2018-2019学年高中数学考点49 轨迹方程庖丁解题新人教A版必修2

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高中数学人教A版(2019)选择性必修第二册知识点归纳含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！高中数学选择性必修第二册必备知识手册2024一轮复习【数列】1、一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。

其中第1项叫做首项。

项数有限的的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。

2、数列的一般形式是1a ，2a ，…，n a ，…，简记为{}n a 。

由于数列{}n a 中的每一项n a 与它的序号n 是一一对应的，所以数列{}n a 是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n }）到实数集R 的函数，其自变量是序号n ，对应的函数值是数列的第n 项n a ，记为()n a f n =。

2018-2019学年高中数学考点10 斜二测画法庖丁解题新人教A版必修2

考点10 斜二测画法斜二测画法用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的主要步骤如下：①在已知图形中取水平平面，作相互垂直的轴Ox，Oy，使∠xOy＝90°；②画直观图时，把轴Ox，Oy画成对应的轴O′x′，O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，x′O′y′所确定的平面表示水平平面；③已知图形中，平行于x轴、y轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴．并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中，平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了水平放置的平面图形的直观图．【例】一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为4 cm，圆锥的高为3 cm，画出此几何体的直观图．（4）成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．【方法提炼】画旋转体直观图的关键是画图的直观图，即作两个圆的直观图，平行于z轴的线段的长度保持不变．1．关于直观图的斜二测画法，以下说法不正确的是( )A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变1 B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的2C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同【答案】C【解析】由直观图的画法规则可知选项C中∠x′O′y′可以是45°或135°．2．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，正确的是( )3．关于利用斜二测画法所得直观图的说法正确的是( )A．直角三角形的直观图仍是直角三角形B．梯形的直观图是平行四边形C ．正方形的直观图是菱形D ．平行四边形的直观图仍是平行四边形【答案】D【解析】由斜二测画法的规则，可知平行于y 轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D 正确．4．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么用斜二测画法得到的△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为( )A ．43a 2B ．83a 2C ．86a 2D ．166a 2【答案】D【规律总结】已知一个平面图形，求其直观图的面积．解决此类问题的关键是利用斜二测画法画出直观图，然后利用面积公式求解．5．如图建立坐标系，得到的正三角形ABC 的直观图不是全等三角形的一组是( )【答案】C【解析】在A 、B 、D 中，三角形ABC 的直观图的底面边长和高均相等，它们是全等的，只有C 不全等．6．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )A ．21＋22B ．1＋22C ．1＋D ．2＋【答案】D【解析】如图所示，【易错易混】由直观图还原为原图是画直观图的逆过程，有两个量发生了变化，一是∠x ′O ′y ′由45°恢复为∠xOy ＝90°，二是与O ′y ′平行的线段，在平面xOy 中的长度是原来的2倍．1．下图为一平面图形的直观图，因此平面图形可能是( )【答案】C【解析】根据直观图，平面图形的一边在x′轴上，另一边与y′轴平行，故此平面图形是左边为直角腰的直角梯形．2．如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′C′＝A′B′，那么△ABC是( )A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形【答案】B【解析】由直观图看出，三角形中有两边分别和两轴平行且相等，由斜二测画法知原图中相应两边与两轴平行，即有两边垂直且不等，所以原三角形为直角三角形．3．如图所示，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是( )A．2 B．1C．D．4【答案】C4．如果一个水平放置的图形的斜二测画法得到的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是多少？【答案】2＋．【解析】由题意，知原图形为直角梯形，且上底为1，下底为1＋，高为2，所以实际图形的面积＝22）×2＝2＋．教你如何看零件图看零件图通常从以下几个方面进行分析：1．分析表达方案．分析视图布局，找出正视图、其它基本视图和辅助视图．根据剖视、断面的剖切方法、位置，分析剖视、断面的表达目的和作用．2．分析形体、想象零件的结构形状．先从正视图出发，联系其它视图进行分析．用形体分析法分析零件各部分的结构形状，难于看懂的结构，运用线面分析法分析，最后想象出整个零件的结构形状．分析时若能结合零件结构功能来进行，会使分析更加容易．3．分析尺寸．先找出零件长、宽、高三个方向的尺寸基准，然后从基准出发，找出主要尺寸．再用形体分析法找出各部分的定形尺寸和定位尺寸．在分析中要注意检查是否有多余和遗漏的尺寸、尺寸是否符合设计和工艺要求．4．分析技术要求．分析零件的尺寸公差、形位公差、表面粗糙度和其他技术要求，弄清哪些尺寸要求高，哪些尺寸要求低，哪些表面要求高，哪些表面要求低，哪些表面不加工，以便进一步考虑相应的加工方法．看零件图实际上就是根据三视图想象它的直观图．。

2018-2019学年高中数学考点57 直线和圆的方程的应用庖丁解题新人教A版必修2

考点57 直线和圆的方程的应用直线与圆的方程在生产、生活实践中有着广泛的应用，其具体解题思路是：从实际问题出发，构建数学模型，转化为数学问题中点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及性质探究的问题求解．解题步骤是：（1）建模；（2）建系；（3）引进直线与圆的方程；（4）利用直线与圆的位置关系，借助几何性质求解．【例】如果实数x，y 满足等式2223x y -+=()，那么yx的最大值是（） A ．12B C D 【答案】D2，构造直角三角形，求出相切时的倾斜角60°，可得斜率的最大值．1．一辆卡车宽1.6 m ，要经过一个半径为3.6 m 的半圆形隧道，则这辆卡车的车篷蓬顶距地面的高度不得超过（） A ．1.4 m B ．3.5 m C ．3.6 m D ．2.0 m【答案】C【解析】设圆的方程为2223.6x y +=，将0.8y (，)代入方程的 3.5y ≈．【规律方法】直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识的用坐标法解决几何问题．用坐标法解决平面几何问题的思维过程：2．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A地正东40 km 处，则城市B 处于危险区内的时间为（）A ．0.5 hB ．1 hC ．1.5 hD ．2 h【答案】B【解题技巧】用坐标方法解决几何问题的步骤是：（1）建系，用坐标和方程表示问题中几何元素，将平面问题转化为代数问题；（2）通过代数运算解决代数问题；（3）将代数结构翻译成几何结论．3．y ＝|x |的图象和圆x 2＋y 2＝4所围成的较小的面积是( )A ．π4B ．3π4C ．3π2D ．π【答案】D【解析】数形结合，所求面积是圆x 2＋y 2＝4面积的14．4．已知M ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤r 2(r>0)}，且M ∩N ＝N ，则r 的取值范围是( ) A ．(0，2－1) B ．(0,1] C ．(0,2－2] D ．(0,2]【答案】C【解析】因为M ∩N ＝N ，所以两个圆内含或内切，则2－r≥2，得r ∈(0,2－2]，故选C ． 5．如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的直径为________．【答案】13米6．一束光线l 自A （–3，3）发出，射到x 轴反射到224470C x y x y +--+=：上．（1）求反射线通过圆心C 时，光线l 的方程；（2）求在x 轴上，反射点M 的范围．【解析】C ：22221x y -+-=()()．（1）C 关于x 轴的对称点C ' （2，–2），过A 、C '的直线方程：0x y +=为光线l 的方程．（2）A 关于x 轴的对称点A '（–3，–3）．设过A '的直线为33y k x ++=()，当该直线与C 相切时，413k =⇒=或34k =．∴过A '，C 的两条切线为4333y x ++=()，3334y x ++=()令0y =，得123,14x x =-=．∴反射点M 在x 轴上的活动范围是3,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．1．点P (4,－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)4＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1【答案】A2．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1,则a ＝( )A ．－43B ．－34C ． 3D ．2【答案】A【解析】由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0得圆心坐标为(1,4),由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a2＝1,解之得a ＝－43． 3．一条光线从点(－2,－3)射出,经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34【答案】D【解析】圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(–3,2),半径r ＝1．(–2,–3)关于y 轴的对称点为(2,–3)．如图所示,反射光线一定过点(2,–3)且斜率k 存在,∴反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x –2),即kx –y –2k －3＝0．∵反射光线与已知圆相切,∴|－3k －2－2k －3|k 2＋（－1）2＝1,整理得12k 2＋25k ＋12＝0,解得k ＝－34或k ＝－43．4．如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域．一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h ．问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)石拱桥石拱桥，用天然石料作为主要建筑材料的拱桥，这种拱桥有悠久的历史，桥梁又多有附属小品建筑，如桥头常立牌坊，著名者如北京北海琼华岛前的石拱桥，两端就各有一座规模甚大而美丽的牌坊．华表、经幢。

2018年新人教A版高中数学必修2全册同步检测含答案解析

2018年新人教A版高中数学必修二全册同步检测目录第1章1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征第1章1.1.2圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征第1章1.2.2空间几何体的三视图第1章1.2.3空间几何体的直观图第1章1.3-1.3.2球的体积和表面积第1章1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积第1章章末复习课第1章评估验收卷(一)第2章2.1.1平面第2章2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系第2章2.1.3平面与平面之间的位置关系第2章2.2.1-2.2.2平面与平面平行的判定第2章2.2.3直线与平面平行的性质第2章2.2.4平面与平面平行的性质第2章2.3.1直线与平面垂直的判定第2章2.3.2平面与平面垂直的判定第2章2.3.3平面与平面垂直的性质第2章章末复习课第2章评估验收卷(二)第3章3.1.1倾斜角与斜率第3章3.1.2两条直线平行与垂直的判定第3章3.2.1直线的点斜式方程第3章3.2.2-3.2.3直线的一般式方程第3章3.3.2第1课时两直线的交点坐标、两点间的距离第3章3.3.2第2课时两直线的交点坐标、两点间的距离（习题课）第3章3.3.3-3.3.4两条平行直线间的距离第3章章末复习课第3章评估验收卷(三)第4章4.1.1圆的标准方程第4章4.1.2圆的一般方程第4章4.2.1直线与圆的位置关系第4章4.2.2-4.4.2.3直线与圆的方程的应用第4章4.3.1-4.3.2空间两点间的距离公式第4章章末复习课第4章评估验收卷(四)模块综合评价第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征A级基础巩固一、选择题1．下列几何体中棱柱有()A．5个B．4个C．3个D．2个解析：由棱柱的定义及几何特征，①③为棱柱．答案：D2．对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是() A．棱柱B．棱锥C．棱台D．一定不是棱柱、棱锥解析：根据棱柱、棱锥、棱台的特征，一定不是棱柱、棱锥．答案：D3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()解析：A、B、C、中底面多边形的边数与侧面数不相等．答案：D4．由5个面围成的多面体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是()A．三棱柱B．三棱台C．三棱锥D．四棱锥解析：根据棱台的定义可判断知道多面体为三棱台．答案：B5．某同学制作了一个对面图案均相同的正方形礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)()解析：其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪个棱剪开，剪开的相邻面在展开在图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻，又相同的图案是盒子相对的面，展开后绝不能相邻．答案：A二、填空题6.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．解析：折叠后，各面均为三角形，且点B、C、D重合为一点，因此该多面体为三棱锥(四面体)．答案：三棱锥(四面体)7．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.解析：由题设，该棱柱为五棱柱，共5条侧棱．所以每条侧棱的长为605＝12(cm)．答案：128．①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是四边形的几何体不一定是棱台；③两个互相平行的面是正方形，其余各面是四边形的几何体一定是棱台．其中正确说法的个数为________．解析：①正确，因为具有这些特征的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②正确；③不正确，当两个平行的正方形完全相等时，一定不是棱台．答案：29．根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形．解：图①是以ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．图②是以ABCD和A1B1C1D1为底面的棱柱．其图形如图所示．B级能力提升1.如图所示，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定解析：如图所示，倾斜小角度后，因为平面AA1D1D∥平面BB1C1C，所以有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形(水面与两平行平面的交线)因此呈棱柱形状．答案：A2．一个正方体的六个面上分别标有字母A，B，C，D，E，F，下图是此正方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是________．解析：由图知，标字母C的平面与标有A、B、D、E的面相邻，则与D面相对的面为E面，或B面，若B面与D面相对，则A面与B面相对，这时图②不可能，故只能与D面相对的面上字母为B.答案：B3.如图所示，M是棱长为2 cm的正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点，求沿正方体表面从点A到点M的最短路程．解：若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征A级基础巩固一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱②六棱锥③正方体④球体⑤四面体A．①和⑤B．①C．③和④D．①和④解析：圆柱、球体是旋转体，其余均为多面体．答案：D2．如图所示的简单组合体的结构特征是()A．由两个四棱锥组合成的B．由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的C．由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的D．由一个四棱锥和一个四棱台组合成的解析：这个8面体是由两个四棱锥组合而成．答案：A3．下图是由哪个平面图形旋转得到的()解析：图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°得到．答案：A4．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为()解析：截面图形应为图C所示的圆环面．答案：C5．用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是() A．2 B．2πC.2π或4πD.π2或π4解析：如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝4π；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝2π.所以选C.答案：C二、填空题6．等腰三角形绕底边上的高所在的直线旋转180°，所得几何体是________．解析：结合旋转体及圆锥的特征知，所得几何体为圆锥．答案：圆锥7．给出下列说法：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线，都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是____________(填序号)．解析：由旋转体的形成与几何特征可知①③错误，②④正确．答案：②④8．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是__________．答案：圆柱三、解答题9．如图所示的物体是运动器材——空竹，你能描述它的几何特征吗？解：此几何体是由两个大圆柱、两个小圆柱和两个小圆台组合而成的．10．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别2 cm和5 cm，圆台的母线长是12 cm，求圆锥SO的母线长．解：如图，过圆台的轴作截面，截面为等腰梯形ABCD，由已知可得上底半径O1A ＝2 cm，下底半径OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm.设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得l－12l＝25，所以l＝20 cm.故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.B级能力提升1．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所有形成的几何为一个球体挖出一个圆柱．答案：B2．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为__________cm2.解析：如图所示，过球心O作轴截面，设截面圆的圆心为O1，其半径为r.由球的性质，OO1⊥CD.在Rt△OO1C中，R＝OC＝5，OO1＝4，则O1C＝3，所以截面圆的面积S＝π·r2＝π·O1C2＝9π.答案：9π3．如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？解：把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，即为蚂蚁爬行的最短距离．因为AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π.所以AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋（2π）2＝21＋π2，所以蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.第一章空间几何体1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图A级基础巩固一、选择题1．以下关于投影的叙述不正确的是()A．手影就是一种投影B．中心投影的投影线相交于点光源C．斜投影的投影线不平行D．正投影的投影线和投影面垂直解析：平行投影的投影线互相平行，分为正投影和斜投影两种，故C错．答案：C2．如图所示，水平放置的圆柱形物体的三视图是()答案：A3．如图，在直角三角形ABC，∠ACB＝90°，△ABC绕边AB所在直线旋转一周形成的几何体的正视图为()解析：由题意，该几何体是两个同底的圆锥组成的简单组合体，且上部分圆锥比底部圆锥高，所以正视图应为选项B.答案：B4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是() A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱解析：球的三视图都是圆；三棱锥的三视图都是全等的三角形；正方体的三视图都是正方形；圆柱的底面放置在水平面上，则其俯视图是圆，正视图是矩形，故几何体不可能是圆柱．答案：D5.一个四棱锥SABCD，底面是正方形，各侧棱长相等，如图所示，其正视图是一等腰三角形，其腰长与图中等长的线段是()A．AB B．SBC．BC D．SE解析：正视图的投影面应是过点E与底面ABCD垂直的平面，所以侧棱SB在投影面上的投影为线段SE.答案：D二、填空题6．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是________(填序号)．①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥解析：在各自的三视图中，①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．所以满足仅有两个视图相同的是②④.答案：②④7．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中满足条件的序号是________．答案：②③8．下图中的三视图表示的几何体是________．解析：根据三视图的生成可知，该几何体为三棱柱．答案：三棱柱三、解答题9．根据三视图(如图所示)想象物体原形，指出其结构特征，并画出物体的实物草图．解：由俯视图知，该几何体的底面是一直角梯形；由正视图知，该几何体是一四棱锥，且有一侧棱与底面垂直．所以该几何体如图所示．10．画出图中3个图形的指定视图．解：如图所示．B级能力提升1．如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的实物图是()答案：A2．已知正三棱锥VABC的正视图、俯视图如图所示，它的侧棱VA＝2，底面的边AC＝3，则由该三棱锥得到的侧视图的面积为________．解析：正三棱锥VABC的侧视图不是一个等腰三角形，而是一个以一条侧棱、该侧棱所对面的斜高和底面正三角形的一条高构成的三角形，如侧视图所示(其中VF是斜高)，由所给数据知原几何体的高为3，且CF＝3 2.故侧视图的面积为S＝12×32×3＝334.答案：33 43．如图所示的是某两个几何体的三视图，试判断这两个几何体的形状．解：①由俯视图知该几何体为多面体，结合正视图和侧视图知，几何体应为正六棱锥．②由几何体的三视图知该几何体的底面是圆，相交的一部分是一个与底面同圆心的圆，正视图和侧视图是由两个全等的等腰梯形组成的．故该几何体是两个圆台的组合体．第一章空间几何体1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.3 空间几何体的直观图A级基础巩固一、选择题1．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是()A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形解析：由直观图的性质知B正确．答案：B2．利用斜二测画法画边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的()解析：正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.答案：C3．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为一个正方形，则原来图形的形状是()解析：直观图中正方形的对角线为2，故在平面图形中平行四边形的高为22，只有A项满足条件，故A正确．答案：A4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为() A．2 cm B．3 cm C．2.5 cm D．5 cm解析：因为这两个顶点连线与圆锥底面垂直，现在距离为5 cm，而在直观图中根据平行于z轴的线段长度不变，仍为5 cm.答案：D5．若一个三角形采用斜二测画法，得到的直观图的面积是原三角形面积的()A.24B．2倍 C.22 D.2倍解析：底不变，只研究高的情况即可，此结论应识记．答案：A二、填空题6．如图所示，△A′B′C′是△ABC的水平放置的直观图，A′B′∥y轴，则△ABC是________三角形．解析：由于A′B′∥y轴，所以在原图中AB∥y轴，故△ABC为直角三角形．答案：直角7．已知△ABC的直观图如图所示，则△ABC的面积为________．解析：△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝6，所以S＝12×3×6＝9.答案：98．如图所示，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是_______．解析：在原图中AC＝6，BC＝4×2＝8，∠AOB＝90°，所以AB＝62＋82＝10.答案：10三、解答题9．如图所示，已知水平放置的平面图形的直观图是一等腰直角三角形ABC，且AB ＝BC＝1，试画出它的原图形．解：(1)在如图所示的图形中画相应的x轴、y轴，使∠xOy＝90°(O与A′重合)；(2)在x轴上取C′，使A′C′＝AC，在y轴上取B′，使A′B′＝2AB；(3)连接B′C′，则△A′B′C′就是原图形．10．画出底面是正方形、侧棱均相等的四棱锥的直观图(棱锥的高不做具体要求)．解：画法：(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(135°)，∠xOz＝90°，如图．(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出底面正方形的直观图ABCD.(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是四棱锥的高．(4)成图．顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图．B级能力提升1．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正△A′B′C′，则△ABC 为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能解析：如下图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC是钝角三角形．答案：C2.如图，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是________．解析：因为O′B＝1，所以O′A′＝2，所以在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝2 2.所以S△AOB＝12×1×22＝ 2.答案：23．如图是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．解：根据三视图可以想象出这个几何体是六棱台．(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画两底面，由三视图知该几何体为六棱台，用斜二测画法画出底面正六边形ABCDEF，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中的相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x与O′y′画出底面正六边形A′B′C′D′E′F′.(3)成图．连接A′A，B′B，C′C，D′D，E′E，F′F，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.第一章空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积A 级基础巩固一、选择题1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( ) A ．4倍 B ．3倍 C.2倍D ．2倍解析：设轴截面正三角形的边长为2a ，所以S 底＝πa 2，S 侧＝πa ·2a ＝2πa 2，因此S 侧＝2S 底．答案：D2.如图所示，ABC A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34解析：因为V C A ′B ′C ′＝13V 柱＝13，所以V C AA ′B ′B ＝1－13＝23.答案：C3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积为( ) A ．3π B ．33π C ．6πD ．9π解析：由于圆锥的轴截面是等边三角形，所以2r ＝l ，又S 轴＝12×l 2×sin 60°＝34l 2＝3，所以l ＝2，r ＝1.所以S 圆锥表＝πr 2＋πrl ＝π＋2π＝3π.故选A. 答案：A4.(2015·课标全国Ⅰ卷 )《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛解析：由l ＝14×2πr ＝8得圆锥底面的半径r ＝16π≈163，所以米堆的体积V ＝14×13πr 2h＝14×2569×5＝3209(立方尺)，所以堆放的米有3209÷1.62≈22(斛)．答案：B5.已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的一三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为( )A ．1∶ 2B ．1∶3C ．2∶ 2D ．3∶6解析：棱锥B ′ ACD ′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的边长为1，则B ′C ＝2，S △B ′AC ＝32.三棱锥的表面积S 锥＝4×32＝23，又正方体的表面积S 正＝6. 因此S 锥∶S 正＝23∶6＝1∶ 3. 答案：B 二、填空题6．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积为________．解析：由正视图可知，该圆台的上、下底面圆的半径分别为1，2，其高为2，所以其母线长l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－222＋22＝5，所以S 侧＝π(1＋2)×5＝35π. 答案：35π7．下图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是________．解析：由图可知几何体是一个圆柱内挖去一个圆锥所得的几何体，V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π×22×3－13π×22×3＝8π.答案：8π8．(2015·福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．解析：由三视图知，该几何体是直四棱柱，底面是直角梯形，且底面梯形的周长为4＋ 2.则S侧＝8＋22，S底＝2×（1＋2）2×1＝3.故S表＝S侧＋S底＝11＋2 2.答案：11＋22三、解答题9．已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为2π和4π的矩形，求这个圆柱的体积．解：设圆柱的底面半径为R，高为h，当圆柱的底面周长为2π时，h＝4π，由2πR＝2π，得R＝1，所以V圆柱＝πR2h＝4π2.当圆柱的底面周长为4π时，h＝2π，由2πR＝4π，得R＝2，所以V圆柱＝πR2h＝4π·2π＝8π2.所以圆柱的体积为4π2或8π2.10．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．解：由三视图知直观图如图所示，则高AA′＝2 cm，底面高B′D′＝23cm，所以底面边长A ′B ′＝23×23＝4(cm)．一个底面的面积为12×23×4＝43(cm 2)．所以表面积S ＝2×43＋4×2×3＝24＋83(cm 2)， V ＝43×2＝83(cm 3)．所以表面积为(24＋83)cm 2，体积为83(cm 3)．B 级能力提升1.某几何体的三视图如图所示，俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是( )A.203π B.103π C ．6πD.163π 解析：该几何体的上方是以2为底面圆的半径，高为2的圆锥的一半，下方是以2为底面圆的半径，高为1的圆柱的一半，其体积为V ＝π×22×12＋12×13π×22×2＝2π＋43π＝103π. 答案：B2．(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为__________．解析：底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为13π×52×4＋π×22×8＝196π3.设新的圆锥和圆柱的底面半径为r ，则13π·r 2×4＋π·r 2×8＝28π3r 2＝196π3，解得r＝7.答案：73．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，求该几何体的体积．解：由三视图知，该几何体是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体． V 四棱柱＝23＝8，V 四棱锥＝13×22×2＝83.故几何体的体积V ＝V 四棱柱＋V 四棱锥＝8＋83 ＝323(cm 3)．第一章空间几何体 1.3 空间几体的表面积与体积 1.3.2 球的体积和表面积A 级基础巩固一、选择题1．若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来的( ) A ．3倍 B ．3 3 倍 C ．9倍D ．9 3 倍解析：由V ′＝27 V ，得R ′＝3R ，R ′R＝3则球的表面积比S ′∶S ＝⎝⎛⎭⎪⎫R ′R 2＝9. 答案：C2．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( ) A ．R B ．2R C ．3R D ．4R 解析：设圆柱的高为h ，则πR 2h ＝3×43πR 3，所以h ＝4R . 答案：D3．如图所示，是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．9π＋42B ．36π＋18 C.92π＋12 D.92π＋18 解析：由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋3×3×2＝92π＋18.答案：D4．设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2解析：设该球的半径为R ，所以(2R )2＝(2a )2＋a 2＋a 2＝6a 2，即4R 2＝6a 2.所以球的表面积为S ＝4πR 2＝6πa 2. 答案：B5．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是( )A ．4π＋24B ．4π＋32C ．22πD ．12π解析：由三视图可知，该几何体上部分为半径为1的球，下部分为底边长为2，高为3的正四棱柱，几何体的表面积为4π＋32.答案：B 二、填空题6．将一钢球放入底面半径为3 cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm ，则钢球的半径是________．解析：圆柱形玻璃容器中水面升高4cm ，则钢球的体积为V ＝π×32×4＝36π，即有43πR 3＝36π，所以R ＝3. 答案：3 cm7．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为________．解析：由题意设两球半径分别为R 、r (R ＞r )，则：⎩⎪⎨⎪⎧4πR 2－4πr 2＝48π2πR ＋2πr ＝12π即⎩⎪⎨⎪⎧R 2－r 2＝12R ＋r ＝6.，所以R －r ＝2. 答案：28．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知几何体为组合体，上方是半径为1的球，下方是长方体，其底面是边长为2的正方形，侧棱长为4，故其体积V ＝43×π×13＋2×2×4＝16＋4π3.答案：16＋4π3三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π. 因为圆柱的体积V 圆柱＝πr 2l ＝π×12×3＝3π，又两个半球的体积2V 半球＝43πr 3＝43π，因此组合体的体积V ＝3π＋43π＝133π.10．如图，一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm ，瓶里所装的水深为8 cm ，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm ，求钢球的半径．解：设球的半径为R ，由题意可得43πR 3＝π×32×0.5，解得：R ＝1.5 (cm)，所以所求球的半径为1.5 cm.B 级能力提升1．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A.8π3 B.82π3 C ．82π D.32π3解析：截面面积为π，则该小圆的半径为1，设球的半径为R ，则R 2＝12＋12＝2，所以R ＝2，V ＝43πR 3＝82π3.答案：B2．边长为42的正方形ABCD 的四个顶点在半径为5的球O 的表面上，则四棱锥O ABCD 的体积是________．解析：因为正方形ABCD 外接圆的半径r ＝（42）2＋（42）22＝4.又因为球的半径为5，所以球心O 到平面ABCD 的距离d ＝R 2－r 2＝3，所以V O ABCD ＝13×(42)3×3＝32.答案：323．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形的圆柱)的表面积分别是S 1，S 2，S 3，试比较它们的大小．解：设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，等边圆柱的底面半径为r ，则S 1＝6a 2，S 2＝4πR 2，S 3＝6πr 2. 由题意知，43πR 3＝a 3＝πr 2·2r ，所以R ＝334πa ，r ＝312πa ，所以S 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫334πa 2＝4π·3916π2a 2＝336πa 2， S 3＝6π⎝⎛⎭⎪⎪⎫312πa 2＝6π·314π2a 2＝354πa 2，所以S 2＜S 3.又6a 2＞3312πa 2＝354πa 2，即S 1＞S 3.所以S 1，S 2，S 3的大小关系是S 2＜S 3＜S 1.章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱(母线)延长后必交于一点．2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视虚线的画法．4．求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错．5．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．6．易混侧面积与表面积的概念.专题1空间几何体的三视图与直观图三视图是立体几何中的基本内容，能根据三视图识别其所表示的立体模型，并能根据三视图与直观图所提供的数据解决问题．主要考查形式：(1)由三视图中的部分视图确定其他视图；(2)由三视图还原几何体；(3)三视图中的相关量的计算．其中(3)是本章的难点，也是重点之一，解这类题的关键是准确地将三视图中的数据转化为几何体中的数据．[例1](1)若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为()A．2，23B．22，2C．4，2D．2，4(2)(2016·全国Ⅲ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A．18＋36 5 B．54＋18 5 C．90 D．81解析：(1)由三视图的画法规则知，正视图与俯视图长度一致，正视图与侧视图高度一致，俯视图与侧视图宽度一致．所以侧视图中2为正三棱柱的高，23为底面等边三角形的高，所以底面等边三角形边长为4.(2)由三视图可知，该几何体的底面是边长为3的正方形，高为6，侧棱长为35，则该几何体的表面积S＝2×32＋2×3×35＋2×3×6＝54＋18 5.故选B.答案：(1)D(2)B归纳升华1．第(1)题中易把23误认为是正三棱锥底面等边三角形的边长．注意“长对正、高平齐、宽相等”．2．(1)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确。

2018-2019学年人教A版高中数学必修二：空间几何体的表面积和体积(知识讲解+例题演练)

空间几何体的表面积和体积【学习目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法；2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系；3.了解球的表面积和体积公式推导的基本思想，掌握球的表面积和体积的计算公式，并会求球的表面积和体积；4.会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积. 【要点梳理】要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．1．圆柱的表面积（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r ，母线长l ，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr ，宽等于圆柱侧面的母线长l （也是高），由此可得S 圆柱侧=C l =2πr l ．（2）圆柱的表面积：2222()S r rl r r l πππ=+=+圆柱表．2．圆锥的表面积（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr ，半径等于圆锥侧面的母线长为l ，由此可得它的侧面积是12S Cl rl π==圆锥侧．（2）圆锥的表面积：S 圆锥表=πr 2+πr l ．3．圆台的表面积（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r ＇、r ，母线长为l ，那么这个扇形的面积为π(r ＇+r)l ，即圆台的侧面积为S 圆台侧=π(r ＇+r)l ．（2）圆台的表面积：22('')S r r r l rl π=+++圆台表．要点诠释：求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．4．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示．要点三、柱体、锥体、台体的体积 1．柱体的体积公式棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S 和高h 的乘积，即V 棱柱=Sh ．圆柱的体积：底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是V 圆柱=Sh=πr 2h ．综上，柱体的体积公式为V=Sh ． 2．锥体的体积公式棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =棱锥．圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =圆锥；如果底面积半径是r ，用πr 2表示S ，则213V r h π=圆锥．综上，锥体的体积公式为13V Sh =． 3．台体的体积公式棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S ＇、S ，高是h ，那么它的体积是1(')3V h S S =棱台．圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r ＇、r ，高是h ，那么它的体积是2211(')('')33V h S S h r rr r π=+=++圆台．综上，台体的体积公式为1(')3V h S S =． 4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示．要点四、球的表面积和体积 1．球的表面积（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积．（2）球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积公式 S 球=4πR 2．即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2．球的体积设球的半径为R ，它的体积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数．球的体积公式为343V R π=球．要点五、侧面积与体积的计算 1．多面体的侧面积与体积的计算在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几何组合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），以求得其表面积与体积．要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用．（1）棱锥平行于底的截面的性质：在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：S S S S S S ===小锥底小锥全小锥侧大锥底大锥全大锥侧对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比．要点诠释：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．（2）有关棱柱直截面的补充知识．在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：S 棱柱侧=C 直截l （其中C 直截、l 分别为棱柱的直截面周长与侧棱长）， V 棱柱=S 直截l （其中S 直截、l 分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）． 2．旋转体的侧面积和体积的计算（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形式及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键．（2）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关问题的关键．【典型例题】类型一、简单几何体的表面积例1．如右图，有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为345(0)a a a a >、、．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是．【答案】03a <<．【解析】底面积为26a ，侧面面积分别为6、8、10，拼成四棱柱时，有三种情况：221(86)2462428s a a =+⨯+⨯=+222242(108)2436,s a a =++=+ 223242(106)2432,s a a =++=+拼成三棱柱时也有三种情况：表面积为22262(1086)1248a a ⨯+++=+，24a 2+36, 24a 2+32由题意得2224281248a a +<+，解得03a <<．【总结升华】（1）直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积；表面积等于它的侧面积与上、下两个底面的面积之和．（2）求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法．所谓定义法就是利用侧面积为各侧面面积之和来求，公式法即直接用公式求解．举一反三：【变式1】一个圆柱的底面面积是S ，侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为（）A ．4S πB ．2S πC ．S πD S 【答案】A【解析】由圆柱的底面面积是S ，求出圆柱的半径为r =4S π．例2．在底面半径为R ，高为h 的圆锥内有一内接圆柱，求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高，并求此时侧面积的最大值．【思路点拨】一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求解。

高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程检测新人教A版必修2(2021年整理)

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4.1.1 圆的标准方程[A级基础巩固]一、选择题1．已知圆(x－2)2＋（y＋8)2＝（－3）2，下列说法正确的是( )A．圆心是(2,－8)，半径长为－3B．圆心是（－2，8)，半径长为3C．圆心是（2，－8),半径长为3D．圆心是(－2，8)，半径长为－3解析:由圆的标准方程（x－a)2＋(y－b）2＝r2，知圆心是（2,－8)，半径长不可能是负数，故为3.答案：C2．圆x2＋y2＝1的圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离是（)A．5 B．3 C．4 D．2解析：圆x2＋y2＝1的圆心为（0，0），所以d＝错误!＝5。

答案:A3．点（1,1)在圆(x－a）2＋(y＋a）2＝4的内部,则a的取值范围是( )A．（－1，1）B．(0,1）C．(－∞，－1）∪（1，＋∞）D．a＝±1解析：若点（1,1)在圆的内部,则(1－a)2＋（1＋a)2<4，化简得a2〈1，因此－1<a<1,故选A。

答案：A4．圆(x－1）2＋（y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )A．2 B．1＋错误!C．2＋错误!D．1＋2错误!解析：圆(x－1）2＋（y－1)2＝1的圆心为（1，1），圆心到直线x－y＝2的距离为错误!＝2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋错误!.答案：B5．圆的标准方程为(x－5）2＋(y－6）2＝a2（a＞0)．若点M(6，9)在圆上，则a的值为（) A。

2018_2019学年高中数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系课件新人教A版

(2)求弦AB的长.
解:(2)圆心 C(1,0)到直线 x+2y+4=0 的距离为 d=
|1 0 4 | 1 2
2 2
= 5,
|AB|=2 r 2 d 2 =2 16 5 =2 11 .
题型三直线与圆相切问题
【例 3】 (12 分)已知圆 O:x +y =4. (1)过点 P( 2 , 2 )作圆 O 的切线,求切线 l 的方程;
| Aa Bb C | A2 B2
代数法:
Ax By C 0 由 2 2 2 ( x a ) ( y b ) r
Δ > 0
Δ = 0
Δ< 0
消元得到一元二次方程根的判别式Δ
自我检测
1.(直线与圆的位置关系判定)直线x-y-4=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是( D ) (A)相交 (B)相切 (C)相交且过圆心 (D)相离
.
解析:点 Q 到圆心的距离为 22 42 = 20 ,所以切线长为 ( 20)2 4 =4.
答案:4
方法技巧
(1)用点斜式求直线方程时要首先验证斜率不存在的情形.
(2)直线与圆相切用几何法列式计算比较简单,一般不用代数法(判别式法).
(3)求动点P的轨迹方程要用坐标变量表示P点,即P(x,y),然后利用条件列出(x,y)满足的方程化简则得解.
1 1 |AB|= ³4 5 =2 5 , 2 2
则|OH|= | OA |2 | AH |2 = 5 ,故
| 5(1 k ) | k 1
2
= 5,
解得 k=
1 或 k=2, 2
故直线 l 的方程为 x-2y+5=0 或 2x-y-5=0.

2018-2019学年高中数学考点58 直线系方程与圆系方程庖丁解题新人教A版必修2

考点58 直线系方程与圆系方程1．与直线l :A x +B y +C=0平行的直线系方程为A x +B y +m =0； 2．与直线l :A x +B y +C=0平行的直线系方程为B x –A y +m =0；3．过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A,B 不同时为0）；4．过直线n ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）；5．过直线A x +B y +C=0与圆 x 2 + y 2 +D x + E y +F= 0 的交点的圆系方程x 2 + y 2 +D x + E y +F+λ（A x +B y +C ）=0； 6．过和交点的圆系方程为．【例】求过两圆 x 2 + y 2 －4x + 2y = 0 和 x 2 + y 2－2y －4 = 0 的交点，且圆心在直线 2x + 4y = 1上的圆方程_____________，此时圆心到x 轴的距离_____________．【答案】 x 2 + y 2－3x + y －1 = 0，12【解题技巧】在遇到过圆与圆交点的圆有关问题时，灵活应用圆系方程，可简化繁杂的解题过程．1．已知点()00,y x P 是直线0:=++C By Ax l 外一点，则方程()000=+++++C By Ax C By Ax 表示（）A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线【答案】D 【解析】2．求经过点)03(，B ，且与直线052=-+y x 垂直的直线的方程_____________．【答案】032=--y x ．【解析】设与直线052=-+y x 垂直的直线系方程为02=+-n y x ，因为经过点)03(，B ，所以3-=n ，故所求直线方程为032=--y x ．【解题技巧】对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算．3．不论k 为何实数，直线（2k ﹣1）x ﹣（k +3）y ﹣（k ﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是_____________．【答案】)3,2( 【解析】4．设直线l 经过2x –3y +2=0和3x –4y –2=0的交点,且与两坐标轴围成等腰直角三角形,求直线l 的方程_____________．【答案】x –y –4=0,或x +y –24=0．【解析】设所求的直线方程为(2x –3y +2)+λ(3x –4y –2)=0, 整理得(2+3λ)x –(4λ+3)y –2λ+2=0,由题意,得2334λλ++=±1,解得λ=–1,或λ=–57．所以所求的直线方程为x –y –4=0,或x +y –24=0．【易错易混】对求过定点（0x ，0y ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: 00()()0A x x B y y -+-=，注意的此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．5．求经过两直线1240l x y -+=：和220l x y +-=：的交点P ，且与直线33450l x y -+=：垂直的直线l 的方程_____________．【答案】4360x y +-=1．已知直线53)2(:1=++y x a l 与直线62)1(:2=+-y x a l 平行，则直线1l 在x 轴上的截距为（）A ．1-B ．95 C ．1 D ．2【答案】B【解析】由已知得2(2)3(1)a a +=-，得7a =，则直线1l 在x 轴上的截距为59,故选B ． 2．平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是（）A ．052=+-y x 或052=--y xB ．052=++y x 或052=-+y xC ．052=+-y x 或052=--y xD ．052=++y x 或052=-+y x 【答案】D【解析】依题可设所求切线方程为20x y c ++=5c =±，所以所求切线的直线方程为250x y ++=或250x y +-=，故选D ．3．过直线 2x + y + 4 = 0 和圆 x 2 + y 2+ 2x －4y + 1 = 0 的交点，面积最小的圆方程_____________，圆的面积为_____________．【答案】5x 2 + 5y 2+ 26x －12y+ 37 = 04．已知平行四边形两边所在直线的方程为x +y +2=0和3x –y +3=0,对角线的交点是(3,4),求其他两边所在直线的方程．【解析】由20330x y x y ++=⎧⎨-+=⎩得一顶点为53(,)44-．因对角线交点是(3,4),则已知顶点的相对顶点为2935(,)44．设与x +y +2=0平行的对边所在直线方程为x +y +m =0, 因为该直线过2935(,)44, 所以m =–16．设与3x –y +3=0平行的对边所在直线方程为 3x –y +n=0,同理可知过点2935 (,) 44,得n=–13．故所求直线的方程为x+y–16=0和3x–y–13=0．平行直线系两条平行的直线永远不会有交集。

【配套K12】[学习]2018-2019学年高中数学考点02 棱锥与棱台庖丁解题新人教A版必修2

考点02 棱锥与棱台1．棱锥的主要结构特征：(1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形；棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；多边形叫做棱锥的底面；顶点到底面的距离叫做棱锥的高．2．棱锥按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥等．如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形；等腰三角形底边上的高叫做棱锥的斜高．3．棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．原棱锥的底面与截面分别叫做棱台的下底面、上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面间的距离叫做棱台的高．4．由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．【例】给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．【解析】如图①所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．如图②所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的41，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底．1．能保证棱锥是正棱锥的一个条件是( ) A ．底面为正多边形B ．各侧棱都相等C ．各侧面与底面都是全等的正三角形D ．各侧面都是等腰三角形【答案】C【易错易混】对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形． 2．下列说法正确的是( )A ．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥B ．四面体一定是三棱锥C ．棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定是正棱锥D ．底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相等的棱锥一定是正棱锥【答案】B3．下列几种说法中正确的有（）①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台．②棱台的侧面一定不会是平行四边形．③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】必须用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，故①不正确;棱台的侧面一定是梯形，故②正确;有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，因为各条侧棱不一定相交于一点，故③不正确．【方法技巧】关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方法（1）举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．（2）直接法4．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是( )A ．正三棱锥B ．正四棱锥C ．正五棱锥D ．正六棱锥【答案】D【解析】如图所示，在正六边形ABCDEF 中，OA ＝OB ＝AB ，而在正六棱锥S －ABCDEF 中，SA ＞OA ＝AB ，即侧棱长大于底面边长，侧面不可能是等边三角形．5．棱台不具有的性质是（） A ．两底面相似B ．侧面都是梯形C ．侧棱长都相等D ．侧棱延长后交于一点【答案】C【解析】棱台是由平行于棱锥的底面的平面截棱锥得到的，棱锥的侧棱长不一定相等，所以棱台的侧棱长也不一定相等．A ，B ，D 选项都正确．【方法技巧】延长各侧棱看能否还原成棱锥．如图所示的两个几何体就不是棱台．6．若正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，则该棱锥的高等于( ) A ．33B ．C ．1D ．23【答案】B1．如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( )A．①③B．②④C．③④D．①②【答案】C2．有一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们所有的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，则所得到的这个组合体是( )A．底面为平行四边形的四棱柱B．五棱锥C．无平行平面的六面体D．斜三棱柱【答案】D【解析】如图，正三棱锥A—BEF和正四棱锥B—CDEF的一个侧面重合后，而面BCD和面AEF平行，其余各面都是四边形，故该组合体是斜三棱柱．3．正五棱台的上、下底面面积分别为1 cm2、49 cm2，平行于底面的截面面积为25 cm2，那么截面到上、下底面的距离的比值为________．【答案】2【解析】“还台于锥”，利用相似比求．4．如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值．【答案】4．东方之冠中国馆中国馆的几何结构是倒立的棱台。

2018-2019学年高中数学考点22 平面与平面平行的判定庖丁解题新人教A版必修2

考点22 平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．【例】平面α∥平面β的一个条件是( )A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a、b、a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α【答案】D1．经过平面α外的两个点作该平面的平行平面，可以作出( )A．0个B．1个C．0个或1个D．1个或2个【答案】C【解析】这两个点所在的直线可能和平面平行或相交【易错易混】易丢掉两直线在平面异侧，直线与平面相交的情况．2．已知α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可确定α∥β的是( )小试牛刀典型例题要点阐述A．α，β都平行于直线lB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线，且l∥β，m∥β，l∥α，m∥αD【答案】3．正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是(B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G【答案】A【解析】只有平面E1FG1与平面EGH1 符合平面平行的条件，所以选A4．给出下列结论，正确的有( )①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】①可能相交，③中如果两点所在的直线与平面平行是可以成立的．所以只有②④正确5．两个平面平行的条件是( )A．一个平面内一条直线平行于另一个平面B．一个平面内两条直线平行于另一个平面2C．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面D．两个平面都平行于同一条直线【答案】C【解析】A、B、D的条件下两个平面可能相交，所以只能选C．6．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是DA，DC，DD1的中点，试找出过正方体的三个顶点且与平面EFG平行的平面，并给予证明．【解析】过正方体的三个顶点且与平面EFG平行的平面有两个，即平面ACD1和平面A1BC1．同理，AD1∥平面A1BC1，∴EF∥平面A1BC1，EG∥平面A1BC1．又∵EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面A1BC1．11．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )A．1个或2个B．0个或1个C．1个D．0个【答案】B【解析】若过两点的直线与平面α相交，则经过这两点不能作平面与平面α平行；若过该两点的直线与平面α平行，则有唯一一个过该直线的平面与平面α平行．故选B．2．有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β．其中正确的有________．(填序号)【答案】③3．如图所示的是正方体的平面展开图．有下列四个命题：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF．其中，正确命题的序号是________．【答案】①②③④【解析】展开图可以折成如图（1）所示的正方体．考题速递24．如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，若D是棱CC1的中点，E是棱BB1的中点，问在棱AB上是否存在一点F，使平面DEF∥平面AB1C1？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．【解析】存在点F，且F为AB的中点．理由如下：如图，取AB的中点F，连接DF，EF，因为四边形BCC1B1是平行四边形，所以BB1∥CC1，且BB1＝CC1，因为D，E分别是CC1和BB1的中点，所以C1D∥B1E且C1D＝B1E，所以四边形B1C1DE是平行四边形，所以DE∥B1C1，又DE⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1．所以DE∥平面AB1C1．1数学文化框架结构的楼房2。

20182019学年高中数学考点15平面庖丁解题新人教A版必修2

宝宝宝宝嘻嘻嘻考点 15 平面1．平面的相关观点几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无穷延展的．往常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面，如图，平行四边形的锐角往常画成 45°，且横边长等于其邻边长的 2 倍．平面表示为：平面α、平面 AC、平面 BD或许．平面ABC D．2．点、直线、平面间的关系表示（ 1）点P在直线l上，记作；点P在直线l外，记作；假如直线l 上的全部点都在平面α 内，就说直线l 在平面α内，或许说平面α 经过直线l ，记作；不然，就说直线l 在平面α外，记作．（ 2）点A在平面α内，记作；点B在平面α 外，记作．（ 3）平面α与平面β订交于直线l ，记作α ∩ β＝l ．3．基天性质公义 1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的全部点都在这个平面内，或许说直线在平面内，或平面经过直线．公义 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．也能够简单地说成：不共线的三点确立一个平面．推论：（1）推论 1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．（2）推论 2 经过两条订交直线，有且只有一个平面．（3）推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．公义 3：假如不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．宝宝宝宝嘻嘻嘻交线．【例】在三棱锥 A－ BCD的边 AB、 BC、CD、 DA上分别取E、 F、 G、 H四点，假如EF∩ HG＝ P，则点 P( )A．必定在直线BD上B．必定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上【答案】 B【规律方法】解决点线共面问题的基本方法是归入法和同一法．归入法：同一法：宝宝宝宝嘻嘻嘻1．以下四个选项中的图形表示两个订交平面，此中画法正确的选项是( )【答案】 D【分析】画两个订交平面时，被遮住的部分用虚线表示．2．假如直线a平面α ，直线b平面α，M∈ a，N∈ b，且M∈ l，N∈l，那么( ) A．lαB．l∈αC．l∩α＝M D．l∩α＝N【答案】 A3．以下命题中必定正确的选项是( )A．三个点确立一个平面B．三条平行直线必共面C．三条订交直线必共面D．梯形必定是平面图形【答案】 D【分析】由公义 2，知梯形是平面图形，应选D．【规律总结】解决立体几何问题第一应过好三大语言关，即实现这三种语言的互相变换，正确理解会合符号所表示的几何图形的实质意义，适合地用符号语言描绘图形语言，将图形语言用文字语言描绘出来，再变换为符号语言．文字语言和符号语言在变换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．4．下边给出了四个条件：①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线 a 都订交的两条直线；④两两订交的三条直线．此中，能确立一个平面的条件有( )A．0 个B．1 个宝宝宝宝嘻嘻嘻C．2 个D．3 个【答案】 A【分析】①中空间三点共线时不可以确立一个平面．②中点在直线上时不可以确立一个平面．③中两直线若不平行也不订交时不可以确立一个平面．④中三条直线交于一点且不共面时不可以确立一个平面．【解题技巧】在办理点线共面、三点共线及三线共点问题时要领会三个公义的作用，体会先部分再整体的思想．5．一条直线和这条直线外不共线的三点，最多可确立( )A．三个平面B．四个平面C．五个平面D．六个平面【答案】 B【分析】直线和直线外的每一个点都能够确立一个平面，有三个平面，此外，不共线的三点能够确立一个平面，共可确立四个平面．6．如下图，△ABC在平面α外，其三边所在的直线分别与α 交于P、Q、R三点，判断P、Q、 R三点能否共线，并说明原因．7．如下图，四边形ABCD中，已知 AB∥ CD， AB， BC，DC， AD（或延伸线）分别与平面α订交于 E，F， G， H，求证： E， F， G，H必在同向来线上．1 ．平面α ∩平面β＝l，点A∈ α，点B∈ β，且B?l，点C∈ α，又AC∩l＝R，过A、B、C三点确立的平面为γ ，则β ∩ γ 是( )A．直线CR B．直线BRC．直线AB D．直线BC【答案】 B【分析】 A∈ γ，C∈ γ，则 AC?γ，∴ R∈ γ， R∈ l ， l ?β，∴ R∈β，则 BR?β，又 B∈ γ，R∈ γ，则 BR?γ，故β ∩γ＝ BR．2．在三棱锥A— BCD的棱 AB、 BC、 CD、 DA上分别取点E、F、 G、 H，假如 EF与 HG订交于一点M，那么()A．M必定在直线AC上B．M必定在直线BD上C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上D．M既不在直线AC上，也不在直线BD上【答案】 A【分析】如下图，由于E∈ AB， F∈ BC，由基天性质 1 知EF? 面ABC，由于G∈CD， H∈AD，由基天性质1知 GH?面 AC D．而面 ABC∩面 ACD＝ AC，EF和 HG若订交，则交点既在平面 ABC内又在平面 ACD内，所以必定在平面 ABC和平面 ACD的交线 AC上，应选A．3 ．一条直线与此外两条直线都订交，它们能确立的平面的个数为________．【答案】 1或2或3【分析】如图，空间三条直线中的一条直线与其余两条都订交，那么由这三条直线可确定的平面的个数是1( 如图（ 1）所示 ) ，或 2( 如图（ 2）所示 ) ，或 3( 如图（ 3）所示 ) ．4．已知正方体ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别为 D1C1， C1B1的中点， AC∩ BD＝P， A1C1∩ EF＝ Q．求证：（1）D，B，F，E四点共面；（2）若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．【分析】如图．宝宝宝宝嘻嘻嘻（ 2）正方体AC1中，设平面A1ACC1确立的平面为α ，又设平面BDEF为β ．∵Q∈ A1 C1，∴ Q∈ α．又 Q∈EF，∴ Q∈β ．则 Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，∴ α ∩β＝ PQ．又 A1C∩ β＝ R，∴ R∈ A1C．∴R∈ α，且 R∈β，则 R∈PQ．故 P， Q，R三点共线．从自行车看三点共面自行车是我们常有的交通工具，在雾霾笼盖，大气污染严重的现在社会被各国政府鼎力倡导．。

【推荐精选】2018-2019学年高中数学专题09 函数与方程庖丁解题新人教A版必修1

专题09 函数与方程考点53 函数的零点1．函数的零点对于函数y ＝f （x ），把使f （x ）＝0的实数x 叫做函数y ＝f （x ）的零点． 2．方程、函数、函数图象之间的关系方程f （x ）＝0有实数根⇔函数y ＝f （x ）的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f （x ）有零点． 3．函数零点的存在性定理如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f （a ）·f （b ）<0，那么，函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ∈（a ，b ），使得f （c ）＝0，这个c 也就是方程f （x ）＝0的根．【例】求函数f （x ）＝2x＋lg （x ＋1）－2的零点个数．【解析】解法一：∵f （0）＝1＋0－2＝－1<0，f （2）＝4＋lg3－2>0，由零点存在性定理，f （x ）在（0,2）上存在实根又f （x ）＝2x ＋lg （x ＋1）－2在（0，＋∞）为增函数，故f （x ）有且只有一个零点．解法二：（数形结合）在同一坐标系中作出g （x ）＝2－2x和h （x ）＝lg （x ＋1）的图象（如图所示），由图象可知有且只有一个交点，即函数f （x ）有且只有一个零点．1．下列函数没有零点的是 A ．f （x ）＝0 B ．f （x ）＝2 C ．f （x ）＝x 2－1 D ．f （x ）＝x －1x【答案】B【解析】函数f （x ）＝2，不能满足方程f （x ）＝0，因此没有零点．2．若y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是 A ．若f （a ）·f （b ）<0，不存在实数c ∈（a ，b ），使得f （c ）＝0B ．若f （a ）·f （b ）<0，存在且只存在一个实数c ∈（a ，b ），使得f （c ）＝0C ．若f （a ）·f （b ）>0，不存在实数c ∈（a ，b ），使得f （c ）＝0D ．若f （a ）·f （b ）>0，有可能存在实数c ∈（a ，b ），使得f （c ）＝0 【答案】D【解析】由零点存在性定理可知选项A 不正确；对于选项B ，可通过反例“f （x ）＝x （x －1）（x ＋1）在区间[－2，2]上满足f （－2）·f （2）<0，但其存在三个零点：－1，0，1”推翻；选项C 可通过反例“f （x ）＝（x －1）·（x ＋1）在区间[－2,2]上满足f （－2）·f （2）>0，但其存在两个零点：－1，1”推翻．【解题技巧】确定函数f （x ）的零点所在区间的常用方法（1）利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f（a ）·f （b ）<0．若有，则函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内必有零点．（2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 3．下列图象表示的函数中没有零点的是．【答案】A【解析】B ，C ，D 的图象均与x 轴有交点，故函数均有零点，A 的图象与x 轴没有交点，故函数没有零点． 4．根据表格中的数据，可以断定函数f （x ）＝e x－x －2的一个零点所在的区间是．A ．（－1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3）【答案】C【思路归纳】确定函数的零点（方程的根）是否在区间（a,b ）时，通常利用零点的存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值是否异号．（1）先求f （a ），f （b ）；（2）判断f （a ）f （b ）的符号；（3）若f （a ）f （b ）<0,则零点在区间内，否则，不在区间内。

高考专题---圆的切线方程-庖丁解题2018-2019学年高一数学人教版(必修2) ---精校解析 Word版

利用圆的切线进行运算时，通常要把切点与圆心连结起来，充分利用“垂直”来解决问题．【例】平行于直线210m x y -+=：且与圆225C x y +=：相切的直线l 的方程是（）A ．250x y -+=B ．250x y --=C ．250250x y x y ++=+-=或D ．250x y -+=或250x y --=【答案】D【规律总结】过一点引圆的切线：（1）若点在圆外，则过此点可以引两条圆的切线；（2）若点在圆上，则过此点只能引一条圆的切线；（3）若点在圆内，则过此点不能作圆的切线．1．圆2240x y x +-=在点P （1 ）A ．20x -=B ．40x -=C ．40x += D ．20x +=【答案】D【解析】设圆心为C （2,0），则直线CP 又切线与直线CP垂直，由点斜式得切线方程为)1y x -，即20x +=． 2．若直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 相切，则实数m 为( ) A ．0或2 B ．2 C ． 2 D ．0【答案】B【解析】依题意，得m ＞0，|m|12＋12＝m ，解得m ＝2．3．过点(3,0)的直线l 和圆22:(1)1C x y -+=相切，则直线l 的斜率为_____________．【答案】4．圆心为（1,2）且与直线51270x y --=相切的圆的方程为_____________．【答案】()()22124x y -+-=【解析】圆的半径为圆心（1，2）到直线51270x y --=的距离，即2r ==．5．从点P （4，5）向圆()2224x y -+=引切线，则切线方程_____________．【答案】2120160x y -+=或 4.x =【解析】设切线斜率为k ，则切线方程为()54y k x -=-，即540kx y k -+-=．又圆心坐标为（2，0），2r =2=，2120k =，所以切线方程为2120160x y -+=．还有一条切线是 4.x = 【解题策略】已知一点求圆的切线方程时，切勿漏掉斜率不存在的情况，一般利用分类讨论思想求解．6．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，过点P (2，－1)作圆C 的切线，切点为A ，B ．（1）求直线PA ，PB 的方程；（2）求过P 点的圆C 的切线长．1．过点P （–1，2）且与圆C ：225x y +=相切的直线方程是_____________．【答案】250x y -+=【解析】点P （–1，2）是圆225x y +=上的点，圆心C （0，0），则221PC k ==--，所以12k =，12(1)2y x -=+，即所求切线方程是250x y -+=．2．从点P （4，5）向圆()2224x y -+=引切线，则切线方程_____________．【答案】2120160x y -+=或 4.x =【解析】设切线斜率为k ，则切线方程为()54y k x -=-，即540kx y k -+-=．又圆心坐标为（2，0），2r =2=，2120k =，所以切线方程为2120160x y -+=．还有一条切线是 4.x = 3．过原点的直线与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）A ．y ＝3xB ．y ＝－3xC ．y ＝33xD ．y ＝－33x【答案】C【解析】因为圆心为（－2,0），半径为1，由图可知直线的斜率为r4－r 2＝33，所以直线方程为y ＝33x ．4．过点A （4，–3）作圆22(3)(1)1C x y -+-=：的切线，求此切线的方程．独轮车走钢丝独轮车的车轮与钢丝是相切关系。

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考点49 轨迹方程
在高考数学试题中，求动点轨迹是一个难点，也是一个重点．求动点轨迹方程常用的方法有：直接法、定义法、参数法，相关点法等．
【例】已知动点P (x ，y )与两定点
M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于–1．则动点P 的轨迹C 的方程为_______________．【答案】x 2
+y 2
＝1(x ≠±1)．
【规律方法】求轨迹方程的一般步骤
（1）建立适当坐标系，设出动点M 的坐标(x ，y )．（2）列出点M 满足条件的集合．
（3）用坐标表示上述条件，列出方程f(x ，y )＝0．（4）将上述方程化简．
（5）证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．
1．方程y ＝9－x 2
表示的曲线是( )
A ．一条射线
B ．一个圆
C ．两条射线
D ．半个圆
【答案】D
【解析】方程y ＝9－x 2
可化为x 2
＋y 2
＝9(y ≥0)，
所以方程y ＝9－x 2
表示圆x 2
＋y 2
＝9位于x 轴上方的部分，是半个圆．【易错易混】要注意到y >0,应是个半圆．
2．方程x2 +y2+2ax–b2 =0表示的图形是（）
A．一个圆B．只有当a=0时，才能表示一个圆
C．一个点D．a，b不同时为0时，才能表示一个圆
【答案】D
【解析】当a=b=0时，原方程变为x2+y2=0，表示一个点．当a2+b2≠0时，方程x2+y2+2ax–b2=0表示一个圆．
3．在△ABC中，若顶点B、C的坐标分别是（－2，0）和（2，0），中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是（）
A．x2＋y2＝3 B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝9（y≠0）D．x2＋y2＝9（x≠0）
【答案】C
【解析】中点D（0，0），由于|AD|为定长3，所以A点在以D为圆心，3为半径的圆上，选C．【规律总结】求轨迹方程时经常遇到“去”或“补”的问题，当所求方程包括不合题意的点时，必须去
掉；当所求方程不含其他合乎条件的点时，必须补出来（如本例）．以上例题所用方法均是由题意所给出的等量关系直接列出方程所得，故称“直接法”．
4．已知两定点A（–2，0），B（1，0），若动P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（）
A．πB．4π
C．8πD．9π
【答案】B
5．已知动点M到点（8，0）的距离等于点M到点（2，0）的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是（）A．x2+y2 =32 B．x2+y2 =16
C．（x–1）2+y2=16 D．x2+（y–1）2=16
【答案】B
【解析】设M（x，y），则M整理得x2+y2= 16．
6．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0．
（1）求证：对任意m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
（2）求弦AB 的中点M 的轨迹方程．
y －
( )
A ．一个圆
B ．两个圆
C ．一个半圆
D ．两个半圆
【答案】D
【解析】方程可化为(|x |－1)2
＋(y －1)2
＝1，又|x |－1≥0，所以x ≥1或x ≤－1．若x ≤－1，方程为(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝1；若x ≥1，方程为(x －1)2
＋(y －1)2
＝1．方程表示两个半圆． 2．动点A 在圆x 2
+y 2
=1上移动时,它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是．
【答案】(2x –3)2
+4y 2
=1
【解析】设中点M(x ,y ),则动点A(2x –3,2y ),∵A 在圆x 2
+y 2
=1上,∴(2x –3)2
+(2y )2
=1, 即所求轨迹方程为(2x –3)2
+4y 2
=1．
3．设方程2224
2(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=，若该方程表示一个圆， m 的取值范
围，这时圆心的轨迹方程．【答案】2
4(3)1y x =--，20,47x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
【解析】配方得：[]2
2
2
2
(3)(14)167x m y m m m ⎡⎤-++--=+-⎣⎦
4．设定点M （–3，4），动点N 在圆x 2
+y 2
=4上运动，以OM ，ON 为两边作Y MONP ，求点P 的轨迹方程．
【解析】如图所示，设P （x ，y ），N （x 0，y 0），则线段OP 的中点坐标为(,)22x y
，线段MN 的中点坐标为0034
(,)22
x y -+．因为平行四边形的对角线互相平分，故
0034
,2222
x y x y -+==，则有003
4
x x y y =+⎧⎨
=-⎩即N （x +3，y –4）．
又点N 在圆x 2
+ y 2
=4上，故（x +3）2
+（y –4）2
=4．因此点P 的轨迹为圆（除去两点），
其轨迹方程为（x +3）2
+（y –4）2
=4 （除去2128912
(,),(,)5555
-
-，两点）．
天津之眼
天津之眼，全称天津永乐桥摩天轮，坐落在天津海河畔，是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，兼具观光和交通功能．是世界上唯一建在桥上的摩天轮，是天津的地标之一．
摩天轮直径为110米，轮外装挂64个360度透明座舱，每个座舱可乘坐8个人，可同时供512个人观光．摩天轮旋转一周所需时间为30分钟，到达最高处时，周边景色一览无余，甚至能看到方圆40公里以内的景致，被誉为“天津之眼”．图为天津之眼夜景．。

2018-2019学年高中数学 考点49 轨迹方程庖丁解题 新人教A版必修2