北师大版必修5高中数学1.1《求数列的通项公式》word导学案
高中数学1-1第1课时数列的概念同步导学案北师大版必修5
本章概括●课程目标1.双基目标（ 1）经过平时生活中的实例，认识数列的看法和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），认识数列是一种特别的函数；（ 2）经过实例，理解等差数列、等比数列的看法；（ 3）研究并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和的公式.在公式的推导过程中，经过察看、实验、猜想、归纳、类比、抽象、归纳等过程，经过反省、沟通，培育学生察看、剖析、研究、归纳的能力，领会由特别到一般，由一般到特别的思想方法；（ 4）领会等差数列与一次函数，等比数列与指数函数的关系；（ 5）能在详细问题情境中，发现等差、等比数列模型，并能运用有关知识解决相应的问题.2.感情目标（ 1）经过本章学习提升察看、剖析、归纳、猜想的能力.（ 2）“兴趣是最好的老师” ，数列中的奇妙与兴趣定会激发你去学习，去思虑，去研究.（3）经过成立数列模型，以及应用数列模型解决实质问题的过程，培育学生提出、剖析、解决问题的能力，提升学生的基本数学修养，为后续的学习确立优秀的数学基础.●要点难点要点：等差数列与等比数列的通项公式.前 n 项和公式及其应用，等差数列的性质及判断，等比数列的性质及应用.难点：等差数列、等比数列的性质及应用.●方法研究1.联合实例，经过察看、剖析、归纳、猜想，让学生经历数列看法、公式、性质的发现和推证过程，发现数列的递推公式，领会递推方法是给出数列和研究有关数列问题的重要方法.2.借助类比、对照，领会数列是一种特别的函数. 经历类比函数研究数列，使用函数的思想方法解决数列问题，对照等差数列研究等比数列，对照一次函数、二次函数、指数函数研究等差数列、等比数列的过程.3.指引学生采集有关资料，经历发现等差（等比）关系，成立等差数列和等比数列的模型的过程，研究它们的看法、通项公式、前n 项和公式及其性质，领会它们的宽泛应用.4.帮助学生不停发现、梳理和体验本章包含着的丰富的数学思想方法，设计适合的训练，进一步感觉“察看、试验、归纳、猜想、证明”的方法和模型化思想，函数与方程、转变与化归、分类议论等数学思想，体验叠加、累乘、迭代、倒序相加、乘以公比错位相减等详细方法.本章注意问题：（1）多联合实例，经过实例去理解数列的有关看法 . 数列与函数亲密有关，多角度比较二者之间的异同，加深对双方面内容的理解 . 在解题或复习时，应自觉地运用函数的思想方法去思虑和解决数列问题，特别是平等差数列或等比数列的问题 . 运用函数思想方法以及利用它所获得的很多结论，不单能够深入对数列知识的理解，并且可使这种问题的解答更加迅速、合理.（2）擅长对照学习 . 学习等差数列后，再学等比数列时，能够把等差数列作为模型，从等差数列研究过的问题下手，再研究出等比数列的相应问题，两相比较，能够发现，在这两种数列的定义、一般形式、通项形式、中项及性质中，用了一些相近似的语句和公式形式，但内容却不同样，之所以有这样的差别，原由在于“差”与“比”不同. 经过对照学习，加深了对两种特别数列实质的理解，会收到事半功倍的成效. （3）要重视数学思想方法的指导作用. 本章包含丰富的数学看法、数学思想和方法，学习时应赐予充足注意，解题时多考虑与之相联系的数学思想方法.§1数列第 1 课时数列的看法知能目标解读1. 经过平时生活中的实例，认识数列的看法.2.掌握并理解数列、数列通项公式、递推公式的看法，能划分项和项数，并能依据数列的前几项写出它的一个通项公式，能依据数列的递推公式写出数列的前几项.3.认识数列的分类 .4. 认识数列的表示方法：列表法、图像法、通项公式法、递推公式法.要点难点点拨要点：认识数列的看法和简单表示方法，领会数列是反应自然规律的数学模型.难点：将数列作为一种函数去认识、认识.学习方法指导1.数列的定义(1)数列与数集是不同的，有序性是数列的基本属性. 两组完整同样的数，因为摆列的次序不同样，就构成了不同的数列. 所以用记号 { a n} 表示数列时，不可以把{ a n} 当作一个会合，这是因为：①数列{ a n} 中的项是有序的，而会合中的元素是无序的；②数列{ a n} 中的数是能够重复的，即数列{ a n} 中能够有相等的项，如1,1,2,2,，但会合中的元素是互异的；③数列中的每一项都是数，而会合中的元素还能够代表除数之外的其余事物 .(2) 数列中的项的表示往常用英文字母加右下角标来表示，如a n.此中的右下角标n 表示项的地点序号.(3){ a n} 与a n是不同的看法，{ a n} 表示数列a1, a2, a3,, a n, ，而a n仅表示数列的第n 项.2.数列的项与项数数列的项与它的项数是两个不同的看法，数列的项是指出此刻这个数列中的某一个确立的数a n，因为数列{ a n} 的每一项的序号n与这一项a n的对应关系能够当作序号会合到项的会合的函数，故数列中的项是一个函数值，即 f ( n).而项数是指这个数在数列中的地点序号，它是这个函数值 f ( n)对应的自变量的值，即n 的会合是自然数集（或其子集）.3.数列的分类判断一个数列是有穷数列仍是无量数列，应明确数列元素的构成以及影响构成元素的因素是有限仍是无穷的 .4.通项公式(1)因为数列可看做是定义域为正整数集N+( 或它的有限子集 ) 的函数，数列中的各项为当自变量从小到大挨次取值时，该函数所对应的一列函数值，所以数列的通项公式就是相应的函数分析式，项数n 是相应的自变量 .(2) 假如知道了数列的通项公式，那么挨次用1,2,3 去代替公式中的n 就能够求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也能够判断某数是不是某数列中的项，假如是的话，是第几项.(3) 如全部的函数关系不必定都有分析式同样，其实不是全部的数列都有通项公式.如 2 的近似值，精准到1,0.1,0.01,0.001,0.0001,所构成的数列1,1.4,1.41,1.414,1.4142，就没有通项公式 .注意：(1) 一个数列的通项公式不独一，能够有不同的形式，如a n=(-1)n，能够写成a n=(-1)n+2，还-1 ( n为奇数 )能够写成a n=，这些通项公式固然形式上不同，但都表示同一数列.1( n为偶数 ),(2)有些数列，只给出它的前几项，并无给出它的构成规律，那么仅由前方几项归纳出的数列通项公式其实不独一 . 如数列 2,4,8, 依占有限项能够写成a n=2n，也能够写成a n=n2- n+2. 只需切合已知前几项的构成规律即可 .5. 数列的递推公式(1)递推公式：假如已知数列的第1 项 ( 或前几项 ) ，且从第二项（或第二项此后的某一项）开始的任一项a n与它的前一项a n-1(或前几项)间的关系能够用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种重要方法.(2)对于递推公式及应用需注意的几个问题：①通项公式和递推公式的差别通项公式直接反应a n和 n 之间的关系，即 a n是 n 的函数，知道随意一个详细的n 值，经过通项公式就能够求出该项的值a n；而递推公式则是间接反应数列的式子，它是数列随意两个（或多个）相邻项之间的推导关系，不可以由n 直接得出 a n.②怎样用递推公式给出一个数列用递推公式给出一个数列，一定给出①“基础” ——数列 { a n} 的第 1 项或前几项；②递推关系——数列{ a n} 的任一项a n与它的前一项a n-1(或前几项)之间的关系，并且这个关系能够用一个公式来表示.注意： (1) 其实不是任何数列都能写出通项公式或递推公式.(2) 此后学习或研究的数列常常以递推公式的方式给出定义或供给信息.(3) 依据数列的递推公式可求数列中的任一项.比如：设数列{ a n} 知足：a1=1，写出这个数的前 5 项 .1 ( n>1)a =1+na n 1由题意可知 a1=1, a2=1+1=1+1=2, a3=1+1=1+1=3， a4=1+1=1+2=5，a5=1+1=1+3=8. a1 a2 2 2 a3 3 3 a4 5 5∴此数列前 5 项分别为： 1，2，3，5，8.23 5本例显示，递推公式和通项公式是反应数列构成规律的两个不同形式. 递推公式反应的是相邻两项或几项之间的关系，它固然揭露了一些数列的性质，但要认识数列的全貌，还需要进行计算，它的计算其实不方便. 而通项公式更着重整体性和一致性，利用通项公式可求出数列中的随意一项.知能自主梳理1.数列的看法（ 1）数列：一般地，依据必定摆列的一列数叫做数列.（ 2）项：数列中的每个数都叫做这个数列的.（3）数列的表示：数列的一般形式能够写成a1, a2, a3, , a n, , 简记为： . 数列的第 1 项a1也称，a n是数列的第 n 项，叫数列的.2.数列的分类项数有限的数列叫作，项数无穷的数列叫作.3.数列的通项公式假如数列｛ a ｝的第n 项 a 与n 之间的函数关系能够用一个式子表示成 a = ( ) ，那么式子叫作数列 { a } n n n n的 .4.数列的表示方法数列的表示方法一般有三种：、、.［答案］ 1.(1)序次(2) 项(3) ｛a n｝首项通项2. 有穷数列无量数列3.通项公式4.列表法图像法分析法思路方法技巧命题方向数列的看法［例 1］以下各式哪些是数列？假如数列，哪些是有穷数列？哪些是无量数列？(1){0,1,2,3,4};(2)0,1,2,3,4;(3)0,1,2,3,4;(4)1, -1,1,-1,1,-1 ;(5)6,6,6,6,6.［剖析］此类问题的解决，一定要对数列及其有关看法理解认识到位，联合有关看法及定义来解决. ［分析］（ 1）是会合，不是数列；（2）、（ 3）、（ 4）、（5）是数列 .此中（ 3）、（ 4）是无量数列，（2）、（ 5）是有穷数列 .变式应用 1 以下说法正确的选项是 ()A. 数列 2,3,4 与数列 4,3,2 是同一数列B. 数列 1,2,3 与数列 1,2,3, 是同一数列C. 1,4,2, 1， 5不是数列3D. 数列 {2 n-3} 与 -1,1,3,5, 不必定是同一数列［答案］ D［分析］由数列的看法知 A 中的两个数列中的数固然同样，但摆列次序不同样， B 中的两个数列前者为有穷数列，后者为无量数列，故A、 B 均不正确， C中明显是数列， D 中数列 {2 n-3} 是确立数列，通项公式为a n=2n-3，但-1,1,3,5，前4项切合 a n=2n-3,但后边的项不必定切合此规律，故不必定是同一数列.命题方向数列的通项公式［例 2］写出下边各数列的一个通项公式(1)3,5,9,17,33, ;(2)2，4，6，8， ；3153563(3) 1,2,9，8，25， ;222(4) 221， 322，423， 524， .135 7［剖析］ 经过察看，找出所给出的项与项数 n 关系的规律，再写通项公式.［分析］(1) 经过察看，发现各项分别减去1，变成 2,4,8,16,32,其通项公式为 2n ，故原数列的一个通项公式为 a n =2n +1.(2) 经过察看，发现分子部分为正偶数数列{2 n } ，分母各项分解因式： 1· 3,3 · 5， 5·7 ，7· 9, 为相邻奇数的乘积，即 (2 n -1) · (2 n +1) ，故原数列的一个通项公式为2n.a =n(2n 1)(2n 1)(3) 因为在所给数列的项中，有的是分数，有的是整数，可将各项都一致成分数，再察看，在数列1 , 4 ，2 29，16，25， 中，分母为 2，分子为 n 2，故 a n =n 2.2 2 22(4) 数列中每一项由三部分构成，分母是从1 开始的奇数列，其通项公式为2n -1 ；分子的前一部分是从 2 开始的自然数的平方，其通项公式为 ( n +1) 2，分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为 n ，综合得原数列的一个通项公式为(n 1)2n n 2 n 1a == .n2n 12n 1［说明］在依据数列的前 n 项求数列的一个通项公式时，要注意察看每一项的特色 . 解题的注意力应集中到追求数列的项与项数的关系上来，察看这几项的表示式中哪些部分是变化的，哪些部分是不变的，再研究各项中变化部分与对应的项数之间的关系，进而归纳出项与项数关系的规律，写出通项公式.变式应用 2 写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是以下各数：（ 1） 1， 3， 7， 15，31， ;（ 2）1， 1， 1， 1， ；234第n 项有 n 个 9（ 3） 0.9 ，0.99 ， 0.999 ， ， 0. 99 9， .［分析］（ 1）注意察看各项发现各项分别加上1，变成 2,4,8,16,32,, 其通项公式为2n , 故原数列通项公式为 an∈ N +;=2 -1,n（ 2）调整为 1 ，1 ， 1 ， 1 ，它的前几项都是自然数的倒数，∴ 1 ；a =1 2 3 4nn（ 3） 0.9=1 － 0.1 ， 0.99=1 －0.01 ， 0.999=1 － 0.001 ，n 个9n 个 0∴第 n 项 a n =0. 999 =1－ 0. 00 0 1=1－1.10n命题方向数列通项公式的简单应用［例 3］在数列｛ a n ｝中通项公式是 a n ＝（ -1 ）n-1· n 2, 写出该数列的前 5 项，并判断 81 是(2n 1)(n1)170否是该数列中的项？假如是，是第几项，假如不是，请说明原由.［剖析］由通项公式写出数列的前5 项，令 a = 81, 判断能否有正整数解即可 .n170［分析］12 ＝ 1 ，a =(-1) 1 · 22＝－ 42·32＝ 9 .a =(-1) ·， a =(-1)11 2 223 3935 4204=(-1) 3·42＝－16， a 5=(-1) 4 · 52＝25.a7 5359 6 54∴该数列前 5 项分别为：1，－4，9 ，- 16, 25 .2920 35 54令 (-1) n-1 ·(2n n 21) =81得1)( n 170n >1 且为奇数8n 2-81 n +81=0.∴ n =9. 所以81是该数列中的第 9 项 .170［说明］ 已知数列的通项公式能够写出该数列中的随意一项，能够判断一个数（或代数式）能否为该数 列中的项 . 令通项公式等于这个数，若方程有正整数解，则该数是数列中的项，不然不是 .变式应用 3以下四个数中，哪个是数列 { n （ n ＋ 1） } 中的项（）A. 380B. 39C. 32D. 23［剖析］ 数列 { a } 的通项公式 f ( n )= n · ( n +1) ，对于某个数 m ，若 m 是数列 { a } 中的项，则 n ·（ n +1） =mnn必有正整数解 . 若无正整数解，则 m 必定不是 { a } 中的项 .n［答案］ A［分析］ 挨次令 n ( n +1)=23 或 32 或 39 查验知无整数解 . 只有 n ·（ n +1） =380 有整数解 n =19.研究延拓创新命题方向 数列的递推公式［例 4］在数列 { a n } 中， a 1=2, a 2=1, 且 a n+2=3a n+1- a n , 求 a 6+a 4-3 a 5.［剖析］ 由 a 1=2， a 2=1 及递推公式 a n+2=3a n+1- a n , 挨次找出 a 3, a 4, a 5, a 6 即可 . ［分析］ 解法一：∵ a 1=2, a 2=1, a n+2 =3a n+1- a n ,∴ a 3=3a 2- a 1=3× 1-2=1,a 4 =3a 3- a 2=3× 1-1=2,a 5 =3a 4- a 3=3× 2-1=5,a 6 =3a 5- a 4=3× 5-2=13,∴ a 6+a 4-3 a 5=13+2-3 × 5=0.解法二：∵ a n+2 =3a n+1 - a n ,令 n =4, 则有 a 6=3a 5- a 4, ∴ a 6+a 4-3 a 5=0.［说明］递推公式是给出数列的一种方法，应用递推公式能够求数列中的项，但需要一项一项递推，故在运算过程中要特别仔细 .变式应用 4已知数列 { an }的首项1=1,an=2 n-1 +1( n ≥ 2) ，那么 a 5=.a a［答案］ 31［分析］由递推关系式 a n =2a n-1 +1 和 a 1=1 可得a 2 =2a 1+1=3, a 3=2a 2+1=7,a 4 =2a 3+1=15, a 5=2a 4+1=31.名师辨误做答［例 5］已知数列 { a } 的前 4 项为 1,0,1,0，则以下各式能够作为数列{ a } 的通项公式的有（）nn① a1 ［ 1+(-1) n+1 ］ ; ② a =sin2 nπ， ( ∈ N +); ③ a1 ［ 1+(-1) n+1 ］ +( -1)( n -2); ④ a1 cosn π===;n2n2n2n21 ( n 为偶数 )⑤ a n =0 ( n 为奇数 )A.4 个B. 3 个C.2 个D. 1 个［误会］ D［辨析］ 误会的原由是以为通项公式只有一个而致使错误.［正解］B 将 n =1,2,3,4 分别代入考证可知①②④均正确. 均能够作为数列的通项公式，而③⑤不是数列的通项公式，答案选B.讲堂稳固训练一、选择题1. 数列 2 ， 5 ， 2 2 ， 11 ， ，则 2 5 是该数列的（）A.第6项B.第7项C.第10项D.第 11 项［答案］B［分析］数列 2， 5 ，2 2 ， 11 ， 的一个通项公式为 a n = 3n 1 ( n ∈ N ＋), 令 2 5 ＝ 3n 1 ,得 n =7. 应选 B.2. 数列 0， 1 ， 1 ， 3 ， 2， 的通项公式为（）32 53n 2B. a n 1C. a = n1D. a n2 A. a ===nnn nn1n2nn［答案］ C［分析］解法一：考证当 n =1 时， a 1=0, 清除 A 、D ；当 n =2 时， a 2= 1, 清除 B ，应选 C.3解法二：数列 0，1，1，3，2， 即数列0，1，2，3，4， ，3253 234 56∴该数列的一个通项公式为a n =n 1,应选 C.n 13. 数列 1，3， 6， 10， x ， 21， 中， x 的值是（） A.12B.13C.15D.16［答案］C［分析］∵ 3-1=2,6-3=3,10-6=4,x -10=5∴,∴x =15.21-x =6二、填空题4. 已知数列 {a n }的通项公式为n=2 +1, 则k +1=.a n a［答案］2k +3［分析］∵ a n =2n +1, ∴a k +1=2( k +1)+1=2 k +3.5. 已知数列｛ a n ｝的通项公式 a n =1 ( n ∈ N +), 则1是这个数列的第项 .n(n 2) 120［答案］ 10［分析］令 a1 , 即11 ,==n120 n( n 2) 120解得 n =10 或 n =-12 （舍去） . 三、解答题6. 依据数列的前四项的规律，写出以下数列的一个通项公式 .(1)-1,1,-1,1;(2)-3,12,-27,48;(3)3，1, 5，3;5211 7(4)2，4，6，8.315 35 63［分析］ (1) 各项绝对值为1，奇数项为负，偶数项为正，故通项公式为a n =(-1)n;(2) 各项绝对值能够写成 3×12 ,3 × 22,3 × 32,3 × 42, ，又因为奇数项为负， 偶数项为正， 故通项公式为 a n =(-1) n 3n 2;(3) 因为 1=4,3 =6，各项分母挨次为5,8,11,14 ，为序号 3n +2；分子挨次为3,4,5,6 为序号 n +2，故28 7 14通项公式为 a n = n 2 ;3n 2(4) 因为分母 3,15,35,63可看作2 22-1 ，2a =2n=2n.2 -1,4-1, 6 8 -1 ，故通项公式为n(2n) 2 1 4n 21课后加强作业一、选择题1. 已知数列 1 , 2 , 3 ,4, ,n , 则 0.96 是该数列的（）2 3 4 5n 1A.第 22 项B.第 24 项C.第 26 项D.第 28 项［答案］ B［分析］因为数列的通项公式为a n =n, 由n=0.96 得 n =24，应选 B.n 1n 12. 已知 a n =n 2+n , 那么（）A.0 是数列中的项B.20 是数列中的项C.3 是数列中的项D.930 不是数列中的项［答案］B［分析］∵ a n =n ( n +1), 且 n ∈N +,∴ a n 的值为正偶数，故清除A 、C ；令 n 2+n =20, 即 n 2+n -20=0, 解得 n =4 或 n =-5( 舍去 ).∴ a 4=20, 故 B 正确；令 n 2+n =930, 即（ n +31） ( n -30)=0.∴ n =30 或 n =-31( 舍去 )∴ a 30 =930, 故 D 错 .3. 下边四个结论：①数列能够看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1 ， 2， 3 ， n } ）上的函数 .②数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点.③数列的项数是无穷的.④数列通项的表示式是独一的.此中正确的选项是（ ）A. ①②B. ①②③C. ②③D. ①②③④［答案］ A［分析］数列的项数能够是有限的也能够是无穷的 . 数列通项的表示式能够不独一 . 比如数列 1， 0， -1 ，0， 1， 0， -1 ， 0 的通项能够是 a n =sinn，也能够是 a n =cos(n 3)等等 .224. 数列 2，0， 4， 0， 6， 0， 的一个通项公式是（）A. a n = n［ 1+(-1) n ］B. a n =n 2 1［ 1+(-1) n +1］2n ［ 1+(-1) n+1 ］n 1 ［ 1+(-1) nC. a =D. a =］nn22［答案］ B［分析］经考证可知 B 切合要求 .3n +1( n 为奇数 )5. 已知数列 { a } 的通项公式是 a =,则2 3等于（）nn2n -2( n 为偶数 )A.70B.28C.20D.8［答案］ C［分析］由通项公式可得a 2=2, a 3=10, ∴ a 2 a 3=20.+45，则以下表达正确的选项是A.20 不是这个数列中的项B. 只有第5项是 20C. 只有第 9 项是 20D. 这个数列第 5 项、第9 项都是 20［答案］ D［分析］令 a n=20,得 n2-14 n+45=0,解得 n=5或 n=9,应选D.7. 已知数列5, 11 , 17 ， 23, 29 , ,则5 5 是它的第（）A.18 项B.19 项C.20 项D.21 项［答案］ D［分析］察看可得 { a } 的通项公式 : a = 6n 1 ,(n∈N ),5 5 = 125 = 6n 1 ,所以n=21.n n +8. 已知数列 { a } 对随意的p 、q∈N+知足 a = + a，且a 2=-6，那么a 10 等于（）n p+q p qA.-165B.-33C.-30D.-21［答案］ C［分析］∵对随意p 、q ∈N+都有a = + a.p+q p q∴a10=a8+a2=a4+a4+a2=5a2=-30.二、填空题9. 已知数列 3 ,3,15 ,21 ,3 3 ,,3(2n 1) ,, 则 9 是这个数列的第项.［答案］14［分析］数列可写为 3 , 3 3 ， 3 5 ， 3 7 ， 3 9 ，，3(2n 1) ,,所以 a n= 3(2n 1) , 令3( 2n 1) =9.∴n=14.10. 已知数列 { a } 中，a = 2a n 对随意正自然数n 都成立，且 a = 1 ，则 a =.n n+1a n 2 725［答案］ 1［分析］由已知 a = 2a6 = 1 27a6 2 2 6 3又∵a 6=2a5 =2, ∴5=1. a5 2 3a11. 已知数列｛a n｝的通项公式是a n= n2 n 1, 则它的前4项为.n 1 ［答案］3，7，13， 21.2 3 4 5［分析］取 =1,2,3,4, 即可计算出结果 .n当 n=1时， a 1 1 1 3= = ,11 1 2当 n=2时， a 4 2 1 7= = ,22 1 311 / 12当 n =3 时， a 3=931 =13,3 14当 n =4 时， a 4=1641 =21.4 1512. 以下有四种说法，此中正确的说法是 .①数列 a,a,a , 是无量数列；②数列 0,-1,-2,-3,的各项不行能为正数；③数列｛ f ( n ) ｝可 以看作是一个定义域为正整数N +或它的有限子集｛ 1， 2， ， n ｝的函数值；④已知数列｛ a n ｝，则数列｛ a n+1- a n ｝也是一个数列 .［答案］①④［分析］题中①④明显正确，对于②，数列只给出前四项，后边的项是不确立的，所以②不正确，对于③，数列能够看作是一个定义域为正整数 N +或它的有限子集｛ 1， 2, , n ｝的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，所以③不正确.三、解答题13. 依据数列的通项公式，写出它的前4 项：（ 1） a = n;nn 2n （ 2） a n =( 1).n［分析］(1) 在通项公式中挨次取 n =1,2,3,4, 即可得数列｛ a n ｝的前 4 项为 :a 1 = 1 , a 2= 2 = 1 , a 3= 3 , a 4= 4 = 2.3 4 2 5 6 3(2) 在通项公式中挨次取n =1,2,3,4, 即可得数列｛ a ｝的前 4 项为： a =-1, a = 11 1, a =-, a= .n1 2 3442 314. 数列｛ a n ｝的通项公式是 a n =n 2-7 n +6.（ 1）这个数列的第 4 项是多少？（ 2） 150 是不是这个数列的项？假如这个数列的项，它是第几项？（ 3）该数列从第几项开始此后各项都是正数？［分析］（ 1）当 n =4 时， a 4=42-4 × 7+6＝－ 6.（ 2）令 a n =150, 即 n 2-7 n +6=150, 解得 n =16( n =-9 舍 ) ，即 150 是这个数列的第 16 项.(3) 令 a n =n 2-7 n +6>0，解得 n >6 或 n <1( 舍 ) ，∴从第 7 项起此后各项都是正数 .15. 已知数列｛ a n ｝中， a 1=2, a 17=66, 通项公式是项数n 的一次函数 .（ 1）求数列 { a n } 的通项公式；（ 2） 88 是不是数列｛ a n ｝中的项？［分析］（ 1）设 a=,n∴ a 1=a+b =2,①a 17 =17a+b =66,②1112 / 12② - ①得 16a =64, ∴ a =4, b =-2,∴ a n =4n -2( n ∈ N +).(2) 令 4n -2=88 ，∴ 4n =90, n =45+舍去 )，2 N (∴ 88 不是数列｛ a n ｝中的项 .16. （ 1）在数列 1, 5 ,3, 13 , 17 , 中， 3 5 是数列的第几项？（ 2）已知无量数列： 1× 2,2 × 3,3 × 4, , n ( n +1), , 判断 420 与 421 能否为该数列的项？假如，应为第几项？［分析］(1) ∵ 1=1=1 ,a 2= 5 = 1 4,a 3= 1 4 2 ,4= 1 4 3 ,aa由此归纳得 a n = 1 4(n 1) = 4n 3 .令 a n = 4n3 =3 5 , ∴ n =12.故 3 5 是此数列的第 12 项.(2) 由 n = ( +1)=420, 解得 n =20 或 n =-21 （舍去），故 420 是此数列的第 20 项.a n n由 a n =n ( n +1)=421, 得 n 2+n -421=0 ，此方程无正整数解，故 421 不是该数列中的项 .［说明］数列 { a } 的通项公式为 a =f ( n ) ，对于一个数 m , 若 m 是此数列中的项，则方程 f ( n )= m 必有正整nn数解；反之，若 f ( n )= m 无正整数解，则 m 必定不是此数列中的项 .12。
北师大版高中数学必修5《一章 数列 1 数列 1.1数列的概念》赛课导学案_26
《数列的概念》教学设计一.教学内容解析本节课为北师大版必修五第一章第一节内容，主要讲授数列的概念及数列的通项公式，这部分内容是后续学习等差数列、等比数列及数列应用的基础。
教材中通过大量的实例引入了数列的概念，将生活实际与数学有机地联系在一起。
这能让学生能够体会到数学就在身边，是符合学生的认知规律。
作为数列概念的第一节课，要着重于培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，营造一个良好的教学开端。
教学过程中从日常生活中的实例入切入，直观感受并掌握其中的一些基本关系，感受数列在日常生活中的广泛应用。
基于以上教材分析，我将本节课教学重点确定为：理解数列的概念，认识到数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的简单表示法。
二.学生学情分析数列对于学生来说虽然是一个全新的概念，但由于数列与函数有关内容有着密切的联系。
小初阶段有过找寻数字规律的训练，前期学习的函数相关知识也为他们学习数列奠定了基础。
但是在稍复杂的数列通项公式找寻过程中学生还是会遇到困难。
基于以上学情分析，我将本节课教学难点确定为：认识数列是一种特殊的函数，发现规律并找出数列可能的通项公式。
三.教学目标设置1.理解数列的基本知识，会用数列的通项公式表示数列。
2.通过类比函数学习数列，能够参悟转化与化归的数学基本思想。
在整个教学过程中渗透抽象概括、数学建模、数学运算的核心素养。
3.学习过程中通过大量生活中的实例导入、观察与思考，体验数学魅力，感受数学在解决实际问题中的作用。
四.教学策略分析数列是高中数学的重要内容，作为数列部分的起始内容，在整个教学过程中我将展示实际问题，借鉴生活规律，展现数学之美，从而营造不一样的课堂。
营造“生态课堂”、引导学生进行“动态学习”，让学生参与到整个课堂教学中来。
所以本节课对于教师角色的定位为引导教学者，成为学生学习条件的提供者、学习环境的营造者、学习动力的激励者。
五.教法与学法为了突出重点、突破难点实现教学目标，本节课我将采用直观教学法、讨论教学法、启发式教学、多媒体辅助教学法。
高中数学 第一章 数列教案 北师大版必修5
§1数列1．1 数列的概念(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系．2．过程与方法按照观察、猜想、发现、归纳和总结的学习过程，进行启发式教学，体会归纳思想．3．情感、态度与价值观通过本节课学习，体会数学源于生活，提高数学学习兴趣．●重点难点重点：了解数列的概念，了解数列是一种特殊函数．根据数列的前n项写出它的一个通项公式．难点：将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系．(教师用书独具)●教学建议问题/情境设计意图师生活动同学们都知道大自然是美丽的，但如果我说，大自然还是懂数学的，你相信吗？下面，请看图片．师：多媒体课件展示生动丰富的大自然场景：花菜、向日葵、菠萝等，这些事物似乎都与这列数有关：1，1，2，3，5，8，13，21……生：观察图片，投入到教学活动中来．如果细心观察，就会发现自然界的一些看似千差万别的事物，似乎都能在这一列数中找到联系，这是巧合，还是别的什么原因？同学们若感兴趣，想研究它，就需要先来学习我们今天的内容：数列的概念．●教学流程创设问题情境，提出3个问题⇒引导学生解答问题，引出数列的有关概念⇒通过例1及变式训练，使学生进一步认识数列的有关概念⇒通过例2及变式训练，使学生掌握数列的通项公式的求法⇒通过例3及互动探究，让学生掌握利用通项公式确定数列的项的问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第1页)课标解读1.了解数列、通项公式的概念．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数(难点)．3．能根据通项公式确定数列的某一项(重点)．4．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式(重点、难点).数列的有关概念及表示【问题导思】小山想利用电子邮箱发送一个E－mail，但是由于长时间未登录邮箱，从而他忘记了邮箱的密码，只记得密码由3～8这6个数字构成，如：(1)3 4 5 6 7 8；(2)4 6 8 7 3 5；(3)7 6 5 3 8 4.1．这三组数字有什么异同之处？【提示】都是由3～8这6个数字构成，但是排列顺序不同．2．小山把上面3组数当成密码来试验时，都没有打开邮箱，他说：“仅仅知道数字及个数还不能确定密码”．那么，找到密码还需要确定什么？【提示】 数字的排列顺序． 1．数列的有关概念数列 按一定次序排列的一列数叫作数列 项 数列中的每一个数叫作这个数列的项首项 数列的第1项常称为首项 通项数列中的第n 项a n ，叫数列的通项2.数列的表示①一般形式：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…； ②字母表示：上面数列也记为{a n }．数列的分类【问题导思】当n 分别取1，2，3，4，…时，sin n π2的值排成一个数列：1，0，－1，0…；当n分别取1，2，3，4，5时，sinn π2的值排成一个数列：1，0，－1，0，1.这两个数列是同一数列吗？若不是同一数列，这两个数列有何区别与联系？【提示】 不是同一数列．第一个数列有无穷多项，第二个数列共有5项，这5项恰好是第一个数列的前5项．按数列的项数，数列分为有穷数列与无穷数列． (1)项数有限的数列叫作有穷数列； (2)项数无限的数列叫作无穷数列．数列的通项公式【问题导思】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．如图：图1－1－1上图表示的数可构成数列1，4，9，16，…，这个数列的第n 项a n 与n 之间能否用一个函数式表示？怎样表示？【提示】 可以．函数式可表示为a n ＝n 2.1．如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．2．数列可以看作定义域为正整数集N ＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．(对应学生用书第2页)数列的有关概念下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由．(1){0，1，2，3，4}是有穷数列； (2)所有自然数能构成数列； (3)同一个数在数列中可能重复出现； (4)数列1，2，3，4，…，2n 是无穷数列．【思路探究】 紧扣数列的有关概念，验证每一个说法是否符合条件． 【自主解答】 (1)错误．{0，1，2，3，4}是集合，不是数列． (2)正确．如将所有自然数按从小到大的顺序排列． (3)正确．数列中的数可以重复出现．(4)错误．数列1，2，3，4，…，2n ，共有2n 项，是有穷数列．1．数列{a n }表示数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别．2．从数列的定义可以看出，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；在定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．下列说法正确的是( )A ．数列3，5，7与数列7，5，3是相同数列B ．数列2，3，4，4可以记为{2，3，4}C ．数列1，12，13，…，1n ，…可以记为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1nD ．数列{2n ＋1}的第5项是10【解析】 数列是有序的，选项A 错；数列与数集是两个不同的概念，选项B 错；对于D ，当n ＝5时，a 5＝2×5＋1＝11，选项D 错，故选C.【答案】 C由数列的前n 项写出数列的一个通项公式写出下列数列的一个通项公式． (1)1，－3，5，－7，9，…； (2)3，3，15，21，33，…； (3)22－12，32－13，42－14，52－15，…；(4)0.9，0.99，0.999，0.9999，…； (5)32，1，710，917，…. 【思路探究】 分析各项a n 与对应序号n 之间的关系，从中发现规律，得到一个合适的函数解析式，再验证是否正确即可．【自主解答】 (1)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…是连续的正奇数，考虑(－1)n ＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)．(2)数列可化为3，9，15，21，27，…， 即3×1， 3×3，3×5，3×7，3×9，…，每个根号里面可分解成两个数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n －1，故原数列的一个通项公式为a n ＝3（2n －1）＝6n －3.(3)这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，所以它的一个通项公式是：a n ＝（n ＋1）2－1n ＋1.(4)原数列可变形为：1－110，1－1102，1－1103，1－1104，…，故所给数列的一个通项为a n ＝1－110n . (5)将数列统一为32，55，710，917，…对于分子3，5，7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1；对于分母2，5，10，17，…联想到数列1，4，9，16，…即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，∴可得原数列的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.1．本题通过观察各项与项数的关系，再进行比较，归纳出结论，主要从以下几个方面来考虑：(1)符号用(－1)n或(－1)n ＋1来调节．(2)分式形式的数列，分子、分母分别找通项，要充分借助分子、分母的关系．(3)将数列的各项分解成若干个基本数列后再进行分析归纳．2．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可以用添项、还原、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式． (1)23，415，635，863，…；(2)12，2，92，8，252，…； (3)2，22，222，2 222，….【解】 (1)分子均为偶数，分母分别为1×3，3×5，5×7，7×9是相邻两个奇数的乘积，故a n ＝2n（2n －1）（2n ＋1）.(2)将分母统一成2，在数列12，42，92，162，252，…中分母为2，分子为n 2，故a n ＝n 22.(3)由9，99，999，9 999，…的通项公式a n ＝10n－1可知，2，22，222，2 222，…的通项公式为a n ＝29(10n－1)．利用通项公式确定数列的项已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由． 【思路探究】 (1)将n ＝4，6代入a n 即可．(2)若某个数是数列的某一项，则在通项中必存在一个正整数n 与其对应，否则就不是数列中的项．【自主解答】 (1)∵a n ＝3n 2－28n ， ∴a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0， 解得n ＝7，或n ＝73(舍)．∴－49是该数列的第7项， 即a 7＝－49.令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0， 解得n ＝－2，或n ＝343.∵－2∉N ＋，343∉N ＋，∴68不是该数列的项．1．数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n ，就可以求出数列的相应项．2．判断某数值是否为该数列的项，需假定它是数列中的项去列方程．若方程的解为正整数则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．若本例的条件不变，(1)试写出该数列的第3项和第8项；(2)问20是不是该数列的一项，若是，应是第几项？【解】 (1)∵a n ＝3n 2－28n ， ∴a 3＝3×32－28×3＝－57，a 8＝3×82－28×8＝－32.(2)设3n 2－28n ＝20，解得n ＝10或n ＝－23(舍去)．∵n ∈N ＋，∴20是该数列的第10项．(对应学生用书第3页)归纳推理在求数列通项公式中的应用(12分)根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和点数，并写出由图中点数依次组成的数列的通项公式．(1) (3) (6) 图1－1－2【思路点拨】 观察图形的构成规律，寻找点数构成的数列中a 1与a 2，a 2与a 3的关系，便可发现a 4，a 5，…，a n 的取值规律及图形的构成特征．【规范解答】 观察前3个图形和点数，易知(10) (15)4分记图形中的点数构成的数列为{a n }．观察可知：a 1＝1＝22＝1×22， a 2＝3＝62＝2×32， a 3＝6＝122＝3×42， a 4＝10＝202＝4×52， a 5＝15＝302＝5×62.9分∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n （n ＋1）2.12分本题先观察数列前n 项的共同特点，再概括出数列的通项公式．这种推理就是归纳推理．归纳推理就是由个别事实概括出一般结论的推理，归纳推理是一种重要的推理方法，在数学领域有着广泛的应用．1．对通项公式的理解(1)数列的通项公式的表示形式不一定是唯一的，如数列：1，0，－1，0，1，0，－1，0，…，通项公式可以是a n ＝sinn π2，也可以是a n ＝cosn －12π(n ∈N ＋)．(2)并不是所有数列都能写出通项公式．如由π的精确度的数值排列：3，3.1，3.14，3.141，3.1415，…就写不出通项公式．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴涵着“从特殊到一般”的思想．3．数列是一类特殊函数，因此用函数观点解决数列问题是一种常用的方法，但要注意其定义域为正整数集或其有限子集．(对应学生用书第4页)1．下列说法中，正确的是( )A ．数列1，3，5，7可表示为{}1，3，5，7B ．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列C ．数列{n ＋1n }的第k 项为1＋1kD ．数列0，2，4，6，8，…可记为{2n }【解析】 由数列定义知A 错，B 中排列次序不同，D 中n ∈N . 【答案】 C2．(2013·宝鸡高二检测)数列13，24，35，46，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝1n －1B ．a n ＝n 2n －1C ．a n ＝n n ＋2 D ．a n ＝n2n ＋1【解析】 观察前4项的特点易知a n ＝nn ＋2.【答案】 C3．(原创题)在数列{n 2－1n }中，第7项是________．【解析】 令n ＝7，则n 2－1n ＝72－17＝487.【答案】4874．已知数列{a n }，a n ＝kn －5，且a 8＝1，求a 16. 【解】 由a 8＝1，得8k －5＝1，解得k ＝34，∴a n ＝34n －5，∴a 16＝34×16－5＝7.(对应学生用书第79页)一、选择题1．下列解析式中不是数列1，－1，1，－1，1，…的通项公式的是( ) A ．a n ＝(－1)nB ．a n ＝(－1)n ＋1C ．a n ＝(－1)n －1 D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n 为奇数，－1 n 为偶数.【解析】 A 中当n ＝1时，a 1＝－1，n ＝2时，a 2＝1，显然不是数列1，－1，1，－1，1，…的通项公式．【答案】 A2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋2，则其第3、4项分别是( ) A ．11，3 B ．11，15 C ．11，18 D ．13，18【解析】 a 3＝32＋2＝11，a 4＝42＋2＝18. 【答案】 C3．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，…则35是它的( ) A ．第22项 B ．第23项 C ．第24项 D ．第28项【解析】 令2n －1＝35，解得n ＝23. 【答案】 B4．下列四个数中，是数列{n (n ＋1)}中的一项的是( ) A ．380 B ．39 C ．32 D ．23【解析】 分别令n (n ＋1)＝380，39，32，23解出n ∈N ＋即可，验证知n ＝19时，19×20＝380.【答案】 A5．(2013·德州高二检测)数列－13×5，25×7，－37×9，49×11，…的通项公式a n 为( )A ．(－1)n ＋11（2n ＋1）（2n ＋3）B ．(－1)n ＋1n（2n ＋1）（2n ＋3）C ．(－1)n1（2n ＋1）（2n ＋3）D ．(－1)nn（2n ＋1）（2n ＋3）【解析】 观察式子的分子为1，2，3，4，…，n ，…，分母为3×5，5×7，7×9，…，(2n ＋1)(2n ＋3)，…，而且正负间隔，故通项公式a n ＝(－1)nn（2n ＋1）（2n ＋3）.【答案】 D 二、填空题6．数列35，12，511，37，717，…的一个通项公式是________．【解析】 数列35，12，511，37，717，…即数列35，48，511，614，717，…，故a n ＝n ＋23n ＋2.【答案】 a n ＝n ＋23n ＋27．已知数列{a n }的通项公式a n ＝－n 2＋7n ＋9，则其第3、4项分别是________、________． 【解析】 a 3＝－32＋7×3＋9＝21，a 4＝－42＋7×4＋9＝21. 【答案】 21 218．已知曲线y ＝x 2＋1，点(n ，a n )(n ∈N ＋)位于该曲线上，则a 10＝________． 【解析】 ∵点(n ，a n )位于曲线y ＝x 2＋1上，∴a n ＝n 2＋1，故a 10＝102＋1＝101. 【答案】 101 三、解答题9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1，7，－13，19，… (2)0.8，0.88，0.888，… (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，… 【解】 (1)符号可通过(－1)n表示，后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6， 故通项公式为a n ＝(－1)n·(6n －5)．(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89(1－110n )．(3)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32.原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n·2n－32n .10．已知数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是项数n 的一次函数． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)88是否是数列{a n }中的项？【解】 (1)设a n ＝an ＋b .∴a 1＝a ＋b ＝2，①a 17＝17a ＋b ＝66.②②－①，得16a ＝64，∴a ＝4，b ＝－2. ∴a n ＝4n －2(n ∈N ＋)．(2)令4n －2＝88⇒4n ＝90，n ＝452∉N ＋，∴88不是数列{a n }中的项．图1－1－311．如图1－1－3所示，有n (n ≥2)行n ＋1列的士兵方阵：(1)写出一个数列，用它表示当n 分别为2，3，4，5，6，…时方阵中的士兵人数．(2)说出(1)中数列的第5，6项，用a 5，a 6表示； (3)若把(1)中的数列记为{a n }，求该数列的通项公式a n ； (4)求a 10，并说明a 10所表示的实际意义．【解】 (1)当n ＝2时，表示士兵的人数为2行3列，人数为6；当n ＝3时，表示3行4列，人数为12，依此类推，故所求数列为6，12，20，30，42，….(2)方阵的行数比数列的序号大1，因此第5项表示的是6行7列，第6项表示7行8列，故a 5＝42，a 6＝56.(3)根据对数列的前几项的观察、归纳，猜想数列的通项公式． 前4项分别为：6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，30＝5×6 因此a n ＝(n ＋1)(n ＋2)．(4)由(3)知a 10＝11×12＝132，a 10表示11行12列的士兵方阵中士兵的人数．(教师用书独具)数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－21n2(n ∈N ＋)．(1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？【思路探究】 若某个数是数列的某一项，则在通项中必存在一个正整数n 与其对应，否则就不是数列中的项．【自主解答】 (1)若0是{a n }中的第n 项，则n 2－21n2＝0，∵n ∈N ＋，∴n ＝21.∴0是{a n }中的第21项． 若1是{a n }中的第n 项，则n 2－21n2＝1，∴n 2－21n ＝2，即n 2－21n －2＝0. ∵方程n 2－21n －2＝0不存在正整数解， ∴1不是{a n }中的项．(2)假设{a n }中存在第m 项与第m ＋1项相等，即a m ＝a m ＋1，则解得m ＝10. ∴数列{a n }中存在连续的两项第10项与第11项相等．1．本题易忽视n ∈N ＋，导致解方程n 2－21n －2＝0出错．2．数列通项公式反映了一个项与项数的函数关系，通项公式的作用： (1)求数列中任意一项；(2)检验某数是否是该数列中的一项．在上述例题中，当n 为何值时，a n <0? 【解】 由a n <0，得0<n <21， 又∵n ∈N ＋，∴当n ＝1，2，3，…，20时，a n <0.1．2 数列的函数特性(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能了解递增数列、递减数列、常数列的概念．掌握判断数列增减性的方法．2．过程与方法通过画数列图像，观察图像的升降趋势的学习过程使学生体会数列的增减性，学习过程采用启发、引导式教学．3．情感、态度与价值观通过本节课的学习培养学生数形结合思想，函数思想的应用．●重点难点判定数列的增减性．(教师用书独具)●教学建议针对判断数列的增减性问题可以从以下两种方法着手解决：(1)图像法：利用数列的图像的升、降趋势进行判断．(2)定义法：根据相邻两项a n与a n＋1的大小关系来判断．判断这两项的大小可采用作差或作商的方法．●教学流程根据本节知识，提出问题：从函数的单调性上观察数列特点⇒引导学生回答问题引出递增、递减、常数列，讲解各自特点⇒通过例1及变式训练，使学生掌握数列的图像及应用⇒通过例2及变式训练，让学生掌握数列增减性的判断⇒通过例3及变式训练，使学生会求数列的最大（小）项问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(对应学生用书第4页)课标解读1.了解数列的几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)(重点)．2．了解递增数列、递减数列、常数列的概念．3．掌握判断数列增减性的方法(难点).数列的表示法表示一个数列我们可以用图像、列表、通项公式．数列增减性【问题导思】观察以下几个数列：①1，2，3，4，…；②－2，－4，－6，－8，…；③1，1，1，1，….从函数的单调性上考查，以上三个数列有何特点？【提示】①是递增的数列②是递减的数列③是常数列名称定义表达式图像特点递增数列从第2项起，每一项都大于它前面的一项a n＋1＞a n上升递减数列从第2项起，每一项都小于它前面的一项a n＋1＜a n下降常数列各项都相等a n＋1＝a n不升不降(对应学生用书第5页)数列的图像及应用已知数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －9，画出它的图像，并判断增减性．【思路探究】 借助函数y ＝22x －9的图像作出数列{a n }的图像，然后根据图像的升降趋势判断单调性．【自主解答】 图像如图所示，该数列在{1，2，3，4}上是递减的，在{5，6，…}上也是递减的．1．解答本题的关键是借助函数y ＝1x －92的图像．2．若数列的通项公式a n ＝f (n )所对应的函数y ＝f (x )是基本初等函数，则可利用对应函数的图像及性质，研究数列的性质．把数列{n 2－9n }用列表法表示出来，在直角坐标系中画出它的图像，并根据图像指出它的增减性．【解】 列表法表示为： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 … 项－8－14－18－20－20－18－14－8…记a n ＝n 2－qn ，数列图像如图所示：由图像直观地看出它在{1，2，3，4}上是递减的，在{5，6，7，8，…}上是递增的．数列增减性的判断已知数列{a n }的通项公式a n ＝nn 2＋1，试判断该数列的增减性．【思路探究】 可用作差法或作商法判断数列的增减性．【自主解答】 a n ＋1－a n ＝n ＋1（n ＋1）2＋1－nn 2＋1＝1－n 2－n[（n ＋1）2＋1]（n 2＋1）. 因为n ∈N ＋，所以1－n 2－n <0， 所以a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .故该数列为递减数列．1．本题中1－n 2－n 的符号判断是关键，不要忽视n ∈N ＋这一条件．2．应用函数单调性的判断方法来判断数列的单调性，常用的方法有：作差法，将a n ＋1－a n 与0进行比较；作商法，将a n ＋1a n与1进行比较(在作商时，要注意a n <0还是 a n >0)．判断数列1，23，35，47，…，n2n －1，…的增减性．【解】 设a n ＝n2n －1. ∵a n ＋1－a n ＝n ＋12n ＋1－n 2n －1＝－1（2n ＋1）（2n －1）＜0，∴a n ＋1＜a n ，∴{a n }是递减数列．求数列的最大(小)项已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)(1011)n(n ∈N ＋)，试问数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．【思路探究】 假设存在最大项→作差a n ＋1－a n →讨论差式的符号→确定最大项 【自主解答】 法一 假设数列{a n }中存在最大项． ∵a n ＋1－a n＝(n ＋2)(1011)n ＋1－(n ＋1)(1011)n ＝(1011)n ·9－n11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12…，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，且a 9＝a 10＝1010119.法二 假设数列{a n }中有最大项，并设第k 项为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1a k ≥a k ＋1对任意的k ∈N ＋且k≥2都成立．即⎩⎪⎨⎪⎧（k ＋1）（1011）k≥k （1011）k －1，（k ＋1）（1011）k≥（k ＋2）（1011）k ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1011（k ＋1）≥k ，k ＋1≥1011（k ＋2），解得9≤k ≤10. 又k ∈N ＋，∴数列{a n }中存在的最大项是第9项和第10项， 且a 9＝a 10＝1010119.1．解答探索性题目的方法：首先假设存在，然后在此前提下，利用已知条件进行推理，若推出合理的结论，则说明存在；若推出矛盾的结论，则说明不存在．2．求数列的最大(小)项的两种方法：(1)利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项． (2)设a k 是最大项，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1a k ≥a k ＋1对任意的k ∈N ＋且k ≥2都成立，解不等式组即可．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －122n －7，求数列{a n }的最大项和最小项．【解】 ∵a n ＋1－a n ＝4n －82n －5－4n －122n －7＝（4n －8）（2n －7）－（4n －12）（2n －5）（2n －5）（2n －7）＝（8n 2－44n ＋56）－（8n 2－44n ＋60）（2n －5）（2n －7）＝－4（2n －5）（2n －7）＝－1（n －52）（n －72）当n ≤2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ； 当n ＝3时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ≥4时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 又当n ≤3时，a n <2；当n ≥4时，a n >2. ∴a 4>a 5>…>a n >…>2>a 1>a 2>a 3. 故a 3最小为0，a 4最大为4.(对应学生用书第6页)忽视n 的范围致误设数列{a n }的通项公式为：a n ＝n 2＋kn (n ∈N ＋)，若数列{a n }是单调递增数列，求实数k 的取值范围 .【错解】 ∵a n ＝n 2＋kn ，其图像对称轴方程为n ＝－k2，又数列{a n }是单调递增数列， ∴－k2≤1，得k ≥－2.故实数k 的取值范围为[－2，＋∞)．【错因分析】 导致上述错解的原因是仅考虑了数列{a n }为单调递增数列时的一种情形，而没考虑到n ∈N ＋，n 的值是离散的．【防范措施】 数列是特殊函数，一定要注意其定义域是N ＋(或它的有限子集)． 【正解】 法一 ∵数列{a n }是单调递增数列， ∴a n ＋1－a n >0(n ∈N ＋)恒成立． 又∵a n ＝n 2＋kn (n ∈N ＋)，∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)－(n 2＋kn )>0恒成立． 即2n ＋1＋k >0.∴k >－(2n ＋1)(n ∈N ＋)恒成立．而n ∈N ＋时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)， ∴k >－3.即k 的取值范围为(－3，＋∞)．法二 结合二次函数y ＝x 2＋kx 的图像，要使{a n }是递增数列，只要a 1<a 2，即可， 即1＋k <4＋2k ，得k >－3， 所以k 的取值范围为(－3，＋∞)．1．数列的三种表示方法各有优缺点：(1)用通项公式表示数列，简洁明了，便于计算．公式法是常用的数学方法．(2)列表法的优点是不经过计算，就可以直接看出项数与项的对应关系．(3)图像能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项变化的趋势．2．判断一个数列的增减性，可以借助于图像的升、降趋势进行判断，也可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行判断，即通过判断一个数列的任意相邻两项之间的大小关系来确定数列的增减性．(对应学生用书第7页)1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n(a ＜0)，则该数列是( )A ．递减数列B ．递增数列C ．常数列D ．以上都不是【解析】 ∵a n ＋1－a n ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝ －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＞0，即a n ＋1＞a n ，∴该数列是递增数列．【答案】 B2．递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是( ) A ．R B ．(0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，0]【解析】 a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k ＜0. 【答案】 C3．若数列{a n }的通项公式为a n ＝k3n (k >0，且k 为常数)，则该数列是________(填“递增”、“递减”)数列．【解析】 a n ＋1a n ＝k 3n ＋1·3n k ＝13<1.∵k >0，∴a n >0，∴a n ＋1<a n ，∴{a n }是递减数列． 【答案】 递减4．写出数列1，24，37，410，513，…的通项公式，并判断其增减性．【解】 通项公式为a n ＝n 3n －2. ∵a n ＋1－a n ＝n ＋13（n ＋1）－2－n 3n －2＝－2（3n ＋1）（3n －2）<0，∴a n ＋1<a n ，∴{a n }是递减数列．(对应学生用书第81页)一、选择题1．已知数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．以上都不对【解析】 ∵a n ＋1＝a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝2＞0， ∴a n ＋1＞a n ，故数列{a n }为递增数列． 【答案】 A2．已知数列{a n }满足a 1>0，且a n ＋1＝nn ＋1a n ，则数列{a n }的最大项是( ) A ．a 1 B ．a 9 C ．a 10 D ．不存在 【解析】 ∵a 1>0且a n ＋1＝nn ＋1a n ，∴a n >0，a n ＋1a n ＝nn ＋1<1， ∴a n ＋1<a n ，∴此数列为递减数列，故最大项为a 1. 【答案】 A3．(2013·西安高二检测)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2nn ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列【解析】 a n ＋1－a n ＝2（n ＋1）n ＋2－2n n ＋1＝2（n ＋1）2－2n 2－4n （n ＋1）（n ＋2）＝2（n ＋1）（n ＋2）＞0，∴{a n }是递增数列．【答案】 A4．已知a n ＝－2n 2＋9n ＋3，则数列{a n }中的最大项为( ) A ．a 1＝10 B ．a 2＝13 C ．a 3＝12 D ．以上均不正确【解析】 a n ＝－2(n －94)2＋1058，由于n ∈N ＋，∴当n ＝2时，a 2＝13最大． 【答案】 B5．(2013·沈阳高二检测)函数y ＝f (x )的图像在下列图中，并且对任意a 1∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1＞a n (n ∈N ＋)，则该函数的图像可能是( )【解析】 由a n ＋1＝f (a n )及a n ＋1＞a n 可知，f (a n )＞a n ，即图像上每一点的纵坐标大于其横坐标，∴函数y ＝f (x )的图像应在直线y ＝x 上方，故选A.【答案】 A 二、填空题6．(2013·黄冈高二检测)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n(n ∈N ＋)，则a 2 012＝________．【解析】 ∵a 1＝2由a n ＋1＝1＋a n 1－a n 得a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，∴{a n }为周期为4的数列，∴a 2 012＝a 4×503＝a 4＝13.【答案】 137．已知数列{a n }，a n ＝2n 2－10n ＋3，它的最小项是________．【解析】 a n ＝2n 2－10n ＋3＝2(n －52)2－192.故当n ＝2或3时，a n 最小．【答案】 2或3项8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －102，则数列从第________项开始值大于零．【解析】 令4n －102＞0得n ＞2512，∴数列{a n }从第26项开始大于零． 【答案】 26 三、解答题9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋10n ＋11，试作出其图像，并判断数列的增减性．【解】 列表：n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … a n20273235363532272011…图像如图所示：由数列的图像知，当1≤n ≤5时数列递增；当n ≥5时数列递减． 10．已知函数f (x )＝x －1x，设a n ＝f (n )(n ∈N ＋), (1)求证：a n <1；(2){a n }是递增数列还是递减数列？为什么？ 【解】 (1)证明 a n ＝f (n )＝n －1n ＝1－1n<1. (2)∵a n ＋1－a n ＝（n ＋1）－1n ＋1－n －1n ＝(1－1n ＋1)－(1－1n )＝1n （n ＋1）>0，∴a n ＋1>a n ， ∴{a n }是递增数列．11．(2013·广州高二检测)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． 【解】 (1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4. ∵n ∈N ＋，∴n ＝2，3. ∴数列中有两项是负数．(2)法一 ∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52.又因n ∈N ＋，故n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝32－5×3＋4＝－2.法二 设第n 项最小，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1a n ≤a n －1，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2－5n ＋4≤（n ＋1）2－5（n ＋1）＋4，n 2－5n ＋4≤（n －1）2－5（n －1）＋4. 解这个不等式组得2≤n ≤3， ∴n ＝2，3，∴a 2＝a 3且最小，∴a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝32－5×3＋4＝－2.(教师用书独具)已知函数f (x )＝2x －2－x，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明数列{a n }是递减数列．【思路探究】 首先建立关于a n 的一元二次方程求解，再证明a n >a n ＋1即可证明数列{a n }是递减数列．【自主解答】 (1)∵f (x )＝2x－2－x，f (log 2a n )＝－2n ， ∴2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ， ∴a n －1a n＝－2n ，∴a n 2＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1. ∵a n >0，∴a n ＝n 2＋1－n ，n ∈N ＋.(2)a n ＋1a n ＝（n ＋1）2＋1－（n ＋1）n 2＋1－n＝n 2＋1＋n（n ＋1）2＋1＋（n ＋1）<1. ∵a n >0，∴a n ＋1<a n ， ∴数列{a n }是递减数列．本题是函数、方程与数列的典型结合与运用，要比较a n 与a n ＋1的大小，可以用作差法或作商法，即若a n ＋1－a n >0，则a n ＋1>a n ，可以判断数列{a n }是递增数列；当a n >0时，若a n ＋1a n>1，则a n ＋1>a n ，也能判断数列{a n }是递增数列．对于递减数列，同理可以给出判断．若数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n 2＋13n (n ∈N ＋)，画出它在x 轴上方的图像，并根据图像求出a n 的最大值，并在同一坐标系中画出函数f (x )＝－2x 2＋13x 的图像，根据图像求出f (x )的最大值．若用函数来求a n ＝－2n 2＋13n 的最大值，应如何处理？【解】 由－2n 2＋13n >0，可得0<n <132.又因为n ∈N ＋，所以n ＝1，2，3，4，5，6，分别代入通项公式，可得a 1＝11，a 2＝18，a 3＝21，a 4＝20，a 5＝15，a 6＝6，图像如图所示，为6个点．最大值为21.函数f (x )＝－2x 2＋13x 的图像如图所示(图中曲线)．f (x )＝－2x 2＋13x ＝－2(x －134)2＋1698，所以当x ＝134时，f (x )max ＝1698. 用函数来求{a n }的最大值时， 因为3<134<4，且314离3较近，所以最大值为a 3＝21.§2等差数列2．1 等差数列 第1课时 等差数列(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能掌握等差数列通项公式及推导，掌握判断等差数列的方法． 2．过程与方法通过对等差数列图像的应用进一步渗透数形结合思想，通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想．3．情感、态度与价值观通过对等差数列的研究，使学生明白等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辨证唯物主义观点．●重点难点重点：等差数列的判定．难点：求等差数列的通项公式及其应用．(教师用书独具)●教学建议问题：数列：1，3，( )，7，9，…2，5，8，( )，14，…－2，3，8，( )，18，…师：先根据数列的特点填空，再思考一下这些数列的共同特点？生：后一项减前一项都等于常数．师：对这样的数列，如何表示相邻两项的关系(a n＋1与a n)?生：a n＋1－a n＝d(d为常数)．师：这样的数列就是我们这节课要讲的等差数列．(板书课题)●教学流程创设情境，提出了2个问题⇒引导学生根据问题引入等差数列⇒通过例1及互动探究，使学生掌握等差数列的判定⇒通过例2及变式训练，使学生掌握如何求通项公式⇒通过例3及变式训练，使学生掌握等差数列通项公式的应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(对应学生用书第7页)课标解读1.理解等差数列的概念(重点)．2．掌握等差数列的判断方法(重点)．3．掌握等差数列的通项公式及其应用(重点、难点).等差数列的概念【问题导思】对于数列2，4，6，8，…该数列相邻两项的差(后项减去前项)有什么特点？怎样表示相邻两项间的关系？【提示】等于同一常数．a n＋1－a n＝2或a n－a n－1＝2(n≥2)．文字语言从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这样的数列就叫做等差数列．称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示.符号语言若a n－a n－1＝d(n≥2)，则数列{a n}为等差数列.等差数列的通项公式【问题导思】你能观察出数列2，4，6，8，…的通项公式吗？能否给予证明？【提示】a n＝2n，证明如下：由a n＋1－a n＝2，。
高中数学(北师大版)必修五教案： 数列的概念 参考学案
数列概念学案学习目标：了解数列的概念和数列几种常见表示方法（列表、图像、通项公式）并能根据一定条件求数列的通项公式。
学习重点：数列概念学习难点：根据条件求数列的通项公式 学习过程：一、课前准备：阅读P 3—4 二、新课导入：①什么是数列数： ②数列项是： ③按项分类数列分为： 和 ④数列通项公式： 自主测评1、判断下列是否有通项公式若有，写出其通项公式。
①3，3，3，3……②2，4，6，8，10…… ③1，3，5，7，9……④0，1，0，1，0，1…… ⑤0，1，-2，4，-7，6，10，5，9……2、数列{}n a 中，22(3)2n a log n =+-,写出数列前五项，32log 是这个数列的第几项探究：（1）是不是所有数列都有通项公式，能否举例说明（2）若数列有通项公式，通项公式是不是唯一的，若不是能否举例说明三、巩固应用例1. P 5 试一试：P 6 T 1-2 例2. P 5 试一试：P 6 T 31、写出下列数列的一个通项公式 ①-2，-2，-2，-2……②7，77，777，7777…… ③0.7，0.77，0.777，0.7777…… ④3，5，9，17，33……⑤0，-1，0，1，0，-1，0，1……⑥1112,,,6323……四、总结提升 1、探究新知：2、数列通项公式n a 与函数有何联系 五、知识拓展数列前几项和123n n S a a a a a n-1…+=++++ 且11(1)()nnn a n a s s n -=⎧=⎨-⎩≥2六、能力拓展 1、数列2102102101,1,1,1223(1)gg g n n +…………××中首次出现负值的项是第几项 ≥≤2、已知数例{}n a 的通项公式254n a n n =-+ （1）数列{}n a 中有多少项是负项？（2）当n 为何值时，n a 有最小值，最小值是多少？3、已知数列{}n a 的前n 项和221n s n n =++，求数列{}n a 的通项公式？自我评价：这节课你学到了什么，你认为做自己的好的地方在哪里？作业：P 9 A ：T 4 T 6 B ：T 1。
北师大版必修5高中数学1.1数列的函数特性导学案
高中数学 1.1数列的函数特性导学案北师大版必修5个性笔记【学习目标】1.通过阅读教材第6----8页，让学生体会数列是一种特殊的函数及数列的图像表示；2.利用数列的函数特征判断函数的增减性；3.会用函数方法处理数列问题．【学习重点、难点】重点：数列的函数特性，数列的增减性及最值项。
【考纲要求】理解数列的函数特性.【使用说明】A、B等普通班、重点班学生完成， C等实验班学生完成【学习过程】（一）基础学习1、复习巩固：①什么是数列？②数列通项公式是什么？（Ａ） 3、认真观察下列数列，总结出数列的增减性并得出数列增减性的概念？① 3,4,5,6,7,8,9② 0.1,0.01,0.001,0.0001，…③ 100,100,100,100，…（二）学习探究（B ）探究2 已知数列{a n }的通项公式为n a 画出数列的图像，并判断数列的增减性。
（提示：依据数列函数特性完成本题）1、1n a n =-+；2、22153n a n n =-+（C ）例3结合例题2第2个小题，判断从第几项起，这个数列是递增的，并求出数列的最小项。
（三）当堂检测1．已知130n n a a +--= ，则数列{a n } 是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不确定2．已知数列{a n }的通项公式为523n a n =-，则该数列的增减性为( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列5．变式：第4题当一次项的系数变为5时，结果又是什么？请算一算（四）课后作业1.教材第8页练习第2题(2).2.．完成教材第9页习题1—1第5题.（五）教与学后反思本节课你学到哪些知识？请写下来，与组内的同学分享.总结反思。
北师大版必修5高中数学1.1数列求和(2)导学案(二)
【学习目标】 1. 熟记数列 求和的五种方法：公式求和法，分组求和法，倒序相加法，裂项 相消法，错位相减法。 2. 能够对简单的数列求和问题进行分析、辨认，并选择正确的方法求解 【学习重点】 3. 重点：裂项相消法，错位相减法。 【学法指导】 自己通过查询资料，搜集整理裂项相消法，错位相减法的相关内容，并与 组内同学交流形成共识后完成基础学习。 【使用说明】
当堂检测 （A） 1、 已 知等差数列 an 满足：a3 7 ，a5 a7 26 . an 的前 n 项和为 Sn . （1） 、求 an 及 Sn ； （2） 、令 bn
1 （ n N ）,求数列 bn 的前 n 项和 Tn . an 1
2
2
(C)3 设数列{bn}的前 n 项和为 Sn， 且 bn＝2－2Sn；数列{an}为等差数列，且 a5 ＝14，a7＝20. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)若 cn＝an·bn(n＝1，2，3…)，Tn 为数列{cn}的前 n 项和，求 Tn.
Tn＝ －
7 2
1 3n－1 . n－2－ n 2·3 3
4
总结反思
5
6
总结反思
7
个 性 笔 记
（Ｂ） 2、错位相减法的适用范围是？
（一） 学习探究
（Ａ）探究一
1 已知数列 an 的通项 an = n(n 1) ，求数列的前 n 项和 sn.
(提示：本小题用裂项相消法)
1
（B）探究二
已知数列 an 的通项 an =n•3 , 求数列的前 n 项和 sn.
nபைடு நூலகம்
(提示：本小题用错位相减法)
（ 三）教与学反思 本节课你有哪些收获？请写下来，与组内的同学分享
北师大版高中数学必修5《一章 数列 本章小结建议》赛课导学案_1
数列通项公式求法教案知识目标：数列通项公式的求法能力目标：掌握转化思想及其解决问题的方法和技巧情感目标：合作学习，讨论过程中增进感情学情分析：数列高考稳定在第一大题，学生已经掌握基本的通项公式和求和方法，需要进一步学习通项公式求法，增加熟练度和技巧，进一步提高中上游同学水平，通过讨论学习，提高下游水平学生基础，所以，选题非常重要教学过程：引例题型二：等差数列与等比数列的通项变式分析变式训练1 2 3及其高考题型总结掌握用配凑法、待定系数法、取倒数法构造辅助数列(等差等比或常数数列),借助辅助数列的通项(易求),进而求 。
重点要掌握递推数列通项的求法，总的思路是找出并分析相邻两项的递推关系式,然后通过配凑法、待定系数法、取倒数等方法化为等差等比数列，再分析求出通项,难点是掌握构造辅助列的方法与技巧. ...5555,555,55,5)7( ...0 ,71 ,0 ,51 ,0 ,31 ,0 ,1)6( (13)37 ,1126, 917 ,710 ,1 ,32)5( ...9910,638 ,356 ,154 ,32-4... 4 2 15 8 3 03 33 9,17 5 32 ...1 ,1 ,1 ,1)1( L --------＝为整数，则通项公式且公比，若为等比数列，：已知例n n a q a a a a a 512,124}{27483-=⋅=+{}{}的通项公式为列，则数且满足中，已知数列：例n n n n a n n a a a a 21 11+==+{}{}的通项，求满足项和的前已知数列n n n n a n S S n a 1)1(log .12+=+{}{}的通项公式，求数列项和的前数列福建n n n n n a N n a S a S n a )(2 ,1,)07 ( 1.11*+∈==数列{}n a 满足)(22,2111+++∈+==N n a a a n n n 且 求其通项n a {}{}.)(),(,.1 ,求解相邻两项关系式再分析或转化为或消去系的关与利用列通项公式的基础上在熟练掌握等差等比数n n n n n n S a a S a S。
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2n 2 3n 2 ，求数列的通项公式；
1, an1 3n an 求数列的通项公式；
4, an1 5n an ，求数列的通项公式； 2an （Ｃ）４. 已知数列｛ａｎ｝ a1 1, an1 ，求数列的通项公式。 an 2
（四）课后反思 本节课收货在哪里？问思
1
1 4 9 16 ,2 ,3 ,4 , 2 5 10 17
1 1 1 , , , 2 3 4
3,33,333,3333，…
（B）探究二：根据下列条件，求数列的通项公式：
（Ｃ）探究三：已知数列｛an｝中， a1
3, an1 2an 1 ， 求 an 的通项公式．
（三）当堂检测 求下列数列的通项公式 （Ｂ）１.设数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为 sn （Ｂ）２.已知数列｛ａｎ｝满足 a1 （Ｂ）３. 已知数列｛ａｎ｝ a1
③利用 sn 与 an 的关系：
an
s1 , n 1 sn sn1 , n2
n。
求解。
④累加法：指已知 an+1-an=f(n)求 an. ⑤累乘法：指已知
a n1 f n 求 a an
⑥构造法：指已知数列的递推公式求 an，可以通过构造 等差、等比数列转化求解。 （二）学习探究 （A）探究一：根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式。 ⑴ 1,3,5,7, 15,31，… ⑶ 1, ⑵ ⑷
陕西省咸阳市泾阳县云阳中学高中数学 1.1 求数列的通项公式导学 案 北师大版必修 5
【学习目标】 1.会利用观察法、公式法、sn 与 an 的关系、累加法、累乘法、构造 法求数列通项公式； 2.通过设问，思考讨论的途径，培养学生总结归纳的能力； 3.提高学生学习数学的兴趣和信心。 【学习重点】 求数列通项 公式 【学 法指导】 通过学生自己 查询资料，收集整理求通项公式的方法，并与同组同 学的进行交流 ，形成共识后完成对应的练习。 【使用说明】该学案分 A B C 三个层次，其中ＡＢ层次要求所有同学都完成，Ｃ 为拓展提升有余力的同学来完成。 【学习过程】 （一） 基础学习 数列通项公 式的求法：不是所有数列都能写出通项公式，但高考数列试题多涉及 求数列的通项公式，现将数列通项公式的求法总结 如下： ①观察法：就是根据数列的前几项的变化规律，观察归纳出数列的通项公式的方 法。 ②公式法：指涉及等差、等比数列时，利用通项公式即可。 个 性 笔 记