高中数学选修2-1曲线与方程课件

2.1 曲线和方程
1.曲线和方程
思考?
坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0
第一、三象限角平分线
l
点的横坐标与纵坐标相等 条件
曲线
y
x=y（或x- y=0） 方程
x-y=0
x
l
0
含有关系：
（1）
l 上点的坐标都是方程x-y=0的解
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都 在 l 上
说直线l的方程是x y 0, 又说方程x y 0的直线是l
思考?
圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为:
( x a )2 ( y b)2 r 2
y
.C
x
2 2 2 ( x a ) ( y b ) r （1）圆C上的点的坐标都是方程
的解;
2 2 2 ( x a ) ( y b ) r （2）方程 的解为坐标的点都在圆
y
R

M

o Q
x
即xy k.
（证明略）
课堂新授 例2.设A、B两点的坐标是A（－1，－1）、 B （3,7），求线段AB的垂直平分线的方程。
y
解：设M(x,y)是线段AB的垂直平分线 上任意一点，也就是点M属于集合 P={M||MA|=|MB|},
M
o
A (-1,-1)
说明:
0
x
1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.
课堂新授
2.如果曲线C的方程是F(x,y)=0,那么点 P0(x ,y )在曲线C上的充分必要条件是 F(x0,y0)=0.
0 0
2.求曲线的方程
课堂新授
坐标法：把借助坐标系研究几何图形的方法叫做 坐标法。 解析几何：是用代数方法研究几何问题的一门 数学学科。 平面解析几何研究的主要问题是： （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过方程，研究平面曲线的性质。
2.写出适合条件p的点M的集合；（找等量关系）
3.用坐标表示条件p（M），列出方程f(x,y)=0; （列方程） 4.化简方程f(x,y)=0； （一般情况下可省略）
5.证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
再
见
课堂新授
例1.点M与两条互相垂直的直线的距离的积 是常数k(k>0),求点M的轨迹方程。 解：取已知的两条互相垂直的直线 为坐标轴，建立坐标系如右 设点M的坐标为（x,y),点M的轨 迹就是与坐标轴距离的积等于常数 k的点的集合 P={M||MR|.|MQ|=k} 其中 Q,R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足。 因为|MR|=|x|,|MQ|=|y|， 所以|x|.|y|=k
化（化简方程）
证（以方程的解为坐标的点都是曲线上的点）
课堂小结
建立坐标系的一般规律:
1.两条垂直的直线 以该二直线为坐标轴. 2.对称图形 以对称图形的对称轴为坐标轴. 3.已知长度的线段 以线段所在直线为对称轴，端点或中点为原点.
课堂小结
关于化简方程
在求轨迹方程的问题中，如果化简方程 过程是同解变形.则由此所得的最简方程就 是所求曲线的方程，可以省略“证明”; 如果化简过程不是同解变形，所求得的 方程就不一定是所求曲线的方程 .此时， 应该通过限制x，y的取值范围来去掉增根， 使得化简前后的方程同解.
课堂新授
例3. 已知一条直线l和它上 方的一个点F，点F到l的距 离是2。一条曲线也在l的
y
F
上方，它上面的每一点到
F的距离减去到l的距离的
差都是2，建立适当的坐标
系，求这条曲线的方程。
课堂练习
课本P37 练习1、2、3 平方，化简得:
课堂小结
求曲线的方程的一般步骤： 1.建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示 曲线上任意一点M的坐标；（建系设点）
C上。
定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看 作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点 与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下 的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程; y f(x,y)=0 这条曲线叫做方程的曲线.
B(3,7)
x
即： （x 1) 2 ( y 1) 2 ( x 3) 2 ( y 7) 2
将上式两边平方，整理得 x+2y-7=0 （证明略）
课堂小结
求曲线的方程的一般步骤：
设（建系设点） 列（列方程） --- M(x,y) 写（写等量关系） --- P={M|M满足的条件}