第22章 量子力学基础

实物粒子的波动性（1）光的波粒二象性光的干涉和衍射现象表明了光具有波动性，光电效应和康普顿散射表明了光具有粒子性。

频率为ν、波长为λ的光波对应的光子的能量为h εν=，动量为hp λ=，光子的质量为h m c c εν==22。

（2）德布罗意物质波假设法国物理学家德布罗意从对称思想出发，大胆地设想：不仅光具有粒子和波动两种性质，而且实物粒子也具有这两种性质。

并且假设描述粒子性质的能量E 和动量p 与描述波动性质的频率和波长λ之间的关系与光子一样，具有E mc h ν==2， p m λ=hv =式中m 、v 分别是实物粒子的动质量和速度，上两式都称为德布罗意公式，和实物粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波，其波长称为德布罗意波长。

（3）实物粒子的波粒二象性在经典力学中，所谓“粒子”是指该客体既具有一定的质量和电荷等属性(即物质的“颗粒性”或“原子性”)，又具有一定的位置和一条确切的运动轨迹(即客体在每一时刻有一定的位置和速度或动量)；而所谓“波动”是指某种实在的物理量的空间分布作周期性的变化，并呈现出干涉和衍射等反映相干叠加性的现象。

显然，在经典概念下，粒子性和波动性是很难统一到一个客体上去的，经典物理中没有波粒二象性。

然而，大量实验表明，不但是电磁波，就是象电子、中子、质子和原子这样的物质粒子，都具有粒子性和波动性这两个方面的性质（衍射图样可证实波动性）。

1． 波函数及其统计解释（1）波函数 1925年，薛定锷提出了描述物质波的波函数。

能量为E 、动量为p 的自由粒子沿x 方向运动时，对应的物质波是单色平面波，波函数为：()()ψ,iEt px x t eψ--= 0(22-1)如果粒子做三维自由运动，则波函数可表示为：ψ(r ,t )= ψo exp[()i Et p r h π--⋅2 ] = ψ(r )exp (Et hi π2-) (22-2) （2）波函数的统计解释 1926年德国物理学家玻恩提出，德布罗意波或薛定谔方程中的波函数并不象经典波那样代表什么实在的物理量的波动，而是刻画粒子在空间的概率分布的概率波)，从而赋予了量子概念下的粒子性和波动性以统一明确的含义。

○1波函数(),r t ψ本身没有直接的物理意义。

○2对于中心点的坐标为(x ,y ,z )的小体积元d V =dxdydz ，粒子处于该小体积元内的概率dP=∣ψ(x ,y ,z )∣2d V ，∣ψ(x ,y ,z )∣2称为概率密度。

○3波函数满足归一化条件：(),r t dV ψΩ=⎰21 。

对于概率分布来说，重要的是相对概率分布。

如果C 是常数(可以是复数)，则波函数ψ( r )与波函数C ψ(r )所描述的相对概率分布是完全相同的，因为在空间任意两点 r 1和r 2处，总有 C r C r r r ψψψψ()()()()12221222=。

这就是说，ψ( r )与C ψ(r )所描写的是同一个概率波，波函数有一个因子的不确定性。

在这一点上，概率波与经典波有着本质的差别。

一个经典波的振幅不同，波的能量也不同，代表完全不同的波动状态。

因此，经典波根本谈不上归一化，而概率波却可以归一化。

○4波函数的标准条件：单值、有限、连续。

不符合标准条件的波函数没有物理意义。

玻恩提出的波函数的概率诠释，是量子力学的基本原理之一。

2． 不确定性关系由于运动粒子的波粒二象性，在任意时刻粒子的位置和动量都有一个不确定的量。

1927年海森伯给出如下不确定关系：位置动量不确定关系：,x y z x p y p z p ⎛⎫∆∆≥∆∆≥∆∆≥ ⎪⎝⎭222 (22-3) 能量时间不确定关系：E t ∆∆≥2(22-4) 对不确定关系的说明：(1) 此关系完全来自物质的二象性，由物质的本性所决定，与实验技术或仪器的精度无关。

(2) 不确定原理对任何物体都成立。

4．薛定锷方程（非相对论情况）对于质量为m 、动量为p 、能量为E 的自由粒子，在非相对论情况下有关系E=p 2 / 2m ，其自由粒子的薛定谔方程ih t 2π∂∂ψ( r ,t )= -h m 2228π∇ψ( r ,t )如果粒子在势场U (r )中运动，则薛定谔方程为ih t 2π∂∂ψ( r ,t )= [-2228∇mh π+U ( r )]ψ( r ,t ) (22-5) 如果势能U (r )不显含时间t ，机械能守恒，用分离变量法可求得定态薛定谔方程[-h m2228π∇+ U ( r )]ψ( r )= E ψ(r ) (22-6)ψ(r )称为定态波函数，该波函数所描写的量子态称为定态。

如果粒子在一维空间运动，可得一维定态薛定谔方程0)()]([8)(2222=-+x x U E hmdx x d ψπψ (22-7) 5．一维定态薛定谔方程的应用用定态薛定谔方程处理一维问题，可通过一些简单的例子体现量子体系的许多特征。

⑴ 一维无限深势阱：粒子势能：0 < x < a 区域U (x )= 0；x ≤ 0和x ≥ a 区域，U (x )= ∞。

可以得到体系能量量子化的能级公式（本征值）和波函数表达式（本征函数），粒子具有最低能级不为零的零点能。

⑵ 线性谐振子：粒子在势能为U (x )=12m ω2x 2的一维空间中运动。

得到体系能量量子化的能级公式。

线性谐振子的基态能量(零点能)也不为零的。

它还给出一些与经典力学完全不同的量子效应。

⑶ 方势垒：能量为E 的粒子沿x 轴正方向射向方势垒U (x )，在0 ≤ x ≤ a 区域势能U (x )=U o ；在x < 0和x > a 区域势能U (x )= 0。

讨论一个粒子被势垒散射到各个方向去的概率。

散射中粒子的能量可以取任意值，组成连续谱。

解薛定谔方程可以得到一种奇特的结果：粒子能穿透比动能更高的势垒，称为隧道效应。

1982年，宾尼和罗雷尔等人利用电子的隧道效应，研制成功了扫描隧道显微镜(STM )。

使人类第一次能够实时地观测单个原子在物质表面上的排列状态以及与表面电子行为有关的性质，这在表面科学、材料科学和生命科学等领域的研究中有着重大的意义和广泛的应用前景。

6．量子力学处理氢原子问题简介假定氢原子核是固定的，讨论电子在原子核库仑场U (r )= - e /(4πεo r )中运动，这属于有心力场问题(严格地说，核是运动的，实际是个两体问题)。

在经典力学和量子力学中，有心力场问题都占有特别重要的地位。

此类问题的处理中，角动量守恒定律起了重要的作用。

（1）氢原子的薛定谔方程使用球坐标系讨论较为方便。

设波函数ψ(r ,θ,ϕ)= R (r )Θ(θ)Φ(ϕ)，使用分离变量法求解，可得三个独立变量的方程如下-=1222ΦΦd d m ϕ (22-8) 12412222R d dr r dR dr mr E e r o ()()()++=+ πε (22-9) m d d d d 2211sin sin (sin )()θθθθθ-=+ΘΘ(22-10)（2）四个量子数求解上述三个方程，考虑波函数单值、有限、连续的条件，可得以下几个重要结果。

○1氢原子能量E 的量子化和主量子数n 解方程(22-9)，要求波函数连续，可得到氢原子量子化的能级公式E n = -182422nme ho ()ε= E 1 / n 2 (22-11)式中n=1,2,3…，n 称为主量子数，E 1= -13.6 eV 。

这一结果与玻尔用半经典理论所得完全一致,n = 1时氢原子处于基态,n > 1时处于激发态。

○2电子轨道角动量L 的量子化和轨道角量子数 解方程(22-9)、(22-10)，要求波函数有限，可得到电子轨道角动量L 的量子化条件L = h /(2π) ()+1=()+1 ， = 0,1,2…n -1 (22-12)称为轨道角量子数，取值受到主量子数n 的限制，给定n ， 只能取0,1,2…n -1等n 个值。

与能量一样，氢原子中电子的轨道角动量也是量子化的，不能取任意值。

根据薛定谔方程解出的氢原子轨道角动量量子化条件与玻尔理论的量子化条件区别：薛定谔方程解出的轨道角动量量子化条件为L=)1(+ ，( =0,1,2,3…n -1)，轨道角动量的最小值可以为零；根据玻尔氢原子理论，轨道角动量量子化条件为L=n ， = 1,2,3…，轨道角动量的最小值不为零，而是 。

实际结果证明薛定谔方程解出的氢原子轨道角动量量子化条件正确。

○3轨道角动量空间取向L z 的量子化和轨道磁量子数m 解方程（22-8），要求波函数单值，可得电子轨道角动量L 的空间取向L z 的量子化条件L z == m ， （22-13）m = 0,± 1,±2…± 。

m 称为轨道磁量子数，它的取值受到角量子数 的限制，对于给定的 ， 只能取0,± 1,±2…± 等2 + 1个值。

作圆周运动的带电粒子会产生一个磁矩m ，而磁矩m是与粒子的轨道角动量 L 成正比的，如果L 是量子化的，那么磁矩也将是量子化的。

将原子放在外磁场中，我们观察到了这种量子化的效应。

原子在沿z 方向的外加均匀强磁场的作用下，能级分裂，出现原子中电子轨道角动量L 沿外磁场方向上的分量L z 的量子化现象，称为轨道角动量的空间量子化。

○4电子自旋角动量S 的量子化和自旋磁量子数m s 与经典粒子对比，电子除了绕核的公转之外，还应该存在绕自身轴转动的自旋运动。

在历史上，自旋这个概念是由解释原子光谱的精细结构而来的。

许多光谱线看上去是一条，但在更精密的实验之下却是离得很近的两条或多条。

1922年，美国物理学家施特恩与盖拉赫让穿过一行裂缝的中性银原子束通过非均匀磁场，并射到一块照相底板上。

实验发现，原先不存在非均匀磁场时，在底板上产生的一条缝形细线，现在分裂成两条长的、明晰的踪迹。

人们知道，银原子中的电子轨道角动量为零，那么由什么引起这种粒子束的分裂呢？荷兰莱顿大学的两位研究生乌伦贝克和古德斯密特认为电子不是点电荷，除了轨道角动量之外，还应有绕它本身的对称轴旋转的自旋角动量。

银原子束的二重分裂是因为电子自旋在外磁场方向有两个不同的投影值，一个向上，一个向下，它们在非均匀磁场中所受的力也是相反的，故分裂成两束。

电子自旋概念是在薛定谔量子理论之前提出的，后来被量子力学包括进去。

电子自旋角动量S 的大小是量子化的，而且只能取一个值S = h /(2π))1(+s s =)1(+s s （22-14）s 称为自旋量子数，只能取一个值s =1。

即电子自旋角动量S 的大小为S = 34。

我们常把这一结果表达为：电子的自旋为12。

电子自旋角动量S在外磁场方向(z方向)上的投影S z也是量子化的，只能取两个值：S z =m s ，（22-15）m s =±12称为自旋磁量子数，不管别的量子数取什么值，自旋磁量子数m s所能取的可能值不是-12就是+12。