2020高考数学大一轮复习第五章数列第一节数列的概念与简单表示法检测理新人教A版

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2020版高考数学人教版理科一轮复习课件：5-1 数列的概念与简单表示法

余数构成一个新数列{bn}，则 b2 018＝ 1 .
解析：(1)对 n＝1,2,3,4 进行验证，an＝2sinn2π不合题意． (2)由题意得，引入“兔子数列”： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，….此数列被 3 整除后的余数构成一个新数列为 1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…构成以 8 为周期的周期数列，所以 b2 018＝b2＝1.
C.4
D.5
解析：由题意知，a1＝1，a2＝2，a3＝32，a4＝53.
5．已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝a2n－2an＋1(n∈N*)，则 a2 018＝
0.
解析：∵a1＝1，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3 －1)2＝0，…，可知数列{an}是以 2 为周期的数列，∴a2 018＝a2＝ 0.
an＝nn，－n1为，奇 n为数偶，数， n≥1，n∈N*.
由递推关系式求通项公式的常用方法 (1)已知 a1 且 an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求 an. (2)已知 a1 且aan－n 1＝f(n)，可用“累乘法”求 an. (3)已知 a1 且 an＋1＝qan＋b，则 an＋1＋k＝q(an＋k)(其中 k 可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{an＋k}．
1．若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝n＋n 1an”，如何求解？
解：∵an＋1＝n＋n 1an，∴aan＋n 1＝n＋n 1. ∴an＝aan－n 1·aann－－12·aann－－23·…·aa32·aa21·a1，＝n－n 1·nn－－21·nn－－32·…·12·2＝2n.
2．若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝2an＋3”，如何求解？

2020年高考数学一轮复习教案：第5章第1节数列的概念与简单表示法(含解析)

第5章数列第一节数列的概念与简单表示法[考纲传真] 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限单调性递增数列a n＋1>a na n＋1<a n其中n∈N*递减数列常数列a n＋1＝a n摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．4．数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．6．a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).[常用结论]1．数列{a n }是递增数列⇔a n ＋1＞a n 恒成立． 2．数列{a n }是递减数列⇔a n ＋1＜a n 恒成立．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达． ( )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( )(3)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) (4)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝12a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．(教材改编)数列－1，12，－13，14，－15，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝±1n B ．a n ＝(－1)n ·1n C ．a n ＝(－1)n ＋11nD ．a n ＝1nB [由a 1＝－1，代入检验可知选B.]3．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 A [当n ＝8时，a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15.]4．把3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)．则第6个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30 B [由题图可知，第6个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.] 5．(教材改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5＝( )A.32B.53C.85D.23D [a 2＝1＋1a 1＝2，a 3＝1＋－1a 2＝1－12＝12，a 4＝1＋1a 3＝1＋2＝3，a 5＝1＋－1a4＝1－13＝23.]由数列的前几项归纳数列的通项公式1．数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n －1n ＋1(n ∈N *) B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *) C ．a n ＝2(n －1)2n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n2n ＋1(n ∈N *) C [注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可．]2．数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝__________.2n ＋1n 2＋1 [数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.]3．写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…；(2)12，－34，78，－1516，3132，…； (3)3,33,333,3 333，…； (4)－1,1，－2,2，－3,3….[解] (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)数列中各项的符号可通过(－1)n ＋1表示．每一项绝对值的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝(－1)n ＋12n －12n .(3)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n ＝13(10n －1)．(4)数列的奇数项为－1，－2，－3，…可用－n ＋12表示，数列的偶数项为1,2,3，…可用n2表示．因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n ＋12(n 为奇数)，n 2(n 为偶数).殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理.由a n 与S n 的关系求通项公式【例1】 n n {a n }的通项公式a n ＝________.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________. (1)⎩⎨⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2 (2)(－2)n －1 [(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.(2)由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，得a n ＝23a n －23a n －1，∴当n ≥2时，a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2.又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1，∴a n ＝(－2)n －1.][规律方法] 1.已知S n 求a n 的三个步骤,(1)先利用a 1＝S 1求出a 1； (2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并.2.S n 与a n 关系问题的求解思路,根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.(1)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解； (2)利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解.(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________.(2)在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________.(1)⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2 (2)－2n －1 [(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n －1－1＝2·3n －1. 显然当n ＝1时，不满足上式． ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.(2)依题意得S n ＋1＝2a n ＋1＋1，S n ＝2a n ＋1，两式相减得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1＝2a n ，又S 1＝2a 1＋1＝a 1，因此a 1＝－1，所以数列{a n }是以a 1＝－1为首项、2为公比的等比数列，a n ＝－2n －1.]由数列的递推关系求通项公式►考法1 形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n【例2】在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．[解] (1)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2， ∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝n (3n ＋1)2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式， ∴a n ＝32n 2＋n 2.►考法2 形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n【例3】已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，求数列{a n }的通项公式． [解] ∵a n ＋1＝2na n ，∴a n ＋1a n ＝2n ，∴a na n －1＝2n －1(n ≥2)，∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1) ＝2n (n －1)2.又a 1＝1适合上式，故a n ＝.►考法3 形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n .【例4】已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式． [解] ∵a n ＋1＝3a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，∴a n＋1＝2·3n－1，因此a n＝2·3n－1－1.[规律方法]由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a1且a n－a n－1＝f(n)，可用“累加法”求a n，即a n＝(a n－a n－1)＋(a n －1－a n－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1.(2)已知a1且＝f(n)，可用“累乘法”求a n，即a n＝ (1)(3)已知a1且a n＋1＝qa n＋b，则a n＋1＋k＝q(a n＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{a n＋k}.(4)形如a n＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.根据下列条件，求数列{a n}的通项公式．(1)a1＝1，a n＋1＝a n＋2n；(2)a1＝12，a n＝n－1n＋1a n－1(n≥2)；(3)a1＝1，a n＋1＝2a n＋3；(4)a1＝1，a n＋1＝2a na n＋2.[解](1)由题意知a n＋1－a n＝2n，a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.(2)因为a n＝n－1n＋1a n－1(n≥2)，所以当n ≥2时，a na n －1＝n －1n ＋1，所以a na n －1＝n －1n ＋1，a n －1a n －2＝n －2n ，…，a 3a 2＝24，a 2a 1＝13，以上n －1个式子相乘得a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·…·24·13，即a n a 1＝1n ＋1×1n ×2×1，所以a n ＝1n (n ＋1).当n ＝1时，a 1＝11×2＝12，与已知a 1＝12相符，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋1).(3)由a n ＋1＝2a n ＋3得a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．又a 1＝1，∴a 1＋3＝4.故数列{a n ＋3}是首项为4，公比为2的等比数列， ∴a n ＋3＝4·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3. (4)因为a n ＋1＝2a n a n ＋2，a 1＝1，所以a n ≠0，所以1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12. 又a 1＝1，则1a 1＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．所以1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12.所以a n ＝2n ＋1(n ∈N *).1．(2014·全国卷Ⅱ)数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________.12 [∵a n ＋1＝11－a n， ∴a n ＋1＝11－a n ＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1 ＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2，∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. ∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12.]2．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.－1n [∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1.又1S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n .]3．(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．[解] (1)由题意可得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n＝12. 故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.。

2020版高考数学大一轮复习第五章数列第1节数列的概念及简单表示法课件理新人教A版

【训练1】写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1×1 2，2×1 3，－3×1 4，4×1 5，…； (2)12，2，92，8，225，…； (3)5，55，555，5 555，….
解 (1)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是 an＝(－1)n×n(n1＋1)，n∈N*.
a1＝________.
解析 ∵Sn＝a1(43n－1)，a4＝32，则 a4＝S4－S3＝32.
∴2535a1－633a1＝32，∴a1＝12.
答案
1 2
考点一由数列的前几项求数列的通项
【例1】 (1)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是( )
A.an＝(－1)n－1＋1 C.an＝2sinn2π
第1节数列的概念及简单表示法
考试要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)； 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
知识梳理
1.数列的定义按照____一__定__顺__序_____排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类分类标准` 项数
令 bn＝an＋3，则 b1＝a1＋3＝4，且bbn＋n 1＝aan＋n＋1＋33＝2. 所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列. ∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.
(4)因为 an＋1＝a2n＋an2，a1＝1，所以 an≠0，
所以an1＋1＝a1n＋12，即an1＋1－a1n＝12.
的位置序号.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.( ) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( ) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( ) 解析 (1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列. (2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列. (3)数列可以是常数列或摆动数列. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√

高考数学一轮复习 5.1数列的概念及简单表示法讲解与练

第一节数列的概念与简单表示法[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2.了解数列是自变量为正整数的一类函数．数列的概念在高考试题中常与其他知识综合进行考查，主要有：(1)以考查通项公式为主，同时考查S n与a n的关系，如2012年江西T16等.(2)以递推关系为载体，考查数列的各项的求法，如2012年新课标全国T16等.[归纳·知识整合]1．数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)．2．数列的分类分类原则类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n ＋1＞a n 其中n ∈N *递减数列 a n ＋1＜a n 常数列 a n ＋1＝a n摆动数列从第2项起有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项.3．数列的表示法数列的表示方法有列表法、图象法、公式法． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．[探究] 1.数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？提示：不唯一，如数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以为a n ＝(－1)n或a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n 为奇数，1，n 为偶数.有的数列没有通项公式．5．数列的递推公式若一个数列{a n }的首项a 1确定，其余各项用a n 与a n －1的关系式表示(如a n ＝2a n －1＋1，n ＞1)，则这个关系式就称为数列的递推公式．[探究] 2.通项公式和递推公式有何异同点？提示：不同点相同点通项公式法可根据某项的序号，直接用代入法求出该项都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项递推公式法可根据第1项或前几项的值，通过一次或多次赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的项[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)已知数列{a n }的前4项分别为2,0,2，0，…，则下列各式不可以作为数列{a n }的通项公式的一项是( )A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1B ．a n ＝2sinn π2C ．a n ＝1－cos n πD ．a ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数解析：选B 若a n ＝2sinn π2，则a 1＝2sin π2＝2，a 2＝2sin π＝0，a 3＝2sin 3π2＝－2，a 4＝2sin 2π＝0.2．已知数列的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则3( ) A ．不是数列{a n }中的项 B ．只是数列{a n }中的第2项 C ．只是数列{a n }中的第6项 D ．是数列{a n }中的第2项或第6项解析：选D 令a n ＝3，即n 2－8n ＋15＝3，解得n ＝2或6，故3是数列{a n }中的第2项或第6项．3．(教材习题改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n ≥2)，则a 5＝( )A.32 B.53 C.74D.85解析：选D 由题意知，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝32，a 4＝53，a 5＝85.4．(教材改编题)已知数列2，5，22，…，根据数列的规律，25应该是该数列的第________项．解析：由于2＝3×1－1,5＝3×2－1,8＝3×3－1，… 故可知该数列的通项公式为a n ＝3n －1 由25＝3n －1，得n ＝7. 答案：75．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为a n ＝________；数列{na n }中数值最小的项是第________项．解析：∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－10n )－[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11；当n ＝1时，a 1＝S 1＝－9也满足a n ＝2n －11， ∴a n ＝2n －11.∴na n ＝2n 2－11n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－112n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1142－12116＝2⎝⎛⎭⎪⎫n －1142－1218.又∵n ∈N *，∴当n ＝3时，na n 取最小值．答案：2n －11 3已知数列的前几项求通项公式[例1] 根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； (2)12，34，78，1516，3132，…； (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…. [自主解答] (1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项a n ＝2(n ＋1)(n ∈N *)． (2)注意到分母分别是21,22,23,24,25，…，而分子比分母少1，所以其通项a n ＝2n－12n (n ∈N *)．(3)分母规律明显，而第2,3,4项的绝对值的分子比分母少3，因此可考虑把第1项变为－2－32，这样原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，－25－325，26－326，…所以其通项a n ＝(－1)n 2n－32n (n ∈N *)．———————————————————用观察法求数列的通项公式的技巧用观察归纳法求数列的通项公式，关键是找出各项的共同规律及项与项数n 的关系．当项与项之间的关系不明显时，可采用适当变形或分解，以凸显规律，便于归纳．当各项是分数时，可分别考虑分子、分母的变化规律及联系，正负相间出现时，可用(－1)n或(－1)n ＋1调节．1．写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： (1)23，415，635，863，1099，…； (2)－1，13，－935，1763，－3399，…；(3)9,99,999,9 999，….解：(1)分子是连续的偶数，且第1个数是2，所以用2n 表示；分母是22－1,42－1,62－1,82－1,102－1，所以用(2n )2－1表示．所以a n ＝2n 2n2－1＝2n 4n 2－1(n ∈N *)． (2)正负交替出现，且奇数项为负，偶数项为正，所以用(－1)n表示； 1， 13， 935， 1763， 3399，…↕ ↕ ↕ ↕ ↕31×3， 53×5， 95×7， 177×9， 339×11，… 分母是连续奇数相乘的形式，观察和项数n 的关系，用(2n －1)(2n ＋1)表示；分子是21＋1,22＋1,23＋1,24＋1，用2n＋1表示．所以 a n ＝(－1)n·2n＋12n －12n ＋1＝(－1)n ·2n＋14n 2－1(n ∈N *)．(3) 9， 99， 999， 9 999，… ↕ ↕ ↕ ↕101－1， 102－1， 103－1， 104－1，… 所以a n ＝10n－1(n ∈N *).由a n 与S n 的关系求通项公式[例2] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n－1，求它的通项公式a n . [自主解答] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n－1－(3n －1－1)＝2×3n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2也满足a n ＝2×3n －1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1.若将“S n ＝3n －1”改为“S n ＝n 2－n ＋1”，如何求解？解：∵a 1＝S 1＝12－1＋1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－n ＋1)－[(n －1)2－(n －1)＋1]＝2n －2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n ＝1，2n －2n ≥2.———————————————————已知S n 求a n 时应注意的问题数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n－S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．2．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n >1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *.求数列{a n }的通项公式．解：由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2.由已知a 1＝S 1>1，因此a 1＝2. 又由a n ＋1＝S n ＋1－S n＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)(a n ＋2)，得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n . 因为a n >0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去．因此a n ＋1－a n －3＝0，即a n ＋1－a n ＝3，从而{a n }是公差为3，首项为2的等差数列，故{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.由递推关系式求数列的通项公式[例3] 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2； (2)a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)； (3)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2. [自主解答] (1)∵a n ＋1＝3a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3. ∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3. 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2×3n －1.∴a n ＝2×3n －1－1.(2)∵a n ＝n －1na n －1(n ≥2)， ∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1×12×23×…×n －1n ＝a 1n ＝1n .(3)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2， ∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n 3n ＋12(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n ＝32n 2＋n 2.———————————————————由递推公式求通项公式的常用方法已知数列的递推关系，求数列的通项公式时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；当出现a n ＝a n －1＋fn 时，用累加法求解；当出现a na n －1时，用累乘法求解.3．(2012·大纲全国卷)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n >1时有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1，将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n n ＋12.综上可知，数列{a n }的通项公式a n ＝n n ＋12.数列函数性质的应用[例4] 已知数列{a n }． (1)若a n ＝n 2－5n ＋4， ①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立．求实数k 的取值范围． [自主解答] (1)①由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. ∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.②∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94的对称轴方程为n ＝52.又n ∈N *，∴n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由a n ＋1>a n ，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3.———————————————————函数思想在数列中的应用(1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决． (2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用：①作差；②作商；③结合函数图象等方法．4．若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫nn ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________. 解析：法一：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧k k ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ≥k －1k ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫23k －1，kk ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ≥k ＋1k ＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ＋1，解得10≤k ≤1＋10. ∵k ∈N *，∴k ＝4.法二：设a n ＝n (n ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ，则 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)(n ＋5)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1－n (n ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23n ＋1n ＋5－n n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 10－n 23. 当n ≤3时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ，当n ≥4时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n ，故a 1＜a 2＜a 3＜a 4，且a 4＞a 5＞a 6＞…. 所以数列中最大项是第4项．答案：41个关系——数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．3类问题——数列通项公式的求法及最大(小)项问题 (1)由递推关系求数列的通项公式常用的方法有： ①求出数列的前几项，再归纳出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用叠加法、累乘法、迭代法． (2)由S n 与a n 的递推关系求a n 的常用思路有：①利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式； ②转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 的关系，再求a n . (3)数列{a n }的最大(小)项的求法可以利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1，找到数列的最小项.创新交汇——数列与函数的交汇问题1．数列的概念常与函数、方程、解析几何、不等式等相结合命题．2．正确理解、掌握函数的性质(如单调性、周期性等)是解决此类问题的关键． [典例] (2012·上海高考)已知f (x )＝11＋x .各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2＝f (a n )．若a 2 010＝a 2 012，则a 20＋a 11的值是________．[解析] ∵a n ＋2＝11＋a n ，又a 2 010＝a 2 012＝11＋a 2 010，∴a 22 010＋a 2 010＝1. 又a n >0，∴a 2 010＝5－12. 又a 2 010＝11＋a 2 008＝5－12，∴a 2 008＝5－12，同理可得a 2 006＝…＝a 20＝5－12.又a 1＝1，∴a 3＝12，a 5＝11＋a 3＝23，a 7＝11＋a 5＝35，a 9＝11＋a 7＝58，a 11＝11＋a 9＝813. ∴a 20＋a 11＝5－12＋813＝135＋326. [答案]135＋326[名师点评]1．本题具有以下创新点(1)数列{a n }的递推关系式，以函数f (x )＝11＋x为载体间接给出；(2)给出的递推关系式不是相邻两项，即a n 与a n －1(n ≥2)之间的关系，而是给出a n 与a n＋2之间的关系式，即奇数项与奇数项、偶数项与偶数项之间的递推关系． 2．解决本题的关键有以下两点 (1)正确求出数列{a n }的递推关系式； (2)正确利用递推公式a n ＋2＝11＋a n，分别从首项a 1推出a 11和从a 2 010推出a 20. [变式训练]1．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n的最小值为( ) A.172B.212C ．10D ．21解析：选B 由已知条件可知：当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝33＋2＋4＋…＋2(n －1)＝n 2－n ＋33，又n ＝1时，a 1＝33适合，故a n ＝n 2－n ＋33.又a n n＝n ＋33n－1，令f (n )＝n ＋33n－1，f (n )在[1,5]上为减函数，f (n )在[6，＋∞)上为增函数，又f (5)＝535，f (6)＝212，所以f (5)>f (6)．故f (n )＝a n n 的最小值为212.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1x ≤0，f x －1＋1x >0，把函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n n －12(n ∈N *)B ．a n ＝n (n －1)(n ∈N *) C ．a n ＝n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n－2(n ∈N *)解析：选C 据已知函数关系式可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1x ≤0，2x －10<x ≤1，2x －2＋11<x ≤2，…，此时易知函数g (x )＝f (x )－x 的前几个零点依次为0,1,2，…，代入验证只有C 符合.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n 是( )A.n2n ＋1 B.n 2n －1 C.n2n －3D.n 2n ＋3解析：选B 由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项为n2n －1.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)，则“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若数列{a n }为递增数列，则有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1>2λ对任意的n ∈N *都成立，于是有3>2λ，即λ<32.由λ<1可得λ<32，但反过来，由λ<32不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件．3．数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大值是( )A ．310B ．19 C.119D.1060解析：选C 因为a n ＝1n ＋90n，运用基本不等式得1n ＋90n≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或10时，a n ＝119最大．4．(2013·银川模拟)设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n 项之积为T r ，则T 2 013的值为( )A ．－12B ．－1 C.12D ．2解析：选B 由a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2可知，数列{a n }是周期为3的周期数列，从而T 2013＝(－1)671＝－1.5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝( ) A ．9 B ．8 C ．7D ．6解析：选B 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S nn ＝1S n －S n －1n ≥2＝⎩⎪⎨⎪⎧－8n ＝1，2n －10n ≥2，得a n ＝2n －10.由5<2k －10<8得7.5<k <9，由于k ∈N *，所以k ＝8. 6．(2012·福建高考)数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 012等于( )A ．1 006B ．2 012C ．503D ．0解析：选A 由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，…，a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4＝2，k ∈N ，故S 2 012＝503×2＝1 006.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．根据下图5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第n 个图中有________个点．解析：观察图中5个图形点的个数分别为1,1×2＋1,2×3＋1，3×4＋1,4×5＋1，故第n 个图中点的个数为(n －1)×n ＋1＝n 2－n ＋1. 答案：n 2－n ＋18．数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤a n<12，2a n－1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤a n<1，若a 1＝67，则a 2 013＝________.解析：因为a 1＝67∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1，所以a 2＝2a 1－1＝2×67－1＝57.因为a 2＝57∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1，所以a 3＝2a 2－1＝2×57－1＝37.因为a 3＝37∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，所以a 4＝2a 3＝2×37＝67.显然a 4＝a 1，根据递推关系，逐步代入，得a 5＝a 2，a 6＝a 3，…故该数列的项呈周期性出现，其周期为3，根据上述求解结果，可得a 3k ＋1＝67，a 3k ＋2＝57，a 3k ＋3＝37(k ∈N )．所以a 2 013＝a 3×671＝a 3＝37.答案：379．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n的两个零点，则b 10＝________.解析：∵a n ＋a n ＋1＝b n ，a n ·a n ＋1＝2n， ∴a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1，∴a n ＋2＝2a n .又∵a 1＝1，a 1·a 2＝2，∴a 2＝2， ∴a 2n ＝2n，a 2n －1＝2n －1(n ∈N *)，∴b 10＝a 10＋a 11＝64. 答案：64三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3…·a n ＝n 2，求a 3＋a 5的值．解：∵a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2， ∴a 1a 2＝4，a 1a 2a 3＝9，解得a 3＝94.同理a 5＝2516.∴a 3＋a 5＝6116.11．已知数列{a n }的前n 项和S n ，分别求它们的通项公式a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ； (2)S n ＝2n＋1.解：(1)由题可知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1. 当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，故a n ＝4n ＋1. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2＋1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1)－(2n －1＋1)＝2n －1.当n ＝1时，21－1＝1≠a 1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝1，2n －1n ≥2.12．已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解：(1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)，故b n＝⎩⎪⎨⎪⎧1n n ≥2，23n ＝1.(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝－n －12n ＋22n ＋3n ＋1<0.∴{c n }是递减数列．1．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (1)0.8,0.88,0.888，…； (3)32，1，710，917，…； (4)0,1,0,1，….解：(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)．(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…故a n ＝89⎝⎛⎭⎪⎫1－110n .(3)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，故可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.(4)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 为奇数，1 n 为偶数或a n ＝1＋－1n2或a n ＝1＋cos n π2.2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n (n ∈N *)，试问数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项和最小项的项数；若没有，说明理由．解：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n·9－n 11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ；故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…∴数列中有最大项，最大项为第9、10项，即a 9＝a 10＝1010119.3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎪⎫n ，S n n(n ∈N *)均在函数y ＝3x －2的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .解：(1)依题意得，S nn＝3n －2，即S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5；当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5.所以a n ＝6n －5(n ∈N *)． (2)由(1)得b n ＝3a n a n ＋1＝36n －5[6n ＋1－5]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1，故T n ＝∑i ＝1nbi＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1.因此，使得12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1<m 20(n ∈N *)成立的m 必须且仅需满足12≤m 20，即m ≥10，故满足要求的最小正整数m 为10.4．(2012·浙江高考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N *.(1)求a n ，b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解：(1)由S n ＝2n 2＋n ，得当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1，易知当n ＝1时也满足通式a n ＝4n －1，所以a n ＝4n －1，n ∈N *.由4n －1＝a n ＝4log 2b n ＋3，得b n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知a n ·b n ＝(4n －1)·2n －1，n ∈N *，所以T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)·2n －1，2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)·2n －1＋(4n －1)·2n，2T n －T n ＝(4n －1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n －1)]＝(4n －5)2n＋5.故T n ＝(4n －5)2n＋5，n ∈N *.。

高三一轮复习第五章第一节数列的概念与简单表示法

课时作业1．在数列{a n }中，a n ＝n 2－9n －100，则最小的项是( ) A ．第4项 B ．第5项C ．第6项D ．第4项或第5项【解析】　∵a n ＝(n －92)2－814－100，∴n ＝4或5时，a n 最小．【答案】　D2．数列{a n }：1，－58，715，－924，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n (n ∈N ＋)B ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 3＋3n (n ∈N ＋)C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n (n ∈N ＋)D ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 2＋2n(n ∈N ＋)【解析】　观察数列{a n }各项，可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6，故选D ．【答案】　D3．(2022·福建福州质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 019＝( )A ．1B ．0C ．2 019D ．－2 019【解析】　∵a 1＝1，∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，∴a 2 019＝a 1＝1．【答案】　A4．(2022·大庆二模)已知数列{a n }满足：a n ＝{（3－a ）n －3，n ≤7a n －6，n >7(n ∈N *)，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(94，3)B ．[94，3)C ．(1，3)D ．(2，3)【解析】　根据题意，a n＝f(n)＝{（3－a）n－3，n≤7a n－6，n>7，n∈N*，要使{a n}是递增数列，必有{3－a>0a>1（3－a）×7－3<a8－6，据此有：{a<3a>1a>2或a<－9，综上可得2<a<3．【答案】　D5．(2022·黄冈模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2－2n＋2，则数列{a n}的通项公式为( )A．a n＝2n－3 B．a n＝2n＋3C．a n＝{1，n＝12n－3，n≥2D．a n＝{1，n＝12n＋3，n≥2【解析】　当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－3，由于a1的值不适合上式，故选C．【答案】　C6．(多选)(2022·常州期末)已知数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝1＋a n1－a n，使a n＝－12的n可以是( )A．2 019 B．2 021C．2 022 D．2 023【解析】　由题意可知，a1＝2，a2＝－3，a3＝－12，a4＝13，a5＝2，a6＝－3，a7＝－12，a8＝13，可得数列{a n}的周期为4，所以a2 019＝a3＝－12，a2 021＝a1＝2，a2 022＝a2＝－3，a2 023＝a3＝－12，所以使a n＝－12的n可以是2 019，2 023，故答案选AD．【答案】　AD7．(2022·石家庄二模)在数列{a n}中，已知a1＝2，a2＝7，a n＋2等于a n a n＋1(n∈N*)的个位数，则a2 015＝( )A．8 B．6C．4 D．2【解析】　由题意得a3＝4，a4＝8，a5＝2，a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8．所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a2 015＝a335×6＋5＝a5＝2．【答案】　D8．(多选)已知数列{a n}满足a1＝－12，a n＋1＝11－a n，则下列各数是{a n}的项的有( )A．－2 B．2 3C．32D．3【解析】　∵数列{a n}满足a1＝－12，a n＋1＝11－a n，∴a2＝11－(－12)＝23，a3＝11－a2＝3，a4＝11－a3＝－12＝a1，∴数列{a n}是周期为3的数列，且前3项为－12，23，3，故选BD．【答案】　BD9．(多选)下列四个命题中，正确的有( )A．数列{n＋1n}的第k项为1＋1kB．已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第7项C．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为a n＝2n－1D．数列{a n}的通项公式为a n＝nn＋1，n∈N*，则数列{a n}是递增数列【解析】　对于A，数列{n＋1n}的第k项为1＋1k，A正确；对于B，令n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，B正确；对于C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，设该数列为{b n}，则其通项公式为b n＝2n(n∈N*)，因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为a n＝b n＋1＝2n＋1(n∈N*)，C错误；对于D，a n＝nn＋1＝1－1n＋1，则a n＋1－a n＝1n＋1－1n＋2＝1（n＋1）（n＋2）>0，因此数列{a n}是递增数列，D正确．故选ABD．【答案】　ABD10．(2022·太原二模)已知数列{a n}满足a1＝1，a n－a n＋1＝na n a n＋1(n∈N*)，则a n＝________．【解析】　由已知得1a n＋1－1a n＝n，∴1a n－1a n－1＝n－1，1a n－1－1a n－2＝n－2，…，1a2－1a1＝1，∴1a n －1a1＝n （n －1）2，∴1an ＝n 2－n ＋22，∴a n ＝2n 2－n ＋2．【答案】　2n 2－n ＋211．在数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________．【解析】　由题意知a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴a n ＝(nn －1)2(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝(32)2＋(54)2＝6116．【答案】　611612．数列{a n }满足12a 1＋122a 2＋…＋12n a n ＝2n ＋5，n ∈N *，则a n ＝________．【解析】　在12a 1＋122a 2＋…＋12n a n ＝2n ＋5中，用n －1代换n 得12a 1＋122a 2＋…＋12n －1a n －1＝2(n －1)＋5 (n ≥2)，两式相减得12n a n ＝2，a n ＝2n ＋1，又12a 1＝7，即a 1＝14，故a n＝{14，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.【答案】　{14，n ＝1，2n ＋1，n ≥213．根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2； (2)a 1＝1，a n ＋1＝(n ＋1)a n ； (3)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln (1＋1n)．【解】　(1)∵a n ＋1＝3a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2， ∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1．(2)∵a n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1an ＝n ＋1．∴a nan －1＝n ，a n －1a n －2＝n －1，…a 3a 2＝3，a 2a1＝2，a 1＝1．累乘可得，a n ＝n ×(n －1)×(n －2)×…×3×2×1＝n! 故a n ＝n!(3)∵a n ＋1＝a n ＋ln (1＋1n )，∴a n ＋1－a n ＝ln (1＋1n )＝ln n ＋1n．∴a n －a n －1＝ln nn －1，a n －1－a n －2＝ln n －1n －2，…a 2－a 1＝ln 21，∴a n －a 1＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21＝ln n ．又a 1＝2，∴a n ＝ln n ＋2．14．设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1＝a (a ∈R 且a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *． (1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．【解】　(1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，又S 1－31＝a －3(a ≠3)，故数列{S n －3n }是首项为a －3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *． (2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2， a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2 ＝2n －2[12·(32)n －2＋a －3]，当n≥2时，a n＋1≥a n 12·(32)n－2＋a－3≥0 a≥－9．又a2＝a1＋3＞a1．综上，所求a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．。

2020版高考数学一轮复习第5章数列第1讲数列的概念与简单表示法学案

第1讲数列的概念与简单表示法板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．考点2 数列的分类考点3 数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．考点4 数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．[必会结论]1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( ) (2)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是a n ＝1＋(－1)n ＋12.( )(3)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) (4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√2．[课本改编]数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n 是( )A.n 2n ＋1 B.n 2n －1 C.n 2n －3 D.n 2n ＋3答案 B解析由已知得，数列可写成11，23，35，…，故该数列的一个通项公式为n 2n －1.故选B.3．[课本改编]在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n(n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516 B.158 C.34 D.38答案 C解析由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34.故选C.4．已知f (1)＝3，f (n ＋1)＝f (n )＋12(n ∈N *)．则f (4)＝________.答案 54解析由f (1)＝3，得f (2)＝2，f (3)＝32，f (4)＝54.5．[2018·山东师大附中月考]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n ＋1n ＋2，则a 5＋a 6＝________. 答案124解析 a 5＋a 6＝S 6－S 4＝6＋16＋2－4＋14＋2＝78－56＝124.6．[课本改编]在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则数列a n ＝________.答案 3－1n解析由题意，得a n ＋1－a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋2＝3－1n .板块二典例探究·考向突破考向由数列的前几项求数列的通项公式例 1 写出下面各数列的一个通项公式：(1)－1,7，－13,19，…； (2)32，1，710，917，…； (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (4)1,3,6,10,15，…； (5)3,33,333,3333，….解 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)．(2)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，因此可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1. (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，所以a n ＝(－1)n·2n－32n .(4)将数列改写为1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，因而有a n ＝n (n ＋1)2，也可用逐差法a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，…，a n －a n －1＝n ，各式累加得a n ＝n (n ＋1)2.(5)将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n ＝13(10n －1)．触类旁通观察法求通项公式的常用技巧求数列的通项公式实际上是寻找数列的第n 项与序号n 之间的关系，常用技巧有：(1)借助于(－1)n或(－1)n ＋1来解决项的符号问题；(2)项为分数的数列，可进行恰当的变形，寻找分子、分母各自的规律以及分子、分母间的关系；(3)对较复杂的数列的通项公式的探求，可采用添项、还原、分割等方法，转化为熟知的数列，如等差数列、等比数列等来解决．考向由a n 与S n 的关系求通项a n例 2 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则a n ＝________.答案 4n －5解析 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.(2)设S n 为数列{a n }的前n 项的和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝________.答案 3n解析当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32(a n －1)－32(a n －1－1)，整理，得a n ＝3a n －1，即a na n －1＝3，又a 1＝3，∴数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列，∴a n ＝3n.(3)已知数列{a n }，满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n，则a n ＝________. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n，n ≥2解析当n ＝1时，由已知，可得a 1＝21＝2，当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n， ① 故a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n －1， ②由①－②得na n ＝2n－2n －1＝2n －1，∴a n ＝2n －1n.显然n ＝1时不满足上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n ，n ≥2.触类旁通给出S n 与a n 的递推关系，求a n 的常用思路：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .【变式训练】 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2×3n －1，n ≥2解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2×3n －1.当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.(2)[2018·广州模拟]设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，则a n ＝________.答案13n 解析因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，①则当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，②①－②得3n －1a n ＝13，所以a n ＝13n (n ≥2)．由题意知a 1＝13，符合上式，所以a n ＝13n .(3)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1解析由已知S n ＝2a n ＋1，得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，S n ＋1S n ＝32，而S 1＝a 1＝1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.考向由递推公式求数列的通项公式命题角度1 形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n例 3 在数列{a n }中，a 1＝4，na n ＋1＝(n ＋2)a n ，求数列{a n }的通项公式．解由递推关系得a n ＋1a n ＝n ＋2n，又a 1＝4， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n ＋1n －1·n n －2·n －1n －3·…·42·31·4＝(n ＋1)·n2·1·4＝2n (n ＋1)(n ∈N *)．命题角度2 形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n例 4 (1)[2015·江苏高考]设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和．解由题意可得，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，则1a n＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项的和为1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011.(2)若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n，求数列{a n }的通项公式．解由题意知a n ＋1－a n ＝2n，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.命题角度3 形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n 例 5 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求a n .解设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )，即a n ＋1＝2a n －t ，解得t ＝－3.故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2. 所以{b n }是以b 1＝4为首项，2为公比的等比数列．所以b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，即a n ＝2n ＋1－3.命题角度4 形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)，求a n 例 6 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．解 ∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0， ∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列，∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n ＋12，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．触类旁通由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n . (2)已知a 1且a na n －1＝f (n )，可用“累乘法”求a n . (3)已知a 1且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋k ＝q (a n ＋k )(其中k 可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{a n ＋k }．(4)形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．核心规律已知递推关系求通项，一般有以下方法： (1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)累加法、累乘法、待定系数法．满分策略1.数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列a n ＝f (n )和函数y ＝f (x )的单调性是不同的． 2.数列的通项公式不一定唯一．3.在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形.板块三启智培优·破译高考数学思想系列6——用函数思想解决数列的单调性问题[2018·南京段考]数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n .求实数k 的取值范围．解题视点 (1)求使a n <0的n 值；从二次函数看a n 的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f (n )＝n 2＋kn ＋4.f (n )在N *上单调递增，可利用二次函数的对称轴研究单调性，但应注意数列通项中n 的取值．解 (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3，∴数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3.答题启示 (1)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取.,(2)本题易错答案为k >－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.跟踪训练已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)． ∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a2.∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，知5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.故a 的取值范围为(－10，－8)．板块四模拟演练·提能增分[A 级基础达标]1．已知数列2，5，22，…，则25是该数列的( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．第8项答案 C解析由数列2，5，22，…的前三项2，5，8可知，数列的通项公式为a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1，由3n －1＝25，可得n ＝7.故选C.2．[2018·上饶模拟]已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝n ，若a 1＝2，则a 4－a 2＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 D解析由a n ＋1＋a n ＝n ，得a n ＋2＋a n ＋1＝n ＋1，两式相减得a n ＋2－a n ＝1，令n ＝2，得a 4－a 2＝1.故选D.3．[2018·济宁模拟]若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝nn ＋1，则1a 5等于( ) A.56 B.65 C.130 D ．30 答案 D解析 ∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝nn ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，∴1a 5＝5×(5＋1)＝30.故选D.4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1a n ＝2n(n ∈N *)，则a 10＝( )A ．64B ．32C ．16D ．8 答案 B解析 ∵a n ＋1a n ＝2n，∴a n ＋2a n ＋1＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2.又a 1a 2＝2，a 1＝1，∴a 2＝2. 则a 10a 8·a 8a 6·a 6a 4·a 4a 2＝24，即a 10＝25＝32.故选B. 5．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于( )A ．256B ．510C ．512D ．1024 答案 C解析在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .∴a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8.∴a 9＝a 6·a 3＝64×8，a 9＝512.故选C.6．[2018·辽宁实验中学月考]设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a n ＝( )A ．2nB ．2n －1C ．2nD ．2n－1 答案 C解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝2(a 1－1)，可得a 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n－1，∴a n ＝2a n －1，∴a n ＝2·2n －1＝2n.选C.7．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ∈N *)，则数列{na n }中数值最小的项是( ) A ．第2项 B ．第3项 C ．第4项 D ．第5项答案 B解析 ∵S n ＝n 2－10n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －11；当n ＝1时，a 1＝S 1＝－9也适合上式． ∴a n ＝2n －11(n ∈N *)．记f (n )＝na n ＝n (2n －11)＝2n 2－11n ，此函数图象的对称轴为直线n ＝114，但n ∈N *，∴当n ＝3时，f (n )取最小值．于是，数列{na n }中数值最小的项是第3项．故选B.8．已知数列{a n }中，a 1＝1，若a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，则a 5的值是________．答案 31解析 ∵a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)， ∴a n ＋1a n －1＋1＝2，又a 1＝1，∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，即a n ＋1＝2×2n－1＝2n，∴a 5＋1＝25，即a 5＝31.9．[2018·洛阳模拟]数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.答案6116解析由题意知：a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －12(n ≥2)，所以a 3＋a 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫542＝6116. 10．[2015·全国卷Ⅱ]设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.答案－1n解析 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，又由a 1＝－1，知S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，且公差为－1，而1S 1＝1a 1＝－1， ∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n. [B 级知能提升]1．[2018·天津模拟]已知正数数列{a n }中，a 1＝1，(n ＋2)·a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，n ∈N *，则它的通项公式为( )A ．a n ＝1n ＋1 B ．a n ＝2n ＋1 C ．a n ＝n ＋12 D ．a n ＝n答案 B解析由题意可得a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2，则a n ＝a n a n －1.a n －1a n －2.....a 2a 1.a 1＝n n ＋1.n －1n .. (23)×1＝2n ＋1.故选B. 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋k 2n ，若数列{a n }为递减数列，则实数k 的取值范围为( )A ．(3，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞) 答案 D解析因为a n ＋1－a n ＝3n ＋3＋k 2n ＋1－3n ＋k 2n ＝3－3n －k 2n ＋1，由数列{a n }为递减数列知，对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝3－3n －k 2n ＋1＜0，所以k ＞3－3n 对任意n ∈N *恒成立，所以k ∈(0，＋∞)．故选D.3．[2018·重庆模拟]数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a n ，0≤a n ≤12，2a n －1，12＜a n ＜1，a 1＝35，则数列的第2018项为_______．答案 15解析 ∵a 1＝35，∴a 2＝2a 1－1＝15. ∴a 3＝2a 2＝25.∴a 4＝2a 3＝45. ∴a 5＝2a 4－1＝35，a 6＝2a 5－1＝15，…. ∴该数列周期为T ＝4.∴a 2018＝a 2＝15. 4．已知a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝9－6n ，求数列{a n }的通项公式．解令S n ＝a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ，则S n ＝9－6n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，2n －1a n ＝S n －S n －1＝－6，∴a n ＝－32n －2.而n ＝1时，a 1＝3，不符合上式， ∴通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，n ＝1，－32n －2，n ≥2.5．[2018·贵阳模拟]已知在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n . (1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解 (1)由S 2＝43a 2，得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1.当n ＞1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理，得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1. 将以上n 个等式两端分别相乘，整理，得a n ＝n (n ＋1)2. 综上，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2.。

高考数学一轮复习第五章数列5.1数列的概念与简单表示法课件理

第五章数列第一节数列的概念与简单表示法
【知识梳理】 1.数列的有关概念
概念
含义
数列数列的项数列的通项
按照_一__定__顺__序__排列的一列数
数列中的_________ 每一个数
数列{an}的第n项an
概念通项公式前n项和
含义
数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式_a_n=_f_(_n_)_表示,这个公式叫做数列的通项公式
将第一项看成这样,先不考虑符号,则分母为3,5, 7,9,…可归纳为 233 n， +1,分子为3,8,15,24,…将其每一项
加1后变成4,9,16,25,…可归纳为(n+1)2,综上,数列的
通项公式an= 1nn1211nn22n.
2n1
2n1
③把数列改写成 1， 0， 1， 0， 1， 0分， 1母， 0依，次为 12345678
答案:(1)5 030 (2)
5k 5k 1
2
【加固训练】
1.数列
则是该数列的 ( )
2，5， 2 2， 2 5

A.第6项
B.第7项
C.第10项
D.第11项
【解析】选B.原数列可写成
因为
所以20=2+(n-1)×3,所以n=27， . 5，8， 2 5 20，
2.根据下图5个图形及相应点的个数的变化规律,猜测第n个图中有________个点.
1,2,3,…,而分子1,0,1,0,…周期性出现,因此数列的通项可表示为
an
12［11n1］11n1.
n
2n
④将数列统一为 3，5，7，对9 ，于分子3,5,7,9,…, 2 5 10 17

新课标2020年高考数学一轮总复习第五章数列5_1数列的概念与简单表示法课件理新人教A版

n3n＋1 2
(n≥2)．当n＝1时，a1＝2＝
1 2
×(3×1＋
1)，符合上式，所以an＝32n2＋n2. [答案] 32n2＋n2
方法2 用累乘法求数列的通项公式
【例3】已知数列{an}中，a1＝1，(n＋1)an＝nan＋1，则数列{an}的通项公式an
．
答案：2nn－1
4．(必修5·习题2.1A组改编)观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出一个
数列的通项公式
( )，4，－9，( )，－25，( )，－49，an＝
.
答案：－1 16 36 (－1)nn2
考点一|已知数列的前几项写通项公式 (思维突破)
【例1】 (1)下列公式可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( )
第一节数列的概念与简单表示法
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考情考向分析
1.了解数列的概念和几种简单的表示以考查Sn与an的关系为
主，简单的递推关系也是方法(列表、图象、
考查的热点．本节内容在通项公式)．
高考中主要以选择、填空 2．了解数列是自变
的形式进行考查，难度属量为正整数的一类
项公式an＝10n－1. [答案] (1)C
名师点拨 1．此类题目利用由特殊到一般的归纳推理即观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求． 2．抓住以下几方面的特征： (1)分式中分子、分母的特征，如奇数，偶数； (2)相邻项的变化特征，增加多少，减少多少，几倍关系，平方关系等； (3)拆项后的特征，＋、－、×、分数等； (4)各项符号特征，符号(－1)n或(－1)n＋1.

高考数学大一轮复习配套课时训练：第五篇数列第1节数列的概念与简单表示法(含答案)

第五篇数列(必修5)第1节数列的概念与简单表示法课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.设数列{a n}的前n项和S n=n2,则a8的值为( A )(A)15 (B)16 (C)49 (D)64解析:由a8=S8-S7=64-49=15,故选A.2.(2013华师大附中高三模拟)数列{a n}中,a1=1,a n=+1,则a4等于( A )(A)(B)(C)1 (D)解析:由a1=1,a n=+1得,a2=+1=2,a3=+1=+1=,a4=+1=+1=.故选A.3.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( C )(A)1,,,,…(B)-1,-2,-3,-4,…(C)-1,-,-,-,…(D)1,,,…,解析:根据定义,属于无穷数列的是选项A、B、C(用省略号),属于递增数列的是选项C、D,故满足要求的是选项C.故选C.4.下列关于星星的图案中,星星的个数依次构成一个数列,该数列的一个通项公式是( C )(A)a n=n2-n+1 (B)a n=(C)a n=(D)a n=解析:从题图中可观察星星的构成规律,n=1时,有1个;n=2时,有3个;n=3时,有6个;n=4时,有10个;…∴a n=1+2+3+4+…+n=,故选C.5.下面五个结论:①数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤立的点;②数列的项数是无限的;③数列的通项公式是唯一的;④数列不一定有通项公式;⑤将数列看做函数,其定义域是N*(或它的有限子集{1,2,…,n}).其中正确的是( B )(A)①②④⑤ (B)①④⑤(C)①③④(D)②⑤解析:②中数列的项数也可以是有限的,③中数列的通项公式不唯一,故选B.6.(2013东莞模拟)数列{a n}满足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·a n=(n-1)·3n+1+3,则数列{a n}的通项公式a n=( C ) (A)3n-1(B)(2n-1)·3n(C)3n(D)(2n-1)·3n-1解析:当n≥2时,有a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·a n-1=(n-2)·3n+3,两式相减得(2n-1)a n=(n-1)3n+1-(n-2)3n,即(2n-1)a n=(2n-1)·3n,故a n=3n.又a1=3满足a n=3n,故选C.7.(2013太原一模)已知函数f(x)=若数列{a n}满足a n=f(n)(n∈N*),且{a n}是递增数列,则实数a的取值范围是( C ) (A)[,3) (B)(,3)(C)(2,3) (D)(1,3)解析:由题意,a n=f(n)=要使{a n}是递增数列,必有解得,2<a<3.故选C.二、填空题8.数列-,,-,,…的一个通项公式为.解析:观察各项知,其通项公式可以为a n=.答案:a n=9.(2013广西一模)数列{a n}中,已知a1=1,a2=2,a n+1=a n+a n+2(n∈N*),则a7= .解析:由a n+1=a n+a n+2,得a n+2=a n+1-a n.所以a3=a2-a1=1,a4=a3-a2=-1,a5=a4-a3=-1-1=-2.a6=a5-a4=-2-(-1)=-1,a7=a6 -a5=-1-(-2)=1.答案:110.(2013清远调研)已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n-1,则a1+a25= .解析:∵S n=n2+2n-1,∴a1=S1=2.当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+2n-1-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n+1.∴a n=∴a1+a25=2+51=53.答案:5311.(2013东莞市高三模拟)已知数列{a n}的前n项和S n=n2-3n,若它的第k项满足2<a k<5,则k= .解析:a1=S1=1-3=-2,当n≥2时a n=S n-S n-1=n2-3n-(n-1)2+3(n-1),∴a n=2n-4,由2<a k<5得2<2k-4<5,则3<k<,所以k=4.答案:4三、解答题12.数列{a n}的通项公式是a n=n2-7n+6.(1)这个数列的第4项是多少?(2)150是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项?(3)该数列从第几项开始各项都是正数?解:(1)当n=4时,a4=42-4×7+6=-6.(2)是.令a n=150,即n2-7n+6=150,解得n=16或n=-9(舍去),即150是这个数列的第16项.(3)令a n=n2-7n+6>0,解得n>6或n<1(舍).故数列从第7项起各项都是正数.13.(2013潮州期末质检)数列{a n}的前n项和S n=,若a1=,a2=.(1)求数列{a n}的前n项和S n;(2)求数列{a n}的通项公式;(3)设b n=,求数列{b n}的前n项和T n.解:(1)由S1=a1=,得=;由S2=a1+a2=,得=.∴解得故S n=.(2)当n≥2时,a n=S n-S n-1=-==由于a1=也适合a n=.∴a n=.(3)b n===-.∴数列{b n}的前n项和T n=b1+b2+…+b n-1+b n=1-+-+…+-+-=1-=.B组14.对于数列{a n},a1=4,a n+1=f(a n),依照下表则a2015=( D )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:由题意a2=f(a1)=f(4)=1,a3=f(a2)=f(1)=5,a4=f(a3)=f(5)=2,a5=f(a4)=f(2)= 4,a6=f(a5)=f(4)=1.则数列{a n}的项周期性出现,其周期为4,a2015=a4×503+3=a3=5.故选D.15.已知数列{a n}的通项a n=n2(7-n)(n∈N*),则a n的最大值是.解析:设f(x)=x2(7-x)=-x3+7x2,当x>0时,由f′(x)=-3x2+14x=0得,x=.当0<x<时,f′(x)>0,则f(x)在上单调递增,当x>时,f′(x)<0,f(x)在上单调递减,所以当x>0时,f(x)max=f.又n∈N*,4<<5,a4=48,a5=50,所以a n的最大值为50.答案:5016.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-n-30.(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项?(2)n为何值时,a n=0,a n>0,a n<0?(3)该数列前n项和S n是否存在最值?说明理由. 解:(1)由a n=n2-n-30,得a1=12-1-30=-30,a2=22-2-30=-28,a3=32-3-30=-24.设a n=60,则60=n2-n-30.解之得n=10或n=-9(舍去).∴60是此数列的第10项.(2)令a n=n2-n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去).∴a6=0.令n2-n-30>0,解得n>6或n<-5(舍去).∴当n>6(n∈N*)时,a n>0.令n2-n-30<0,解得0<n<6.∴当0<n<6(n∈N*)时,a n<0.(3)S n存在最小值,不存在最大值.由a n=n2-n-30=-30,(n∈N*)知{a n}是递增数列,且a1<a2<…<a5<a6=0<a7<a8<a9<…,故S n存在最小值S5=S6,不存在最大值.。

2020版高考数学一轮复习第五篇数列必修5第1节数列的概念与简单表示法课件理

2
,所以 an= 2 2
.当 n=1 时,适合上式.故 an= 2 2
.
(3)a1=1,an+1=2an+1.
解:(3)由题意知 an+1+1=2(an+1),所以 an1 1 =2.所以数列{an+1}是以 2 为首项,2 为公比 an 1
如果数列{an}的第n项与序号n
之间的关系可以用一个式子来表示,那
么这个公式叫做这个数列的通项公式.
6.数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前几项),且从第二项开始的任何一项an与它的前
一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即an=f(an-1)或an=f(an-1,
an-2),那么这个式子叫做数列{an}的递推公式.
.
解析:因为{an}是递增数列,所以对任意的n∈N*,都有an+1>an,即 (n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,整理, 得2n+1+λ>0,即λ>-(2n+1).(*) 因为n≥1,所以-(2n+1)≤-3,要使不等式(*)恒成立,只需λ>-3.
答案:(-3,+∞)
5.设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则S5=
an=
.
解析:(1)当 n=1 时,a1=S1=1;当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-2n+2-[(n-1)2-2(n-1)+2]=2n-3.
由于
n=1
时,a1=1≠2×1-3,所以{an}的通项公式为
an=
1, n 2n

高考数学大一轮复习第五章数列 5.1 数列的概念及简单表示法课件文

【解】由已知Sn＝2an－a1 有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1. 又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)．
所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2. 所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．故an＝2n.
【答案】 C
(2)(2016·西安八校联考)观察下列三角形数表： 1 2 3 4 … 97 98 99 100 3 5 7 …… 195 197 199 8 12 ……… 392 396 20 ………… 788 …………… ……… …… …
其中从第2行起，每行的每一个数为其“肩膀”上两数之和，则该数表的最后一行的数为( )
高考真题演练课时作业
突破考点 01
由数列前几项归纳数列的通项公式
（基础送分型——自主练透）
1．数列的分类
2.数列的通项公式如果数列{an}的第n项与________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
1.有限无限 > < 2．序号n
【调研1】 (1)(2016·西安五校联考)下列可作为数列
①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项符号特征，并对此进行归纳、猜想； ⑤若给出图示，充分结合图示分析规律． 2．由数列的前几项求通项时，数列的通项公式不唯一．
突破考点 02
Sn与an的关系
（高频考点型——多维探究）
数列的前n项和通常用Sn表示，记作____出下列各数列的一个通项公式：
①－1,7，－13,19，… ②0.8,0.88,0.888，… ③1,0，13，0，15，0，17，0，… ④32，1，170，197，…

2019-2020学年度最新新人教版高考数学一轮复习第五篇数列第1节数列的概念与简单表示法课件理

7.an与Sn的关系
(1)Sn= a1+a2+…+an
.
(2)若数列{an}的前 n 项和为 Sn,
则
an=
SS1n(n
1), Sn1(n
2).
双基自测
1.下面五个结论:①数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤立的点;②数列
的项数是无限的;③数列的通项公式是唯一的;④数列不一定有通项公式;⑤将
【例 1】写出下列各数列的一个通项公式: (1)3,5,7,9,…;(2) 1 , 3 , 7 , 15 , 31 ,…;
2 4 8 16 32
在讲练中理解知识
解:(1)各项减去1后为正偶数,所以an=2n+1,n∈N*.
(2)每一项的分子比分母少 1, 而分母组成数列 21,22,23,24,…,
解析:当n=1时,a1=2a1-2,所以a1=2,当n=2时,S2=a1+a2=2a2-2,即 a2=a1+2=4.故选A.
4.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为( A ) (A)15 (B)16 (C)49 (D)64
解析:a8=S8-S7=64-49=15.故选A.
触新的教材相信不管是对于同学自己而言还是对于家长朋友们而言，可能都还需要一定的时间去适应，但学习是一刻也不能松懈的事情，新学期除了适应教材的变化以外，一些试题的变化也必须适应，因此就必须在课下进行一些练习。但是问题就来了，很多家长朋友都表示孩子现在换了教材，但是自己找到的课外练习题却还是原来的教材版本的，不适应孩子的教材，不知道该怎么办才好了，眼看孩子马上就要结束第一单元的学习了，可是一直没找大适合的资料，没办法进行课后的巩固练习了。 zgl

2020版高考数学大一轮复习第五章数列1第1讲数列的概念与简单表示法刷好题练能力文

第讲数列的概念与简单表示法．设数列{}的前项和＝，则的值为．解析：＝－＝－＝.答案：．数列，，，，…中，有序实数对(，)可以是．解析：法一：由数列中的项可观察规律，得－＝－＝－(＋)＝(－)－＝，则解得法二：由数列中各项分母可观察规律为－，－，－，－，…，分子规律为，，，，…，所以解得答案：．数列{}满足＋＋＝(∈*)，＝，是数列{}的前项和，则＝.解析：因为＋＋＝，＝，所以＝所以＝×＋×＝.答案：．(·江苏省模拟)已知数列{}满足＝，＋＝则其前项之和为．解析：＝＝，＝＋＝，＝＝，＝＋＝，＝＝，所以前项和＝＋＋＋＋＋＝.答案：．已知数列{}满足＝(，∈*)，且＝，则＝．解析：令＝＝，则＝×＝，令＝，＝，则＝×＝.答案：．已知数列{}满足＝，＝，且＝(≥)，则＝．解析：将＝，＝代入＝得＝＝，同理可得＝，＝，＝，＝，＝，故数列{}是周期数列，周期为，故＝×＝＝.答案：．已知数列{}的前项和为，且满足(＋)＝＋，则其通项公式为．解析：由已知条件可得＋＝＋.则＝＋－，当＝时，＝＝，当≥时，＝－－＝＋－－＋＝，＝时不适合，故＝答案：＝．(·江苏省名校高三入学摸底卷)已知数列{}满足＋＝＋＋(∈*)，＋>，∈*，数列{}是公比为的等比数列，∈*，若＝< ，则＋的值是．解析：因为数列{}是公比为的等比数列，所以＝·－.因为＝< ，且∈*，所以∈{，，}．由*，所以＋＋＝＋＋得＝＋＝＋＝＋＝…＝＋.若＝，则＝＝＝，从而＋＝，＝＝－＋，因为∈＝(∈*)，所以＝－(－)＋＝－<，不合题意，所以≠；若＝，则＝＝＝，从而＋＝，＝－)＝－＋，分析可取＝，得＝，符合题意；若＝，则＝＝×＝，从而＋＝，＝－)＝－＋，分析可取＝，得＝，符合题意．综上所述，或故＋＝或.答案：或．(·南京四校第一学期联考)已知数列{}满足＝，＋－＝(－)(∈*)，且＝＋＋…＋，则的整数部分的所有可能值构成的集合的真子集个数为．解析：因为数列{}满足＝，＋－＝(－)(∈*)，所以＋－＝(－)＞，＋＞，因此数列{}单调递增．由＝，＋－＝(－)，得－＝×，＝，同理＝，＝)，＝＞，＝)＜，所以当≥时，＜＜.另一方面由＋－＝(－)，得＝－，所以＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－.当＝时，＝＝，其整数部分为；当＝时，＝＋＝＋，其整数部分为；当≥时，＝－∈(，)，其整数部分为.综上，的整数部分的所有可能值构成的集合为{，，}，其真子集的个数为－＝.答案：．已知数列{}的前项和＝＋，数列{}的前项和＝－.求数列{}与{}的通项公式．解：因为当≥时，＝－－＝(＋)－[(－)＋(－)]＝，当＝时，＝＝也适合，所以{}的通项公式是＝(∈*)．因为＝－，所以当＝时，＝－，＝.当≥时，＝－－＝(－)－(－－)，所以＝－.所以数列{}是首项为，公比为的等比数列．所以＝.．已知数列{}的通项公式是＝＋＋.若对于∈*，都有＋>，求实数的取值范围．解：由＋>知该数列是一个递增数列，又因为通项公式＝＋＋，可以看作是关于的二次函数，考虑到∈*，所以－<，即得>－.所以实数的取值范围为(－，＋∞)．。

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第一节数列的概念与简单表示法限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级基础夯实练1．已知数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的( )A．第6项B．第7项C．第19项D．第11项解析：选B.数列2，5，8，11，…，据此可得数列的通项公式为：a n＝3n－1，由3n－1＝25，解得，n＝7，即25是这个数列的第7项．2．(2018·河南许昌二模)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋2－a n＝6，则a11的值为( ) A．31 B．32C．61 D．62解析：选A.∵数列{a n}满足a1＝1，a n＋2－a n＝6，∴a3＝6＋1＝7，a5＝6＋7＝13，a7＝6＋13＝19，a9＝6＋19＝25，a11＝6＋25＝31.3．(2018·株洲模拟)数列{a n}的前n项和S n＝2n2－3n(n∈N*)，若p－q＝5，则a p－a q ＝( )A．10 B．15C．－5 D．20解析：选D.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，当n＝1时，a1＝S1＝－1，符合上式，所以a n＝4n－5，所以a p－a q＝4(p－q)＝20.4．(2018·银川模拟)已知数列{a n}的通项公式是a n＝n2＋kn＋2，若对所有的n∈N*，都有a n＋1＞a n成立，则实数k的取值范围是( )A．(0，＋∞) B．(－1，＋∞)C．(－2，＋∞) D．(－3，＋∞)解析：选D.a n＋1＞a n，即(n＋1)2＋k(n＋1)＋2＞n2＋kn＋2，则k＞－(2n＋1)对所有的n∈N*都成立，而当n＝1时，－(2n＋1)取得最大值－3，所以k＞－3.5．(2018·长春模拟)设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，数列{S n＋na n}为常数列，则a n＝( )A.13n－1B．2n n＋C.6n ＋n＋D．5－2n3解析：选B.由题意知当n ＝1时，S n ＋na n ＝2，当n ≥2时，S n －1＋(n －1)a n －1＝2，所以(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1，即a n a n －1＝n －1n ＋1，从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，则a n ＝2nn ＋，当n ＝1时上式成立，所以a n ＝2nn ＋.6．对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)时， ∵|a n |≥a n ，∴a n ＋1＞a n ， ∴{a n }为递增数列．当{a n }为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a 2＞|a 1|不成立，即a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)不一定成立．综上知，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件． 7．(2018·咸阳模拟)已知正项数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝n n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝nB ．a n ＝n 2C ．a n ＝n 2D ．a n ＝n 22解析：选B.∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝n n ＋2，∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝n n －2(n ≥2)，两式相减得a n ＝n n ＋2－n n －2＝n (n ≥2)，∴a n ＝n 2(n ≥2)．又当n ＝1时，a 1＝1×22＝1，a 1＝1，适合上式，∴a n ＝n 2，n ∈N *.故选B.8．数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________.解析：由a n ＋1＝11－a n ，得a n ＝1－1a n ＋1，因为a 8＝2，所以a 7＝1－12＝12，a 6＝1－1a 7＝－1，a 5＝1－1a 6＝2，…所以数列{a n }是以3为周期的数列，所以a 1＝a 7＝12.答案：129．(2018·厦门调研)若数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________．解析：a 1·a 2·a 3·…·a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，当n ＝1时，a 1＝6；当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 2·a 3·…·a n －1·a n ＝n ＋n ＋，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝n n ＋，故当n ≥2时，a n ＝n ＋2n，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n，n ≥2，n ∈N *.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n，n ≥2，n ∈N *.10．(2018·武汉调研)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }中，b n ＝2a n ＋1，且其前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解：(1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)． ∴b n＝⎩⎪⎨⎪⎧23 n ＝，1nn(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1n ＋n ＋＜0，∴{c n }是递减数列．B 级能力提升练11．(2018·江西九江模拟)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为斐波那契数列．则(a 1a 3＋a 2a 4＋a 3a 5＋a 4a 6＋a 5a 7＋a 6a 8)－(a 22＋a 23＋a 24＋a 25＋a 26＋a 27)＝( )A ．0B ．－1C ．1D ．2解析：选A.a 1a 3－a 22＝1×2－1＝1，a 2a 4－a 23＝1×3－22＝－1，a 3a 5－a 24＝2×5－32＝1，a 4a 6－a 25＝3×8－52＝－1，…，则(a 1a 3＋a 2a 4＋a 3a 5＋a 4a 6＋a 5a 7＋a 6a 8)－(a 22＋a 23＋a 24＋a 25＋a 26＋a 27)＝0.12．(2018·佛山测试)定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则a 2 021a 2019等于( )A ．4×2 0212－1 B ．4×2 0202－1 C ．4×2 0192－1 D ．4×2 0192解析：选C.由题意知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是首项为1，公差为2的等差数列，则a n ＋1a n ＝2n －1，所以a n＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1×a 1＝(2n －3)×(2n －5)×…×1. 所以a 2 021a 2 019＝－－－－5＝4 039×4 037＝(4 038＋1)(4 038－1) ＝4 0382－1＝4×2 0192－1.13．(2018·苏州调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则8＋a nn的最小值为________．解析：由a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ＋1得a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…… a n －a n －1＝n .以上等式相加得a n ＝a 1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2，∴8＋a n n ＝n 2＋8n ＋12≥24＋12＝92，当且仅当n ＝4时上式取到等号．答案：9214．已知数列{a n }的各项均为正数，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a 2n }的前n 项和为T n ，且3T n ＝S 2n ＋2S n ，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由3T 1＝S 21＋2S 1，得3a 21＝a 21＋2a 1，即a 21－a 1＝0. 因为a 1＞0，所以a 1＝1. (2)因为3T n ＝S 2n ＋2S n ，① 所以3T n ＋1＝S 2n ＋1＋2S n ＋1，② ②－①，得3a 2n ＋1＝S 2n ＋1－S 2n ＋2a n ＋1. 因为a n ＋1＞0，所以3a n ＋1＝S n ＋1＋S n ＋2，③ 所以3a n ＋2＝S n ＋2＋S n ＋1＋2，④ ④－③，得3a n ＋2－3a n ＋1＝a n ＋2＋a n ＋1，即a n ＋2＝2a n ＋1，所以当n ≥2时，a n ＋1a n＝2. 又由3T 2＝S 22＋2S 2，得3(1＋a 22)＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)，即a 22－2a 2＝0. 因为a 2＞0，所以a 2＝2，所以a 2a 1＝2，所以对n ∈N *，都有a n ＋1a n＝2成立，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *.C 级素养加强练15．已知{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4＝2S 2＋4，数列{b n }中，b n ＝1＋a na n.(1)求公差d 的值；(2)若a 1＝－52，求数列{b n }中的最大项和最小项的值；(3)若对任意的n ∈N *，都有b n ≤b 8成立，求a 1的取值范围．解：(1)∵S 4＝2S 2＋4，∴4a 1＋3×42d ＝2(2a 1＋d )＋4，解得d ＝1.(2)∵a 1＝－52，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－52＋(n －1)＝n －72，∴b n ＝1＋1a n ＝1＋1n －72.∵函数f (x )＝1＋1x －72在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞上分别是单调减函数， ∴b 3＜b 2＜b 1＜1，当n ≥4时，1＜b n ≤b 4， ∴数列{b n }中的最大项是b 4＝3，最小项是b 3＝－1. (3)由b n ＝1＋1a n ，得b n ＝1＋1n ＋a 1－1.又函数f (x )＝1＋1x ＋a 1－1在(－∞，1－a 1)和(1－a 1，＋∞)上分别是单调减函数，且x＜1－a 1时，y ＜1；当x ＞1－a 1时，y ＞1.∵对任意的n ∈N *，都有b n ≤b 8， ∴7＜1－a 1＜8，∴－7＜a 1＜－6， ∴a 1的取值范围是(－7，－6)．。