1)(12)1(2(12)εεεμεμεεεμεεμ=++-=++--=-=-展开略去项) （2）压缩时110,0,εεεμε<>=-仍有所以上式对压缩时亦适用 （3）根据胡克定律Y σε=所以Yσε=故12V V (12) 2.810VYσμ--=-=⨯8.1.6 （1）杆受轴向拉力F ，其横截面为S ，材料的重度（单位体积物质的重量）为γ，试证明考虑材料的重量时，横截面内的应力为F()Sx xσγ=+（2）杆内应力如上式，实证明杆的总伸长量等于2F SY2Yγ=+[解 答]（1）建立坐标系o —x 如图，在x 处作垂直于ox 轴假想截面s,以x 0x=x =到的一段杆为隔离体，ˆF,W =-rsx i,受拉力重力s面外侧内力()()ˆˆP snsi x x σσ==由平衡方程F W P 0 ++=()F r s s 0x x σ--+=则F ()r sx xσ=+（2）根据胡克定律:n 0F (x )Y ,Ys σε==则(x )Yxσ= →d (x )dxYσ=所以2(x )F r d dx YsY2Yσ==+⎰⎰（ 为杆长）8.2.1 在剪切材料时，由于刀口不快，该钢板发生了切变。
钢板的横截面积为2S 90cm =。
二刀口间的垂直距离为d 0.5cm =。
当剪切力为5F 710N=⨯时，求（1）钢板中的切应力， （2）钢板的切应变，（3）与刀口相齐的两个截面所发生的相对滑移。
已知钢的剪切模量10N 810Pa =⨯。
[解 答]（1） 2S 90cm =， 剪切力5F 710N=⨯。
根据切应力定义：钢板中的切应力为72F 7.7810(N /m )sτ==⨯（2）根据剪的胡克定律N τψ=钢板的切应变49.710(rad )Nτψ-==⨯（3）根据剪切应变的定义dψ=，则6d 4.910(m )ψ-==⨯8.3.1 一铝管直径为4cm ，壁厚1mm ，长10m ，一端固定，而另一端作用一力矩50N m ⋅，求铝管的扭转角θ。
对同样尺寸的钢管在计算一遍。
已知铝的剪切模量10N 2.6510Pa =⨯，钢的剪切模量为10N 8.010Pa=⨯[解 答]设管直径为D ，壁厚为d ，管长为 ，外力矩为M 。
根据切应力的定义，注意到D d有：切应力2M 12MD /2D dD dτππ=⋅=根据剪切的胡克定律22M N N D d τψπ==则扭转角344MD /2D dNθπ==（1）对于铝管取10N 2.6510=⨯得：34M0.376(rad )D dNθπ==（2）对于钢管取10N 810=⨯得：34M0.124(rad )D dNθπ==8.3.2 矩形横截面长宽比为2:3的梁，在力偶矩作用下发生纯弯曲。
各以横截面的长和宽作为梁的高度，求同样力偶矩作用下曲率半径之比。
[解 答]设梁横截面长为0a 2d,=宽0b 3d=。
根据公式3112M k=RY bh=有31Y3d(2d)R 12M =32Y 2d(3d)R 12M=，所以 12R 4R 9=8.3.3 某梁发生纯弯曲，两长度为L ，宽度为b ，厚度为h ，弯曲后曲率半径为R ，材料杨氏模量为N ，求其总形变势能。
[解 答]建立坐标系O —z ，竖直向下为z 轴正方向，原点O 位于中性层内。
因压缩拉伸弹性势能密度2P 1E Y 2ε=。
所以对于z d 一层：(R z)R z θθθ=+-= ，原长L=R θ 则z z LR Rθεθ===故2P 1z dE Y ()Lbdz2R=因此总形变势能为：3h/2h/22P P 2-h/2-h/21z YLbh E =dE Y ()Lbdz 2R24R==⎰⎰。