第4章 线性系统的根轨迹法1
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夏德钤《自动控制原理》（第4版）章节题库-第4章线性系统的根轨迹分析【圣才出品】
夏德钤《⾃动控制原理》（第4版）章节题库-第4章线性系统的根轨迹分析【圣才出品】第4章 线性系统的根轨迹分析1．系统的开环传递函数试证明：点在根轨迹上，并求出相应的和系统开环增益K。
证明：根据系统的开环传递函数可知，系统的开环极点为由闭环根轨迹的相⾓条件可得：当时，故点在根轨迹上。
由闭环根轨迹的幅值条件可知，此时即相应的根轨迹增益和系统开环增益仿真曲线如图4-1所⽰。
MATLAB程序：exe402.m２．设单位反馈控制系统的开环传递函数为试⽤解析法绘出K*从零变到⽆穷时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上：（﹣2＋j0），（0＋j1），（﹣3＋j2）解：闭环传递函数为则闭环特征⽅程为闭环特征根为当。
可逐个描点得闭环根轨迹如图4-2所⽰，从图4-2中明显可见，只有（－2，j0）在根轨迹上。
图4-2３．设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘制闭环根轨迹图。
解：（1）系统的开环传递函数令为根轨迹增益。
①实轴上的根轨迹：[0，－2]，[－5，－∞）。
②根轨迹的渐近线：③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜解得④根轨迹与虚轴的交点：由系统的开环传递函数可知系统的闭环特征⽅程令s＝jω，将其代⼊上式可得即由于ω≠0，故可解得则根轨迹与虚轴的交点为±j3.16。
根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-3所⽰。
图4-3 系统（1）概略根轨迹图（2）系统的开环传递函数①实轴上的根轨迹[0，－2]，[－3，－5]。
③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜通过试凑可得d＝－0.89。
根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-4所⽰。
图4-4 系统（2）概略根轨迹图（3）系统的开环传递函数①实轴上的根轨迹：[－1，－3]，[－10，－5]。
②根轨迹的渐近线：③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜通过试凑可得d＝－7.27。
根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-5所⽰。
图4-5 系统（3）概略根轨迹图（4）系统的开环传递函数实轴上的根轨迹为[－2，－1]，系统概略根轨迹如图4-6所⽰。
自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法
2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2
第四章 根轨迹法(1)
第四章 根轨迹法
（1）当 K * = 0时，s1 = 0、s2 = －2， 此时闭环极点就是开环极点。 （2）当0＜ K * ＜1时， s1 、 s2 均为负 实数，且位于负实轴的（－2，0） 一 段上。 （3）当K * = 1时，s1 = s2 = －1，两 个负实数闭环极点重合在一起。 （4）当1＜ K * ＜∞时， s1， 1 1 k * 2 两个闭环极点变为一对共轭复数极点。 s1 、 s2 的实部不随K * 变化，其位于过 （－1，0）点且平行于虚轴的直线上。 （5）当K * ＝∞时， s1 = －1+ j∞、 s2 = －1－j∞，此时s1、s2将趋于无限 远处。
第四章 根轨迹法
② 位于s1左边的实数零、极 点： (S1 – P4 ) 、(S1 – Z1 ) 、 向量引起的相角为0°
∴ 判断 s1是否落在根轨迹 上，位于s1左边的零、极点不 考虑。
③ 位于s1右边的实数零、极点： 每个零、极点提供180°相 角，其代数和为奇数，则满足相角条件。
第四章 根轨迹法
a
(0) (1 j1) (1 j1) (4) (1) 5 4 1 3
60 180 2k 1 180 2k 1 a 180 nm 3 300
k 0 k 1 k 2
第四章 根轨迹法
五、法则五 根轨迹分离点和分离角
K G( s) H ( S )
* i 1 n j 1
(s z )
i
m
S (s p j )
-1
m个开环零点 n个开环极点 K *根轨迹增益
∴在s平面上凡是满足上式的任意一个点s1、s2、…、 s∞，都 是闭环特征根，即闭环极点。
第四章 根轨迹法
《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
s=-2 分离角=±90。 o 与虚轴的交点
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
根轨迹法的基本概念
K*
s1,2 1
1 K*
令K*（由0到∞ ）变动，s1、s2在s平面的移动轨 迹即为根轨迹。
K* 0, s1 0, s2 2 K* 1, s1 1, s2 1 K* 2, s1 1 j, s2 1 j K* 5, s1 1 2 j, s2 1 2 j
特征方程的根 运动模态 性、系统性能）
1
1
1 ,d 4
m
(s zi )
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) K*
i1 n
m
(s pj )
(s zi )
j 1
K * i1 n
1
(s pj )
j 1
m
n
模值条件： (s zi ) (s pj ) (2k 1)
i1
j1
n
s pj
相角条件： K *
j 1 m
s zi
i 1
相角条件是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足(2k 1) 称为180º根轨迹。
4-2 绘制根轨迹的基本法则
一、基本法则
1、 根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于 开环极点个数，则有（n-m)条根轨迹终止于无穷远处。
起点： K* 0 s pi
K* s p1 s z1
i 1, 2, n
s pn s zm
终点： K* s zi j 1, 2, m
例题：单位反馈系统的开环传递函数为：G(s)H (s) K *(s 1)
s(s 2)(s 3)
试绘制闭环系统的根轨迹
解： 1、开环零点z1=-1，开环极点p1=0，p2=-2，p3=-3， 根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。
004 第4章 线性系统的根轨迹分析
12
（2）精确参数的获得： >> Kg=30.7;R= rlocus(G, Kg) % Kg时所对应的闭环极点 R= -1.3562 + 2.1562i -1.3562 - 2.1562i -0.1438 + 2.1705i -0.1438 - 2.1705i 2）使用[Kg, P]= rlocfind (G)进行参数的人工获取： >> clear;G=tf([1,1],[conv([1,-1],[1,4,16]),0]); %建立零极 点模型G(s) rlocus(G); %生成根轨迹图 [Kg, P]= rlocfind (G) %鼠标左键定轨迹上的闭极点参数
4
闭环系统稳定程度的判断：
当闭环特征根位于在s平面的右半平面时，闭环系 统不稳定；当闭环特征根位于在s平面的虚轴上时，闭 环系统临界稳定（等幅振荡）；当闭环特征根位于在s 平面的左半平面时，闭环系统稳定。
闭环系统动态性能的判断：
在闭环系统稳定的情况下，当特征根位于s平面的 左半实轴上时，闭环系统的输出表现为惯性特性（单 调性）；当特征根位于s左半平面的非实轴区域时，闭 环系统的输出表现为衰减振荡特性；当特征根位于s平 面的虚轴上时，闭环系统的输出表现为等幅振荡特性 ；在s右半平面时为单调或振荡发散特性。 5
2
4.1 根轨迹分析的基本思想
闭环系统的开环传递函数的根轨迹模型为:
其中，zj和pi为开环传递函数模型的零点和极点，Kg 为开环传递函数模型的根轨迹增益。系统的闭环 传递函数为:
3
闭环系统的稳定性与Gb(s)的极点，即闭环系统 的特征方程1+H(s)G(s)=0的根在s平面上的位置及其 分布有关。 闭环系统的特征根在s平面上的位置会随Kg值的 变化而变化。 根轨迹分析法就是通过改变开环传递函数Gk(s) 的根轨迹增益Kg值（0~∞）来观察闭环特征根的轨 迹变化情况，从而能够对闭环系统的稳定程度、动 态性能及结构简化（降阶）等问题进行判断、分析 与设计。
（2）精确参数的获得： >> Kg=30.7;R= rlocus(G, Kg) % Kg时所对应的闭环极点 R= -1.3562 + 2.1562i -1.3562 - 2.1562i -0.1438 + 2.1705i -0.1438 - 2.1705i 2）使用[Kg, P]= rlocfind (G)进行参数的人工获取： >> clear;G=tf([1,1],[conv([1,-1],[1,4,16]),0]); %建立零极 点模型G(s) rlocus(G); %生成根轨迹图 [Kg, P]= rlocfind (G) %鼠标左键定轨迹上的闭极点参数
4
闭环系统稳定程度的判断：
当闭环特征根位于在s平面的右半平面时，闭环系 统不稳定；当闭环特征根位于在s平面的虚轴上时，闭 环系统临界稳定（等幅振荡）；当闭环特征根位于在s 平面的左半平面时，闭环系统稳定。
闭环系统动态性能的判断：
在闭环系统稳定的情况下，当特征根位于s平面的 左半实轴上时，闭环系统的输出表现为惯性特性（单 调性）；当特征根位于s左半平面的非实轴区域时，闭 环系统的输出表现为衰减振荡特性；当特征根位于s平 面的虚轴上时，闭环系统的输出表现为等幅振荡特性 ；在s右半平面时为单调或振荡发散特性。 5
2
4.1 根轨迹分析的基本思想
闭环系统的开环传递函数的根轨迹模型为:
其中，zj和pi为开环传递函数模型的零点和极点，Kg 为开环传递函数模型的根轨迹增益。系统的闭环 传递函数为:
3
闭环系统的稳定性与Gb(s)的极点，即闭环系统 的特征方程1+H(s)G(s)=0的根在s平面上的位置及其 分布有关。 闭环系统的特征根在s平面上的位置会随Kg值的 变化而变化。 根轨迹分析法就是通过改变开环传递函数Gk(s) 的根轨迹增益Kg值（0~∞）来观察闭环特征根的轨 迹变化情况，从而能够对闭环系统的稳定程度、动 态性能及结构简化（降阶）等问题进行判断、分析 与设计。
第4章 线性系统的根轨迹法
i i 1 i
m
s p
i 1
n
0
或写成
* s p K i s zi 0 i 1 i 1
m
它是直接利用开环传递函数分析闭环特征根及其性能的图解法。
『例』已知单位反馈系统开环传递函数 G s
讨论系统闭环极点的分布情况(0<K<∞)。
开环增益 K K * i bd
j
z
ac
i
p
j
四、根轨迹方程
(1) 根轨迹方程
1 Gs H s 0 或 Gs H s 1
假设开环传递函数中有m个零点和n个极点
1
K * s zi
i 1
m
s p
i i 1
n
0,
j z2
p3
S1
p2 z3
z1
p4
p1
4. 根轨迹的渐近线
当开环极点数n大于开环零点数m，有n-m条根轨迹 分支沿着与实轴夹角为 a 和交点为 的一组渐进线 a 趋向无穷远处。
(2k 1) a , a nm
p z
i 1 i i 1
n
m
i
nm
『例』指出单位反馈系统根轨迹的条数、根轨迹渐近线与 实轴的夹角和交点。 K* G(s) s( s 1)(s 2) 60 （2k 1) 0 1 2 解：有3条根轨迹， a 180 ， a 1 30 3 60
『问题』开环传递函数的3个极点和2个零点如下图，
判断s1是否根轨迹上的点?
s1
5 4
z1 z2
× p3
3
2
× p2
m
s p
i 1
n
0
或写成
* s p K i s zi 0 i 1 i 1
m
它是直接利用开环传递函数分析闭环特征根及其性能的图解法。
『例』已知单位反馈系统开环传递函数 G s
讨论系统闭环极点的分布情况(0<K<∞)。
开环增益 K K * i bd
j
z
ac
i
p
j
四、根轨迹方程
(1) 根轨迹方程
1 Gs H s 0 或 Gs H s 1
假设开环传递函数中有m个零点和n个极点
1
K * s zi
i 1
m
s p
i i 1
n
0,
j z2
p3
S1
p2 z3
z1
p4
p1
4. 根轨迹的渐近线
当开环极点数n大于开环零点数m，有n-m条根轨迹 分支沿着与实轴夹角为 a 和交点为 的一组渐进线 a 趋向无穷远处。
(2k 1) a , a nm
p z
i 1 i i 1
n
m
i
nm
『例』指出单位反馈系统根轨迹的条数、根轨迹渐近线与 实轴的夹角和交点。 K* G(s) s( s 1)(s 2) 60 （2k 1) 0 1 2 解：有3条根轨迹， a 180 ， a 1 30 3 60
『问题』开环传递函数的3个极点和2个零点如下图，
判断s1是否根轨迹上的点?
s1
5 4
z1 z2
× p3
3
2
× p2
自动控制原理4 根轨迹法的基本概念
K*
K* 8.16
1.1
pi 71.6
例子4-5 P150
解:1) m=1,n=3,
z1=-20,p1=0,p2=p3=-12, 2）实轴上0--12 ,-12--20 必为根轨迹。 3）渐近线。n-m=2 故有2条渐近线.
G(s) K * (s 20) s(s2 24s 144)
m
n
pi ( pl zi ) ( pl pi )
izl zi )
j 1
jl
p2 1800 56.50 190 590 (108.50 900 370 )
790
z2 1800 1530 1990 1210 63.50 1170 900
（2）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关。 （需专门研究）
j1
（3）
m
K*
(s z j )
m
(zj)
K limsνG(s) H(s) limsν
（4）根轨迹法 s0
s0
sν
j1 nν
(s
pi )
K*
j1 nν
( pi )
根轨迹图
闭环极点
闭环传递函数
性i 1能指标
i 1
3.根轨迹方程
4-2 根轨迹绘制的基本法则
法则1 根轨迹的起点和终点。 法则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性。 法则3 根轨迹的渐近线 法则4 实轴上的根轨迹 法则5 根轨迹的分离点和分离角 法则6 根轨迹的起始角与终止角 法则7 根轨迹与虚轴的交点 法则8 根之和
法则一、根轨迹的对称性、分支数和分布性
1．根轨迹连续且对称于实轴。 2. 根轨迹的分支数与开环有限零点数m与有 限个极点数n中的最大者相等。
自动控制原理-线性系统的根轨迹法1
16
规则4：实轴上的根轨迹 规则 若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边 （开环实数零点数+开环实数极点数）为奇数。 这个结论可以用相角条件证明。 由相角条件
∑ ∠(s − z ) −∑ ∠(s − p ) = (2k +1)π
j =1 j i =1 i
m
n
jω
× × × ×
σ
17
规则5：根轨迹渐近线 规则 当 n>m 时，则有（n-m) 条根轨迹分支终止于无限零点。 这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和 交点来确定。 与实轴夹角
jω
K →∞
K = 2.5
2
稳态性能 开环传递函数在坐标原点有
一个极点，系统为1型系统，根轨迹上 的K值就是静态速度误差系数。如果给 定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图 可以确定闭环极点位置的容许位置。 由开环传递函数绘制根轨迹，通常 采用根轨迹增益 根轨迹增益，根轨迹增益与开环增 根轨迹增益 益之间有一个转换关系。
o o
与实轴交点
σa =
i =1
∑ pi − ∑ z j
j =1
n
m
n−m
( 0 − 4 − 1 + j − 1 − j ) − ( − 1) = = − 1 .67 4 −1
23
24
规则6：根轨迹分离点和会合点 规则 两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即 分开的点称为分离点（会合点）。 分离点（会合点）的坐标 d 由下列方程所决定：
K =1
1
K =0
−2
−1
0
σ
K = 0.5
−1
−2
动态性能
由K值变化所对应的闭环极 点分布来估计。
第四章线性系统的根轨迹法
2. 零度根轨迹： 1 实轴上根轨迹区间右侧开环零极点数目之和为偶数 2 实轴与渐近线正方向夹角2kπ/n-m 3 求出射角和入射角时2kπ
4 分离角不变
1-G(S)H(S)=0 G(K)=1 例题：开环传递函数：
绘制系统的根轨迹。
解：①n=3.所以根轨迹有三条。 ②极点： ③渐近线： 5 分离点：
令 1． 闭环零极点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成，对于单 位负反馈系统的闭环零点就是开环零点。 2． 闭环极点与开环极点，开环零极点及根轨迹都有关系。
4）.根轨迹方程：
幅值条件： 相角条件： ①满足相角条件的点肯定是根轨迹上的点，相角条件是确定根轨迹 的充要条件。 ②幅值条件是用来确定根轨迹上的点所对应的根轨迹增益。 5）.绘制更轨迹的法则： ①根轨迹的连续性：根轨迹是连续变化的直线或曲线。 ②根轨迹的对称性：根轨迹位于幅平面的实轴上或对称的实轴上。 ③根轨迹的条数;等于系统的阶次。即：闭环特征根最高次幂。 ④根轨迹的起点和终点：起源于n个开环极点，终止于m个开环零点。 以及n-m个无穷远零点。
闭环极点。
解 （1）系统的开环极点为，，是根轨迹各分支的起点。由于 系统没有有限开环零点，三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。 （2）系统的根轨迹有条渐进线
渐进线的倾斜角为 取式中的K=0，1，2，得=π/3，π，5π/3。
渐进线与实轴的交点为
三条渐近线如图的虚线所示。 （3）实轴上的根轨迹位于原点与－1点之间以及－2点的左边，如图中 的粗实线所示。 （4）确定分离点：系统的特征方程式为 即
所以 即： ②分离点： 证明：
②除以①式
无零点 分离点重根 ③分离角：指根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之 间的夹角。当l条根轨迹进入并立即离开分离点时 8）根轨迹的出射角和入射角： 出射角：起始于开环极点的根轨迹在起点处，切线方向与正实轴的夹 角。 入射角：终止于开环零点的根轨迹在终点处切线方向与正实轴的夹角。
4 分离角不变
1-G(S)H(S)=0 G(K)=1 例题：开环传递函数：
绘制系统的根轨迹。
解：①n=3.所以根轨迹有三条。 ②极点： ③渐近线： 5 分离点：
令 1． 闭环零极点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成，对于单 位负反馈系统的闭环零点就是开环零点。 2． 闭环极点与开环极点，开环零极点及根轨迹都有关系。
4）.根轨迹方程：
幅值条件： 相角条件： ①满足相角条件的点肯定是根轨迹上的点，相角条件是确定根轨迹 的充要条件。 ②幅值条件是用来确定根轨迹上的点所对应的根轨迹增益。 5）.绘制更轨迹的法则： ①根轨迹的连续性：根轨迹是连续变化的直线或曲线。 ②根轨迹的对称性：根轨迹位于幅平面的实轴上或对称的实轴上。 ③根轨迹的条数;等于系统的阶次。即：闭环特征根最高次幂。 ④根轨迹的起点和终点：起源于n个开环极点，终止于m个开环零点。 以及n-m个无穷远零点。
闭环极点。
解 （1）系统的开环极点为，，是根轨迹各分支的起点。由于 系统没有有限开环零点，三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。 （2）系统的根轨迹有条渐进线
渐进线的倾斜角为 取式中的K=0，1，2，得=π/3，π，5π/3。
渐进线与实轴的交点为
三条渐近线如图的虚线所示。 （3）实轴上的根轨迹位于原点与－1点之间以及－2点的左边，如图中 的粗实线所示。 （4）确定分离点：系统的特征方程式为 即
所以 即： ②分离点： 证明：
②除以①式
无零点 分离点重根 ③分离角：指根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之 间的夹角。当l条根轨迹进入并立即离开分离点时 8）根轨迹的出射角和入射角： 出射角：起始于开环极点的根轨迹在起点处，切线方向与正实轴的夹 角。 入射角：终止于开环零点的根轨迹在终点处切线方向与正实轴的夹角。
自动控制原理-胡寿松-第四章-线性系统的根轨迹法.详解
系统的信号流图见图4-28，从信号流图中看出，系统中含有一个积分环节， 因此为1型系统，因此系统对阶跃输入信号的稳态误差为0。
K m 变化时系统的根轨迹， 2）为了绘制电动机传递系数（含放大器附加增益） 可将有关参数代入传递函数中，并将系统的特征方程进行整理，等价根轨迹增 益方程为：
1 K* P( s ) ( s 6.93 j 6.93)( s 6.93 j 6.93) 1 K * Q( s ) s 2 ( s 13.86)
当所有根轨迹分支都在左半平面时，系统稳定。 2) 稳态性能：
回忆：稳态性能主要取决于系统的开环增益和积分环节个数。
由根轨迹图不仅可以方便的确定开环增益和积分环节个数，而且可以根据给定系统 的稳态误差要求, 确定闭环极点位置的容许范围。
3)动态性能： 回忆：动态性能形态主要取决于系统的——闭环极点。 从根轨迹图上，可以直观地看到特征根随着参数的变化情况，从而，可以方便地 确定动态性能随着参数的变化情况。
K * lim
s
j 1 i 1 m
n
s pi s zj
lim s
s
nm
, 0 ,
nm nm
（无穷零点）
（无穷极点）
(n m 1)
（续）
且均为实数开环零、极点。
（续）
（续）
小结论： 由两个极点（实数极点或者复数极点）和一个有限零点组成的开环系 统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当 K * 从零变化到无穷时， 闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到重根点的距 离为半径的一个圆，或圆的一部分。这在数学上是可以严格证明的。
例如，在上列程序之后增加语句： [k,p]=rlocfind(num,den)
根轨迹法PPT课件
定闭环极点位置。另一方面分析设计系统时经常要研究一个 或者多个参量在一定范围内变化时对闭环极点位置及系统性 能的影响.
W.R.EVAOVS(依万斯)于1948年首先提出了求解特征方程 式根的图解法─根轨迹法。
根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷
时，闭环系统特征方程的根在 s 平面上变化的轨迹。
解： n 3，m 0
① p1 0，p2 1，p3 2 为根轨迹的起点；
开环无零点，故三个分支终点均趋向无穷远。
②
a
(2q 1)
nm
(2q 1)
3
60、180、300
(q 0,1,2)
n
m
a
i 1
pi z j
j 1
nm
3 0 1 3
③ 实轴上根轨迹：
（ ,2]，[1,0]
j
p3 2
第四章 线性系统的根轨迹法
§4-1 根轨迹法的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 §4-3 参数根轨迹 §4-4 正反馈回路和零度根轨迹 §4-5 利用根轨迹法分析系统的暂态响应
§4-1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹的概念
从上一章讨论知道，闭环系统的动态性能与闭环极点在
s 平面上的位置是密切相关的，分析系统性能时往往要求确
对于实轴上0至1线段的实数根而言，其对应的K*值在
b 点为极大值。
可以证明，当l 条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，
分离角为 (2k 1) l .
k 0，1， ，l -1
例4-3：求上例中 b 点的坐标。
[规则3] 根轨迹的渐进线
当开环有限极点数 n大于有限零点数时，有 (n m)
条根轨迹分支沿着与实轴交角为 a 、交点为 a的一组
W.R.EVAOVS(依万斯)于1948年首先提出了求解特征方程 式根的图解法─根轨迹法。
根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷
时，闭环系统特征方程的根在 s 平面上变化的轨迹。
解： n 3，m 0
① p1 0，p2 1，p3 2 为根轨迹的起点；
开环无零点，故三个分支终点均趋向无穷远。
②
a
(2q 1)
nm
(2q 1)
3
60、180、300
(q 0,1,2)
n
m
a
i 1
pi z j
j 1
nm
3 0 1 3
③ 实轴上根轨迹：
（ ,2]，[1,0]
j
p3 2
第四章 线性系统的根轨迹法
§4-1 根轨迹法的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 §4-3 参数根轨迹 §4-4 正反馈回路和零度根轨迹 §4-5 利用根轨迹法分析系统的暂态响应
§4-1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹的概念
从上一章讨论知道，闭环系统的动态性能与闭环极点在
s 平面上的位置是密切相关的，分析系统性能时往往要求确
对于实轴上0至1线段的实数根而言，其对应的K*值在
b 点为极大值。
可以证明，当l 条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，
分离角为 (2k 1) l .
k 0，1， ，l -1
例4-3：求上例中 b 点的坐标。
[规则3] 根轨迹的渐进线
当开环有限极点数 n大于有限零点数时，有 (n m)
条根轨迹分支沿着与实轴交角为 a 、交点为 a的一组
天津大学812 自动控制原理课件 第4章 线性系统的根轨迹法
二、根轨迹方程
根轨迹：当系统某一参数由0变化到无穷大时，闭环系统特征根在s平面上 的轨迹。 由（4-1）可得闭环系统的特征方程为 1 G(s) H (s) 0 由（4-3）式得
(s z )
j
m
K*
(s p )
i i
m
j n
1 1e j ( 2 k 1)
( k 0,1,2,
n m n * i j i i 1 j 1 i 1
例：要求系统闭环主导极点的阻尼比为0.5，试确定系统的根轨迹增益K*、 闭环主导极点和系统开环增益K。
K* G( s) H ( s) , s(s 3)(s 2 2s 2)
ξ =0.5
解：过原点作ξ=0.5的等阻尼线， 等阻尼线与根轨迹分支的交点 即为待求的一个闭环极点 0.41 j 0.71 ，另一共轭闭环极点为 0.41 j 0.71 ； 由根轨迹增益公式，可得2.63,； 由开环传函可得开环增益为 K K * 1 0;.44
j 1
m
z j pi
j 1, j i
n
Pj Pi
Pi 180o
同理可证终止角公式。
例4-3 P148 设系统的开环传递函数为
K * (s 1.5)(s 2 j )(s 2 j ) G( s) s(s 2.5)(s 0.5 j1.5)(s 0.5 1.5 j )
连续变化，则根轨迹连续变化；由于代数方程的根关于 实轴对称，根轨迹也关于实轴对称。
法则3：根轨迹的渐近线：当开环极点数n大于开环零数m时，有n-m条根 轨迹分支沿着与实轴交角为 a 、交点为 a 的一组渐近线趋向无 穷远处，其中：
自动控制原理_第4章_线性系统的根轨迹法
4.2 绘制根轨迹的依据--根轨迹方程
R(s)
G ( s) H ( s)
C(s)
一、闭环零极点与开环零极点的关系
* KG
* KH d
G( s)
Π ( s z j )
j 1
a
( s pi ) Π i 1
* a
b
* KG A( s)
B( s)
c
H ( s)
Π ( s zl )
K* G( s) s( s 1)(s 2)
试绘制系统的概略根轨迹。 解：开环极点 p1=0， p2=-1， p3=-2，无开环零点。
实轴上的根轨迹 (-∞，-2]， [-1，0]。 渐进线 n=3，m=0，有三条渐进线。
0 1 2 1 交点 a nm 3
i 1
pi
1/4<K<∞时，s1,s2为一对共轭复根； K=1/2时，s1,2=－1/2±j0.5。
注意：一组根对应同一个K；K 一变，一组根变；K一停， 一组根停；
K=0.5 K=0 -1
jω
j0.5 0
σ
-j0.5 根轨迹：简称根迹，它是指系统中某一 K=0.1875 K=0.25
参数在可能的取值范围内连续变化时， 闭环系统特征根在s平面上的变化轨迹。
a
pi z j
i 1 j 1
n
m
nm
a
(2k 1) nm
k 0,1,2,, 直到获得(n m)个夹角为止 .
开环传递函数
G ( s) H (s) K * Π ( s z j )
j 1 m
( s pi ) Π i 1
n
K*
自动控制原理第四章根轨迹法
仿真与实验研究
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
第4章线性系统的根轨迹分析
➢根轨迹的渐近线 根轨迹的渐近线就是确定当开环零点数目m小于极点 数目n时，(n-m)条根轨迹沿什么方向趋于[s]平面无 穷远处。由式(4-1-7)及式(4-2-1)求得
k (s z1)(s z2 )(s zm ) 1 (s p1)(s p2 )(s pn )
(4-2-6)
g(t) c(t) 1 et /
闭环系统特征方程为
f (s) s3 3s2 2s k 0
df (s) 3s2 6s 2 0 ds
s1 0.422, s2 1.578
由前边分析得知，s2 不是根轨迹上的点，故舍 去。s1是根轨迹与实轴分离点坐标。最后画出
根轨迹如图4-2-4所示。
图4-2-4 例4-2-1的跟轨迹图
利用多项式乘法和除法，由式(4-2-6)可得
n
s n ( pi )s n1
k
i 1 m
s m ( z j )s m1
j 1
m
n
s nm ( z j
pi )s nm1
j 1
i 1
将式(4-2-8)代入上式可得
m
n
(s )nm snm ( z j pi )snm1
(n m)
(4-2-1)
式中 s z j ( j 1,2,, m) 为系统的开环零点 s pi (i 1,2,, n) 为系统的开环极点
k称为根轨迹增益或根轨迹放大倍数。设系统为v型， 即有s=0的开环极点，将式(4-2-1)改写为
G(s)H (s)
K (1s 1)( 2s 1)( ms 1)
当1<k<∞时，两个闭环极点变为一对共轭复数极点
明当sk1→、s21、∞ 时s12，位js1于、k(s-121,将,且j趋0s1)、向点s于且2 无平的限行实远于部处虚不。轴随图的k变4直-化1线的，上控说。
k (s z1)(s z2 )(s zm ) 1 (s p1)(s p2 )(s pn )
(4-2-6)
g(t) c(t) 1 et /
闭环系统特征方程为
f (s) s3 3s2 2s k 0
df (s) 3s2 6s 2 0 ds
s1 0.422, s2 1.578
由前边分析得知，s2 不是根轨迹上的点，故舍 去。s1是根轨迹与实轴分离点坐标。最后画出
根轨迹如图4-2-4所示。
图4-2-4 例4-2-1的跟轨迹图
利用多项式乘法和除法，由式(4-2-6)可得
n
s n ( pi )s n1
k
i 1 m
s m ( z j )s m1
j 1
m
n
s nm ( z j
pi )s nm1
j 1
i 1
将式(4-2-8)代入上式可得
m
n
(s )nm snm ( z j pi )snm1
(n m)
(4-2-1)
式中 s z j ( j 1,2,, m) 为系统的开环零点 s pi (i 1,2,, n) 为系统的开环极点
k称为根轨迹增益或根轨迹放大倍数。设系统为v型， 即有s=0的开环极点，将式(4-2-1)改写为
G(s)H (s)
K (1s 1)( 2s 1)( ms 1)
当1<k<∞时，两个闭环极点变为一对共轭复数极点
明当sk1→、s21、∞ 时s12，位js1于、k(s-121,将,且j趋0s1)、向点s于且2 无平的限行实远于部处虚不。轴随图的k变4直-化1线的，上控说。
第四章线性系统的根轨迹法new
2.47
3 2 1 0
例4-3
设单位反馈系统的开环传递函数为
K (0.5s 1) K * (s 2)
G(s)
0.5s 2 s 1 (s 2 2s 2)
z1 2 s1,2 1 j
试绘制系统的根轨迹。
K * 0.5K
解
（1）一个开环零点，两个开环极点；两条根轨迹分支；有一个无 穷远处的零点。
根轨迹法的任务： 由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。
由闭环传递函数 (s)
G(s)
1 G(s)H (s)
m
(s z j )
1 G(s)H (s) 0 K * j1
n
1
(s pi )
i 1
当 K* 0 K*
求出相应的根，就可以在s平面上绘制出根轨迹。
根轨迹方程可以进一步表示为
,
K*
K
* G
K
* H
(s)
G(s)
K
* G
f
(s
zi
)
h
(s
p
j
)
i 1
j 1
1 G(s)H (s)
n
(s
pi
)
K
*
m
(s
z
j
)
i 1
j 1
结论：
（1）闭环系统的根轨迹增益 = 开环前向通道系统根轨迹增益。 （2）闭环系统的零点由开环前向通道传递函数的零点和反馈通道 传递函数的极点所组成。
（3）闭环极点与开环零点、开环极点、根轨迹增益均有关。
起始角（出射角）：根轨迹离开复平面上开环极点处的
切线与实轴的夹角 pi 。
终止角（入射角）：根轨迹进入复平面上开环零点处的
自动控制理论第四章 线性系统的根轨迹分析
由以上分析得知：
根轨迹表明了系统参数对闭环极点分布的影 响，通过它可以分析系统的稳定性、稳态和 暂态性能与系统参数之间的关系。
利用根轨迹，可对系统动态特性进行下述分析： （1）判断该系统在K1从0到变化时的稳定性； （2）判断系统在K1从0到变化时根轨迹的条数； （3）判断该系统K1取值在何范围时处于过阻尼、 临界阻尼和 欠阻尼状态； （4）判断系统的“型”，从而计算系统稳态特性； （5）当K1值确定后，在根轨迹上找到闭环极点，从而计算系 统闭环性能指标；或反之；
•根轨迹法作为经典控制理论的基本方法,与频率特性法 互为补充,是分析和研究自动控制系统的有效工具。
•实际上，我们可以利用matlab方便地绘制系统的根轨 迹图。
本章内容
第一节 根轨迹的基本概念 第二节 绘制根轨迹的方法 第三节 参量根轨迹和多回路系统根轨迹 第四节 正反馈系统和零度根轨迹 第五节 利用根轨迹分析系统的暂态性能 第六节 延迟系统的根轨迹 本章小结、重点和习题
当K1由0变化到时，试按一般步骤与规则绘制 其根轨迹图。 解: （1）本系统为3阶系统，有3条根轨迹； （2）起始点：系统没有开环零点，只有三个开环 极点，分别为p1=0，p2=-1，p3=-2。 （3）渐近线：K1时， p1 p2 p3 0 1 2 a 1 有3条根轨迹趋向无穷远处， nm 30 其渐近线与实轴的交点和 (2q 1)180 (2q 1)180 a nm 3 倾角分别为：
满足相角条件,s1=-1.5+j2.5是该系统根轨迹上的点。
（3）利用幅值条件求得与s1 相对应的K1值。
K1
s1 ( s1 2) ( s1 6.6) ( s1 4)
1.5 j 2.5 0.5 j 2.5 5.1 j 2.5 2.5 j 2.5
线性系统的根轨迹法
第4章 线性系统 的根轨迹法
➢根轨迹的基本概念 ➢绘制根轨迹的基本法则 ➢控制系统的根轨迹分析
▪ 对高阶系统而言，采用因式分解求取系统的闭环特征方程根 （即闭环极点）一般是极为困难的。
▪ 在控制系统的设计中，经常需要考察系统某一参数（如开环根 增益）改变时，闭环极点的位置改变情况，以便于根据控制系 统的性能要求，确定这些参数。
是恒包络,而且当码组的变化为0→1,或者 1→0时, 会产生π的最大相位跳变。这种相 位跳变会引起带限滤波后的数字调相信号 包络起伏,甚至出现“0”包络现象,如图9 －1所示。为了消除 π的相位跳变,在 QPSK 的基础上提出 OQPSK。
▪ 图9－1 QPSK 信号限带滤波前、后的波形
每个码元的前一比特为同相分量I(t),后一 比特 为正交分量Q(t),然后利用同相分量和 正交分量分别对两个正交的载波进行2PSK 调制, 最后将两路调制结果叠加,得到 QPSK 信号。在当前任意相位,下一时刻的 相位均有四种 可能取值,因而相位跳变量 可能为0,±π/2或π,如图9－ 2(a)所示,当两 个比特同时发生 极性翻转时,将产生π的相 移,经过带通滤波器之后所形成的包络起伏 必然达到最大。
数字高清晰度电视的图像信息速率接 近1GB/s,要在实际信道中传输,除应采用高 效 的信源压缩编码技术、先进的信道编码 技术之外,采用高效的数字调制技术来提高 单位频 带的数据传送速率也是极为重要的。
地提 高数字电视覆盖率,根据数字电视信 道的特点,要进行地面信道、卫星信道、有 线信道的编 码调制后,才能进行传输。由 于数字电视系统中传送的是数字电视信号, 因此必须采用高 速数字调制技术来提高频 谱利用率,从而进一步提高抗干扰能力,以 满足数字高清晰度电 视系统的传输要求。
➢根轨迹的基本概念 ➢绘制根轨迹的基本法则 ➢控制系统的根轨迹分析
▪ 对高阶系统而言，采用因式分解求取系统的闭环特征方程根 （即闭环极点）一般是极为困难的。
▪ 在控制系统的设计中，经常需要考察系统某一参数（如开环根 增益）改变时，闭环极点的位置改变情况，以便于根据控制系 统的性能要求，确定这些参数。
是恒包络,而且当码组的变化为0→1,或者 1→0时, 会产生π的最大相位跳变。这种相 位跳变会引起带限滤波后的数字调相信号 包络起伏,甚至出现“0”包络现象,如图9 －1所示。为了消除 π的相位跳变,在 QPSK 的基础上提出 OQPSK。
▪ 图9－1 QPSK 信号限带滤波前、后的波形
每个码元的前一比特为同相分量I(t),后一 比特 为正交分量Q(t),然后利用同相分量和 正交分量分别对两个正交的载波进行2PSK 调制, 最后将两路调制结果叠加,得到 QPSK 信号。在当前任意相位,下一时刻的 相位均有四种 可能取值,因而相位跳变量 可能为0,±π/2或π,如图9－ 2(a)所示,当两 个比特同时发生 极性翻转时,将产生π的相 移,经过带通滤波器之后所形成的包络起伏 必然达到最大。
数字高清晰度电视的图像信息速率接 近1GB/s,要在实际信道中传输,除应采用高 效 的信源压缩编码技术、先进的信道编码 技术之外,采用高效的数字调制技术来提高 单位频 带的数据传送速率也是极为重要的。
地提 高数字电视覆盖率,根据数字电视信 道的特点,要进行地面信道、卫星信道、有 线信道的编 码调制后,才能进行传输。由 于数字电视系统中传送的是数字电视信号, 因此必须采用高 速数字调制技术来提高频 谱利用率,从而进一步提高抗干扰能力,以 满足数字高清晰度电 视系统的传输要求。
第4章线性系统的根轨迹法.
C(s)
G1 ( s) C ( s) G( s) R( s) 1 G1 ( s) H ( s)
闭环控制系统的性能取决于闭环零、极点
闭环零点＝G 1(s)中的零点和H(s)中的极点，很容易求得 闭环极点由特征方程：1+ G1 (s) H(s)＝0 求出，很难求得
第四章 根轨迹法 5
根轨迹法的优点：不用求解高阶方程，通过图解的方法 找出闭环极点，并且知道闭环极点的变化趋势，可以方便地 实现高阶系统的性能分析和设计。 根轨迹的定义：开环传递函数中某一参数从0→∞变化时，
第四章 根轨迹法 22
当n>m时，起始于n个开环极点的n支根轨迹， 有m支终止于开环零点，有n-m支终止于无穷远处。 用式（4-9）可以解释这一规则：终点就是K→∞ 的点，要K→∞只有两种情况，一是 s=zl(l=1,2,…,m)，二是s→∞。这时，无穷远处也 称为‘无穷远零点’。 当 n<m 时，终止于 m 个开环零点 m 支根轨迹， 有 n 支来自个开环极点，有 m-n 支来自无穷远处。 必需指出，实际系统极少有 n<m的情况，但是在处 理特殊根轨迹时，常常将系统特征方程变形，变形 后的等价系统可能会出现这种情况。
1948年伊凡思(W.R.Evans)提出了根轨迹法， 它不直接求解特征方程,而用图解法来确定系统 的闭环特征根。所谓根轨迹就是系统的某个参数 连续变化时，闭环特征根在复平面上画出的轨迹， 如果这个参数是开环增益，在根轨迹上就可以根 据已知的开环增益找到相应的闭环特征根，也可 以根据期望的闭环特征根确定开环增益。
第四章 根轨迹法 23
规则二：根轨迹的分支数和对称性
根轨迹对称于实轴，连续变化，并且有max(n,m) 支。 因为根轨迹是闭环特征方程的根，无论K如何 变化特征方程始终有max(n,m)个根，即使出现重 根，当K从零到无穷大连续变化时重根不可能始终 为重根，所以根轨迹一定有max(n,m)支。 特征方程的根要么是实根（在实轴上）要么是 共轭复根（对称于实轴），所以根轨迹一定对称于 实轴且连续变化。
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K* G( s) s( s 1)(s 2)
试绘制系统的概略根轨迹。 解：开环极点 p1=0， p2=-1， p3=-2，无开环零点。
实轴上的根轨迹 (-∞，-2]， [-1，0]。 渐进线 n=3，m=0，有三条渐进线。
0 1 2 1 交点 a nm 3
i 1
pi
n
K*
s z js
m j 1 n
m
m 1
( z j )
j 1 n
m
s n pi s n 1 ( pi )
i 1 i 1
1
s nm [ ( pi ) ( z j )]s nm1
i 1 j 1
n
相角 a
(2k 1) (2k 1) 60 o ,180 o ,60 o nm 3
(k 0,1,1)
分离点 由特征方程
K* 1 G( s) 0 1 0 s( s 1)(s 2)
得
K * s(s 1)(s 2)
dK* (3s 2 6s 2) 0 ds 解得 s1,2 0.423(分离点)，1.577(舍去)
( pi ) ( z j )
i 1 j 1
n
m
s
n m
] K *
开(n－m)次方
s[1
( pi ) ( z j )
i 1 j 1
1
1
s
]
n m
( K * )
nm
二项式定理展开并取前二项近似有
(1 x)
n 0
( 1)( 2)( n 1)
R(s)
-
K s( s 1)
C(s)
闭环传递函数 ： ( s )
特征方程式 ：
特 征 根：
K s2 s K s2 s K 0
1 1 4K s1, 2 2 2
特 征 根： K：0→∞
1 1 4K s1, 2 2 2
K=0时，s1=0，s2=－1，对应开环极点。
Π ( s z j )
j 1
a
Π(s pi ) i 1
* a
b
* K G A( s)
B( s)
c
H ( s)
Π ( s zl )
l 1
c
Π1 (s pk ) k
K * A( s)C ( s) B( s ) D( s )
* K H C (s) D( s)
G( s) H ( s)
b
d
k 1 a *
c
K * A( s) D( s ) B( s) D( s) K * A( s)C ( s )
闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。
对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。
闭环极点与开环零点、开环极点及开环系统的根轨
迹增益有关。
开环系统的根轨迹增益与开环放大倍数不一样，它
d d d [1 K *W ( s)] [ K *W ( s)] K * W ( s) 0 ds ds ds
d W (s) 0 ds
将K*表示成复变量s的函数 则
dK* 1 dW (s) 0 2 ds [W (s)] ds
1 K W ( s)
*
例 已知系统的开环传递函数
Π s pi i 1
相角条件 ： G(s) H (s) (s z j ) ( s pi ) (2k 1)
j 1 i 1 m n
n
1
相角条件是决定闭环系统根轨迹的充要条件。 利用相角条件确定根轨迹上的某点位置；利用幅
值条件确定根轨迹上某一点对应的根轨迹增益。
根轨迹方程 ： K* → 0 K* → ∞
Π (s z j ) j 1 Π(s pi ) i 1
n
m
1 * K
起始点 终止点
s → pi s → zj
(n个开环极点) (m个开环零点)
根轨迹方程 ： K* → 0 K* → ∞
lim
பைடு நூலகம்
Π (s z j ) j 1 Π(s pi ) i 1
m 1 1 d p i i 1 j 1 d z j n
(试探法)
由以上方程求出的解一定有根轨迹的分离点，但 不一定全是根轨迹的分离点。如果求得的解满足特征 方程或相角条件，则可判定其为分离点。 确定根轨迹几个分支的分离点，实质上是求闭环 特征方程式的几重根。
确定根轨迹几个分支的分离点，实质上是求 闭环特征方程式的几重根。 将特征方程写成 1 G(s) H (s) 1 K *W (s) 0 在重根处应满足
画出大致根轨迹如图所示
特征方程 ： 1 G(s) H (s) 0 根轨迹方程 ： G(s) H (s) 1
m
n
k为整数
k 0,1,2,
G(s)H (s) G(s)H (s) 1 (2k 1)
K Π s z j
* j 1
幅值条件 ：
G( s) H ( s)
Π s pi i 1
们之间相差一个比例系数。
G( s) H ( s) K Π ( j s 1)
j 1 m
Π(Ti s 1) i 1
n
, nm
K*
K Π j
j 1
m
ΠTi i 1
n
二、根轨迹方程
*
开环传递函数 ：G( s) H ( s)
K Π ( s z j )
j 1
m
Π(s pi ) i 1
K Π ( s z j )Π( s zl )
j 1 l 1
Π(s pi )Π (s pk ) i 1 k 1
* a d
b
d
( s)
K Π ( s z j ) Π ( s pk )
j 1
Π(s pi )Π1 (s pk ) K Π1 (s z j )Π(s zl ) i 1 k j l 1
满足根轨迹方程的s值为闭环极点，必然在根轨迹
上；满足相角条件的点必然在根轨迹上。
幅值条件与相 角条件的应用
s1=-0.825 s2,3= -1.09±j2.07 92.49o
2.61
78.8o 66.27o -2
-1.09+j2.07
2.072 2.11
2.26
127.53o
-1.5
-1
0.5
K*= 2.26×2.11×2.61 = 6.0068
n m
s
( pi ) ( z j )
(n m)
n m i 1 j 1
1
( K * )
n m
渐近线倾角 [s
( pi ) ( z j )
(n m)
(2k 1) ] nm
当K* → 0 时， 可得渐近线的起点
s
( pi ) ( z j )
1
当K* → ∞ 时， s → ∞，特征方程(这时是渐近线方程)为：
s nm [ ( pi ) ( z j )]s nm1 K *
i 1 j 1 n m
s nm [1
( pi ) ( z j )
i 1 j 1
n
m
s
] K *
s nm [1
根轨迹是连续的且对称于实轴。 因为轨迹方程是一个连续的方程，当根轨迹增益从 0→∞连续变化时，特征方程的根也将连续改变，故系 统的根轨迹是连续的。 由于闭环传递函数为有理分式函数，所以闭环极点 只有实根和共轭复根两类，这些极点在s平面上的分布 是对称于实轴的，因此这些根组成的曲线也必然对称于 jω 实轴。 θ
第四章 线性系统的根轨迹法
南京工业大学 自动化与电气工程学院 2011
1 2 3 4 5 6 7
根轨迹的概念 绘制根轨迹的依据 绘制根轨迹的基本法则 参数根轨迹和多回路系统根轨迹 正反馈回路的根轨迹 滞后系统的根轨迹 根轨迹法在工程中的应用及分析
根轨迹法
闭环系统的稳定性由闭环极点唯一地确定；而闭
相角条件 ： G(s) H (s) (s z j ) ( s pi ) (2k 1)
j 1 i 1 m n
n
1
根轨迹方程 ： G(s)H (s) G(s)H (s) 1 (2k 1)
K Π s z j
* j 1 m
幅值条件 ：
G( s) H ( s)
a
pi z j
i 1 j 1
n
m
nm
a
(2k 1) nm
k 0,1,2,, 直到获得(n m)个夹角为止 .
开环传递函数
G ( s) H (s) K * Π ( s z j )
j 1 m
Π (s pi ) i 1
K* 1
n m
环系统瞬态响应的基本特征由闭环极点确定，闭环 零点影响瞬态响应的形态，闭环极点起主导作用。
闭环系统的性能分析要求确定系统参数变化对闭
环零极点分布的影响。
为了避免直接求解高阶特征方程的根，EVANS提出
了由开环传递函数(的零极点)求取闭环特征根的一种 图解法——根轨迹法。
4.1 根轨迹法的概念
例 已知二阶系统结构图如图所示试分析开环增益 K的变化对系统闭环极点的影响。
1
p3
法则三 实轴上的根轨迹 p2 实轴上的根轨迹只能是那 些在其右侧的实数开环零、极 点个数之和为奇数的线段。
p1 z1 s1 0
σ
p4
θ2
试绘制系统的概略根轨迹。 解：开环极点 p1=0， p2=-1， p3=-2，无开环零点。
实轴上的根轨迹 (-∞，-2]， [-1，0]。 渐进线 n=3，m=0，有三条渐进线。
0 1 2 1 交点 a nm 3
i 1
pi
n
K*
s z js
m j 1 n
m
m 1
( z j )
j 1 n
m
s n pi s n 1 ( pi )
i 1 i 1
1
s nm [ ( pi ) ( z j )]s nm1
i 1 j 1
n
相角 a
(2k 1) (2k 1) 60 o ,180 o ,60 o nm 3
(k 0,1,1)
分离点 由特征方程
K* 1 G( s) 0 1 0 s( s 1)(s 2)
得
K * s(s 1)(s 2)
dK* (3s 2 6s 2) 0 ds 解得 s1,2 0.423(分离点)，1.577(舍去)
( pi ) ( z j )
i 1 j 1
n
m
s
n m
] K *
开(n－m)次方
s[1
( pi ) ( z j )
i 1 j 1
1
1
s
]
n m
( K * )
nm
二项式定理展开并取前二项近似有
(1 x)
n 0
( 1)( 2)( n 1)
R(s)
-
K s( s 1)
C(s)
闭环传递函数 ： ( s )
特征方程式 ：
特 征 根：
K s2 s K s2 s K 0
1 1 4K s1, 2 2 2
特 征 根： K：0→∞
1 1 4K s1, 2 2 2
K=0时，s1=0，s2=－1，对应开环极点。
Π ( s z j )
j 1
a
Π(s pi ) i 1
* a
b
* K G A( s)
B( s)
c
H ( s)
Π ( s zl )
l 1
c
Π1 (s pk ) k
K * A( s)C ( s) B( s ) D( s )
* K H C (s) D( s)
G( s) H ( s)
b
d
k 1 a *
c
K * A( s) D( s ) B( s) D( s) K * A( s)C ( s )
闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。
对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。
闭环极点与开环零点、开环极点及开环系统的根轨
迹增益有关。
开环系统的根轨迹增益与开环放大倍数不一样，它
d d d [1 K *W ( s)] [ K *W ( s)] K * W ( s) 0 ds ds ds
d W (s) 0 ds
将K*表示成复变量s的函数 则
dK* 1 dW (s) 0 2 ds [W (s)] ds
1 K W ( s)
*
例 已知系统的开环传递函数
Π s pi i 1
相角条件 ： G(s) H (s) (s z j ) ( s pi ) (2k 1)
j 1 i 1 m n
n
1
相角条件是决定闭环系统根轨迹的充要条件。 利用相角条件确定根轨迹上的某点位置；利用幅
值条件确定根轨迹上某一点对应的根轨迹增益。
根轨迹方程 ： K* → 0 K* → ∞
Π (s z j ) j 1 Π(s pi ) i 1
n
m
1 * K
起始点 终止点
s → pi s → zj
(n个开环极点) (m个开环零点)
根轨迹方程 ： K* → 0 K* → ∞
lim
பைடு நூலகம்
Π (s z j ) j 1 Π(s pi ) i 1
m 1 1 d p i i 1 j 1 d z j n
(试探法)
由以上方程求出的解一定有根轨迹的分离点，但 不一定全是根轨迹的分离点。如果求得的解满足特征 方程或相角条件，则可判定其为分离点。 确定根轨迹几个分支的分离点，实质上是求闭环 特征方程式的几重根。
确定根轨迹几个分支的分离点，实质上是求 闭环特征方程式的几重根。 将特征方程写成 1 G(s) H (s) 1 K *W (s) 0 在重根处应满足
画出大致根轨迹如图所示
特征方程 ： 1 G(s) H (s) 0 根轨迹方程 ： G(s) H (s) 1
m
n
k为整数
k 0,1,2,
G(s)H (s) G(s)H (s) 1 (2k 1)
K Π s z j
* j 1
幅值条件 ：
G( s) H ( s)
Π s pi i 1
们之间相差一个比例系数。
G( s) H ( s) K Π ( j s 1)
j 1 m
Π(Ti s 1) i 1
n
, nm
K*
K Π j
j 1
m
ΠTi i 1
n
二、根轨迹方程
*
开环传递函数 ：G( s) H ( s)
K Π ( s z j )
j 1
m
Π(s pi ) i 1
K Π ( s z j )Π( s zl )
j 1 l 1
Π(s pi )Π (s pk ) i 1 k 1
* a d
b
d
( s)
K Π ( s z j ) Π ( s pk )
j 1
Π(s pi )Π1 (s pk ) K Π1 (s z j )Π(s zl ) i 1 k j l 1
满足根轨迹方程的s值为闭环极点，必然在根轨迹
上；满足相角条件的点必然在根轨迹上。
幅值条件与相 角条件的应用
s1=-0.825 s2,3= -1.09±j2.07 92.49o
2.61
78.8o 66.27o -2
-1.09+j2.07
2.072 2.11
2.26
127.53o
-1.5
-1
0.5
K*= 2.26×2.11×2.61 = 6.0068
n m
s
( pi ) ( z j )
(n m)
n m i 1 j 1
1
( K * )
n m
渐近线倾角 [s
( pi ) ( z j )
(n m)
(2k 1) ] nm
当K* → 0 时， 可得渐近线的起点
s
( pi ) ( z j )
1
当K* → ∞ 时， s → ∞，特征方程(这时是渐近线方程)为：
s nm [ ( pi ) ( z j )]s nm1 K *
i 1 j 1 n m
s nm [1
( pi ) ( z j )
i 1 j 1
n
m
s
] K *
s nm [1
根轨迹是连续的且对称于实轴。 因为轨迹方程是一个连续的方程，当根轨迹增益从 0→∞连续变化时，特征方程的根也将连续改变，故系 统的根轨迹是连续的。 由于闭环传递函数为有理分式函数，所以闭环极点 只有实根和共轭复根两类，这些极点在s平面上的分布 是对称于实轴的，因此这些根组成的曲线也必然对称于 jω 实轴。 θ
第四章 线性系统的根轨迹法
南京工业大学 自动化与电气工程学院 2011
1 2 3 4 5 6 7
根轨迹的概念 绘制根轨迹的依据 绘制根轨迹的基本法则 参数根轨迹和多回路系统根轨迹 正反馈回路的根轨迹 滞后系统的根轨迹 根轨迹法在工程中的应用及分析
根轨迹法
闭环系统的稳定性由闭环极点唯一地确定；而闭
相角条件 ： G(s) H (s) (s z j ) ( s pi ) (2k 1)
j 1 i 1 m n
n
1
根轨迹方程 ： G(s)H (s) G(s)H (s) 1 (2k 1)
K Π s z j
* j 1 m
幅值条件 ：
G( s) H ( s)
a
pi z j
i 1 j 1
n
m
nm
a
(2k 1) nm
k 0,1,2,, 直到获得(n m)个夹角为止 .
开环传递函数
G ( s) H (s) K * Π ( s z j )
j 1 m
Π (s pi ) i 1
K* 1
n m
环系统瞬态响应的基本特征由闭环极点确定，闭环 零点影响瞬态响应的形态，闭环极点起主导作用。
闭环系统的性能分析要求确定系统参数变化对闭
环零极点分布的影响。
为了避免直接求解高阶特征方程的根，EVANS提出
了由开环传递函数(的零极点)求取闭环特征根的一种 图解法——根轨迹法。
4.1 根轨迹法的概念
例 已知二阶系统结构图如图所示试分析开环增益 K的变化对系统闭环极点的影响。
1
p3
法则三 实轴上的根轨迹 p2 实轴上的根轨迹只能是那 些在其右侧的实数开环零、极 点个数之和为奇数的线段。
p1 z1 s1 0
σ
p4
θ2