一 数学归纳法(优秀经典公开课教案及练习解答)
数学归纳法及其应用举例(教案)
数学归纳法及其应用举例(教案)章节一：数学归纳法的概念与步骤教学目标：1. 了解数学归纳法的定义与基本步骤。
2. 掌握数学归纳法的一般形式。
教学内容：1. 引入数学归纳法的概念。
2. 讲解数学归纳法的基本步骤。
3. 示例说明数学归纳法的应用。
教学活动：1. 引导学生思考数学归纳法的定义。
2. 通过具体例子讲解数学归纳法的步骤。
3. 让学生尝试使用数学归纳法解决简单问题。
作业与练习：1. 完成课后练习，巩固数学归纳法的概念与步骤。
2. 选取一些简单的数学问题，尝试使用数学归纳法解决。
章节二：数学归纳法的证明步骤教学目标：1. 掌握数学归纳法的证明步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明简单的不等式或定理。
教学内容：1. 讲解数学归纳法的证明步骤。
2. 示例说明数学归纳法在证明不等式和定理中的应用。
教学活动：1. 引导学生理解数学归纳法的证明步骤。
2. 通过具体例子讲解数学归纳法在证明不等式和定理中的应用。
3. 让学生尝试使用数学归纳法证明简单的不等式或定理。
作业与练习：1. 完成课后练习，巩固数学归纳法的证明步骤。
2. 选取一些简单的不等式或定理，尝试使用数学归纳法进行证明。
章节三：数学归纳法的扩展与应用教学目标：1. 了解数学归纳法的扩展形式。
2. 掌握数学归纳法在解决实际问题中的应用。
教学内容：1. 讲解数学归纳法的扩展形式。
2. 示例说明数学归纳法在解决实际问题中的应用。
教学活动：1. 引导学生思考数学归纳法的扩展形式。
2. 通过具体例子讲解数学归纳法在解决实际问题中的应用。
3. 让学生尝试使用数学归纳法解决实际问题。
作业与练习：1. 完成课后练习，巩固数学归纳法的扩展形式。
2. 选取一些实际问题，尝试使用数学归纳法解决。
章节四：数学归纳法的局限性与改进教学目标：1. 了解数学归纳法的局限性。
2. 学会改进数学归纳法的证明过程。
教学内容：1. 讲解数学归纳法的局限性。
2. 示例说明如何改进数学归纳法的证明过程。
4.1数学归纳法-教案(优秀经典公开课比赛教案)
课题：4.1数学归纳法一、教材分析：本节内容是人教A 版选修4-5《不等式选讲》的最后一章内容，数学归纳法在讨论涉及正整数无限性的问题时是一种重要的方法,它的地位和作用可以从以下三方面来看:1.中学数学中的许多重要结论,如等差数列,等比数列的通项公式与前n 项和公式,二项式定理等都可以用数学归纳法进行证明.由归纳猜想得出一些与正整数有关的数学命题,用数学归纳法加以证明,可以使学生更深层次地掌握有关知识.2.运用数学归纳法可以证明许多数学命题(不等式、数列、等式、整除),既可以开阔学生的眼界,又可以使他们受到推理论证的训练.3.数学归纳法在进一步学习数学时要经常用到,因此掌握这种方法为今后的学习打下了基础.二、教学目标：1、知识与技能：（1）了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些与正整数有关的数学命题；（2）能以递推思想为指导，规范数学归纳法证明中的2个步骤，1个结论。
2、过程与方法：（1）通过对数学归纳法的学习，使学生初步掌握观察、归纳、猜想到证明的数学方法；（2）进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的建构过程，体会类比的数学思想。
3、情感、态度与价值观：感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，体会数学来源于生活，养成言之有理、论证有据的习惯。
三、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.四、教学难点：学归纳法中递推思想的理解.五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：学生在学习本节之前已经学习过归纳推理，以及一些简单的数学证明方法，并且已经开始使用与正整数有关的结论（例1的公式），但学生只是停留在认知阶段；另外高二学生经过了一年半的高中学习之后，已初步具有了发现和探究问题的能力，这为本节学习数学归纳法奠定了一定基础。
3、教具选择：多媒体六、教学方法：运用类比启发探究的数学方法进行教学；七、教学过程1、自主导学：复习回顾引入：<师>（1）请同学们回顾学习过的证明方法有哪些？<生> 请一名学生回答该问题。
数学归纳法教案含答案金锄头文库
数学归纳法教案含答案金锄头文库一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学选修22》的第三章“数学归纳法”。
具体内容包括数学归纳法的概念、原理和应用。
详细内容如下：1. 数学归纳法的概念：介绍数学归纳法的基本思想和步骤。
2. 数学归纳法的原理：阐述数学归纳法的基本原理，包括基础步骤和归纳步骤。
3. 数学归纳法的应用：通过实例讲解数学归纳法在数学问题解决中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的基本步骤。
2. 能够运用数学归纳法解决简单的数学问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：数学归纳法的基本原理和证明方法。
2. 教学重点：数学归纳法的概念、步骤和应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：教材、《数学归纳法学习指导》。
五、教学过程1. 引入：通过一个实践情景（如：数列求和问题）引入数学归纳法的概念。
2. 新课导入：（1）介绍数学归纳法的概念和基本思想。
（2）讲解数学归纳法的基础步骤和归纳步骤。
3. 例题讲解：（1）讲解数学归纳法在数列求和中的应用。
（2）分析归纳假设在解题中的作用。
4. 随堂练习：（1）让学生独立完成数学归纳法的证明题。
（2）针对学生的解答进行点评，指出错误和不足。
六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：（1）数学归纳法的概念与步骤（2）数学归纳法的原理（3）数学归纳法的应用实例七、作业设计1. 作业题目：（1）证明：1+2+3++n = n(n+1)/2（2）证明：对于任意正整数n，都有2^n > n。
2. 答案：（1）证明：① 当n=1时，1=1(1+1)/2，等式成立。
② 假设当n=k时，1+2+3++k = k(k+1)/2，等式成立。
则当n=k+1时，1+2+3++k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2，等式也成立。
（2）证明：① 当n=1时，2^1 > 1，不等式成立。
数学归纳法实用教案
数学归纳法实用教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学选修22》的第三章“数学归纳法”。
具体内容包括数学归纳法的概念、步骤和应用。
重点讲解数学归纳法的基本原理，并通过实例演示如何运用数学归纳法证明数学命题。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念和步骤，掌握数学归纳法的基本原理。
2. 能够运用数学归纳法证明简单的数学命题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的证明步骤，特别是第二步的证明方法。
教学重点：数学归纳法的概念、步骤和应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：教材、《数学归纳法》学习笔记、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个与数学归纳法有关的实际问题，引导学生思考如何证明一个与自然数有关的命题。
2. 例题讲解（1）讲解数学归纳法的概念和步骤。
（2）以实例演示数学归纳法的证明过程，强调第二步的证明方法。
3. 随堂练习让学生独立完成一道数学归纳法证明题目，教师巡回指导。
5. 课堂小结六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：（1）数学归纳法的概念和步骤（2）数学归纳法证明实例（3）随堂练习题目七、作业设计（1）1+3+5++(2n1)=n^2（2）1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^22. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课的教学效果，学生的掌握程度，以及教学过程中的不足之处。
2. 拓展延伸：引导学生研究数学归纳法在数学竞赛中的应用，提高学生的数学素养。
重点和难点解析1. 教学难点：数学归纳法的证明步骤，特别是第二步的证明方法。
2. 例题讲解：数学归纳法的概念和步骤的详细解释。
3. 随堂练习：学生独立完成证明题目的过程和教师的巡回指导。
4. 作业设计：作业题目的难度和答案的详细解释。
5. 课后反思及拓展延伸：学生对数学归纳法掌握程度的评估和竞赛级应用的探索。
详细补充和说明：一、教学难点解析归纳假设的正确性：学生必须明白归纳假设是在前一步的基础上得出的结论，是可信的。
数学归纳法教案
数学归纳法教案教案标题：数学归纳法教案教案目标：1. 了解数学归纳法的基本概念和原理。
2. 学习如何使用数学归纳法解决数学问题。
3. 提高学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学准备：1. 教师准备：黑板/白板、彩色粉笔/白板笔、教材、练习题、示意图等。
2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、橡皮等。
教学过程：引入活动：1. 教师向学生介绍数学归纳法的概念，并给出一个简单的例子，引发学生对数学归纳法的兴趣。
知识讲解：2. 教师详细解释数学归纳法的原理和步骤，强调归纳法的逻辑性和有效性。
3. 教师通过示意图或实例，展示数学归纳法的具体应用过程。
示范演练：4. 教师给出一个适当的数学问题，并引导学生使用数学归纳法解决问题的步骤。
5. 教师与学生一起完成问题的解答过程，注重解答思路和逻辑推理的讲解。
合作探究：6. 学生分组合作，选择一道适当的数学问题，并运用数学归纳法进行解答。
7. 学生在小组内讨论，互相检查和纠正彼此的解答过程，确保正确性和合理性。
巩固练习：8. 学生个人或小组完成一些练习题，巩固数学归纳法的应用能力。
9. 教师及时给予学生反馈和指导，帮助他们纠正错误和提高解题能力。
拓展延伸：10. 学生尝试解决一些更复杂的数学问题，如数列、数学关系等，运用数学归纳法进行推理和证明。
11. 教师鼓励学生思考和探索，引导他们发现数学归纳法在其他领域的应用。
总结回顾：12. 教师对本节课进行总结，强调数学归纳法的重要性和实用性。
13. 学生回顾本节课的学习内容，提出问题和疑惑，教师进行解答和澄清。
教学反思：14. 教师对本节课的教学效果进行评估和反思，总结经验，为下一节课的教学做准备。
教学扩展：教师可以组织学生进行数学归纳法的拓展探究活动，如设计数学游戏、编写数学归纳法的应用题等，激发学生的学习兴趣和创造力。
数学归纳法实用教案
数学归纳法实用教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学归纳法》章节，详细内容包括数学归纳法的定义、原理和运用。
重点讲解数学归纳法的基本步骤，并通过实例分析，让学生掌握数学归纳法的证明方法。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握其基本步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明简单的数学问题。
3. 提高学生的逻辑思维能力和推理能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的运用，特别是递推关系的建立。
教学重点：数学归纳法的定义、基本步骤及证明方法。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：练习本、草稿纸、笔。
五、教学过程1. 导入：通过一个实践情景引入数学归纳法，如“爬楼梯问题”，引导学生思考如何用数学方法解决此类问题。
2. 新课讲解：（1）讲解数学归纳法的定义，解释其原理。
（2）介绍数学归纳法的基本步骤：基础步骤、归纳步骤。
（3）通过例题讲解，让学生了解数学归纳法在实际问题中的应用。
3. 随堂练习：（1）让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
（2）教师点评，指出学生存在的问题，并进行讲解。
六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：（1）数学归纳法的定义（2）数学归纳法的基本步骤：基础步骤、归纳步骤（3）例题及证明过程（4）课堂练习题七、作业设计1. 作业题目：（1）用数学归纳法证明：1+2+3++n = n(n+1)/2（2）用数学归纳法证明：2^n > n (n为正整数)2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对于数学归纳法的理解程度，以及在实际问题中的应用能力。
2. 拓展延伸：（1）让学生了解数学归纳法在其他数学领域的应用，如数列、组合数学等。
（2）探讨数学归纳法与递归思想的关系，提高学生的逻辑思维能力。
重点和难点解析1. 教学难点与重点的确定2. 教学过程中的例题讲解和随堂练习设计3. 板书设计4. 作业设计5. 课后反思及拓展延伸一、教学难点与重点的确定教学难点与重点的确定是教学过程中的关键环节。
数学归纳法教案含答案20230719
数学归纳法教案含答案20230719一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学归纳法》章节，详细内容包括数学归纳法的定义、原理和步骤，以及数学归纳法在数列和不等式证明中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念和原理，掌握数学归纳法的步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明数列的通项公式和不等式。
3. 培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
三、教学难点与重点难点：数学归纳法的证明步骤和逻辑推理。
重点：数学归纳法的原理及其在数列和不等式证明中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：练习本、草稿纸、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活中的实例，如楼梯、金字塔等，引导学生发现规律，激发学生学习兴趣。
2. 新课导入：讲解数学归纳法的定义、原理和步骤。
3. 例题讲解：（1）证明数列通项公式：1+2+3++n = n(n+1)/2。
（2）证明不等式：n! > 2^n (n≥4)。
4. 随堂练习：让学生独立完成数列和不等式的证明题，教师巡回指导。
5. 知识拓展：介绍数学归纳法在数学竞赛和实际问题中的应用。
六、板书设计1. 《数学归纳法》2. 定义、原理、步骤3. 例题及解答过程4. 随堂练习题目七、作业设计1. 作业题目：（1）用数学归纳法证明：1^3+2^3+3^3++n^3 = (1+2+3++n)^2。
（2）用数学归纳法证明：对于任意正整数n，有2^n > n。
2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法的掌握程度，以及对例题和练习的完成情况。
2. 拓展延伸：引导学生课后查阅相关资料，了解数学归纳法在其他领域的应用，如计算机科学、经济学等。
重点和难点解析1. 数学归纳法的定义、原理和步骤的理解。
2. 例题讲解中数学归纳法的应用过程。
3. 随堂练习的设计和学生的完成情况。
4. 作业设计的难度和答案的详细解释。
5. 课后反思与拓展延伸的深度和广度。
4.1数学归纳法 学案(含答案)
4.1数学归纳法学案（含答案）一一数学归纳法数学归纳法学习目标1.了解数学归纳法的基本原理.2.了解数学归纳法的应用范围.3.会用数学归纳法证明一些简单问题知识点数学归纳法在学校，我们经常会看到这样的一种现象排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下思考1试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件答案第一辆自行车倒下；任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下思考2由这种思想方法所得的数学方法叫数学归纳法，那么，数学归纳法适用于解决哪类问题答案适合解决一些与正整数n有关的问题梳理数学归纳法的概念及步骤1数学归纳法的定义一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤证明当nn0时命题成立；假设当nkkN，且kn0时命题成立，证明nk1时命题也成立在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立这种证明方法称为数学归纳法2数学归纳法适用范围数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明3数学归纳法的基本过程类型一用数学归纳法证明等式例1用数学归纳法证明1212212312n112n112nnN证明1当n1时，左边12，右边11212，等式成立2假设当nkk1时，等式成立，即1212212k112k.当nk1时，1212212k12k1112k12k1112k1，即当nk1时，等式也成立由12可知，原等式对nN均成立反思与感悟利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点一是要准确表述nn0时命题的形式，二是要准确把握由nk到nk1时，命题结构的变化特点并且一定要记住在证明nk1成立时，必须使用归纳假设跟踪训练1用数学归纳法证明12232n216nn12n1nN证明1当n1时，左边121，右边12361，等式成立2假设当nkk1，kN时，等式成立，即122232k2kk12k16.当nk1时，122232k2k12kk12k16k12kk12k16k126k12k27k66k1k112k116.所以当nk1时等式也成立由12可知，等式对任何nN都成立类型二证明与整除有关的问题例2求证x2ny2nnN能被xy整除证明1当n1时，x2y2xyxy能被xy整除2假设nkk1，kN时，x2ky2k能被xy整除，那么当nk1时，x2k2y2k2x2x2ky2y2kx2y2kx2y2kx2x2ky2ky2kx2y2x2ky2k与x2y2都能被xy整除，x2x2ky2ky2kx2y2能被xy整除即当nk1时，x2k2y2k2能被xy整除由12可知，对任意正整数n，命题均成立反思与感悟利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式这往往要利用“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧来凑出nk时的情形，从而利用归纳假设使问题得证跟踪训练2用数学归纳法证明n3n13n23能被9整除nN证明1当n1时，13233336能被9整除，所以结论成立2假设当nkkN，k1时结论成立，即k3k13k23能被9整除则当nk1时，k13k23k33k3k13k23k33k3k3k13k239k227k27k3k13k239k23k3因为k3k13k23能被9整除，9k23k3也能被9整除，所以k13k23k33也能被9整除，即当nk1时结论也成立由12知，命题对一切nN成立类型三用数学归纳法证明几何命题例3有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成fnn2n2个部分nN证明1当n1时，一个圆将平面分成两个部分，且f11122，所以n1时命题成立2假设nkk1时命题成立，即k个圆把平面分成fkk2k2个部分则当nk1时，在k1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成fk个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得fk1fk2kk2k22kk12k12.所以当nk1时，命题成立综合12可知，对一切nN，命题成立反思与感悟1数学归纳法证明几何问题的关键在于分析清楚nk与nk1时二者的差异，这时常常借助于图形的直观性，然后用数学式子予以描述，建立起fk与fk1之间的递推关系，实在分析不出的情况下，将nk1和nk分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可2利用数学归纳法证明几何问题要注意利用数形结合寻找公式，还要注意结论要有必要的文字说明跟踪训练3平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证这n条直线把平面分割成12n2n2个区域nN 证明1当n1时，一条直线把平面分成两个区域，又1212122，n1时命题成立2假设当nkk1，kN时，命题成立，即k条满足题意的直线把平面分割成了12k2k2个区域那么当nk1时，k1条直线中的k条直线把平面分成了12k2k2个区域，第k1条直线被这k条直线分成k1段，每段把它们所在的区域分成了两块，因此增加了k1个区域，k1条直线把平面分成了12k2k2k112k12k12个区域当nk1时命题也成立由12知，对一切的nN，此命题均成立1用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于n2”时，归纳奠基中n0的取值应为A1B2C3D4答案C解析边数最少的凸n边形为三角形，故n03.2用数学归纳法证明1aa2an11an21anN，a1，在验证n1成立时，左边所得的项为A1B1aa2C1aD1aa2a3答案B解析当n1时，n12，故左边所得的项为1aa2.3用数学归纳法证明34n152n1nN能被8整除，当nk1时，34k1152k11应变形为__________答案8134k152k15652k1或2534k152k15634k1解析34k1152k1134k552k38134k12552k18134k18152k15652k18134k152k 15652k1.4用数学归纳法证明132n1n2nN证明1当n1时，左边1，右边1，等式成立2假设当nkk1时，等式成立，即132k1k2，那么，当nk1时，132k12k11k22k11k22k1k12.所以当nk1时等式成立由1和2可知等式对任意正整数n 都成立1应用数学归纳法时应注意的问题1第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n1，有时需验证n2，n3.2对nk1时式子的项数以及nk与nk1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障3“假设nk时命题成立，利用这一假设证明nk1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整.严谨.规范2判断利用数学归纳法证明问题是否正确1是要看有无归纳基础2是证明当nk1时是否应用了归纳假设3与n 有关的整除问题一般都用数学归纳法证明其中关键问题是从当nk1时的表达式中分解出nk时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式，这样才能得出结论成立。
数学归纳法教案完整版课件
数学归纳法优质教案完整版优质课件一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学归纳法》章节，详细内容包括数学归纳法的概念、原理和应用。
着重讲解如何利用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握其基本原理和应用。
2. 学会运用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题。
3. 培养学生严密的逻辑思维能力和解决问题的方法。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的应用，尤其是递推关系的建立。
教学重点：数学归纳法的概念、原理以及如何运用数学归纳法证明数学命题。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：教材、练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示一个楼梯，引导学生思考如何用最少的步骤走完所有楼梯。
2. 例题讲解（1）讲解数学归纳法的概念和原理。
（2）通过实例，讲解如何运用数学归纳法证明数学命题。
3. 随堂练习给出两个与自然数有关的数学命题，让学生尝试运用数学归纳法进行证明。
4. 课堂互动学生展示自己的证明过程，教师点评并给予指导。
六、板书设计1. 数学归纳法的概念和原理。
2. 数学归纳法证明数学命题的步骤。
3. 课堂练习题及解答。
七、作业设计（1）1+3+5++(2n1)=n^2（2）1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^22. 答案：见附件。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：学生对数学归纳法的掌握程度，以及证明过程中存在的问题。
2. 拓展延伸：引导学生思考数学归纳法在生活中的应用，如数列求和、递推关系等。
同时，鼓励学生尝试解决更复杂的数学问题，提高自己的逻辑思维能力。
本教案共包含八个部分，涵盖了数学归纳法的概念、原理、应用以及证明过程，旨在培养学生严密的逻辑思维能力和解决问题的方法。
在教学过程中，注意引导学生积极参与，充分发挥学生的主体作用。
通过课后反思和拓展延伸，进一步提高学生的数学素养。
重点和难点解析1. 教学难点：数学归纳法的应用，尤其是递推关系的建立。
数学数学归纳法公开课教案高中
数学数学归纳法公开课教案高中数学归纳法公开课教案教学目标：1. 理解数学归纳法的基本概念和原理；2. 能够灵活运用数学归纳法证明数学命题；3. 锻炼学生的逻辑思维和数学推理能力。
教学内容：1. 导入（5分钟）通过一个简单的例子，引出数学归纳法的概念和应用场景。
例子：小明有一个塔，第一层有一个积木，第二层有两个积木，第三层有三个积木，依此类推。
现在要求计算塔的总积木数量，但是不知道有多少层。
怎么办？引导学生思考，并找到问题的规律和解决方法。
2. 数学归纳法介绍（15分钟）讲解数学归纳法的定义和基本原理。
数学归纳法是一种用于证明命题的数学方法，它包括两个步骤： - 基础步骤：证明当n等于某个固定的值时，命题成立；- 归纳步骤：假设当n=k时命题成立，然后证明当n=k+1时命题也成立。
通过这个步骤的迭代，我们可以证明对于所有正整数n，命题都成立。
3. 数学归纳法的应用（20分钟）介绍数学归纳法在数学问题中的应用，包括数列、不等式、图形等。
例子1：证明等差数列的通项公式例子2：证明2的n次方大于n的阶乘通过这些例子，学生可以更加深入地理解数学归纳法的思想和应用。
4. 练习（25分钟）学生分组进行练习，选择合适的题目进行推理和证明。
练习题1：证明 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n^2练习题2：证明 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)^2提供指导和辅助，鼓励学生主动思考和交流。
5. 总结（10分钟）对数学归纳法的基本概念和应用进行总结。
强调数学归纳法在数学解题过程中的重要性和灵活运用。
提醒学生运用数学归纳法的注意事项，如确定基础步骤、归纳假设的合理性等。
鼓励学生在以后的学习中继续加强对数学归纳法的应用和理解。
6. 课后作业（5分钟）布置数学归纳法相关的练习题作为课后作业，巩固学生的学习成果。
数学数学归纳法公开课教案初中
数学数学归纳法公开课教案初中数学归纳法公开课教案初中教学目标:1. 了解数学归纳法的概念及其基本原理。
2. 掌握使用数学归纳法解决数学问题的方法。
3. 能够运用数学归纳法证明数学命题。
教学准备:1. 教师准备好课件及相关教学素材。
2. 确保教师对数学归纳法的原理和应用有较深入的理解。
教学过程:一、导入 (5分钟)1. 教师利用一个简单的数学问题来引入数学归纳法的概念，如：证明 1+2+3+...+n = n(n+1)/2。
2. 引导学生思考如何解决这个问题，提出使用数学归纳法的思路。
二、概念讲解 (10分钟)1. 教师简要介绍数学归纳法的基本概念和原理。
2. 强调归纳法的两个基本步骤：基础步骤和归纳步骤。
3. 通过具体的例子解释这两个步骤的含义和作用。
三、示例分析 (15分钟)1. 教师给出一个具体的数学问题，如：证明对于任意正整数 n，2n^2 + 3n + 1 是偶数。
2. 分步解析，使用数学归纳法证明这个命题。
- 基础步骤：当 n = 1 时，可以验证命题成立。
- 归纳步骤：假设命题对于某个正整数 k 成立，即 2k^2 + 3k + 1 是偶数，那么证明对于 k+1 也成立。
a) 证明 2(k+1)^2 + 3(k+1) + 1 是偶数。
b) 将表达式展开并化简，证明左边可以被 2 整除。
c) 利用归纳假设，得出右边也是偶数，完成证明。
四、练习提高 (20分钟)1. 学生分组，每组完成一组相关的数学归纳法练习题。
2. 学生互相讨论解题思路和步骤，并在黑板上汇总每组的解题过程和答案。
3. 教师对每个题目的解答进行点评和讲解，解答出现错误的地方进行纠正。
五、归纳法的应用 (10分钟)1. 教师介绍归纳法在数学中的广泛应用，如等差数列的求和公式，斐波那契数列等。
2. 引导学生思考如何利用归纳法解决其他数学问题，如递推关系式等。
六、拓展延伸 (10分钟)1. 教师为学生提供一些拓展的数学问题，鼓励学生运用归纳法解决。
初中数学归纳法（一）教案（范文模版）
初中数学归纳法（一）教案（范文模版）第一篇：初中数学归纳法(一)教案（范文模版）数学归纳法（一）【教学目标】知识与技能目标：能够通过题目当中给出的问题，分析归纳出所给题型的规律并正确解题。
过程与方法目标：努力创设和谐融洽的课堂情景，使学生处于积极思考，大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率，让学生体验知识的构建过程，体会源于生活的数学思想。
情感、态度价值观目标：通过对数学归纳法的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难、勇于探索的精神；增进师生互信，生生互助，共创教学相长的教与学氛围。
【教学重点】归纳法的意义的认识，初步能分析数字类型题目并进行归纳其规律。
【教学难点】准确的找到题目当中透露出的规律。
【教学过程】一.创设情境，启动思维情境一、明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子根据“一是一横，二是二横”得出“四就是四横、五就是五横……”的结论。
教师分析：财主的儿子很傻很天真，但他懂一样思想方法，是什么？引导启发学生发现这种由特殊情况归纳出一般情况的方法——归纳法，这就是今天的课题。
人们通常也会用归纳法思考问题，小孩也会由此总结出什么年龄人该叫爷爷，什么年龄人叫阿姨等等。
二.例题引入，巩固新知许多人过生日都有请好朋友吃蛋糕的经历，其实切蛋糕可有讲究了：一刀讲蛋糕至多切成2块，两刀可以至多切成4快，三刀至多可切成7快，那么问切5刀最多切成几块呢？通过这一例体，初步引入归纳法的概念，即象这种从个别情况向无穷情况推理的方法，就是人们常说的数学归纳法。
并引导学生分析每加入一刀，蛋糕的块数增加有何规律，初步的进行归纳。
三、提高巩固1.先找规律，再填数2.乘火车从杭州到上海共有8站（包括杭州和上海）我们不妨想象一下：如果要你设计这条线路的单程车票，你准备多少种车票？3..如图所示，工作流程线上放置着5个机器人，还放置着一只工具箱，5个机器人取工具箱的次数相同。
2.3数学归纳法(一)教案(人教B版选修2-2)
教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点：数学归纳法中递推思想的理解.教学过程：一、复习准备：1. 问题1： 在数列{}n a 中，*111,,()1n n na a a n N a +==∈+，先算出a 2，a 3，a 4的值，再推测通项a n 的公式. （过程：212a =，313a =，414a =，由此得到：*1,n a n N n =∈） 2. 问题2：2()41f n n n =++，当n ∈N 时，()f n 是否都为质数？过程：(0)f =41，(1)f =43，(2)f =47，(3)f =53，(4)f =61，(5)f =71，(6)f =83，(7)f =97，(8)f =113，(9)f =131，(10)f =151，… (39)f =1 601．但是(40)f =1 681=412是合数3. 问题3：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒.二、讲授新课：1. 教学数学归纳法概念：① 给出定义：归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般. 不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法.完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.② 讨论：问题1中，如果n =k 猜想成立，那么n =k +1是否成立？对所有的正整数n 是否成立？③ 提出数学归纳法两大步：（i ）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立；（ii ）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立. 关键：从假设n =k 成立，证得n =k +1成立.2. 教学例题：① 出示例1：2222*(1)(21)123,6n n n n n N ++++++=∈. 分析：第1步如何写？n =k 的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？ 小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形. ② 练习：求证：2*1427310(31)(1),n n n n n N ⨯+⨯+⨯+++=+∈.③ 出示例2：设an…(n ∈N *)，求证：a n <12(n ＋1)2. 关键：a 1k +<12(k ＋1)2+＝12(k +1)2+<12(k +1)2+(k +32)＝12(k +2)2 小结：放缩法，对比目标发现放缩途径. 变式：求证a n >12n (n ＋1) 3. 小结：书写时必须明确写出两个步骤与一个结论，注意“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n =k 到n =k +1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.三、巩固练习： 1. 练习：教材108 练习1、2题 2. 作业：教材108 B 组1、2、3题.教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点：经历试值、猜想、归纳、证明的过程来解决问题.教学过程：一、复习准备：1. 练习：已知()*()13521,f n n n N =++++-∈，猜想()f n 的表达式，并给出证明？ 过程：试值(1)1f =，(2)4f =，…，→ 猜想2()f n n = → 用数学归纳法证明.2. 提问：数学归纳法的基本步骤？二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：已知数列1111,,,,2558811(31)(32)n n ⋅⋅⋅⨯⨯⨯-⨯+，猜想n S 的表达式，并证明. 分析：如何进行猜想？（试值1234,,,S S S S →猜想n S ） → 学生练习用数学归纳法证明 → 讨论：如何直接求此题的n S ？ （裂项相消法）小结：探索性问题的解决过程（试值→猜想、归纳→证明）② 练习：是否存在常数a 、b 、c 使得等式132435......(2)n n ⨯+⨯+⨯+++=21()6n an bn c ++对一切自然数n 都成立，试证明你的结论.解题要点：试值n =1,2,3， → 猜想a 、b 、c → 数学归纳法证明2. 练习：① 已知 0(1,2,,)i a i n >=，考察111()1i a a ⋅≥；121211()()()4ii a a a a ++≥；123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥之后，归纳出对12,,,n a a a 也成立的类似不等式，并证明你的结论.② （89年全国理科高考题）是否存在常数a 、b 、c ，使得等式 （答案：a =3,b =11,c =10） 12222(1)223.....(1)()12n n n n an bn c +⨯+⨯+++=++对一切自然数n 都成立？并证明你的结论3. 小结：探索性问题的解决模式为“一试验→二归纳→三猜想→四证明”.三、巩固练习：1. 平面内有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n 个圆将平面分成f (n )=n 2－n +2个部分.2. 是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意正整数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. （答案：m =36）3. 试证明面值为3分和5分的邮票可支付任何(7,)n n n N >∈的邮资.证明：（1）当8,9,10n =时，由835,9333,1055=+=++=+可知命题成立；（2）假设(7,)n k k k N =>∈时，命题成立. 则当3n k =+时，由（1）及归纳假设，显然3n k =+时成立.根据（1）和（2），可知命题成立.小结：新的递推形式，即（1）验证00(),(1),,P n P n + 0(1)P n l +-成立()l N ∈；（2）假设()P k 成立，并在此基础上,推出()P k l +成立. 根据(1)和(2)，对一切自然数0()n n ≥,命题()P n 都成立.2. 作业：教材108 A 组1、2题.。
数学归纳法(第一课时)及课后作业 (高三数学精品教案)
数学归纳法（第一课时）及课时作业【教材分析】数学归纳法是以解决与正整数有关问题的一种推理方法，它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是证明与正整数有关问题的有力工具，本节课是数学归纳法第一课时，主要是让学生了解数学归纳法原理，并能够用数学归纳法解决一些简单的实际应用问题。
【学情分析】学生在学习本节之前已经学习过归纳推理，以及一些简单的数学证明方法，并且已经开始使用与正整数有关的结论（在求曲边梯形面积中），但学生只是停留在认知阶段，对问题本质没有作更进一步的研究。
另外高二学生经过了一年半的高中学习之后，已初步具有了发现和探究问题的能力，这为本节学习数学归纳法奠定了一定的基础。
【教学目标】１、知识与技能目标：（1）了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题；（2）进一步发展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程体会类比的数学思想。
2、过程与方法目标：（1）通过对例题的探究，体会由猜想到证明的数学方法；（2）努力创设积极思考、大胆质疑的课堂愉悦情境，提高学习兴趣和课堂效率。
3、情感态度与价值观目标：通过对数学归纳法的学习，进一步感受数学来源于生活，并形成严谨的科学态度和勤于思考、善于观察的学习习惯。
【教学重点】数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握。
【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解。
【教法准备】讲授法，引导发现法，合作探究法。
【教具准备】传统板书与多媒体辅助教学相结合。
【教学过程】一、创设情境，引出课题问题情境一：通过对n ＝1，2，3，4，5，前5项的归纳，我们可以猜想出其通项公式为但不完全归纳法推理得出的猜想不一定成立，必须通过严格的证明，如何证明？ 引出本节课的主题：数学归纳法 二、师生合作，探究新知： 要证明这个猜想，同学们自然就会从n ＝6开始一个个往下验证，当n 较小时可以逐个验证，已知11a =且*121()n n a a n N +=+∈， 求通项公式n a .*21()n n a n N =-∈但当n 较大时，逐个验证起来会很麻烦，特别是证明n 取所有正整数时，逐个验证是不可能的．能不能寻求一种方法，通过有限个步骤的推理，证明n 取所有正整数都成立． 数学来源于生活：多米诺骨牌游戏（课前先在）探究一：让所有的多米诺骨牌全部倒下，必须具备什么条件？ 条件一：第一张骨牌倒下；条件二：任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下。
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数学归纳法
教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.
教学重点与难点
重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析．
难点：数学归纳法中递推思想的理解．
教学过程：
一、引入：
1. 分析：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒.
回顾：数学归纳法两大步：（i ）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立；（ii ）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.
2. 练习：已知()*()13521,f n n n N =++++-∈L ，猜想()f n 的表达式，并给出证明？ 过程：试值(1)1f =，(2)4f =，…，→ 猜想2()f n n = → 用数学归纳法证明.
3. 练习：是否存在常数a 、b 、c 使得等式132435......(2)n n ⨯+⨯+⨯+++=21()6
n an bn c ++对一切自然数n 都成立，试证明你的结论.
二、讲授新课：
1. 教学数学归纳法的应用：
① 出示例1：证明：n 3+5n 能够被6整除
分析：第1步如何写？n =k 的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？ 关键：在假设n =k 的式子上，如何同补？
小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形. ② 出示例2：求证：n 为奇数时，x n +y n 能被x +y 整除.
分析要点：（凑配）x k +2+y k +2=x 2·x k +y 2·y k =x 2(x k +y k )+y 2·y k －x 2·y k
=x 2(x k +y k )+y k (y 2－x 2)=x 2(x k +y k )+y k ·(y +x )(y －x ).
③例3、平面内有()3≥n n 个点，其中任何三点都不在同一条直线上。
过这些点中任意两点作直线，这样的直线共有多少条？证明你的结论
④ 出示例4：平面内有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n 个圆将平面分成f (n )=n 2－n +2个部分.
分析要点：n =k +1时，在k +1个圆中任取一个圆C ，剩下的k 个圆将平面分成f (k )个部分，而圆C 与k 个圆有2k 个交点，这2k 个交点将圆C 分成2k 段弧，每段弧将它所在的平面部分一分为二，故共增加了2k 个平面部分.因此，f (k +1)=f (k )+2k =k 2－k +2+2k =(k +1)2－(k +1)+2.
2. 练习：
① 求证: 11(11)(1)(1)321
n ++⋅⋅⋅+
>-g g n ∈N *）. ② 用数学归纳法证明：
（Ⅰ）2274297n n --能被264整除；
（Ⅱ）121(1)n n a a +-++能被21a a ++整除（其中n ，a 为正整数）
③ 是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意正整数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
3. 小结：两个步骤与一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n=k到n=k+1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.
三、巩固练习：1. 练习：
2. 作业：3、4、6题.。