专题30+复数的概念及运算(检测)-2019年高考数学(理)名师揭秘之一轮总复习+Word版含解析
数学复数高考知识点总结
数学复数高考知识点总结一、复数的概念和表示方法1.1 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
1.2 复数的表示方法复数可以用直角坐标系和极坐标系表示。
在直角坐标系中，复数z=a+bi可以表示为有序数(a,b)，其中a为实部，b为虚部；在极坐标系中，复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为幅角。
1.3 复数的加减法复数的加减法与实数的加减法类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
1.4 复数的乘法复数的乘法可利用分配律和i²=-1进行计算，即(a+bi)×(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i。
1.5 复数的除法复数的除法需要将除数与被除数同时乘以共轭复数，然后利用分配律进行计算。
1.6 复数的共轭复数z=a+bi的共轭是z的实部不变，虚部取负数，即z的共轭为a-bi。
1.7 复数的模和幅角复数z=a+bi的模是z距离原点的长度，又可以表示为|z|=√(a²+b²)；复数z的幅角是z与正实轴之间的夹角，一般取在-π<θ≤π的区间内。
1.8 二次根式对于复数z=a+bi，其二次根式为±√z=±(√r)(cos(θ/2)+isin(θ/2))，其中r为z的模，θ为z 的幅角。
二、复数的应用2.1 复数的几何意义复数可以表示平面上的点，实部代表横坐标，虚部代表纵坐标；复数的模代表点到原点的距离，复数的幅角代表点与正实轴之间的夹角。
2.2 解析式解析式是指利用复数形式的代数式表示函数值，在一些复杂的数学问题中，可以利用复数的解析式简化计算。
2.3 需解方程部分方程的解需要引入复数，如一元二次方程的解可能为复数，解方程时需考虑复数根的情况。
2.4 矩阵计算在一些特定矩阵的计算中，可能出现复数，需要利用复数的运算规则进行计算。
高考复数概念知识点
高考复数概念知识点复数是数学中的一个重要概念，也是高中数学考试中常见的题型之一。
掌握好复数的概念和相关知识点，对于考试取得好成绩是至关重要的。
本文将介绍高考复数相关的概念和知识点，希望能够帮助大家更好地理解和运用。
一、复数的定义与表示1. 复数的基本定义：在实数范围内，无法满足平方后为负的数，例如-1，所以引入了虚数单位i（i^2 = -1）。
复数定义为实数与虚数的和，形如a+bi的数就是复数，其中a为实部，b为虚部，i满足i^2 = -1。
2. 复数的表示：复数可以用代数方法表示，也可以用几何方法表示。
代数方法表示时，将a和b视作实数，将虚数单位i视作一个数。
几何方法表示时，将复数a+bi看作是平面直角坐标系中的一个点P(x, y)，其中x=a，y=b，可以通过平面向量的方法进行表示。
二、复数的运算1. 复数的加法与减法：复数的加法与减法可以按照实部与虚部分别进行运算，即(a+bi) +(c+di) = (a+c) + (b+d)i，(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
2. 复数的乘法与除法：复数的乘法可以按照公式展开进行计算，即(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
复数的除法可以利用共轭复数的性质进行计算，即(a+bi) / (c+di) = [(a+bi) * (c-di)] / [(c+di) * (c-di)]，化简后可得实部和虚部的表达式。
3. 复数的乘方与开方：复数的乘方利用了极坐标的概念，可以通过转化为极坐标形式，进行指数运算，然后再转化回代数形式。
复数的开方可以根据欧拉公式进行计算，即通过将复数表示为指数形式来进行开方运算。
三、复数在方程和函数中的应用1. 复数方程的解：复数方程是指方程中含有复数的方程，例如x^2 + 1 = 0。
对于复数方程，可以根据求根公式进行求解，其中虚数单位i非常重要。
2. 复数函数的性质：复数函数是指函数的自变量与函数值都可以是复数的函数。
复数概念及公式总结
复数概念及公式总结复数是数学中一个重要的概念，它在代数、解析几何、微积分等多个数学分支中都有着重要的应用。
本文将对复数的概念及相关公式进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和运用复数。
一、复数的概念。
复数是由实数和虚数组成的数，一般表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i 为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以用平面直角坐标系中的点来表示，实部对应x 轴，虚部对应y轴。
复数的模长是指复数到原点的距离，记作|a+bi|=√(a²+b²)。
复数的共轭是指虚部取负，即a-bi。
二、复数的运算。
1. 加减法，实部和虚部分别相加减。
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。
(a+bi) (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
2. 乘法，先用分配律展开，然后利用i²=-1化简。
(a+bi) (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
3. 除法，将分子有理化，然后利用共轭的性质进行化简。
(a+bi) / (c+di) = (ac+bd)/(c²+d²) + (bc-ad)/(c²+d²)i。
三、复数的指数形式。
复数可以用指数形式表示，即a+bi = r(cosθ + isinθ)，其中r为模长，θ为幅角。
根据欧拉公式，e^(iθ) = cosθ + isinθ，所以复数也可以表示为a+bi = re^(i θ)。
四、复数的常见公式。
1. 欧拉公式，e^(iπ)+1=0，这是数学中最著名的等式之一，将自然对数的底e、圆周率π、虚数单位i、单位复数1组合在一起。
2. 范-诺伊曼级数，1+2+3+4+...=-1/12，这是一个看似荒谬但又被证明正确的等式，它涉及了复数的无穷级数求和。
3. 费马大定理，xⁿ+yⁿ=zⁿ在n大于2时无整数解，这是数论中著名的定理，它与复数的幂运算有着密切的联系。
数学一轮总复习复数运算篇
数学一轮总复习复数运算篇数学一轮总复习复数运算篇复数是数学中的重要概念之一，在各个数学分支中都有广泛的应用。
复数运算在初中和高中阶段的数学学习中扮演着重要的角色。
本篇文章将为大家总结和复习复数运算的相关知识，帮助大家巩固理解并掌握这一概念。
一、复数的定义与表示方法复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为z=a+bi，其中a为实部，bi为虚部。
这里的i是虚数单位，满足i²=-1。
复数既可以用代数形式表示，也可以用几何形式表示。
在代数形式中，实部和虚部都是实数，而在几何形式中，复数可以用平面上的向量表示，向量的起点是原点，终点则是复平面上对应的点。
二、复数的四则运算1. 复数的加法和减法复数的加法和减法都是按照实部与虚部分别相加和相减的规则来进行的。
例如，对于两个复数z1=a₁+b₁i 和z2=a₂+b₂i ，其加法和减法的公式分别如下：加法：z1+z2=(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i减法：z1-z2=(a₁-a₂)+(b₁-b₂)i2. 复数的乘法复数的乘法是按照分配律和i²=-1的规则进行的。
对于两个复数z1=a₁+b₁i 和z2=a₂+b₂i，其乘法的公式如下：乘法：z1×z2=(a₁a₂-b₁b₂)+(a₁b₂+b₁a₂)i3. 复数的除法复数的除法涉及到共轭复数的概念。
对于一个复数z=a+bi，其共轭复数记作z*，根据共轭复数的定义，z*的实部与z的实部相同，而虚部的符号相反。
复数的除法公式如下：除法：z1÷z2=(a₁a₂+b₁b₂)/(a₂²+b₂²)+((b₁a₂-a₁b₂)/(a₂²+b₂²))i三、复数的乘方与开方1. 复数的乘方复数的乘方是指将一个复数连续乘以自身多次的运算。
复数的乘法规则可以推广到复数的乘方运算中。
例如，对于一个复数z=a+bi，其平方可以表示为：平方：z²=(a+bi)×(a+bi)=a²+2abi+b²i²=(a²-b²)+2abi同理，复数的立方、四次方等运算也可以按照相似的方式进行。
高考复数知识点总结
高考复数知识点总结一、复数的概念1. 定义：在数学中，复数是由一个实数和一个虚数单位i构成的数，表示为a+bi，其中a 和b都是实数，而i是虚数单位，满足i²=-1。
2. 实部和虚部：复数a+bi中，a称为实部，bi称为虚部，其中a和b都是实数。
二、复数的表示形式1. 代数形式：a+bi2. 幅角形式：r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的幅角。
3. 指数形式：re^(iθ)，其中e^(iθ)为指数函数。
三、复数的运算1. 加法与减法：实部相加，虚部相加2. 乘法：根据分配律和虚数单位i的性质计算3. 除法：乘以共轭复数，然后根据除法的定义计算4. 幂运算：通过指数形式进行计算四、复数的性质1. 共轭复数：a+bi的共轭复数是a-bi2. 模：复数a+bi的模是√(a²+b²)3. 幅角：复数a+bi的幅角是θ=tan^(-1)(b/a)五、复数的应用1. 代数方程式：一元二次方程的解2. 三角函数：通过复数的幅角形式可以求解三角函数的和差角公式3. 电路学：用复数解决交流电路中的问题六、复数的解析几何1. 复数的几何意义：复平面上的点2. 复数的模和幅角：向量的模和方向3. 复数的乘法和除法：向量的缩放和旋转七、复数的解1. 一元二次方程的解：通过求根公式得到解2. 复数的根：开方运算的应用总结：复数是数学中的一个重要概念，它由一个实部和一个虚部构成，可以通过代数形式、幅角形式和指数形式进行表示。
复数的运算包括加法、减法、乘法、除法和幂运算，通过这些运算可以得到复数的性质如共轭复数、模和幅角。
复数还具有广泛的应用，包括代数方程式、三角函数和电路学等方面。
此外，复数还可以通过解析几何的方式进行理解，它在平面上对应着一个点，并且具有向量的性质。
复数的解可以用于一元二次方程的求解以及复数的根的求解。
通过学习和掌握复数的知识，可以更好地理解数学中的各种概念和问题，并且对于后续的学习和应用具有重要的意义。
高考数学一轮总复习复数与复数函数应用
高考数学一轮总复习复数与复数函数应用一、复数及其表示形式在数学中，复数是由实数和虚数构成的数，可以表示为 a+bi 的形式，其中 a 是实部，b 是虚部。
复数的虚部可以用 i 或 j 表示。
复数的表示形式有矩形形式和极坐标形式。
矩形形式：复数a+bi 可以表示为有序数对(a, b)。
例如，2+3i 可以表示为(2, 3)。
极坐标形式：复数可以用模和幅角表示。
模表示复数到原点的距离，即复数的大小；幅角表示复数与实轴正半轴之间的夹角。
一般地，模为 r，幅角为θ。
二、复数的运算1. 复数的加法和减法复数的加法和减法可以通过实部和虚部的运算进行。
例如，(2+3i)+(1+2i)=(2+1)+(3+2)i=3+5i。
2. 复数的乘法和除法复数的乘法可以通过分配律进行计算。
例如，(2+3i)(1+2i)=2×1+2×2i+3i×1+3i×2i=(2-6)+(4+3)i=-4+7i。
复数的除法可以通过乘以共轭复数并约分实部和虚部进行计算。
例如，(2+3i)/(1+2i)=((2+3i)(1-2i))/((1+2i)(1-2i))=((2-6)+(3+4)i)/((1-4i^2))=(-4+7i)/5。
三、复数函数的应用复数函数是将一个复数映射到另一个复数的函数。
常见的复数函数有指数函数、三角函数和对数函数。
1. 指数函数指数函数可以表示为 e^z，其中 e 是欧拉常数，z 是一个复数。
指数函数的性质与实数指数函数类似。
例如，e^(a+bi)=e^a × e^(bi)=e^a ×cos(b)+e^a × sin(b)i。
2. 三角函数复数的正弦、余弦和正切函数可以通过指数函数表示。
例如，sin(z)=(e^(iz)-e^(-iz))/(2i)，cos(z)=(e^(iz)+e^(-iz))/2，tan(z)=(sin(z))/(cos(z))。
高考数学知识点复数
高考数学知识点复数复数是数学中一种重要的概念，也是高考数学中常见的知识点之一。
在学习复数的过程中，我们不仅需要掌握复数的定义、运算规则等基础知识，更要理解复数在实际问题中的应用。
本文将从复数的基本定义开始，逐步介绍其运算、表示形式和应用，帮助读者深入理解高考数学中的复数知识。
一、复数的基本定义及运算规则复数可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数部分和虚数部分。
实数部分a可以看作是复数在实轴上的投影，而虚数部分bi则表示复数在虚轴上的投影。
复数的虚数部分可以用i来表示，i代表了虚数单位。
我们知道，i的平方等于-1，即i^2 = -1。
在进行复数的运算时，我们需要了解复数的加减乘除法规则。
两个复数相加时，实部和虚部分别相加；两个复数相减时，实部和虚部分别相减；两个复数相乘时，根据分配律展开运算，最后再利用i^2 = -1进行简化；两个复数相除时，一般将分子分母同时乘以共轭复数，然后再进行除法运算。
二、复数的表示形式和性质复数可以用不同的表示形式来表示，其中最常见的是代数形式和三角形式。
代数形式可以写成a+bi的形式，而三角形式则可以写成r(cosθ + isinθ)的形式。
其中，a+bi表示复数的实部和虚部，r表示复数的模，θ表示复数的辐角。
复数的辐角可以通过对应的实部和虚部计算得出。
对于两个复数的乘法运算，我们可以利用三角形式更方便地进行计算。
两个复数相乘，其模等于模之积，辐角等于辐角之和。
这个性质在高考数学中经常用到，在解决复数运算问题时非常实用。
三、复数的应用复数在实际问题中有着广泛的应用。
在电路分析中，复数可以用来表示电流和电压的相位关系；在信号处理中，复数可以用来表示信号的振幅和相位；在力学中，复数可以用来描述物体的振动和波动等。
在几何学中，复数可以用来表示平面上的点。
我们可以将平面上的一个点表示为复平面上的一个复数，通过复数的运算，可以进行平面上点的旋转、平移等操作。
这在解决几何问题时非常有用，有时可以简化问题的求解过程。
高中数学知识点归纳复数基础知识
高中数学知识点归纳复数基础知识高中数学中，复数是一个重要的概念。
复数既包括实数部分，也包括虚数部分。
在这篇文章中，我们将对高中数学中与复数相关的基础知识进行归纳总结。
一、复数的定义与表示复数可以用一个实数和一个虚数相加的形式来表示。
虚数单位i定义为i²=-1，其中i是虚数单位，i²是虚数单位的平方。
复数的一般形式为a+bi，其中a是实数部分，b是虚数部分。
二、复数的基本运算1. 复数的加法和减法：将实部和虚部分别相加或相减即可。
例如：(2+3i) + (5-2i) = 7 + i(2+3i) - (5-2i) = -3 + 5i2. 复数的乘法：使用分配律和虚数单位的定义进行计算。
例如：(2+3i)(5-2i) = 10 + 15i -4i -6i² = 16 + 11i3. 复数的除法：将除法运算转化为乘法运算，并进行分子、分母的真分数分解，最后再进行计算。
例如：(2+3i) / (5-2i) = [(2+3i)(5+2i)] / [(5-2i)(5+2i)] = (4+19i) / 29三、复数的性质1. 共轭复数：对于复数a+bi，它的共轭复数记作a-bi，实部不变，虚部取相反数。
例如：共轭复数：对于复数3+2i，它的共轭复数为3-2i。
2. 复数的模：对于复数a+bi，它的模记作|a+bi| = √(a² + b²)，表示复数到原点的距离。
例如：|3+4i| = √(3² + 4²) = 53. 复数的乘法公式：(a+bi)(a-bi) = a² - (bi)² = a² + b²。
其中，(bi)² = -b²。
四、复数在方程中的应用1. 复数根：复数可以用来求解高中数学中的二次方程。
例如：对于方程x² + 4 = 0，可以将其转化为(x+2i)(x-2i) = 0，从而得到x=±2i。
高三复数的知识点归纳总结
高三复数的知识点归纳总结复数是数学中的一个重要概念，它在高中数学中被广泛研究和应用。
掌握复数知识对于理解和解决各类数学问题具有重要意义。
在高三阶段，学生需要对复数的基本概念、运算规则以及与其他数学知识的联系有较为深入的了解。
本文将对高三阶段复数的相关知识点进行归纳总结。
1. 复数的定义和性质复数是由实数和虚数组成的数。
其中，实数部分与虚数部分分别用虚数单位i表示，虚数单位i的平方为-1。
复数可以表示为 a+bi 的形式，其中a为实部，b为虚部。
复数包含了实数，并且可以在复平面上进行表示。
复数的共轭、模、幂等性质是复数运算的重要基础。
2. 复数的四则运算复数的加减法与实数的加减法类似，分别对实部和虚部进行运算。
复数的乘法可以使用分配律展开计算，利用虚数单位i的平方性质化简计算。
复数的除法可以通过乘以共轭形式，并结合有理化等技巧化简问题。
四则运算的结果仍为复数，需要对结果进行合并和化简。
3. 复数的模与论证复数的模是复数到原点的距离，也是复数自身的绝对值。
根据复数的定义，模的计算公式为√(a^2 + b^2)，其中a和b分别为实部和虚部。
复数的模具有非负性、三角不等式等性质。
通过模也可以计算复数的幂，利用三角函数的定义，可以将复数表示为模与辐角的形式，其中辐角表示复数与正实轴的夹角。
4. 复数与二次函数复数与二次函数之间存在着密切的联系。
对于二次函数的解，当判别式为负时，存在共轭的复数解；当判别式为零时，存在重根的解；当判别式为正时，存在两个不同的实数解。
在解二次函数问题时，通过运用复数知识可以得到更全面的解释和解答。
5. 复数平面与向量复数平面也称为阿尔及利亚平面，它由实轴和虚轴构成。
复数可以在复数平面上表示为点，复数的加减乘除运算可以通过复数平面上的几何对应关系进行解释和理解。
复数的模可以表示为原点到该复数所对应的点的距离。
复数还可以和向量一一对应，在复数平面上的几何运算可以转化为向量上的运算。
高考数学一轮总复习 专题30 复数的概念及运算 理
〔备选题〕例5设关于 x 的方程是 x2－(tan θ＋i)x －(2＋i)＝0.
(1)若方程有实数根，求锐角 θ 和实数根； π
.
【解析】(1)∵z＝zz212＝22（1－1＋3ii）2＝45(－3＋i)， ∴z＝zz221在复平面上对应的点位于第二象限. (2)设 z＝ai(a≠0)，则有(2－i)·ai＝4－2bi，即 a＋2ai
＝4－2bi，即 a＝4，2a＝－2b，解得 b＝－4. 故选 C.
(3)
z1
＋
z2
＝
3 a＋5
A.－2
B.2
C.－4
D.4
(3)复数 z1＝a＋3 5＋(10－a2)i，z2＝1－2 a＋(2a－5)i，
若 z1＋z2 是实数，则实数 a 的值为__3__. (4)复数 z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(2c－6)i 在复
平面内对应的点分别为 A、B、C，若∠BAC 是钝角，
则实数 c 的取值范围为 4119，9∪(9，＋∞)
所以m2 ＝1 且m2 ＝n，解得 m＝2，n＝1，
所以 m＋ni＝2＋i，故选 C.
(3)∵(1＋ai)2＝－1＋bi，∴1－a2＋2ai＝－1＋bi，
∴21a－＝ab2＝，－1，∴ab＝＝2
2，2 或ab＝＝－－2
2， 2，
∴|a＋bi|＝ a2＋b2＝ 2＋8＝ 10.
(4)①|z1×z22|＝|z1||z22|＝|z1||z2|2＝8. ②z1×z22是虚部为正数的纯虚数，∴z1×z22＝8i, z22 ＝ 38＋i i＝8i（ 43－i）＝2＋2 3i.设复数 z2＝a＋bi(a， b∈R)，∴a2－b2＋2abi＝2＋2 3i, a22a－b＝b22＝23，，解之 得ab＝ ＝1 3，或ab＝ ＝－ －1.3， ∴z2＝±( 3＋i).
高考数学必考知识点复数
高考数学必考知识点复数复数是高中数学中的重要概念，也是高考数学中必考的知识点之一。
许多学生对复数有些陌生，不太了解其概念和性质。
本文将详细介绍复数的基本概念、运算规则以及在解决实际问题中的应用等方面，帮助学生更好地掌握这一知识点。
1. 复数的概念复数是由实数和虚数构成的数。
其中，实数可以看作是复数的一部分，而虚数被定义为单位虚数 $i$ 与实数乘积所得。
一个复数可以表示为 $a+bi$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 分别代表实数部分和虚数部分。
例如，$3+2i$、$-5i$ 都是复数。
2. 复数的运算（1）复数的加法和减法：复数的加法和减法遵循实部相加（减），虚部相加（减）的规则。
即，设复数 $z_1 = a_1+b_1i$，$z_2 = a_2+b_2i$，则有$z_1+z_2 = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)i$，$z_1-z_2 = (a_1-a_2) + (b_1-b_2)i$。
（2）复数的乘法：复数的乘法可以使用分配律展开，注意虚数 $i$ 与自身的乘积为 $-1$。
例如，$(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i$。
需要注意的是，复数的乘法满足交换律和结合律。
（3）复数的除法：复数的除法需要将除数分母的虚数部分进行有理化，化为实数形式。
具体操作是将分母的虚数部分与其共轭相乘，即将分母化为实数。
然后将被除数与实数形式的除数进行乘法运算，得到的结果即为商。
例如，$(a+bi)/(c+di) = [(a+bi)(c-di)] / [(c+di)(c-di)]$。
3. 复数的性质（1）复数的模：复数的模表示复数离原点的距离，可以用勾股定理求得。
设复数 $z = a+bi$，则有 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$。
模的性质包括非负性、零模性、模的加法和乘法性质等。
（2）共轭复数：复数的共轭是指保持实部不变，虚部取相反数的复数。
即，设复数 $z = a+bi$，则其共轭复数为 $\bar{z} = a-bi$。
复数的基本概念与运算
复数的基本概念与运算复数是由实数与虚数构成的数。
它的基本形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以用于描述一些实际问题，比如电路分析、信号处理和数学问题等。
本文将介绍复数的基本概念与运算。
一、复数的基本概念复数的实部和虚部分别是实数，实部用a表示，虚部用b表示。
实数是复数的一种特殊情况，当b=0时，复数退化为实数。
对于任意一个复数z=a+bi，其中a和b都是实数，可以将其表示为有序对(z=a,b)。
复数可以用复平面上的点来表示，其中实轴是实数轴，虚轴是虚数轴。
实部对应着实轴上的点，虚部对应着虚轴上的点。
二、复数的运算1. 加法与减法复数的加法和减法与实数的加法和减法类似，只是需要对实部和虚部进行独立的运算。
对于两个复数z₁=a₁+b₁i和z₂=a₂+b₂i，它们的和z₃=z₁+z₂为(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i，差为z₄=z₁-z₂为(a₁-a₂)+(b₁-b₂)i。
2. 乘法复数的乘法运算可以通过分配律展开，然后利用i²=-1化简。
对于两个复数z₁=a₁+b₁i和z₂=a₂+b₂i，它们的乘积z₃=z₁z₂可以计算为(a₁a₂-b₁b₂)+(a₁b₂+a₂b₁)i。
3. 除法复数的除法可以通过将除数和被除数都乘以共轭复数的形式进行。
对于两个复数z₁=a₁+b₁i和z₂=a₂+b₂i，它们的商z₃=z₁/z₂可以计算为[(a₁a₂+b₁b₂)/(a₂²+b₂²)]+[(a₂b₁-a₁b₂)/(a₂²+b₂²)]i。
三、复数的性质1. 共轭复数给定一个复数z=a+bi，它的共轭复数记为z*，即a-bi。
共轭复数的实部相同，虚部符号相反。
2. 模或绝对值对于一个复数z=a+bi，它的模记为|z|，可以计算为√(a²+b²)，表示复数到原点的距离。
3. 平方根复数的平方根是一个复数，它满足平方后等于给定的复数。
复数的基本概念与运算
复数的基本概念与运算复数是数学中的一种扩展概念，可以表示为实部与虚部之和的形式。
在复数的定义中，虚部使用虚数单位i来表示，i满足i²=-1。
本文将介绍复数的基本概念、表示形式以及常见的复数运算。
一、复数的定义与表示形式复数由实部与虚部组成，可以表示为a+bi的形式，其中a为实部，bi为虚部。
实部与虚部都是实数。
例如，2+3i就是一个复数。
其中实部是2，虚部是3。
二、复数的基本运算1. 复数的加法复数的加法按照实部与虚部分别相加的规则进行。
即，对于复数a+bi和c+di，它们的和是(a+c)+(b+d)i。
例如，(2+3i) + (4+5i) = (2+4) + (3+5)i = 6 + 8i。
2. 复数的减法复数的减法按照实部与虚部分别相减的规则进行。
即，对于复数a+bi和c+di，它们的差是(a-c)+(b-d)i。
例如，(2+3i) - (4+5i) = (2-4) + (3-5)i = -2 - 2i。
3. 复数的乘法复数的乘法使用分配律，按照实部与虚部相乘后相加的规则进行。
即，对于复数a+bi和c+di，它们的乘积是(ac-bd) + (ad+bc)i。
例如，(2+3i) × (4+5i) = (2×4-3×5) + (2×5+3×4)i = (-7+22i)。
4. 复数的除法复数的除法需要借助复数的共轭进行计算。
复数a+bi的共轭复数是a-bi，共轭复数记作a-bi。
复数的除法公式如下：(a+bi) / (c+di) = [(a+bi) × (c-di)] / [(c+di) × (c-di)] = [(ac+bd) + (bc-ad)i] / (c²+d²)。
例如，(2+3i) / (4+5i) = [(2+3i) × (4-5i)] / [(4+5i) × (4-5i)] = (-7/41) + (22/41)i。
复数知识点归纳
复数知识点归纳复数是高中数学中的一个重要概念，它既包含实数，又包含虚数，是实数和虚数的统一。
复数的概念和性质在数学的许多领域都有着广泛的应用，如在微积分、线性代数、信号处理等领域。
下面是对复数知识点较为详细的归纳和介绍。
一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a + bi，其中a 和b 都是实数，i 是虚数单位，满足i^2 = -1。
2. 复数的分类：-纯虚数：当a = 0，b ≠0 时，复数z = bi 称为纯虚数。
-实数：当b = 0 时，复数z = a 称为实数。
-非纯虚数：当a ≠0，b ≠0 时，复数z = a + bi 称为非纯虚数。
3. 复数的几何意义：复数可以表示为复平面上的点，实部表示点在x 轴上的位置，虚部表示点在y 轴上的位置。
二、复数的四则运算1. 加法：两个复数相加，实部相加，虚部相加，即(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i。
2. 减法：两个复数相减，实部相减，虚部相减，即(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i。
3. 乘法：两个复数相乘，实部乘实部，虚部乘虚部，实部加虚部的乘积，即(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i。
4. 除法：两个复数相除，先乘以共轭复数，即(a + bi)/(c + di) = (ac + bd)/(c^2 + d^2) + (bc -ad)/(c^2 + d^2)i。
三、复数的特殊性质1. 复数的模：复数z = a + bi 的模定义为|z| = √(a^2 + b^2)，表示复数z 在复平面上到原点的距离。
2. 复数的共轭：复数z = a + bi 的共轭复数为z 的实部不变，虚部变号，即z 的共轭复数为a - bi。
3. 复数的乘方和开方：复数乘方遵循实数乘方规则，即(a + bi)^n = (a^n + n*a^(n-1)*bi) + ... + b^n*i^(n-1)。
复数知识点总结
复数知识点总结在数学的领域中，复数是一个非常重要的概念。
它不仅在理论上丰富了数学的体系，而且在实际应用中，如物理学、工程学等领域，都发挥着不可或缺的作用。
接下来，让我们一起深入了解复数的相关知识。
一、复数的定义复数是指形如\（a ＋ bi\）的数，其中\（a\）和\（b\）均为实数，＼（i\）是虚数单位，满足\（i^2 ＝－1\）。
＼（a\）被称为实部，记作\（Re(z)＼）；＼（b\）被称为虚部，记作\（Im(z)＼）。
例如，＼（3 ＋ 2i\）就是一个复数，其中\（3\）是实部，＼（2\）是虚部。
二、复数的表示形式1、代数形式就是我们刚刚提到的\（a ＋ bi\），这是最常见也是最基本的表示形式。
2、几何形式在平面直角坐标系中，以\（x\）轴为实轴，＼（y\）轴为虚轴，复数\（a ＋ bi\）可以用坐标\（（a, b)＼）来表示。
这样，复数就与平面上的点建立了一一对应的关系。
3、三角形式复数\（z ＝ a ＋ bi\）可以表示为\（z ＝r(cosθ ＋isinθ)＼），其中\（r ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼），＼（tanθ ＝＼frac{b}｛a}＼）。
4、指数形式根据欧拉公式\（e^｛iθ} ＝cosθ ＋isinθ\），复数还可以表示为\（z ＝ re^｛iθ}＼）。
三、复数的运算1、加法和减法两个复数\（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\）的和差为：＼（z_1 ± z_2 ＝（a_1 ± a_2) ＋（b_1 ± b_2)i\）2、乘法＼（z_1 ＼times z_2 ＝（a_1 ＋ b_1i) ＼times （a_2 ＋ b_2i)＼）＼＼begin{align}＆＝a_1a_2 ＋ a_1b_2i ＋ a_2b_1i ＋ b_1b_2i^2\＼＆＝（a_1a_2 b_1b_2) ＋（a_1b_2 ＋ a_2b_1)i＼end{align}＼3、除法＼＼frac{z_1}｛z_2}＝＼frac{a_1 ＋ b_1i}｛a_2 ＋ b_2i}＝＼frac{（a_1 ＋ b_1i)（a_2 b_2i)｝｛（a_2 ＋ b_2i)（a_2 b_2i)｝＼＼＼begin{align}＆＝＼frac{a_1a_2 ＋ b_1b_2 ＋（a_2b_1 a_1b_2)i}｛a_2^2 ＋b_2^2}＼＼＆＝＼frac{a_1a_2 ＋ b_1b_2}｛a_2^2 ＋ b_2^2} ＋＼frac{a_2b_1 a_1b_2}｛a_2^2 ＋ b_2^2}i＼end{align}＼四、共轭复数两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
复数的基本概念与运算
复数的基本概念与运算复数（Complex Number）是数学中的一个重要概念，在实际问题的建模和求解中起到了重要的作用。
它由实数和虚数部分组成，是一类具有特定形式的数。
本文将介绍复数的基本概念以及复数的运算规则。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数。
在复数中，虚数部分由虚数单位i（i^2=-1）表示。
一个复数可以写成a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部。
实部和虚部分别是复数的实数部分和虚数部分。
二、复数的运算规则1. 复数的加法运算：将两个复数的实部分相加，虚部分相加。
例如：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i2. 复数的减法运算：将两个复数的实部分相减，虚部分相减。
例如：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i3. 复数的乘法运算：根据分配律和虚数单位i的定义，进行计算。
例如：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i4. 复数的除法运算：将被除数与除数同时乘以除数的共轭复数，然后按照乘法运算规则计算。
例如：(a+bi)/(c+di)=((ac+bd)+(bc-ad)i)/(c^2+d^2)三、复数的性质1. 复数的共轭：将复数的虚部加负号，即得到该复数的共轭复数。
例如：对于复数a+bi，它的共轭复数是a-bi。
2. 复数的模：复数的模表示复数到原点的距离，也就是复数的绝对值。
例如：对于复数a+bi，它的模是√(a^2+b^2)3. 复数的实部和虚部性质：（1）若复数的实部和虚部都为零，则该复数为零，记作0。
（2）若复数的实部为零，虚部不为零，则该复数为纯虚数。
（3）若复数的虚部为零，实部不为零，则该复数为实数。
四、复数的图示表示我们可以将复数在复平面上进行图示表示。
将复数a+bi表示为平面上的一个点P，P的横坐标是a，纵坐标是b。
通过这种方式，可以直观地理解复数的实部和虚部以及复数的运算规则。
五、应用复数在物理学、工程学、经济学等领域中具有广泛的应用。
高考数学中的复数问题解析
高考数学中的复数问题解析高中数学中，复数是一个较为抽象的概念，在数学学科中是至关重要的。
其中，复数在高考数学中占据着举足轻重的位置，是高考数学的必修内容。
复数可以被视为是可扩展的数，它不仅可以进行实数的运算，还能进行虚数的运算，从而能够解决实数无法解决的问题。
本文将对高考数学中的复数问题进行解析。
一、复数的定义及基本运算复数定义为一个形如a+bi的数，其中a是实数部分，b是虚数部分，i为虚数单位，i平方等于-1。
复数之间可以进行加减乘除的运算，其中，加法和减法是分别对实数部分和虚数部分进行相应的加减运算；而乘法和除法需要应用到复数的公式和三角函数的定义。
二、复数的表示方式和共轭复数复数有多种表示方法，最常见的是直角坐标系和极坐标系。
在直角坐标系中，复数可以表示为平面直角坐标系上的一个有序数对，已知复数z=a+bi，实数a为复数z的实部，虚数b为复数z的虚部。
在极坐标系中，复数可以表示为半径为r，极角为θ的复数z=r(cosθ+i sinθ)，其中r为复数z的模，θ为复数z的辐角。
共轭复数是指实部相同，虚部相反的复数。
即若z=a+bi，则z*（z的共轭复数）=a-bi。
在复数的乘除法中，会经常用到共轭复数。
三、复数方程的解法复数也可以用于解决实数无法解决的问题，其中一个典型的例子就是复数方程。
在高考数学中，关于复数方程的题目也比较常见。
我们可以通过先将方程转换为标准形式，再运用求根公式进行解答，或者直接使用因式分解法、配方法等技巧对复数方程进行求解。
四、复数平面向量与极坐标系下的复数复数平面向量是指以复数为顶点，以原点为起点的向量。
我们可以对复数的加减乘除、求共轭复数等运算等价于对向量的平移、翻转等操作。
在经过相关推导后，我们还可将复数与向量的运算统一于极坐标系上，即把复数看做复平面向量，从而能够更方便地进行复数的运算和处理。
五、拉格朗日插值法和复数数列拉格朗日插值法是一种通过已知函数部分节点的值来确定函数的方法，其中复数在插值多项式的构造中起到了重要的作用。
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专题30 复数的概念及运算本专题特别注意：1.复数四则运算2. 复数加减的几何意义3. 复数与数列的综合4.复数与二项式定理的综合问题5. 复数的模和共轭复数问题【学习目标】1．理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并会应用．2．了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算．3．了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义，会简单应用．【方法总结】1.设z＝a＋b i(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法.2.实数的共轭复数是它本身，两个纯虚数的积是实数.3.复数问题几何化，利用复数、复数的模、复数运算的几何意义，转化条件和结论，有效利用数和形的结合，取得事半功倍的效果.【高考模拟】一、单选题1．已知，其中是虚数单位，是复数的共轭复数，则复数（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】化简原式，利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，求得复数，从而可得结果. 【详解】，，故选C.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．已知是虚数单位，则复数在复平面上所对应的点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】将复数的分子分母同乘以1+i，利用多项式的乘法分子展开，求出对应的点的坐标．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数．3．（2017·太原市一模）已知是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法计算后取所得结果的共轭即可.【详解】，故所求共轭复数为，故选A.【点睛】本题考察复数的概念及其运算，是基础题.4．已知为虚数单位，复数，则下列命题为真命题的是（）A．的共轭复数为 B．的虚部为-1C．在复平面内对应的点在第一象限 D．【答案】D【解析】【分析】先化简复数z,再判断每一个选项的真假.【点睛】(1)本题主要考查复数的计算，考查复数的几何意义、实部虚部和模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数的实部是a,虚部为b，不是bi.5．欧拉公式 (为虚数本位）是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数的模为( )A． B． C． 1 D．【答案】C【解析】【分析】直接由题意可得=cos+isin，再由复数模的计算公式得答案．【详解】由题意，=cos+isin，∴表示的复数的模为．故选：C．【点睛】本题以欧拉公式为背景，考查利用新定义解决问题的能力，考查了复数模的求法，属于基础题．6．若在复平面内，点所对应的复数为，则复数的虚部为（）A． 12 B． 5 C． D．【答案】D【解析】【分析】先求复数z,再求复数，再求它的虚部.【详解】【点睛】(1)本题主要考查复数的运算和复数的虚部概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数的实部是a,虚部为b，不是bi.7．读了高中才知道，数绝对不止1,2,3啊，比如还有这种奇葩数，他的平方居然是负数！那么复数在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】【分析】运用复数除法法则运算得到结果【详解】由题意得，在复平面内对应的点为在第一象限，故选【点睛】本题考查了复数的几何意义，根据复数除法法则进行运算化成的形式即可得到答案8．已知是虚数单位，复数是的共轭复数，复数，则下面说法正确的是（）A．在复平面内对应的点落在第四象限 B．C．的虚部为1 D．【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则可得复数=2i﹣2，再根据复数的几何意义、虚部的定义、模的运算性质即可得出．【详解】故选：C．【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义、虚部的定义、模的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．设复数满足，则（）A． 3 B． C． 9 D． 10【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的性质、模的计算公式即可得出．【详解】【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．复数等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】化简分式，分子、分母分别平方，再按照复数的除法运算法则化简可得结果.【详解】，故选：C【点睛】本题主要考查了复数代数形式的运算，是基础题．11．设为复数的共轭复数，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先求出，从而求出的值即可.【详解】，共轭复数，则.故选：A.【点睛】本题考查复数的运算性质以及共轭复数，是一道基础题.12．为虚数单位，则（）A． B．C． D．【答案】C【解析】分析：由复数的基本运算性质,可得，其中为自然数，则，即可求解答案.点睛：本题主要考查了虚数的运算性质的应用，其中熟记虚数的运算性质，利用乘公比错误相减法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.13．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】分析：由欧拉公式，可得，结合三角函数值的符号，即可得出结论.详解：由欧拉公式，可得，因为，所以表示的复数在复平面中位于第二象限，故选B.点睛：该题考查的是有关复数对应的点在第几象限的问题，在解题的过程中，首先应用欧拉公式将复数表示出来，之后借助于三角函数值的符号求得结果.14．下列3个命题：①若，，则；②若是纯虚数，则；③若，且，则.其中真命题的个数是（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 3【答案】B【解析】分析：通过举反例可判断①错误，由复数的乘法法则判断②正确，由复数的概念可判断③错误.点睛：本题以命题的真假判断为载体考查了复数的基本概念和性质，特殊值排除法常可用于此类问题的求解.15．对于任意的两个数对和，定义运算，若，则复数为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：利用定义，列出方程表示出，分子、分母同时乘以得到的值．详解：因为，又所以所以故选：D．点睛：本题是新定义的问题，解题的关键是理解新定义，将问题转化为熟悉的问题来解决．16．已知复数满足,则等于( )A． B． C． D．【答案】C【解析】分析：由题可知，表示平行四边形的相邻两边，表示平行四边形的一条对角线，求另一条一条对角线的长.点睛：本题考查复数加减法的几何意义，余弦定理等，属中档题.17．定义运算，若复数满足，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：先根据定义运算化简求出复数z,再求详解：由题得iz+z=-2,所以（1+i）z=-2,所以，所以，故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查复数的运算和共轭复数，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复数的共轭复数18．欧拉公式(为虚数单位)，是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将表示的复数记为，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】分析：由欧拉公式可求得，再由复数代数形式的乘法运算化简得结论.详解：，，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.19．对于复数，给出下列三个运算式子：（1），（2），（3）.其中正确的个数是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：根据复数的几何意义可得（1）正确；根据复数模的公式计算可得到（2）正确；根据复数乘法运算法则可判断（3）正确，从而可得结果.点睛：本题主要考查复数模的公式、复数的几何意义、复数乘法的运算法则，意在考查基础知识掌握的熟练程度，以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于难题.20．为虚数单位，则（）A． B．C． D．【答案】C【解析】分析：由复数的基本运算得到，即，即可求解答案.详解：由复数的运算可知，，则，所以，故选C.点睛：本题主要考查了虚数的运算性质的应用，其中熟记虚数的运算性质，得到式子的计算规律是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.21．（1）设集合，，，且，求实数的取值范围.（2）设，是两个复数，已知，，且是纯虚数，求.【答案】(1) .（2）或.【解析】【分析】（1）移项通分，直接利用分式不等式的解法化简集合，然后对分三种情况讨论，分别利用包含关系列不等式求解即可；（2）设，由，可得，由是纯虚数，可得，联立求解即可的结果.【详解】（2）解：设，∵，∴+b2=2√2，即，①又，且是纯虚数，∴②，由①②得，.∴或.【点睛】本题主要考查集合的子集，以及复数的基本运算与基本概念，属于中档题. 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.22．已知【答案】【解析】【分析】把z1、z2代入关系式，化简即可【详解】【点睛】复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.23．已知复数其中i为虚数单位．Ⅰ当实数m取何值时，复数z是纯虚数；Ⅱ若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】分析：，利用纯虚数的定义，由，解出即可得出．利用复数的几何意义，由题意得，解出即可得出．点睛：本题考查了复数的有关知识、不等式的解法、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．已知复数满足: 求的值【答案】【解析】分析：利用复数的运算法则、模的计算公式、复数相等即可得出.详解：设，而即则点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.25．已知，，为实数.（1）若，求；（2）若，求实数，的值.【答案】（1）；（2）-3，2【解析】分析：（1）利用复数乘法的运算法则以及共轭复数的定义化简，利用复数模的公式求解即可；（2）利用复数除法的运算法则将，化为，由复数相等的性质可得，从而可得结果.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分26．已知复数.实数取什么值时，是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？【答案】(1) 当时，为实数.(2) 当时，为虚数.(3) 不存在实数使得为纯虚数.【解析】分析：根据复数的有关概念建立等量关系关系即可．详解：（1）若复数是实数则，即，即a=6．点睛：本题主要考查复数的有关概念，根据实部和虚部的对应关系是解决本题的关键．27．设为虚数单位，为正整数，（1）证明：；（2），利用（1）的结论计算。
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本专题特别注意：1.复数四则运算2. 复数加减的几何意义3. 复数与数列的综合4.复数与二项式定理的综合问题5. 复数的模和共轭复数问题【学习目标】1．理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并会应用．2．了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算．3．了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义，会简单应用．【方法总结】1.设z＝a＋b i(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法.2.实数的共轭复数是它本身，两个纯虚数的积是实数.3.复数问题几何化，利用复数、复数的模、复数运算的几何意义，转化条件和结论，有效利用数和形的结合，取得事半功倍的效果.【高考模拟】一、单选题1．已知，其中是虚数单位，是复数的共轭复数，则复数（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】化简原式，利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，求得复数，从而可得结果. 【详解】，，故选C.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．已知是虚数单位，则复数在复平面上所对应的点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】将复数的分子分母同乘以1+i，利用多项式的乘法分子展开，求出对应的点的坐标．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数．3．（2017·太原市一模）已知是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法计算后取所得结果的共轭即可.【详解】，故所求共轭复数为，故选A.【点睛】本题考察复数的概念及其运算，是基础题.4．已知为虚数单位，复数，则下列命题为真命题的是（）A．的共轭复数为 B．的虚部为-1C．在复平面内对应的点在第一象限 D．【答案】D【解析】【分析】先化简复数z,再判断每一个选项的真假.【点睛】(1)本题主要考查复数的计算，考查复数的几何意义、实部虚部和模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数的实部是a,虚部为b，不是bi.5．欧拉公式 (为虚数本位）是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数的模为( )A． B． C． 1 D．【答案】C【解析】【分析】直接由题意可得=cos+isin，再由复数模的计算公式得答案．【详解】由题意，=cos+isin，∴表示的复数的模为．故选：C．【点睛】本题以欧拉公式为背景，考查利用新定义解决问题的能力，考查了复数模的求法，属于基础题．6．若在复平面内，点所对应的复数为，则复数的虚部为（）A． 12 B． 5 C． D．【答案】D【解析】【分析】先求复数z,再求复数，再求它的虚部.【详解】【点睛】(1)本题主要考查复数的运算和复数的虚部概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数的实部是a,虚部为b，不是bi.7．读了高中才知道，数绝对不止1,2,3啊，比如还有这种奇葩数，他的平方居然是负数！那么复数在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】【分析】运用复数除法法则运算得到结果【详解】由题意得，在复平面内对应的点为在第一象限，【点睛】本题考查了复数的几何意义，根据复数除法法则进行运算化成的形式即可得到答案8．已知是虚数单位，复数是的共轭复数，复数，则下面说法正确的是（）A．在复平面内对应的点落在第四象限 B．C．的虚部为1 D．【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则可得复数=2i﹣2，再根据复数的几何意义、虚部的定义、模的运算性质即可得出．【详解】故选：C．【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义、虚部的定义、模的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．设复数满足，则（）A． 3 B． C． 9 D． 10【答案】A【解析】利用复数的运算法则、共轭复数的性质、模的计算公式即可得出．【详解】【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．复数等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】化简分式，分子、分母分别平方，再按照复数的除法运算法则化简可得结果.【详解】，故选：C【点睛】本题主要考查了复数代数形式的运算，是基础题．11．设为复数的共轭复数，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先求出，从而求出的值即可.，共轭复数，则.故选：A.【点睛】本题考查复数的运算性质以及共轭复数，是一道基础题.12．为虚数单位，则（）A． B．C． D．【答案】C【解析】分析：由复数的基本运算性质,可得，其中为自然数，则，即可求解答案.点睛：本题主要考查了虚数的运算性质的应用，其中熟记虚数的运算性质，利用乘公比错误相减法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.13．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】分析：由欧拉公式，可得，结合三角函数值的符号，即可得出结论.详解：由欧拉公式，可得，因为，所以表示的复数在复平面中位于第二象限，故选B.点睛：该题考查的是有关复数对应的点在第几象限的问题，在解题的过程中，首先应用欧拉公式将复数表示出来，之后借助于三角函数值的符号求得结果.14．下列3个命题：①若，，则；②若是纯虚数，则；③若，且，则.其中真命题的个数是（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 3【答案】B【解析】分析：通过举反例可判断①错误，由复数的乘法法则判断②正确，由复数的概念可判断③错误.点睛：本题以命题的真假判断为载体考查了复数的基本概念和性质，特殊值排除法常可用于此类问题的求解.15．对于任意的两个数对和，定义运算，若，则复数为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：利用定义，列出方程表示出，分子、分母同时乘以得到的值．详解：因为，又所以所以故选：D．点睛：本题是新定义的问题，解题的关键是理解新定义，将问题转化为熟悉的问题来解决．16．已知复数满足,则等于( )A． B． C． D．【答案】C【解析】分析：由题可知，表示平行四边形的相邻两边，表示平行四边形的一条对角线，求另一条一条对角线的长.点睛：本题考查复数加减法的几何意义，余弦定理等，属中档题.17．定义运算，若复数满足，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：先根据定义运算化简求出复数z,再求详解：由题得iz+z=-2,所以（1+i）z=-2,所以，所以，故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查复数的运算和共轭复数，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复数的共轭复数18．欧拉公式(为虚数单位)，是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将表示的复数记为，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】分析：由欧拉公式可求得，再由复数代数形式的乘法运算化简得结论.详解：，，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.19．对于复数，给出下列三个运算式子：（1），（2），（3）.其中正确的个数是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：根据复数的几何意义可得（1）正确；根据复数模的公式计算可得到（2）正确；根据复数乘法运算法则可判断（3）正确，从而可得结果.点睛：本题主要考查复数模的公式、复数的几何意义、复数乘法的运算法则，意在考查基础知识掌握的熟练程度，以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于难题.20．为虚数单位，则（）A． B．C． D．【答案】C【解析】分析：由复数的基本运算得到，即，即可求解答案.详解：由复数的运算可知，，则，所以，故选C.点睛：本题主要考查了虚数的运算性质的应用，其中熟记虚数的运算性质，得到式子的计算规律是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.21．（1）设集合，，，且，求实数的取值范围.（2）设，是两个复数，已知，，且是纯虚数，求.【答案】(1) .（2）或.【解析】【分析】（1）移项通分，直接利用分式不等式的解法化简集合，然后对分三种情况讨论，分别利用包含关系列不等式求解即可；（2）设，由，可得，由是纯虚数，可得，联立求解即可的结果.【详解】（2）解：设，∵，∴+b2=2√2，即，①又，且是纯虚数，∴②，由①②得，.∴或.【点睛】本题主要考查集合的子集，以及复数的基本运算与基本概念，属于中档题. 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.22．已知【答案】【解析】【分析】把z1、z2代入关系式，化简即可【详解】【点睛】复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.23．已知复数其中i为虚数单位．Ⅰ当实数m取何值时，复数z是纯虚数；Ⅱ若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】分析：，利用纯虚数的定义，由，解出即可得出．利用复数的几何意义，由题意得，解出即可得出．点睛：本题考查了复数的有关知识、不等式的解法、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．已知复数满足: 求的值【答案】【解析】分析：利用复数的运算法则、模的计算公式、复数相等即可得出.详解：设，而即则点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.25．已知，，为实数.（1）若，求；（2）若，求实数，的值.【答案】（1）；（2）-3，2【解析】分析：（1）利用复数乘法的运算法则以及共轭复数的定义化简，利用复数模的公式求解即可；（2）利用复数除法的运算法则将，化为，由复数相等的性质可得，从而可得结果.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分26．已知复数.实数取什么值时，是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？【答案】(1) 当时，为实数.(2) 当时，为虚数.(3) 不存在实数使得为纯虚数.【解析】分析：根据复数的有关概念建立等量关系关系即可．详解：（1）若复数是实数则，即，即a=6．点睛：本题主要考查复数的有关概念，根据实部和虚部的对应关系是解决本题的关键．27．设为虚数单位，为正整数，（1）证明：；（2），利用（1）的结论计算。