2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修3课件：1-3-1 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法
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高一数学必修3课件：1-3-1辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法
r＝0 LOOP UNTIL _______ m PRINT __
MOD n
END
第一章
1.3
第1课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修3
(2)更相减损术． 算法步骤： 第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是
偶数 2 _____．若是，用___约简；若不是，执行第二步． 减 第二步，以较大的数___去较小的数，接着把所得的差与 大 小 较小的数比较，并以___数减___数．继续这个操作，直到所
第一章
1.3
第1课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修3
这样的问题，也有人称为“韩信点兵”．它形成了一类 问题，也就是初等数论中解同余式．这类问题的有解条件和 解题方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出 的． 在本节中我们将通过一些典型的算法案例，来体会我国 古代数学的伟大成就和显著特色．
[解析]
①i MOD 2＝0
改写为 WHILE 语句为： i＝1 WHILE i<＝100 IF i MOD 2＝0 THEN PRINT i END IF i＝i＋1 WEND END
第一章
1.3
第1课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修3
新课引入
第一章
1.3
第1课时
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第三步，m＝n，n＝r. 第四步，若 r＝__，则 m，n 的最大公约数等于 m；否则 0
二 返回 第___步．
第一章
1.3
第1课时
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②程序框图如图所示．
第一章
1.3
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MOD n
END
第一章
1.3
第1课时
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(2)更相减损术． 算法步骤： 第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是
偶数 2 _____．若是，用___约简；若不是，执行第二步． 减 第二步，以较大的数___去较小的数，接着把所得的差与 大 小 较小的数比较，并以___数减___数．继续这个操作，直到所
第一章
1.3
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这样的问题，也有人称为“韩信点兵”．它形成了一类 问题，也就是初等数论中解同余式．这类问题的有解条件和 解题方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出 的． 在本节中我们将通过一些典型的算法案例，来体会我国 古代数学的伟大成就和显著特色．
[解析]
①i MOD 2＝0
改写为 WHILE 语句为： i＝1 WHILE i<＝100 IF i MOD 2＝0 THEN PRINT i END IF i＝i＋1 WEND END
第一章
1.3
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新课引入
第一章
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第三步，m＝n，n＝r. 第四步，若 r＝__，则 m，n 的最大公约数等于 m；否则 0
二 返回 第___步．
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1.3
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②程序框图如图所示．
第一章
1.3
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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修3课件：1-1-2-2 条件结构
[解析] 值．
由程序框图知此程序是输出a，b，c中的最大
1 1 ∵a＝log32＝ ＞0，b＝ln2＝ ＞0，又log23＞log2e log23 log2e ＞0， ∴a＜b.又log32>log3 故输出的数为ln2. 1 1 1 1 3＝2，而5－2＝ ＜ 2 ，∴c＜a＜b. 5
第一章
1.1
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[分析]
输入x1＝6，x2＝9，进入第一个判断框，由于|x1
－x2|＝3＞2，则执行“否”分支，输入x3，进入第2个判断 框，由于|x3－6|与|x3－9|的大小不确定，所以需对|x3－6|与|x3 －9|的大小进行讨论，确定后续执行步骤．
第一章
1.1
1.1.2
第2课时
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[解析]
不对，判断框虽然有两个出口，但根据条件是
否成立，选择的出口是确定的，故执行结果也是唯一的．
第一章
1.1
1.1.2
第2课时
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思路方法技巧
第一章
1.1
1.1.2
第2课时
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简单条件结构的程序框图设计
学法指导 在许多算法中，需要对问题的条件作出逻辑判断，判断 后根据条件是否成立进行不同的处理方式，这就需要用到条 件结构来实现算法．对于条件结构，其特点是：算法步骤中 需要判断且判断的结果决定后面的内容．使用条件结构画程 序框图时要明确两点：一是需要判断的条件是什么；二是判 断后的条件对应着什么样的结果．
人教a版必修3数学教学课件第1章算法初步第3节算法案例
多项式改写,依次计算一次多项式,由于后项计算用到前项的结果,
故应认真、细心,确保中间结果的准确性.若在多项式中有几项不
存在,可将这些项的系数看成0,即把这些项看成0·xn.
目标导航
题型一
题型二
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
题型三
【变式训练3】 用秦九韶算法求多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1
当x=2时的值.
v3=-24×(-2)+2=50.故f(-2)=50.
错因分析:所求f(-2)的值是正确的,但是错解中没有抓住秦九韶算
法原理的关键,正确改写多项式,并使每一次计算只含有x的一次项.
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题型一
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【做一做2】 用秦九韶算法求f(x)=2x3+x-3当x=3时的值的过程
中,v2=
.
解析:f(x)=((2x+0)x+1)x-3,
v0=2;
减小数.
解:(1)用辗转相除法求840和1 785的最大公约数.
1 785=840×2+105,
840=105×8.
所以840和1 785的最大公约数是105.
故应认真、细心,确保中间结果的准确性.若在多项式中有几项不
存在,可将这些项的系数看成0,即把这些项看成0·xn.
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题型三
【变式训练3】 用秦九韶算法求多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1
当x=2时的值.
v3=-24×(-2)+2=50.故f(-2)=50.
错因分析:所求f(-2)的值是正确的,但是错解中没有抓住秦九韶算
法原理的关键,正确改写多项式,并使每一次计算只含有x的一次项.
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【做一做2】 用秦九韶算法求f(x)=2x3+x-3当x=3时的值的过程
中,v2=
.
解析:f(x)=((2x+0)x+1)x-3,
v0=2;
减小数.
解:(1)用辗转相除法求840和1 785的最大公约数.
1 785=840×2+105,
840=105×8.
所以840和1 785的最大公约数是105.
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修3课件：第一章 算法初步
规律总结：(1)当待解决的问题需要重复相同的步骤时， 要实现算法必须通过循环结构，程序的书写也必须用循环语 句来描述．本例程序框图中，m 的值从 2 开始循环，直到有 满足条件的 m 出现为止．
(2)注意程序语言的正确书写： 在编程时，“≠”应写作“＜＞”；“OR”表示“或者”； “AND”表示“并且”．
程序框图如下图．
第一章 章末总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修3
[解析] 算法的程序框图如下图所示．
第一章 章末总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修3
程序如下：
第一章 章末总结
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第一章 章末总结
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[解析] 程序如下： i＝1 WHILE i<＝20 IF Gi<6.8 THEN PRINT i，Gi END IF i＝i＋1 WEND END
第一章 章末总结
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第一章 章末总结
己的看法,十分理解投资人想找到放心省事的项目进行投资,但欲速则不达,前期行业调研要做充分，第五章 录取第十四条 学校招生录取工作在省教育厅、省招办领导下，执行教育部规定的学校负责，招
办监督的录取体制，消防排烟风机 /，三亚学院利用独特的区位优势，在已经取得的学科建设和人才培养的基础上，承接好书画教育基地的建设满满信心，最后，热爱让一切
第一章 章末总结
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[例 5] 在我国《算经十书》之一《孙子算经》中有文： 今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之 剩二，问物几何．请设计程序解决此问题，并画出程序框图．
(2)注意程序语言的正确书写： 在编程时，“≠”应写作“＜＞”；“OR”表示“或者”； “AND”表示“并且”．
程序框图如下图．
第一章 章末总结
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[解析] 算法的程序框图如下图所示．
第一章 章末总结
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程序如下：
第一章 章末总结
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第一章 章末总结
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[解析] 程序如下： i＝1 WHILE i<＝20 IF Gi<6.8 THEN PRINT i，Gi END IF i＝i＋1 WEND END
第一章 章末总结
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第一章 章末总结
己的看法,十分理解投资人想找到放心省事的项目进行投资,但欲速则不达,前期行业调研要做充分，第五章 录取第十四条 学校招生录取工作在省教育厅、省招办领导下，执行教育部规定的学校负责，招
办监督的录取体制，消防排烟风机 /，三亚学院利用独特的区位优势，在已经取得的学科建设和人才培养的基础上，承接好书画教育基地的建设满满信心，最后，热爱让一切
第一章 章末总结
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[例 5] 在我国《算经十书》之一《孙子算经》中有文： 今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之 剩二，问物几何．请设计程序解决此问题，并画出程序框图．
数学人教A版必修3课件：第一章 1.3 第1课时 辗转相除法与更相减损术
求三个正整数的最大公约数
典例 用辗转相除法和更相减损术两种方法，求三个数72,120,168的最大公 约数.
素养评析 (1)求多个正整数的最大公约数，先求两个数的最大公约数，再 求这个最大公约数与另一个数的最大公约数，依次类推. (2)求最大公约数，首先要设计运算方案，选择运算方法，求得运算结果， 所以说，这类题目是培养学生数学核心素养的重要内容.
3 达标检测
PART THREE
1.1 337与382的最大公约数是
A.3
√C.191
B.382 D.201
解析 1 337＝382×3＋191,382＝191×2，所以1 337与382的最大公约数是191.
12345
2.下列各组关于最大公约数的说法中不正确的是 A.16和12的最大公约数是4 B.102和84的最大公约数是6
√C.85和357的最大公约数是34
D.105和315的最大公约数是105 解析 85和357的最大公约数是17.
12345
3.用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步应为_先__除__以__2_，__得__到__1_8_与__6_7__. 解析 ∵36与134都是偶数， ∴第一步应为先除以2，得到18与67. 4.已知a＝333，b＝24，则使得a＝bq＋r(q，r均为自然数，且0≤r＜b)成立的q 和r的值分别为__1_3_,2_1___. 解析 用333除以24，商即为q，余数就是r.333÷24＝13……21.
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数.( √ ) 2.求最大公约数的方法除辗转相除法之外，没有其他方法.( × ) 3.编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句.( √ )
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修3课件：1-2-1 输入语句、输出语句和赋值语句
第一章 1.2 1.2.1
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下列输入语句正确的是( ) A．INPUT x B．INPUT x＋3 C．INPUT “学生身高” D．INPUT x＝3 [答案] A
第一章 1.2 1.2.1
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功能 算法中的_输__入___功能 “提示内容”是提示用户输入什么样的
说明 _信__息_．程序框图中的_输__入_框转化为算法语句 就是输入语句
第一章 1.2 1.2.1
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[破疑点] 输入语句的使用说明： ①INPUT 语句又称“键盘输入语句”，当计算机执行到 该语句时，暂停并等候用户输入程序运行需要的数据，此时， 用户只需把数据由键盘输入，然后回车，程序将继续运行． ②“提示内容”的作用是在程序执行时提示用户将要输 入的是什么样的数据．如：INPUT“语文，数学，外语成绩 ＝”；a，b，c. “提示内容”及后面的“；”可省略，直接输入，如： INPUT a，b，c
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温故知新 1．下列关于基本的逻辑结构说法正确的是( ) A．一个算法一定含有顺序结构 B．一个算法一定含有条件结构 C．一个算法一定含有循环结构 D．以上说法均不对 [答案] A
第一章 1.2 1.2.1
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[解析] 若函数的解析式是只有一个关系的解析式时，求 给出自变量的函数值，则只用顺序结构就可以了，用不着条 件结构或循环结构．
第一章 1.2 1.2.1
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下列输入语句正确的是( ) A．INPUT x B．INPUT x＋3 C．INPUT “学生身高” D．INPUT x＝3 [答案] A
第一章 1.2 1.2.1
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功能 算法中的_输__入___功能 “提示内容”是提示用户输入什么样的
说明 _信__息_．程序框图中的_输__入_框转化为算法语句 就是输入语句
第一章 1.2 1.2.1
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[破疑点] 输入语句的使用说明： ①INPUT 语句又称“键盘输入语句”，当计算机执行到 该语句时，暂停并等候用户输入程序运行需要的数据，此时， 用户只需把数据由键盘输入，然后回车，程序将继续运行． ②“提示内容”的作用是在程序执行时提示用户将要输 入的是什么样的数据．如：INPUT“语文，数学，外语成绩 ＝”；a，b，c. “提示内容”及后面的“；”可省略，直接输入，如： INPUT a，b，c
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温故知新 1．下列关于基本的逻辑结构说法正确的是( ) A．一个算法一定含有顺序结构 B．一个算法一定含有条件结构 C．一个算法一定含有循环结构 D．以上说法均不对 [答案] A
第一章 1.2 1.2.1
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[解析] 若函数的解析式是只有一个关系的解析式时，求 给出自变量的函数值，则只用顺序结构就可以了，用不着条 件结构或循环结构．
第一章 1.2 1.2.1
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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)必修三同步课件1.3第1课时辗转相除法与更相减损术、秦九韶算
互动课堂
●典例探究
辗转相除法和更相减损术的应用
用辗转相除法求 80 和 36 的最大公约数，并用更 相减损术检验所得结果．
• [分析] 将80作为大数，36作为小数，执行辗 转相除法和更相减损术的步骤即可．
• • • • • •
[解析] 用辗转相除法： 80＝36×2＋8， 36＝8×4＋4， 8＝4×2＋0. 故80和36的最大公约数是4. 用更相减损术检验：
• [解析] f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋ 2)x＋1)x，所以有 • v0＝7； • v1＝7×3＋6＝27； • v2＝27×3＋5＝86； • v3＝86×3＋4＝262； • v＝2369； v6＝2369×3＋1＝7108； v7＝7108×3＝21324. 故当x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4 ＋3x3＋2x2＋x的值为21324.
• (2)算法步骤： • 第一步，输入多项式的次数n、最高次项的系 数an和x的值． • 第二步，将v的值初始化为an，将i的值初始化 为n－1. i－1 • 第三步，输入i次项的系数ai. 0 • 第四步，v＝vx＋ai，i＝__________. v • 第五步，判断i是否大于或等于_____.若是， 则返回第三步；否则，输出多项式的值_____.
• • • •
• • • • •
改写多项式为： f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 ＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0 ＝… anx＋an－1 ＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0. 设v1＝__________， v2＝v1x＋an－2， vx v3＝v2 ＋ ana n－ 1 x＋ 0 3， － …，
【成才之路】高中数学 算法案例第1课时辗转相除法与更相减损术学案课件 新人教A版必修3
(3)567＝405×1＋162
405＝162×2＋81 162＝81×2＋0 ∴81是 567与405 的最大公约数，从而 567与 405 的最小 公倍数为567×405÷81＝2835.
[例2] 求324,243和135的最大公约数．
[解析] 先求324与243的最大公约数a，再求a与135的 最大公约数b，则b为这三个数的最大公约数． ∵324＝243×1＋81 243＝81×3＋0
1．辗转相除法 (1)辗转相除的原理： 设m， n是两个整数 (不妨设m>n)，用m除以n，若商为 q1，余数为r1(0≤r1<n)，则m＝n·q1＋r1，显然若x是m和n的 公约数，即x能整除m和n，则x也必然能整除r1，这样x也是 n 和 r1 的公约数，故求 m 和 n 的公约数就是求 n 和 r1 的公约数； 同理，用n除以r1，得n＝r1·q2＋r2(0≤r2<r1)，故求m和n的公 约 数 就 是 求 r2 和 r1 的 公 约 数 ， … ， 依 次 下 去 ， 由 于 m>n>r1>r2>…，所以到某一步必然有 ri ＝ ri ＋1·qi ＋ 2 ，即ri 恰 能被ri＋1整除，这时ri＋1是ri和ri＋1的最大公约数，它也必然 是ri－1和ri、ri－2和ri－1、…、r1与r2、n和r2、m和n的最大公 约数．
此编写的算法，也称作“欧几里得算法”．
3．对于正整数m与n(m>n)，总能找到整数q和r(0≤r<n)
使得m＝nq＋r成立，这个除法称为带余除法．通常记r＝ mMODn.
重点：算法案例的原理、算法设计及算法思想的体 会． 难点：理解算法案例的内容及具体算法设计的关键步
骤．
一、弄清算法原理，掌握算法程序，经历算法设计过 程，体会算法设计的关键环节，领悟算法思想．
高一数学人教A版必修3课件1.3.2《辗转相除法与更相减损术》
8251=6105×1+2146， 6105=2146×2+1813，
思考3:又6105=2146×2+1813，同理， 6105与2146的公约数和2146与1813的公 约数相等.重复上述操作，你能得到8251 与6105这两个数的最大公约数吗？
8251=6105×1+2146， 6105=2146×2+1813， 2146=1813×1+333，
其公有的质因数较大，利用上述方法求 最大公约数就比较困难.注意到 8251=6105×1+2146，那么8251与6105 这两个数的公约数和6105与2146的公约 数有什么关系？
思考3:又6105=2146×2+1813，同理， 6105与2146的公约数和2146与1813的公 约数相等.重复上述操作，你能得到8251 与6105这两个数的最大公约数吗？
思考3:又6105=2146×2+1813，同理， 6105与2146的公约数和2146与1813的公 约数相等.重复上述操作，你能得到8251 与6105这两个数的最大公约数吗？
8251=6105×1+2146，
思考3:又6105=2146×2+1813，同理， 6105与2146的公约数和2146与1813的公 约数相等.重复上述操作，你能得到8251 与6105这两个数的最大公约数吗？
因为325=130×2+65，130=65×2，所 以325与130的最大公约数是65.
例2 求325，130，270三个数的最大公约数.
因为325=130×2+65，130=65×2，所 以325与130的最大公约数是65.
因为270=65×4+10，65=10×6+5， 10=5×2，所以65与270最大公约数是5.
思考3:又6105=2146×2+1813，同理， 6105与2146的公约数和2146与1813的公 约数相等.重复上述操作，你能得到8251 与6105这两个数的最大公约数吗？
8251=6105×1+2146， 6105=2146×2+1813， 2146=1813×1+333，
其公有的质因数较大，利用上述方法求 最大公约数就比较困难.注意到 8251=6105×1+2146，那么8251与6105 这两个数的公约数和6105与2146的公约 数有什么关系？
思考3:又6105=2146×2+1813，同理， 6105与2146的公约数和2146与1813的公 约数相等.重复上述操作，你能得到8251 与6105这两个数的最大公约数吗？
思考3:又6105=2146×2+1813，同理， 6105与2146的公约数和2146与1813的公 约数相等.重复上述操作，你能得到8251 与6105这两个数的最大公约数吗？
8251=6105×1+2146，
思考3:又6105=2146×2+1813，同理， 6105与2146的公约数和2146与1813的公 约数相等.重复上述操作，你能得到8251 与6105这两个数的最大公约数吗？
因为325=130×2+65，130=65×2，所 以325与130的最大公约数是65.
例2 求325，130，270三个数的最大公约数.
因为325=130×2+65，130=65×2，所 以325与130的最大公约数是65.
因为270=65×4+10，65=10×6+5， 10=5×2，所以65与270最大公约数是5.
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成才之路· 数学
人教A版 ·必修3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修3
第一章
算法初步
第一章
算法初步
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修3
第一章
1．3 算法案例
第一章
算法初步
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第一章
1.3
第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修3
这样的问题，也有人称为“韩信点兵”．它形成了一类 问题，也就是初等数论中解同余式．这类问题的有解条件和 解题方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出 的． 在本节中我们将通过一些典型的算法案例，来体会我国 古代数学的伟大成就和显著特色．
一次 求值比较先进的算法，其实质是转化为求 n 个______多项式 n n 的值，共进行__次乘法运算和__次加法运算．其过程是：
第一章
1.3
第1课时
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改写多项式为： f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋„＋a1x＋a0 ＝(anxn－1＋an－1xn－2＋„＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋„＋a2)x＋a1)x＋a0＝„ ＝(„((anx＋an－1)x＋an－2)x＋„＋a1)x＋a0.
[解析] s＝1×2＋1＝3 时，i＝1＋1＝2；s＝3×2＋1＝7 时，i＝2＋1＝3；s＝7×2＋1＝15 时，i＝3＋1＝4，所以 s＝ 31.
第一章
1.3
第1课时
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1 1 1 3．求满足1＋ 22 ＋ 32 ＋„＋ n2 >106的最小正整数n，要求 设计算法画出其程序框图，编写程序．
[答案]
D
第一章
1.3
第1课时
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2．当 x＝2 时，下面程序的运行结果是________． i＝1 s＝1 WHILE i<＝4 s＝s*x＋1 i＝i＋1 WEND PRINT s END
[答案] 31
第一章
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第一章
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第1课时
成3
自主预习 阅读教材P34－39，回答下列问题： 1．辗转相除法与更相减损术 (1)辗转相除法． ①算法步骤： 第一步，给定两个正整数m，n. 第二步，计算m除以n所得的余数r.
第一章
1.3
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(3)567＝405×1＋162 405＝162×2＋81 162＝81×2＋0 ∴81是567与405的最大公约数，从而567与405的最小公 倍数为567×405÷ 81＝2835.
第一章
1.3
第1课时
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(2)算法步骤： 第一步，输入多项式的次数 n、最高次项的系数 an 和 x 的值． 第二步，将 v 的值初始化为 an，将 i 的值初始化为 n－1. 第三步，输入 i 次项的系数 ai. 第四步，v＝vx＋ai，i＝________. i－1
0 第五步，判断 i 是否大于或等于__.若是，则返回第三步； v 否则，输出多项式的值_____.
第一章
1.3
第1课时
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用更相减损术检验： 80－36＝44， 44－36＝8， 36－8＝28， 28－8＝20， 20－8＝12， 12－8＝4， 8－4＝4. 故80和36的最大公约数是4.
第一章 1.3 第1课时
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用更相减损术求 294 和 84 的最大公约数时，第一步是 ________．
[答案] 用 2 约简
由于 294 和 84 都是偶数，先用 2 约简．
[解析]
第一章
1.3
第1课时
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2．秦九韶算法 (1)概念： 求多项式 f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋„＋a1x＋a0 的值 时，常用秦九韶算法，这种算法的运算次数较少，是多项式
规纳总结：辗转相除法是当大数除尽时，结束除法运 算，较小的数就是最大公约数；更相减损术是当大数减去小 数的差等于小数时停止减法，较小的数就是最大公约数．
第一章
1.3
第1课时
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(1)用辗转相除法求288与123的最大公约数． (2)用更相减损术求57与93的最大公约数． (3)求567与405的最小公倍数．
第一章
第1课时 辗转相除法与 更相减损术、秦九韶算法
第一章
算法初步
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修3
课前自主预习 基础巩固训练 思路方法技巧 能力强化提升 名师辨误做答
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课前自主预习
第一章
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anx＋an－1 设 v1＝___________，
v2＝v1x＋an－2， v3＝v2x＋an－3， „，
vn－1x＋a0 vn＝___________.
第一章
1.3
第1课时
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③程序： INPUT m，n DO r＝m m＝n n＝r
r＝0 LOOP UNTIL _______ m PRINT __
MOD n
END
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(2)更相减损术． 算法步骤： 第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是
第一章
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(3)程序框图如图所示．
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(4)程序： INPUT “n＝”；n INPUT “an＝”；a INPUT “x＝”；x v＝a i＝n－1 WHILE
区别 较少． ③相除余数为零 时得结果．
第一章
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名称
辗转相除法
更相减损术
①都是求最大公约数的方法． 联系 ②二者的实质都是逆归的过程． ③二者都要用循环结构来实现.
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他命令士兵 3 人一排，结果多出 2 名；接着命令士兵 5 人一 排，结果多出 3 名；他又命令士兵 7 人一排，结果又多出 2 名．韩信马上向将士们宣布：我军有 1073 名勇士，敌人不足 五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人．汉军本 来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下 凡”“神机妙算”．于是士气大振，一时间旌旗摇动，鼓声 喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团．交战不久，楚军大败 而逃．
新课引入
第一章
1.3
第1课时
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秦朝末年，楚汉相争．一次，韩信率 1500 名将士与楚王 大将李锋交战．苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死 伤四五百人，于是韩信整顿兵马返回大本营．当行至一山坡， 忽有后军来报，说有楚军骑兵追来．只见远方尘土飞扬，杀 声震天．汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗．韩信骑马到 坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌．
设计程序框图，用秦九韶算法求多项式的值，所选用的 结构是( )
A．顺序结构 B．条件结构 C．循环结构 D．以上都有
[答案] D
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思路方法技巧
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偶数 2 _____．若是，用___约简；若不是，执行第二步． 减 第二步，以较大的数___去较小的数，接着把所得的差与 大 小 较小的数比较，并以___数减___数．继续这个操作，直到所
得的差与减数相等为止， 则这个数(等数)或这个数与约简的数 的乘积就是所求的最大公约数．
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[解析]
(1)288＝123×2＋42,123＝42×2＋39，
42＝39×1＋3,39＝3×13， ∴288和123的最大公约数是3. (2)(93,57)―→(36,57)―→(36,21)―→(15,21)―→(15,6)―→ (9,6)―→(3,6)―→(3,3)， ∴93与57的最大公约数是3.
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1．3 算法案例
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这样的问题，也有人称为“韩信点兵”．它形成了一类 问题，也就是初等数论中解同余式．这类问题的有解条件和 解题方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出 的． 在本节中我们将通过一些典型的算法案例，来体会我国 古代数学的伟大成就和显著特色．
一次 求值比较先进的算法，其实质是转化为求 n 个______多项式 n n 的值，共进行__次乘法运算和__次加法运算．其过程是：
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改写多项式为： f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋„＋a1x＋a0 ＝(anxn－1＋an－1xn－2＋„＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋„＋a2)x＋a1)x＋a0＝„ ＝(„((anx＋an－1)x＋an－2)x＋„＋a1)x＋a0.
[解析] s＝1×2＋1＝3 时，i＝1＋1＝2；s＝3×2＋1＝7 时，i＝2＋1＝3；s＝7×2＋1＝15 时，i＝3＋1＝4，所以 s＝ 31.
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1 1 1 3．求满足1＋ 22 ＋ 32 ＋„＋ n2 >106的最小正整数n，要求 设计算法画出其程序框图，编写程序．
[答案]
D
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2．当 x＝2 时，下面程序的运行结果是________． i＝1 s＝1 WHILE i<＝4 s＝s*x＋1 i＝i＋1 WEND PRINT s END
[答案] 31
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(3)567＝405×1＋162 405＝162×2＋81 162＝81×2＋0 ∴81是567与405的最大公约数，从而567与405的最小公 倍数为567×405÷ 81＝2835.
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(2)算法步骤： 第一步，输入多项式的次数 n、最高次项的系数 an 和 x 的值． 第二步，将 v 的值初始化为 an，将 i 的值初始化为 n－1. 第三步，输入 i 次项的系数 ai. 第四步，v＝vx＋ai，i＝________. i－1
0 第五步，判断 i 是否大于或等于__.若是，则返回第三步； v 否则，输出多项式的值_____.
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用更相减损术检验： 80－36＝44， 44－36＝8， 36－8＝28， 28－8＝20， 20－8＝12， 12－8＝4， 8－4＝4. 故80和36的最大公约数是4.
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用更相减损术求 294 和 84 的最大公约数时，第一步是 ________．
[答案] 用 2 约简
由于 294 和 84 都是偶数，先用 2 约简．
[解析]
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2．秦九韶算法 (1)概念： 求多项式 f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋„＋a1x＋a0 的值 时，常用秦九韶算法，这种算法的运算次数较少，是多项式
规纳总结：辗转相除法是当大数除尽时，结束除法运 算，较小的数就是最大公约数；更相减损术是当大数减去小 数的差等于小数时停止减法，较小的数就是最大公约数．
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(1)用辗转相除法求288与123的最大公约数． (2)用更相减损术求57与93的最大公约数． (3)求567与405的最小公倍数．
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第1课时 辗转相除法与 更相减损术、秦九韶算法
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anx＋an－1 设 v1＝___________，
v2＝v1x＋an－2， v3＝v2x＋an－3， „，
vn－1x＋a0 vn＝___________.
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③程序： INPUT m，n DO r＝m m＝n n＝r
r＝0 LOOP UNTIL _______ m PRINT __
MOD n
END
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(2)更相减损术． 算法步骤： 第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是
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(3)程序框图如图所示．
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(4)程序： INPUT “n＝”；n INPUT “an＝”；a INPUT “x＝”；x v＝a i＝n－1 WHILE
区别 较少． ③相除余数为零 时得结果．
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1.3
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名称
辗转相除法
更相减损术
①都是求最大公约数的方法． 联系 ②二者的实质都是逆归的过程． ③二者都要用循环结构来实现.
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他命令士兵 3 人一排，结果多出 2 名；接着命令士兵 5 人一 排，结果多出 3 名；他又命令士兵 7 人一排，结果又多出 2 名．韩信马上向将士们宣布：我军有 1073 名勇士，敌人不足 五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人．汉军本 来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下 凡”“神机妙算”．于是士气大振，一时间旌旗摇动，鼓声 喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团．交战不久，楚军大败 而逃．
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秦朝末年，楚汉相争．一次，韩信率 1500 名将士与楚王 大将李锋交战．苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死 伤四五百人，于是韩信整顿兵马返回大本营．当行至一山坡， 忽有后军来报，说有楚军骑兵追来．只见远方尘土飞扬，杀 声震天．汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗．韩信骑马到 坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌．
设计程序框图，用秦九韶算法求多项式的值，所选用的 结构是( )
A．顺序结构 B．条件结构 C．循环结构 D．以上都有
[答案] D
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偶数 2 _____．若是，用___约简；若不是，执行第二步． 减 第二步，以较大的数___去较小的数，接着把所得的差与 大 小 较小的数比较，并以___数减___数．继续这个操作，直到所
得的差与减数相等为止， 则这个数(等数)或这个数与约简的数 的乘积就是所求的最大公约数．
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(1)288＝123×2＋42,123＝42×2＋39，
42＝39×1＋3,39＝3×13， ∴288和123的最大公约数是3. (2)(93,57)―→(36,57)―→(36,21)―→(15,21)―→(15,6)―→ (9,6)―→(3,6)―→(3,3)， ∴93与57的最大公约数是3.