必修 数列测试题及答案

新课标数学必修5第2章数列单元试题（1）说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共100分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．在正整数100至500之间能被11整除的个数为（ ）A ．34B ．35C ．36D ．37 考查等差数列的应用．【解析】观察出100至500之间能被11整除的数为110、121、132、…它们构成一个等差数列，公差为11，数a n =110+（n －1）·11=11n +99，由a n ≤500，解得n ≤36．4，n ∈N *，∴n ≤36．【答案】C2．在数列{a n }中，a 1=1，a n +1=a n 2－1（n ≥1），则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5等于（ ）A ．－1B ．1C ．0D ．2 考查数列通项的理解及递推关系．【解析】由已知：a n +1=a n 2－1=（a n +1）（a n －1），∴a 2=0，a 3=－1，a 4=0，a 5=－1．【答案】A3．{a n }是等差数列，且a 1+a 4+a 7=45，a 2+a 5+a 8=39，则a 3+a 6+a 9的值是（ ）A ．24B ．27C ．30D ．33 考查等差数列的性质及运用．【解析】a 1+a 4+a 7，a 2+a 5+a 8，a 3+a 6+a 9成等差数列，故a 3+a 6+a 9=2×39－45=33．【答案】D4．设函数f （x ）满足f （n +1）=2)(2n n f +（n ∈N *）且f （1）=2，则f （20）为（ ） A ．95 B ．97C ．105D ．192考查递推公式的应用． 【解析】f （n +1）－f （n ）=2n ⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⨯=-⨯=-⨯=-1921)19()20( 221)2()3(121)1()2(f f f f f f M M 相加得f （20）－f （1）=21（1+2+…+19）⇒f （20）=95+f （1）=97． 【答案】B5．等差数列{a n }中，已知a 1=－6，a n =0，公差d ∈N *，则n （n ≥3）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 考查等差数列的通项．【解析】a n =a 1+（n －1）d ，即－6+（n －1）d =0⇒n =d6+1∵d ∈N *，当d =1时，n 取最大值n =7．【答案】C6．设a n =－n 2+10n +11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大（ ）A ．第10项B ．第11项C ．第10项或11项D ．第12项 考查数列求和的最值及问题转化的能力．【解析】由a n =－n 2+10n +11=－（n +1）（n －11），得a 11=0，而a 10>0，a 12<0，S 10=S 11．【答案】C7．已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12，a 4+a 6=－4，则S 20为（ ）A ．180B ．－180C ．90D ．－90 考查等差数列的运用．【解析】由等差数列性质，a 4+a 6=a 3+a 7=－4与a 3·a 7=－12联立，即a 3，a 7是方程x 2+4x －12=0的两根，又公差d >0，∴a 7>a 3⇒a 7=2，a 3=－6，从而得a 1=－10，d =2，S 20=180．【答案】A8．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（ ）A ．9B ．10C ．19D ．29 考查数学建模和探索问题的能力．【解析】1+2+3+…+n <200，即2)1(-n n <200． 显然n =20时，剩余钢管最少，此时用去22019⨯=190根． 【答案】B9．由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1+a 4， a 2+a 5， a 3+a 6…是（ ）A ．公差为d 的等差数列B ．公差为2d 的等差数列C ．公差为3d 的等差数列D ．非等差数列考查等差数列的性质．【解析】（a 2+a 5）－（a 1+a 4）=（a 2－a 1）+（a 5－a 4）=2d ．（a 3+a 6）－（a 2+a 5）=（a 3－a 2）+（a 6－a 5）=2d ．依次类推．【答案】B10．在等差数列{a n }中，若S 9=18，S n =240，a n －4=30，则n 的值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17 考查等差数列的求和及运用．【解析】S 9=2)(991a a +=18⇒a 1+a 9=4⇒2（a 1+4d ）=4． ∴a 1+4d =2，又a n =a n －4+4d ．∴S n =2)(1n a a n +=16n =240． ∴n =15．【答案】B第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11．在数列{a n }中，a 1=1，a n +1=22+n n a a （n ∈N *），则72是这个数列的第_________项．考查数列概念的理解及观察变形能力． 【解析】由已知得11+n a =n a 1+21，∴{n a 1}是以11a =1为首项，公差d =21的等差数列． ∴n a 1=1+（n －1）21，∴a n =12+n =72，∴n =6． 【答案】612．在等差数列{a n }中，已知S 100=10，S 10=100，则S 110=_________．考查等差数列性质及和的理解．【解析】S 100－S 10=a 11+a 12+…+a 100=45（a 11+a 100）=45（a 1+a 110）=－90⇒a 1+a 110=－2．S 110=21（a 1+a 110）×110=－110． 【答案】－11013．在－9和3之间插入n 个数，使这n +2个数组成和为－21的等差数列，则n =_______． 考查等差数列的前n 项和公式及等差数列的概念．【解析】－21=2)39)(2(+-+n ，∴n =5． 【答案】5 14．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若n n T S =132+n n ，则1111b a =_________． 考查等差数列求和公式及等差中项的灵活运用． 【解】1111b a =2)(212)(212)(2)(211211211211b b a a b b a a ++=++=322112132122121=+⨯⨯=T S ． 【答案】3221三、解答题（本大题共5小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分8分）若等差数列5，8，11，…与3，7，11，…均有100项，问它们有多少相同的项？考查等差数列通项及灵活应用．【解】设这两个数列分别为{a n }、{b n }，则a n =3n +2，b n =4n －1，令a k =b m ，则3k +2=4m －1．∴3k =3（m －1）+m ，∴m 被3整除．设m =3p （p ∈N *），则k =4p －1．∵k 、m ∈［1，100］．则1≤3p ≤100且1≤p ≤25．∴它们共有25个相同的项．16．（本小题满分10分）在等差数列{a n }中，若a 1=25且S 9=S 17，求数列前多少项和最大．考查等差数列的前n 项和公式的应用．【解】∵S 9=S 17，a 1=25，∴9×25+2)19(9-⨯d =17×25+2)117(17-d 解得d =－2，∴S n =25n +2)1(-n n （－2）=－（n －13）2+169． 由二次函数性质，故前13项和最大．注：本题还有多种解法．这里仅再列一种．由d =－2，数列a n 为递减数列． a n =25+（n －1）（－2）≥0，即n ≤13．5．∴数列前13项和最大．17．（本小题满分12分）数列通项公式为a n =n 2－5n +4，问（1）数列中有多少项是负数？（2）n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． 考查数列通项及二次函数性质．【解】（1）由a n 为负数，得n 2－5n +4<0，解得1<n <4．∵n ∈N *，故n =2或3，即数列有2项为负数，分别是第2项和第3项．（2）∵a n =n 2－5n +4=（n －25）2－49，∴对称轴为n =25=2．5 又∵n ∈N *，故当n =2或n =3时，a n 有最小值，最小值为22－5×2+4=－2．18．（本小题满分12分）甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m ．（1）甲、乙开始运动后，几分钟相遇．（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？考查等差数列求和及分析解决问题的能力．【解】（1）设n 分钟后第1次相遇，依题意得2n +2)1(-n n +5n =70 整理得：n 2+13n －140=0，解得：n =7，n =－20（舍去）∴第1次相遇在开始运动后7分钟．（2）设n 分钟后第2次相遇，依题意有：2n +2)1(-n n +5n =3×70 整理得：n 2+13n －6×70=0，解得：n =15或n =－28（舍去）第2次相遇在开始运动后15分钟．19．（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0（n ≥2），a 1=21． （1）求证：{nS 1}是等差数列； （2）求a n 表达式；（3）若b n =2（1－n ）a n （n ≥2），求证：b 22+b 32+…+b n 2<1．考查数列求和及分析解决问题的能力．【解】（1）∵－a n =2S n S n －1，∴－S n +S n －1=2S n S n －1（n ≥2）S n ≠0，∴n S 1－11-n S =2，又11S =11a =2，∴{nS 1}是以2为首项，公差为2的等差数列．（2）由（1）n S 1=2+（n －1）2=2n ，∴S n =n21 当n ≥2时，a n =S n －S n －1=－)1(21-n n n =1时，a 1=S 1=21，∴a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=)2( 1)-(21-)1( 21n n n n （3）由（2）知b n =2（1－n ）a n =n 1 ∴b 22+b 32+…+b n 2=221+231+…+21n <211⨯+321⨯+…+n n )1(1- =（1－21）+（21－31）+…+（11-n －n 1）=1－n 1<1．。