第3章 动态电路的时域分析

（t≥0）
5、零状态响应曲线： 、零状态响应曲线：
6、时间常数τ：定义τ＝RC 。用来表征一个电路过 、 定义τ 渡过程快慢的物理量。τ 越大，电路过渡过程持续时间 渡过程快慢的物理量。 越大， 一般认为经过3 过渡过程结束。 越长 。一般认为经过3τ～5τ，过渡过程结束。
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所示， ＜ 时电路已处于稳态 时电路已处于稳态； 【例3-3】 电路如图 所示，在t＜0时电路已处于稳态； 】 电路如图3-7所示 闭合， 时的电流i。 在t=0时，开关 闭合，试求 ≥ 0时的电流 。 时 开关S闭合 试求t 时的电流 解：1、先求换路前电 、 容电压uc (0 − ) 。 由图7-7（ ） 由图 （a）可求 出 uc (0− )=
f (t ) = f (0 + )e
− t
τ
t≥0
应该注意的是: RC电路与RL电路的时间常数是 电路与RL 应该注意的是: RC电路与RL电路的时间常数是 不同的，前者τ=RC 后者τ=L/R τ=RC， τ=L/R。 不同的，前者τ=RC，后者τ=L/R。
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3-1-1 动态元件和换路定律
1、动态元件：电容元件、电感元件 动态元件：电容元件、 VAR： VAR： du
iC (t )＝C
C
dt
diL uL (t )= L dt
由于电容元件瞬时的电流不该瞬间的电压，而 是取决于该瞬间电容电压的变化情况，因此电容 元件为动态元件。 同理：电感元件也是动态元件。
当电容电压、电感电流为有限值时， 当电容电压、电感电流为有限值时，则uC 、 i L不能跃变。 不能跃变。
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2、换路定律
（1）换路：当作用于电路的电源发生突变（如电源的接入或撤 换路：当作用于电路的电源发生突变（ ）、电路的结构或参数发生变化时统称为 换路” 电路的结构或参数发生变化时统称为“ 出）、电路的结构或参数发生变化时统称为“换路”。 （2）换路定律：在电路发生换路后的瞬间，电容两端的电压和 ）换路定律：在电路发生换路后的瞬间， 电感中的电流都应保持换路前一瞬间的原有值不变， 电感中的电流都应保持换路前一瞬间的原有值不变，这个结论称 为换路定律。 为换路定律。 若换路发生在t=0时刻 我们把换路前的瞬间记为t=0 时刻， 若换路发生在t=0时刻，我们把换路前的瞬间记为t=0－，换路 后的瞬间记为t=0 后的瞬间记为 ＋，换路定律可表示为
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3.2.1 RC电路的零输入响应
1、电路组成：如图所示；在t=0时，开关S由a合 电路组成：如图所示； =0时 开关S 换路后：电路中无电源作用， 向b。换路后：电路中无电源作用，电路的响应均 是由电容的初始储能而产生，故属于零输入响应。 是由电容的初始储能而产生，故属于零输入响应。 2、电路中各电压、电流的 电路中各电压、 参考方向如图7 参考方向如图7-5所示
3、列方程：由KVL得：uC＋uR＝0 、列方程： 得 其中： 其中：
uC (0+ ) = U 0
uR＝R i
i= iC = C
du C 代入 dt
图3-5 RC电路的零输入响应
动态电路的一阶方程： 得RC动态电路的一阶方程： RC duC + u = 0 动态电路的一阶方程 C dt 4、零状态响应表达式： 、零状态响应表达式： 解此方程得： 结合初始值 uC (0+ ) = U 0 解此方程得： uC (t ) = U 0 e
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从以上求得的RC 和 RL电路零输入响应可知 电路零输入响应可知， 从以上求得的 RC和 RL 电路零输入响应可知 ， RC 对于一阶电路，不仅电容电压、电感电流， 对于一阶电路，不仅电容电压、电感电流，而且 所有电压、电流的零输入响应，都是从它的初始 所有电压、 电流的零输入响应， 值按指数规律衰减到零的。且同一电路中， 值按指数规律衰减到零的。且同一电路中，所有 的电压、电流的时间常数相同。 的电压、电流的时间常数相同。 若用f (t)表示零输入响应 表示零输入响应， 若用f (t)表示零输入响应，用f (0+)表示其初始 值，则零输入响应可用以下通式表示为
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初始值求解举例
【例3-1】 US=10V，R1=R2=R3=5Ω。电路原已达到稳态。在t=0时断 电路原已达到稳态。 开开关S。试求t= 0+ 时电路的初始值uc(0+)、u2(0+)、u3(0+)、 i2(0+)、i3(0+)等。 解：（1）先求uC（0-） ：（1 由于换路前电路处于稳态， 所以电容元件相当于开路， 由原电路可求出
－ t RC
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4、零状态响应表达式： 、零状态响应表达式：
uC (t ) = U 0 e
－ t RC
它是一个随时间衰减的指数函数
电容上的零输入响应电流表达式为： 电容上的零输入响应电流表达式为：
t t － duC U 0 － RC d iC (t )= C e = C (U 0 e RC )= − dt dt R
R1 R1
13Байду номын сангаас
电感的电压表达式： 电感的电压表达式：
u L = −u R = − RI 0 e
−
t
τ
t≥0
4、分别作出 uR 和、uL的波形如图所示。 的波形如图所示。 由图可知， 由图可知，uR及uL都是从各自 的初始值开始， 的初始值开始，然后按同一指数 规律逐渐衰减到零。 规律逐渐衰减到零。 衰减的快慢取决于时间常数τ 衰减的快慢取决于时间常数τ， 这与一阶RC RC零输入电路情况相 这与一阶RC零输入电路情况相 同。 5、时间常数τ：RL电路的时间常数τ＝L /R 。 时间常数τ RL电路的时间常数τ 电路的时间常数
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3.1电路的动态过程
概念：
稳态电路： 稳态电路：是指电路中各处响应恒定不 变或随时间按周期性变化。 变或随时间按周期性变化 动态元件：电容、电感元件。 动态元件：电容、电感元件。 动态电路：含有动态元件的电路。 动态电路：含有动态元件的电路。 过渡过程：含有动态元件的电路， 过渡过程：含有动态元件的电路，从原 有的稳定状态变化到一个新的稳定状态， 有的稳定状态变化到一个新的稳定状态， 往往需要一个过程， 往往需要一个过程，这个过程就叫做过 渡过程。 渡过程。
。 （2）计算其他初始值。将原图中的电容C用短路代替[ uC (0+ ) 计算其他初始值。
用开路代替[ =0]， =0+时的等效电路 =0]； =0]；电感L用开路代替[ iL (0+ )=0]，得t=0+时的等效电路 如图所示， 如图所示，从而求得
i1(0 + ) = 18 = 2 A, i2 (0 + ) = 0 9 iC (0 + ) = i1 (0 + ) = 2 A u L (0 + ) = 18V
10 × 2 =2V 6+2+2
2、作出t≥0时的电路如图（b）所示。 电路的时间常数τ =RC=1×2=2s。
uC (0 + ) = uC (0 − ) = 2V
− t 2
由式（7-5b）可得电容电压为： uc (t ) = 2e t t uC − 2 − duC 进而求得 i1 (t )= =e A iC (t )= C = - 2e 2 A 2 dt
i (t )= i 1 (t ) + iC (t )= − e A
− t 2
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RL电路的零输入响应 3.2.2 RL电路的零输入响应
RL电路的零输入响应，是指电感储存的磁场能量通过电阻进 电路的零输入响应，
行释放的物理过程。如图3 所示，设开关S置于a 行释放的物理过程。如图3-8所示，设开关S置于a时电路已处于稳 =0时 开关S打开， 态，此时电感中电流 I 0 = U S 。在t=0时，开关S打开，电感将通过 R1 释放磁场能。 电阻R释放磁场能。 1、电压、电流的参考方向如图 电压、 电压 所示，开关打开后，根据KVL KVL可 所示，开关打开后，根据KVL可 得方程 uR + uL =0 diL 将： uR = Ri= RiL uL = L 代入得： dt RL电路的零输入响应 动态方程： 2、动态方程： L diL + iL ＝0 R dt R － t U S － R t U S －τt 3、RL电路的零输入响应： iL (t )= I 0 e L = e L = e
uC (0+ ) = uC (0− ) iL (0+ ) = iL (0− )
需要特别注意：除电容电压和电感电流外，其余各处电压电流 需要特别注意：除电容电压和电感电流外， 不受换路定律的约束，换路前后可能发生跃变。 不受换路定律的约束，换路前后可能发生跃变。
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3-1-2 电路初始值及计算
求解方法如下： 求解方法如下： （1）由换路前的稳态电路，即t=0－时的电路计算出电容电 由换路前的稳态电路， 压或电感电流； 压或电感电流； （2）根据换路定律可以得到换路后t＝0＋瞬间电容电压和 根据换路定律可以得到换路后t 电感电流的初始值， （或）电感电流的初始值，即
uC (0+ ) = uC (0− ) iL (0+ ) = iL (0− )
u2 (0+ )＝R2 i2 (0+ )
u3 (0+ )＝R3 i3 (0+ )
=5×0.5=2.5V
= −5×0.5= −2.5V ×
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电路如下图（ 所示，开关S闭合前电路处于稳态， 【例3-2】 电路如下图（a）所示，开关S闭合前电路处于稳态，在 t=0时S闭合，试求S闭合后的初始值 =0时 闭合，试求S
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3.2 一阶电路的零输入响应
概述 动态电路的响应来源于两部分：一是外加激励， 动态电路的响应来源于两部分：一是外加激励， 二是电路的初始储能（初始状态）， ），或是二者共 二是电路的初始储能（初始状态），或是二者共 同起作用。 同起作用。 零输入响应：外加激励为零， 零输入响应 ： 外加激励为零 ， 仅由初始状态所 引起的响应； 引起的响应； 零状态响应：初始储能为零， 零状态响应 ： 初始储能为零 ， 而只由初始时刻 的输入激励所引起的响应； 的输入激励所引起的响应； 全响应：由二者共同作用所引起的响应则称为。 全响应 ： 由二者共同作用所引起的响应则称为 。 本节先讨论零输入响应。 本节先讨论零输入响应。