高中数学第四课时23从速度的倍数到数乘向量教案北师大版
北师大版高中数学必修四陕西省西安第二章从速度的倍数到数乘向量教案
2.3从速度的倍数到数乘向量（2课时）一、教学目标： 1.知识与技能（1）要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义.（2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。
（3）要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。
（4）通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。
2.过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：1．“模”与“方向”两点) 2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）），在此基础上得到数乘运算的几何意义；通过正交分解得到平面向量基本定理（定理的本身及其实质）。
为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积以及平面向量基本定理有了较深的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点: 1. 实数与向量积的定义及几何意义.2.平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示 难点: 1. 实数与向量积的几何意义的理解. 2. 平面向量基本定理的理解. 三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】1．思考: （引入新课）已知非零向量a 作出a +a +a 和( a )+( a )+( a )OC =BC AB OA =a +a +a =3aPN =MN QM PQ =( a )+( a )+( a )= 3a讨论：① 3a 与a 方向相同且|3a |=3|a |aa aa O A B C aa a aN M QP② 3a 与a 方向相反且| 3a |=3|a |2．从而提出课题：实数与向量的积；实数λ与向量a 的积，记作：λa定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa①|λa |=|λ||a|②λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=0（请学生自己解释其几何意义）[展示投影]例题讲评（学生先做，学生评，教师提示或适当补充） 例1.（见P96例1）略 [展示投影]思考：根据几何意义，你能否验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）结合律：λ(μa )=(λμ)a ① 第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa② 第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，a =0至少有一个成立，则①式成立如果λ 0，μ 0，a 0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a | |(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a| ∴|λ(μa )|=|(λμ)a|如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a同向； 如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a 反向。
北师大版高中高二数学必修4《从速度的倍数到数乘向量》说课稿
北师大版高中高二数学必修4《从速度的倍数到数乘向量》说课稿一、课程背景和意义这一节课是关于高中高二数学必修4的内容，主题是从速度的倍数到数乘向量。
通过本节课的学习，学生将会了解速度的倍数与数乘向量之间的联系，掌握数乘向量的运算规则和性质，进一步提高解决实际问题的能力。
二、教学目标通过本节课的学习，学生将能够： - 理解速度的倍数与数乘向量的概念； - 掌握数乘向量的运算规则和性质； - 运用数乘向量解决实际问题； - 培养分析问题的能力和逻辑思维能力； - 培养团队合作和沟通能力。
三、教学重点和难点1. 教学重点•数乘向量的概念和运算规则；•实践应用数乘向量解决问题的能力。
2. 教学难点•数乘向量的实际应用；•创新思维和问题解决能力的培养。
四、教学内容和方法1. 教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个方面： - 速度的倍数与数乘向量的关系； - 数乘向量的运算规则和性质； - 数乘向量在实际中的应用。
2. 教学方法•情景引入法：通过教师提供的真实案例引发学生的兴趣和思考，引入本节课的主题；•讲解演示法：通过教师的解释和示范，讲解速度的倍数与数乘向量的关系，以及数乘向量的运算规则和性质；•实例分析法：通过解析实际问题的解决过程，让学生理解和掌握数乘向量的应用方法；•合作探究法：将学生分成小组，让他们合作解决数乘向量的实际问题，培养团队合作和沟通能力。
五、教学步骤步骤一：情景引入（5分钟）•通过一个真实案例引起学生的思考：小明骑自行车匀速行驶，小刚骑自行车以小明的2倍速度行驶，请问小刚的速度是小明的几倍？•引导学生思考速度的倍数与数乘向量之间的关系，引出本节课的主题。
步骤二：讲解速度的倍数与数乘向量的概念（15分钟）•讲解速度的倍数的概念：一个速度是另一个速度的倍数，可以用数乘的概念表示。
•讲解数乘向量的概念和运算规则：向量乘以一个实数，可以改变向量的长度和方向。
•通过示例演示速度的倍数与数乘向量的关系。
高中数学 第二章 平面向量 2.3 从速度的倍数到数乘向量知识导航学案 北师大版必修4
§3 从速度的倍数到数乘向量知识梳理1.向量数乘（1）定义：一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa .λa 的长度与方向规定如下：|λa |=|λ||a |；当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λa =0.（2）向量数乘的运算律设λ、μ是实数，则有λ(μa )=(λμ)a ；(λ+μ)a =λa +μ a ；λ(a +b )=λa +λb .（3）向量数乘的几何意义：λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或a 的反方向扩大或缩小|λ|倍.2.向量的线性运算（1）向量的加法、减法和向量数乘的综合运算，叫做向量的线性运算.若一个向量c 是由另一些向量的线性运算得到的，我们就说这个向量c 可以用另一些向量线性表示.（2）向量的线性运算也叫向量的初等运算.它们的运算法则在形式上很像实数加、减法、乘法满足的运算法则，但它们在具体含义上是不同的.不过由于它们在形式上相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方法在向量的线性运算中都可以使用.3.向量共线的判定定理和性质定理判定定理：如果a =λb ，则a ∥b ；性质定理：如果a ∥b （b ≠0），则一定存在一个实数λ，使得a =λb .4.平面向量基本定理如果e 1和e 2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a =a 1e 1＋a 2e 2.我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为｛e 1，e 2｝，a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底｛e 1，e 2｝的分解式.5.直线的向量参数方程式已知A 、B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点，则对于直线l 上任一点P ，存在实数ｔ，使=(1-t)+t ,这个等式又称为直线l 的向量参数方程式.知识导学1.一个向量用其他向量的线性运算来表示是解决这一类问题的关键，注意转化与化归的思想应用.2.灵活、适当地选择一组平面向量基底来表示其他未知向量是正确解决向量问题的前提.3.在解决问题时，一定要自觉作出草图来寻找解题思路，重视数形结合思想的运用. 疑难突破1.向量共线定理有何应用？剖析：学习了平行向量基本定理后，对定理的应用陷入茫然.其突破方法是对平行向量基本定理的结论的理解不够彻底.下面分三方面来讨论.（1）判定定理的结论是a ∥b ，那么用平行向量基本定理可以证明两向量共线. 例如：设=a ，=b ，=21（a +b ）,求证：∥. 证明：由题意得=b -a ，=-=21（b +a ）-b =21（a -b ），∴BC =-21AB . ∴∥.由此可见，证明向量a ∥b ，只需找到满足a =λb 的实数λ的一个值即可.（2）判定定理的结论是a ∥b ，则有当=a ，=b 时，有O 、A 、B 三点共线，即用平行向量基本定理可以证明三点共线. 例如：设=a ，=b ，=21（a +b ）,求证：A 、B 、C 三点共线. 证明：由题意得=b -a . =-=21（a +b ）-b =21（a-b ）, ∴=21.∴∥. ∴A、B 、C 三点共线.由此可见，三点共线问题通常转化为向量共线问题.（3）判定定理的结论是a ∥b ，当a 和b 所在的直线分别是直线m 和n 时，则有直线m 、n 平行或重合,即用平行向量基本定理可以证明两直线平行.例如：如图2-3-1，已知△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，并且AD=xAB ，AE=xAC,0＜x ＜1.图2-3-1求证：DE ∥BC 且DE=xBC.证明：∵AD=xAB ，AE=xAC ， ∴=x ，=x . ∴=-=x(AC -)=x BC . ∴DE ∥BC .∴DE ∥BC 且DE=xBC.由此可见，证明两直线平行转化为证明它们的方向向量共线.（4）性质定理的结论是a =λb ，则有|a |=|λ|·|b |，当=a ，=b 时，||=|λ|·||，从而OA=λOB,即用平行向量基本定理可以证明两平行线段间的长度关系.例如：如图2-3-2，平行四边形OACB 中，BD=31BC ，OD 与BA 相交于E.图2-3-2求证：BE=41BA. 证明：设E′是线段BA 上的一点，且BE′=41BA. 设=a ，=b ，则=31a ，=b +31a . ∵'BE ='OE -b ，E′A=a -'OE ，3'BE =E′A, ∴3('OE -b )=a -'OE . ∴'OE =41 (a +3b )= 43 (b +31a ). ∴OE =43. ∴O、E′、D 三点共线，即E ，E′重合. ∴BE=41BA. 由此可见，证明两平行线段的长度关系转化为证明这两条线段构成的向量共线.2.如何正确认识平面向量基本定理？剖析：疑点是平面向量基本定理是关于哪一方面的定理，有什么作用？突破口是从定理的条件和结论来分析.平面向量基本定理实质上就是向量线性运算知识的推广和延伸，即平面内任一向量a 都可分解成两个不共线向量e 1，e 2（基底）的唯一线性组合形式λ1e 1＋λ2e 2.因此平面向量基本定理也是是向量正交分解的依据，是向量坐标运算的基础，理解该定理能很好的掌握平面向量的各种知识，帮助我们解决向量问题.例如：（经典回放）已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则等于（ ）A.λ(AB +AD ),λ∈(0,1)B.λ(AB +BC),λ∈(0,22) C.λ(-),λ∈(0,1) D.λ(-BC),λ∈(0,22) 思路解析：如图2-3-3所示，图2-3-3由向量的运算法则得：+=AC，又点P在对角线AC上，则AP∥AC,且|AP|＜|AC|. ∴存在实数λ使=λ,λ∈(0,1).答案：A。
《从速度的倍数到向量的数乘》教学设计
《从速度的倍数到向量的数乘》教学设计一、本节内容分析1.向量数乘运算是相同向量的连加.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:二、学情整体分析学生在上节课中学习了向量的概念及表示、相等向量、平行向量等概念,知道向量可以平移,另外学生在物理中学习过力的合成、位移的合成等矢量的加法,并且学生对数的运算了如指掌,这些都是学习本节内容的基础.学生在物理的力学和位移学习中,已经初步了解矢量的合成,认识矢量与标量的区别,对位移和路程也有了一定的体验,这为学生学习向量的运算提供背景,并能够从物理中的力和位移的合成中去感受向量的运算法则,通过与数的运算法则类比,学生能够猜想出向量的运算法则.学情补充:____________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 三、教学活动准备【任务专题设计】1.向量的数乘运算【教学目标设计】1.理解向量的运算律.2.理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想,增强学生的应用意识.【教学策略设计】一是创设问题情景,充分调动学生求知欲,并以此来激发学生的探究心理.二是运用启发式教学方法.就是把教和学的各种方法综合起来统一组织运用于教学过程,以求获得最佳效果.并且在整个教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律,触发学生的思维,使教学过程真正成为学生的学习过程,以思维教学代替单纯的记忆教学.三是注重渗透类比法、归纳法等一般的数学思想方法.让学生在探索学习知识的过程中,领会常见数学思想方法,培养学生的探索能力和创造性素质.四是注意在探究问题时留给学生充分的时间,以利于开放学生的思维.【教学方法建议】情境教学法、问题教学法、探究教学法,还有_______________________________________ 【教学重点难点】重点 1.向量数乘运算的定义.难点 1.向量数乘运算的几何意义.【教学材料准备】1.常规材料:直尺、多媒体课件、____________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________ 四、教学活动设计教学导入师:同学们先来回忆前面两节课学习的内容:(1)向量加法的三角形法则与平行四边形法则各是什么? (2)向量减法的几何意义是什么?生:(1)三角形法则:在平面内任取一点O ,OA=,OB=a b ,则.OB a b =+(如图①)平行四边形法则:在平面内任取一点O ,OA=,OB=a b ,以OA,OB 为邻边作平行四边形OBCA ,连接对角线OC ,则.OC=OA+OB a b =+(如图②)生:(2)已知向量,a b ,在平面内任取一点O ,作OA=,OB=a b ,则BA a b =-.即a b -可以表示从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量,这是向量减法的几何意义.师:对于非零向量a a a a a a +++,,它们是怎样运算的?我们这节课继续学习. 【设计意图】师生共同回忆学过的向量加法和减法的相关知识,复习旧知识,唤起学生记忆,提出问题引出新知识,自然过渡,为学习新课做准备教学精讲探究1 向量数乘的定义师:已知非零向量a ,作出a a a ++和()()()-+-+-a a a .它们的长度和方向分别是怎样的?【教师指导学生作图,师生共同研究】师:我们知道,3a a a a ++=,那么a a a ++是否等于3a 呢?那么()()()-+-+-a a a 呢? 生:3a a a a ++=,()()()3-+-+-=-a a a a 师:方向如何?生:3a 的方向与a 的方向相同,3a -与a 的方向相反.师:如图,OC=OA+AB+BC a a a =++,类比数的乘法,我们把a a a ++记作3a ,即3OC a =,显然3a 的方向与a 的方向相同,3a 的长度是a 的长度的3倍.即33a a =.类似地,由图可知,()()()PN=PQ+QM+MN =-+-+-a a a ,我们把()()()-+-+-a a a 记作3a -,即3PN a =-,显然3a -的方向与a 的方向相反,3a -的长度是a 的长度的3倍,即33a a -=.【整体设计 分步落实】类比数的乘法学习向量的数乘,接受新知自然过渡,学生易于接受和理解 【以学定教】认识和理解数乘向量的几何意义,必须从几何直观入手,即通过让学生自己作图和独立观察思考,让学生对向量的伸缩有一个初步的感性认识,进而为下一步对向量的数乘运算的几何意义的理性认识做好铺垫【要点知识】向量的数乘一般地,我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa ,它的长度与方向规定如下:(1)||||||λλ=a a ;(2)当0λ>时,λa 的方向与a 的方向相同; 当0λ<时,λa 的方向与a 的方向相反. 由(1)可知,当0λ=时,λ=0a . 由(1)(2)可知,(1)-=-a a .师:如果把非零向量a 的长度伸长到原来的3.5倍,方向不变得到向量b ,向量b 该如何表示?向量,a b 之间的关系怎样?生: 3.5,=b a b 的方向与a 的方向相同,b 的长度是a 的长度的3.5倍,即||=b 3.5||a . 师:如果把b 的长度再伸长到原来的2倍,方向不变得到向量c ,向量c 该如何表示?向量,a c 之间的关系怎样?生:由已知得2=c b .又因为 3.5=b a ,可得7=c a .根据向量数乘运算的定义可得,c 的方向与a 的方向相同,||7||=c a .【概括理解能力】由特殊向量 3.5=b a 的分析到一般向量λa ,培养学生的观察、归纳、概括的能力,让学生经历从特殊----一般,归纳---猜想的学习过程,培养学生的猜想探究能力探究2 向量数乘的运算律师:下面我们探究向量数乘的运算律. 【情景设置】探究向量数乘的运算律a 为非零向量:(1)求作向量3(2)a 和6a ,并进行比较; (2)求作向量(23)+a 和23+a a ,并进行比较; (3)求作向量2()+a b 和22+a b ,并进行比较.【将学生分成三组,分别完成问题(1)(2)(3).作图完成后,组内讨论,总结规律】 师:根据上面的研究,我们先考虑每组向量之间的关系. 生:(1)3(2)6=a a ;(2)(23)23+=+a a a ;(3)2()22+=+a b a b . 师:如何通过作图证明?【学生经过讨论,选出一位代表发言】 【情景学习】学生根据教师给出的问题,在特定情境中,自行探究、讨论与比较,得出向量数乘的运算律,提高自主解决问题的能力、合作交流的能力,培养了学生由特殊到一般的归纳能力,体现了直观想象与数学抽象的核心素养生:师:你能归纳向量数乘的运算律吗? 【猜想探究能力】通过对三组向量运算的比较,引导学生作图,观察,猜想,总结出向量数乘的运算律,增强学生的概括理解能力,培养学生由特殊到一般的数学思想向量数乘的运算律设a,b 为任意向量,,λμ为任意实数,则有:(1)()()λμλμ=a a ;(2)();λμλμ+=+a a a (3)()λλλ+=+a b a b .特别地,有()()(),()λλλλλλ-=-=--=-a a a a b a b . 师:向量的加法、减法、数乘运算有什么共同点? 生:向量的加法、减法、数乘运算的结果仍是向量. 师:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 【要点知识】向量的线性运算的概念向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量a,b ,以及任意实数12,,λμμ,恒有()1212λμμλμλμ±=±a b a b .【推测解释能力】根据以上探究和运算过程,指出向量的线性运算的概念,总结性提出我们目前的学习内容,提高学生认知和推测解释能力师:下面我们来看一道例题 【典型例题】向量的线性运算例1 计算:(1)(3)4-⨯a ; (2)3()2()+---a b a b a ; (3)(23)(32)+---+a b c a b c . 【学生独立完成,展示运算结果】 生解:(1)原式(34)12=-⨯=-a a ; (2)原式33225=+-+-=a b a b a b ;(3)原式233252=+--+-=-+-a b c a b c a b c .师:上面的例题比较简单,下面我们在平行四边形中研究向量的线性运算. 【分析计算能力】通过学生计算,养成认真细致的良好解题习惯,尤其是去括号时括号内各项符号的变化情况,提升学生的分析计算能力【典型例题】向量的线性运算例2 如图,ABCD 的两条对角线相交于点M ,且,AB AD ==a b ,用向量a,b 表示,,MA MB MC 和MD .师:如何把四个向量与向量a,b 联系起来?生:利用向量的线性运算.师:同学们试着尝试利用本节和前面学习的向量的线性运算知识解决该题. 【学生自主完成,教师出示正确答案,全班核对】 【典例解析】向量的线性运算解:在ABCD 中,,AC=AB+AD =a +bDB=AB-AD =-a b .由平行四边形的两条对角线互相平分,得1111()2222MA AC =-=-+=--a b a b , 1111()2222MB DB ==-=-a b a b ,111222MC AC ==+a b ,111.222MD DB =-=-+a b【推测解释能力】学生根据例2中的已知向量,结合向量的线性运算知识,利用已知向量表示未知向量,培养了学生推测解释能力,也巩固了向量加、减法的运算,为后续学习平面向量基本定理奠定基础探究3 向量共线定理师:引入向量数乘运算后,你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗? 【情景设置】探究实数与向量的积与原向量之间的位置关系对于向量a,b,如果有一个实数(0,λλ≠a 是实数),你能发现向量λa 与a 之间的位置关系吗?具体地,(1)如果(0),λ=≠b a a ,向量a 与b 是否共线? (2)如果向量b 与非零向量a 共线,μ=b a 成立吗?【教师利用多媒体进行演示,学生分组交流,得到下面的结论】生:实数与向量的积与原向量共线,如果λ=b a ()≠a 0,由向量数乘的定义可知a 与b 共线.已知向量a 与b 共线,且向量b 的长度是向量a 的长度的μ倍,即μ=b a ,那么当a 与b 同方向时,有μ=b a ;当a 与b 反方向时,有μ=-b a .师:根据我们上面的研究,我们得到向量共线定理. 【情景学习】通过探究位置关系,创设学习研究情境,在学生独立思考的基础上,小组交流,从正反两方面讨论共线向量的数乘运算的表达,提升了学生的学习主动性与积极性,提高学生的交流合作能力【要点知识】向量共线定理向量≠a a （）0与b 共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使λ=b a . 师:如果没有≠a 0的限制,会有什么结果?生:若=a 0,则λ=a 0,b 可以是0,λ不满足实数的唯一性.师:根据这一定理,设非零向量a 位于直线l 上,那么对于直线l 上的任意一个向量b ,都存在唯一的一个实数λ,使得λ=b a .也就是说,位于同一直线上的向量可由位于这条直线上的一个非零向量表示.师:下面我们根据向量共线定理进行例题分析. 【以学定教】通过教师多媒体演示和师生探究,得出向量共线定理,以学定教,发散了学生思维,培养学生思维的严谨性和数学的探索精神【典例解析】向量共线定理的应用例3 如图,已知任意两个非零向量a 与b ,试作,2,OA OB OC =+=+=a b a b 3+a b ,猜想,,A B C 三点之间的位置关系,并证明你的猜想.师:判断三点之间的位置关系,主要是看这三点是否共线,为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上.在本题中,应用向量知识判断,,A B C 三点是否共线,可以通过判断向量AC,AB 是否共线,即是否存在λ,使AC AB λ=成立.【学生分组、交流,计算,得到下面的解题过程】生解:如图所示,分别作向量,,OA OB OC ,过点,A C 作直线AC ,观察发现,不论向量a,b 怎样变化,点B 始终在直线AC 上,猜想,,A B C 三点共线.事实上,因为2()AB=OB OA -=+-+=a b a b b ,3()2AC=OC-OA =+-+=a b a b b .所以2AC AB =. 因此,,,A B C 三点共线.师:通过本题,我们可以得出证明三点共线的向量方法.【先学后教】教师讲解前,学生通过作图,分析出向量共线的条件,教师再进行讲解例题,提高学生分析能力,体会数形结合思想在向量问题中的应用,应用向量共线定理证明三点共线,提高学生综合运用向量知识解决问题的能力【方法策略】证明(判断),,A B C 三点共线的方法AB AC λ=且有公共点,,A A B C ⇒三点共线. 师:下面我们继续巩固练习向量共线定理. 【典例解析】例4 已知a 与b 是两个不共线的向量,向量13,22t --b a a b 共线,求实数t 的值.【学生先自行阅读题目,明晰条件和结论,自主探究,交流解题思路,教师引导,并展示解答过程】师:判断两个向量共线,首先要考虑其中一个向量不为零向量.这里可以利用反证法说明向量1322-a b 是非零向量,否则,a b 共线.明确了这点,就可以应用向量共线定理建立题中两个向量之间的关系,进而把这个关系转化为方程或方程组,使问题得解.【推测解释能力】通过例4的学习与讲解,教师应引导学生体会:教学解题过程本来就是依据数学的概念、法则、定理、公式等命题转化的过程;方程(组)思想是求解未知量的极好武器.学生通过利用向量共线定理解决问题的同时,体会利用定义、定理解决问题的过程,提升推测解释能力,形成了逻辑推理的核心素养【典例解析】向量共线定理的应用解:由,a b 不共线,所以1322-a b 为非零向量. 由向量13,22t --b a a b 共线,可知存在实数λ,使得1322t λ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭b a a b ,即13122t λλ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b , 由,a b 不共线,必有131022t λλ+=+=. 否则,不妨设102t λ+≠,则31212λλ+=+a b t . 由两个向量共线的充要条件知,,a b 共线,与已知矛盾. 由10,2310,2t λλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得13t =. 因此,当向量13-,22t -b a a b 共线时,13t =. 师:回顾向量的数乘运算相关知识,我们都有哪些收获?【深度学习】通过例4,学生深度学习两个向量共线的充要条件,并会利用这个条件解决相关问题,提升解决问题的能力【课堂小结】向量的数乘运算1.向量数乘的定义2.向量的线性运算及运算律(1)向量的数乘运算律(2)向量的线性运算律3.向量共线定理(1)向量0≠（）a a 与b 共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使λ=b a . (2)AB BC λ=且有公共点,,B A B C ⇒三点共线.【设计意图】通过本节学习,巩固学生对数乘运算和向量共线定理的掌握,提升学生对向量共线定理的应用能力.通过例题的训练,巩固向量数乘运算的概念及运算律.通过课堂小结,帮助学生梳理知识点,逻辑性更强,加强了学生对知识的记忆,养成了总结的好习惯教学评价学完本节课,学生应对向量的线性运算(包括向量的加法运算、减法运算及数乘运算)积深刻理解,并且能够熟练应用,包括运算律、几何意义.初步理解从问题中抽象出向量模型,再通过向量的代数运算获得问题的解决方案或结果,是利用向量解决问题的基本特征.向量的运算又是解决物理学、工程技术有关问题的重要方法之一,体现数学来源于实践,又应用于实践的思想.【设计意图】引导学生整理知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力(概括理解、推测解释、分析计算、猜想探究)解决问题,从而达到数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养目标要求应用所学知识,完成下面各题:1.下列命题不正确的是( )A.单位向量不一定都相等B.若a 与b 是共线向量,b 与c 是共线向量,则a 与c 是共线向量C.||||+=-a b a b ,则⊥a bD.若a 与b 为单位向量,则||||=a b解析:根据单位向量的意义可以判定AD 是正确的;零向量与任何向量都共线,取=0b 时可以判定B 是错误的;根据向量加法和减法的几何意义和模的意义,可以判定C 是正确的.答案:B2.如图所示,在ABC ∆中,,D F 分别是,BC AC 的中点,2,,3AE AD AB AC ===a b . (1)用a,b 表示向量,,,,AD AE AF BE BF ;(2)求证:,,B E F 三点共线.思路:本题运用向量的加法法则和减法法则解决向量的线性运算问题.解析:(1)如图,延长AD 到G ,使12AD AG =, 连接,BG CG ,得到平行四边形ABGC . 所以11,(),22AG AD AG =+==+a b a b 2111(),,3322AE AD AF AC ==+==a b b 11()(2),33B AE AB E =-=+-=-a b a b a 11(2).22BF AF AB =-=-=-b a b a(2)证明:由(1)可知2,3BE BF又因为,BE BF有公共点B,所以B,E,F三点共线.【综合问题解决能力】利用向量的加、减、数乘运算进行向量的线性表示,利用向量共线定理证明三点共线.提高了学生推测解释及综合问题解决的能力,达成了数学运算,逻辑推理的核心素养【以学定教】本节课是对向量的线性运算的学习,类比讲解法有利于学生从物理背景和数的运算中接受新知识,对于平面向量的运算,探索其运算性质,体会向量运算的作用.教学中保持知识的科学性和系统性,有助于学生认同新概念的合理性,便于加深学生对向量运算内涵的理解,提高学生的应用意识教学反思整个教学设计是将教师定位于学生学习的引导者、组织者和合作者,以教材为依据,挖掘教材所蕴含的思想方法和数学逻辑,创设教学情境,激发学生学习兴趣.在讲解向量的运算法则时,教师的一种处理方法是适当结合物理知识进行力的分解,启发学生联想到用平行四边形的加法法则进行向量分解,会有更大的收获.教学中根据班级的实际情况,在教学中积极践行新课程理念,倡导合作学习;注重学生动手操作能力与自主探究能力的培养.【以学论教】本节有许多内容可以类比学习,应大胆地让学生进行类比推理,让学生成为课堂的主体.。
北师大版高中数学必修四第二章平面向量23从速度的倍数到数乘向量1学案.docx
第二章平面向量•…2.3从速度的倍数到数乘向量1 (学案)一、学习目标1.通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义,2.理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律.二、自主学习知识点一向量数乘的定义思考1实数与向量相乘的结果是实数还是向量？思考2向量3a, —3°与a从长度和方向上分析具有怎样的关系?思考3加的几何意义是什么？梳理数乘向暈一般地，实数2与向量a的积是一个向量，记作_________ .它的长度为A.a = 2 a .它的方向当：＞0时, 肋与a的方向相同；当久＜0时，肋与a的方向相反；当久=0时，加=0,方向任意.知识点二向量数乘的运算律思考类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？梳理向量数乘运算律(lMQ(a)=(2“)a.(2)G+“)a=2«+“a.(3)久(a+〃)=/Uz+肋.知识点三向量共线定理思考若b=2a,〃与a共线吗？梳理(1)向量共线的判定定理a是一个________ 向量，若存在一个实数久，使得____________ ,则向量〃与非零向量a共线.(2)向量共线的性质定理若向量〃与非零向量a共线，则存在一个实数久，使得〃二_________ .知识点四向量的线性运算向暈的加法、减法和实数与向暈积的综合运算，通常称为向暈的线性运算(或线性组合).三、合作探究类型一向量数乘的基本运算例1 (1)化简^2(2a+4b)-4(5a-2b)].(2)已知向量为a, b,未知向量为工，j,向量a, b,兀，y满足关系式3x~2y=a f—4兀+3y=〃，求向量兀，反思与感悟(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积屮同样适用，但是这里的“同类项“公因式”是指向量，实数看作是向暈的系数.(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算. 跟踪训练1 (\)(a+b)-3(a-b)Sa= ____________ .⑵若2(y—如)一*(c+〃一3丿)+〃=0,其中a, b, c为己知向量，则未知向量y= ___________ .类型二向量共线的判定及应用命题角度1判定向量共线或三点共线例2已知非零向量02不共线.⑴若0=严]—¥?2，b=3e、—2^2，判断向量a，〃是否共线.(2)若恥=© + ©，Bt=2e I + 8e2, Cb=3(e[~e2)f求证A、B、D 三点共线.反思与感悟⑴向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的己知向量表示，进而互相表示，从而判断共线.(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任収两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用〃=肋@工0),还要说明向量a,方有公共点.跟踪训练2己知非零向量引，％不共线，如果恥=引+202，Bt=~5e{+6e2,筋=7© — 2%，则共线的三个点是 . 命题角度2利用向量共线求参数值例3已知非零向量切，血不共线，欲使e}+e2和©+血共线，试确定的值.反思与感悟 利用向量共线定理，即〃与aSHO)共线肋，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根 据共线求参数的值.跟踪训练3已知力，B, P 三点共线，O 为直线外任意一点，若O>=xOX+yOh ，贝lj x+y= _______________ .类型三用已知向量表示其他向量例4在AABC 中，若点D 满足就)=2说,则恥等于()反思与感悟用已知向量表示未知向量的求解思路(1) 先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中.(2) 然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量.(3) 当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关 系，然后解关于所求向量的方程.3. 若向量方程2x-3(x-2a.)=0,WJ 向量x 等于()A. —aB.-6a.C.6aD.- —a. 5 54. 在△ A.BC 中，才E =丄為,EF 〃BC,EF 交 A.C 于 F,设 A5 =a., AC =b,则亦用 a.BF= _________________ •5. ___________________________________________________ 在AAEC 中,M 、N 、P 分别是A.B 、BC 、CA.边上的靠近A.、B 、C 的三等分点,O 是Z\A.BC 平面上的任 意一点，若 OA + OB + OC =丄ei •丄则 OM +ON + OP= ________________________________________________ .跟踪训练4 如图，在△ABC 屮，D, E 为边的两个三等分点, 刁= 3a, 色=2b,求筋，Ck.四、自主小测1.丄［丄(2a+8b)-(4a-2b)J 等于( ) 3 2A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b 2•设两非零向量ei> 2不共线，目.kei+e 2与ei+ke^共线侧k 的值为()A 」 B.-l C.±l D.O表示的形式是3 26.己知△ A.BC的重心为GO为坐标原点,OA二a, OB =b, OC =c,求证:OG = — (a+b+c).参考答案：l.B 2.C 3.C 4.-a.+ 丄b5,1 1J.—Cj C23 2「6•证明：连接A.G并延长，设A.G交BC于M.T AB =b-a M AC =c-a M BC =c-b,' • ' 1 ， 1 J:.AM = AB + — BC =(b-a.)+ — (c-b)= — (c+b-2a.).2 2 277 2 — iAG = — AM = —(c+b-2a.).3 3:.OG= OA + AG =a+ — (c+b-2a.)= — (a.+b+c).3 3。
2.3.1数乘向量教案高中数学必修四北师大版
§3从速度的倍数到数乘向量3．1数乘向量●三维目标1．知识与技能(1)理解并掌握实数与向量的积的意义．(2)会利用实数与向量的积的运算律进行有关计算．2．过程与方法由概念的形成过程体验分类讨论的数学思想的指导作用．3．情感、态度与价值观(1)通过对实数与向量的乘积一节的学习，培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力．(2)实数与向量的积还是一个向量，它的长度和方向的变化由实数λ决定，给学生揭示事物是在不断地运动变化着．(3)通过本节内容的学习，使学生掌握实数与向量的积．从形上看，就是图形的放大或缩小，从而揭示事物在不断地运动变化过程中，“万变不改其性”的哲理．●重点难点重点：向量的数乘运算及其几何意义，向量共线定理．难点：向量共线定理的应用．●教学建议教科书用具体的实例分析，帮助学生理解数乘向量．类比数的乘法的定义方法，从三个相同向量相加入手，引出数乘向量，由特殊到一般给出了数乘向量的一般定义．教学中要强调：(1)λa是一个向量；(2)λa有长度和方向，其长度为|λa|＝|λ|·|a|，其方向与λ的符号有关，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0或a ＝0时，λa＝0；(3)数乘向量的几何意义是把向量a沿着a的方向或a的反方向延长或缩短．●教学流程创设问题情境：类比a ＋a ＋a ＝3a ，a ＋a ＋a 等于3a 吗？⇒引导学生结合已学过的向量加法运算，观察比较分析，采取合情推理的方法探索出数乘运算定义及几何意义．⇒引导学生回答所提问题，使学生理解并掌握数乘向量的模、方向及其运算律等相关性质．⇒通过例1及变式训练，使学生熟练掌握向量的线性运算．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握共线向量的应用．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握线性运算的综合应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.类比实数的运算“a ＋a ＋a ＝3a ”，你能猜想向量“a ＋a ＋a ”等于什么吗？ 【提示】 a ＋a ＋a 相加为向量，其结果为3a . 1．数乘向量(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa . (2)长度：|λa |＝|λ||a |.(3)方向：λa 的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ＞0时，与a 的方向相同；当λ＜0时，与a 的方向相反.(4)几何意义：将表示向量a 的有向线段伸长或压缩．当|λ|＞1时，表示向量a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍；当|λ|＜1时，表示向量a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短为原来的|λ|倍．2．运算律向量的数乘运算满足下列运算律： 设λ，μ为实数，则 (1)(λ＋μ)a ＝λ a ＋μ a ； (2)λ(μa )＝λμ a ；(3)λ(a ＋b )＝λ a ＋λ b .我们明确了λa (λ∈R )的运算及含义，那么若一个向量b ＝λa (a ≠0)，则向量a 、b 有什么关系呢？【提示】 a 与b 是共线向量．1．判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b ＝λ a ，则向量b 与非零向量a 共线．2．性质定理：若向量b 与非零向量a 共线，则存在一个实数λ，使得b ＝λ a .计算：(1)3(6a ＋b )－9(a ＋13b )；(2)12[(3a ＋2b )－(a ＋12b )]－2(12a ＋38b )； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a .【思路探究】 准确应用向量的数乘，加法、减法的运算律化简． 【自主解答】 (1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a . (2)原式＝12(2a ＋32b )－a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0.(3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .1．向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．2．对于线性运算，把握运算顺序为：运算律去括号→数乘向量→向量加减．(1)化简23[(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )]；(2)设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求(13a －b )－(a －23b )＋(2b －a )．【解】 (1)原式＝23[4a －3b ＋13b －32a ＋74b ]＝23[(4－32)a ＋(－3＋13＋74)b ] ＝23(52a －1112b ) ＝53a －1118b . (2)原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝(13－1－1)a ＋(－1＋23＋2)b ＝－53a ＋53b＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j )＝(－5＋103)i ＋(－103－53)j＝－53i －5j .已知两个非零向量a 、b 不共线，OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .(1)证明：A 、B 、C 三点共线．(2)试确定实数k ，使k a ＋b 与a ＋k b 共线．【思路探究】 (1)AB →＝OB →－OA →→AC →＝OC →－OA →→找出AB →与AC →的等量关系 (2)令k a ＋b ＝λ(a ＋k b )→利用a 与b 不共线，求λ、k【自主解答】 (1)证明 由于OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b ， 则AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b －a －b ＝b ， 而AC →＝OC →－OA →＝a ＋3b －a －b ＝2b ， 于是AC →＝2AB →，即AC →与AB →共线， 又∵AC →与AB →有公共点A ，∴A 、B 、C 三点共线．(2)解 由于a 、b 为非零向量且不共线， ∴a ＋k b ≠0.若k a ＋b 与a ＋k b 共线，则必存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 整理得：(k －λ)a ＝(λk －1)b ， 因为非零向量a 、b 不共线，因此⎩⎪⎨⎪⎧ k －λ＝0λk －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1λ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1λ＝－1，即存在实数λ＝1，使k a ＋b 与a ＋k b 共线，此时k ＝1.或存在实数λ＝－1，使k a ＋b 与a ＋k b 共线， 此时k ＝－1，因此，k ＝±1都满足题意．1．本题中证明点共线的关键是由点构成的向量要有公共点，并且共线．2．证明两个向量a 与b 共线时，只需证明a ＝λb (b ≠0)．若已知a 与b (b ≠0)共线，则可利用两向量共线的性质，得到λ1a ＝λ2b .利用向量共线定理可以解决点共线、线共点及两直线平行等问题，如要证A ，B ，C 三点共线，只需证AB →＝λAC →或AB →＝kBC →(λ，k ∈R )等；要证AB ∥CD ，只需证AB →＝λCD →(λ∈R )．也可解决相关求参问题．已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1.若a 与b 共线，则( ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0 C ．e 1∥e 2D ．λ＝0或e 1∥e 2【解析】 e 1∥e 2时，显然a 与b 共线；若e 1，e 2不共线，设a ＝k b ，则有(1－2k )e 1＋λe 2＝0，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－2k ＝0，λ＝0，，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，λ＝0.【答案】 D图2－3－1如图所示，已知▱ABCD 的边BC ，CD 上的中点分别为K ，L ，且AK →＝e 1，AL →＝e 2，试用e 1，e 2表示BC →，CD →.【思路探究】 解答本题可先将BC →，CD →视为未知量，再利用已知条件找等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)求出BC →，CD →.【自主解答】 法一 设BC →＝x ，则BK →＝12x ，AB →＝e 1－12x ，DL →＝12e 1－14x ，又AD →＝x ，由AD →＋DL →＝AL →得x ＋12e 1－14x ＝e 2，解方程得x ＝43e 2－23e 1， 即BC →＝43e 2－23e 1，由CD →＝－AB →，AB →＝e 1－12x ，得CD →＝－43e 1＋23e 2.法二 设BC →＝x ，CD →＝y ，则BK →＝12x ，DL →＝－12y .由AB →＋BK →＝AK →，AD →＋DL →＝AL →得⎩⎨⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2， ②用2乘以②与①相减得12x －2x ＝e 1－2e 2，解得x ＝23(2e 2－e 1)，即BC →＝23(2e 2－e 1)，。
从速度的倍数到数乘向量教案
从速度的倍数到数乘向量教案一、教学目标1. 让学生理解速度的概念及其在物理学中的应用。
2. 引导学生掌握数乘向量的概念及其运算规律。
3. 培养学生运用数乘向量解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 速度的概念及其计算公式。
2. 数乘向量的定义及其运算规律。
3. 数乘向量在物理学中的应用实例。
三、教学过程1. 导入：通过讲解速度的概念及其在物理学中的应用，引出数乘向量的概念。
2. 新课：讲解数乘向量的定义及其运算规律，结合实例进行解释。
3. 练习：让学生运用数乘向量解决实际问题，如计算物体在某一时间段内的位移。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解速度和数乘向量的概念及运算规律。
2. 运用举例法，结合实际问题，让学生更好地理解数乘向量的应用。
3. 采用练习法，让学生通过解决实际问题，巩固数乘向量的知识。
五、教学评价1. 评价学生对速度概念的理解程度。
2. 评价学生对数乘向量定义及运算规律的掌握情况。
3. 评价学生运用数乘向量解决实际问题的能力。
六、教学资源1. 教学PPT：展示速度和数乘向量的相关概念及实例。
2. 练习题：提供相关的练习题，让学生巩固所学知识。
七、教学时间1课时八、教学环境教室九、教学准备1. 准备相关的教学PPT。
2. 准备练习题及答案。
十、教学拓展1. 引导学生思考：数乘向量在其他领域的应用。
2. 推荐学生阅读相关的教材或论文，加深对数乘向量的理解。
六、教学目标1. 让学生理解速度的概念及其在物理学中的应用。
2. 引导学生掌握数乘向量的概念及其运算规律。
3. 培养学生运用数乘向量解决实际问题的能力。
七、教学内容1. 速度的概念及其计算公式。
2. 数乘向量的定义及其运算规律。
3. 数乘向量在物理学中的应用实例。
八、教学过程1. 导入：通过讲解速度的概念及其在物理学中的应用，引出数乘向量的概念。
2. 新课：讲解数乘向量的定义及其运算规律，结合实例进行解释。
3. 练习：让学生运用数乘向量解决实际问题，如计算物体在某一时间段内的位移。
高中数学 第二章 从速度的倍数到数乘向量导学案 北师大版必修4
从速度的倍数到数乘向量【学习目标】1. 掌握数与向量积的定义以及运算律，理解其几何意义；2. 了解向量的线性运算及其几何意义；了解两个向量共线的判定定理及性质定理；3. 了解平面向量的基本定理及其意义【学习重点】理解实数与向量积的定义、运算律，向量共线的判定、性质以及基本定理；【学习难点】理解向量共线的判定定理和性质定理以及平面向量基本定理【知识衔接】1.实数与向量的积；实数λ与向量a 的积，记作：λa定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa①▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁②▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁。
2.实数与向量的积满足运算定律：结合律：第一分配律：第二分配律：3.向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.【学习过程】1．思考：①．是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？ ②．对于平面上两个不共线向量1e ，2e 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？2．设1e ，2e 是不共线向量，a是平面内任一向量=1e =λ11e =a =+=λ11e +λ22e 1e 2ea C=2e =λ22e 得平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e .[注意几个问题]：① 1e 、2e 必须不共线．．．，且它是这一平面内所有向量的一组基底. ② 这个定理也叫共面．．向量定理. ③λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一．．确定的数量. ④同一平面内任一向量．．．．都可以表示为两个不共线向量的线性组合. 例题讲评例4.如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且−→−AB =a，−→−AD =b ， 用a ，b 表示−→−MA ，−→−MB ，−→−MC 和−→−MD 解：【巩固练习】【学后反思】【作业布置】1.2.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
数学北师大版4课前导引：2.3从速度的倍数到数乘向量含解析
§3 从速度的倍数到数乘向量课前导引问题导入【问题】如何理解向量数乘的几何意义?思路分析:(1）对于向量a（a≠0）、b，如果有一个实数λ，使b=λa，那么由向量共线的定义知向量a与b共线.已知向量a与b共线，a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b｜=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa;当a与b反方向时，有b=-μa.（2）判断向量a与b是否共线的方法:判断是否有且只有一个实数μ，使得b=μa.（3）判断A、B、C三点共线的方法：判断是否有且只有一个实数μ，使得AC=μAB。
（4)如果向量a与b不共线,且λa=μb,那么λ=μ=0.知识预览一、向量数乘1.向量数乘的定义一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量数乘，记作λa。
它的长度与方向规定如下：(1）|λa｜=|λ||a｜；（2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同;当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；（3）当λ=0时，λa=0.2.向量数乘的运算律设λ、μ是实数,则有：（1）λ（μa)=(λμ)a;（结合律）（2）（λ+μ)a=λa+μa；（第一分配律)(3)λ（a+b）=λa+λb.(第二分配律）3。
向量数乘的几何意义（1）如果向量a(a≠0)与b共线,那么有且只有一个实数λ,使b=λa；（2）向量λ（μ1a+μ2b)=λμ1a+λμ2b可以用平行四边形法则作出，如下图。
二、平面向量基本定理如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1和λ2,使得a=λ1 e1+λ2 e2，其中的不共线的向量e1和e2叫做这个平面内所有向量的一组基底.。
2020-2021学年高一数学北师大版必修4第二章2.3从速度的倍数到数乘向量(第2课时) 教案
2.3从速度的倍数到数乘向量（第2课时）———— 平面向量基本定理 一、教学目标 1.知识与技能理解平面向量的基本定理及其几何意义，并能进行简单应用。
2.过程与方法通过引导学生从实例中探究平面向量的基本定理，使学生掌握定理的推导方法；通过指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力. 3.情感态度价值观通过实例引入平面向量基本定理，让学生进一步认识和体会数学和实际生活、数学和各学科之间的联系，有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养学生的发散思维和勇于创新的精神. 二、教材分析教材从生活实例出发，引出平面向量基本定理，不仅让学生了解数学与实际生活的紧密联系，并通过例题使学生掌握应用定理解决相关问题的方法。
平面向量基本定理是向量法的理论基础。
这个定理揭示了任一平面向量均可用平面内的任意两个不共线向量线性表示出来的实质。
它不仅提供了向量的几何表示方法，同时也使向量用坐标表示成为可能，从而架起了向量的几何运算与代数运算之间的桥梁，使几何问题可以通过向量的坐标来解决。
三、教学重、难点教学重点: 平面向量基本定理及其应用； 教学难点:平面向量的基本定理的理解。
四、教学方法与手段教学方法采用引导探究教学方法. 五、教学过程 （一）复习引入1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa 。
（1）|λa |=|λ||a|；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=。
2．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa+λb 3. 向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . （二）探究新知 1．思考交流：（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？ （2）对于平面上两个不共线向量，，是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？（3）设，是不共线向量，是平面内任一向量，能否用向量，表示向量？引导学生分析得出下面定理。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四课时 2.3从速度的倍数到数乘向量（一）
一、教学目标：1.知识与技能：（1）要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义.（2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。
（3）通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。
2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：1．“模”与“方向”两点) 2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）），在此基础上得到数乘运算的几何意义。
为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.
3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积有了较深的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神.
二.教学重、难点： 重点:实数与向量积的定义及几何意义.难点: 实数与向量积的几何意义的理解.
三.学法与教法： (1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学过程
（一）、探究新知
1．思考: （引入新课）已知非零向量a 作出a +a +a 和( a )+( a )+( a )
OC = BC AB OA =a +a +a =3a
PN = MN QM PQ =( a )+( a )+( a )= 3a
讨论：① 3a 与a 方向相同且|3a |=3|a |② 3a 与a 方向相反且| 3a |=3|a |
2．从而提出课题：实数与向量的积；实数λ与向量a 的积，记作：λa
定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa
①|λa |=|λ||a | ；②λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =0（请学生自己解释其几何意义）
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生评，教师提示或适当补充）
a a a a O A B C a a a a N M Q P
例1.（见P 96例1）略
[展示投影]
思考：根据几何意义，你能否验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律（证明的过．．．．．程可根据学生的实际水平决定）．．．．．．．．．．．．．．
结合律：λ(μa )=(λμ)a ①
第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa
② 第二分配律：λ(a +b )=λa +λb ③
结合律证明：如果λ=0，μ=0，a =0至少有一个成立，则①式成立 如果λ 0，μ 0，a 0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a |
|(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a | ；∴|λ(μa )|=|(λμ)a |
如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a 同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a 反向。
从而λ(μa )=(λμ)a
第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a =0至少有一个成立，则②式显然成立
如果λ 0，μ 0，a 0当λ、
μ同号时，则λa 和μa 同向，∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a |，|λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a | ∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a 同向。
即：|(λ+μ)a |=|λa +μa |
当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa 同向当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa 同向。
还可证：|(λ+μ)a |=|λa +μa
| ∴②式成立 第二分配律证明：如果a =0，b =0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立
当a 0，b 0且λ 0，λ 1时1 当λ>0且λ 1时在平面内任取一点O ，
作 OA =a
AB =b 1OA =λa 11B A =λb 则
OB =a +b 1OB λa +λb 由作法知： AB ∥ 11B A 有 OAB= OA 1B 1 | AB |=λ|
11B A | ∴ |||||||
|111AB B A OA OA λ ∴△O AB ∽△OA 1B 1 ∴ |||
|1OB OB λ AOB= A 1OB 1
O
A B B 1 A 1
因此，O ，B ，B 1在同一直线上，| 1OB |=|λ OB | 1OB 与λ
OB 方向也相同 λ(a +b )=λa +λb 当λ<0时 可类似证明：λ(a b )=λa +λb ∴ ③式成立
【探究新知】（师生共同分析向量共线的充要条件） 若有向量a (a 0)、b ，实数λ，使b =λa 则由实数与向量积的定义知：a 与b 为共
线向量
若a 与b 共线(a 0)且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa ；当a 与b 反向时
b = μa
从而得：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且．．只有一个非零实数．．．．．．．．
λ，使b =λa . [展示投影]例题讲评（师生共同分析，学生动手做）例2. （见P 97例2）略
例3.（P 97例3改编）如图： OA ， OB 不共线，P 点在AB 上，求证：存在实数1. 且
使 OB OA OP
（证明过程与P 97例3完全类似；略）
思考：由本例你想到了什么？（用向量证明三点共线）
（二）、巩固深化，加强基础
1.见P 98练习1、2、3、4题.
2.如例3图， OA ， OB 不共线， AP =t AB (t R)用 OA ， OB 表示 OP .
3．设1e ,2e 是两个不共线向量，已知 AB =21e +k 2e , CB =1e +32e , CD =21e 2e , 若三点A, B, D 共线，求k 的值.
解： BD = CD CB =(21e 2e ) (1e +32e )=1e 42e
∵A, B, D 共线 ∴ AB , BD 共线 ∴存在λ使 AB =λ BD
即21e +k 2e =λ(1e 42e ) ∴
42k ∴k= 8 （三）、课堂小结（学生总结，其它学生补充）①数乘向量的几何意义理解.②向量b 与非
零向量a 共线的条件是：有且只有一个非零实数．．．．．．．．．．
λ，使b =λa . A
O B
1 A 1 P B O
（五）、作业：习题2.3 A组第4、5、6、7题．六、课后反思：。