与圆有关的最值问题new

2 2
C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。
∴圆心C (1,1) , 半径r = 1
= PC − r • r =
2 2
解：已知圆可化为：x − 1) + ( y − 1) = 1 (
2 2
Q S PACB = 2 S ∆PAC = PA • AC PC − 1
2
∴求S PACB的最小值就是求 PC 的最小值， 而 PC 的最小值就是圆心到直线的距离.
一、到圆心距离的最值问题; 到圆心距离的最值问题 二、到圆上一点距离的最值问题; 到圆上一点距离的最值问题 三、与圆上一点的坐标有关的最值问题; 与圆上一点的坐标有关的最值问题 四、与圆半径有关的最值问题. 与圆半径有关的最值问题
一、到圆心距离的最值问题：
1 例：已知P是直线3x + 4 y + 8 = 0上的动点，PA, PB 是圆x + y − 2x − 2 y +1 = 0的两条切线,A, B是切点，
上式中x + y 相当于在( x − 3) + ( y − 4) = 4
2 2 2 2
= 2 ( x + y +1)
2 2
上的点P到原点O的距离的平方。
作图不难知道，当O ( 0,0) , P ( x, y ) , ( 3,4) 共线时, x + y 有最值。
2 2
9 12 2 2 易求得P , 时,x + y 最小为20 5 5 21 28 2 2 求得P , 时,x + y 最大为100 5 5
代入(1)的结论:( 2x − 2)( 2 y − 2) = 2 1 ∴( x −1)( y −1) = 2 这便是中点M的轨迹方程。
1 1 ( 3) .S∆AOB = ab = −2 + 2( a + b) 2 2
= − 1 + a + b = ( a − 2 ) + (b − 2 ) + 3
四、与圆半径有关的最值问题：
练习2：已知圆C：x + y + 2 x − 4 y + 3 = 0
2 2
(1) .若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，
求切线的方程；
( 2 ) .从圆C外一点P ( x, y )向圆引切线PM ，
M 为切点，O为坐标原点，且 PM = PO ， 求使 PM 最小的点P的坐标。
≥ 3+ 2
( a − 2) • (b − 2) = 3 + 2
2
∴ S ∆AOB的最小值为3 + 2 2
∴d =
3+ 4+8
2 2
3 +4 ∴所求面积的最小值为 ∴ 所求面积的最小值为 S = 9 −1 = 2 2
=3
点评：求切线长时总是转化为 到圆心的距离和半径来求解。
二、到圆上一点距离的最值问题：
定点与圆上的点的距离 的最大值与最小值
y D C P A
O
定直线与圆上点的距离 的最大值与最小值
y C P B A x D
y +2 （） 3 x +1
练习1：求实数x, y满足x + ( y −1) = 1,
2 2
求下列各式的最值： （）x + 4 y 13
2 2
（ ）x + y 2
2
2
2
y +2 （） 3 x +1
法二：x + y = ( x + y ) 可看作圆
2 2
x + ( y −1) = 1上的点到坐标原点距离
E
B x
O
|AB|最短、|AC|最长 最短、 最短 最长
|AB|最短、|AC|最长 最短、 最短 最长
例2：已知P是圆x + y = 1上一点，Q是直线
2 2
l : x + 2 y − 5 = 0上一点，求 PQ 的最小值。
∴ PQ 的最小值为 5-1
点评：到圆上一点距离的最值问题 总是转化为到圆心距离的最值问题。
2 2
∴k = 2 ± 6
∴ 切线方程为y = 2 ± 6 x
(
)
x y 当a = b ≠ 0时，切线方程可设为 + = 1 a b 即x + y − a = 0 由点到直线的距离公式得：
∴ 2=
−1 + 2 − a
2 2
1 +1 ∴ a = −1或a = 3
∴ 切线方程为x + y + 1 = 0或x + y − 3 = 0 总之，所求切线方程为y = 2 ± 6 x,
2 2
y
1
的平方的最值，亦可求解
o
x
练习1：求实数x, y满足x + ( y −1) = 1,
2 2
求下列各式的最值： （）x + 4 y 13 （ ）x + y 2
2 2
y +2 （） 3 x +1
y
1
y + 2 y − (−2) 法二： = 可看作圆 x +1 x − (−1) x2 + ( y −1)2 =1上的点与P(−1, −2)两点的 连线的斜率最值，结合图形可求解
求以PA, PB, PC为直径的三个圆面积之和 的最大值和最小值。
Y C
P A B X
解： ∆ABC的三边长分别为3,4,5 Q
∴内切圆的圆心 (1,1)，半径r = 1
2
∴∆ABC是以A为直角顶点的Rt ∆
2
∴内切圆的方程为( x − 1) + ( y − 1) = 1 即x + y − 2 x − 2 y + 1 = 0 设P点坐标为( x, y ) π 2 2 2
2 2
∴圆心 ∴圆心 (1,1) 到直线的距离等于1的 a +b ∴ ( a − 2 )( b − 2 ) = 2
2
充要条件是1 =
a + b − ab
2
( 2 ) .设AB中点为M ( x, y )
则由中点坐标公式得
a x= 2 a = 2x ∴ y = b b = 2 y 2
三、与圆上一点的坐标有关的最值问题： ：
练习1：求实数x, y满足x + ( y −1) = 1,
2 2
求下列各式的最值： （）x + 4 y 13 （ ）x + y 2
2 2
法二：设3x + 4 y = t, 直线与圆相切时取最值 3× 0 + 4×1− t 于是 5 ∴3x + 4 y的最大值为 ，最小值为−1 9 = 1,∴ t − 4 = 5,∴t = 9或−1
2 2 2
9 = 5y − 6y + 4
2
−6 3 当y = − = 时， PM 最小， 10 5 3 3 3 3 3 x = 2× − = − ∴P − , 5 2 10 10 5
练习3：已知∆ABC三个顶点 0,3)，点P是它的内切圆上一点，
o
x
P( −1,−2 )
3 例：已知定点A( −1,0) , B(1,0) 和圆( x −3) +( y − 4) = 4
2 2
上的动点P，求使 PA + PB 最值时点P的坐标。
2 2
解：设P ( x, y ) ∴ PA + PB = ( x +1) + y + ( x −1) + y
2 2 2 2 2 2
2 2
相切的直线l交x轴,y轴于A, B两点，O为原点,
(1) .求证曲线C与直线l相切的条件是 ( a − 2 )( b − 2 ) = 2； ( 2 ) .求线段AB中点的轨迹方程； (3) .求∆AOB的面积的最小值。
OA = a, OB = b ( a > 2, b > 2 ) .
x y l (1) .证明：直线的方程为 + =1 a b 即bx + ay −ab = 0 曲线C的方程为( x −1) +( y −1) =1
2 2
∴S = 4 2
π 2 2 2 2 2 2 = x + y + ( x − 4 ) + y + x + ( y − 3)
=
( PA 4
+ PB + PC
)
π
(11 − x ) ∴当x = 0时，S
Q0 ≤ x ≤ 2

max
11 9 = π；当x = 2时，S min = π 2 2
例5：已知与曲线C：x + y − 2 x − 2 y + 1 = 0
解： ) .圆C可化为：x + 1) + ( y − 2 ) = 2 (1 (
2 2
∴圆心C ( −1, 2 ) , 半径r = 2 设圆C的切线在x轴和y轴上的截距分别为a、b 当a = b = 0时，切线方程可设为y = kx
即kx − y = 0 由点到直线的距离公式得：
∴ 2=
−k − 2 k +1
(
)
x + y + 1 = 0或x + y − 3 = 0
( 2) .连结MC , 则 PM
2
2
= PC − MC
2 2 2
2
Q PM = PO ∴ PC − MC = PO 2 2 2 2 即k ( x + 1) + ( y − 2 ) − 2 = x + y
3 ∴x = 2y − 2
3 ∴ PM = PO = x + y = 2 y − + y 2 2