河南开封市2013届高三第三次数学模拟考试(20130503)

河南开封市2013届高三第三次数学模拟考试
一、选择题
1．设i 是虚数单位，则复数2013
1(
)1i z i
-=+=（ ） A ．－1 B ．1 C ．i - D ．i 2．若集合A={0，1}，B= {－1，a 2}，则“a=l ”是“A ∩B={1}”的（ ）条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要 3．曲线sin x y x e =+在点（0，1）处的切线方程是（ ） A ．330x y -+= B ．220x y -+=
C ．210x y -+=
D ．310x y -+=
4．若执行如图所示的框图，输入1231,2,3,2,x x x x ==== 则输出的数S 等于（ ） A ．
23 B ．1 C ．13 D ．1
2
5．已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列， 则a 2=（ ）
A ．－4
B ．－6
C ．－8
D ．－10
6．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 7．若4
sin ,sin cos 1,sin 25θθθθ=->则=（ ）
A ．2425-
B ．1225-
C ．45-
D ．2425
8．双曲线2
2
1kx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直， 则双曲线的离心率是（ ）
A
B
C
D
9
．函数1
2,4
1
()),5,35,2
(2),4
x x f x a f b c x
f x x ⎧->⎪====⎨⎪+≤⎩记则（ ）
A ．a>b>c
B ．b<a<c
C ．a<c<b
D ．a>c>b 10．△ABC 中，∠A=60°，角A 的平分线AD 将BC 分成BD 、DC 两段，若向量
1
()3
AD AB AC R λλ=
+∈，则角C=（ ）
A ．
6
π
B ．
4
π
C ．
2
π
D ．
3
π
角平分线定理，知AC:AB=1：2;余弦定理可得AC:AB:BC=1：2：3^(1/2),所以三角形ABC 中角C 求出。

答案:C.
11．已知三棱锥O —ABC ，A 、B 、C 三点均在球心为O 的球表面上，AB=BC=1，∠ABC=120°，
三棱锥O —ABC
O 的表面积是（ ）
A ．64π
B ．16π
C ．
32
3
π D ．544π
12．定义在R 上的函数()f x 满足f （1）=1，且对任意x ∈R 都有1
()2f x '<，则不等式2
21()2
x f x +>的解集为（ ）
A ．（1，2）
B ．（0，1）
C ．（1，+∞）
D ．（－1，1）
解析：令22
1()()2
x g x f x +=-，则221'()2'()2('())2g x xf x x x f x =-=-，
当0x >时，'()0g x <，为减函数，又()g x 为偶函数，所以()g x 在（－∞，0）上为增函数。

二、填空题
13．设变量x ，y 满足约束条件0
10,14312
x y y z x x y ≥⎧+⎪
≥=⎨+⎪+≤⎩
则的取值范围 。

14．已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>
的离心率e =，其中一个顶点坐标为（0，2），则椭圆的方程
为 。

15．已知函数2()log (2)f x x =-，若实数m ，n 满足()(2)3,f m f n m n +=+则的最小值是____． 16
．设()(5)(4)(0)(6)f x f f f f =-+-++++=则 。

三、解答题
17
．已知函数21
()cos cos (0)2
f x x x x ωωωω=+-
>的最小正周期为π。

（I ）求ω值及f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，
已知1,a b ==
B 为锐
角，()2A f =
C 的大小。

18．某产品按照行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1，2，3，…，8，其中5ξ≥为标准A ，
3ξ≥为标准B ，产品的等级系数越大表明产品的质量越好。

已知某厂执行标准B 生产该产品且该厂
的产品都符合相应的执行标准，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
该行业规定：产品的等级系数7ξ≥的为一等品；等级系数为57ξ≤<的为二等品；等级系数为
35ξ≤<为三等品。

（I ）试分别估计该厂生产产品的一等品率、二等品率、三等品率各为多少？
（II ）从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽取的2件产品等级系数都是8的概率。

19．如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB=BC=1，CC 1=2，
AC 1与平面BCC 1B 1所成角为30°，AB ⊥平面BB 1C 1C 。

（I ）求证：BC ⊥AC 1；（Ⅱ）求三棱锥A —A 1B 1C 1的高。

20．已知点112212(,),(,)(0)A x y B x y x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点，O 是坐标原点，
0.OA OB ⋅= （I ）试判断直线AB 是否过定点？若过，求定点的坐标；
（Ⅱ）当弦AB 的中点到直线20x y -=
的距离的最小值为
21
．已知函数2()ln ,()f x x a x g x x =-=-。

（I ）若a ∈R ，判断函数()f x 是否有极值？若有，求出极值；若无，说明理由； （II ）若函数()(1,2]f x 在上是增函数，函数()g x 在（0，1）上是减函数。

①求函数(),()f x g x 的表达式；②证明：当0,()()2x f x g x >=+时方程有唯一解。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】
如图，四边形ABCD 的外接圆为O ，EA 是O 的切线，CB 的
延长线与EA 相交于点E ，AB AD =．求证：2
AB BE CD =⋅。

23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】 已知曲线C 的参数方程为35cos ,
5sin ,x y θθ=+⎧⎨
=⎩
（θ为参数），P 是曲线C 与y 轴正半轴的交点．以坐标原点O
为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点P 与曲线C 只有一个公共点的直线l 的极坐标方程。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在△ABC 中，∠C 为钝角，点E 、H 是边AB 上的点，点K 、M 分别是边AC 和BC 上的点，且AH =AC ，EB=BC ，AE=AK ，BH=BM ． （I ）求证：E 、H 、M 、K 四点共圆；
（Ⅱ）若KE=EH ，CE=3，求线段KM 的长．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知极点与坐标原点重合，极轴与x 轴非负半轴重合，两个坐标系单位长度相同，己知直线
l ：1cos (1sin x t t y t α
α
=-+⎧⎨
=+⎩为参数）
，曲线C 的极坐标方程：4cos ρθ=． （I ）若直线l 的斜率为-1，求直线l 与曲线C 交点的极坐标；
（Ⅱ）设曲线C 与直线l 相交于A 、B 两点，且||AB =，求直线l 的参数方程． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数()||2||(0).f x x x a a =+-> （I ）当a=l 时，解不等式()4f x ≤；
（Ⅱ）若不等式f （x ）≥4对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围。