系统的状态变量分析法

第七章 系统的状态变量分析法描述系统的方法通常有输入输出法和状态变量法，也称状态空间法。

前面章节所讨论的系统时域或频域分析均是运用输入输出法，即主要关心的是系统的输入输出之间的关系，而不考虑系统内部的有关问题。

对于简单的一般单输入单输出系统，使用输入输出法很方便，但对于多输入多输出系统，尤其是对于现代工程中碰到的越来越多的非线性系统或时变系统的研究，若采用输入－输出描述法则几乎不可能。

随着系统理论和计算机技术的迅速发展，自20世纪60年代开始，作为现代控制理论基础的状态变量法在系统分析中得到广泛应用。

此方法的主要特点是利用描述系统内部特性的状态变量取代仅描述系统外部特性的系统函数，并且将这种描述十分便捷的应用于多输入——多输出系统。

此外，状态空间方法也成功地用来描述非线性系统或时变系统，并且易于借助计算机求解。

7.1 状态变量与状态方程首先，从一个简单实例给出状态变量的初步概念。

图7.1所示为一个串联谐振电路，如果只考虑其激励()e t 与电容两端电压()c u t 之间的关系，则系统可以用如下微分方程描述()()()()2211c c cd R d u t u t u te t dt L dt LC LC++= （7.1）同时可以用图7.2所示的系统模型来研究激励信号()e t 所引起的不同响应()r t 。

这样研究系统的方法就是所谓的输入输出方法。

-()t e R-()t u C图7.1 RLC 串联谐振电路e E ⎡⎣))s ⎤⎦图7.2 端口方法方框图对于图7.1电路，如果不仅希望了解电容上的电压()c u t ，而且希望知道在()e t 的作用下，电感中电流()L i t 的变化情况，需列写下列方程 ()()()()L L c dRi t L i t u t e t dt++= （7.2） 及 ()()1c L u t i t dt C=⎰或 ()()1c Ld u t i t dt C= （7.3） 上列两式可以写成()()()()()()111L L c c L d R i t i t u t e t dt L L L d u t i t dtC ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （7.4） 式（7.4）是以()L i t 和()c u t 作为变量的一阶微分联立方程组。

由此对于图7.1所示的串联谐振电路只要知道()L i t 及()c u t 的初始情况及激励()e t 情况，即可完全确定电路的全部行为。

这样描述系统的方法称为系统的状态变量法，其中()L i t 和()c u t 即为串联谐振电路的状态变量。

方程组（7.4）即为状态方程。

在状态变量法中，可将状态方程以矢量和矩阵形式表示，于是式（7.4）改写为()()()()()11100L L c cd Ri t i t dt LL e t L d u t u t C dt ⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥=+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （7.5） 对于图7.1电路，若指定电容电压为输出信号，用()y t 表示，则输出方程的矩阵形式为()[]()()01L c i t y t u t ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（7.6）当系统的阶次较高，即状态变量数目较多或者系统具有多输入多输出信号时，描述系统的方程形式仍如式（7.5）和式（7.6），只是矢量或矩阵的维数有所增加。

下面给出系统状态变量分析法中的几个名词的定义。

①状态：一个动态系统的状态是表示系统的一组最少物理量，通过这些物理量和输入就能完全确定系统的行为。

②状态变量：能够表示系统状态的那些变量称为状态变量。

例如图7.1中的()L i t 和()c u t 。

③状态矢量：能完全描述一个系统行为的k 个状态变量，可以看作矢量()x t 的各个分量。

例如图7.1中的状态变量()L i t 和()c u t 可以看作二维矢量()()()12x t x t x t ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的两个分量()1x t 和()2x t 。

()x t 即为状态矢量。

④状态方程：描述状态变量变化规律的一组一阶微分方程组。

各方程的左边是状态变量的一阶导数，右边是包含有系统参数，状态变量和激励的一般函数表达式，不含变量的微分和积分运算。

⑤输出方程：描述系统输出与状态变量之间的关系的方程组。

各方程左边是输出变量，右边是包括系统参数，状态变量和激励的一般函数表达式，不含变量的微分和积分运算。

对于离散时间系统，其状态变量和状态方程的描述类似，只是状态变量都是离散量，因而状态方程是一组一阶差分方程，而输出方程则是一组离散变量的线性代数方程。

7.2 连续时间系统状态方程的建立一．状态方程的一般形式连续时间系统的状态方程为状态变量的一阶微分方程组。

设n 阶系统的状态变量为()1x t 、()2x t 、…、()n x t ，激励为()e t ，则状态方程的一般形式如下：()()()()()()()()()()()()()()()1111122112211222221122n n n n n n n nn n n x t a x t a x t a x t b e t x t a x t a x t a x t b e t x t a x t a x t a x t b e t ⎧'=++++⎪⎪'=++++⎪⎨⎪⎪'=++++⎪⎩ （7.7）式中各系数均由系统的元件参数确定，对于线性非时变系统，它们都是常数；对于线性时变系统，它们中有的可以是时间函数。

式（7.7）是单输入的情况，如果有m 个输入()1e t 、()2e t 、…、()m e t ，则可得状态方程的一般形式为()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()111112211111221221122222122221122122n n m m n n m m n n n nn n n n nm m x t a x t a x t a x t b e t b e t b e t x t a x t a x t a x t b e t b e t b e t x t a x t a x t a x t b e t b e t b e t '=+++++++'=+++++++'=+++++++（7.7）可以写成如下矩阵形式()()()()()()()()()111111211112122212222122221212n m n m n n nn n n nm n m n x t x t e t a a a b b b x t e t a a a b b b x t aa ab b b x t e t x t ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦'⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦（7.8） 定义状态矢量()x t 和状态矢量的一阶导数()x t '分别为()()()()12n x t x t x t x t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ， ()()()()12n x t x t x t x t ⎡⎤'⎢⎥⎢⎥'⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎣⎦（7.9） 再定义输入矢量()e t 为()()()()12m e t e t e t e t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（7.10）另外，把由系数ij a 组成的n 行n 列的矩阵记为A ，把由系数ij b 组成的n 行m 列的矩阵记为B ，则111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ， 111212122212m m n n nm b b b b b b B b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（7.11）把式（7.9）、式（7.10）和式（7.11）代入式（7.8），可将状态方程简写为()()()x t Ax t Be t '=+ （7.12）如果系统有q 个输出()1y t ，()2y t ，…，()q y t ，则输出方程的矩阵形式为()()()()()()()()()111111211112121222212222221212n m n m q q qn q q qm q n m y t x t e t c c c d d d c c c d d d y t x t e t c c c d d d y t x t e t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（7.13） 仿照前面，定义输出矢量()y t 为()()()()12q y t y t y t y t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（7.14）并把由系数ij c 组成的q 行n 列矩阵记为C ，把由系数ij d 组成的q 行m 列矩阵记为D ，即111212122212n n q q qn c c c c c c C c c c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ， 111212122212m m q q qm d d d d d d D d d d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（7.15）于是，输出方程简写成()()()y t Cx t De t =+ （7.16） 对于线性时不变系统，上面所有系数矩阵为常数矩阵。

式（7.12）、式（7.16）分别是状态方程和输出方程的矩阵形式。

应用状态方程和输出方程的概念，可以研究许多复杂的工程问题。

二．由电路图直接列写状态方程 1. 状态变量的选取为了建立系统的状态方程，首先要选定状态变量。

状态变量的个数即状态矢量中元素的个数，等于系统的阶数。

状态变量应当是独立变量。

对于一个电路，选择状态变量最常用的方法是取全部独立的电感电流和独立的电容电压，但有时也选电容电荷和电感磁链。

2. 状态方程的建立建立一个电路的状态方程，即要列写出各状态变量的一阶微分方程，并写成如式（7.5）那样的形式。

因为()L dLi t dt是一电压，所以可以写一个包括此电压在内的回路电压方程，用来确定电感电流一阶导数与其它各量间的关系。

同样，()c dC u t dt是一电流，所以可以写一个包括此电流在内的节点电流方程，用来确定电容电压一阶导数与其它各量间的关系。

这些方程中，包含有状态变量和非状态变量，把其中的非状态变量用状态变量来表示，并经过整理，就可得到标准形式的状态方程。

例7.1图7.3所示一个二阶系统，试写出它的状态方程。

2R 2L ()s i t图7.3 例7.1图解：第一步：选取状态变量。