北师大版七年级下册：《第四章变量之间的关系》回顾与思考

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北师大版七年级下册：《第四章变量之间的关系》回顾与思考

第四章变量之间的关系第4章知识整合与解题指导一、知识导航1、主要概念：变量是；自变量是；因变量是。

2、变量之间关系的三种表示方法：。

其特点是：列表：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把的值找到，查询方便；但是欠，不能反映变化的全貌，不易看出变量间的对应规律。

关系式：简明扼要、规范准确；但有些变量之间的关系很难或不能用关系式表示。

图像：形象直观。

可以形象地反映出事物变化的过程、变化的趋势和某些特征；但图像是近似的、局部的，由图像确定因变量的值欠准确。

3、主要数学思想方法：类比和比较的方法（举例说明）；数形结合和数学建模思想（举例说明）。

二、学习导航1、有关概念应用例1下列各题中，那些量在发生变化？其中自变量和因变量各是什么？①用总长为60的篱笆围成一边长为L（m），面积为S（m2）的矩形场地；②正方形边长是3，若边长增加x，则面积增加为y.2、利用表格寻找变化规律例2研究表明，固定钾肥和磷肥的施用量，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系：施肥量0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 （千克/公顷）土豆产量15.18 21.36 25.72 32.29 30.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75(吨/公顷)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？根据表格中的数据，你认为氮肥的使用量是多少时比较适宜？变式（湖南）一辆小汽车在高速公路上从静止到起动10秒后的速度经测量如下表：时间/秒0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10速度/米/秒0 0.3 1.3 2.8 4.9 7.6 11.0 14.1 18.4 24.2 28.9①上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是因变量？②如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是什么？③当t每增加1秒时，v的变化情况相同吗？在哪1秒中，v的增加最大？④若高速公路上小汽车行驶的速度的上限为120千米/时，试估计大约还需要几秒小汽车速度就将达到这个上限？3、用关系式表示两变量的关系例3.、①设一长方体盒子高为10，底面积为正方形，求这个长方形的体积v与底面边长a 的关系。

第四章变量之间的关系导学案(北师大七年级下)(李兴林)

第四章变量之间的关系§4．1 用表格表示的变量关系年级：七年级班级：学生姓名：制作人：李兴林一、学习目标：（1分钟）1、知道变量、因变量、自变量和常量的概念；2、能从表格中获得变量之间的关系的信息；3、会用表格表示变量之间的关系。

二、自主探究：（10分钟）（一）、预习教材P96~P97（二）、思考：什么是变量？什么是自变量？什么是因变量？（三）、预习作业：1（1（2）根据表中的数据，你认为老师在第____分钟提出观念比较适宜？说出你的理由．三、学习引导：（15分钟）（一）要点引导：（2分钟）1、在一个变化过程中数值保持不变的量叫做______可以取不同数值的量叫做______，如果一个量随着另外一个量的变化而变化，那么把这个量叫做______，另一个量叫做______．2、本节是通过______形式来表示两个变量之间的关系的．（1）支撑物高度为70厘米时，小车下滑时间是多少？（2）如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？（3）h每增加10厘米，t的变化情况相同吗？（4）估计当h=110时，t的值是多少，你是怎样估计的？（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是什么？（3）当t每增加1秒时，v的变化情况相同吗？在哪1秒钟内，v的增加最大？（4）若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/时，试估计大约还需几秒这辆小汽车速度就将达到这个上限？2、下表是明明商行某商品的销售情况，该商品原价为560元，随着不同幅度的降价（单位：元），日销量（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？其中那个是自变量，哪个是因变量？（2）每降价5元，日销量增加多少件？请你估计降价之前的日销量是多少？（3）如果售价为500元时，日销量为多少？四、小组合作学习：（18分钟）1、完成教材第97页随堂练习：（5分钟）2、完成教材第97-99页习题：（13分钟）五、回顾小结：（2分钟）§4．2 用关系式表示的变量间的关系班级：学生姓名：制作人：李兴林1、探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感；2、能根据具体情景，用关系式表示某些变量之间的关系。

北师大版七年级下册第四章变量之间的关系课程设计

北师大版七年级下册第四章变量之间的关系课程设计1. 课程背景在学习编程的过程中，变量是最重要的概念之一。

变量可以存储程序中的数据，但它们也可以互相关联，以便根据一个变量的值来计算另一个变量的值。

因此，变量之间的关系是编程的基础，也是这个课程的主题。

2. 教学目标在本课程中，学生将会：•了解变量之间的关系是如何工作的。

•学会如何使用数学运算符来表示变量之间的关系。

•学会如何使用条件语句和循环语句来处理变量之间的关系。

•学会如何调试程序以解决变量之间的关系问题。

3. 教学内容3.1 变量之间的关系在本章中，学生将会学习各种类型的变量之间的关系，包括：•赋值•算术关系•逻辑关系•运算符优先级3.2 使用数学运算符来表示变量之间的关系学生将会学习如何使用各种数学运算符来表示变量之间的关系。

这些运算符包括：•加法•减法•乘法•除法•取模3.3 使用条件语句和循环语句来处理变量之间的关系学生将会学习如何使用条件语句和循环语句来处理变量之间的关系。

这些语句包括：•if语句•else语句•while语句•for语句3.4 调试程序以解决变量之间的关系问题学生将会学习如何调试程序以解决变量之间的关系问题。

他们将会学会如何使用调试器来找出程序中的错误。

4. 教学步骤4.1 引入1.导入本章的主题和目标。

2.讲解变量是什么以及为什么我们需要它们。

4.2 学生动手实践1.让学生创建几个变量，并尝试使用它们进行各种运算。

2.让学生使用条件语句和循环语句来处理变量之间的关系。

3.让学生在调试器中找出自己程序中的错误。

4.3 结束1.总结本章的主要内容和目标。

2.评估学生的学习情况和掌握程度。

5. 扩展活动1.让学生写一个小程序，演示变量之间的关系。

2.让学生从互联网上寻找其他示例，并介绍它们的思想和实现方法。

6. 总结在本章中，学生学会了如何处理变量之间的关系。

他们不仅学习了运算符和条件语句，还学会了如何调试程序。

这些技能对学生未来的编程学习将有很大的帮助。

北师大版七年级下册数学教案：第三章《变量之间的关系回顾与思考》

北师大版七年级下册数学教案：第三章《变量之间的关系回顾与思考》一. 教材分析本章主要让学生回顾和思考变量之间的关系。

内容包括：变量与常量的概念、一次函数、二次函数、指数函数等。

通过复习和思考，使学生对变量之间的关系有更深入的理解，提高解决问题的能力。

二. 学情分析学生在六年级时已经学习了变量之间的关系，对本章内容有了一定的了解。

但部分学生对一些函数的理解仍较模糊，需要在教学中加以引导和巩固。

此外，学生需要加强实际问题中的应用能力。

三. 教学目标1.理解变量与常量的概念，掌握一次函数、二次函数、指数函数的性质。

2.能够运用函数解决实际问题，提高解决问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维和归纳总结能力。

四. 教学重难点1.重点：理解函数的性质，掌握一次函数、二次函数、指数函数的公式及应用。

2.难点：对一些复杂函数的理解和实际问题的解决。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动思考和探索。

2.用实例讲解，使学生更好地理解函数的应用。

3.分组讨论，培养学生的团队协作能力。

4.归纳总结，帮助学生形成知识体系。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实例。

2.制作PPT，展示函数的图像和性质。

3.准备练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生回顾变量之间的关系，引出本章内容。

2.呈现（10分钟）利用PPT展示一次函数、二次函数、指数函数的图像和性质，让学生对函数有直观的认识。

3.操练（10分钟）让学生根据函数的性质，解决一些实际问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）学生分组讨论，总结一次函数、二次函数、指数函数的性质和应用。

教师提问，检查学生的掌握情况。

5.拓展（10分钟）引导学生思考一些复杂的函数问题，如多元函数、分段函数等。

让学生通过查阅资料或互相讨论，尝试解决这些问题。

6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，帮助学生形成知识体系。

7.家庭作业（5分钟）布置一些有关函数的应用题，让学生课后巩固所学知识。

北师大数学七年级下册第四章-变量之间的关系

第01讲_变量之间的关系知识图谱变量之间的关系（北师版）知识精讲变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量常量在一个变化过程中，有些量的数值是始终不变的，我们称它们为常量关系一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且y随着x的变化而变化，x是自变量，y是因变量二．变量关系的三种表示方法表格法；关系式法；图像法．步骤列表表中给出一些自变量的值及其对应的因变量的值描点在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，因变量为纵坐标，描出表格中数值对应的各点连线按照横坐标由小道大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来注意事项1．表示两个变量的对应关系的点有无数个．但是实际上我们只能描出其中有限个点，同时想象出其他点的位置2．用实心点表示在曲线的点，用空心圈表示不在曲线的点四．易错点1．确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义．2．解决图象有关的问题，一定要注意理解横、纵坐标所表示的实际含义，然后根据图象求出函数解析式来解题．3．不能认为式子中出现的字母都是变量，如π不是变量而是常量．三点剖析一．考点：1．用表格表示的变量间关系； 2．用关系式表示的变量间关系； 3．用图象表示的变量间关系．二．重难点：用图象表示的变量之间的关系三．易错点：1．确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义．2．解决图象有关的问题，一定要注意理解横、纵坐标所表示的实际含义，然后根据图象求出函数解析式来解题．用表格表示的变量间关系例题1、弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y （cm ）与所挂的物体的质量x （kg ）间有下面的关系：下列说法不正确的是（）A.x 与y 都是变量，且x 是自变量，y 是因变量B.所挂物体质量为4kg 时，弹簧长度为12cmC.弹簧不挂重物时的长度为0cmD.物体质量每增加1kg ，弹簧长度y 增加0.5cm 【答案】 C【解析】根据给出的表格中数据分析，可以确定自变量和因变量以及弹簧伸长的长度，得到答案．例题2、已知某易拉罐厂设计一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径与铝用量有如下关系：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）当易拉罐底面半径为2.4cm 时，易拉罐需要的用铝量是多少？（3）根据表格中的数据，你认为易拉罐的底面半径为多少时比较适宜？说说你的理由．（4）粗略说一说易拉罐底面半径对所需铝质量的影响．【答案】（1）易拉罐底面半径和用铝量的关系，易拉罐底面半径为自变量，用铝量为因变量；（2）当底面半径为2.4cm 时，易拉罐的用铝量为356.cm ．（3）易拉罐底面半径为2.8cm 时比较合适，因为此时用铝较少，成本低．（4）当易拉罐底面半径在1.6～2.8cm 变化时，用铝量随半径的增大而减小，当易拉罐底面半径在2.8～4.0cm 间变化时，用铝量随半径的增大而增大．【解析】本题考查函数的自变量与函数变量，根据表格理解：随底面半径的增大，用铝量的变化情况是关键．例题3、某校组织学生到距学校6km 的光明科技馆参观，准备乘出租车去科技馆，出租车的收费标准如表：则收费y （元）与出租车行驶里程数x （km ）（x ≥3）之间的关系式为（）x 0 1 2 3 4 5y 10 10.5 11 11.5 12 12.5底面半径 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0 用铝量 6.96.05.65.55.76.06.5里程数收费/元 3km 以下（含3km ） 8.00 3km 以上每增加1km1.80A.y=8xB.y=1.8xC.y=8+1.8xD.y=2.6+1.8x【答案】 D【解析】由题意得，所付车费为：y=1.8（x ﹣3）+8=1.8x+2.6（x ≥3）．故选：D ．随练1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间有如下关系：（其中030x ≤≤）（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？（2）当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？（3）根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟后，学生的接受能力最强；（4）从表中可知，当时间x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？【答案】见解析【解析】（1）提出概念所用的时间x 和对概念接受能力y 两个变量；（2）当10x =时，59y =，所以时间是10分钟时，学生的接受能力是59；（3）当13x =时，y 的值最大是59.9，所以提出概念13分钟时，学生的接受能力最强；（4）由表中数据可知：当213x <<时，y 值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当1320x <<时，y 值逐渐减下，学生的接受能力逐步降低．用关系式表示的变量间关系例题1、写出下列各问题中的关系式，指出其中的常量、自变量、因变量及自变量取值范围．（1）直角三角形中一锐角的度数y 与另一锐角的度数x 之间的函数关系．（2）如果水的流速量是a m/min (一个定量)，那么每分钟的进水量3Q()m 与所选择的水管直径D (m )之间的函数关系．【答案】（1）90y x =-，90是常量，x 是自变量，y 是因变量，自变量x 的取值范围是090x <<；（2）24aD Q π=，常量为4aπ，自变量为D ，Q 为因变量，自变量0D >【解析】（1）直角三角形两锐角互余，所以90y x =-，其中90是常量，x 是自变量，y 是因变量，自变量x 的取值范围是090x <<；（2）由水管直径为D 可知，水管的截面积为24D π，所以24aD Q π=，其中常量为4aπ，自变量为D ，Q 为因变量，自变量0D >；例题2、等腰三角形的周长为16cm ，底边长为x cm ，腰长为y cm ，则x 与y 之间的关系式为_________．【答案】 y=8﹣12x （0＜x ＜8）【解析】 ∵等腰三角形的周长为16cm ，底边长为x cm ，腰长为y cm ． ∴x+2y=16， ∴y=8﹣12x （0＜x ＜8）．例题3、等腰三角形的周长为16cm ，底边长为x cm ，腰长为y cm ，则x 与y 之间的关系式为．【答案】 y=8﹣12x （0＜x ＜8）．【解析】 ∵等腰三角形的周长为16cm ，底边长为x cm ，腰长为y cm ．提出概念所用时间（x ） 257101213141720对概念的接受能力（y ）47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55∴x+2y=16，∴y=8﹣12x（0＜x＜8）．故答案为：y=8﹣12x（0＜x＜8）．随练1、等腰三角形的周长为30，则腰长y关于底边长x的函数关系式为__________，其中自变量x的取值范围是__________．【答案】1152y x=-+；015x<<【解析】230y x+=，整理得，1152y x=-+，根据三角形三边关系定理，02x y<<，∴102152x x⎛⎫<<-+⎪⎝⎭，∴015x<<．随练2、以直角三角形中的一个锐角的度数为自变量x，另一个锐角的度数y为因变量，则它们的关系式是．【答案】y=90°﹣x．【解析】根据题意得y=90°﹣x．故答案为y=90°﹣x．用图象表示的变量间关系例题1、小华同学利用假期时间乘坐一大巴去看望在外打工的妈妈，出发时，大巴的油箱装满了油，匀速行驶一段时间后，油箱内的汽油恰剩一半时又加满了油，接着按原速度行驶，到目的地时油箱中还剩有13箱汽油，设油箱中所剩汽油量为V升，时间为t（分钟），则V与t的大致图象是（）A.AB.BC.CD.D【答案】D【解析】A、从图象可知最后纵坐标为0，即油箱是空的，与题意不符，故本选项错误；B、图象没有显示油箱内的汽油恰剩一半时又加满了油的过程，与题意不符，故本选项错误；C、图象显示油箱的油用完以后又加满，与题意不符，故本选项错误；D、当t为0时，大巴油箱是满的，然后匀速减少至一半，又加满，到目的地是油箱中还剩有13箱汽油，故本选项正确．故选D．例题2、如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（）A.乙前4秒行驶的路程为48米B.在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒C.两车到第3秒时行驶的路程相同D.在4到8秒内甲的速度都大于乙的速度【答案】C【解析】A、根据图象可得，乙前4秒的速度不变，为12米/秒，则行驶的路程为12×4=48米，故A正确；B、根据图象得：在0到8秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从0均匀增加到32米/秒，则每秒增加32 8=4米秒/，故B正确；C 、由于甲的图象是过原点的直线，斜率为4，所以可得v=4t （v 、t 分别表示速度、时间），将v=12m/s 代入v=4t 得t=3s ，则t=3s 前，甲的速度小于乙的速度，所以两车到第3秒时行驶的路程不相等，故C 错误；D 、在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，故D 正确．随练1、一个装有进水管和出水管的容器，从某一时刻起只打开进水管进水，经过一段时间，再打开出水管放水，至12分钟时，关停进水管．在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量y （单位：升）与时间x （单位：分钟）之间的函数关系如图所示，关停进水管后，经过_____分钟，容器中的水恰好放完．【答案】 8【解析】由04-分钟的函数图象可知进水管的速度，根据412-分钟的函数图象求出水管的速度，再求关停进水管后，出水经过的时间．进水管的速度为：2045÷=（升/分），出水管的速度为：()()53020124 3.75--÷-=（升/分），∴关停进水管后，出水经过的时间为：30 3.758÷=分钟．随练2、上周周末放学，小华的妈妈来学校门口接他回家，小华离开教室后不远便发现把文具盒遗忘在了教室里，于是以相同的速度折返回去拿，到了教室后碰到班主任，并与班主任交流了一下周末计划才离开，为了不让妈妈久等，小华快步跑到学校门口，则小华离学校门口的距离y 与时间t 之间的函数关系的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】 B【解析】根据题意得，函数图象是距离先变短，再变长，在教室内没变化，最后迅速变短，B 符合题意随练3、在20km 越野赛中，甲乙两选手的行程y （单位：km ）随时间x （单位：h ）变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度； ②出发后1小时，两人行程均为10km ； ③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km ； ④甲比乙先到达终点．其中正确的有_______个．【答案】 1【解析】在两人出发后0.5小时之前，甲的速度小于乙的速度，0.5小时到1小时之间，甲的速度大于乙的速度，故①错误由图可得，两人在1小时时相遇，行程均为10km ，故②正确；甲的图象的解析式为y=10x ，乙AB 段图象的解析式为y=4x+6，因此出发1.5小时后，乙的路程为15千米，甲的路程为12千米，甲的行程比乙少3千米，故③错误；乙到达终点所用的时间较少，因此乙比甲先到达终点，故④错误．拓展1、如图所示，某计算装置有一个数据输入口A 和一个运算结果输入口B ，下表给出的是小红输入的数字及所得的运算结果（1）若小红输入的数为x ，输出的结果为y ，你能用x 表示y 么？请写出来．（不需要写出x 的取值范围）（2）若输出结果为8，求小红输入的数字【答案】（1）1y x =-（2）81【解析】（1）由表中数据可观察到，每个B 中数据都是在A 中数据开方后减一所得，101-=-，011=-，141=-，∴可得到函数1y x =-．（2）当8y =时，()211y x x y =-⇒=+，∴2981x ==．2、弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度()y cm 与所挂的物体的质量()x kg 间有下面的关系：下列说法不正确的是（）A.x 与y 都是变量，且x 是自变量，y 是因变量B.所挂物体质量为4kg 时，弹簧长度为12cmC.弹簧不挂重物时的长度为0cmD.物体质量每增加1kg ，弹簧长度y 增加0.5cm 【答案】 C【解析】弹簧不挂重物时的长度为10cm3、在某次实验中，测得两个变量m 和v 之间的4组对应数据如下表：则m 与v 之间的关系最接近于下列各关系式中的（）A.22v m =-B.21v m =-C.33v m =-D.1v m =+【答案】 B【解析】分别代入当4m =时，算出v 即可．4、购买单价为每支1.2元的铅笔，总金额y （元）与铅笔数n （支）的关系式可表示为y =__________，其中，__________是常量，__________是变量．【答案】 1.2n ，单价，铅笔数【解析】总金额等于每支铅笔的价格乘以铅笔的支数，故 1.2y n =，铅笔的单价是常量，铅笔数是变量． 5、乘坐某种出租汽车，当行驶路程小于或等于3千米时，乘车费用都是10元（即起步价10元），当行驶路程大于3千米时，超过3千米的部分每千米收费2元，若一次乘坐这种出租车行驶4千米，则应付车费__________元；若一次乘坐这种出租车付费20元，则乘车路程是__________千米．【答案】 12,8【解析】本题考查函数的应用。

2022年北师大版七年级数学下册变量之间的关系知识点汇总

北师大版七年级数学下册《变量之间旳关系》知识点汇总北师大版七年级数学下册《变量之间旳关系》知识点汇总一、变量、自变量、因变量、常量变量：在某一变化过程中，不停变化旳量叫做变量。

自变量、因变量：假如一种变量y随另一种变量x旳变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。

自变量是最初变动旳量，它在研究对象反应形式、特性、目旳上是独立旳；因变量是由于自变量变动而引起变动旳量，它“依赖于”自变量旳变化。

常量：一种变化过程中数值一直保持不变旳量叫做常量.二、函数旳三种表达措施：（一）列表法（用表格）采用数表相结合旳形式，运用表格可以表达两个变量之间旳关系。

列表时要选用能代表自变量旳某些数据，并按从小到大旳次序列出，再分别求出因变量旳对应值。

列表法最大旳特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量旳对应值，但缺陷是具有局限性，只能表达因变量旳一部分。

1、表格是体现、反应数据旳一种重要形式，从中获取信息、研究不一样量之间旳关系。

（1）首先要明确表格中所列旳是哪两个量；（2）分清哪一种量为自变量，哪一种量为因变量；（3）结合实际情境理解它们之间旳关系。

2、绘制表格表达两个变量之间关系（1）列表时首先要确定各行、各列旳栏目；（2）一般有两行，第一行表达自变量，第二行表达因变量；（3）写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位；（4）在第一行列出自变量旳各个变化取值；第二行对应列出因变量旳各个变化取值。

（5）一般状况下，自变量旳取值从左到右应按由小到大旳次序排列，这样便于反应因变量与自变量之间旳关系。

（二）解析法（关系式）关系式是运用数学式子来表达变量之间关系旳等式，运用关系式，可以根据任何一种自变量旳值求出对应旳因变量旳值，也可以已知因变量旳值求出对应旳自变量旳值1、用关系式表达因变量与自变量之间旳关系时，一般是用品有自变量（用字母表达）旳代数式表达因变量（也用字母表达），这样旳数学式子（等式）叫做关系式。

2、关系式旳写法不一样于方程，必须将因变量单独写在等号旳左边。

新北师大版七年级数学下第四章《变量之间的关系》单元知识总结

变量之间的关系单元知识总结及典型例题1．在一次实验中，小强把—根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y 与所挂物体的质量x 的一组对应值：(1)上述表格反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? (2)当所挂重物为4kg 时，弹簧多长?不挂重物呢?(3)若所挂重物为6kg 时(在弹簧的允许范围内)，你能说出此时弹簧的长度吗? 分析抓住表格中的对应数据，找出变量之间的规律．解 (1)弹簧长度y,物体重量x 是变量，物体重量是自变量，弹簧长度是因变量； (2)当所挂重物为4kg 时，弹簧长度为28cm ，不挂重物时弹簧长度为20cm ； (3)当所挂重物为6kg 时，弹簧长度为32cm ．2．如图6—1所示，梯形上底的长是x ，下底的长是15，高是8．(1)梯形面积y 与上底长x 之间的关系式是什么?(2)用表格表示当x 从10变到20时(每次增加1)，y 的相应值； (3)当x 每增加1时，y 如何变化?说说你的理由； (4)当x=0时，y 等于什么?此时它表示的是什么?分析 (1)根据梯形面积公式可推出y 与x 的关系式； (2)通过计算列表说明；(3)由表格中的数据可以观察出；(4)当上底为零时(即成为一个点)，成为三角形．解 (1)()81521⨯+=x y ，即y=4x+60； (2)(3)当x 每增加1时，y 的值随之增加4；(4)当x=0时，y=60，此时梯形成为了三角形．3．地壳的厚度约为8到40km ．在地表以下不太深的地方，温度可按y=35x+t 计算，其中x 是深度(km)，t 是地球表面温度（℃），y 是所达深度的温度（℃)． (1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么?(2)分别计算当x 为lkm ，5km ，10km,20km 时地壳的温度(地表温度为2℃)．解 (1)自变量是深度，因变量是温度；(2)当x=1km 时，y=35x+t=35x ×1+2=37(℃)；当x=5km 时，y=35x+t=35×5+2=177(℃)；当x=10km 时，y=35x+t=35×10+2=352(℃)；当x=20km 时，y=35x+t=35×20+2=702(℃)．说明初步体会自变量和因变量的数值对应关系，能由自变量的值求得因变量的值．题型发散发散1 选择题把正确答案的代号填入题中的括号内．(1)下面的图表列出了—项试验的统计数据，表示将皮球从高处d 落下时，弹跳高度b 与下落高度d 的关系．试问，下面的哪个式子能表示这种关系(单位：cm) ( )(A)2d b = (B)b=2d (C)2db =(D)b=d+25 (2)某地一天的气温随时间的变化如图6—2，根据图象可知：在这一天中最高气温与达到最高气温的时刻分别是 ( )(A)14℃；12h (B)4℃；2h (C)12℃；14h (D)2℃；4h 解 (1)用验证法．当d=50时，252502===d b ；当d=80时，402802===d b ；当d=100时，5021002===d b ；当d=150时，7521502===d b ．因上述数字完全与表格中的数字符合．故本题应选(C)． (2)用直接法．由图6—2知一天达到最高气温12℃的时间是14时．故本题应选(C)．发散2 填空题如图6—3，△ABC 是等腰三角形，周长是60cm ，腰为xcm ，底为ycm ．(1)写出用含x的关系式来表示y；(2)当腰由20cm变化到25cm时，底边长由_______cm变化到________cm；(3)腰为20cm时，是什么形状的三角形?若腰为30cm时，行吗?分析三角形的周长是三条边长的和．解： (1)y=60-2x；(2)底边由20cm变化到10cm；(3)当腰为20cm时，是等边三角形，若腰为30cm，则无法形成三角形．纵横发散发散1南京市在某一天的地表气温是38℃，据测量每升高1km，气温下降6℃，那么在hkm的高空，温度t是多少?并计算当h的值是6km、10km、12km时的气温.讨论一下民用飞机在一万米高空飞行时，机舱为什么要与机外空气隔绝?分析用含h的代数式来表示气温．解： t=38-6h．当h=6时，t=2℃；当h=10时，t=-22℃；当h=12时，t=-34℃．原因有很多，其中一点是机舱外温度非常低．发散2婴儿在6个月、一周岁、2周岁时体重分别大约是出生时的2倍、3倍、4倍，6周岁、10周岁时体重分别约是1周岁时的2倍、3倍．(1)上述哪些量在发生变化?自变量和因变量各是什么?(2)某婴儿在出生时的体重是3.5kg，请把他在发育过程中的体重情况填入下表：(3)根据表格中的数据，说一说儿童从出生到10周岁之间体重是怎样随年龄增长而变化的?解： (1)年龄和体重都在变化；年龄是自变量，体重是因变量；(2)(3)儿童从出生到10周岁之间，随着年龄的增长体重在增加．转化发散发散1 图6—4是某地一天的气温随时间变化的图象．根据图象回答，在这一天中：(1)什么时间气温最高?什么时间气温最低?最高气温和最低气温各是多少?(2)20时的气温是多少?(3)什么时间的气温为6℃? (4)哪段时间内气温不断下降? (5)哪段时间内气温持续不变?解： (1)凌晨4时，气温最低，气温是-4℃；16时气温最高，气温是10℃； (2)20时的气温是8℃；(3)10时和22时的气温都是6℃；(4)0时到4时和16时到24时这两段时间内气温不断下降； (5)12时到14时这两个小时内气温保持8℃的温度不变．解法指导 (1)气温最低、最高反映在图象上就是找最低点和最高点； (2)20时的气温是多少，实质上是求当t=20时，T=?(3)什么时间的气温为6℃，实质上是求当T=6℃时，t=?直线T=6与图象交于两点，因此t=10或t=22；(4)图中共有两段时间气温不断下降，不可遗漏； (5)气温保持不变，指的是T 值保持不变，图中只有t 在12h 到14h 这两个小时满足条件．发散2 为了加强公民的节水和用水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的．某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过36m 时，水费按每立方米a 元收费；超过36m 时，不超过的部分每立方米仍按a 元收费，超过的部分每立方米按c 元收费．该市某户今年3、4月份的用水量和水费如下表所示：设某户该月用水量为x 3m ，应交水费为y(元)．(1)求a 、c 的值，并写出用水不超过36m 和超过36m 时，y 与x 之间的关系式； (2)若该户5月份的用水量为38m ，求该户5月份的水费是多少元? 解： (1)依题意，有：当x ≤6时，y=ax ；当x>6时，y=6a+c(x-6)．由已知，得⎩⎨⎧+==c a a362755.7解得⎩⎨⎧==65.1c ay=1.5x(x ≤6),y=9+6(x-6)=6x-27(x>6)． (2)将x=8代人y=6x-27(x>6)， y=6×8-27=21(元)．答：该户5月份的水费是21元．发散3如图6—5所示的曲线表示某人骑一辆自行车时离家的距离与时间的关系．骑车者九点离开家，十五点回家．根据这个曲线图，回答下列问题：(1)到达离家最远的地方是什么时间?离家多远?(2)何时开始第一次休息?休息多长时间?(3)第一次休息时离家多远?(4)11:00到12:00他骑了多少千米?(5)他在9:00到10:00和10:00到10:30的平均速度是多少?(6)他在何时至何时停止前进并休息用午餐?(7)他在停止前进后返回，骑了多少千米?返回时的平均速度是多少?解 (1)到达离家最远的地方的时间是12时，离家30km；(2)10.5时开始第一次休息，休息了0.5h；(3)第一次休息时离家17.5km；(4)11:00到12:00，他骑了12.5km；(5)9:00到10:00的平均速度是lOkm／h，10:00到10:30的平均速度是15km/h;(6)从12:00到13:00间停止前进，并休息用午餐较为符合实际情况；(7)他在停止前进后返回，骑了30km，共用了2h，故返回时的平均速度是15km/h.知识整合网络【学习方法指导】量与量之间存在着相互影响的关系，本章通过丰富的现实情境引入变量对变量之间关系的讨论，使学生体验探索和表示变量之间关系的过程，获得对表格、关系式、图象等多种方法的认识，能读懂表格、关系式、图象所表示的信息，能用自己的语的描述表格、关系式和图象所表示的关系，并能预测.关系式是表示变量之间关系的另一种方法．利用关系式，可以依据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值．也可以依据因变量的值求出相应的自变量的值.由学习常量问题转入学习变量问题，这是数学思维的一种跃升，引导我们前进的是一种崭新的思维方式.【中考信息传递】近年来全国各省、市中考题中涉及本章内容的题型多为选择题、填空题，也有部分的应用题及因变量关于自变量的关系式的中档题，应该充分重视．【中考名题赏析】题型发散发散1填空题(1)观察下列图形(图6—24)，若第①个图形中阴影部分的面积为1，第②个图形中阴影部分的面积为43，第③个图形中阴影部分的面积为169，第④个图形中阴影部分的面积为6427，…则第n 个图形中阴影部分的面积为________(用字母n 表示)(2002年潍坊市中考试题)解因为第1块图形的面积为1，第2块图形的面积为434312=⎪⎭⎫⎝⎛-; 第3块图形的面积为1694313=⎪⎭⎫⎝⎛-；第4块图形的面积为64274314=⎪⎭⎫⎝⎛-；第n 块图形的面积为143-⎪⎭⎫⎝⎛n ．(2)如图6—25，观察下列三角形图案，每行圆点的个数有什么规律?设每个三角形有n 行，用n 的代数式表示这两个三角形图案中圆点的总数，为________(2002年广西壮族自治区中考试题)解第1行圆点个数为1+n ，第2行圆点个数为2+(n-1)=1+n ，第3行圆点个数为3+(n-2)=1+n ，第n 行圆点的个数为n+1．以上共有n 行，故这两个三角形图案中圆点的总数为n(n+1)个．发散2解答题如图6—26表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象(分别为正比例函数和一次函数)．两地间的距离是80km ．请你根据图象回答或解决下面的问题：(1)谁出发的较早?早多长时间?谁到达乙地较早?早到多长时间? (2)两人在途中行驶的速度分别是多少?(3)请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)； (4)指出在什么时间段内两车均行驶在途中(不包括端点)；在这一时间段内，请你分别按下列条件列出关于时间x 的方程或不等式(不要化简，也不要求解)： ①自行车行驶在摩托车前面； ②自行车与摩托车相遇； ③自行车行驶在摩托车后面．解 (1)由图可以看出：自行车出发较早，早3h ；摩托车到达乙地较早，早3h ．(2)对自行车而言：行驶的距离是80km ，耗时8h ，所以其速度是：80÷8=10(km ／h)；对摩托车而言：行驶的距离是80km,耗时2h,所以其速度是：80÷2=40(km ／h)． (3)设表示自行车行驶过程的函数解析式为：y=kx ， ∵x=8时，y=80， ∴80=8k ，解得k=10，∴表示自行车行驶过程的函数解析式为y=10x ；设表示摩托车行驶过程的函数解析式为y=ax+b ， ∵x=3时，y=0，而且x=5时，y=80；∴⎩⎨⎧+=+=b a b a 58030，解得⎩⎨⎧-==12040b a∴表示摩托车行驶过程的函数解析式为y=40x-120． (4)在3<x<5时间段内两车均行驶在途中. ①自行车在摩托车前面：10x>40x-120, ②两车相遇：10x=40x-120,③自行车在摩托车后面：10x<40x-120.。

北师大版七年级数学下册变量之间的关系

变量之间的关系一、基础知识回顾：1、在某一变化过程中，把数值始终不变的量称为（），把数值发生变化的量称为（）。

2、表示两个变量之间关系的方法有（）、（）、（）．3、图象法表示两个变量之间关系的特点是直观的反应了两个变量之间的变化情况。

4、用图象法表示两个变量之间关系时，通常用水平方向的数轴（横轴）上的点表示（），用竖直方向的数轴（纵轴）上的点表示（）．一、用表格表示变量间的关系某商场出售某种商品，其销售件数与守家的关系如下表：（1）上述表格中那些量在变化自变量和因变量各是什么（2）某顾客欲购买这种商品10件，但是只带了80元。

他所带的钱是否够用如果不够用，则最多可购买该商品多少件}弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（g）之间有下列关系下列说法中不正确的是（）和y 都是变量，且x 是自变量，y 是因变量。

B.弹簧不挂重物时的长度为0cmC.弹性范围内，物体质量每增加1g ，弹簧长度y 增加{D.所挂物体质量为5g 时，弹簧伸长长度为思考题：为确保信息安全，信息需加密传输。

发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）。

已知有一种密码，将26个小写字母a ，b ，c ……z 依次对应0,1,2，…，25这26个自然数（见表格）当明文中的字母对应的序号为n 时，将序号n+10除以26所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s 对应的序号为18，而（18+10）÷26=1……2，对应密文c 。

按上述规定，将明文“maths ”译成密文后是（）A ．wkdrcB ．wkhtcC ．eqdjcD ．eqhjc[二、用关系式表示的变量间的关系：例2：一本书，每20页厚1mm ，设从第一页到x 页的厚度是y mm ，则y 和x 之间的关系式是（） A ．120y x =B.20y x =C.120y x =+D. 20y x=2.一长方形的周长为12cm ，面积y 随长方形的长x 的变化而变化。

北师大版七年级下册：《第四章 变量之间的关系》回顾与思考