第九章(第一部分)(Four_Slides_per_Page)

= =
−2x1(k) + u(k) −3x2 (k) + u(k)
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由Z传递函数求状态方程
[例9.3] 设Z传递函数为
G(z)
=
Y (z) U (z)
=
(z
1 + 1)2 ( z
+
2)
试用
并行法求状态方程和输出方程。
【解】：将G(z)表示成极点形式
G(z) = Y (z) = 1 + 1 − 1 U ( z ) z + 2 ( z + 1)2 z + 1
⎪⎩ zx3 ( z) = − x3 ( z) + U ( z)
对应的状态方程为
由于
⎡ x1(k +1) ⎤ ⎡−2 0 0 ⎤ ⎡ x1(k)⎤ ⎡1⎤
⎢ ⎢
x2
(k
+ 1) ⎥⎥
=
⎢ ⎢
0
−1
1
⎥ ⎥
⎢ ⎢
x2
(k
)⎥⎥
+
⎢⎢0⎥⎥
u(k
)
⎢⎣ x3(k +1)⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 −1⎥⎦ ⎢⎣ x3(k)⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
9.2 离散系统状态空间设计
9.2.1 极点配置 9.2.2 状态观测器
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线性离散系统状态方程
¾ 差分方程或脉冲传递函数--离散时间系统输入/输出特 性的描述;
¾ 如何根据系统的差分方程和Z传递函数描述得到它的基 于输入-状态-输出的状态空间描述？
slide 6
由高阶差分方程求离散状态方程
9.2 离散系统状态空间设计
9.2.1 极点配置 9.2.2 状态观测器
slide 3
第九章 计算机控制系统现代设计方法
－基于状态空间的分析与设计－
slide 2
计算机控制系统经典设计方法 回顾
模拟化设计方法 离散化设计方法
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经典控制和现代控制的区别何在
研究对象 数学模型 数学基础
⎧ x(k + 1) = A(k ) x(k ) + B (k )u (k )
⎨ ⎩
y(k
)
=
C
(k
)
x(k
)
+
D
(k
)u (k
)
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由Z传递函数求状态方程
设离散系统的Z传递函数的一般形式为
G(z)
=
Y (z) U (z)
=
b0 z m + b1 z m −1 + L + bm −1 z + bm z n + a1 z n −1 + L + an−1 z + an
U (z) 2
+
(z
1 + 1)2
U (z)
−
1 U(z) z +1
选取的状态变量为
⎧ ⎪
x1
(
z
)
⎪
=
z
1 U (z) +2
⎪ ⎨
x2
(
z
)
⎪
=
1 z + 1 x3 ( z)
⎪ ⎪⎩
x3
(
z
)
=
1 U (z) z +1
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由Z传递函数求状态方程
2．串行程序法
串行程序法也叫迭代程序法，当G(z)的零极点都已知时，
x1(k +1) x2 (k +1)
⎪ ⎪
M
⎪⎩xn (k) = y(k + n −1) = xn−1(k +1)
则可得到离散状态方程和输出方程分别为
⎧x1(k +1) = x2 (k)
⎪ ⎪⎪
x2
⎨
(k
+ 1) M
=
x3
(k)
⎪ ⎪
xn−1
(k
+ 1)
=
xn
(k)
⎪⎩xn (k +1) = −an x1(k) −L − a1xn (k) + bu(k)
z+2
z+3
则对应的方块图如图9.1所示。
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由Z传递函数求状态方程
对应的状态方程为
⎡ ⎢ ⎣
x1 ( k x2 (k
+ 1) ⎤ + 1)⎥⎦
=
⎡−2 ⎢⎣ 0
0⎤ −3⎥⎦
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
(k (k
) )
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡1⎤ ⎢⎣1⎥⎦
u
(k
)
系数矩阵A的对角线上的两个元素即为G(z)的两个极点。
式中x(k)是n维状态向量，A、B、C 分别为n×n、n×1、 1×n系数矩阵。表示为
⎡0
⎡ x1(k) ⎤
x(k
)
=
⎢ ⎢
x2
(k
)⎥⎥
⎢M⎥
⎢ ⎣
xn
(k
)⎥⎦
,
⎢ ⎢
0
A=⎢ M
⎢ ⎢
0
⎢⎣−an
1 0 M 0 −an−1
L 0⎤
L
0
⎥ ⎥
L M⎥
L
1
⎥ ⎥
L −a1 ⎥⎦
⎡0⎤
B
=
⎢ ⎢
M
⎥ ⎥
当m=0时，差分方程的形式为:
y (k + n) + a1 y (k + n − 1) + L + an y (k ) = bu (k )
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由高阶差分方程求离散状态方程
若选取状态变量为
⎧x1(k) = y(k)
⎪ ⎪⎪ ⎨
x2 x3
(k (k
) )
= =
y(k y(k
+1) = + 2) =
或
⎧ x(k +ຫໍສະໝຸດ 1) = Ax(k ) + Bu (k )
⎨ ⎩
y(k
)
=
Cx(k
)
y(k) = x1(k)
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由高阶差分方程求离散状态方程
【解】：由已知条件知a1=5，a2=3，a3=6，b=2，得到状 态方程和输出方程分别为
⎡ x1(k +1) ⎤ ⎡ 0 1 0 ⎤ ⎡ x1(k) ⎤ ⎡0⎤
=
Y (z) U (z)
=
z2 z2
+ 2z +1 + 5z + 6
试用并行法
【解】：将G(z)表示成极点形式
G(z) = Y (z) = z2 + 2z +1 = 1+ 1 − 4
U (z) z2 + 5z + 6
z+2 z+3
于是，得到 Y ( z ) = U ( z ) + 1 U ( z ) − 4 U ( z )
⎢0⎥
, C = [1
0
L
0]
⎢⎣b⎥⎦
[例9.1] 设线性定常差分方程为
y(k + 3) + 5 y(k + 2) + 3 y(k + 1) + 6 y(k ) = 2u (k )
试写出状态方程和输出方程。
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由高阶差分方程求离散状态方程
【情况2】 差分方程包含输入函数的高阶差分项
当m=n（也适用于m<n）时，差分方程的形式为
式中n≥m，ai，bj为常系数。
1．并行程序法
也称为部分分式法，当Z传递函数G(z)的极点已知 时，将G(z)表示成部分分式和的形式，用这种方法比较 简便。下面分单极点和重极点两种情况，分别举例说明 这种方法求状态方程和输出方程。
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由Z传递函数求状态方程
[例9.2] 设Z传递函数为 G ( z) 求状态方程和输出方程。
由于
Y (z)
= U (z) +
z
1 +
U (z) − 2
z
4 U (z) +3
=
x1 ( z ) −
4x2 (z) + U (z)
则有 y (k ) = x1 (k ) − 4 x2 (k ) + u (k )
于是得到输出方程为
y(k) = [1
-
4]
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
(k ) ⎤ (k ) ⎥⎦
9.2 离散系统状态空间设计
9.2.1 极点配置 9.2.2 状态观测器
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由高阶差分方程求离散状态方程
以上针对线性定常差分方程介绍了状态方程的列写方法， 由于状态变量的选择不是惟一的，因此状态方程也不是惟 一的；
对于线性时变差分方程也可以用上述类似的方法写出状态方 程，且可以得到形式上与时不变状态方程相同的时变状态方 程 ， 只 是 由 于 时 变 差 分 方 程 的 系 数 ai，bj（i=1,2,…,n； j=0,1,…,m）都是k的函数，即ai(k)，bj(k)，因此，系数矩阵 A，B，C，D 也 都 是 k 的 函 数 ， 即 A(k)，B(k)，C(k)，D(k)。 于是，对于线性时变差分方程所对应的状态方程和输出方程 的一般形式为：
于是，得到
Y (z) =
1 U (z) + z+2
(
z
1 + 1)2
U
(
z
)
−
1 U (z) z +1
则对应的方块图如图9.2所示。
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