等腰三角形的性质和判定导学
等腰三角形与等边三角形的性质与判定
等腰三角形与等边三角形的性质与判定等腰三角形与等边三角形的性质与判定课首沟通上讲回顾（错题管理）；作业检查；询问学生学习进度等。
知识导图等腰三角形的槪念等腰三角形等髏三角也的性质制判定V等腰三角形的“三线合一”等边三角形的性质和判定含30度的直角三角形课首小测1、（2014萝岗区期末）如果等腰三角形的两边长分别为2和5,则它的周长为（）A.9B.7C.12D.9 或12 2、（2014番禺区期末）下列说法正确的是（）A.等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合B.等腰三角形的两个底角相等C.等腰三角形一边不可以是另一边的二倍D.顶角相等的两个等腰三角形全等3、（2014白云区期末）在/△ABC中，/ A=42°/ B=96°，则它是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形4、如图，MBC中，AB=AD=DC/ BAD=40，则 / C=.5、（2014天河区期末）如图，在AABC中，/B=30°, ED垂直平分EC,垂足为D,ED=3则CE的长为。
知识梳理一、等腰三角形1.定义的叫做等腰三角形•相等的两条边叫做，另一条边叫做。
两腰所夹的角叫做，腰与底边的夹角叫做。
2•性质性质1等腰三角形的两个底角。
（简写成“”, 性质2:等腰三角形的、、相互重合（简称“”）性质3:等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，即为。
3•判定（1）有两条边的三角形是等腰三角形。
（2）如果三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“）”二、等边三角形1.定义都相等的三角形是等边三角形.2•性质性质1:等边三角形的三个内角都，并且每一个角都等于；性质2:等边三角形是，并且有对称轴，分别为三边的垂直平分线。
3•判定（1）三个角都的三角形是等边三角形；（2）都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是600的是等边三角形。
、含300的直角三角形的性质在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它对的等于的一半.导学一：等腰三角形的性质知识点讲解1：等边对等角例题1、（2014华美英语实验期中）等腰三角形的其中一个角为50°,则它的顶角是____________ 度.2、（2014 四川南充）如图，在△ABC中, AB= AC,且D 为BC上一点，CD= AC, AB= BD,则/ B的度数为（）AB D CA. 30° B . 36°C. 40° D . 45°3、如图，在等腰三角形ABC中, AB=AC BD=CEBE=CF(1)求证：AEBD^A PCE(2)若/ A=40°,求/ DEF的度数我爱展示1、（2012甘肃白银中考）如图，在/△ABC 中， AC=BC , AABC 的外角/ACE=10C °，贝V/ A= _____________ 度.上—\—£2、（2013白云区华附新世界期中）等腰三角形 一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的 度数为（）・B. 120C.60。
等腰三角形的性质及其判定
③ 底角=（180°－顶角）÷2
随堂测试
4. 根据等腰三角形的性质,在△ABC中， AB=AC时，
BAD = ∠CAD CD (1) ∵AD⊥BC，∴∠_____ _____，BD ____= ____. AD BC ，∠_____ BAD =∠_____. CAD (2) ∵AD是中线，∴____⊥____ AD ⊥____ BC ，_____ CD BD =_____. (3) ∵AD是角平分线，∴____
小结归纳
1
等腰三角形性质：
性质1 等腰三角形的两个底角相等（简 写成“等边对等角”）； 性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边 上的中线、底边上的高互相重合。（可 简记为“三线合一”）
作顶角的平分线
证明：等腰三角形的两个底角相等
A
12
已知： △ ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
C D 证明： 作顶角的平分线AD. 在△BAD和△CAD中，
它是真命题吗?
●
操作一
探 究 新 知
做一做
画△ABC.使∠B＝∠C＝30°
●
操作二
量一量，线段AB与AC的长度。 怎样用数 学推理进 你发现了什么结论？其他同学的结果与你 行证明呢？
的相同吗？
AB=AC
如果一个三角形有两个角相等,那么这两 个角所对的边也相等
A
已知：如图,在ΔABC中，∠B=∠C。 求证：AB=AC
随堂测试
40 ° ⒈等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为
70°,40°或55°,55° __________________.
等腰三角形的性质定理和判定定理
一. 本周教学内容：等腰三角形的性质和判定二. 教学目标：（一）知识与技能：（1）掌握等腰三角形的性质定理和判定定理，并会灵活运用。
（2）能用上述结论进行分析与说理，进行初步的逻辑思维训练，形成一定的推理能力。
（二）情感态度与价值观：通过等腰三角形性质定理和判定定理的证明体现数学的应用价值。
三. 重点、难点：重点是等腰三角形的性质定理和判定定理难点是利用定理解决实际问题四. 教学过程：（一）知识梳理知识点1：等腰三角形的性质定理1（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C（3）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。
知识点2：等腰三角形性质定理2（1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）（2）符号语言：∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2BD=DC AD⊥BC（3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。
说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。
知识3：等腰三角形的判定定理（1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）（2）符号语言：在△ABC中∵∠B=∠C ∴AB=AC（3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD （AAS）∴AB=AC（4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。
说明：①本定理的证明还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。
沪科版八年级数学上册15.等腰三角形的判定导学课件
感悟新知
例 1 [模拟·广东] 如图15.3-8，在△ ABC 中，BD，AE 分 别是AC，BC 边上的高，它们相交于点F，且AF ＝ BC．求证：△ ABD 是等腰三角形．
解题秘方：利用三角形全等即可得出BD ＝ AD，从而利 用定义判定△ ABD 是等腰三角形．
感悟新知
解法提醒 掌握判定三角形是等腰三角形的两种方法是解题
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.3 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
学习目标
1 本节要点 等腰三角形的判定
2 学习流程
逐点 学练本节 小结来自作业 提升感悟新知
知识点 1 等腰三角形的判定
1. 判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形( 简称 “等角对等边”). 几何语言：如图15.3-7，在△ ABC 中， ∵∠ B= ∠ C， ∴ AB=AC.
∠ CBD= ∠ FAD， BC=AF， ∴△ BCD ≌△ AFD，(AAS) ∴ BD=AD， ∴△ ABD 是等腰三角形．
感悟新知
例2 [期末·上海松江区] 如图15.3-9，已知在△ ABD 中， AB=BD，∠ ADE= ∠ B. 求证：△ ADE 是等腰三角形.
解题秘方：根据等腰三角形的性质和 三角形的内角和定理可得∠ AED= ∠ BAD，利用等 腰三角形的判定定理即可．
感悟新知
方法点拨 根据等腰三角形的判定定理可知，证明一个三角形是
等腰三角形，就是要证明这个三角形有两个内角相等, 所 以证明两个内角相等是判定等腰三角形的关键所在.
感悟新知
证明：∵ AB=BD， ∴∠ BAD= ∠ BDA. ∵∠ ADE= ∠ B， ∠ ADE+ ∠ BAD+ ∠ AED=180°， ∠ B+ ∠ BDA+ ∠ BAD=180°， ∴∠ AED= ∠ BAD， ∴ ED=AD， ∴△ ADE 是等腰三角形．
等腰三角形的性质导学案
授课教师：杨 桢
授课时间：20XX 年 10 月 22 号
课型：新授课
课题：
教 学 目 标
教学 重点 教学 难点 教具资 料准备
13.3.1 等腰三角形
备课人： 杨 桢
审核人：
基础知识： 基本技能： 基本思想 方法： 情感与态度
认识等腰三角形的性质，感受等腰三角形“三线合一”的意义 观察、试验，探索等腰三角形的性质 数形结合与类比的数学思想 培养学生合情据理意识感悟等腰三 角形的实用价值，激发他们的求知欲
称“三线合一”)
3．如图在等腰三角形△ABC中,如果AB=AC,求证： ∠B=∠C
（提示：构造两个全试用其他的方法证明
三、 巩固学习，解决问题 1.例题解析
如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上， 且BD=BC=AD，根据题意求： 1、图中有哪几个等腰三角形？2、有哪些相等的角？3、这两组相等的角之 间还有什么关系？4. 求△ABC各个角的度数。
A
D
B
C
2.知识拓展和拔高训练
如图：△ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE 求证：AH=2BD
A
四、归纳总结与活动经验
1.等腰三角形的性质 2.等腰三角形的轴对称联系
五、作业布置：P82 4,6 题
板书设计
12.3 等腰三角形 性质 1 性质 2
课后反思
H B
E C
理解等腰三角形的判定
等腰三角形判定和性质的区别，对命题的证明
教师准备：书 尺子 练习册
学生准备：书 尺子 练习本
教
学
过
程
教学内容
学习笔记
【学习过程】
等腰三角形性质及判定(基础)知识讲解
【高清课堂：389301等腰三角形的性质及判定：例 1】等腰三角形性质及判定（基础）【学习目标】1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直.2. 掌握等腰三角形的判定定理.3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算. 【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底， 两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角 .如图所示，在△ ABC 中，AB= AC,则它叫等腰三角形，其中AB AC 为腰，BC 为底边,/ A 是顶角，/ B 、/ A = 180°— 2/ B ,/ B =/ C =2【高清课堂：389301等腰三角形的性质及判定，知识要点】 要点二、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的性质性质1:等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）.2. 等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等 .是证明角相等的一个重要依据. 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等.3. 等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高 （顶角平分线或底边上的中线） 所在直线是它的对称轴， 通常情况只有一条对称轴. 要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理， 是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理 .【典型例题】 类型一、等腰三角形中有关度数的计算题要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等， 且都等于45° .等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.180°—N A/ C 是底角.C【答案与解析】• • AB= BD.•/ 2=/ 1 + / C •• / 2 =/ 1 + / B .•/ 2+/ 3 +/ B = 180° ••/ B = 180 ° - 2 / 2 ••/ 2=/ 1 + 180°- 2/ 2••3/2 =/ 1 + 180°.•/ 1 = 30 ••/ 2= 70【总结升华】 解该题的关键是要找到/ 2和/ 1之间的关系，显然/ 2=/ 1 + / C,只要再找 出/ C 与/ 2的关系问题就好解决了，而/ C =/ B,所以把问题转化为△ ABD 的角之间的关则/ AED=/ ADE= 2X , / A =/ B = 180° - 4X 在^ ABC 中,根据三角形内角和得,X + y + 180°- 4X + 180° - 4X = 180° ①解:• • AB= AC系，问题就容易的多了 .关于角度问题可以通过建立方程进行解决【高清课堂：389301等腰三角形的性质及判定：例 1练习】举一反三:【变式】已知：如图， 求/ B 的度数.D E 分另为 AB AC 上的点，AC = BC = BD, AD= AE, DE =CE【答案】解：••• AC = BC = BD, AD= AE, DE = CE •••设/ ECD=/ EDC= X , / BCD=/ BDC= y , C的等腰三角形的周长为(A . 12【答案】C.解：根据题意得，解得x=3,①3是腰长时，B . )14C. 15D. 12 或 15X - 3=0, y=6, 三角形的三边分别为y - 6=0,3、3、6,又••• A 、D B 在同一直线上，••• 2X + X + y = 180。
2024年等腰三角形的性质(课件)
等腰三角形的性质(课件)等腰三角形的性质一、引言三角形是几何学中最基本的多边形，而等腰三角形则是三角形的一种特殊类型。
等腰三角形具有独特的性质，使其在几何学中占有重要地位。
本文将详细介绍等腰三角形的性质，并通过相关定理和证明来加深对其特性的理解。
二、等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在等腰三角形中，这两条相等的边被称为腰，而第三条边被称为底。
等腰三角形的两个底角（腰与底所对的角）相等，而顶角（底所对的角）则与底角不等。
三、等腰三角形的性质1.两边相等：等腰三角形的两条腰相等。
2.两角相等：等腰三角形的两个底角相等。
3.顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合：在等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高三条线段相互重合，这条线段被称为等腰三角形的中线。
4.对称性：等腰三角形具有轴对称性，其中轴线是连接顶角和底边中点的线段。
5.角平分线性质：等腰三角形的顶角平分线同时也是底边的中线和高。
6.斜边上的中线性质：在等腰三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
四、等腰三角形的判定定理1.两边相等的三角形是等腰三角形。
2.两角相等的三角形是等腰三角形。
3.一角和一边相等的三角形是等腰三角形。
4.对称轴存在的三角形是等腰三角形。
五、等腰三角形的证明1.证明等腰三角形的两个底角相等：设△ABC为等腰三角形，AB=AC。
作AD⊥BC于D，连接BD和CD。
由于AB=AC，根据直角三角形的性质，BD=CD。
又因为∠ADB=∠ADC=90°，所以∠ABD=∠ACD。
因此，根据角的对应部分相等，得到∠ABC=∠ACB。
2.证明等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合：设△ABC为等腰三角形，AB=AC。
作AD⊥BC于D，连接BD和CD。
由于AB=AC，根据直角三角形的性质，BD=CD。
又因为AD⊥BC，所以AD是BC的高。
因此，AD同时也是底边BC的中线和高。
由于∠ABD=∠ACD，所以AD也是顶角A的平分线。
1.1 等腰三角形的性质和判定
1C A B 1.1 等腰三角形的性质和判定班级 姓名 【学习目标】1.能证明等腰三角形的性质定理和判定定理.2.了解分析的思考方法.3.经历思考、猜想，并对操作活动的合理性进行证明过程，不断感受证明的必要性、感受合情推理和演绎推理都是人们认识事物的重要途径.【重点、难点】了解分析的思考方法；合理添加辅助线． 【知识回顾】以前，我们曾经学习过等腰三角形，你还记得吗？不妨我们来回忆一下下列几个问题：1. 什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2.等腰三角形的性质：①等腰三角形的 角相等.（简称“ ”）②等腰三角形的 、 、 互相重合.（简称“ ”） ③等腰三角形是 对称图形，它的对称轴是： .3.你能用刻度尺画一个等腰三角形，并用作垂线的方法画出它的顶角的平分线吗？若能，请画出.问题:上述等腰三角形性质你是怎么得到的？这些性质都是真命题吗？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？ 【导学过程】 活动一：证明：等腰三角形的两个底角相等. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC. 求证：∠B=∠C你有不同的证明方法吗?活动二：证明：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. 思考：如何证明文字命题的正确性?活动三：如何证明“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的？ 要求：（1）写出它的逆命题： .（2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明.2例1.已知：如图∠EAC 是△ABC 的外角，AD 平分∠EAC，且AD∥BC .求证：AB ＝AC2.拓展：在上图中，如果AB ＝AC ，AD∥BC，那么AD 平分∠EAC 吗？为什么？你还能得出其他的结论吗?例2.已知：如图，锐角△ABC 的两条高BE 、CD 相交于点O ，且OB=OC.求证：△ABC 是等腰三角形．例3.在△ABC 中,AB=AC,O 是△ABC 内一点，且OB=OC ，求证：AO ⊥BC.【反馈练习】1.若等腰三角形的周长为12，一边长为5，那么另两边长分别为 .2.若等腰三角形有两边长为2和5，那么周长为 .3.等腰三角形的一个角为50°，那么它的一个底角为______．4.若等腰三角形有一个外角等于50°，那么另两个角为 . 5、在△ABC 中，∠A ＝40°，当∠B 等于多少度数时，△ABC 是等腰三角形？★6．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°，那么这个等腰三角形的顶角为 . ★7.若等腰三角形的周长等于12cm ，那么腰长x 的取值范围是 .8.如图在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A＝50°，BD 为∠ABC 的平分线，则∠BDC＝_ ____°． ★9.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （2，2），点Q 在y 轴上，△PQO 是等腰三角形，则满足条件的点Q 共有______个．10.如图在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AC 边上一点，且BD ＝BC ＝AD ．•则∠A 等于 （ ）A ．30° B．36° C．45° D．72°ABCDE第8题图 第10题图311.已知：如图，AB=AC ．（1）若CE=BD ，求证：GE=GD ； （2）若CE=mBD （m 为正数），试猜想GE 与GD 有何关系 （只写结论，不证明）．12.如图，在△ABC 中，点O 在AC 上，过点O 作MN ∥BC ，CE 、CF 分别是△ABC 的内外角平分线，与MN 分别交于E 、F ，求证：OE=OF.变式： 如图，BO 平分∠CBA, CO 平分∠ABC, 且MN//BC,设AB=12,BC=24,AC=18,求△AMN 的周长.13.如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．1 3ABCMNO。
初中数学最新版《等腰三角形的判定 》精品导学案(2022年版)
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等腰三角形的性质和判定复习导学案
&skuId=71581181941&areaId=411300&cat_id=52040006&rn=30 39940159ea95cf571551ada99046e3&user_id=741444129&is_b=1等腰三角形的性质与判定导学案学习目标：1、进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
3、在掌握了等腰三角形的性质定理和判定定理的基础上，探索等边三角形和其它相关知识的证明方法。
重点、难点：1、等腰三角形的性质及其证明。
2、应用性质解题。
［学习过程］一、知识回顾：在初中数学八（下）的第十一章中，我们学习了证明的相关知识，你还记得吗？不妨回忆一下。
1、用＿＿＿＿＿的过程，叫做证明。
经过＿＿＿＿称为定理。
2、证明与图形有关的命题，一般步骤有哪些？（1）＿＿＿＿＿＿＿;（2）＿＿＿＿＿＿;（3）＿＿＿＿＿＿＿＿.3、推理和证明的依据有哪几类？＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿。
4、我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实：（1）＿＿＿＿＿；（2）＿＿＿＿＿；（3）＿＿＿＿＿；（4）＿＿＿＿＿；（5）＿＿＿＿＿。
此外，还有＿＿＿＿和＿＿＿＿＿也都看作是基本事实。
5、在八（下）的第十一章中，我们依据上述的基本事实，证明了哪些定理？你能一一列出来吗？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
二、情景创设：以前，我们曾经学习过等腰三角形，你还记得吗？不妨我们来回忆一下下列几个问题：1、什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2、等腰三角形有哪些性质？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
3、上述性质你是怎么得到的？（不妨动手操作做一做）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿4、这些性质都是真命题吗？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
等腰三角形的判定定理导学案
土门子初级中学主备人：侯玉春授课时间：年月
教材
分析
等腰三角形的判定是初中数学的一个重要定理，也是本章的重点内容。本节内容是在学生已有的平行线性质、命题以及等腰三角形的性质等知识基础上进一步研究的问题。特点之一是它揭示了同一个三角形的边、角关系；特点之二是它与等腰三角形的性质定理互为逆定理；特点之三是它为我们提供了证明两条线段相等的新方法，为以后的学习提供了证明和计算依据，有助于培养学生思维的灵活性和广阔性。所以本段教材承上启下、至关重要。
课
后反思ຫໍສະໝຸດ 学情分析本节内容是在学生已有的平行线性质、命题以及等腰三角形的性质等知识基础上进一步研究的问题。学生对理解本节知识将较容易，但对知识的具体运用上将有一定的难度。
设计
理念
本节课按照质疑、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，让学生感受由实践到理论再到实践的学习过程，也体现了数学源于生活，而又服务于生活的基本理念。本节课将着力培养学生的实践探究能力、合作交流和抽象概括能力
教学过程设计
三个
环节
学习内容
教师行为
期望学生行为
自
主
学
习
【旧知回顾】
1、有的三角形是等腰三角形。
2、由定义：等腰三角形的相等；等腰三角形是图形，有条对称轴，其对称轴是。
性质1：等腰三角形的相等，简称“”。
性质2：等腰三角形的、、相互重合，简称等腰三角形的。
【新知探究】
1、思考：等腰三角形的两个底角相等，反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形吗？
2、已知：如图，B、D分别在AC、CE上，AD是∠CAD
的平分线，BD∥AE，AB＝BC。求证：AC＝AE。
《等腰三角形的性质》导学案精选全文
精选全文完整版（可编辑修改）13.3.1 等腰三角形的性质一，学习目标：1 了解等腰三角形的有关概念；2 通过操作，观察、分析、归纳得出等腰三角形性质；3 理解并运用等腰三角形性质。
二，教学过程（1）学习目标，了解等腰三角形的有关概念第一次自学，时间2min，要求：1, 看课本78页，找到等腰三角形的有关概念。
2动手在练习本上画出一个等腰三角形。
第一次自学检测，时间3min。
（1）有______相等的三角形叫做等腰三角形。
（2）在等腰三角形中，相等的两边都叫做_____，另一边叫做_____ ，两腰的夹角叫做_____ ，腰和底边的夹角叫做_____。
（3）等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是_____cm。
（4）等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是_____cm。
（5）等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是_____cm。
（2）学习目标，通过动手操作，观察、分析、归纳得出等腰三角形性质1第二次自学，时间5min，要求：1, 看课本78页，完成做一做2，熟悉定理，等边对等角。
3，看例1的解题过程。
第二次自学检测，时间5min。
1，等腰三角形一个底角为75°,它的另一个底角为____。
2，等腰三角形一个底角为70°,它的另外两个角为_________3，等腰三角形一个角为100°, 它的另外两个角为____________ 4，等腰三角形有一个角是80°，它的顶角是____________________（3）学习目标，理解并运用“三线合一”第三次自学，时间5min，要求：1, 看课本80页，熟悉“三线合一”2，理解例2的解题过程3，简单认识等边三角形。
第三次自学检测，时间5min。
（1）等腰三角形的顶角的______、底边上的____、底边上的____互相重合。
（三线合一）《1》∵AB=AC，BD=CD（已知）∴《2》∵AB=AC，∠BAD=∠CAD （已知）∴《3》∵AB=AC，AD⊥BC （已知）∴当堂训练（10min）一，判断下列语句是否正确（1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。
八年级数学上册《等腰三角形性质和判定的应用》教案、教学设计
（一）教学重难点
1.理解并掌握等腰三角形的性质，特别是两边相等、两角相等的关系。
2.学会运用等腰三角形的判定方法，并能解决实际问题。
3.熟练运用等腰三角形的面积公式，解决与面积相关的计算问题。
4.培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
在课堂开始时，通过展示生活中的等腰三角形实例，如屋顶、交通标志等，引起学生对等腰三角形的关注，激发他们的学习兴趣。
（五）总结归纳，500字
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，总结等腰三角形的性质、判定方法和应用。
2.学生分享学习收获，教师点评并给予鼓励。
3.教师强调等腰三角形在实际生活中的应用价值，激发学生学习数学的兴趣和热情。
4.布置课后作业，巩固课堂所学知识，并鼓励学生进行课后探究，拓展知识视野。
在整个教学过程中，教师要以学生为中心，关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性、主动性和创造性。通过导入新课、讲授新知、小组讨论、课堂练习和总结归纳等环节，使学生全面掌握等腰三角形的性质、判定方法和应用，提高他们的数学素养。
（2）尝试运用等腰三角形的性质，解决以下问题：
a.在一个等腰三角形中，如何确定底边上的高？
b.如何用等腰三角形设计一个对称的图案？
作业要求：
1.认真完成必做题，加强对等腰三角形性质、判定方法和面积计算的理解和应用。
2.选做题和探究题可根据个人兴趣和实际情况选择，旨在培养学生的拓展思维和创新能力。
3.作业过程中，注意解题方法的规范性和书写格式，养成良好的学习习惯。
（二）过程与方法
1.通过观察、猜想、验证等教学活动，引导学生自主探究等腰三角形的性质和判定方法。
等腰三角形的性质(导学案)
13.3.1 等腰三角形的性质授课人：中九校 李波 学习目标：1、知识目标：了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质。
（重点）2、技能目标：运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题，进一步体会方程思想和转化思想，分类讨论思想。
（难点）3、情感目标：引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。
学习过程：（一）、自主学习：1、等腰三角形的定义： 腰： 底边： 顶角： 底角： （二）、合作探究：利用三角形纸片，探究完成下列填空：1、△ABC 是轴对称图形吗？若果是，对称轴是什么？△ABC2、相等的边：3、相等的角：4、归纳总结等腰三角形的性质：几何语言：性质1：在△ABC 中 ∵AB=AC∴ = 。
性质2：在△ABC 中1 、 ∵AB=AC ，∠BAD=∠CAD∴ BD = ， ⊥ 。
2 、 ∵AB=AC ，BD=CD∴∠BAD= = ， ⊥ . 3 、 ∵ AB=AC ，AD ⊥BC∴∠BAD= = ， BD= .（三）典例讲解：例1 已知：在△ABC 中AB=AC ，点DE 为AC 上一点，连接BD ，AD=BD=BC 。
（1）求△ABC 各个角的度数。
（2）若△ABC 的周长为26cm ，△BCD 的周长为16cm ，求AB,BC 的长。
例2 如图所示，在等腰△ABC 中AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，点E 在AD 上，连接BE ，CE 。
求证：BE=CE（四）、课堂小结：今天我们学习了那些知识点和那些数学思想？（五）、拓展提升：如图，线段AB 的一个端点A 在直线l 上，以AB 为一边画等腰△ABC ，并且使点C 在直线l 上，这样的等腰三角形能画多少个？并作出这样的点C 。
（六）、当堂检测：1、完成下列填空题：（1）已知等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的周长是_________（2）已知等腰三角形的两边长分别是2和4，则它的周长是_________（3）已知顶角为70°，其余两个角分别为（4）已知底角为70°，其余两个角分别为（5）已知一个角为80°,其余两个角分别为2、已知一个等腰三角形的两角分别为(2x－2)°，(3x－5)°，求这个等腰三角形各角的度数．3、已知:点D、E在△ABC中, AB=AC, AD=AE. 求证：BD=CE。
等腰三角形的性质定理课件
总结和回顾
1 回顾
等腰三角形定义、性质、判定条件和应用。
2 总结
等腰三角形是几何学和实际生活中常见的重要图形，我们需要充角形的性质定理
欢迎来到关于等腰三角形的精彩世界！等腰三角形广泛应用于几何学和实际 生活中，让我们一起来学习它们的性质、特征和重要应用。
等腰三角形的定义
1 定义
两边相等的三角形叫做等腰三角形。
等腰三角形的性质
底边角相等
等腰三角形的两条底边所对的 角相等。
两边相等
等腰三角形的两条腰相等。
两底角相等
等腰三角形的例题演练
1
问题一
三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，
问题二
2
则∠ABC=∠ACB=_____°。
如图，等腰三角形ABC中，角A的度数
是140°，则角B的度数是_____°。
3
问题三
如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD， ∠ABC=100°，∠BCD=30°，则 ∠BAD=_____°。
等腰三角形的两个底边所对的 角相等。
等腰三角形的判定条件
边长关系
两边相等的三角形是等腰三角形。
角度关系
两个角或两个角的度数相等的三角形是等腰三 角形。
等腰三角形的应用
几何问题中的应用
等腰三角形可以大大简化一些几何问题的解决。
实际生活中的应用
工程、建筑和制造业中经常使用等腰三角形，如稳定结构和平衡物体。
人教版八年级上册数学教案：13.3.1等腰三角形的性质及判定
（2）等腰三角形判定的应用
-学生在应用判定方法时，可能会混淆两种判定条件，需要教师强调各自的适用场景和区别。
-部分学生可能难以将判定方法应用于解决复杂问题，教师应通过分层练习和针对性指导，帮助学生逐步突破难点。
此外，实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的表现相当积极。他们能够将所学的性质和判定方法应用于解决实际问题，这让我感到很欣慰。但同时，我也注意到，部分学生在讨论过程中过于依赖图形，缺乏对几何逻辑推理的运用。因此，我会在后续的教学中加强学生对逻辑推理能力的培养。
在学生小组讨论环节，我发现学生们对于等腰三角形在实际生活中的应用有着丰富的想象力和创新意识。他们能够从不同角度发现等腰三角形在建筑、艺术等方面的应用，这充分体现了他们的观察力和思考能力。但同时，我也提醒他们要注意将理论知识与实际应用相结合，避免空谈理论。
2.提升学生的空间观念：借助图形和实际操作，让学生感知和理解等腰三角形的特点，培养其空间想象力和直觉思维能力。
3.增强学生的数学应用意识：将等腰三角形的性质和判定应用于解决实际问题，使学生体会数学在现实生活中的广泛应用，提高解决问题的能力。
4.培养学生的团队合作精神：通过小组讨论、合作探究等腰三角形的性质和判定，培养学生与他人合作、交流的能力。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了等腰三角形的基本概念、性质和判定方法，以及在实际生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，加深了对等腰三角形的理解。希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生们对等腰三角形的性质及判定这一部分内容的学习存在一些问题和亮点。
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等腰三角形的性质和判定导学
知识梳理
知识点1：等腰三角形的性质定理1
（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）
（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C
（3）证明：取BC的中点D，连接AD
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）
（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。
知识点2：等腰三角形性质定理2
（1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）
（2）符号语言：
∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC
∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC
∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2
BD=DC AD⊥BC
（3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。
说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。
知识3：等腰三角形的判定定理
（1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）
（2）符号语言：在△ABC中
∵∠B=∠C ∴AB=AC
（3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD （AAS）
∴AB=AC
（4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。
说明：①本定理的证明还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。
②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义2、利用定理。
【典型例题分析】
基础知识应用题：
例1. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。
解：∵AP=PQ=AQ（已知）
∴△APQ是等边三角形（等边三角形的定义）
∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°（等边三角形的性质）
∵AP=BP（已知）
∴∠PBA=∠PAB（等边对等角）
又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60°
∴∠PBA=∠PAB=30°
同理∠QAC=30°
∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°
解答此类题的步骤如下：
（1）利用等边对等角根据已知角的度数求另一个角的度数。
（2）利用三角形内角和定理，确定等量关系，借助等式或方程求解。
例2. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。
求证：△DEF是等腰三角形。
证明：∵∠B+∠BDE+∠BED=180°（三角形内角和定理）
∠BED+∠DEF+∠FEC=180°（平角性质）
∠B=∠DEF（已知）
∴∠BDE=∠FEC（等角的补角相等）
在△BED和△CFE中
∠BDE=∠FEC中（已证）
BD=CE （已知）
∠B=∠C （已知）
∴△BED≌△CFE （ASA）
∴DE=EF （全等三角形对应边相等）
∴△DEF是等腰三角形（等腰三角形定义）
综合应用题：
例3. 已知：如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD
证明：∵AB∥CD （已知）
∴∠A=∠C，∠B=∠D （两直线平行，内错角相等）
∵OA=OB （已知）
∴∠A=∠B （等边对等角）
∴∠C=∠D （等量代换）
∴OC=OD （等角对等边）
例4. 如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论。
证法一：证明：作DE⊥AB于E
∵DA=DB
DE⊥AB
∴AE=BE=
∵AB=2AC
∴AE=AC
在△AED和△ACD中
∴△AED≌△ACD
∴∠C=∠AED=90°
∴DC与AC的位置关系为：DC⊥AC
证法二：证明：延长AC到F，使CF=AC，连结DF
∵AB=2AC，AF=2AC
∴AB=AF
在△ABD和△AFD中
∴△ABD≌△AFD
∴DF=DB
∵DA=DB
∴DA=DF
又∵AC=CF
∴DC⊥AF
说明：法一是利用了“截长法”即在长线段AB上截取AE=AB
法二是利用了“补短法”即在短线段AC上补足AF=AB，从而达到解决问题的目的。
例5. 求证：等腰三角形两腰上的中线相等
解：已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的中线
求证：BD=CE
证明：∵BD，CE是△ABC的中线
∴AE=AB，AD=AC
∵AB=AC
∴AE=AD
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）
说明：这是一个证明文字叙述的几何命题的题目，做这类题时首先要分清题设，结论，画出草图，结合图形写出：已知、求证、然后再证明。
例6. 如图，点C为线段AB上的一点，△ACM，△BCN是等边三角形，AN，MC相交于点E，CN与BM相交于点F。
（1）求证AN=BM
（2）求证△CEF为等边三角形
例7. 下面是数学课堂的一个学习片断，阅读后，请回答下面的问题：
学习等腰三角形有关内容后，苏老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知，等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角。
”同学们经片刻的思考与交流后，李明举手讲：“其余两角30°和120°，”卫华同学说：“其余两角是75°和75°”还有一些同学也提出了不同的看法……
（1）假如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？
（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）
【模拟试题】（答题时间：25分钟）
1. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）
A. 60°
B. 120°
C. 60°或150°
D. 60°或120°
2. 如图，△ABC中AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）
A. 30°
B. 36°
C. 95°
D. 70°
3. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，那么∠ABC的大小是（）
A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 60°
4. 聪明的小明用含有30°角的两个完全相同的三角板拼成如图所示的图案，并发现图中有等腰三角形，请你帮他找出两个等腰三角形：。
5. 如图，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2= 度。
6. 在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B的大小为。
7. 如图，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且△DEF是等边三角形
（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等的线段，并证明你的猜想是正确的。
（2）你所证明相等的线段可以通过怎么样的变化相互得到？写出变化过程。