值域-求值域的方法大全及习题加详解.
值域_求值域的方法大全及习题加详解
求值域方法函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧. 函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域要注意优先考虑定义域常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。
（★★）例2、求函数x 3y -=的值域。
（★★） 答案：值域是：]3,[-∞ 【同步练习1】函数221xy+=的值域. （★★）解：}210{≤<y y（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的X 围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。
（★★）例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
（★★★） 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。
（★★★★）（配方法、换元法）解：………所以当41=x 时，y 有最小值-2。
故所求函数值域为[-2，+∞）。
例4、设02x ≤≤，求函数1()4321xx f x +=-+的值域．解：12()4321(23)8xx x f x +=-+=--，02x ∵≤≤，24x 1∴≤≤．∴当23x =时，函数取得最小值8-；当21x =时，函数取得最大值4-，∴函数的值域为[84]--，． 评注：配方法往往需结合函数图象求值域． 例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
求值域的方法大全及习题
求值域的方法大全及习题求值域方法常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x=∈的值域。
例2、 求函数x 3y -=的值域。
【同步练习1】函数221xy +=的值域.（2）、配方法：二次函数或可转化为形如cx bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R=-+∈的值域。
例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
例3、求()()22log 26log 62log222222-+=++=x x x y 。
（配方法、换元法） 例4、设02x ≤≤，求函数1()4321xx f x +=-+g 的值域．例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
（配方法、换元法）例6、求函数xx y 422+--=的值域。
（配方法）1、求二次函数242y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域.2、求函数342-+-=x x e y 的值域.3、求函数421,[3,2]x xy x --=-+∈-的最大值与最小值.4、求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x xx y 的最大值和最小值. 5、已知[]0,2x ∈，求函数12()4325x xf x -=-⋅+的值域. 6、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。
（3）、换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域． 例1、求()f x x =【同步练习3】求函数xx y 21--=的值域。
求值域的方法大全及习题
求值域方法常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。
例2、 求函数x 3y -=的值域。
【同步练习1】函数221xy +=的值域.（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。
例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。
（配方法、换元法）例4、设02x ≤≤，求函数1()4321x x f x +=-+g的值域．例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
（配方法、换元法）例6、求函数x x y 422+--=的值域。
（配方法） 【同步练习2】1、求二次函数242y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域.2、求函数342-+-=x x e y 的值域.3、求函数421,[3,2]xx y x --=-+∈-的最大值与最小值.4、求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x xx y 的最大值和最小值. 5、已知[]0,2x ∈，求函数12()4325x x f x -=-⋅+的值域.6、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。
（3）、换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．例1、求()f x x =+【同步练习3】求函数x x y 21--=的值域。
高中函数值域的12种求法,极全,极强,免费!!!
一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为 .点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
值域的求法典型习题及解析
值域的求法习题一．解答题（共10小题）1．已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B，求A∩B和（C R A）∩（C R B）．2．已知函数f（x）=x2﹣bx+3，且f（0）=f（4）．（1）求函数y=f（x）的零点，写出满足条件f（x）＜0的x的集合；（2）求函数y=f（x）在区间（0，3]上的值域．3．求函数的值域：．4．求下列函数的值域：（1）y=3x2﹣x+2；（2）；（3）；（4）；（5）（6）；5．求下列函数的值域（1）；（2）；（3）x∈[0，3]且x≠1；（4）．6．求函数的值域：y=|x﹣1|+|x+4|．7．求下列函数的值域．（1）y=﹣x2+x+2；（2）y=3﹣2x，x∈[﹣2，9]；（3）y=x2﹣2x﹣3，x∈（﹣1，2]；（4）y=．8．已知函数f（x）=22x+2x+1+3，求f（x）的值域．9．已知f（x）的值域为，求y=的值域．10．设的值域为[﹣1，4]，求a、b的值．参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B，求A∩B和（C R A）∩（C R B）．可求可求2．已知函数f（x）=x2﹣bx+3，且f（0）=f（4）．（1）求函数y=f（x）的零点，写出满足条件f（x）＜0的x的集合；（2）求函数y=f（x）在区间（0，3]上的值域．x==23．求函数的值域：．得：34．求下列函数的值域：（1）y=3x 2﹣x+2；（2）；（3）；（4）；（5）（6） ﹣+y=的范围，可得==3+，再利用反比例函数求解．t==+）≥，∴，y=y=y===3+，∵≠3+≠的值域为t=型值域，或+b+sin）+∈[，]+﹣，sin）∈，]得：5．求下列函数的值域（1）；（2）；（3）x∈[0，3]且x≠1；（4）．2+t=y=的值域．=1+=5++5，=sin=sin）﹣，]﹣﹣，]）∈，的值域为﹣y==2+，则其函数图象如下的值域为（﹣∝，﹣﹣+2||≥y=的值域为56．求函数的值域：y=|x﹣1|+|x+4|．1|+|x+4|=7．求下列函数的值域．（1）y=﹣x2+x+2；（2）y=3﹣2x，x∈[﹣2，9]；（3）y=x2﹣2x﹣3，x∈（﹣1，2]；（4）y=．，当x=时，7y=； 8．已知函数f （x ）=22x +2x+1+3，求f （x ）的值域．9．已知f （x ）的值域为，求y=的值域．≤，﹣≤≤≤≤，]10．设的值域为[﹣1，4]，求a 、b 的值．∈，4。
高中函数求值域的九种方法和例题讲解
高中函数值域和定义域的大小,是常考的一个知识点,本文介绍了函数求值域最常用的九种方法和例题讲解.一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
值域_求值域的方法大全及习题加详解
左
已知函数 f (x) 的值域
3 8
,
5 9
求函数 y = f (x) + 1− 2 f (x) 的值域.
例 以 求函数 y = x 2 − 2x + 5, x ∈[−1,2] 的值域
解 将函数配方得 y = (x − 1)2 + 4
x ∈[−1,2]
由二次函数的性质 知 当 x称令 时 y min = 4 当 x = −1时 y max = 8
故函数的值域是 与巧 8成
例 左 求 y = 2(log2 2x)2 + 6 log2 x + 6 = 2(log2 x + 2)2 − 2
解 由1− 2x ≥ 0 得 x ≤ 1 2
1 − 2x = t(t ≥ 0)
得 x = 1 − t 2 于是 y = 1 − t 2 − t = − 1 (t + 1)2 + 1 因 t ≥ 0 所 y ≤ 1 故所求函数值域 与-
2
2
2
2
∞
令 以
成
例 以 求函数 y = x 1 − x2 + x 2 的值域
f
(1− t 2 ) = 1− t 2
+t
=
t
−
1 2 2
+
5 4
5 4
所
函数值域
−∞
5 巧
评注 利用引入的新变 t 使原函数消去了根号 转 了关于 t 的一元二次函数 使 题得 解决 用
换元法求函数值域时 必须确定新变 的取值范围 它是新函数的定 域 小结
同 练 左 求函数 y = x − 1 − 2x 的值域
高考求函数值域及最值得方法及例题_训练题
一．观察法:通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域.例1:求函数)+=的值域.y-3x32(点拨：根据算术平方根的性质，先求出)-的值域.32(x解：由算术平方根的性质，知)2(x-≥3。
∴函数的值域为)3-≥0，故3+)2(x3,3[+∞ .点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法:当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域.例2:求函数y=(x+1)/(x+2)的值域.点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数, 故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域. 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域.点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四.判别式法:若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
求值域的方法,带例题
F o r p e s n a u s e o n y s u d y a n d r e s a c h n o f r c m me r c a u s e 1．直接观察法：利用常见函数的值域来求值域或者通过对函数定义域、性质或者图像的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 44|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 44|2-≤}. 练习1．求下列函数的值域① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+=x xy2.分离常数法：分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围。
练习2.求函数11)(+-=x xe e xf 的值域。
3．有解判别法：有解判别法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，并且分子、分母，没有公因式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例1．求函数y=1122+++-x x x x 值域解：原式可化为1)1(22+-=++x x x x y , 整理得2(1)(1)10y x y x y -+++-=， 若y=1,即2x=0,则x=0；若y ≠1,由题∆≥0， 即0)14(-)1(22≥+y-y ,解得331≤≤y 且 y ≠1.综上：值域{y|331≤≤y }.例2．求函数66522-++-=x x x x y 的值域（注意此题分子、分母有公因式，怎么求解呢？）解：把已知函数化为(2)(3)361(2)(3)33x x x y x x x x ---===--+++ (x ≠2且 x ≠-3) 由此可得 y ≠1∵ x=2时 51-=y ∴ 51-≠y∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-}练习3（1）31(1)2x y x x +=≤- （2）221x xy x x -=-+4．二次函数在给定区间上的值域。
求函数值域的12种方法
求函数值域的12种方法函数是中学数学的重要的基本概念之一，它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系，应用十分广泛。
函数的基础性强、概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一，是高考的常见的题型。
下面就函数的值域的求法，举例说如下。
一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
求值域的方法,带例题
1．直接观察法：利用常见函数的值域来求值域或者通过对函数定义域、性质或者图像的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{ay y 4|2≥}；当a<0时，值域为{ay y 4|2}.练习1．求下列函数的值域①y=3x+2(-1≤x ≤1)②xxf -+=42)(③1+=x xy2.分离常数法：分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围。
3．有解判别法：有解判别法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，并且分子、分母，没有公因式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例1．求函数y=1122+++-x x x x 值域解：原式可化为1)1(22+-=++x x x x y , 整理得2(1)(1)10y x y x y -+++-=， 若y=1,即2x=0,则x=0； 若y ≠1,由题∆≥0， 即0)14(-)1(22≥+y-y ,解得331≤≤y 且y ≠1.综上：值域{y|331≤≤y }.例2．求函数66522-++-=x x x x y 的值域（注意此题分子、分母有公因式，怎么求解呢？）解：把已知函数化为(2)(3)361(2)(3)33x x x y x x x x ---===--+++(x?2且x?-3) 由此可得y?1∵x=2时51-=y ∴51-≠y∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为{y|y?1且y?51-}练习3（1）31(1)2x y x x +=≤-（2）221x x y x x -=-+ 4．二次函数在给定区间上的值域。
高中数学，函数值域的求法，方法总结与例题分析
高中数学，函数值域的求法，方法总结与例题分析1、换元法：将函数解析式中关于的部分表达式视为一个整体，并用新元代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出值域（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围（2）换元的作用有两个：① 通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的② 化归：可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理（3）换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程，在有些函数解析式中明显每一项都是与的某个表达式有关，那么自然将这个表达式视为研究对象。
思路：解析式中只含一个根式，所以可将其视为一个整体换元，从而将解析式转为二次函数，求得值域即可。
2、数形结合：即作出函数的图像，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域。
（2）f(x)的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该 f(x)函数的图像，从而利用图像求得函数的值域（3）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式思路：（1）函数为分式，但无法用“变形+换元”的方式进行处理，虽然可以用导数，但求导后需对分子的符号进行进一步研究。
那么换一个视角，从分式的特点可联想到直线的斜率，即是(x,xlnx)与定点(1,-3)连线的斜率，那么只需在坐标系中作出f(x)=xlnx在[2,4]的图像与定点(1,-3)，观察曲线上的点与定点连线斜率的取值范围即可3、函数单调性：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性（增、减）即可快速求出函数的值域。
高中数学求函数值域解题方法大全
高中数学求函数值域解题方法大全高中数学求函数值域解题方法大全一、观察法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围。
例1：求函数y=x+1的值域。
解析：由于x≥-1，所以x+1≥0，因此函数y=x+1的值域为[1,+∞)。
例2：求函数y=1/x的值域。
解析：显然函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，当x>0时，y>0；当x<0时，y<0.因此函数的值域是：例3：已知函数y=(x-1)-1，x∈{-1,1,2}，求函数的值域。
解析：因为x∈{-1,1,2}，而f(-1)=f(3)=3，f(2)=-1，f(1)=-∞，所以：y∈{-1,3}。
注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为x∈R，则函数的值域为{y|y≥-1}。
二、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。
形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数的值域问题，均可使用配方法。
例1：求函数y=x2-2x+5，x∈[-1,2]的值域。
解析：将函数配方得：y=(x-1)2+4，当x=1∈[-1,2]时，y取得最小值4，当x=-1或x=2时，y取得最大值8，因此函数的值域是：[4,8]。
变式：已知f(x)=ax2+bx+c，其中a>0，且在区间[-1,1]内的最小值为1，求函数在[-2,2]上的最值。
解析：由已知，可得a>0，且f(x)在x=0处取得最小值1，即b=0.又因为在区间[-1,1]内的最小值为1，所以a≤4.将f(x)配方得：f(x)=a(x-1)2+1，当x=-2或x=2时，f(x)取得最大值5a+1；当x=1时，f(x)取得最小值1.因此，当a=4时，函数在[-2,2]上的最值分别为9和17.当a<4时，函数在[-2,2]上的最值分别为1和5a+1.三、其他方法：对于一些特殊的函数，可以采用其他方法求解。
例：已知函数f(x)=sinx+cosx，求函数的值域。
求函数值域的方法和例题
求函数值域的方法和例题方法一.观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
基准1求函数y=3+√(2-3x)的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x)的值域。
求解：由算术平方根的性质，言√(2-3x)≥0，故3+√(2-3x)≥3。
∴函数的值域为{y∣y≥3｝.点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。
本题通过轻易观测算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的带发修行，简便清了，算是一种巧法。
练：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝)方法二.反函数法当函数的反函数存有时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
指点：先求出来原函数的反函数，再算出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈r｝。
评测：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件就是原函数存有反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。
(答案：函数的值域为{y∣y1｝)方法三.分体式方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域基准3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
求解：由-x2+x+2≥0,所述函数的定义域为x∈[-1，2]。
此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域就是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
分体式方法就是数学的一种关键的思想方法。
练：求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})方法四.判别式法若可以化成关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,需用判别式法求函数的值域。
求值域的五种方法及例题
求值域的五种方法及例题求值域的五种方法如下：1. 集合法：将函数的所有可能输出值组成一个集合。
例题：对于函数 f(x) = x^2，求其值域。
解答：可以发现，x^2 的结果只能是大于等于 0 的数，因此值域为[0, +∞)。
2. 平移法：通过将函数的图像在纵轴方向上进行平移来确定值域。
例题：对于函数 f(x) = x^2 + 1，求其值域。
解答：函数 x^2 + 1 的图像是一个向上开口的抛物线，平移后的抛物线的顶点就是值域的最小值，因此值域为[1, +∞)。
3. 导数法：通过求函数的导数，判断其单调性，进而找到值域的最大值和最小值。
例题：对于函数 f(x) = x^3，求其值域。
解答：f'(x) = 3x^2，可以看出当 x > 0 时，f'(x) > 0，即函数是单调递增的。
当 x < 0 时，f'(x) < 0，即函数是单调递减的。
因此，最小值为负无穷，最大值为正无穷，值域为 (-∞, +∞)。
4. 逢边法：对于有界区间上的函数，将端点的函数值作为值域的边界。
例题：对于函数 f(x) = sin(x)，求其在区间[0, π] 上的值域。
解答：f(0) = 0，f(π) = sin(π) = 0，在区间[0, π] 上，sin(x) 的最小值和最大值都为 0，因此值域为 [0, 0]，即 {0}。
5. 图像法：通过观察函数的图像来确定其值域。
例题：对于函数f(x) = √x，求其值域。
解答：可以发现，√x 的结果只能是大于等于 0 的数，因此值域为[0, +∞)。
这些方法提供了不同的途径来求解函数的值域，根据具体情况选择合适的方法。
高中数学_求函数值域的方法十三种
高中数学：求函数值域的十三种方法一、观察法（☆ ） 二、配方法（☆） 三、分离常数法（☆） 四、反函数法（☆） 五、判别式法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 七、函数有界性八、函数单调性法（☆）九、图像法（数型结合法）（☆） 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、一一映射法 十三、 多种方法综合运用一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。
【例1】求函数1y =的值域。
0≥11≥，∴函数1y 的值域为[1,)+∞。
【例2】求函数x 1y =的值域。
【解析】∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。
【解析】因为{}2,1,0,1-∈x ，而()()331==-f f ，()()020==f f ，()11-=f 所以：{}3,0,1-∈y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x ∈，则函数的值域为{}1|-≥y y 。
二． 配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。
形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。
【例1】 求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。
【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时，故函数的值域是：[4，8]【变式】已知，求函数的最值。
【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。
将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。
显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。
函数的最小值为，最大值为。
图2【例2】 若函数2()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ，（1）求函数()g t（2）当∈t [-3,-2]时，求g(t)的最值。
（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点三分法） 【解析】(1)函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。
求值域的种方法
求函数值域的十种方法一．直接法观察法：对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到;例1．求函数1y =的值域;解析0≥,11≥,∴函数1y =的值域为[1,)+∞;练习1．求下列函数的值域：①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(；③1+=x xy ；错误!()112--=x y ,{}2,1,0,1-∈x ;参考答案①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)(1,)-∞+∞；错误!{1,0,3}-;二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型;形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题,均可使用配方法;例2．求函数242y x x =-++[1,1]x ∈-的值域;解析2242(2)6y x x x =-++=--+;∵11x -≤≤,∴321x -≤-≤-,∴21(2)9x ≤-≤,∴23(2)65x -≤--+≤,∴35y -≤≤; ∴函数242y x x =-++[1,1]x ∈-的值域为[3,5]-;例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域; 解析本题中含有二次函数可利用配方法求解,为便于计算不妨设：)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ,从而得出：]0,2y ⎡∈⎣;说明：在求解值域最值时,遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为：0)(≥x f ;例4．若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值;分析与解本题可看成第一象限内动点(,)P x y 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值;利用两点(4,0),(0,2)确定一条直线,作出图象易得：2(0,4),(0,2),lg lg lg lg[(42)]lg[2(1)2]x y x y xy y y y ∈∈+==-=--+而,y=1时,y x lg lg +取最大值2lg ;练习2．求下列函数的最大值、最小值与值域：①142+-=x x y ；②]4,3[,142∈+-=x x x y ；③]1,0[,142∈+-=x x x y ；④]5,0[,142∈+-=x x x y ；错误!xx x y 422++=,]4,41[∈x ；错误!y =;参考答案①[3,)-+∞；②[2,1]-；③[2,1]-；④[3,6]-；错误!73[6,]4；错误![0,2] 三．反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域,利用反函数与原函数的关系,求原函数的值域;适用类型：分子、分母只含有一次项的函数即有理分式一次型,也可用于其它易反解出自变量的函数类型;例5．求函数12+=x xy 的值域; 分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x ,从而便于求出反函数;12+=x xy 反解得y y x -=2,故函数的值域为(,2)(2,)-∞+∞;练习1．求函数2332x y x +=-的值域;2．求函数ax b y cx d +=+,0,d c x c ⎛⎫≠≠- ⎪⎝⎭的值域;参考答案1．22(,)(,)33-∞+∞；(,)(,)a ac c-∞+∞; 四．分离变量法：适用类型1：分子、分母是一次函数的有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法;例6：求函数125xy x -=+的值域;解：∵177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++, ∵72025x ≠+,∴12y ≠-,∴函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-;适用类型2：分式且分子、分母中有相似的项,通过该方法可将原函数转化为为)(x f k y ±=为k 常数的形式;例7：求函数122+--=x x x x y 的值域;分析与解：观察分子、分母中均含有x x -2项,可利用分离变量法；则有22221111x x x x y x x x x --+-==-+-+ 21113()24x =--+; 不妨令：)0)(()(1)(,43)21()(2≠=+-=x f x f x g x x f 从而)∞+⎢⎣⎡∈,43)(x f ; 注意：在本题中若出现应排除0)(=x f ,因为)(x f 作为分母.所以4()0,3g x ⎛⎤∈ ⎥⎦⎝故)1,31⎢⎣⎡-∈y ;另解：观察知道本题中分子较为简单,可令222111x x t x x x x-+==+--,求出t 的值域,进而可得到y 的值域;练习1．求函数132222++++=x x x x y 的值域; 参考答案1．10(2,]3五、换元法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数,可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数;其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,当根式里是一次式时,用代数换元；当根式里是二次式时,用三角换元;例8：求函数2y x =+;解：令t =0t ≥,则212t x -=,∴22151()24y t t t =-++=--+;∵当12t =,即38x =时,max 54y =,无最小值;∴函数2y x =5(,]4-∞;例9：求函数2y x =+的值域;解：因21(1)0x -+≥,即2(1)1x +≤;故可令1cos ,[0,]x ββπ+=∈,∴1cos sin cos 11cos y 2+β+β=β-++β=1)4sin(2+π+β=;∵ππβππβ4544,0≤+≤≤≤,sin()14πβ≤+≤,0)114πβ∴≤++≤+故所求函数的值域为]21,0[+;例10.求函数34221x x y x x -=++的值域; 解：原函数可变形为：222121211x x y x x -=-⨯⨯++ 可令X=βtan ,则有222221sin 2,cos 11x x x xββ-==++ 当28k ππβ=-时,max 14y = 当28k ππβ=+时,min 14y =- 而此时βtan 有意义; 故所求函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41 例11. 求函数(sin 1)(cos 1)y x x =++,,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域;解：(sin 1)(cos 1)y x x =++令sin cos x x t +=,则21sin cos (1)2x x t =-由sin cos )4t x x x π=+=+且,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可得：2t ≤≤∴当t =时,max 32y =+当2t =,342y =+故所求函数的值域为33422⎡+⎢⎣; 例12.求函数4y x =+的值域;解：由250x -≥,可得||x ≤故可令,[0,]x ββπ=∈∵0βπ≤≤ 当4πβ=时,max 4y =当βπ=时,min4y =故所求函数的值域为：[44-+六、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根,判别式0∆≥,从而求得原函数的值域,形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++1a 、2a 不同时为零的函数的值域,常用此方法求解;例13：求函数2231x x y x x -+=-+的值域;解：由2231x x y x x -+=-+变形得2(1)(1)30y x y x y ---+-=,当1y =时,此方程无解；当1y ≠时,∵x R ∈,∴2(1)4(1)(3)0y y y ∆=----≥,解得1113y ≤≤,又1y ≠,∴1113y <≤ ∴函数2231x x y x x -+=-+的值域为11{|1}3y y <≤七、函数的单调性法：确定函数在定义域或某个定义域的子集上的单调性,求出函数的值域;例14：求函数y x =-;解：∵当x 增大时,12x -随x 的增大而减少,x 的增大而增大,∴函数y x =-1(,]2-∞上是增函数;∴1122y ≤=,∴函数y x =-1(,]2-∞;例15. 求函数y =;解：原函数可化为：1x 1x 2y -++=令1,121-=+=x y x y ,显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数所以21y y y +=在],1[+∞上也为无上界的增函数 所以当x=1时,21y y y +=有最小值2,原函数有最大值222=显然0y >,故原函数的值域为]2,0(适用类型2：用于求复合函数的值域或最值;原理：同增异减例16：求函数)4(log 221x x y -=的值域; 分析与解：由于函数本身是由一个对数函数外层函数和二次函数内层函数复合而成,故可令：2()4(()0)t x x x t x =-+≥配方得：2()(2)4()0,4)t x x t x =--+∈所以（由复合函数的单调性同增异减知：),2[+∞-∈y ;八、利用有界性：一般用于三角函数型,即利用]1,1[cos ],1,1[sin -∈-∈x x 等;例17：求函数cos sin 3x y x =-的值域;解：由原函数式可得：sin cos 3y x x y -=,可化为：即sin ()x x β+=∵x R ∈∴sin ()[1,1]x x β+∈-即11-≤≤解得：44y -≤≤故函数的值域为44⎡-⎢⎣⎦注：该题还可以使用数形结合法;cos cos 0sin3sin 3x x y x x -==--,利用直线的斜率解题;例18：求函数1212xxy -=+的值域; 解：由1212x xy -=+解得121xy y -=+, ∵20x>,∴101yy->+,∴11y -<< ∴函数1212xxy -=+的值域为(1,1)y ∈-; 九、图像法数形结合法：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目;例19：求函数|3||5|y x x =++-的值域;解：∵22|3||5|822x y x x x -+⎧⎪=++-=⎨⎪-⎩(3)(35)(5)x x x <--≤<≥,∴|3||5|y x x =++-的图像如图所示,由图像知：函数|3||5|y x x =++-的值域为[8,)+∞ 例20.求函数y =;解：原函数可化简得：|2||8|y x x =-++上式可以看成数轴上点Px 到定点A2,(8)B -间的距离之和; 由上图可知,当点P 在线段AB 上时,|2||8|||10y x x AB =-++==当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时,|2||8|||10y x x AB =-++>= 故所求函数的值域为：[10,]+∞例21. 求函数y =;解：原函数可变形为：上式可看成x 轴上的点(,0)P x 到两定点(3,2),(2,1)A B --的距离之和,由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时,min||y AB ===故所求函数的值域为]+∞例22. 求函数y =的值域;解：将函数变形为：y =上式可看成定点A3,2到点Px,0的距离与定点)1,2(B -到点)0,x (P 的距离之差; 即：||||y AP BP =-由图可知：1当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时,如点'P ,则构成'ABP ∆,根据三角形两边之差小于第三边,有||'||'||||AP BP AB -<==即：y <<2当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时,有||||||||AP BP AB -==综上所述,可知函数的值域为：( 例23、：求函数xxy cos 2sin 3--=的值域.分析与解：看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式1212x x y y k --=,将原函数视为定点2,3到动点)sin ,(cos x x 的斜率,又知动点)sin ,(cos x x 满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点2,3到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得：点评：本题从函数本身的形式入手,引入直线的斜率,结合图形,从而使问题得到巧解;例24．求函数x x y -++=11的值域;分析与解答：令x u +=1,x v -=1,则0,0≥≥v u ,222=+v u ,y v u =+,原问题转化为 ：当直线y v u =+与圆222=+v u 在直角坐标系uov 的第一象限有公共点时,求直线的截距的取值范围;由图1知：当y v u =+经过点)2,0(时,2m in =y ；当直线与圆相切时,()2222max ====OC OD y ;所以：值域为22≤≤y十：不等式法：利用基本不等式a b a b c +≥++≥(,,)a b c R +∈,求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧;例25. 求函数2211(sin )(cos )4sin cos y x x x x=+++-的值域; 解：原函数变形为： 当且仅当tan cot x x = 即当4x k ππ=±时()k z ∈,等号成立故原函数的值域为：[5,)+∞例26. 求函数2sin sin 2y x x =的值域; 解：4sin sin cos y x x x =当且仅当22sin 22sin x x =-,即当22sin 3x =时,等号成立;由26427y ≤可得：99y -≤≤故原函数的值域为：⎡⎢⎣⎦十一、 多种方法综合运用：例27. 求函数y =;解：令0)t t =≥,则231x t +=+1当0t >时,211112t y t t t==≤++,当且仅当t=1,即1x =-时取等号,所以102y <≤2当t=0时,y=0;综上所述,函数的值域为：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦注：先换元,后用不等式法例28. 求函数234241212x x x x y x x +-++=++的值域;解：2432424121212x x x x y x x x x -++=+++++ 令tan 2x β=,则22221cos 1x x β⎛⎫-= ⎪+⎝⎭∴当1sin 4β=时,max 1716y = 当sin 1β=-时,min 2y =- 此时tan2β都存在,故函数的值域为172,16⎡⎤-⎢⎥⎣⎦注：此题先用换元法,后用配方法,然后再运用sin β的有界性;总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法;。
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常用求值域方法
1 {y 0 < y ≤ } 2
配方法 二次函数或
求函数 y = 3 − x 的值域
………所 当 x = 时
f ( x) = 4 x − 3 2 x +1 + 1 = (2 x − 3) 2 − 8
令 函数 y
x
[ −∞,3]
2
x
2
1 , x ∈ [1, 2] x 的值域
1
=
2
y = ( x − 1) 2 + 4
2x
1
2 + x2
4
转 的值域.
1 4
x ∈[−1,2]
y min = 4
y 有最小值-2
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解 法 解 解 2 例以 同 练 例 令 求函数 答案 值域是
解
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例 巧 设0
故函数的值域是 与巧 8成
由二次函数的性质 知 当 x称令 时
2 例 令 求函数 y = x − 2 x + 5, x ∈ R 的值域
2 例 以 求函数 y = x − 2x + 5, x ∈ [−1,2] 的值域
0
y=
将函数配方得
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