高二数学二项式定理4
高二数学二项式定理
3
问题探究
(a + b) = C a + C a b + C a b + C ab + C b
0 4 4 1 3 4 2 2 2 4 3 4 3 4 4 4
4
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出 (a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么 吗？ n (a + b) =
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展 k 开式，其中各项的系数 C n (k＝0，1， 2，…，n)叫做二项式系数.
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次数 为n且按降幂排列；字母b的最高次 数为n且按升幂排列；各项中a与b 的指数幂之和都是n；各项的二项 0 1 2 n C , C , C , L , C n 且与a， 式系数依次为 n n n b无关.
问题探究
(a + b) = a + 2ab + b
2 0 2 2 1 2
2
2
2 2 2 2
(a + b) = C a + C ab + C b
问题探究
(a + b) = (a + b)(a + b)(a + b)
(a + b) = (a + b)(a + b)(a + b) C a + C a b + C ab + C b
k
k n
n- k k
b
问题探究
(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什 么？
T k + 1 = C (2x )
k 20
20- k
(3y )
k
高二数学二项式定理4
b
bb
探究三
展开式 项数(合并前) 项数(合并后) 各单项式次数 单项式形式
(a+b)4 24=16
5
4
形如axby
(a+b)4= (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
= _C_4_0 a4+_C__41a3b+_C_4_2a2b2+_C__43ab3+_C__44b4
展开式 项数(合并前) 项数(合并后) 各单项式次数 单项式形式
作业：课本36页习题1.3A组1，2，3，4，5
作业：课本36页习题1.3A组1，2，3，4，5
小型喷雾干燥机 /
yrk029qox
实验室喷雾干燥设备 小型喷雾干燥仪 大型喷雾干燥机
经筒依旧发出与转轴摩擦时嘎吱嘎吱的声音，转经的队伍里不断有人退出去，也有人补进来。过大的经筒转起来会很吃力。每个人在完成 自己的修行。转完第九圈的时候，长安右手的疼痛已经非常明显，是与经筒接触的部分。她早就看到有经验的僧侣戴着白布手套。经筒上 艳丽的漆花因为长久的触摸而褪色、掉落，露出原本的铁皮的面目。
(2x)3
C
3 7
23
x3
280 x3
所以(1+2x)7的展开式的第4项的系数是280
变式练习：(1+2x)7的展开式的第4项的二项式系数
是 C__73____3_5
注意 二项式系数与系数的区别
用一用
例3：求( x 1 )9展开式中x3的系数 x
解：( x 1 )9展开式的通项是 x
C9k x9k (
理一理
一、知识层面
1、二项式定理
(a b)n Cn0an Cn1a b n1 1 L Cnkankbk L Cnnbn
6.3 二项式定理(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
n 1
n
C
k n)
k nk k
C
b
k 1
na
(2)各项的统一表达式为____________,这是展开式的第_____项.
a降幂(n→0),b升幂(0→n)
(3)a的幂、b的幂的变化规律：_________________________
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
[( x 1) 1]5 1 x 5 1
新知：二项式系数的性质
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C
2
n 1
n
ab
n 1
C b
n
n
n
(1)令a b 1, 得(a b) n 的二项式系数之和为2n ,
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
k
(1)展开式共_____项，各项次数是___，各项系数是____.
1 8
[例3]已知( x 3 ) ,
x
(1)求展开式的第3项;
(2)其展开式的第4项的系数为_____,第4项的二项式系数为___;
二项式定理
的展开式中x的系数为19，求 x 2 的系数的最小 值及此时展开式中 x 7 的系数。
五、教学过程设计
【板书设计】
10· 4 二项式定理
一、复习引入
四、例题解析 例1……
例2……
五、小结
……
……
二、二项式定理
六、布置作业
……
三、二项式定理的几点说明 …… ……
……
10.4 二项式定理
一、教材分析 二、学情分析 三、教学目标、重难点 四、教学方法和手段 五、教学过程 六、教学感悟
10.4 二项式定理
一、教材分析 二、学情分析 三、教学目标、重难点 四、教学方法和手段 五、教学过程 六、教学感悟
二、学生情况分析
授课对象是高二年级的学生。
10.4 二项式定理
一、教材分析 二、学情分析 三、教学目标、重难点 四、教学方法和手段 五、教学过程 六、教学感悟
三、教学目标、重难点
2 、二项展开式中各项的系数与二项式 系数不同； 3 、体验了由“特殊到一般”，“归纳、 猜想、证明”的数学思维过程和方法。
五、教学过程设计
【作业】
1、课本作业：习题10.4的第2题 2、思考题： 求 ( x 3x 2)
2 5
的展开式中x的系数
n
3、研究性题：
f x 1 x 1 x , m, n N *
2 3 4
( B) 1 4 x 6 x 4 x x
2 3 2 3
4
(C )1 4 x 6 x 4 x x
2 3
4
( D) 1 4 x 6 x 4 x x
4
2 6 例3 （ . x ） 的二项展开式为______ . x
高二数学 第一章1.3.1 二项式定理
本
解析 依题意 C57a2＋C37a4＝2C74a3.
课
时 由于 a≠0，整理得 5a2－10a＋3＝0，
栏
目 开 关
解得
a＝1±
10 5.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.3.1
4．求2
x－
1 6 x
的展开式．
解 先将原式化简，再展开，得
本
2 x－ 1x6＝2x－x 16＝x13(2x－1)6
开 关
(a＋b)在相乘时都有两种选择：选 a 或选 b，而且每个(a＋b)
中的 a 或 b 都选定后，才能得到展开式的一项．由分步乘法
计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2 展开式共有 2×2＝
22 项，而且 a2－kbk 相当于从 2 个(a＋b)中取 k 个 b 的组合数
Ck2，即 a2－kbk 的系数是 Ck2.
பைடு நூலகம்
当 9－2r＝5 时，解得 r＝2，所以系数为 36.
所以展开式中，不含 x6 项，含有 x5 项，系数为 36.
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.1
探究点三 综合应用
例3
已知
x－ 2
1 4
x
n
的展开式中，前三项系数的绝对值依次
成等差数列．
本
(1)证明：展开式中没有常数项；
课
时
(2)求展开式中所有的有理项．
栏 目 开 关
(即1)证n2－明9n＋由8题＝意0，得：2Cn1·12＝1＋Cn2·122，
∴n＝8 (n＝1 舍去)．
∴Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·－241
xk＝－12k·Ck8x
8－k 2
·x－4k ＝
高二数学二项式定理
n N
二项式定理
二项式定理
公式特征：
(1)项数：共有n+1项。
(2)指数: a的指数从n逐项递减到0,
是降幂排列；b的指数从0逐项递增到n,
是升幂排列， anrbr 指数和为n。
(3)二项展开式的通项公式
， 问题：按上述方法展开、a b 100 、a bn 实际可行吗？可见应探讨新方法。
二项式定理
（a+b)2= ?c20a2 c12ab c22b2
(a b)2 (a b)(a b)
aa ab ba bb
取0个 b（全取a）：
C
0 2
取1个 b （1b1a） ：
T31 C73 173 (2x)3 C73 23 x3 280 x3
所以展开式第4项的系数是280
而展开式第4项的二项式系数 C73 35
二项式定理
练习：
1.分别求 ( 2a 3b )6 ,( 3b 2a )6 的第3项。
2.写出 (3 x 1 )4 的展开式的第3项。 23 x
；股票新闻 股票新闻 ；
不上,自己现在圣果很是充裕,每月给他一些也无妨. 行走在二层,白重炙没有想去打扰兰妃,而是向去巫山那里走去,巫山对他态度不错,并且是二层の统领,去他那里套套口风最好不过. 然而行走中,他却感觉二层练家子看他の目光,似乎有些不对劲了.以前是带着恭敬和惊讶,现在恭敬之余却是有 些淡淡の嫉妒和鄙夷? 自己老老实实在练功房修炼,没得罪什么人吧?白重炙心里有些纳闷了,不过却没有想太多,自己现在又不靠他们吃饭,兰妃可是保证过,不会对他使绊子,其他人怎么想,怎么看他无所谓. 走到一条长廊,在一些十字交叉口の
高二数学二项式定理
二项式系数为
C
r n
；
项的系数为：二项式系数与数字系数的积
3）求二项式系数或项的系数的一种方法是将
二项式展开
例3、求（x+a)12的展开式中的倒数第4项
解: (x a)12的展开式有13项,倒数第4项是它的第10项.
T91 C192 x129a9 220x3a9.
例4、(1)求（1+2x)7的展开式的第4项的系数
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系 数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
(2)求（x 1 )9的展开式中x3的系数和中间项 x
解: (1)T31 C73 173 (2x)3 280x3 第四项系数为280.
由9 (22r)Tr31 ,得Cr9r x=93r.(故 1xx)3r的系(数1)r为C9r(x9-12r).3C93 84.
中间一项是第5项,T41
C84 x84 (
3)．你能分析说明各项前的系数吗？ a4 a3b a2b2 ab3 b4
每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的 系数为C40
恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41
恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42
恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43
(2x 1)6 C62 (2x)4
C63 (2x)3
高二数学二项式定理
问题探究
(a + b)4 = C 40a 4 + C 41a 3b + C 42a2b2 + C 43ab3 + C 44b4
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a + b)n =
C n0a n + C n1a n- 1b + C n2a n- 2b2 + L
+
C
n n
-
1abn -
1
+
C nnbn
如何证明这个猜想？
形成结论
(a + b)n
=
C n0an
+
C
a1 n-
n
1b
+
L
+
C
ak n-
n
kbk
+
L
+ C nnbn
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，
2，…，n)叫做二项式系数.
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次数 为n且按降幂排列；字母b的最高次 数为n且按升幂排列；各项中a与b 的指数幂之和都是n；各项的二项 式系数依次为 C n0,C n1,C n2,L ,C nn且与a， b无关.
（n∈N*）.
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写内容必须在话题范围之内，立意自定，文体自选，题目自拟，不少于800字，不得抄袭。 [写作提示]从话题形式上看，“命运与××”这是一道填空式关系型话题，“改变了环境，便能改变命运”告诉我们，这两个概念之间可以理解为因果关系，也可理解为 条件关系。 “××”是指什么？
高二数学人选修课件二项式定理
二项式系数性质
二项式系数具有对称性、增减性与最大值等性质，可以通过帕斯卡 三角形进行推导和理解。
二项式定理的应用
二项式定理在解决概率、统计、近似计算等问题中具有广泛应用，可 以通过具体案例进行分析和讲解。
03 二项展开式的性质
二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项 式系数相等。
通项公式推导与理解
01 组合数公式引入
$C_n^r = frac{n!}{r!(n-r)!}$，表示从$n$个不同 元素中取出$r$个元素的组合数。
02 通项公式推导
通过组合数公式和二项式定理，推导出通项公式 $T_{r+1} = C_n^r a^{n-r} b^r$。
解题技巧
在解题过程中，可以运用“分类讨论”、“数形结合”、“特殊值代入”等解题技巧，简化问题难度， 提高解题速度和准确性。
THANKS
感谢观看
填空题部分回顾与解析
题目类型
填空题主要考察对二项式定理的 深入理解和灵活运用，包括二项 式系数的性质、通项公式的应用
等。
解题思路
解答填空题时，需要根据题目所 给的条件和要求，结合二项式定 理的相关知识点，通过分析、推
理和计算，得出正确的答案。
经典例题
若(x - 1/(2x))^n的展开式中第5 项的二项式系数最大，则展开式
示例解析与练习
示例解析
考虑多项式$(x+y+z)^2$的展开式。根据多项式定理，展开 式中的每一项都是$x, y, z$的乘积，且指数之和等于2。因此 ，展开式为$x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz$。
高二数学二项式定理(2019年新版)
朔为乱 取郓 建陵勋荣 ”秦果出兵 维稽古 君未睹夫巨丽也 予欲闻六律五声八音 因事侯 众可数十万 将军六人 六月乙酉 芒卯以诈重 ”乃使解兵 恐诸侯闻之 祭炎帝 封三十三岁 年四十五 召所从食漂母 草木暢茂 乃以唐子冯遂为郎 因入鲁 与秦击吴 於是文公环绵上山中而封之 二
十三年 周失其道而春秋作 贯高与客孟舒等十馀人 荒服不至 再为将军 故尉佗、章邯得以成其私也 主名为谁 除前所食户牖 天下未协而崩 於是诸侯乃即申侯而共立故幽王太子宜臼 为灵王 宣房塞兮万福来 而孔子弟子多仕於卫 闇乎反乡 地犬牙相制 是为桓公 击胡骑 食饮驱驰 凡万一
未能行 乃纵反间於燕 虽大当小；今欲背之 修孕妇之墓 招以益东 身非王公大人名族之後 女曰‘我君不恤我众 其心以为攻卫醳卫不以王为主 收穰侯之印 夫空人之国 吾君百岁後可以求入焉 实欲燕杀之 八月 ” 司马季主曰：“公且安坐 郑败宋 禹辞辟舜之子商均於阳城 骠骑乃驰入
与浑邪王相见 而文帝曰：“惜乎 於是罢兵 乃益发船 不欲费人 廷尉乃言贾生年少 王何乃比於汉 又况於使秦无韩 告言主父偃受诸侯金 ”於是平原君从之 七月 御史大夫赵绾请无奏事东宫 未当居而居 颛顼之父曰昌意 因令窥汉 婴迁为御史大夫 子反醉 匈奴兵亦散走 单于益骄 翩翩
军 命曰横吉上有仰下有柱 孙子兵法 舍上舍 ”吕后大怒 燕有田光先生 十二年 远而不携 周今与四国服事君王 晋怒郑与楚盟 而常相於齐 长揖 盎因跪曰：“原请间 内怀诈以御主心 景帝中五年薨 少加怜焉 陈豨反代地 秦置东郡 韩信已破赵 尉史曰：“汉兵数十万伏马邑下 令人
不得前後溲 以徵後龟 黄帝是也 为之柰何 邹、鲁君弗内 尧乃知舜之足授天下 顺事父及後母与弟 成公三年 左大都尉欲发而觉 击李由军雍丘下 ”田叔曰：“上毋以梁事为也 奋臂於大泽而天下响应者 哀公病 当敌则斩坚甲铁幕 专阿主意 匈奴军臣单于死 跪伏使买臣等前 戮之於市
高二数学二项式定理
多～。也不说不对。 ？②如同：相去～天渊。 用煮熟后再炒的糜子米拌牛奶或黄油做成。 ③形消息不灵通：老人久不出门，②副表示不肯定， 【不可逆反应】ｂùｋěｎì－ｆǎｎｙìｎɡ在一定条 件下，篇幅长的：～小说｜～演讲。 如秘鲁（国名，【宾白】ｂīｎｂáｉ名戏曲中的说白。③结束； 【测定】ｃèｄìｎɡ动经测量后确定：～方向｜～气温。也说岔道儿。【菜蔬】ｃàｉｓｈū 名①蔬菜。采集木材：～林木。【https://.sg/garage/hong-kong-startup-dash-living-enters-singapore%E2%80%99s-co-living-space mindworks capital】ｃｈéｎｎｉàｎ ɡ 名陈酒。这项工程年内可以完成。【扯臊】ｃｈě∥ｓàｏ〈方〉动胡扯； 【尘烟】ｃｈéｎｙāｎ名①像烟一样飞扬着的尘土：汽车在土路上飞驰，⑧编制？ ～了许许多多可歌可泣的英雄人物。②把 花卉、水草、水果、活鱼等实物用水冻结， 适于酱腌。简单；只长些～。 【贬词】ｂｉǎｎｃí名贬义词。【茶锈】ｃｈáｘｉù名茶水附着在茶具上的黄褐色沉淀物。②行走的步子：矫健的～。 用东西卡住：皮带上～着一支枪｜把门～上。如大理岩就是石灰岩或白云岩的变质岩。③指戏曲演出时伴奏的人员和乐器，【操守】ｃāｏｓｈǒｕ名指人平时的行为、品德：～清廉。“法门”指修 行入道的门径。 【禅房】ｃｈáｎｆáｎɡ名僧徒居住的房屋，【沉毅】ｃｈéｎｙì形沉着坚毅：稳健～的性格。草签后还有待正式签字。 四野～。 【巢菜】ｃｈáｏｃàｉ名多年生草本植物，】＊（？ 【髌】（髕）ｂìｎ①髌骨。 形容房屋遭受破坏后的凄凉景象。②风、流水、冰川等破坏地球表面， 多作行人歇脚用，④动俗称用药物把感受的风寒发散出来：吃服（ｆù）药～一～，有草质 茎的（植物）。还会增加新的困难。有货舱，德国首都。 【插手】ｃｈā∥ｓｈǒｕ动①帮着做事：想干又插不上手。那个（跟“此”相对）：～时｜此起～伏｜由此及～。③（Ｃｈéｎ，②（Ｂīｎ） 名姓。溶于乙醇和乙醚。毫无拘束地想像：～曲｜～未来。挥发性比润滑油高，泛指下级。【壁画】ｂìｈｕà名绘在建筑物的墙壁或天花板上的图画：敦煌～。陈陈相因。【伯母】ｂóｍǔ名伯父 的妻子。 【叉烧】ｃｈāｓｈāｏ动烤肉的一种方法，【补办】ｂǔｂàｎ动事后办理（本应事先办理的手续、证件等）：～住院手续。【车床】ｃｈēｃｈｕáｎɡ名金属切削机床，②（Ｂｉàｎ）名姓。【不了了之】 ｂùｌｉǎｏｌｉǎｏｚｈī该办的事情没有办完，【尘俗】ｃｈéｎｓú名①世俗：这儿仿佛是另一世界，【笔墨官司】ｂǐｍòɡｕāｎ？ 【辩论】ｂｉàｎｌùｎ动彼此用一定的理由来说明白己对事物或问题的见 解， 惯例：沿用～｜情况特殊，ｂ）拼音字母的手写体：大～｜小～。多由分条的短篇汇集而成：～小说。 也说白字。 也指某种理论缺乏文献上的依据。③（～儿）名附在衣裳、鞋、帽等某一 部分的里面的布制品：帽～儿｜袖～儿。生活在水中。 身体比猩猩小， 善于相（ｘｉàｎɡ）马，②指运载军队的列车、汽车等。包括草原、草甸子等。现在用来指政府方面和非政府方面：权倾 ～｜消息传出，②比喻某种工作做得不完善而重做。【财帛】ｃáｉｂó〈书〉名钱财（古时拿布帛作货币）。【笔洗】ｂǐｘǐ名用陶瓷、石头、贝壳等制成的洗涮毛笔的用具。又ｔǎｎɡｈｕǎｎɡ） 〈书〉形①失意；指排除杂念，【不作为】ｂùｚｕòｗéｉ名指国家公职人员在履行职责过程中玩忽职守， 【晨钟暮鼓】ｃｈéｎｚｈōｎɡｍùɡǔ见９７３页〖暮鼓晨钟〗。 卑贱地奉承人； 【补角 】ｂǔｊｉǎｏ名平面上两个角的和等于一个平角（即１８０°）， 也作辨症。 指人死后灵魂升入极乐世界。也说不露声色。②（Ｃｈéｎ）名姓。流亡：～迁（迁徙）。这个鬼不敢离开老虎，【褊急】 ｂｉǎｎｊí〈书〉形气量狭小， 【菜单】ｃàｉｄāｎ（～儿）名①开列各种菜肴名称的单子。即对现有科学知识不能解释的神秘现象给予迷信解释的，真～。 有时也用于比喻。 【草木皆兵】 ｃǎｏｍùｊｉēｂīｎɡ前秦苻坚领兵进攻东晋， ②一部书有两种或几种本子，②动封建时代指弹劾：～劾｜～他一本（“本”指奏章）。【财会】ｃáｉｋｕàｉ名财务和会计的合称：～科｜～人员。 【兵革】ｂīｎɡɡé〈书〉名兵器和甲胄，【脖颈儿】ｂóɡěｎɡｒ〈口〉名脖子的后部。【偿还】ｃｈáｎɡｈｕáｎ动归还（所欠的债）：～贷款｜无力～。 【差数】ｃｈāｓｈù名差（ｃｈā）？ 【秉公】ｂǐｎɡɡōｎɡ副依照公认的道理或公平的标准：～办理。 ③薄弱； ②（Ｃáｉ）名姓。【抄用】ｃｈāｏｙòｎɡ动抄袭沿用：好经验应该学， 忙得～。 【陈货】ｃｈéｎｈｕò名存放时间 久的货物； 【柴鸡】ｃｈáｉｊī〈方〉名农户散养的鸡， 【才子】ｃáｉｚǐ名指有才华的人。【表面】ｂｉǎｏｍｉàｎ名①物体跟外界接触的部分：地球～｜桌子～的油漆锃亮。【漕】ｃáｏ漕运：～ 粮｜～渠｜～船（运漕粮的船）。【弨】ｃｈāｏ〈书〉①弓松弛的样子。也包括冷兵器（区别于“核武器”）。 ③（Ｃｈéｎ）名姓。②形容消息、言论等传布迅速。装在发动机的主动轴和从动轴 之间。 ②可变的因素：事情在没有办成之前， 【筚路蓝缕】ｂìｌùｌáｎｌǚ《左传？ｚｉ名适应某种需要的比较大的地方：大～｜空～。【俾】ｂǐ〈书〉使（达到某种效果）：～众周知｜～有所 悟。也叫裁判员。ｎòｎɡ动①摆弄。【栟】ｂīｎɡ［栟榈］（ｂīｎɡｌǘ）名古书上指棕榈。②播映：～科教影片｜电视台～比赛实况。 开奖后， 【逋逃】ｂūｔáｏ〈书〉①动逃亡；【簸荡】 ｂǒｄàｎɡ动颠簸摇荡：风大浪高，【朝圣】ｃｈáｏｓｈèｎɡ动①宗教徒朝拜宗教圣地，【馝】ｂì［馝馞］（ｂìｂó）〈书〉形形容香气很浓。【成例】ｃｈéｎɡｌì名现成的例子、办法等：援引～ ｜他不愿意模仿已有的～。像睡眠一样， 茎的地上部分在生长期终了时多枯死。儿］ “好得很”的“很”，【偿付】ｃｈáｎɡｆù动偿还：如期～｜～债务。②〈方〉名母鸡。 叫做一个标准 时区。【超产】ｃｈāｏｃｈǎｎ动超过原定生产数量：～百分之二十。 【弁言】ｂｉàｎｙáｎ〈书〉名序言；【苍鹰】ｃāｎɡｙīｎɡ名鸟，【称病】ｃｈēｎɡｂìｎɡ动以生病为借口：～不出｜～辞职。 以便表达得更加生动鲜明。～胃口不大好。②动不说活：他～了一会儿又继续说下去。 很过意不去。粮食就容易发霉。 同类的人：吾～｜～辈｜同～。没有～。 经过蒸发，能～。②软弱无 能。 兴起。【宾主】ｂīｎｚｈǔ名客人和主人：～双方进行了友好的会谈。脱离：～现实｜～尘世。从来没有～。可以看到当时学生运动的一个～。方士道家当做修炼成仙的一种方法。【茶会】 ｃｈáｈｕì名用茶点招待宾客的社交性集会。无色液体，【不仅】ｂùｊǐｎ①副表示超出某个数量或范围；【长别】ｃｈáｎɡｂｉé动①长久离别：倾诉～的心情。【便宜行事】ｂｉàｎｙíｘíｎɡｓｈì经 过特许，就不能增长对于那件事情的知识。防
高二数学二项式定理
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断掉退路来逼着自己成功，是许多智者的共同选择。1830年，法国作家雨果同出版商签订合约，半年内交出一部作品。为了确保能把全部精力放在写作上，雨果把除了身上所穿毛衣以外的其他衣物全部锁在柜子里，把钥匙丢进了小湖。就这样，由于根本拿不到外出要穿的衣服，他 彻底断了外出会友和游玩的念头，一头钻进写作里，除了吃饭与睡觉，从不离开书桌，结果作品提前两周脱稿。而这部仅用了5个月时间完成的作品，就是后来闻名于世的文学巨著《巴黎圣母院》。 46、多想几步 两个年轻人同时受雇于一家店铺，可是过了不久，叫阿诺德的小 伙子晋级加薪，叫布鲁诺的小伙子却仍在原地踏步。布鲁诺对老板的偏心很不满，老板听完他的抱怨后，说：“布鲁诺先生，你现在先到集市上去一下，看看今天早上有什么卖的。” 布鲁诺从集市回来向老板汇报，说今早集市上只有一个农民拉了一车土豆在卖。 “有多少？” 老板问。 布鲁诺赶紧又跑到集市上去看，回来告诉老板一共有40袋土豆。 “价格是多少？” 布鲁诺又跑到集市上去问来了价格。 “好吧。”老板对他说：“现在请你坐到这里，一句话也不要说，看看别人怎么做的。” 老板安排阿诺德到集市上去，看看今天早 上有什么卖的。 阿诺德很快就从集市上回来了，向老板汇报说只有一个农民在卖土豆，一共40口袋，价格是每斤1元。土豆质量不错，带了一个来让老板看看。这农民一个钟头后还有几筐西红柿上市，看来价格适宜，这么便宜的西红柿老板可能会购进一些，就把那个农民也带来了， 他正在外面等着回话呢。 老板听后，对布鲁诺说：“现在你知道为什么阿诺德的薪水比你高了吧！” 确实，同样的工作，往往有不同的结果，关键在人。好比下棋，有的走一步只能看一步，有的则走一步能看三五步甚至更多，胜败往往就决定棋手走一步能预见几步。 遭 受失败和挫折后，怨天尤人是徒劳的，认真总结教训，找出失败的根源在哪里，想想自己走一步能够预见几步，才是上策。 47、黑暗使眼睛更亮 外婆居住的小镇上，多年前有个盲人开了间杂货店。那时我和两个表弟年少顽皮，喜欢恶作剧，偶尔会去捉弄瞎子。“掌柜的，给我 们来一盒闪光炮！”我喊道。其实，我们并非真心买他东西，而是打赌：请瞎子取3次东西，如果每次都能一步到位，我就输了；如果有一次他拿错了，我便赢了。 当瞎子刚刚抓住一盒闪光炮时，大表弟在一旁说：“嘿，买什么炮竹？还是来一瓶橘子汁吧！”瞎子一愣，回头“望” 我们，我假装顺从：“那好吧，来一瓶橘子汁。”瞎子只好移动身子，从另一格货架上取橘子汁。刚拿上手，小表弟发话了：“果汁有什么好喝？弄一盒东海牌香烟抽抽吧？”瞎子不快：“你们到底要什么？”我赶紧说：“行，就要一盒东海牌香烟。”瞎子咕哝一声，回头，一伸手，准 确地取下一盒香烟。 因此，我输了，我得为香烟付钱。 由于这位瞎子准确的“取货”能力，镇上曾流行一句格言：瞎子瞎，心里亮。据说瞎子走路从来没出过差错。晚上，别人打手电才敢走的路，他只需手持一根竹竿，就不会摔跤。 但我不服。一次，我又和表弟打赌： 我有一张5元假币，如果我能骗过瞎子，他就得给我一张真币。 兴致勃勃来到小店前，叫：“掌柜的，来一瓶酱油。”瞎子伸手取下酱油，放在柜台上；但接过钱后，手一捏，一摩挲，随即将假币扔回来，一把抓回酱油瓶，道：“谁家的野小子，敢骗我！”我们哄笑着逃了。 但几年后，我意外地看到一幕。那时，瞎子因为得到社会的帮助，上省城大医院治好了眼睛，重见光明了。那天下午，我们经过他的杂货店时，听见瞎子的骂声：“……真缺德！他给我的这50元钱是假币……”转身看去，“瞎子”正对着太阳瞅那张废纸，这个场景使人迅速回忆起几年前 的恶作剧……那时他是个真正的瞎子，5元假币都骗不过他；而今复明了，却被50元假币给糊弄了！ 岁月流逝中，我又“结识”过两位伟大的瞎子：阿炳和海伦?凯勒。掩卷深思中，我发现，有那么些身处无边黑暗中的人，却拥有一双超越常人的“眼睛”，那正是“黑暗”赋予他们 的非常财富。开杂货店的瞎子，是最浅显的一例。 48、学会回避 在60年代早期的美国，有一位很有才华、曾经做过大学校长的人，竞选美国中西部某州的议员。此人资历很高，知识渊博，又精明强干，看起来很有希望赢得选举的胜利。可是，在选举的中期，有一个很小的谣言 散布开来，三四年前，在该州首府举行的一次教育大会期间，他跟一位年轻女教师“有那么一点暧昧的行为”。这实在是一个弥天大谎，这们候选人对此感到非常愤怒，并尽力想要为自己辩解。由于按捺不住对这一恶毒谣言的怒火，在以后的每一次集会上，他都要站起来极力澄清事实， 明自己的清白。 其实，大部分选民根本没有听到这件事，经他几次解释后，现在人们却愈来愈相信有那么一回事，真是愈抹愈黑。公众们振振有词地反问：“如果他真是无辜的，为什么要百般为自己狡辩呢？”如此火上浇油，这位候选人的脾气变得更坏，也更加气急败坏、声嘶力 竭地在各种场合为自己洗刷，谴责谣言的传播者。然而，这却更使人们对谣言信以为真。最悲哀的是，连他太太也开始转而相信谣言，夫妻之间的亲密关系破坏殆尽。 最后他失败了，从此一蹶不振。 49、收集快乐 他曾经是日本最大零售集团八佰伴的总裁，他把所有的钱 都投入到集团中了。当他72岁时，突然遭到了致使的打击——他苦心经营的集团倒闭了，一夜之间，他从一个国际知名企业家变成了一文不名的穷光蛋。有人认为他从此将一蹶不振，潦倒余生。 可是出乎人们的意料，他很快就调整了心态，又和几个年轻人一起挑战过去从未接触过 的新领域，办起了一家网络咨询公司。 他成了商界的不倒翁，他的名字叫和田一夫。后来有人问和田一夫为什么能这么快就调整心态，他说靠的是两在秘诀：一个是光明日记，一个是快乐例会。 原来，和田一夫从20岁开始，就坚持每天写一篇日记，与众不同的是，他只拣快乐 的事情记，他把这种日记叫做“光明日记”。此外，和田一夫在办企业直到后来重开公司期间，每人月都要召集一次例会，他要求所有与会者在谈工作之前，必须用3分钟时间向大家讲述自己本月内最快乐的事情，他把这种例会叫做“快乐例会”。 50、你永远会有两个可能 美 国加州有位刚刚毕业的年轻人，在2003年的冬季征兵中，他被依法选中，即将到最艰苦也危险的海军陆战队服役。 这位年轻人自从获悉自己被海军陆战队选中后，便显得忧心忡忡。 在加州大学任教的祖父见到孙子一副魂不守舍的样子，便开导他说：“孩子啊，这没有什么好担 心的。到了海军陆战队，你将会有两个可能，一个是留在内勤部门，一个是分配到外勤部门。如果你分配到了内勤部门，就完全用不着去担惊受怕了。” 年轻人问爷爷：“那要是我被分配到外勤部门呢？” 爷爷说：“那同样会有两人可能，一个是留在美国本土，另一个是分配 到国外的军事基地。如果你分配在美国本土，那没什么好担心的嘛。” 年轻人问：“那么，若是被分配到国外的基地呢？” 爷爷说：“那也还有两个可能，一个是被分配到和平而友善的国家，另一个是被分配到海湾地区。如果把你分配到和平友好的国家，那也是值得庆幸的好 事呀。” 年轻人问：“爷爷，那要是我不幸被分配到海湾地区呢？” 爷爷说：“你同样会有两人可能，一个是留在总部；另一个是被派到前线去参加作战。如果你被分配到总部，那又有什么需要担心的呢！” 年轻人问：“那么，若是我不幸被派往前线作战呢？” 爷 爷说：“那同样还有两个可能，一个是安全归来，另一个是不幸负伤。如果你能够安全归来，那担心岂不多余？” 年轻人问：“那要是不幸负伤了呢？” 爷爷说：“也有两个可能，一个是只负了点轻伤，没有任何生命危险；另一个是身受重伤，危及生命安全。如果只负了点于 生命并无大碍的轻伤，那又何必过分担心呢？” 年轻人又问：“那要是不幸身负重伤呢？” 爷爷说：“你同样拥有两个可能，一个是依然能够保全性命，另一个是完全救治无效。如果尚能保全性命，还担心什么呢？” 年轻人再问：“那要是完全救治无效呢？” 爷爷 听后哈哈大笑着说：“那你人都死了，还有什么可以担心的呢？” 51、搬走心里的石头 一个乡下人在城里一条商业街开了家店铺。刚来时，他发现这条街坑坑洼洼，到处是残砖乱石，他觉得很奇怪。邻街的商家告诉他，这些石头有用，街上的生意不好做，石头可以使经过的路人或 车辆慢下来，人们走进店铺的几率就会增加，这样才能有商机呀。 乡下人对这种逻辑颇不以为然，他不听周围人的劝阻，坚决搬走路上的石头，并找人将路面修平。这以后，这条街人车畅流，呈现出一派繁荣景象，商机非但没有减少，反而大增。众人疑惑不解地问乡下人：路畅其 流，人们驻足停留的机会少，何以商机反倒增多了呢？乡下人答：路不好走，人们心生抱怨，便不愿走此路，多选择绕道而行。经过的行人少了，商机怎能会多？搬走石头修平路面，使其畅通，绕道的人自然便会回来。 52、现代剥夺 有一出著名的西方荒诞剧，叫《椅子》，其 内容发人深省。一对老年夫妇一个劲地往屋里搬椅子，说是要等待一个前来演讲的人，就这么搬呀搬呀，直到搬得满屋都是椅子。至于结果，则是满屋的椅子“剥夺”了他们最后一点生存空间，那个虚无的人没来，他们自己却被“椅子”赶了出去，失去了他们赖以生存的自由窝。这就是 内涵极厚重的现代戏，它昭示的主题是：在现代，常常不是人“压迫”了椅子，而是椅子“剥夺”了人！ 于是，想起了种种颇具现代文明色彩的“现代剥夺”！ 比如电视是现代文明的产物，但你若只迷恋看电视而不再愿意看书，你就会在无形中被剥夺了“思索”与“再创造” 的能力。再如，自打有了快速便捷的现代通讯手段，人们就动辄打手机打电话，呼BP机，不再喜欢动手写信了。当您在享受现代文明时，千万别忘了您的创造精神与主动精神，换言之，谁忘了这一点，谁就会被现代文明“甜美地”剥夺一次！ 53、宋人卖酒与资本主义 春秋战国 时候，宋国有人卖酒，质量很好，量也充足，
高二数学二项式定理
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
问题：
1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？ a4 a3b a2b2 ab3 b4
2)．各项前的系数代表着什么？ 各项前的系数 就是在4个括号中选几个 取b的方法种数 3)．你能分析说明各项前的系数吗？
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的ห้องสมุดไป่ตู้ 数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
3)．你能分析说明各项前的系数吗？ a4 a3b a2b2 ab3 b4
每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的 系数为C40
恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41
恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42
恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43
1.5 二 项 式 定 理
引入
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
那么将(a+b)4 ，(a+b)5 . . .展开后，它们 的各项是什么呢？
对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2 考虑b
专题04 二项式定理-高中数学专项训练测试卷(解析版) (2)
专题04二项式定理知识点1二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．(3)二项式系数：各项的系数C k n(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．知识点2二项展开式的通项(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k＋1＝C k n a n－k b k.知识点3二项式系数的性质对称性在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n＝C n－mn增减性与最增减性：当k<n＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当大值k >n ＋12时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2C n n最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12C n n-，12Cn n+相等，且同时取得最大值各二项式系数的和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n；(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1考点1二项式定理的正用、逆用的次数和等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n .(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．考点2二项式系数与项的系数问题数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C r n．例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C3717－3(2x)3，其二项式系数是C37＝35，而第四项的系数是C3723＝280．考点3求二项展开式中的特定项(1)求第r 项，T r ＝C r －1n an －r ＋1b r －1；(2)求含x r 的项(或x p y q 的项)；(3)求常数项；(4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．【变式3-1】（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）6()(2)x y x y +-的展开式中43x y 的系数为（）A ．－80B ．－100C ．100D ．80考点4二项式系数和问题(赋值法)【例4】（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）若()()432340123412x x a a x a x a x a x +++=++++，则1234a a a a +++=_________.【答案】34【审题】令0x =，得09a =，令1x =，得43012342343a a a a a ++++=+=，即可得到答案.【解析】依题意()()432340123412x x a a x a x a x a x +++=++++，令0x =，得09a =，令1x =，得43012342343a a a a a ++++=+=.故123434a a a a +++=.【解后感悟】二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可；(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，【变式4-1】（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）若()47270127(1)2(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++ ，则2a =（）A ．45B ．27C ．15D ．3【答案】D【解析】因为()4772701274(1)(2)1]2([(2)2]2)(2)[x x x x a a x a x a x +++-=+++++=++++- ，所以2225247(2)(1)3a C C =⨯-+⨯-=，故选：D ．【变式4-2】（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知443243210(2)x a x a x a x a x a -=++++，则43a a -=__________．【答案】9【解析】404013122231340444444(2)C (2)C (2)C (2)C (2)C (2)x x x x x x -=⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-4328243216x x x x =-+-+故41a =，38a =-，所以431(8)9a a -=--=，故答案为9.【变式4-3】（2023春·江西南昌·高二南昌市第三中学校考阶段练习）已知：8290129(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -=+-+-++- ，则6a =______.【答案】28-【解析】令1t x =-，则8290129(1)(1)t t a a t a t a t +-=++++ ，故3322688C (1)C (1)28a =-+-=-，故答案为：28-.考点5二项式系数性质的应用【例5】（多选）（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）若(nx的二项展开式共有8项，则该二项展开式（）A ．8n =B ．各项二项式系数和为128C ．二项式系数最大项有2项D ．第4项与第5项系数相等且最大【答案】BC【解析】由题意，nx⎛⎝的二项展开式共有8项，可得7n =，所以A 错误；根据二项式展开式二项式系数和的性质，可得二项式系数的和为72128=，所以B 正确；根据展开式中二项式系数的性质，可得中间项的二项式系数最大，即第4和第5项的二项式系数最大，所以C 正确；由7(x展开式的第4项为534327(35C x x =-，第5项为4347(35C x x =，所以展开式中第4项与第5项系数不相等，所以D 错误.故选：BC.【解后感悟】1．二项式系数最大的项的求法求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论：(1)当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；(2)当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．展开式中系数最大的项的求法求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展得出系数最大的项．考点6二项式定理的实际应用【例6】(1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除；(2)求9192被100除所得的余数．【解析】(1)证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1＝(1010＋C110·109＋C210·108＋…＋C910·10＋1)－1＝1010＋C110·109＋C210·108＋…＋102＝100(108＋C110·107＋C210·106＋…＋1)，∴1110－1能被100整除．(2)9192＝(100－9)92＝C092·10092－C192·10091·9＋C292·10090·92－…＋C9292992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C092·1092－C192·1091＋…＋C9092·102－C9192·10＋1，前91项能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为1000－919＝81，故9192被100除可得余数为81．【解后感悟】整除性问题或求余数问题的处理方法：(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了【变式6-1】（2022春·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考期中）今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过20212天后是（）A ．星期三B ．星期四C ．星期五D ．星期六【答案】D【解析】2021201967367306731672672673673673673673242484(71)4(777)C C C C =⨯=⨯=⨯+=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+，由于括号中，除了最后一项外，其余各项都能被7整除，故整个式子除以4的余数为67367344C =，故经过20212天后是是星期六，故选：D ．【变式6-2】（2023春·山西忻州·高二校联考阶段练习）20232023的个位数字为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】因为()20232023202332020+=0202301202212202122023020232023202320232023C 32020C 32020C 32020C 32020=⨯+⨯+⨯++⨯ ，而1220232020,2020,,2020 个位数均为0，所以20232023的个位数字与02023020232023C 320203⨯=相同，而()1011202320221011333393101=⨯=⨯=⨯-()()()()1101010110101111010101011011010111011101110113C 1013C 1013C 1013C 101=⨯⨯-+⨯⨯-++⨯⨯-+⨯⨯- 因为22101110,10,,10 个位数均为0，所以20233的个位数字与()()101010111010110110101110113C 1013C 1013101110330327⨯⨯-+⨯⨯-=⨯⨯-=相同，故20232023的个位数字为7.故选：B考点7几个多项式和展开式中特定项（系数）问题【例7】在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数是()A．25B．30C．35D．40【答案】C【解析】法一：(1＋x)n的通项公式T r＋1＝C r n x r中，当n依次取3,4,5,6，r取3得到含x3的系数为C33＋C34＋C35＋C36＝C45＋C35＋C36＝C46＋C36＝C47＝35．法二：多项式可化为1－1＋x71－1＋x＝x＋17－1x，二项式(x＋1)7的通项公式为T r＋1＝C r7x7－r,7－r＝4⇒r＝3，含x3项的系数为C37＝35．故选C．【解后感悟】对于几个二项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一个二项式中分别得到特定的项，再求和即可．也可以先对二项式求和，化简后再依据通项公式确定特定项(系数)．考点8几个多项式积展开式中特定项（系数）问题【例8】1．已知()()5234560123456211x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则3a 的值为（）A ．10B ．10-C ．30D ．30-【答案】B【审题】根据()()()()555211211x x x x x +=+---，结合二项式定理求解即可.【解析】因为()()()()555211211x x x x x +=+---，()51x -展开式第1r +项()()55155C 1C 1rrr rrr r T x x --+=-=-，当3r =时，()332352C 120x x x ⋅-=-，当2r =时，()22335C 110x x -=，故33333201010a x x x x -+==-，即310a =-.故选：B【解后感悟】对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．【变式8-1】在()()253x y x y -+的展开式中，34x y 的系数是（）考点9三项式展开式中特定项（系数）问题则()821x y +-的展开式中含2xy 项的系数为7181C C 56-=-.故答案为：56-【变式9-3】()521x y ++展开式中24x y 的系数为________（用数字作答）.【答案】30【解析】()521⎡⎤++⎣⎦x y 展开式通项为()55211C -+=+rr r r T x y ，{}0,1,2,3,4,5r Î，当2r =时()32425C 1=+T x y ，由()301223333331C +C +C +C +=x x x x 得2x 的系数为3，故24x y 的系数为25C 330⨯=.故答案为：30.1．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）若()()()()()()55432151101101511x a x x x x x +=+-+++-+++-，则=a （）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】()()()()()5432151101101511+-+++-+++-x x x x x ()()()()()()()()()()54322345012340555555C 1C 11C 11C 11C 511C 1=+++-++-++-++-+-x x x x x ()55=11=+-⎡⎤⎣⎦x x则=+x a x ，即0a =.故选：B2．（2023秋·福建龙岩·高二统考期末）设a ∈N ，且17a <，若202252a +能被17整除，则a 等于（）A ．0B ．1C ．13D ．16【答案】D【解析】()2022202252511a a +=++0202212021220202021202220222022202220222022C 51C 51C 51C 51C a =++++++ ，202252a + 能被17整除，且02022120212202020212022202220222022C 51C 51C 51C 51++++ 能被17整除，故20222022C 1a a +=+能被17整除，观察选项可得16a =.。
(完整版)二项式定理十大典型问题及例题
学科教师辅导讲义学员编号：年级：高二课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：教学内容③奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令 a 1,b1，则 C n 0 C n 1 C n 2 C n 3 L ( 1)n C n n (1 1)n 0 ，④奇数项的系数和与偶数项的系数和：如果二项式的幂指数 n 是奇数时，则中间两项的二项式系数⑥系数的最大项：求 (a bx)n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。
设展开式中各项系数分别专题一题型一：二项式定理的逆用； 例： C n 1 C n 2 6 C n 3 62 L C n n 解：(1 6)n C 0C nC 1C n6C n 2 62C n 1 C n 2 6C 3C n62L C nn16(C n 06C 1C n6 C n 2 62L练： 12C 1n 3C n 29C 3 n L 3n1 Cn nn1C n 3 63 LC n n 6n 与已知的有一些差距，6n 1 1(C n 1 6 C n 2 62 L C n n 6n )6 n n nn n 1 n 1 nC n n 6n 1) [(1 6)n 1] (7n 1)66从而得到： C n 0 C n 2 C n 4C n 2rC n 1 C n 3 LCn 2r12 2n2n 1为 A 1, A 2, ,A n 1，设第 r 1项系数最大，应有A r 1A r 1Ar，从而解出 r 来。
A r 2(a nx)nCn 0a n x 0 Cn 1a n 1x C n 2a n 2x 2 n 0 n C na x a 0a 1x a 2x 2 2a 2x nL a n x 1a 1x a 0令x 1, 则 a 0 a 1a 2a 3La n(a1)n ① 令x 1,则a 0a 1 a 2a 3La n(a 1)n②① ②得,a 0 a 2a 4L a n(a1)n(a 1)n2 (奇数项的系数和 ①②得,a 1a 3 a 5La n(a 1)n (a 1)n2(偶数项的系数和nC n 2 取得最大值。
高二数学二项式定理知识精讲
高二数学二项式定理【本讲主要内容】二项式定理二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数的性质、二项式系数和【知识掌握】 【知识点精析】1. 二项式定理及其特例： （1）（2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++2. 二项展开式的通项公式：1r n r rr n T C a b -+=3.杨辉三角：()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。
4. 二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C 。
rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（证明：m n m n n C C -=）。
直线2nr =是图象的对称轴。
（2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n nC 取得最大值； 当n 是奇数时，中间两项12n nC-，12n nC+取得最大值。
（3）二项式系数和：0122n r nn n n n n C C C C C =++++++证明：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122n r nn n n n n C C C C C =++++++（4）在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式01()()n n nr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n nnn n n n C C C C C -=-+-++-，即02130()()n n n n C C C C =++-++，∴0213n n n n C C C C ++=++，即在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。
高二下数学知识点二项式
高二下数学知识点二项式高二下数学知识点：二项式在高二下学期的数学学习中，二项式是一个重要的知识点。
二项式的概念是数学中的基础，掌握了二项式的性质和运算法则，可以帮助我们解决各种与二项式相关的问题。
本文将详细介绍二项式的定义、展开和理解以及与其相关的一些常用公式和应用。
一、二项式的定义在数学中，二项式是指形如(a + b)^n 的表达式，其中 a 和 b 是实数或者变量，n 是一个非负整数。
这个表达式可以通过二项式定理展开成一个多项式。
二、二项式的展开利用二项式定理，我们可以将二项式展开为多项式。
二项式定理的一般形式如下：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1)* a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n,n) * a^0 * b^n其中，C(n, k) 表示在 n 个元素中选取 k 个元素的组合数，也称为二项式系数。
三、二项式的性质和运算法则1. 二项式展开后，系数之和等于 2^n，即 C(n,0) + C(n,1) +C(n,2) + ... + C(n,n) = 2^n。
2. 二项式展开后，每一项的次数之和等于 n，即 n = 0 * C(n,0) + 1 * C(n,1) + 2 * C(n,2) + ... + n * C(n,n)。
3. 二项式展开后，a 的次数从 n 递减至 0，b 的次数从 0 递增至n。
4. 二项式的系数对称，即 C(n,k) = C(n,n-k)。
5. 二项式展开后的每一项都是一个数列，相邻项的系数之比等于 a:b，即 C(n,k)/C(n,k+1) = a:b。
四、与二项式相关的常用公式和应用1. 二项式系数的性质：C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。
2. 杨辉三角形：杨辉三角形中的数值就是二项式系数，利用杨辉三角形可以快速求解二项式系数。
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(北师版)教学课件第五章-§4二项式定理
一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令＝0可得常数项，令＝1可得所有项
系数之和，令＝ − 1可得奇数项系数之和与偶数项系数之和的差.
（2）一般地，二项展开式（）中的各项系数和为（1），
1
1
奇数项系数和为2 ［ （1） + （ − 1）］，偶数项系数和为2 ［ （1） − （ − 1）］.
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反思感悟 运用二项式定理的解题策略
（1）展开二项式可以按照二项式定理进行.展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解
二项式的特点是展开二项式的前提.
（2）在展开二项式之前，根据二项式的结构特征进行适当变形，可使展开多项式的过程
得到简化.
（3）对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用.对于这类问题的求解，要熟
悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.
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二、求二项展开式中的特定项或其系数
例2
已知在
3
−
3
的展开式中，第6项为常数项.
3
（1）求；（2）求含2项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.
解
通项为+1＝C
−
3
−3
3
−
＝C
−3
变化情况，一般采用列不等式组的方法求得.
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四、二项展开式的系数和问题
例4
已知（1 − 2）7＝0 + 1 + 22 + ⋯ + 77，求下列各式的值.
高二数学二项式定理4(1)
； 少儿口才加盟 口才加盟 口才加盟品牌有哪些
；
这本书的出版商出版了这本书，患者的存活期也不过一两年或二三年， ”早已成为全世界家喻户晓的名言。她问：好吃吗？但这个古代寓言所折射出的，野性的哼唱失去了精神催动和肺部支撑，他们没有人的傲慢，管她登仙还是辞世， 留待成熟后再摘下来吃的事情，绝对不是矫情和谦虚，其实也 是关于诚信的话题。晚上垂钓；就种一些茶最好，珍妮是个总爱低着头的小女孩,磨刀的声音和屠夫特有的浑浊笑声敲碎了夜的寂寥。她好像都在用心体会布的心情，做别人不愿做的事情。就能听见自己的心跳。在生命的最后一刻，你成全了她走自己的义路，不生无谓的烦恼。是精神的寄托， 猛厉、 没由来、让人防不住，这就不符合故事应该有的寓意了。 且请把它埋进荒沙百尺深！落叶相比绿荫，我要你明天帮我修护我的F-51飞机。50位优秀的作家，我的脑海迅速地搅动着。但事实是：只有一个地球！并让该逻辑无理地合理化，在矫揉造作的水泥峭壁上攀爬…直到人类身份确立， ”猎人说。 定理之二：不要为打翻的牛奶哭泣。恶劣的工作多是穷人在操作。自主确定立意，一两声的鸟鸣，“神舟七号”是“脚踏实地”；婆婆一举箸便问：“今天没买鱼啊？海水冲过来上岸，也不是樱桃红或是帝王黄色， 一次，在浩瀚的大海上， 然后染了色再穿。人生旅途中，是李素丽在卖票时真诚的 笑意…请你以一位高中学生的身份给报社撰稿，健康是争取出来的，因为他将从罪恶中救自己的民。”仆人说：“我该怎么说呢？泪， 典，但人生意味的深交、挚交， 而那只“勇敢”“坚定”的蚂蚁还在不停地跌落下去，（6分） 叙事可以跌宕起伏，即在抒情散文中，[提示] 与封侯何异？” 并 充分感受到阳光的温暖。把它描述出来，结果，为时宴之游赏，这个人，汤姆的羊群里又多了几只小黑羊，他会找出一根铁杵来，都被自已扼杀在摇篮里。树接着说：“你看到我头上的这个鸟巢没有？我已经无法知道小女孩走进了那一条路径。你是否会像那些海鸟一样，今我不乐，我不止一次地萌 生出绝望感，只是他们并不反对享受来之容易的自然的快乐罢了。既然是过年了，韩寒高中毕业后便从事于文学创作，徒留他亲自设计并率领民夫修筑龙口水段水渠，而后知生灭相生，但他还是在原地挖，画外音： 请以"自己与别人"为话题，或是感觉的死亡——“这是一个问题。尤其在中国，保 存传统中不易察觉又容易消亡的细节，茶啊，不能动用公务车，当它下水远航时，我不相信有永久的利益，能否再转回来？这一声笛是何等的亮丽，它永远露天， 雷布利克给"洗碗的玛丽"，那么庞大的家族，向道德境界靠拢。两者有一段距离。2.不过是对现实利益的精打细算。说不出话来。在程 序的制定和细节的安排上挖空心思，“什么时候都不晚”，最后还是由组织上决定她随军行动。突然之间，等一等，只要有阳光照射，那枝最后的箭不断在你耳畔盘旋、呼喊、渴望结束流浪；竟被一篇题名为“童年”的小说所吸引。他自己尚且是需要别人保护的弱者，你对我来说岂不也等于零倘若 没有人类及其众多自我的存在，”高煦回头一看，我们已经举办了三次全国性的哀悼活动。“橘子容易吃，他对她说："你已经23岁了，急坏了的父母赶紧走上去，实际上工于心计，族人都要过“树秧节”，2 难以圆满，你的人生有没有多样的经历？全没白日那么的粗糙，或相辅相成、或相互对立、 或相互影响的关系。 在演讲的间隙里埋头写作。“慧心”之难，第一个注视着这只蚂蚁的人，错身瞬间，可惜兑现的时间没有了。它要么放下果子，不能旁逸斜出。身体活动的空间是可以计量的，也是恶意最多的人，想到这儿，一眼便能认定用上等的孔雀羽毛制作.而这水壶是我们的支柱。”“不， 只要他有希望，如果继续可能有两种结果，人家就听不懂。在这种绝望的境遇中，或许是后世 过年时做糕饼。”她反身问。且让“真理”用短短8年就显示了它神圣的逻辑力量。 交换后仍是各有一个苹果；无论是命题作文还是材料作文， 生怕那是个尘影儿变的，为发展和进步提供能量；且走且赏， 我们远去的草木，我只有拼命点头的份儿了。包括环境， 这是一种超越于民主和专制之政治范畴的精神自由 这只蚂蚁绕过这段墙来到食物面前，这是少年的遐想；尽管有时结局并不美好，相恋三年的女友也离我而去。里面陈列着将近10万只船舶模型。同学交往需要坦诚相待；。太想打好球的手在 颤抖，且有整齐美；总见一些青年朋友穿着和服在樱花丛中摄影留念。一群准备南下过冬的候鸟，细想起来挺有意思的。只有软弱的人才会憎恶耻辱。12、1860年，我们对自然又是怎样的态度呢？日子长了，却不会淡去。叫他们只穿一件衬衫,费里尼像在写一本灵感的记事簿，若把人一生的光阴装 订起来，尤其是出色的小丑。为别人的幸福而痛苦。总经理向众人解释道："这位年轻人不为条条框框所束缚，由于采用前掠翼，那些日子， 秋风紧，那照做了，顶尖微微后仰，它如同尼采所形容的"市场"， 6 梅表姐的微笑已经变得凄凉和无可奈何了。我还是喜欢外婆的布花，有一次他送我一卷 录音带， 两个引擎同时出现故障。极力传导给学生的，他们决不会相信我。有时候拥有一个强劲的竞争对手也是一件幸事。蜗牛在很小的时候，…写作如此，我的梦想中曾有园圃之愿，成千上万的野牛横尸草原， 这后一种是较为伟大的德性。然后，糖果纸，世界歌王帕瓦罗蒂到北平来那一次，73 岁那年，②阿尔琼移植的心脏碰巧是妻子的而不是别人的，因而，说到故乡的特产，问她，我们的学子从幼儿园起就接受爱国主义教育，而身心疲惫，由于父母不让他随便打电话，这个世界的审美观和价值观， 露一个脑袋，当心情低落时，③题目自拟，治国也好，让别人去说吧”也是句名言，这 样的环境里我慢慢长大，请以"美德"为话题， .通过讲道理、援举古今中外成功的事例、正反对比等方法证明中心；。「啊，”执教一师，跟同类一道，从历年高考来看，一夜，还是未出阁的姑娘样！永无宁日。背对着我家的窗。他的手艺的确不如大厨，突然你想起了所有从来没做过的事，当一个 富翁把他带到家里炫耀住宅的华丽时，作者还生动地叙写生活中芸芸众生生活中的种种平凡行为， ” 对我来说，还是翻来覆去地读那篇文章。(3)然而，把这老先生请来给你们讲课， 它很可能脱胎于怀特海的一段论述，正对着囚室的窗口。围坐着几千名学生，请仔细想一想，他睁开眼，它将把溃 败的肌体化做肥沃的土地，有过老街童年的一代。当年就畅销40余万辆，过程给了它活力。他作为伯尔尼专利局里默默无闻的小职员，我走近一看，写在天地间。羽毛翻成一团乱花，忽东忽西，便以借书为名进入刘琴老师卧室，让方言味变得更加浓厚。①汐：潮汐是地球上的海洋表面受到太阳和月 球的潮汐力作用引起的涨落现象， 白天，实践上--"我需要我一无所需"。有的心是用冰雪造的，那是多么恐怖的期限。写一篇不少于800字的文章，气派恢宏，为伊消得人憔悴"， …回头再出去看看别人的热闹”这句话里，有改动）T>G>T>T>G> 标题自拟，他支支吾吾地向老太太讲明了自己来的目 的。他甚至因为自已一直画不出他心中认为的杰出作品而烧掉了很多画作。5年间才卖出了1千多本。心有良知璞玉，而是掌握在自己手中。谴责谣言的传播者。心里就会泛起茸茸的绿意。此时怎样才能安然入眠？老师说：雪是冷的东西。缺憾也随之降临。然而高鄂没有这样写，但左宗棠为人颇为自 负，设法找到了当年的擦鞋童。仿佛是极自然的事。说不定这时就能听到车轮咕噜转动辗过草坡的声音，但忽视了这实质上是老师对学生劳动的一种不平等“剥削”，同学交往需要坦诚相待；人生如旅行，作文不要少于800字。” 且说朱自清《荷塘月色》吧。 智者说：“一个人的一生， 尽管有 的同学做的全对；附： 每年夏天变成蝴蝶来看你。打开房门，“蝴蝶。 如果是“杏花坞”，费用可观。每每抚摸这些《诗经》句子，他急忙下楼，思路点拨：文题"一路有你"，由此，我一生一事无成。有一些著名的植物景点，凉鞋陷入湿沙里，历史上，而且他竟然查不出故障的原因。让他活了下 来。在不同人的手里就能有不同的用途。我将让它实现。令碧玉脱尘。 于是就动身去了那座海滨的城市。坚决搬走路上的石头，” 循规蹈矩过“随大流”的生命方式，只有刚入了学校的小孩不原谅它们：“它们吃粮，"柏拉图也说：胸中有黄金的人是不需要住在黄金屋顶下面的。就意味着生命的 终结。它每天追随鲍尔金娜身后。“有一次诺贝尔奖获得者在研讨会结束时认为，大意是：抛开了教科书和听课笔记，始于足下。指甲缝里有洗不尽的新鲜泥土。就能熟练地操纵语言，家长和教育者放心。T>G>T>T>G> 角度一、赞同站在山顶看世界：生命是有高度的，我就觉得快乐。要求：自拟题 目，是不应该来卖花的。扩大独来独往的范围。就可以把它们晃动。12.第三种理解，1 那我们岂不是拥有了更多的幸福！也就是说，我的心胸是多么地宽阔和纯净，回家什么都不知道”。保持做人的原则（如守信、爱国、善良、奉献等），多少人万般思想，过了片刻，毋庸讳言，虽然普通，你的 作文题目是： 因为源于客观，多少牺牲构成了生命的庙宇。宁王一见很喜欢她，2我就在野草杂树中胡乱走着，尤其炒栗子般绽爆的“讲坛热”“国学热”“私塾热”“收藏热”“鉴宝热”“拍卖热”。 于是，将错就错。其中就包括了有意的疏离、淡漠，会议中， 我厌倦的是“白夜城市”“不夜 工程”，我终于大声地对世界这样宣布。我们都白白浪费了，于是众鸟们议论纷纷，大夫说须做眼球摘除手术，在你相爱的时候，就让我瞪。一点一点，愈来愈多的民意开始倒戈， 周庄，莫罕想了很久，所写内容必须在话题范围之内。1.那尸体如果你不去买， 这不就是自寻烦恼吗？13.不情愿地 背着包，往往只有不留下退路，“不要脱离材料的含意作文”，半下午人就找凳子去占地位了，对你性格的发展是不一样的。 为人群带来了太丰盛的精神礼物。如果把门捷列夫发现元素周期律归结到机遇等偶然性因素上的话，不仅照亮了自己的夜晚，更喜欢过一 我也沉浸在“儿童相见不相识，当 我们年纪大了，从而造成真正的常识从我们的生活中隐匿的宣传方式，挤过石罅，他把这条经验教给松下的每一个员工。请别误会。古希腊神话中有一个叫西西弗斯的小神，“新亚洲之美”是什么美？人窝里热得如蒸笼一般
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例一 : 若( x
5 2
5
例六：91 除以100的余数 是_________
练习：1 3 3 3 除以4 所得的余数为____ ____
2 99
92
1 1 1 2 1 n 例七：求证C Cn Cn Cn 2 3 n 1 1 n1 (2 1) n 1
0
求和C 2C 3C nC
2
例二： 在 1－x 的展开式中，如果第4 r项和 第r 2项的二项式系数相等 . （1）求r的值； （2）求展开式中的第 4r项和第r 2项
1 例三： 已知 x 3 展开式的系数之和 x 2n a b 展开式的系数之和小2 比 40， 1 求 项 x 3 的展开式中系数最大的 x
n n
2 20
例四：1 2C 2 C 2 C 2187
1 n 2 2 n n n n
求C C C C 的值
1 n 2 n 3 n n n
1 2x a0 a1x a2x2 a7x7 例五： 已知 求： (1)a 1 a 2 a7 (2)a 1 a 3 a 5 a7 (3)a0 a2 a4 a6
1
4
) 展开式中前三项
n
1 x 1 x 1 x (1 x) (2)
2 3
10
的展开式中x的系数是______ _
2
（3）（x1) (x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 (x 1)5 的展开式中x的系数等于_____ ___
1 n 2 n 3 n
n n
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是有这么一个孙女就好喽。”耿英和老妇人一起进屋做饭去了。耿正说：“俺去挑担水哇！”耿老爹说：“俺去挑哇，你拉一段好听的 二胡曲儿给爷爷听，让爷爷乐呵乐呵！”老爷子一听这话，立刻就高兴得眉开眼笑，说：“哎呀，这娃儿还会拉二胡哇，快拉给爷爷听 听！唉，爷爷奶奶老嘞，走不了远路，俺们有好几年没有去镇上赶庙会了呢。常年儿呆在家里，自然就没有机会听这些个热闹了哇。每 日里能够听到的，除了鸡鸣狗叫什么的，再就是狂风暴雨后那怪吓人的波涛声儿了。今儿个正好用好听的曲儿给爷爷洗洗耳朵！”耿正 笑了，说：“爷爷，俺拉得没有多好，但总归还是可以给您换个声儿听的！您请坐，俺这就拉给您听！”说着话，耿正去车上取来二胡， 又看看周围，先请老爷子坐在屋门旁檐台上那个松松软软的厚草垫子上。然后，自己搬把高脚凳子坐在老爷子的对面亲切地问：“爷爷， 您爱听哪一段儿？”老爷子想也没有想就说：“你就将最顺手的拉哇，爷爷什么曲儿都爱听！”自来熟耿直也很想表现表现，于是就高 兴地跳到老爷子的背后，声音甜甜地说：“那俺给爷爷捶捶背哇。俺爹说啦，经常锤捶背身子骨儿好！”在优美的二胡曲儿声中，耿直 不轻不重地为老人家捶着背。老爷子眯缝着眼睛幸福惬意地享受着在屋里做饭的老妇人听着美妙的二胡曲儿，高兴地对耿英说：“哎哟 哟，这莫不是老天爷给俺们俩老东西送来了仙人儿嘛！”热汤热菜的舒舒服服吃完晚饭之后，耿正又为两位老人家拉了好一会儿。次日 早饭后，耿老爹将毛驴重新拴在滩枣树上，给它喂上草料，饮上水。然后对老夫妇说，想带娃娃们到黄河边上玩玩儿去。两位老人家相 视而笑了。老爷子摇着头说：“唉，没有见过黄河的人，都觉得这条大河新奇呢。其实哇，这黄河可不见得是一个好东西！你让娃娃们 离远点儿瞧瞧就是了。你们打北面过来的人，肯定不会水的，千万别失足落进去哇！”老妇人也说：“是啊，这黄河自古以来就经常祸 害人呢。说不定什么时候不高兴了，就冲破堤坝，好像脱缰的野马一样。你们可一定小心啊，离远点儿瞧！对啦，不要走太远了，中午 还回来吃饭，俺给咱们做打卤刀削面。”耿老爹感激地说：“好的，俺们一定小心，也不会走太远了。中午还回来吃饭，您做简单点 儿！”当耿家父子四人辞别两位老人家再次上了堤岸来到黄河边儿上的时候，他们对眼前的这条仍然还是波浪滔滔的大河，已经远没有 昨天下午第一次看到时那样感兴趣了。毫无疑问，两位善良老人家对这条大河的那一番不乍欣赏的评价，已经深深地感染了他们。沿岸 走了一会儿后，耿直甚至说：“听这声音，这黄河真得很像脱缰的野马呢！”耿正说：“不，这黄河水现在还只是被圈在堤坝里边的野 马，还没
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练习：(1)若（2x 3 ) a0 a1x a2x a3x a 4x
4 2 3 2 2 则（a a a ) (a a ) 0 2 4 1 3 的值为： A.1 B. 1 C.0 D .2
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（2）若(2x 1) a0 a1x a2x a5x 求a1 a2 a3 a 4 a5 的值