样条插值
matlab在两个数据点之间插值一条曲线的方法
一、插值的定义在数学和计算机科学中，插值是指在已知数据点的基础上，利用插值算法来估算出在这些数据点之间未知位置上的数值。
插值可以用于生成平滑的曲线、曲面或者函数，以便于数据的分析和预测。
二、matlab中的插值方法在matlab中，有多种插值方法可以用来在两个数据点之间插值一条曲线。
这些方法包括线性插值、多项式插值、样条插值等。
下面我们将逐一介绍这些方法及其使用场景。
1. 线性插值线性插值是最简单的插值方法之一。
它的原理是通过已知的两个数据点之间的直线来估算未知位置上的数值。
在matlab中，可以使用interp1函数来进行线性插值。
该函数的调用格式为：Y = interp1(X, Y, Xq, 'linear')其中X和Y分别是已知的数据点的横纵坐标，Xq是待估算数值的位置，'linear'表示使用线性插值方法。
使用线性插值可以快速地生成一条近似直线，但是对于非线性的数据分布效果可能不佳。
2. 多项式插值多项式插值是利用多项式函数来逼近已知数据点之间的曲线。
在matlab中，可以使用polyfit和polyval函数来进行多项式插值。
polyfit函数用于拟合多项式曲线的系数，polyval函数用于计算多项式函数在给定点的数值。
多项式插值的优点是可以精确地通过已知数据点，并且可以适用于非线性的数据分布。
3. 样条插值样条插值是一种比较常用的插值方法，它通过在每两个相邻的数据点之间拟合一个低阶多项式，从而保证整条曲线平滑且具有良好的拟合效果。
在matlab中，可以使用splinetool函数来进行样条插值。
样条插值的优点是对于非线性的数据分布可以有较好的拟合效果，且能够避免多项式插值过拟合的问题。
4. 三角函数插值三角函数插值是一种常用的周期性数据插值方法，它利用三角函数（如sin和cos）来逼近已知数据点之间的曲线。
在matlab中，可以使用interpft函数来进行三角函数插值。
样条插值
作业
• 教材第146页习题：20、22、25、26
数值分析
数值分析
三次样条插值
数值分析
余下的n+3个条件的确定：
（1）n+1个插值节点条件，即s3(xk)=f(xk)=yk; （2）两个边界条件！
数值分析
三次样条插值的边界
数值分析
构造三次样条插值函数S ( x )的基本方法
(1)三弯矩插值法
（2）三转角方 （3）基于B样条的三次样条插值函数
数值分析
f (1.25) ≈ S (1.25) = S1 (1.25) = 1.0336,Q 1.25 ∈[1.2,1.4].
数值分析
数值分析
B（皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier））样条
数值分析
样条函数插值
定义：记
k ⎧ x , x≥0 k x+ = ⎨ ⎩ 0, x < 0
k x+ (k = 1, 2,L ) 称为 k 次半截单项式，并规定
• • • • • 一元函数插值（一元Lagrange插值） 二元函数插值（二元Lagrange插值） Hermite插值 分段低次插值 样条插值
数值分析
样条插值
• 分段低次插值，收敛性好，但光滑性不够理想。为了得到光 滑度更高的插值函数，引入样条插值函数。 • “样条”名词来源于工程中船体和汽车等的外形设计：给出 外形曲线上的一组离散点(样点),(xi , yi),i = 0, 1, 2, …, n, 将有弹性的细长木条或钢条(样条)在样点上固定,使其在 其它地方自由弯曲,这种样条所表示的曲线,称为样条曲线(函 数). • 这样，整个曲线不仅通过样点，并且在整个区间上其一阶 导数，二阶导数是连续的。
几种常用的插值方法
几种常用的插值方法常用的插值方法包括线性插值、多项式插值、样条插值和径向基函数插值等，下面将依次介绍这些方法。
1.线性插值：线性插值是最简单的插值方法之一，它假设函数在两个已知点之间的变化是线性的。
对于给定的两个点(x0,y0)和(x1,y1)，线性插值公式为：y=y0+(x-x0)*(y1-y0)/(x1-x0)其中，y是需要插值的点对应的函数值，x是插值点的横坐标。
2.多项式插值：多项式插值方法通过在给定的一组点上构建一个多项式函数来进行插值。
常用的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。
- 拉格朗日插值通过构建一个n次多项式来插值n+1个给定的点。
具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值公式为：y = Σ(yk * lk(x))其中，lk(x)是拉格朗日基函数，计算公式为：lk(x) = Π((x - xj) / (xi - xj))，(j ≠ i)- 牛顿插值通过构建一个n次插值多项式来插值n+1个给定的点。
具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，牛顿插值公式为：y = Σ(Π(x - xj) / Π(xi - xj) * finDiff(yj))其中，finDiff(yj)是每个节点的差商，计算公式为：finDiff(yj) = (ΣΠ(xj - xi) * yj) / ΣΠ(xi - xj)，(i ≠ j) 3.样条插值：样条插值方法通过使用分段函数来逼近给定的一组点。
常用的样条插值方法有线性样条插值和三次样条插值。
-线性样条插值在每两个相邻点之间使用线性函数进行插值，保证了插值函数的一阶导数是连续的。
-三次样条插值在每两个相邻点之间使用三次多项式进行插值，保证了插值函数的一阶和二阶导数都是连续的。
三次样条插值具有良好的平滑性和精度。
4.径向基函数插值：径向基函数插值是一种基于局部函数的插值方法，它假设函数值仅取决于与插值点的距离。
样条插值方法-空间分析-空间统计
空间统计方法-样条插值1. 样条插值拉格朗日插值和牛顿插值的结果中，插值函数的为n-1次多项式函数（n 是已知点的个数）。
当样本点很多时，多项式的次数会很高。
这会导致插值结果对已知点的取值非常敏感。
样条插值可以解决上述问题。
样条插值的基础是样条函数。
样条函数是一种特殊的函数，由多项式分段定义, 通常是指分段定义的多项式参数曲线。
在插值问题中，样条插值通常比多项式插值好用。
用低阶的样条插值能产生和高阶的多项式插值类似的效果，分段插值具有良好的稳定性和收敛性，可以避免被称为龙格现象的数值不稳定的出现。
并且低阶的样条插值还具有“保凸”的重要性质。
样条插值一般包括线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值，其中三次样条插值最为实用，本节主要介绍三次样条插值。
样条函数插值采用两种不同的计算方法：规则样条(Regularized Spline)和张力样条(Tension Spline)。
设在区间[a,b]上取n+1个节点01a x x x n b =<<<=L ，函数f(x)y =在各个节点处的函数值为f(x )(i 0,1,,1)i i y n ==-L ,若S(x)满足S(x )y ,(i 0,1,,1)i i n ==-L ；S (x )在区间[a ,b ]上具有连续的二阶导数；在每个小区间1[x ,x ](i 0,1,,1)i i n +=-L 上S(x)是三次多项式。
则称S(x)是函数y f(x)=在区间[a,b]上的三次样条插值函数。
从定义可知，要求出S(x)在每个小区间1[x ,x ](i 0,1,,1)i i n +=-L 上要确定4个待定系数，共有n 个小区间，根据上述条件(2)有S(x 0)S(x 0)i i -=+S (x 0)S (x 0),i 1,2,,1i i n ''-=+=-LS (x 0)S (x 0)i i ''''-=+共有3n-3个条件，再加上条件(1),共有4n-2个条件，因此还需2个条件才能确定S(x)，通常在区间[a,b]的端点0a x ,b x n ==上各加一个条件(称为边界条件)，可根据实际问题的要求给定。
样条插值
M j 1
j 1
, j 1, , n 1,
jM
其中
j
2M
jM
d j, ,d
j
j 1, , n 1, 6 f [ x j 1 , x j , x j 1 ].
h j 1 h j 1 h j
, j
hj h j 1 h j
解：这里 n 2，区间 [ 1,1]分为 [ 1，]， ，]两个子区间 0 [0 1 S (x) a x 3 b x 2 c x d , x [ 1, 0 ] 0 0 0 0 0 并设： S ( x ) 3 2 S 1 ( x ) a 1 x b1 x c 1 x d 1 , x [ 0 ,1] S 0 ( 1 ) 1, S 0 ( 0 ) 0 ： S 1 ( 0 ) 0 , S 1 (1) 1 a 0 b0 c 0 1 d 0 0 可得： d1 0 a b c 1 1 1 1
hj 6
M j
hj 3
M j 1
y j 1 y j hj
,
h j 1 6
M j 1 M j
j
h j 1 3 hj 6
M j
y j y j 1 h j 1 y j y j 1 h j 1
. y j 1 y j hj
h j 1 h j 3
j 1
S ( xi 0) S ( xi 0) S ( x i 0 ) S ( x i 0 ) S ( x 0 ) S ( x 0 ) i i
i 1, 2 , , n 1
共有3(n1)个条件。因此，要确定一个三次样条函数，还需要另 增加4n3(n1) = n+3 个条件。 利用样条函数进行插值，即取插值函数为样条函数，称为样条 插值。例如 分段线性插值是一次样条插值。 已知函数y = f (x)在区间[a, b]上的n +1个节点a = x0<x1<… < xn = b上的值yj=f (xj)(j=0,1,…,n)，求插值函数S (x)使其满足：
第2章-插值法(Hermite插值,样条插值)
2.5 埃尔米特插值法
Newton插值和Lagrange插值虽然构造比较简单，但都存 在插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节 点处不可导等缺点
问题的提出： 不少实际问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要 求它的导数值也相等（即要求在节点上具有一阶光滑度）， 甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是 埃尔米特（Hermite）插值多项式。下面只讨论函数值与导数 值个数相等的情况。
由 j ( x j ) 1 ，可得
Cj
1 ( x j x0 ) 2 ( x j x1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j xn ) 2
故
j ( x) ( x x j )
( x x0 ) 2 ( x x1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x xn ) 2 ( x j x0 ) 2 ( x j x1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j xn ) 2
( x x j )l j 2 ( x)
2016/8/14 6
（ii）由条件(1)可知，x0 , x1,, x j 1, x j 1,, xn都是 j ( x)的二重根，令
j ( x) C j (ax b)( x x0 ) 2 ( x x1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x xn ) 2
17
即
x x1 x x0 2 0 ( x) (1 2l1 ( x)) l0 ( x) 1 2 x x x0 x1 1 0
第三章(二) 埃尔米特-样条插值法
2
x x1 x x 0 h1 ( x ) 1 2 x x . x1 x 0 1 0
2
设
x x1 g 0 (x) a(x x0 ) , x 0 x1
2
∵g0(x0)=g0(x1)=0, g'0(x1)=0
据用得越多越好，解决这一矛盾的办法就是改用分段低次插值。
所谓分段低次插值就是用分段多项式来代替单个高阶多项式
作插值，即先把整个插值区间分成若干个小区间，然后在每个子 区间上分别用低次插值多项式（如线性插值或抛物线插值等）， 然后再将每个子区间上的插值函数拼接在一起，作为整个插值区 间上的插值函数。
• 分段线性插值
2
2
x x1 x x 0 h1 ( x ) 1 2 . x1 x 0 x1 x 0
2
2
x x1 x x0 g 0 (x) (x x0 ) , ( x ) ( x x1 ) g1 . x 0 x1 x1 x 0
, [ 1,1]. 0 ( x ) ? x L1
将[−1,1]10等分，步长 h = 2/10 = 0.2, 取节点 xi = −1 + 0.2i, i =
0,1,2,…,10。以 (xi, f(xi))为插值点，构造L10(x)：
Ｌ1 0 ( x )
) f ( x i ) li ( x )
先构造 h0(x), 设
由h0(x0) = 1,
x x1 h0 ( x ) (a bx ) . x 0 x1
2
∵h0(x1)=h'0(x1)=0
供电工程插值法计算公式
供电工程插值法计算公式插值法是一种常用于在数据集中进行估计或近似的方法。
在供电工程中，插值法常用于计算电力系统中电压、电流、功率等参数的值。
以下是供电工程中常见的插值法计算公式：1. 线性插值法线性插值法是一种简单的插值方法。
假设有两个数据点(x1, y1)和(x2, y2)，并且要在这两个数据点之间估计一个新的数据点(x, y)。
那么，线性插值法的计算公式如下：y = y1 + (y2-y1)/(x2-x1) * (x-x1)2. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种多项式插值方法，可以用于任意数量的数据点。
假设有n个数据点(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)，并且要在这些数据点之间估计一个新的数据点(x, y)。
那么，拉格朗日插值法的计算公式如下：y = ∑i=1n yi * li(x)其中，li(x)是拉格朗日插值多项式的第i项，它的计算公式如下：li(x) = ∏j=1,j≠i n (x-xj)/(xi-xj)3. 样条插值法样条插值法是一种基于插值多项式的方法，可以产生一条光滑的曲线，而不是像线性插值和拉格朗日插值一样产生尖锐的拐点。
假设有n个数据点(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)，并且要在这些数据点之间估计一个新的数据点(x, y)。
那么，样条插值法的计算公式如下：y = Si(x)其中，Si(x)是样条函数的第i段，它的计算公式如下：Si(x) = ai + bi(x-xi) + ci(x-xi)2 + di(x-xi)3 其中，ai, bi, ci, di是样条函数的系数，可以通过求解一个线性方程组得到。
以上是供电工程中常用的插值法计算公式，可以根据不同的数据集和需求选择合适的方法进行计算。
样条函数与样条插值
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
当n =2 时，有三点二次（抛物线）插值多项式：
P2
(x)
(x (x0
x1 x1
)(x x2 ) )(x0 x2
)
y0
(x (x1
x0 x0
)( )(
x x2) x1 x2 )
y1
(x (x2
x0 x0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7
2019年7月23日
1. 样条函数的概念
若 s(x) SP (, k) ，则 s(x) 是关于△的 k 次多项式
样条函数。一般形式为：
sk (x)
k jxj
j0 j!
n1 j 1
j
k!
(x
x j )k
其中 (x
x
j
)
k
(x x j )k , x 0, x x j
0,1,2,, (或s2 '(xn )
n)
y
n
'
)
10
2019年7月23日
二、样条函数与样条插值
2. 样条函数插值
（1）二次样条插值: 二次样条函数 s2 (x) 可分
为两类插值问题：
2). 给 定 插 值 节 点 xi 和 相 应 的 导 数 值 yi (i 0,1,2, , n) ，以及端点 x0 (或 xn )处的函数值
)( )(
x x1) x2 x1
)
y2
另外还有著名的Newton插值和Hermite插值等。
样条插值.ppt
＋mk 1hk 1 6
dk1
其中dk
yk1 hk
yk
而一阶导函数在xk点连续,即 sk ( xk ) sk1( xk )从而得
hk1mk1 2(hk1 hk )mk hk mk1 6(dk dk1 ) uk , k 1, 2,，n 1
h0m0 2(h0 h1 )m1 h1m2 u1
x xk
3
yk hk
mk hk 6
xk1 x
yk1 hk
mk 1 hk 6
x xk
表达式化为只含{mk}形式，再将xk点代入方可求出未 知{mk}，求导
sk
(
x
)
mk 2hk
xk1 x
2 mk1 2hk
x xk
2
yk hk
mk hk 6
yk 1 hk
mk 1hk 6
有用。
hk1mk1 2(hk1 hk )mk hk mk1 uk
v1 h1
h1
v2
h2
m1 u1
m2
u2
OO O
M M
hn3
vn2
hn
2
mn
2
un2
hn2 vn1 mn1 un1
16
24
已知(0,0),(1,0.5),(2,2.0),(3,1.5), 求三
sk( x)
mk hk
xk1 x
mk1 hk
x xk
xk x xk1, k 0,1,L , n 1
将上次积分两次，引入两个积分常数，得如下形式
sk
(x)
mk 6hk
xk1 x
3 mk1 6hk
x xk 3 pk
xk1 x qk
样条插值方法
样条插值方法
样条插值方法是一种通过拟合数据点之间的曲线来推断数据点之间的数值的方法。
它基于一组已知数据点，利用滑动平滑的曲线来建立模型，并通过这些曲线来预测未知数据点的数值。
具体来说，样条插值方法可以通过以下步骤进行：
1. 确定插值函数的类型：常见的插值函数类型有线性插值、二次插值和三次样条插值等。
根据问题的特点选择适合的插值函数类型。
2. 确定插值节点：选择一组已知数据点来进行插值。
这些数据点可以是问题中已知的实际观测值，或通过其他方法得到的估计值。
3. 构建插值模型：利用已知数据点和插值函数类型，建立插值模型。
具体的建模方法根据插值函数类型而定，可以是线性方程组的求解、Lagrange插值、Newton插值或三次样条插值等。
4. 拟合曲线：通过插值模型，得到一组曲线函数，将这些函数与已知数据点进行拟合。
通过拟合数据点，可以调整曲线的参数，使它们尽可能地接近已知数据点。
5. 预测未知数据点的数值：利用拟合的曲线函数，对未知数据点进行数值推断。
通过将未知数据点代入插值模型中的曲线函数，可以得到对应的数值。
需要注意的是，样条插值方法在一些情况下可能会出现过度拟合的问题，即拟合曲线过于复杂，对已知数据点过度敏感。
为了解决这个问题，可以采用不同的插值函数类型，或者通过降低插值函数的阶数来减小拟合误差。
常见的插值方法及其原理
常见的插值方法及其原理插值是指在已知数据点的情况下，根据其中一种规则或算法，在这些数据点之间进行预测或估计。
常见的插值方法有：拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、样条插值和Kriging插值等。
1.拉格朗日插值方法：拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。
它假设已知数据点的函数曲线可以由一个多项式来表示。
拉格朗日插值的原理是，通过确定多项式的系数，使多项式在已知数据点上满足给定的函数值。
具体地说，对于给定的一组已知数据点和对应的函数值，拉格朗日插值方法通过构造一个多项式，使得该多项式在每个数据点上的函数值等于给定的函数值。
然后，通过该多项式在插值点上的函数值来估计未知数据点的函数值。
2.牛顿插值方法：牛顿插值也是一种基于多项式的插值方法，其原理类似于拉格朗日插值。
它也是通过确定多项式的系数，使多项式在已知数据点上满足给定的函数值。
不同的是，牛顿插值使用了差商的概念，将插值多项式表示为一个累次求和的形式。
具体地说，对于给定的一组已知数据点和对应的函数值，牛顿插值方法通过差商的计算，得到一个多项式表达式。
然后，通过该多项式在插值点上的函数值来估计未知数据点的函数值。
3.分段线性插值方法：分段线性插值是一种简单而常用的插值方法。
它假设在两个相邻已知数据点之间的曲线是一条直线。
分段线性插值的原理是，通过连接相邻数据点之间的线段，构造一个连续的曲线。
具体地说，对于给定的一组已知数据点和对应的函数值，分段线性插值方法将曲线划分为若干小段，每一小段都是一条直线。
然后，在每个数据点之间的区域上，通过线性插值来估计未知数据点的函数值。
4.样条插值方法：样条插值是一种基于插值条件和光滑条件的插值方法。
它假设在两个相邻已知数据点之间的曲线是一个低次数的多项式。
样条插值的原理是，通过确定各个数据点之间的插值多项式系数，使得整个曲线在插值点上的各阶导数连续。
具体地说，对于给定的一组已知数据点和对应的函数值，样条插值方法将曲线划分为若干小段，每一小段都是一个低次数的多项式。
数值分析常用的插值方法
数值分析常用的插值方法数值分析中常用的插值方法有线性插值、拉格朗日插值、分段线性插值、Newton插值、Hermite插值、样条插值等。
下面将对这些插值方法进行详细介绍。
一、线性插值（linear interpolation）线性插值是最简单的插值方法之一、假设已知函数在两个点上的函数值，通过这两个点之间的直线来估计中间点的函数值。
线性插值公式为：f(x)=f(x0)+(x-x0)*(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(x0)和f(x1)是已知的两个点上的函数值，x0和x1是已知的两个点的横坐标。
二、拉格朗日插值（Lagrange interpolation）拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。
它通过多个已知点的函数值构造一个多项式，并利用这个多项式来估计其他点的函数值。
拉格朗日插值多项式的一般形式为：f(x) = Σ[f(xi) * Li(x)] (i=0,1,2,...,n)其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(xi)是已知的多个点的函数值，Li(x)是拉格朗日基函数。
拉格朗日基函数的表达式为：Li(x) = Π[(x-xj)/(xi-xj)] (i≠j，i,j=0,1,2,...,n)三、分段线性插值（piecewise linear interpolation）分段线性插值是一种逐段线性近似函数的方法。
通过将整个插值区间分成多个小段，在每个小段上使用线性插值来估计函数的值。
分段线性插值的过程分为两步：首先确定要插值的点所在的小段，在小段上进行线性插值来估计函数值。
四、Newton插值（Newton interpolation）Newton插值也是一种基于多项式的插值方法。
利用差商的概念来构造插值多项式。
Newton插值多项式的一般形式为：f(x)=f(x0)+(x-x0)*f[x0,x1]+(x-x0)*(x-x1)*f[x0,x1,x2]+...其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(x0)是已知的一个点的函数值，f[xi,xi+1,...,xi+k]是k阶差商。
样条插值
样条插值在数值分析这个数学分支中，样条插值是使用一种名为样条的特殊分段多项式进行插值的形式。
由于样条插值可以使用低阶多项式样条实现较小的插值误差，这样就避免了使用高阶多项式所出现的龙格现象，所以样条插值得到了流行。
目录• 1 定义• 2 样条插值• 3 线性样条插值• 4 二次样条插值• 5 三次样条插值o 5.1 三次样条的最小性o 5.2 使用自然三次样条的插值• 6 示例o 6.1 线性样条插值o 6.2 二次样条插值•7 参见定义假设有n+1 个不同的节点x i以及n+1 个节点值y i，我们要找到一个n阶样条函数其中每个S i(x) 都是一个k阶的多项式。
样条插值使用多项式插值，对给定数据集进行插值的n阶多项式就被给定数据点所唯一地定义出来。
但是，对同样的数据进行插值的n阶样条并不是唯一的，为了构建一个唯一的样条插值式它还必须满足另外n-1 个自由度。
线性样条插值线性样条插值是最简单的样条插值。
数据点使用直线进行连接，结果样条是一个多边形。
从代数的角度来看，每个S i都是一个如下的线性函数。
样条在每个数据点都必须连续，即我们很容易得到所以以上论述成立。
二次样条插值二次样条插值可以构建为通过选择z0，然后用递推关系就可以得到系数：三次样条插值对于n+1 个给定点的数据集 {x i} ，我们可以用n段三次多项式在数据点之间构建一个三次样条。
如果表示对函数f进行插值的样条函数，那么需要：•插值特性，S(x i)=f(x i)•样条相互连接，S i-1(x i) = S i(x i), i=1,...,n-1•两次连续可导，S'i-1(x i) = S'i(x i) 以及S''i-1(x i) = S''i(x i), i=1,...,n-1.由于每个三次多项式需要四个条件才能确定曲线形状，所以对于组成S的n个三次多项式来说，这就意味着需要 4n个条件才能确定这些多项式。
数值计算_样条插值方法
多项式插值方法—样条插值-5-4-3-2-1012345-0.500.511.52f (x)P 5(x)P 10(x)当插值节点过多→龙格现象插值多项式虽然满足插值条件，但是在节点之外，靠近插值区间端点处与实际函数偏离较大，出现了震荡现象如何解决龙格现象？☐根据数据特点选用三角函数或有理函数☐由于多项式的优良性能，更偏爱多项式☐使用分段函数数学模型，在较小的区间段上使用低次多项式插值要点与学习目标☐掌握样条插值的概念和数学模型☐了解样条插值函数系数的确定方法样条插值☐改善分段线性插值和二次插值的精度☐保持曲线的光滑性☐样条的概念三次样条插值函数对于给定的函数表 x)(x f yxx 1xny 1yn思考：根据该定义，关于四个节点的三次样条插值函数的数学模型是什么？需要多少个约束方程才能确定该样条？分段样条插值的数学模型231101112130123220212223122333031323323()=,[,]()()=,[,]()=,[,]S x a a x a x a x x x x S x S x a a x a x a x x x x S x a a x a x a x x x x ⎧+++∈⎪=+++∈⎨⎪+++∈⎩以四个节点为例，四个节点的样条插值函数思考：该函数能否由节点数据完全确定？231101112130123220212223122333031323323()=,[,]()()=,[,]()=,[,]S x a a x a x a x x x x S x S x a a x a x a x x x x S x a a x a x a x x x x ⎧+++∈⎪=+++∈⎨⎪+++∈⎩(0)(0)(1,2,...,1)'(0)'(0)(1,2, (1)''(0)''(0)(1,2, (1)()(0,1,...,)i i i i i ii i S x S x i n S x S x i n S x S x i n S x y i n -=+=-⎧⎪-=+=-⎪⎨-=+=-⎪⎪==⎩样条插值问题的边界条件归根到底，样条插值问题是线性方程组求解的问题。
4.3 样条函数插值
相同数据3次样条插值与 相同数据3次样条插值与Lagrangr插值效果比较 插值效果比较
Cubic Spline Interpolation
Lagrangr Interpolation
如果采用分段多项式插值, 如果采用分段多项式插值, 则由于插值基函数只 是局部活跃(它们的支集是局部紧致的), 结点上的误 局部活跃(它们的支集是局部紧致的), 结点上的误 支集是局部紧致的 差可以被控制在小的范围内, 因而也带来了内在的高 差可以被控制在小的范围内, 因而也带来了内在的高 度稳定性. 这是分段插值的一大优势! 度稳定性. 这是分段插值的一大优势! 许多实际问题希望插值函数具有较高阶的整体光 许多实际问题希望插值函数具有较高阶的整体光 滑性. 此时, 高次Hermite插值或分段高次 插值或 滑性. 此时, 高次 插值 分段高次Hermite插 插 可以利用(注意:分段高次Lagrange插值和 插值和Newton插 值可以利用(注意:分段高次 插值和 插 值等是做不到的, 值等是做不到的,在插值结点上它们只能保证插值函 数连续). 数连续). 注:函数 的支集 Supp 定义为 f ( x) f
a
a
4.8.2 一般 k 次样条
定义4.8.1( 次样条函数) 定义4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ8.1( k 次样条函数)设 π 是区间 或分割， 或分割，即
,b] [ a上的一个分划
π : a = x0 < x1 < L < xn 1 < xn = b
称 S (为定义在区间 上关于分划 的一个 次样条 k x) [a , b ] π 函数, 函数,如果 :S 节点 xi处 S 的 k 阶导数 , xi ) (1) 在每一区间 [ xi 1上是次数 间断,因而转折灵活 的多项式. 不超过 的多项式. k (2)在区间 (2)在区间 [ a上是 次连续可微的. , b ] 次连续可微的. k 1
样条插值法
样条插值法
样条插值法是一种用于拟合函数和曲线的数学方法。
它通过在已知点之间插入样条曲线，以模拟给定函数或曲线的形状，从而获得更精确的结果。
样条插值法的优点是曲线在所有拟合点处都是光滑的，而不需要太多的样条曲线段，这使得它更加灵活，可以用于复杂的函数和曲线。
样条插值法在计算机图形学中有广泛的应用，可以用来拟合点，构建复杂的三维曲面，以及提供非常精确的曲线拟合。
此外，它还可以用于数据拟合，图像处理，信号处理，机器学习等。
样条插值法是一种灵活，有效，高效的数学方法，可以用于多种应用场景，从而提供更准确，更精确的结果。
样条插值方法-空间分析-空间统计
空间统计方法-样条插值1. 样条插值拉格朗日插值和牛顿插值的结果中，插值函数的为n-1次多项式函数（n 是已知点的个数）。
当样本点很多时，多项式的次数会很高。
这会导致插值结果对已知点的取值非常敏感。
样条插值可以解决上述问题。
样条插值的基础是样条函数。
样条函数是一种特殊的函数，由多项式分段定义, 通常是指分段定义的多项式参数曲线。
在插值问题中，样条插值通常比多项式插值好用。
用低阶的样条插值能产生和高阶的多项式插值类似的效果，分段插值具有良好的稳定性和收敛性，可以避免被称为龙格现象的数值不稳定的出现。
并且低阶的样条插值还具有“保凸”的重要性质。
样条插值一般包括线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值，其中三次样条插值最为实用，本节主要介绍三次样条插值。
样条函数插值采用两种不同的计算方法：规则样条(Regularized Spline)和张力样条(Tension Spline)。
设在区间[a,b]上取n+1个节点01a x x x n b =<<<=L ，函数f(x)y =在各个节点处的函数值为f(x )(i 0,1,,1)i i y n ==-L ,若S(x)满足S(x )y ,(i 0,1,,1)i i n ==-L ；S (x )在区间[a ,b ]上具有连续的二阶导数；在每个小区间1[x ,x ](i 0,1,,1)i i n +=-L 上S(x)是三次多项式。
则称S(x)是函数y f(x)=在区间[a,b]上的三次样条插值函数。
从定义可知，要求出S(x)在每个小区间1[x ,x ](i 0,1,,1)i i n +=-L 上要确定4个待定系数，共有n 个小区间，根据上述条件(2)有S(x 0)S(x 0)i i -=+S (x 0)S (x 0),i 1,2,,1i i n ''-=+=-LS (x 0)S (x 0)i i ''''-=+共有3n-3个条件，再加上条件(1),共有4n-2个条件，因此还需2个条件才能确定S(x)，通常在区间[a,b]的端点0a x ,b x n ==上各加一个条件(称为边界条件)，可根据实际问题的要求给定。
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1.5
1
0.5
0
越大，称为 Runge 现象
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-0.5 -5
高次插值要慎用，一般采用分段低次插值
分段线性插值 /* piecewise linear interpolation */ 在每个区间[ xi , xi 1 ] 上，用1阶多项式 (直线) 逼近 f (x):
f ( x ) P1 ( x ) x x i 1 x xi yi y i 1 x i x i 1 x i 1 x i
for x [ xi , xi 1 ]
一致
记 h max| xi 1 xi | ，易证：当 h 0 时，P1h ( x ) f ( x)
WuHan University
高次Hermite插值在许多场合中看不中用! •提高Hermite插值多项式的次数就要增加约束条件 ——给出插值结点处被插函数及其直到足够高阶 导数之值. •作为约束条件的所有数据都是通过观测得到的,而 观测总难免有误差. 于是 高次插值不仅增添了数据准备和计算的困 难,也将导致更大的误差.
5.3 样条插值
前面我们根据区间[a,b]上给出的节点做 插值多项式Ln(x)近似表示f (x)。一般总 以为Ln(x)的次数越高，逼近f (x)的精度 越好，但实际并非如此，次数越高，计 算量越大，也不一定收敛。
例：在[5, 5]上考察 f ( x )
2.5
1 1 x2
的Ln(x)。取 xi 5 10 i (i 0, ... , n)
记 lj
1 j n 1
即：有n+1 个未知数， n1 个方程。
m1
2 l1
m n 1
还需2个边界条件 /* boundary conditions */
g 1 2 l n 1 g n 1 M n
解 （1）由前面的公式，可知
h
i
1( i 0,1,2),
l
0
1,
m
3 1, l1 l 2 m m12
0.5 。
经简单计算有
g 1.8, g 3, g 6, g
0 1 2
3
3
2 0.5
1 2 0.5
0.5 2 1
先消去 M 0 和
第1类边条件 /* clamped boundary */： S’(a) = y0’， S’(b) = yn’
2 2 M M0 ( x x ) ( x a ) 1 M1 f [ x0 , x1 ] 1 [a , x1 ]: S[1]’(x) = M0 h1 2h1 2h1 6 2 M 0 M 1 6 ( f [ x 0 , x1 ] y0’) g 0 类似地利用[ xn1, b ] h1 上的 S[n]’(x) M n 1 2 M n 6 ( yn’ f [ x n 1 , x n ]) g n hn 第2类边条件： S”(a) = y0” = M0， S”(b) = yn” = Mn
其中a j , b j , c j .d j为待定常数，插值条件 为： （ 1 ）s ( x j ) f ( x j ) （j 0,1,...,n）； (2) (n 1)内节点处连续及光滑性 条件： s ( x j 0) s ( x j 0) s( x j 0) s( x j 0) j 1,2,...,n 1 s( x j 0) s( x j 0)
j j
对应力学中的梁弯矩，故名
积分2次，可得 S[j]’(x) 和 S[j](x) ：
2 2 ( x x ) ( x x ) j 1 Mj Aj S[j]’(x) = M j 1 j 2h j 2h j
利用已知
S[j](xj1) = yj1 S[j](xj) = yj
( x j x) ( x x j 1 ) [ j ] Mj Aj x B j S (x) = M j 1 6hj 6hj
利用S[j]’(xj) = S[j+1]’(xj)，合并关于Mj1、 Mj、 Mj+1的同类项，并
h j 1 , m j 1 l j , g j 6 ( f [ x j , x j1 ] f [ x j 1 , x j ]) , 整理 h j h j 1 hj hj 1 M0 后得到： m j M j 1 2 M j l j M j 1 g j
三次样条函数
/* Cubic Spline */
2
定义 设 a x0 x1 ... xn b 。三次样条函数 S( x) C
[a, b]
,
且在每个[ xi , xi 1 ]上为三次多项式 /* cubic polynomial */。若它同
时还满足 S( xi ) f ( xi ), (i 0, ... , n)，则称为 f 的三次样条插值函
(2) 在每个小区间 [ x j 1 , x j ]( j 1,2,...,n)上s ( x)是不超过
三次样条插值
设三次样条函数 s ( x)在每个子区间 [ x j 1 , x j ]上有表达式 s( x) s j ( x) a j x 3 b j x 2 c j x d j x ( x j 1 , x j ), j 1,2...n
注：一般不取一端是一阶导数而另一端是二阶导数。
构造三次样条插值函数的三弯矩法
/* method of bending moment */
在 [ x j 1 , x j ]上，记 hj x j x j 1 , S ( x ) S [ j ] ( x ) for x [ x j 1 , x j ] 则 S[j]”(x) 为 1 次多项式，需 2 个点的值确定之。 设 S[j]”(xj1) = Mj1， S[j]”(xj) = Mj 对于x [xj1, xj ] 可得到 对每个j, 此为3 次多项式 x x x x j 1 j [ j ] S ”(x) = M j 1 h M j h
WuHan University
还有许多应用不仅要求插值函数具有足够高阶的整体光 滑性, 还要求在某些结点处转折灵活. 例如 汽车、船的 外形设计，流体力学等要求流线型（光滑）. 这就导致本节要 讨论的样条函数(Spline)插值.
数学里的样条( Spline )一词来源于它的直观几何 背景：绘图员或板金工人常用弹性木条或金属条加压 铁(构成样条!)来绘制或者放样成光顺曲线或者曲面.
yn = y0 ， M0 = Mn S’(a+) = S’(b)
m 2 ln
1
2
l2
m n 1
2
mn
l n 1 2 M n gn
这时： ; m n 0 , gn 2 y l0 0 , g0 2 y0 n 特别地，M0 = Mn = 0 称为自由边界 /* free boundary */，对应的 样条函数称为自然样条 /* Natural Spline */。 第3类边条件 /* periodic boundary */ ： m M g 2 l 当 f 为周期函数时，
三次样条插值
对于待定系数a j , b j , c j .d j j 1,2,...n,即4n个未知系数，
而插值条件为 4n 2个，还缺两个，因此须 给出两个 条件称为边界条件，有 以下三类： 第一类 已知两端点的一阶导数 s( x0 ) f ( x0 ) m0 s( xn ) f ( xn ) mn
三次样条插值
第二类： .已知两端点二阶导数 s( x0 ) f ( x0 ) M 0 s( xn ) f ( xn ) M n 当M 0 M n 0时为自然边界条件 第三类：周期边界条件 s ( x0 ) s ( xn ) s( x0 0) s( xn 0) s( x0 0) s( xn 0)
n
2
Ln(x) f ( x)
Remember what I have said? Increasing the degree of interpolating polynomial will NOT guarantee a good result, since high-degree polynomials are n 越大， oscillating. 端点附近抖动
数 /* cubic spline interpolant */. 注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自 身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需 要）；而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。
f(x) H( x )
S( x )
三次样条插值
定义 设函数f ( x)是区间 [a, b]上的二次连续可微函数 ， 在区间 [a，b]上给出一个划分 ：a x0 x1 ... xn 1 xn b 如果函数s ( x)满足条件 （ 1） s( x j ) f ( x j ) 三次多项式； (3) 在开区间（a, b）上s( x)有连续的二阶导数 , 则称s ( x)为区间 [a, b]对应于划分的三次样条函数。 ( j 0,1,2,...n);
3 3
可解
yj yj1 Mj Mj1 Aj hj hj 6
M j 1 2 x j x M j 2 x x j 1 ( yj Aj x Bj ( y j 1 hj ) hj ) 6 hj 6 hj
下面解决 Mj ： 利用S’ 在 xj 的连续性