2 提公因式法
数学：12.2提公因式法第一课时
解:12x2y+18xy2 解:-x2+xy-xz =-x(x+y-z) =3xy(4x+6y)
解:2x3+6x2+2x =2x(x2+3x)
你认为他们的解法正确吗？试说明理由。
小结：提公因式法
1、多项式的第一项系数为负数时，先提
取“-”号，注意多项式的各项变号；
2、 公因式的系数取多项式各项 系数的最大公约数 __________________; 3、 字母取多项式各项中都含有 相同的字母 的____________; 4、 相同字母的指数取各项中最 最低次数 小的一个,即_________.
a b
如果一个多项式的各项含有公因 式，那么就可以把这个公因式提出来， 从而将多项式化成两个因式乘积的形 式.这种分解因式的方法叫做 提公因式法.
多项式2x2+6x3，12a2b3-8a3b2-16ab4 各项的公因式是什么？
你是如何确定的？（小组总结）
确定公因式的方法： 1、定系数：公因式的系数是多项 式各项系数的最大公约数。
例1
（1）把 3a2-9ab分解因式.
解：原式 =3a•a-3a•3b
=3a(a-3b)
3a 3a a 9ab 3a 3b
2
温馨提示 分两步 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式 ， (即将多项式化为两个因式的 乘积)
（2）把8a3b2+12ab3c分解因式 .
分析:先找出各项的公因式,然后再分解. 公因式： 4ab2
提公因式法分解因式与单项式 乘多项式有什么关系？
互逆
分解因式要注意什么？ 1 分解的对象必须是多项式. 2 分解的结果一定是几个整式的 乘积的形式. 3 要分解到不能分解为止.
2 提公因式法
A．5ab(b－a)
B．5a2b2(b－a)源自C．5a2b(b－a)D．以上均不正确
新课讲解
知识点2
提公因式法
(1)多项式2x2＋6x3中各项的公因式是什么？ (2)你能尝试将多项式2x2＋6x3因式分解吗？与同
伴交流.
新课讲解
确定一个多项式的公因式时，要从__数__字__系__数____ 和___字__母__及__其__指__数_____分别进行考虑 . 数字系数
母最低次幂；
新课讲解
典例分析
例 指出下列多项式各项的公因式：
(1)3a2y－3ya＋6y； (42) 8xy3－
9
27
(3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；
(4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.
x3y2；
新课讲解
解：(1)3，6的最大公约数是3，所以公因式的系数是3；
有相同字母y，并且y的最低次数是1，所以公因 式是3y.
新课讲解
添括号法则： (1)添上括号和“＋”号，括到括号里的各项都不
变. (2)添上括号和“－”号，括到括号里的各项都改
变符号.
新课讲解
典例分析
例 把a(x－y)－b(y－x)提公因式后，所得的另一个
因式是( B )
A．a－b
B．a＋b
C．x＋y
D．x－y
分析：因为y－x＝－(x－y)，所以若将－b(y－x)转化为 ＋b(x－y)，则多项式出现公因式x－y，由此可确
5
5
因式1 是－
5
ab，那么另一个A因式是( )
A．c－b＋5ac
B．c＋b－5ac
C．c－b＋ 1 ac
5
ac
1D．c＋b－
4.2《提取公因式法》参考教案2
4.2 提取公因式法教案【教学内容分析】“提取公因式法”是因式分解的最基本、最常用的方法.它的理论依据是逆用分配律，因此，学生接受起来并不难，但因题目各有其特点，形式变化多，所以需要学生具有观察、分析能力和应变能力，这就需要在教学中加以指导、训练.例题讲授及练习题的匹配都要由浅入深，形式多样化.利用这个方法，首先对要分解的多项式进行考察，发现特点及多项式各项之间的内在联系，适当变形.（可利用计算机辅助教学手段，增大教学的容量和教学质量，改变传统的言传身教的方式.）【教学目标】认知目标：⑴在具体情境中认识公因式⑵通过对具体问题的分析及逆用分配律，使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因式法分解因式能力目标：⑴树立学生“化零为整”、“化归”的数学思想，培养学生完整地、辨证地看问题的思想.⑵树立学生全面分析问题，认识问题的思想，提高学生的观察能力，分析问题及逆向思想能力.情感目标：在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性.【教学重点、难点】1．教学重点∶掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则.2．教学难点∶正确地找出公因式【教学方法】理论与实例相结合（采用设问式、启发式）【教学工具】应用投影仪（计算机）【教学过程】㈠创设情境，提出问题如图，一块菜园由两个长方形组成，这些长方形的长分别是3.8m,6.2m,宽都是3.7 m,如何计算这块菜园的面积呢？3.8列式：3.7×3.8+3.7×6.2(学生思考后列式)3.7 有简便算法吗?=3.7×(3.8+6.2)=3.7×10=37(m2)在这一过程中,把3.7换成m,3.8换成a,6.2换成b,于是有:ma＋mb =m(a＋b)利用整式乘法验证: m(a＋b)=ma＋mb可能有学生会提出把两个小的长方形补成一个大的长方形,那就更好,或其他的方法，教师都应该及时肯定学生思维中的闪光点.（使学生初步意识到因式分解可以使运算简便,同时起到使知识进行迁移化归.）【以问题引入能引起学生的学习兴趣，符合学生的认知规律.本课时用“复习引入”亦是一种好办法，即先复习分配律，同时可让学生说出整式乘法与因式分解的联系与区别，以便复习上一节的内容，然后让学生观察引出新内容.】㈡观察分析，探究新知让学生观察多项式：ma+mb（让学生说出其特点：都有m，含有两种运算乘法、加法；然后教师规范其特点，从而引出新知.）各项都含有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式.【把主动权交给学生，尽量让他们自己说，也可尝试让他们取名，使他们体验到成功的喜悦.】注意：公因式是一个多项式中每一项都含有的相同的因式.又如：b是多项式ab-b2各项的公因式2xy是多项式4x2y-6xy2z各项的公因式让学生说出公因式，学生可能会说是2或者是x 、y、2x、2y、2xy等，最后一起确定公因式2xy，让学生初步体会到确定公因式的方法.㈢独立练习，巩固新知。
【课件】2 提公因式法因式分解(2)
- =___(b+a)5;
=___(b+a)6.
(7) (a+b) =___(-b- (8) (a+b)2 =+___(-a-
a);
b)2.
合作交流探究新知
(1)a-b 与 -a+b 互为相反数.
(a-b)n = (b-a)n (n是偶 数）
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇 数(）2)a+b 与 -a-b互为相反数.
反馈练习巩固新知
（1）3(a-b)2+6(ba) （2）x(x-y)2-y(y-x)2
（3）18(a-b)3-12b(ba)2 （4）x(x+y)(x-y) -x (x+y)2
原式=3（a-b)(a-b-2) 原式=（x-y) 3 原式=6（a-b)2(3a-5b) 原式=-2xy（x+y)
课堂 小 结
合作交流探究新知
在下列各式等号右边的括号前填入“+”或 “－”号，使等式成立：
- (1) (a-b) =___(b-a); (2) (a-b+)2
- =___(b-a)2;
(3) (a-b)3 =___(b- (4) (a-b)4 =+___(b-
a)3;
(5) (a+b)5 +
4.2 提取公因式法
提公因式要一次提“全”提“尽”,直到不能再分解为止。
因式分解
回顾
提公因式的方法
1. 当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数; 2. 字母取各项的相同的字母,且各字母的指数取次数最低的; 3. 取相同的多项式,且多项式的次数取最低的.
6(x-2)2+x(2-x) =6(2-x)2 +x(2-x)
=(2-x)[6(2-x)+x] =(2-x)(12-5x)
注意负号的处理
因式分解
回顾
提公因式的方法
1. 当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数; 2. 字母取各项的相同的字母,且各字母的指数取次数最低的; 3. 取相同的多项式,且多项式的次数取最低的. 4. 如果多项式的第一项是负的,一般要提出“—”号,使括号内的第一项的
(2) 若分解1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2 019，则需要应用上述方法 ____2_0_1_9_次，分解因式后的结果是___(1_+_x_)_20_2_0___．
(3)请用上面的方法分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(其中n为正
整数)，必须有具体过程．
C．－3a2b
D．－3a3b3
-3a 2 b 2
注意：取相同字母的最低次幂
因式分解
T32 ．下列利用提取公因式法分解因式，正确的是( ) A．x2y＋7xy＋y＝y(x2＋7x) B．3a2b＋3ab＋6b＝3b(a2＋a＋2) C．6xyz－8xy2＝2xyz(3－4y) D．－4x＋2y－6z＝2(2x＋y－3z)
系数成为正数.提出“—”号时,多项式的各项都要变号.
-3ab+6mabx-9aby =-( 3ab-6mabx+9aby ) 6mabx -3ab-9aby
因式分解常用的六种方法详解
一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。
例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。
常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
北师大版八年级数学下册教案 4-2 提公因式法
4.2提公因式法教学目标【知识与技能】1.了解公因式的意义,能够确定多项式中各项的公因式;2.了解因式分解的提公因式法,能够用提公因式法对多项式进行因式分解.【过程与方法】经历对多项式各项的公因式的意义和因式分解的提公因式法的探究过程.对公因式是多项式的情况,能够用整体思想因式分解.【情感、态度与价值观】养成独立思考的习惯,培养合作交流的意识,在因式分解过程中感受因式分解在简化计算中所起到的作用.教学重难点【教学重点】用提公因式法因式分解.【教学难点】能观察出公因式是多项式的情况,并能合理地进行分解因式.教学过程一、情境导入问题:一块场地由三个矩形组成,这些矩形的长分别为43,32,74,宽都是12,求这块场地的面积.解法一:S=12×43+12×32+12×74=23+34+78=5524;解法二:S=12×43+12×32+12×74=12×(43+32+74)=12×5512=5524.观察上面的解题过程,你发现哪种方法更简便?二、合作探究探究点1公因式典例1多项式6ab2c-3a2bc+12a2b2中各项的公因式是()A.abcB.3a2b2C.3a2b2cD.3ab[解析]系数的最大公约数是3,相同字母的最低指数次幂是ab,所以公因式为3ab.[答案]D多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式.确定多项式中各项的公因式,可概括为三“定”:(1)定系数,即确定各项系数的最大公约数;(2)定字母,即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式);(3)定指数,即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂.探究点2用提公因式法进行因式分解典例2因式分解:(1)4a2+6ab+2a;(2)-5x 3+10x 2-15x ;(3)14a 3b 2-2a 2b 3. [解析] (1)原式=2a ·2a +2a ·3b +2a ·1=2a (2a +3b +1).(2)原式=-5x ·x 2+(-5x )·(-2x )+(-5x )·3=-5x (x 2-2x +3).(3)原式=14(a 3b 2-8a 2b 3)=14a 2b 2(a -8b ).提公因式法的基本步骤:(1)找出公因式;(2)把多项式各项写成公因式与另一项乘积的形式;(3)提公因式并确定另一因式.探究点3 提取多项式公因式进行因式分解典例3 下列因式分解正确的是 ( )A.mn (m -n )-m (n -m )=-m (n -m )(n +1)B.6(p +q )2-2(p +q )=2(p +q )(3p +q -1)C.3(y -x )2+2(x -y )=(y -x )(3y -3x +2)D.3x (x +y )-(x +y )2=(x +y )(2x +y )[解析] mn (m -n )-m (n -m )=-m (n -m )(n +1),A 项正确;6(p +q )2-2(p +q )=2(p +q )(3p +3q -1),B 项错误;3(y -x )2+2(x -y )=(y -x )(3y -3x -2),C 项错误;3x (x +y )-(x +y )2=(x +y )(2x -y ),D 项错误.[答案] A【误区警示】当公因式是形如(a -b )n 或(b -a )n 时,要注意幂指数n 的奇偶性:当n 为偶数时,(a -b )n =(b -a )n ;当n 为奇数时,(a -b )n =-(b -a )n .因此,在确定公因式的时候,“互为相反数的因式”是可以变为“相同的因式”的,这样就可以作为公因式,利用提公因式法因式分解.三、板书设计提公因式法{ 公因式{系数的最大公约数相同字母的最低次幂提公因式法的步骤{①确定公因式②提取公因式③确定另一个因式提取多项式公因式进行因式分解教学反思本节运用类比的数学方法,使学生易于理解和掌握.如学生在接受提取公因式法时,由提公因数到找公因式,由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念,都是利用了类比的数学思想,从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然,容易理解.。
4.2 提取公因式法
要点小结
1．运用提取公因式法分解因式应注意不要犯以下错误： ①提取不尽；②漏项(尤其要注意当某项恰好为公因式 时，提取公因式后，该项应为 1，不可漏掉)；③疏忽 变号；④只提取部分公因式，而最后整个式子未变成 乘积的形式．
2．公因式既可以是单项式，也可以是多项式． 3．添括号法则和去括号法则正好相反，因此可以用去括
是
．
【答案】 (b＋c)(2a－3)
4．分解因式： (1)4x3－6x2．
【解】 原式＝2x2(2x－3)．
(2)a3b3＋a2b2－ab．
【解】 原式＝ab(a2b2＋ab－1)． (3)6a(b－a)2－2(a－b)3．
【解】 原式＝6a(a－b)2－2(a－b)3 ＝2(a－b)23a－(a－b) ＝2(a－b)2(2a＋b)． (4)x(x－y)2－y(x－y)．
【点拨】 添括号时，所添括号前面是“－”号，括到括 号里的各项都要改变符号，这是易错点． 【解析】 (1)前一个小括号前为“＋”号，故小括号内 各项符号不变；后一个小括号前为“－”号，故小括号 内各项都要变号． (2)两个小括号前都没有符号，即都为“＋”号，小括号 内各项符号不变．
【答案】 (1)b＋c b＋c (2)x－3 x－3
【答案】 (1)3a (2)2x2y2 (3)(p－q)
【典例 2】 把下列各式分解因式： (1)8a3b2＋12ab3c． (2)8m2n＋2mn2． (3)2a(b＋c)－3(b＋c)． (4)p(a2＋b2)－q(a2＋b2)．
【点拨】 (1)提取公因式时，对数字系数和字母应分别 进行考虑：如果是整数系数，就应取最大公因数；字母取 各项都含有的相同字母的最低次幂的积． (2)提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因 式．
因式分解的七种常见方法
因式分解的七种常见方法因式分解是代数学中非常重要的一个基本概念，可以帮我们优化计算过程，得到简化的式子。
在因式分解的过程中，需要运用不同的方法来将一个给定的式子分解为若干个简单的乘积，本文将会介绍七种常见的因式分解方法。
1. 公式法公式法是一种较为常见的因式分解方法，它可以应用于一些特定的式子。
公式法常用的公式有两个：（1）$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$该公式被称为"a二次减b二次"公式。
它告诉我们，一个平方数减另一个平方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差。
例如：$16-9=7\times5=(4+3)\times(4-3)$（2）$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$该公式被称为"a立方加b立方"公式。
它告诉我们一个立方数加另一个立方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差减去它们的积。
例如：$8^3+1^3=513=(8+1)\times(8^2-8+1)$2. 提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法。
它的主要思想是将式子中的公因式先提出来，再对剩下的部分进行因式分解。
例如：$ax^2+bx=a(x^2+\frac{b}{a}x)$在上述式子中，$a$是公因式，$(x^2+\frac{b}{a}x)$是剩余部分的因式分解。
这样我们就把原始式子分解成了两个因子的乘积。
3. 十字相乘法十字相乘法主要用于二次三项式的因式分解。
该方法基于以下思想：将二次三项式分解为两个一次三项式的乘积，其中每个一次三项式的首项系数积等于原始式子的二次项系数，常数项积等于原始式子的常数项。
例如：$ax^2+bx+c$，首先将它分解为两个一次三项式$(px+q)(rx+s)$，然后进行十字相乘运算$(px+q)(rx+s)=px\times rx+px\times s+qrx+qs$，其中最后两项括号里的$c$是常数项。
提公因式法的三个步骤
提公因式法的三个步骤提公因式法是一种常用的代数方法，用于将多项式进行因式分解。
它可以将多项式中共同的因式提取出来，使得多项式变得更加简单，是解决代数问题的重要工具。
下面我们将介绍提公因式法的三个步骤。
第一步：找出公因式在使用提公因式法时，首先需要找出多项式中的公因式。
所谓公因式，就是多项式中所有项的共同因子。
通常来说，公因式是多项式中最高次项的系数和变量的乘积。
例如，对于多项式2x^2+4x，它的公因式为2x。
因为2x可以因式分解为2*x，而2和x分别是2x^2和4x的因子。
因此，我们可以将2x提取出来，得到2x(x+2)。
第二步：将公因式提取出来在找到公因式之后，我们需要将它从多项式中提取出来。
这一步可以通过将每一项都除以公因式来实现。
例如，对于多项式2x(x+2)，我们可以将2x提取出来，得到2x(x+2)=2x*1*(x+2)。
第三步：将提取出来的公因式和剩余部分相乘最后一步是将提取出来的公因式和剩余部分相乘，得到原始的多项式。
例如，对于多项式2x(x+2)，我们提取出来的公因式为2x，剩余部分为(x+2)，那么我们可以将它们相乘，得到原始的多项式2x^2+4x。
通过以上三个步骤，我们就可以使用提公因式法将多项式进行因式分解。
在实际应用中，我们需要根据具体情况灵活运用，找到多项式中的公因式，并将其提取出来，最终得到简化后的多项式。
需要注意的是，提公因式法只适用于多项式中存在公因式的情况。
如果多项式中不存在公因式，就需要使用其他的方法来进行因式分解。
此外，在实际应用中，我们还需要注意多项式的次数和项数，以便选择最合适的方法进行因式分解。
提公因式法是一种常用的代数方法，可以将多项式进行因式分解，使得代数问题变得更加简单。
通过掌握提公因式法的三个步骤，我们可以更加灵活地运用它来解决实际问题。
因式分解的四种方法
因式分解的四种方法一、引言因式分解是数学中的一个重要概念，指将一个多项式表达式分解成更简单的乘积形式。
在高中数学中，因式分解是一个重要的章节，也是许多其他数学概念的基础。
本文将介绍四种常见的因式分解方法，包括公因数法、提公因式法、配方法和根与系数法。
二、公因数法1.定义公因数法是指在多项式表达式中找到所有项共有的因子，并将其提取出来，从而得到一个更简单的乘积形式。
2.步骤（1）找出所有项共有的最大公因数；（2）用最大公因数除去每一项中相同的部分；（3）将剩余部分相乘。
3.示例例如：$6x^2+12x$。
（1）找出所有项共有的最大公因数：$6x$；（2）用最大公因数除去每一项中相同的部分：$6x(x+2)$；（3）将剩余部分相乘：$6x(x+2)$。
三、提公因式法1.定义提公因式法是指在多项式表达式中找到可以整除所有项的一个或几个常量或变量，并将其提取出来作为公因式，从而得到一个更简单的乘积形式。
2.步骤（1）找出所有项的公因式；（2）将公因式提取出来，剩余部分相乘。
3.示例例如：$2x^3+4x^2$。
（1）找出所有项的公因式：$2x^2$；（2）将公因式提取出来，剩余部分相乘：$2x^2(x+2)$。
四、配方法1.定义配方法是指通过适当的变形将多项式表达式转化为两个容易因式分解的二次多项式之和或差的形式，从而得到一个更简单的乘积形式。
2.步骤（1）将多项式表达式按照一定规则进行拆分；（2）利用二次多项式之和或差公式进行化简；（3）将化简后的结果进行合并得到最终结果。
3.示例例如：$x^2+6x+5$。
（1）将$x^2+6x+5$拆分为$(x+5)(x+1)$；（2）利用二次多项式之和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$进行化简，得到$(x+5)(x+1)$；（3）将化简后的结果进行合并得到最终结果：$(x+5)(x+1)$。
五、根与系数法1.定义根与系数法是指通过求出多项式的根或零点，并利用这些根或零点的特殊性质，将多项式表达式分解成更简单的乘积形式。
因式分解(提公因式法、公式法)
因式分解讲义一、概念因式分解：把一个多项式化成几个整式乘积的形式,叫做把这个多项式因式分解。
二、因式分解方法1、提公因式法ma+mb+mc=m(a+b+c)公因式：一个多项式每项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式确定方法：（1）系数是整数时取各项最大公约数。
（2）相同字母（或多项式因式）取最低次幂。
（3）系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。
2、公式法（1）平方差公式：即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
（2）完全平方公式：即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和 (或差)的平方。
口诀：首平方，尾平方，积的二倍放中央。
同号加、异号减，符号添在异号前。
公式法小结：（1）公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。
（2）选择公式的方法：主要看项数，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。
（3）完全平方公式要注意正负号。
【典型例题】1、下列从左到右是因式分解的是（ ）A. x(a-b)=ax-bxB. x 2-1+y 2=(x-1)(x+1)+y 2C. x 2-1=(x+1)(x-1)D. ax+bx+c=x(a+b)+c2、若2249a kab b ++可以因式分解为2(23)a b -，则k 的值为______3、已知a 为正整数，试判断2a a +是奇数还是偶数？4、已知关于x 的二次三项式2x mx n ++有一个因式(5)x +，且m+n=17，试求m ，n 的值5、将多项式3222012a b a bc -分解因式，应提取的公因式是（ ）A 、abB 、24a bC 、4abD 、24a bc6、已知(1931)(1317)(1317)(1123)x x x x -----可因式分解为()(8)ax b x c ++，其中a ，b ，c 均为整数，则a+b+c 等于（ ） A 、-12 B 、-32 C 、38 D 、727、分解因式（1）6()4()a a b b a b +-+ （2）3()6()a x y b y x --- （3）12n n n x x x ---+（4）20112010(3)(3)-+- （5）ad bd d -+； （6）4325286x y z x y -（10）（a －3）2－（2a －6） （11）－20a －15ax; （12）（m ＋n ）（p －q ）－（m ＋n ）（q ＋p ）8、先分解因式，再计算求值（1）22(21)(32)(21)(32)(12)(32)x x x x x x x -+--+--+ 其中x=1.5（2）22(2)(1)(1)(2)a a a a a -++--- 其中a=189、已知多项式42201220112012x x x +++有一个因式为21x ax ++，另一个因式为22012x bx ++，求a+b 的值10、若210ab +=，用因式分解法求253()ab a b ab b ---的值11、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A 、22x 4y +B 、22x 2y 1-+C 、224x y -+D 、224x y --12、分解下列因式（1）2312x - （2）2(2)(4)4x x x +++- （3）22()()x y x y +--（4）32x xy - （5）2()1a b -- （6）22229()30()25()a b a b a b ---++（7）2522-b a ； （8）229161b a +-； （9）22)()(4b a b a +--（10）22009201120101⨯- （11）22222100999897...21-+-++-13、若n 为正整数，则22(21)(21)n n +--一定能被8整除14、)10011)(9911()411)(311)(211(22222--⋅⋅⋅---15、在多项式①22x 2xy y +- ②22x 2xy y -+- ③22x xy+y + ④24x 1+4x +，（5）2161a +中，能用完全平方公式分解因式的有（ ）16、A 、①② B 、②③ C 、①④ D 、②④16、222)2(4)________(y x y x -=++ 222)(88)_______(8y x y x +=++。
第4章因式分解 题型解读2 “提取公因式法”题型-2020-2021学年北师大版八年级数学下册
《分解因式》题型解读2 “提取公因式法”题型【知识梳理】1.题型特点：有关“公因式提取”的题目2.解题方法：（1）找公因式的方法：①找各系数的最大公因数；②找相同字母的最低次幂；③多项式第一项的系数是负数的,公因式要包括负号.（2）用“公因式法”进行因式分解的步骤：①“提”、②“公”、③“分”、④“变”；【典型例题】例1．下面的多项式中，能因式分解的是（）A．m²+n² B．m²+4m+1 C．m²-n D．m²-2m+1解析:并不是所有的多项式都要以因式分解.一般我们遵循以下步骤来判断是否可以因式分解或进行因式分解：(1)通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；(2)看看多项式能否采用"十字相乘法"进行因式分解;(3)若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；选项A不符合平方差公式,选项B不符合完全平方公式,选项C没有公因式,而(4)选项D是一个完全平方公式,故选D例2.多项式-2x²-12xy²+8xy³的公因式是（）A．2xy B．24x²y³C．-2x D．2x解析:在找一个多项式的公因式时,要遵循三点:(1)找各系数的最大公因数;(2)找相同字母的最低次幂;(3)多项式第一项的系数是负数的,公因式要包括负号.答案选C例3．下列多项式中能用提公因式法分解的是（）A．x²+y² B．x²-y²C．x²+2x+1 D．x²+2x解析：选D，公因式是x；例4．下列各式中，不含因式a+1的是（）A．a²-1 B．2a²+4a+2C．a²+a-2 D．a²-2a-3解析：选项A分解为：(a+1)(a-1)，选项B分解为：2(a+1)(a+1)，选项C分解为：(a-1)(a+2)，选项D分解为：(a+1)(a-3)，选C.例5．下列因式分解中，是利用提公因式法分解的是（）A．a²-b²=（a+b）（a-b） B．a²-2ab+b²=（a-b）²C．ab+ac=a（b+c） D．a²+2ab+b²=（a+b）²解析：选项A：平方差公式，选项B和选项D：完全平方公式，选C例6． 3m（a-b）-9n（b-a）的公因式是_____________解析：公因式是3(a-b)例7．多项式12ab³c-8a³b的公因式是__________解析：公因式是4ab例8．多项式15m³n²+5m²n-20m²n³的公因式是______________解析：公因式是5m²n例9．代数式15ax²-15a与10x²+20x+10的公因式是________________ 解析：公因式是5(x+1)例10．多项式mx²-m与多项式x²-2x+1的公因式是________________ 解析：公因式是 (x-1)例11．若x²-4x+3与x²+2x-3的公因式为x-c，则c=_________解析：公因式是：(x-1),∴c=1；例12．将-a²b-ab²提公因式后，另一个因式是_________解析：公因式是：-1ab,∴另一个因式是a+2b；2例13．分解因式（a-b）（a²-ab+b²）-ab（b-a）为________________ 解析：原式分解为：(a-b)( a² +b²);例14．已知a+b=3，ab=2，计算：a²b+ab²=____________解析：原式=ab(a+b)=2×3=6;例15.计算：计算：22018−(−2)2019=________________解析：原式=原式=22018+22019=22018+2•22018=3•22018例16．分解因式（1）因式分解：a2﹣5a= ．解：a2﹣5a=a（a﹣5）．（2）因式分解：2x2﹣8= ．解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．（3）因式分解：ab+ac= ．解：ab+ac=a（b+c）．（4）（x+2）x﹣x﹣2= ．解：原式=（x+2）（x﹣1）．（5）若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2= 4 ．解：∵a+b=4，ab=1，∴a2b+ab2=ab（a+b）=1×4=4．（6）分解因式：m2﹣3m= ）．解：m2﹣3m=m（m﹣3）．（7）因式分解：（a﹣b）2﹣（b﹣a）= ．解：原式=（a﹣b）2+（a﹣b）=（a﹣b）（a﹣b+1），（8）多项式4a﹣a3分解因式的结果是（）A．a（4﹣a2） B．a（2﹣a）（2+a）C．a（a﹣2）（a+2）D．a（2﹣a）2解：4a﹣a3=a（4﹣a2）=a（2﹣a）（2+a）．故选：B．（9）将多项式x﹣x3因式分解正确的是（）A．x（x2﹣1） B．x（1﹣x2）C．x（x+1）（x﹣1）D．x（1+x）（1﹣x）解：x﹣x3=x（1﹣x2）=x（1﹣x）（1+x）．故选：D．。
提公因式法2全国一等奖教学设计
提公因式法（二）宁远八中龙红莲教学目标1、进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法．2、进一步培养学生的观察能力和类比推理能力．3、通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点． 教学重点：能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式． 教学难点：准确找出公因式，并能正确进行分解因式．教学方法：四环节教学法教学过程一、学阅读教材－n=__________[－（mn ）];（6）－2t 2=__________（2－t 2）．2、请你找出下列多项式的公因式。
①)2(3)2(---x x x 的公因式是；②)2(3)2(x x x ---的公因式是；③22))(())((a b c a b a c a ----+的公因式是。
3、把下列多项式因式分解。
①)()(y x x y x y -+-；②)()(x y x y x y -+-；③22)()(x y b y x a ---；④33)()(x y b y x a ---。
二、议与评：1、－2与2－有何不同，可以相互转化吗（a －b ）2与（b －a ）2是否相同请说出你判断的理由。
（a －b ）3与（b －a ）3呢2、通过前面的学习，你认为在提公因式时应如何做（提示：①公因式可能是单项式，也可能是多项式；②第一项为“－”号时，公因式应为“－”号；③今后遇到像3题②小题的题目时，结果为互为相反数形式的两个多项式相乘要化成完全平方公式；④只要是同学们的经验或体会即可。
）三、练1、把下列各式分解因式：（1）（ab ）（ab ）；（2）3a （－）－（－）；（3）6（－2）b （2－m ）；（5）2（－）23（－）；（6）mn （m －n ）－m （n －m ）22、已知a 、b 、c 为△ABC 的边长，且0)()(=---c b a b b a ，试判断△ABC 的形状。
3、把下列多项式因式分解。
①)(5)(3b a a b a a ---②)62()3(---y y x四、作业：基础训练五、教学小结与反思。
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用提公因式法分解因式的步骤： 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式 ； 第三步， 将多项式化成两个因 式 乘积的形式。
（2） 8a b -12abc+ab
解：原式 ab 8a b ab 12c ab 1
2 3
3
2
3
ab(8a 2b 12c 3 1)
（3） – 24x3 –12x2 +28x 2 3 解：原式= ( 24x 12x 28 x ) 2 ( 4 x 6 x 4 x 3 x 4 x 7) = 4 x ( 6 x 23 x 7)
4、用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）公因式要提尽； （2）小心漏项;
布置作业
1.完成练习册本课时的习题
我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做 这个多项式各项的公因式。
（1）确定下列各多项式中的公因式？
1) a c+ b c
2) 3x2 +9xy
c
3x ab
4 2
3) a2b – 2ab2 + ab
4) 4x y 6x y 8x y
3 2
2x y
2
（2）多项式中的公因式是如何确定的？ (交流探索）
正确找出多项式各项公因式的关键是：
定系数： 公因式的系数是多项式各项系数的最大 公约数。 （当系数是整数时） 字母取多项式各项中都含有的相同 定字母： 的字母。 定指数： 相同字母的指数取各项中字母的 最低次幂。
随堂演练
例1、 找 2 x 2 + 6 x 3 的公因式。
定字母 所以，公因式是 2 x 2
⑴ 5×3＋5×(-6)＋5×2 ⑵ 2πR＋2πr ⑶ ma＋mb ⑷ cx－cy＋cz
合作探究 观察下列各式的结构有什么特点：
⑴ 5×3＋5×(-6)＋5×2 ⑵ 2πR＋2πr ⑶ ma有什么特点：
⑴ 5×3＋5×(-6)＋5×2 ⑵ 2πR＋2πr ⑶ ma＋mb ⑷ cx－cy＋cz
2 提公因式法
北师大版 八年级下册
比一比谁最快
5 5 5 15 9 2 8 8 8
请问你刚才用了什么方法？依据是什么？
合作探究 观察下列各式的结构有什么特点：
⑴ 5×3＋5×(-6)＋5×2 ⑵ 2πR＋2πr ⑶ ma＋mb ⑷ cx－cy＋cz
合作探究 观察下列各式的结构有什么特点：
定系数
2
x
2 定指数
2 X + 6 x = 2 X (1 +3 X) 如果一个多项式的各项含有公因式，那么
2
3
2
就可以把这个公因式提出来，从而将多项式
化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的
方法叫做提公因式法。
例2、 将下列各式分解因式：
（1） 3a2-9ab
解：原式 =3a•a-3a•3b
=3a(a-3b)
合作探究 观察下列各式的结构有什么特点：
⑴ 5×3＋5×(-6)＋5×2 ⑵ 2πR＋2πr ⑶ ma＋mb ⑷ cx－cy＋cz
合作探究 观察下列各式的结构有什么特点：
⑴ 5×3＋5×(-6)＋5×2 ⑵ 2πR＋2πr ⑶ ma＋mb ⑷ cx－cy＋cz
公共特点：各式中的各项都含有一个相同的 因数或因式
当多项式第一项系 数是负数，通常先 提出“ ”号，使 括号内第一项系数 变为正数，注意括 号内各项都要变号。
过关测试
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课堂小结
1、什么叫公因式、提公因式法？ 2、确定公因式的方法：
1)定系数 2)定字母 3)定指数
3、用提公因式法分解因式的步骤：
第一步，找出公因式； 第二步，提公因式； 第三 步，把多项式化成两个因式乘积的形式。