浙教版七年级数学下册 4.1 因式分解
浙教版七下第六章《因式分解》教案(1)
浙教版七下第六章《因式分解》教案一、教学内容本节课选自浙教版七年级下册数学教材第六章《因式分解》的第一课时。
详细内容包括教材第6.1节，主要讲解因式分解的概念、方法和应用。
具体涉及提取公因式法、公式法等基本因式分解方法。
二、教学目标1. 理解因式分解的概念，掌握提取公因式法和公式法进行因式分解；2. 能够运用因式分解解决一些实际问题，提高解决问题的能力；3. 培养学生的观察能力、逻辑思维能力和运算能力。
三、教学难点与重点教学难点：提取公因式法和公式法的灵活运用。
教学重点：理解因式分解的概念，掌握基本因式分解方法。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备；2. 学具：教材、练习本、草稿纸。
五、教学过程1. 导入新课：通过一个实践情景引入，如“小明的计算器按键坏了，只能进行乘法运算，现在他想计算一个多项式的值，你能帮他简化计算过程吗？”引导学生思考如何简化计算过程，从而引出因式分解的概念。
2. 讲解新课：（1）讲解因式分解的概念，让学生明确因式分解的意义；（2）讲解提取公因式法，通过例题演示，让学生掌握提取公因式的方法；（3）讲解公式法，通过例题演示，让学生掌握公式法进行因式分解；3. 随堂练习：布置一些具有代表性的题目，让学生独立完成，及时巩固所学知识；六、板书设计1. 因式分解的概念；2. 提取公因式法；3. 公式法；4. 例题及解答过程；5. 课堂小结。
七、作业设计1. 作业题目：（1）分解因式：x^2 4；（2）分解因式：a^2 + 2ab + b^2；（3）分解因式：6x^2 9x。
2. 答案：（1）(x + 2)(x 2)；（2）(a + b)^2；（3）3x(2x 3)。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对因式分解的概念和方法掌握程度，以及课堂讲解的清晰度；2. 拓展延伸：布置一道具有挑战性的题目，让学生在课后思考和探究，提高学生的自主学习能力。
例如：已知a、b、c是正整数，且满足a^3 + b^3 = c^3，试证明a、b、c中必有一个是3的倍数。
浙教版七年级数学下册知识点汇总-精品
浙教版七年级数学下册知识点汇总七年级（下册）1.平行线1.1.平行线在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
“平行”用符号“//”表示。
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
如图所示：同位角：∠1和∠5内错角：∠3和∠5同旁内角：∠4和∠51.3.平行线的判定两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
(同位角相等，两直线平行)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
(内错角相等，两直线平行)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
(同旁内角互补，两直线平行)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
1.4.平行线的性质两条直线被第三条直线所截，同位角相等。
(两直线平行，同位角相等)两条直线被第三条直线所截，内错角相等。
(两直线平行，内错角相等)两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补。
(两直线平行，同旁内角互补)1.5.图形的平移图形平移的定义：一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相同的距离，这样的图形运动叫做图形的平移。
图形平移的性质：（1）图形平移不改变图形的形状和大小。
（2）一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。
图形平移的描述：要描述一个平移，必须先指出平移的方向和距离。
平移的方向和距离是决定平移的因素。
平移图形的画法：（1）找出原图形的关键点（如顶点或者端点）（2）按平移的方向和距离分别描出各个关键点平移后的对应点（3）按原图将各对应点顺次连接2.二元一次方程组2.1.二元一次方程像0.6x + 0.8y = 3.8这样，含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。
2.2.二元一次方程组由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。
浙教版七年级数学下册因式分解的应用
第九讲 因式分解的应用思维导图重难点分析重点分析：因式分解的应用极其广泛，因式分解的实质是把和或差化成积的一种代数变换.应用因式分解解决数学问题或实际问题是一种常用的数学基本方法和运算技巧，对后续分式、一元二次方程等知识有很大帮助.本节中主要涉及数的计算、多项式除法、代数的求值或恒等变形以及解一些简单的二次方程等.难点分析：因式分解法解方程主要是将方程分解为“A·B=0”的形式，即“若A·B=0，则有A=0或B=0”.应用因式分解法解决数学问题或实际问题时要注意结合换元法、配方法、待定系数法等重要的数学方法.例题精析例1、计算：（1）［（m+n ）2-4（m-n ）2］÷（3n-m ）；（2）［（a-2b ）2-4（a-2b ）+4］÷（a-2b-2）.思路点拨：关键在于对被除式进行因式分解，分解后与除式之间的关系就显而易见.解题过程：（1）原式=（m+n+2m-2n ）（m+n-2m+2n ）÷（3n-m ）=（3m-n ）（3n-m ）÷（3n-m ）=3m-n.（2）原式=（a-2b-2）2÷（a-2b-2）=a-2b-2.方法归纳：我们现在所接触的多项式除以多项式都是利用因式分解来解决的，都是能整除的情况.易错误区：因式分解时，注意应用去括号或添括号法则时符号的变化.例2、解方程：（1）2x 2-3x=0； （2）x （2x-3）=4x-6； （3）16（x+1）2=25（x-2）2.思路点拨：借助因式分解来解一元二次方程，把所有项移到等式左边进行因式分解，再依据“如果若干个数之积为零，那么至少有一个数为零”这一性质求解.事实上就是把一元二次方程转化为两个一元一次方程，达到降次的目的，实现从未知到已知的转化.解题过程：（1）∵2x 2-3x=0,∴x（2x-3）=0.∴x 1=0，x 2=23. （2）∵x（2x-3）=4x-6，∴x（2x-3）-2（2x-3）=0. ∴（x-2）（2x-3）=0.∴x 1=2，x 2=23. （3）∵16（x+1）2=25(x-2)2，∴16（x+1）2-25（x-2）2=0.∴（4x+4+5x-10）（4x+4-5x+10）=0.∴（9x-6）（14-x ）=0.∴x 1=23，x 2=14. 方法归纳：因式分解在解一元二次方程或一元高次方程中有很好的应用.对于第（3）题也可以直接用开平方的方法，这时会出现两种情况：4（x+1）=5（x-2）或4（x+1）=-5（x-2）.一般情况下，一元二次方程要有解就会有两个解，分别用x1和x2表示.易错误区：对于方程（3），不能简单地两边同时除以2x-3得到x=2，这样会造成没有考虑2x-3=0这一情况而导致漏根.例3、在学习中，小明发现：①32-12=9-1=8=1×8；②52-12=25-1=24=3×8；③112-12=121-1=120=15×8；④172-12=289-1=288=36×8，…于是小明猜想：当n为任意正奇数时，n2-1的值一定是8的倍数，你认为小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由.思路点拨：用2k+1表示奇数，再对n2-1因式分解，分析因式分解结果中的因式，判断是不是8的倍数.解题过程：小明的猜想正确.理由：∵n为奇数，∴可设n=2k+1（k为自然数）.∴n2-1=（2k+1）2-1=（2k+1+1）（2k+1-1）=（2k+2）×2k=4k（k+1）.∵k为自然数，∴k，k+1是两个相邻的自然数.∴k，k+1中必有一个是偶数，一个是奇数.∴k（k+1）必定是2的倍数.∴4k（k+1）必定是8的倍数.故当n为任意正奇数时，n2-1的值一定是8的倍数.方法归纳：本题考查了因式分解的应用，先猜想结论，再进行验证.数的奇偶性判断是本题的难点.易错误区：k与k+1是相邻的两个整数，必定是一奇一偶，所以4k（k+1）不仅仅是4的倍数还是8的倍数.例4、如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的小长方形，且m＞n.（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为；（2）若每块小长方形的面积为10，四个正方形的面积之和为58，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和.思路点拨：（1）据图由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；（2）根据四个正方形的面积之和为58，以及每块小长方形的面积为10，得出等式求出m+n，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可.解题过程：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）.（2）依题意，得2m2+2n2=58，mn=10，∴m2+n2=29.∵（m+n）2=m2+2mn+n2，∴（m+n）2=29+2×10=49.∵m+n＞0，∴m+n=7.∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为2(m+2n)+2(2m+n)=6(m+n)=42.方法归纳：本题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题关键.易错误区：解题时要注意（m+n）2=49时，m+n是49的平方根，结果有两个，但涉及实际问题，要将负的值舍去，要明确平方根与算术平方根的区别与联系.例5、如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，我们就把这样的自然数叫做“和谐数”.例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”.再如：33，181，212，4664等都是“和谐数”.（1）请你直接写出3个四位数的“和谐数”，猜想任意一个四位数的“和谐数”能否被11整除，并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位数的“和谐数”，设个位上的数字为x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，写出y与x之间的关系式（用x表示y).思路点拨：（1）根据“和谐数”的定义写出3个四位数的“和谐数”；设任意四位数的“和谐数”的形式为：abba（a，b为自然数），则这个四位数为a×103+b×102+b×10+a=1001a+110b，通过提取公因式可判断任意四位数的“和谐数”都可以被11整除；（2）设能被11整除的三位数的“和谐数”为：x×102+y×10+x=101x+10y，由于1110101y x +=9x+y+112y x -，根据整数的整除性得到2x-y=0，于是可得y 与x 之间的关系式.解题过程：（1）四位数的“和谐数”：1221，1331，1111，6666.任意一个四位数的“和谐数”都能被11整除，理由如下：设任意四位数的“和谐数”的形式为：abba （a ，b 为自然数），则a×103+b×102+b×10+a=1001a+110b.∵1001a+110b=11(91a+10b)， ∴四位数的“和谐数”abba 能被11整除.∴任意四位数的“和谐数”都可以被11整除.（2）设能被11整除的三位数的“和谐数”为：xyx ，则x×102+y×10+x=101x+10y， 则1110101y x +=9x+y+112y x -. ∵1≤x≤4，101x+10y 能被11整除，∴2x -y=0.∴y=2x（1≤x≤4）.方法归纳：本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题.灵活利用整数的整除性.易错误区：一要注意十进制多位数的正确表示方法，二要注意x ，y 的取值.探究提升例、已知整数a ，b 满足6ab=9a-10b+16，求a+b 的值.思路点拨：运用因式分解法把原来的等式变形为（3a+5）（2b-3）=1，再根据两个整数的乘积是1，只有1×1和（-1）×（-1）两种情况，再进一步解方程组即可.解题过程：由6ab=9a-10b+16，得6ab-9a+10b-15=16-15.∴（3a+5）（2b-3）=1.∵3a+5，2b-3都为整数，∴⎩⎨⎧==+13-2b ,153a 或⎩⎨⎧==+-1.3-2b ,-153a ∴⎪⎩⎪⎨⎧==2b ,34-a 或⎩⎨⎧==1.b ,-2a ∵a，b 为整数，∴⎩⎨⎧==1.b ,-2a 故a+b=-1. 方法归纳：因式分解法是解高次不定方程的重要方法，要注意本题的方法与因式分解解一元二次方程的方法的区别，解一元二次方程一般方程右边变为零，而解不定方程的右边只要为整数，然后分析整数的约数即可.易错误区：A·B=1且A 和B 均为整数，则有A=1，B=1或A=-1，B=-1，不要漏掉两个都是-1这种情况.专项训练走进重高1.【杭州】设a ，b 是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b ）2-（a-b ）2，则下列结论：①若a@b=0，则a=0或b=0;②a@（b+c ）=a@b+a@c;③不存在实数a ，b ，满足a@b=a 2+5b 2;④设a ，b 是长方形的长和宽，若长方形的周长固定，则当a=b 时，a@b 最大.其中正确的是（ ）.A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③2.数348-1能被30以内的两位数（偶数）整除，这个数是 .3.【遂宁】阅读下面的文字与例题.将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm ）+（an+bn ）=m （a+b ）+n （a+b ）=（a+b ）（m+n ）；（2）x 2-y 2-2y-1=x 2-（y 2+2y+1）=x 2-（y+1）2=（x+y+1）（x-y-1）.试用上述方法分解因式：a 2+2ab+ac+bc+b 2= .4.【杭州】设y=kx ，是否存在实数k ，使得代数式（x 2-y 2）（4x 2-y 2）+3x 2（4x 2-y 2）能化简为x 4？若能，请求出所有满足条件的k 的值；若不能，请说明理由.高分夺冠1.已知a 2（b+c ）=b 2（a+c ）=2015，且a ，b ，c 互不相等，则c 2（a+b ）-2014的值为（）. A.0 B.1 C.2015 D.-20152.x 2-3xy-4y 2-x+by-2能分解为两个关于x ，y 的一次式的乘积，则b= .3.求方程5x 2+5y 2+8xy+2y-2x+2=0的实数解.4.若x 为整数，则x （x+1）（x-1）（x+2）+1是一个整数的平方.请说明理由.5.已知正实数a ，b ，c 满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++25,2bc a2c 18,2ab c2b 29,2ac b2a 求a+b+c 的值.。
浙教版七年级下数学因式分解难题
一■分式知识要点回顾1.因式分解几中常用方法①提取公因式法。
②乘法公式法：a2-b2二a b a-b ；a2_2ab b2二a_b 2。
③分组分解法：ma mb na nb = m a b n a b j i：a b m n。
④十字相乘法：x2・a・bx・ab=x・ax・b。
2.分式的有关概念A A .C A A 十C(1 )分式的基本性质：一=——C或—= --------- (C M0),其中A , B, C均为整式。
B B *C B B + C(2)分式的约分分式的约分依据是分式的基本性质，约去分子和分母中相同因式的最低次幕，约去分子和分母系数的最大公约数。
(3)分式的通分把两个或多个因式通分，先求出各个分式分母的最简公分母，再用分式的基本性质变形，达到通分目的。
(4)分式的运算①分式乘法法则： a c•—=ac - 。
b d bd②分式除法法则： a c / d : _ adb d bc bca c a 二c③分式的加减法：(1)同分母分式相加减：；(2)异分母分式相加减:b b ba c ad bc ad 二bc———= 十 = -------------- 。
b 一d bd bd bd3.分式方程(1)定义：只含分式或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
(2)解分式方程。
温馨提示：(1)在方程两边都乘以最简公分母时，切勿漏项；(2)验根是必要步骤。
二•巩固练习1.解下列分式方程‘ 2 小x 1 -x 2x (2)x_2 x -5x 6 x_3 2 -x , 11 -x -3 3 - x2.因式分解2 2a -6ab 12b 9b -4a x2_ 2xy「xz yz y2x2 -7x 6 x2 4x - 523x -11x 10 2x -11x 242 2x y 「3xy 2 2y -12y-282 2 2 x 4 -16xx 2「4xy _1 4y 2o12a b x-y -4ab y-x3.分式的混合运算(a 2-5a 21) 且-b . a? -a+2b‘ a 2+4ab+4 b 2a 1 a 1a —1 a -2a 1 a亠 a 2 -42 2xr. E y _ 2y打如* x2+6xy+9y £ 时卩2x-6 ,4-4x x 2(x 3)x 2 x -6 3—x其中a=1.4. 化简求值2x 2x -8/ X -2 x 4、—2十(x 3 2x xx x 1a 2「5a 6 a 2 -5a 4 a 「3 T—2 2a —16 a -4 a 41 —x 3 (2)x^ g 厂2)，其中1 x= . 25•计算2 2x -x_2x x-6X2_X_6 X2X_2的结果是6.当m为非负数时，求代数式———3有最大值还是最小值，并求出此最值。
浙教版数学七年级下册《4.1 因式分解》教学设计2
浙教版数学七年级下册《4.1 因式分解》教学设计2一. 教材分析浙教版数学七年级下册《4.1 因式分解》是学生在掌握了整式的乘法运算和多项式相等的基础知识后，进一步学习的知识点。
这一节内容主要介绍了因式分解的定义、方法和应用。
教材通过具体的例子，引导学生掌握因式分解的基本技巧，并能够灵活运用到实际问题中。
本节课的内容是学生后续学习二次方程、二次不等式等知识的基础，具有重要的意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法运算和多项式相等的基础知识。
他们能够进行简单的整式乘法运算，但对于因式分解的概念和方法可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要通过具体的例子，引导学生理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法，能够对简单的多项式进行因式分解。
2.过程与方法：通过具体的例子，引导学生掌握因式分解的基本技巧，并能够灵活运用到实际问题中。
3.情感态度与价值观：培养学生的逻辑思维能力，提高学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的概念和方法。
2.难点：如何引导学生理解因式分解的概念，以及如何让学生掌握因式分解的方法。
五. 教学方法1.情境教学法：通过具体的例子，引导学生理解因式分解的概念。
2.启发式教学法：通过提问和引导学生思考，激发学生的学习兴趣和动力。
3.小组合作学习：让学生在小组内进行讨论和实践，提高学生的合作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示具体的例子和教学内容。
2.练习题：准备一些因式分解的练习题，用于巩固学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的例子，引导学生思考如何将一个多项式进行分解。
例如，给出多项式x^2 + 2x + 1，引导学生思考如何将其分解。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT展示因式分解的定义和方法，让学生了解因式分解的概念和基本技巧。
第4章 因式分解-开放与探究：因式分解的六种常见方法习题课件
分类训练 9．分解因式：x4＋14. 【点拨】本题直接分解因式很困难，考虑到添加辅助项使其符合 公式特征，因此将原式添上 x2 与－x2 两项后，便可通过分组使 其符合平方差公式的结构特征，从而将原多项式进行因式分解．
浙教版 七年级下
第四章 因式分解
开放与探究(四) 因式分解的六种常见方法
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分类训练 6．分解因式：(x＋3)(x＋4)＋(x2－9)．
解：原式＝(x＋3)(x＋4)＋(x＋3)(x－3) ＝(x＋3)[(x＋4)＋(x－3)] ＝(x＋3)(2x＋1)．
【点拨】解此题时，表面上看不能分解因式，但通过局部分解后， 发现有公因式可以提取，从而将原多项式分解因式．
分类训练 7．把下列各式分解因式： (1)x(x＋4)＋4；
分类训练 13．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.
【点拨】这里巧妙地把－5 拆成 4－9.“凑”成(x2－4x＋4)和 (y2－6y＋9)两个整体，从而运用公式法分解因式．
解：原式＝(x2－4x＋4)－(y2－6y＋9) ＝(x－2)2－(y－3)2 ＝(x＋y－5)(x－y＋1)．
分类训练
解：原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2.
浙教版七年级数学下册课件 4.1 因式分解
是因式分解，而是整式乘法，故B错误；因为a2＋ a－5＝(a－2)(a＋3)＋1，结果不是积的形式，因
此不是因式分解，故C错误；x2y＋xy2＝xy(x＋y)，
符合因式分解的概念，因此是因式分解，故D正 确．
（来自《点拨》）
知1－讲
总 结
识别某个等式的变形是因式分解的方法，关键扣 住两点：一是等式的左边是多项式；二是等式的右边 是整式的积．
1 a a B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
A．a2＋1＝a C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
（来自《点拨》）
知1－讲
1 导引： 紧扣因式分解的定义进行判断．因为 不是整式， a 1 2 所以a ＋1＝a a 不是因式分解，故A错误； a 因为(x＋1)(x－1)＝x2－1不是和差化积，因此不
要点精析：
(1)研究的对象是多项式，结果是整式的积． (2)因式分解是恒等变形，形式改变但值不改变．
(3)因式分解必须分解到多项式的每个因式不能再分
解为止． (4)因式分解是有范围的，若无特殊说明，一般在有 理数范围内分解，有时也要求在实数范围内分解.
（来自《点拨》）
知1－讲
例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( D )
（来自《教材》）
知2－讲
例3 (中考· 毕节)下列因式分解正确的是( B ) A．x3y－2x2y＋xy＝xy(x2－2x) 2 1 1 2 B．x －x＋ ＝ x 4 2 C．x2－2x＋4＝(x－2)2
D．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)
导引： 根据因式分解与整式乘法的关系逆向判断．利用整 式的乘法法则将各选项中的等式的右边展开，与等 式的左边相比较，左右两边相同的只有B选项．
浙教版七年级下册数学第四章 因式分解含答案(高分练习)
A.x2﹣4=（x+2）（x﹣2） B.1﹣（x+2）2=（x+1）（x+3） C.2m2n﹣8n3=2n（m2﹣4n2） D.
4、下列因式分解正确的是（ ）
A.x2﹣y2=（x﹣y）2B.a2+a+1=（a+1）2C.xy﹣x=x（y﹣1） D.2x+y=2（x+y）
一、单选题(共15题，共计45分)
1、B
2、D
3、A
4、C
5、D
6、A
7、B
8、B
9、C
10、C
11、B
12、
13、B
14、D
15、D
二、填空题(共10题，共计30分)
16、
17、
18、
19、
20、
21、
22、
23、
24、
25、
三、解答题(共5题，共计25分)
26、
27、
28、
29、
30、
28、已知实数 满足 且 ，求 的值.
29、分解因式：
（1）2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）
（2）﹣a4+16
（3）（a+b）2﹣12（a+b）+36
（4）（a+5）（a﹣5）+7（a+1）
30、化简求值：当a=2005时，求﹣3a2（a2﹣2a﹣3）+3a（a3﹣2a2﹣3a）+2005的值．
Hale Waihona Puke 参考答案浙教版七年级下册数学第四章 因式分解含答案
一、单选题(共15题，共计45分)
1、下列因式分解正确的是（ ）
A.x2﹣y2=（x﹣y）2B.﹣a+a2=﹣a（1﹣a） C.4x2﹣4x+1=4x（x﹣1）+1 D.a2﹣4b2=（a+4b）（a﹣4b）
浙教版数学七年级下册4.1《因式分解》教学设计
浙教版数学七年级下册4.1《因式分解》教学设计一. 教材分析《因式分解》是浙教版数学七年级下册第4章第1节的内容。
本节课的主要内容是让学生掌握因式分解的定义、意义及方法，能够运用因式分解解决一些实际问题。
教材通过引入实例，引导学生发现因式分解的规律，进而总结出因式分解的方法。
教材内容由浅入深，循序渐进，有利于学生掌握。
二. 学情分析学生在七年级上学期已经学习了整式的乘法，对单项式和多项式的乘法有一定的了解。
但因式分解与整式乘法在思维方式上有所不同，学生可能需要一定的时间来适应。
另外，学生可能对一些抽象的概念和符号理解起来有一定困难，需要教师在教学中给予引导和帮助。
三. 教学目标1.知识与技能：理解因式分解的定义，掌握因式分解的方法，能够对一些简单的不等式进行因式分解。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探索因式分解的方法，培养学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学的实用性，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的定义和方法。
2.难点：因式分解的思路和方法的运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等教学方法。
通过设置问题，引导学生自主探索，合作交流，从而掌握因式分解的方法。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。
2.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题——因式分解。
例如：已知某数的平方加上32等于这个数的三倍，求这个数。
让学生尝试解决这个问题，从而引出因式分解的概念。
2.呈现（10分钟）呈现因式分解的定义和意义，以及因式分解的方法。
通过讲解和示例，让学生理解因式分解的本质，掌握因式分解的方法。
3.操练（10分钟）让学生进行一些因式分解的练习，巩固所学知识。
教师可适时给予指导和帮助，让学生逐步熟练掌握因式分解的方法。
4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习，让学生运用因式分解解决实际问题。
2024年《因式分解》说课稿
2024年《因式分解》说课稿2024年《因式分解》说课稿1一、说教材1、说教材的地位与作用。
我今天说课的内容是浙教版数学七年级下册第六章第一节内容《因式分解》。
因式分解就整个数学而言，它是打开整个代数宝库的一把钥匙。
就本节课而言，着重阐述了两个方面，一是因式分解的概念，二是与整式乘法的相互关系。
它是在学生掌握了因数分解、整式乘法的基础上来讨论因式分解概念，通过这节课的学习，不仅使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为后面学习分式、解方程及代数式的恒等变形作铺垫。
因此，它起到了承上启下的作用。
二、说目标1、教学目标。
《新课标》指出“初中数学的教学，不仅要使学生学好基础知识，发展能力，还要注意培养学生初步的辩证唯物主义观点。
”因此，根据本节内容所处的地位，我定如下教学目标：知识目标：理解因式分解的概念和意义，掌握因式分解与整式乘法之间的关系。
能力目标：①经历从分解因数到分解因式的类比过程，培养学生的观察、发现、类比、化归、概括等能力；②通过对因式分解与整式乘法的关系的理解，克服学生的思维定势，培养他们的逆向思维能力；情感目标：培养学生乐于探究，合作的习惯，体验探索成功，感受到成功的乐趣。
2、教重点与难点。
重点是因式分解的概念。
理由是理解因式分解的概念的本质属性是学习整章因式分解的灵魂。
难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，理由是学生由整式乘法到因式分解的变形是一个逆向思维。
在前面学了较长时间的整式乘法，造成思维定势，学生容易产生“倒摄抑制”作用，阻碍学生新概念的形成。
三、说教法1、教法分析针对初一学生的年龄特点和心理特征，以及他们的知识水平，我采用启发式、发现法等教学方法，培养学生分析问题，解决问题的能力。
同时遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原则。
2、学法指导在教师的启发下，让学生成为行为主体。
正如《新课标》所要求的，让学生“动手实践、自主探索、合作交流”。
3、教学手段采用多媒体辅助教学，增加课堂容量，提高教学效果。
七年级数学下册 第4章 因式分解 4.1 因式分解教案 (新版)浙教版
4.1 因式分解教学目标：(一)教学知识点使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系．(二)能力训练要求通过观察，发现因式分解与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力．(三)情感与价值观要求通过观察，推导因式分解与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系．教学重、难点：教学重点：1．理解因式分解的意义．2．识别因式分解与整式乘法的关系．教学难点：通过观察，归纳因式分解与整式乘法的关系．教学过程：一、创设情境，导入新课[师]大家会计算(a+b)(a-b)吗？[生]会．(a+b)(a-b)=a2-b2．[师]对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的．从式子(a+b)(a-b)=a2-b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2-b2=(a+b)(a-b)是否成立呢？[生]能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2-b2与(a+b)(a-b)既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立．[师]很好，a2-b2=(a+b)(a-b)是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题．二、明确目标，互助探究：1､想一想由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算？由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？[生]由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是因式分解，这两种过程正好相反．[生]由(a+b)(a-b)=a2-b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2-b2=(a+b)(a-b)来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这两个过程正好相反．[师]非常棒．下面我们一起来总结一下．如：m(a+b+c)=ma+mb+mc (1)ma+mb+mc=m(a+b+c) (2)联系：等式(1)和(2)是同一个多项式的两种不同表现形式．区别：等式(1)是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算．等式(2)是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解．即ma+mb+mc m(a+b+c)．所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形．2､议一议你能尝试把a3-a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流．[师]大家可以观察a3-a与993-99这两个代数式．[生]a3-a=a(a2-1)=a(a-1)(a+1)3､做一做(1)计算下列各式：①(m+4)(m-4)=__________；②(y-3)2=__________；③3x(x-1)=__________；④m(a+b+c)=__________；⑤a(a+1)(a-1)=__________．[生]解：①(m+4)(m-4)=m2-16；②(y-3)2=y2-6y+9；③3x(x-1)=3x2-3x；④m(a+b+c)=ma+mb+mc；⑤a(a+1)(a-1)=a(a2-1)=a3-a．(2)根据上面的算式填空：①3x2-3x=( )( )；②m2-16=( )( )；③ma+mb+mc=( )( )；④y2-6y+9=( )2．⑤a3-a=( )( )．[生]把等号左右两边的式子调换一下即可．即：①3x2-3x=3x(x-1)；②m2-16=(m+4)(m-4)；③ma+mb+mc=m(a+b+c)；④y2-6y+9=(y-3)2；⑤a3-a=a(a2-1)=a(a+1)(a-1)．[师]能分析一下两个题中的形式变换吗？[生]在(1)中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在(2)中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式．[师]在(1)中我们知道从左边推右边是整式乘法；在(2)中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(factorization)．4､练习下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？(1)4a(a+2b)=4a2+8ab；(2)6ax-3ax2=3ax(2-x)；(3)a2-4=(a+2)(a-2)；(4)x2-3x+2=x(x-3)+2．[生](1)左边是整式乘积的形式，右边是一个多项式，因此从左到右是整式乘法，而不是因式分解；(2)左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分解；(3)和(2)相同，是因式分解；(4)是因式分解．[师]大家认可吗？[生]第(4)题不对，因为虽然x2-3x=x(x-3)，但是等号右边x(x-3)+2整体来说它还是一个多项式的形式，而不是乘积的形式，所以(4)的变形不是因式分解．三、总结归纳，课堂反馈本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与因式分解的关系是相反方向的变形．。
浙教版七年级下册 4.1因式分解(共14张PPT)
下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？
a a ( a 1) 2 （2）( a 3)( a 3) a 9
（ 1） a
2
是 不是
（ 3） （ 4） x
2
4 x 4 x 1 (2 x 1)
2
2
是
不是 不是 不是
3x 1 x ( x 3) 1 1 2 （ 5） x 1 x ( x ) x 3 2 （6） 18a bc 3a b6ac
(x+y)(x+2y) = x² +3xy+2y²
例 2 手工课上，老师给某同学发下一张如左图形状的纸张，
要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图形状的长 方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你能帮助这个同 学解决这个问题吗？能给出数学解释吗？
a2-b2=（a+b）（a-b）
例3 计算下列各题，并说明你的算法。数乘法 )
30 = 2×3×5 ( 因数分解 ) 2.在初中里,我们学过: x (x + y) = x2 + xy ( 整式乘法 ) x2 + xy = x (x + y) (
?
)
2. 按要求填表： 整式的乘法
多项式转化为几个整式的积
a(a+1)= a2+a (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+1)2= a2+2a+1 (x-y)2=x2-2xy+y2
(1) 87 8713
2
(2) 103 97
2
2
思维拓展
x （ 1）
2
mx n能分解成 ( x 2)( x 5)
则 m = ______,
2024年七年级下册数学浙教版教案完整版课件
2024年七年级下册数学浙教版教案完整版课件一、教学内容本节课选自2024年七年级下册数学浙教版教材第四章《因式分解》的第一课时。
详细内容包括：4.1因式分解的概念，4.2提公因式法，4.3运用乘法公式进行因式分解。
二、教学目标1. 理解因式分解的概念，掌握提公因式法和乘法公式进行因式分解的方法。
2. 能够熟练运用因式分解解决实际问题，提高数学思维能力。
3. 培养学生的逻辑推理能力和合作交流能力。
三、教学难点与重点教学难点：提公因式法和乘法公式的运用。
教学重点：因式分解的概念及其在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备1. 教师准备：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学生准备：教材、练习本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体课件展示实际生活中的问题，如：一张长方形纸片的面积可以通过长和宽的乘积来计算，如果知道面积和长，如何求解宽？引导学生发现因式分解在实际生活中的应用。
2. 知识讲解（1）讲解因式分解的概念，让学生理解其意义。
（2）通过例题讲解提公因式法和乘法公式进行因式分解的方法。
3. 例题讲解（1）讲解提公因式法的例题，如：x^2 + 3x 4的因式分解。
（2）讲解乘法公式的例题，如：a^2 b^2的因式分解。
4. 随堂练习（1）x^2 5x + 6的因式分解。
（2）a^2 + 2ab + b^2的因式分解。
5. 小组讨论（1）如何判断一个多项式是否可以进行因式分解？（2）在因式分解过程中，如何选择合适的公因式？6. 答疑解惑针对学生提出的问题进行解答，巩固所学知识。
六、板书设计1. 因式分解的概念2. 提公因式法3. 乘法公式进行因式分解七、作业设计1. 作业题目：（1）x^2 8x + 7的因式分解。
（2）a^2 2ab + b^2的因式分解。
答案：（1）(x 1)(x 7)（2）(a b)^22. 课后思考题：（1）一个多项式经过因式分解后，其各项系数的和是否改变？（2）如何求解一个一元二次方程的根？八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对因式分解的概念掌握情况，以及对提公因式法和乘法公式的运用熟练程度。
七年级数学下册(浙教版)
06 第6章 数据与统计图表
第6章 数据与统计 图表
6.1数据的收集与整理 6.2条形统计图和折线统计图 6.3扇形统计图 6.4频数与频率 6.5频数直方图
感谢聆听
02 第2章 二元一次方程
第2章 二元一次方 程
2.1 二元一次方程 2.2 二元一次方程组 2.3 解二元一次方程组 2.4 二元一次方程组的应用 2.5 三元一次方程组及其解法（选学）
03 第3章 整式的乘除
第3章 整式 的乘除
06
3.6 同底数 幂的除法
01
3.1 同底数 幂的乘法
05
七年级数学下册(浙教版 )
演讲人 202X-06-08
REPORT
目录
01. 第1章 平行线 03. 第3章 整式的乘除 05. 第5章 分式
02. 第2数据与统计图表
01 第1章 平行线
第1章 平行线
1.1平行线 1.2同位角、内错角、同旁内角 1.3平行线的判定 1.4平行线的性质 1.5图形的平移
3.5 整式的 化简
02
3.2 单项式 的乘法
04
3.4 乘法公 式
03
3.3 多项式 的乘法
第3章 整式的乘除
3.7 整式的除法
04 第4章 因式分解
第4章 因式分解
4.1 因式分解 4.2 提取公因式 4.3 用乘法公式分解因式
05 第5章 分式
第5章 分式
5.1 分式 5.2分式的基本性质 5.3 分式的乘除 5.4 分式的加减 5.5 分式方程
浙教版七年级初一数学下册 4.1 因式分解 (3)
1
（1）当a=1003,b=1002时，求a2-b2的值。
（2）某沿江风光带修建了三块长
方形的绿化草坪，它们的宽都为
55a，.5m长分24b别.4是m 2c0.1m8km，
，
，那么这些绿化带的面积之和为多少
？
k8m
2019/9/13
55a.5m 24b.4m 20c.1m
2
忆一忆
(3). x2-3x+1=x(x-3)+1 (4). x2 1 x(x 1)
x
2019/9/13
5
填空：
（1）∵m(a+b)=ma+mb ∴ma+mb= ( m )( a+b);
（2）∵(a+4)(a-3) = a2+a-12 ∴a2+a-12 = ( a+4)( a-3 );
你能利用因式分解与整式乘法之间的关系， 举出几个因式分解的例子吗？
a
b
2019/9/13
12
将下列相等的整式连线。
2a(a-1)
a2+6a+9
(a+3)2
4-a2
(2+a)(2-a)
2a2-2a
整式的乘法 2a(a-1)= 2a2-2a (a+3)2=a2+6a+9 (2+a)(2-a)= 4-a2
因式分解 2a2-2a = 2a(a-1) a2+6a+9 =(a+3)2 4-a2 =(2+a)(2-a)
2019/9/13
13
你能利用“连连看” 中得到的等式快速计算
10032－10022吗？
2019/9/13
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4.1因式分解
教学目标：
1、了解因式分解的概念和意义．
2、了解因式分解与整式乘法的关系——互逆变形．
3、体验矛盾的对立统一规律
教学重难点：
教学重点：本节教学的重点是因式分解的概念．
教学难点：认识因式分解与整式乘法的关系，并能意识到可以运用整式乘法的一系列法则来解决因式分解的各种问题，是本节教学的难点．
教与学方法：讲解法
教学过程
一、创设情境，导入新课
师：谁能以最快速度求：当a=101，b=99时，a2－b2的值?
析：教师不要马上作答．可能会有学生利用计算器计算，教师引导，若不使用计算器你能解决吗?等学了本节内容后再来解决它
师：在小学里，我们学过2×3×5=30，这是什么运算?
生1：整数乘法．
师：那30=2×3×557．是什么运算?
生2：因数分解．
师：因数分解有什么作用?你在平时学习中遇到过吗?请举例说明(合作学习)．
生3：分数的约分与通分．
师：，(x－y)＝x2－xy是什么运算?等式左右两边有何特点?
生4：整式的乘法．左边是整式的积，右边是多项式．
析：学生可能会答成分配律，左右两边都是代数式．教师要作引导．
师：那x2－xy＝x(x－y)是否成立?这个等式的两边有何特点?又是什么运算?
生5：成立．左边是多项式，右边是整式的积．
师：这就是我们今天要探讨的因式分解．
二、合作交流，探求新知
1．形成概念．
师：像这样，把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，有时，也把这一过程叫分解因式．请你仔细默读概念，并留意概念中的注意点．下面请看练习(多媒体出示)：
师：1．填空(整式乘法，因式分解)
2．这两种运算是什么关系?(互逆)
图示表示：
师：你能利用因式分解与整式乘法的关系，做下面的例题蚂(多媒体出示)?
析：①强调格式；
②再次体验因式分解与整式乘法的互逆性．
4．解决问题．
师：现在你能利用所学的知识解决上课初的那道题吗(合作完成)?
生7：1012－992=-(101＋99)(101－99)
=200×2
=400．
师：那872＋87×13又该怎么算呢?
析：①这两题在例2的基础上完成可能更容易些；
②让学生体验因式分解对解决某些问题带来的便利．
三、小结回顾，反思提高
师：本堂课你有什么收获?
合作交流得：(1)因式分解的概念；(2)因式分解的注意点；(3)因式分解的作用。