常州市第五中学高二第一学期期末数学复习卷3
2021-2022学年江苏省常州市教育学会高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2021-2022学年江苏省常州市教育学会高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线的倾斜角的大小是( )A. B.C.D.2.函数的单调递增区间是( )A.B.C.D.3.南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，5，11，21，37，61，则该数列的第7项为( )A. 95B. 131C. 139D. 1414.若点P 是圆C ：上一点，则点P 到直线的距离最大值为( )A. B. C. 2D. 5.已知函数在定义域内单调递减，则实数a 的取值范围是( )A. B. C.D.6.记为等差数列的前n 项和，给出下列4个条件：①②③④，若只有一个条件不成立，则该条件为( )A. ① B. ②C. ③D. ④7.已知双曲线的焦点为、，其渐近线上横坐标为的点P 满足，则( )A. B. C. 2D. 48.已知数列满足，，设，若对于，都有恒成立，则t 的最大值为( )A. 3B. 4C. 7D. 9二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.已知曲线C 的方程为，则下列结论正确的是( )A. 当时，曲线C为圆B. “”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分而不必要条件C. 存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为D. 当时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为10.已知函数，当时，有极大值，则a的取值可以是( )A. 6B. 5C. 4D. 311.已知是等差数列的前n项和，且，则下列命题正确的是( )A. B.该数列的公差C. D.12.古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，，，点P满足设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是( )A. C的方程为B. 当A，B，P三点不共线时，射线PO是的平分线C. 在C上存在K使得D. 在x轴上存在异于A，B的两个定点D，E，使得三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.抛物线的焦点到准线的距离是__________.14.在正项等比数列中，若，与的等差中项为12，则等于__________.15.美学四大构件是：史诗、音乐、造型绘画、建筑等和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画切面圆柱体用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一个底角为的直角梯形如图所示，则该椭圆的离心率为__________.16.定义在R上的函数满足，其中为自然对数的底数，，则满足的a的取值范围是__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
江苏省常州市2022高二数学上学期期末考试试题(含解析)
【点睛】这个题目考查了抛物线方程的求法，可称为待定系数法，较为基础.
4.命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】
根据命题的否定的要求，写出原命题的否定，得到答案.
【详解】原命题为命题“ ， ”
所以命题的否定为“ ， ”
故选：A.
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于简单题.
15.若数列 的通项公式为 ，数列 满足 ，则数列 的前10项和为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据 的通项，得到 的通项，利用分组求和和裂项相消法，求出 的前10项和.
【详解】因为 ，
所以
所以 的前10项和.
.
故答案为：
【点睛】本题考查求数列的通项，分组求和法和裂项相消求和，属于简单题.
根据基本不等式使用条件“一正二定三相等”
当且仅当 为定值，
，
当且仅当 时，等号成立.
即当且仅当 为定值且 时 取得最大值
故选：D.
【点睛】本题考查基本不等式求积的最大值，基本不等式的使用条件，属于简单题.
9.《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是 尺，芒种的日影子长为 尺，则冬至的日影子长为：（ ）
【详解】因为双曲线的离心率为 ，所以 ，
所以得到 ，所以
所以双曲线 ： 的渐近线为
取 ，倾斜角为 ，
为直径，所以 ，所以 为等腰直角三角形
所以 ，解得
所以 .
故选：A.
【点睛】本题考查根据双曲线的离心率求渐近线方程，双曲线的几何性质，属于简单题.
江苏省常州市2023-2024学年高二上学期期末学业水平监测数学试卷
40 岁以下
总计
200
(1)将题中表格补充完整（填写在答题卡上）； (2)判断是否有 99.9%的把握认为该市市民每日平均运动的步数与年龄有关．
附： K 2
n(ad bc)2
，其中 n a b c d ．
(a b)(c d)(a c)(b d)
P(K 2 k0 ) 0.025 0.010 0.005 0.001
9．点 A2,1 、 B a,1 a ，过 A 、 B 的直线为 l ，下列说法正确的有（ ）
A．若 a 1，则直线 l 的方程为 x 3y 1 0 B．若 a 1，则直线 l 的倾斜角为 π
4 C．任意实数 a ，都有 AB 3
D．存在两个不同的实数 a ，能使直线 l 在 x 、 y 轴上的截距互为相反数
(1)求 an (n 0,1, 2,,16) 的最大值； (2)求 f (5) 5 被 13 除的余数．
21．已知等差数列an 满足 a3 a4 12 ， a5 a7 22 ，数列bn 满足 b1 3，且
bn1 2bn n 1．
(1)证明：bn n是等比数列，并求数列an 和bn 的通项公式：
D． 4 2 2, 4 2 2
8．经过双曲线 C : x2 12
y2 b2
1b
0 的右焦点 F
作该双曲线的一条渐近线的垂线 l ，垂足
为
M
，且
l
交另一条渐近线于点
N
，若
uuur 3FN
uuur 5MF
，则 b
的值为（
）
A． 2 6
B． 4
C． 2
D． 3
试卷第 1 页，共 4 页
二、多选题
(2)将数列an和bn的公共项从小到大排成的数列记为cn ，求 (1)n cn 的前 2n 项和
高二数学上学期期末考试试题文_3(共10页)
三中2021—2021学年(xuénián)第一学期高二年级期末考试数学〔文科〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1．集合，，那么〔〕A． B． C． D．2．抛物线的准线方程为〔〕A．B．C．D．3．复数满足〔为虚数单位〕，那么z的虚部为〔〕. A．B．C．D．4．命题“〞的否认是〔〕A．，B．，x∃∈R，C．，D．5．一个物体的位移(米)与时间是(秒)的关系为，那么该物体在3秒末的瞬时速度是〔〕A．6米/秒B．5米/秒C．4米/秒D．3米/秒6．假设点的直角坐标为，那么它的极坐标可以是〔〕A．B．C．D．7．函数的导函数的图象如图，那么以下表达正确的选项是〔〕A ．函数(hánshù)()f x 在上单调递减B ．函数()f x 在处获得极值C ．函数()f x 在处获得极大值D ．函数()f x 只有一个极值点8．某同学在研究性学习中，搜集到某制药厂今年前5个月甲胶囊消费产量〔单位：万盒〕的数据 如下表所示：假设线性相关，线性回归方程为，估计该制药厂6月份消费甲胶囊产量为〔 〕 A ．万盒B ．万盒C ．万盒D ．万盒9．一次数学考试后，甲说：我是第一名，乙说：我是第一名，丙说:乙是第一名。
丁说：我不是第一名，假设这四人中只有一个人说的是真话且获得第一名的只有一人，那么第一名的是〔 〕 A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁10．,为椭圆的左右焦点，过原点且倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点为，假设,，那么椭圆C 的方程为〔 〕 A ．B ．C ．D ．11．函数(hánshù)，假设函数有个零点，那么实数的取值范围是〔〕A．B．C．D．12．分别是双曲线的左、右焦点，过1F的直线l与C 的左、右两支分别交于点．假设为等边三角形，那么双曲线C的离心率为〔〕A．B．C．D．二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.13．函数在处的切线方程是________．14．中国有个名句：“运筹帷幄之中，决胜千里之外〞.其中“筹〞的原意是指?孙子算经?中记载的算筹，古代是用算筹来进展计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进展运算，算筹的摆放形式有纵、横两种形式，下表只给出了1~6的纵、横两种表示法：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，请观察表中纵横两种表示法的特征，并用算筹表示628为___________.15. 点和抛物线，过C的焦点且斜率为的直线与C交于A，两点．假设，那么________．16.假设(jiǎshè)函数有两个极值点，那么实数a的取值范围是__________．三、解答题：一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.17.(10分)集合，，全集．〔1〕当时，求，；〔2〕假设是成立的充分不必要条件,务实数a的取值范围．18.〔12分〕选择恰当的方法证明以下各式:〔1〕〔2〕，，证明：19.〔12分〕为理解人们对“延迟退休年龄政策〞的态度，某部门从年龄在15岁到65岁的人群中随机调查了100人，并得到如下图的频率分布直方图，在这100人中不支持“延迟退休年龄政策〞的人数与年龄的统计结果如表所示：(1)由频率分布直方图，估计这100人年龄的平均数；(2)根据以上(yǐshàng)统计数据填写上下面的22列联表，据此表，能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策〞的态度存在差异？45岁以下45岁以上总计不支持支持总计参考数据：P(K2≥k0)kx=-相切，设动圆圆心E的轨迹为20.〔12分〕动圆经过定点，且与直线1曲线C.〔1〕求曲线C的方程；〔2〕设过点的直线，分别与曲线C交于A，B两点，直线1l，2l的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值.21. 〔12分〕函数，.〔1〕求的单调区间；〔2〕假设在上成立，求a的取值范围．22. 〔12分〕曲线(qūxiàn)：〔t 为参数〕，：〔为参数〕.〔1〕化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？ 〔2〕假设1C 上的点P 对应的参数为，为2C 上的动点，求的中点到直线的间隔 的最小值数学(sh ùxu é)〔文科〕答案一、选择题CDADC BDCCA BB 二、填空题 13.14.15. 2 16.三、解答题17. 【详解】〔1〕当a ＝2时，A ＝{x |1≤x ≤7}，那么A ∩B ＝{x |1≤x ≤4}； ∁U A ＝{x |x ＜1或者x ＞7}，∁U B ＝{x |x ＜﹣2或者x ＞4}， 〔∁U A 〕∩〔∁R B 〕＝{x |x ＜﹣2或者x ＞7}；〔2〕∵x ∈A 是x ∈B 成立的充分不必要条件，∴A ⫋B ， ①假设A ＝∅，那么a ﹣1＞2a +3，解得a ＜﹣4；②假设A ≠∅，由A ⫋B ，得到，且a ﹣1≥﹣2与2a +3≤4不同时取等号 解得：﹣1≤a，综上所述：a 的取值范围是〔﹣∞，﹣4〕∪[﹣1，12]． 18. 答案：分析法及综合法均可证明。
2018-2019学年江苏省常州市高二(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年江苏省常州市高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共16小题，每小题5分，共计70分，不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上1．（5分）过点（0，1），（2，0）的直线的斜率为．2．（5分）命题“∃x∈R，x2+2x+1＝0”的否定是命题．（选填“真”、“假”之一）3．（5分）抛物线y2＝4x的准线方程是．4．（5分）与正方体各面都相切的球，它的体积与该正方体的体积之比为．5．（5分）若抛物线的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，且经过点（1，﹣4），则抛物线的方程为．6．（5分）（文科做）曲线y＝e x+1在x＝0处的切线方程为．7．（理科做）在空间直角坐标系O﹣xyz中，若三点A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（a，3，b）共线，则a+b＝．8．（5分）设a∈R，则“a＞1”是“|a|＞1”的条件．（选填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一）9．（5分）若方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是．10．（5分）一个正四棱锥的底面边长为3cm，侧棱长为5cm，则它的体积为cm3．11．（5分）双曲线﹣y2＝1（其中a＞0）的离心率为2，则实数a的值为．12．（5分）（文科做）已知函数f（x）＝x3+x2﹣x在（a，a+2）上存在极小值，则实数a的取值范围为．13．（理科做）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2AA1，则直线AC1与B1C所成角的余弦值为．14．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．在下列命题中，有且仅有一个是真命题，它的序号是．①若m⊥n，n∥α，则m⊥α；②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；③m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α；④若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆+＝1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，射线AF2交椭圆于B．若△AF1B的面积为40，内角A为60°，则椭圆的焦距为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：y＝kx﹣5（其中k＞0）上存在点P，在圆C：x2+（y﹣1）2＝1上存在两个不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，则实数k的最小值是．二、解答题：本大题共7小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣m）2+（y+2）2＝9（其中m∈R）．设p：点（1，﹣2）在圆C1内，设q：圆C1与圆C2：（x+1）2+（y﹣1）2＝4外离．（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若q为真命题，求m的取值范围；（3）若“p或q”为真命题，求m的取值范围．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，BC＝AB，E，F分别为BC，CD的中点，且PF⊥平面ABCD．求证：（1）EF∥平面PBD；（2）AE⊥平面PEF．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣＝1（m＞0，n＞0）经过点（，0），其中一条近线的方程为y＝x，椭圆C2：+＝1（a＞b＞0）与双曲线C1有相同的焦点．椭圆C2的左焦点，左顶点和上顶点分别为F，A，B，且点F到直线AB的距离为．（1）求双曲线C1的方程；（2）求椭圆C2的方程．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣4）2+y2＝9与x轴交于A，B两点（其中点A在点B左侧），直线l过点（1，﹣4）．（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；（2）若直线l上存在点M，满足MA＝2MB．①求直线l的斜率的取值范围；②若点M不在x轴上，求△MAB面积的最大值及此时直线l的方程．21．（16分）（文科做）已知函数f（x）＝x3﹣（a+1）x2+x．（1）若a≤0，求f（x）的单调减区间；（2）当a在区间（0，1）上变化时，求f（x）的极小值的最大值．22．（理科做）如图，正四棱锥V﹣ABCD底面边长为4，侧棱长为．以该正四棱锥的底面中心O为坐标原点建立直角坐标系O﹣xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC中点．（1）求向量，的夹角的余弦值；（2）求二面角B﹣VC﹣D的余弦值．23．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+＝1（a＞b＞0）过点（1，e），（e，），其中e为椭圆的离心率，过定点N（m，0）（0＜m＜a）的动直线l与椭圆交于A，B两点．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右准线与x轴的交点为M，若∠OMA＝∠OMB总成立，求m的值；（3）是否存在定点M′（x0，0）（其中x0＞a），使得∠OM′A＝∠OM′B总成立？如果存在，求出点M的坐标（用m表示x0）；如果不存在，请说明理由．2018-2019学年江苏省常州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共16小题，每小题5分，共计70分，不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上1．【解答】解：根据直线的斜率公式得k＝＝，故答案为：．2．【解答】解：∵由x2+2x+1＝0得（x+1）2＝0，∴x＝﹣1，则命题“∃x∈R，x2+2x+1＝0”是真命题，则命题的否定是假命题，故答案为：假3．【解答】解：∵2p＝4，∴p＝2，开口向右，∴准线方程是x＝﹣1．故答案为x＝﹣1．4．【解答】解：设球的半径为r，则正方体的棱长为2r，所以，正方体的体积为（2r）3＝8r3，球的体积为．所以，球的体积与正方体的体积之比为．故答案为：．5．【解答】解：由题意可设抛物线方程为x2＝﹣2py（p＞0），∵抛物线经过点（1，﹣4），∴1＝8p，得p＝．∴抛物线的方程为．故答案为：x2＝﹣y．6．【解答】解：y＝e x+1的导数为y′＝e x，可得曲线y＝e x+1在x＝0处的切线斜率为k＝1，切点为（0，2），即有切线方程为y＝x+2．故答案为：y＝x+2．7．【解答】解：空间直角坐标系O﹣xyz中，三点A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（a，3，b）共线，则＝（1，﹣1，3），＝（a﹣1，﹣2，b+2）；∴＝＝，解得a＝3，b＝4，∴a+b＝7．故答案为：7．8．【解答】解：解绝对值不等式“|a|＞1”，得a＞1或a＜﹣1，又“a＞1”是“a＞1或a＜﹣1”的充分不必要条件，即“a＞1”是“|a|＞1”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要条件9．【解答】解：由题意可得a2+5＞2a2+1，即a2＜4，可得﹣2＜a＜2，即a的曲折范围是（﹣2，2）．故答案为：（﹣2，2）．10．【解答】解：如图，∵正四棱锥的底面边长为3cm，∴S ABCD＝18cm3．连接AC，BD，交于O，连接PO，则PO⊥底面ABCD，OC＝cm，又棱长PC＝5cm，∴OP＝cm，∴cm3．故答案为：24．11．【解答】解：双曲线﹣y2＝1的b＝1，c＝，可得e＝＝＝2，解得a＝，故答案为：．12．【解答】由函数f（x）＝x3+x2﹣x．得f′（x）＝3x2+2x﹣1．令f′（x）＝3x2+2x﹣1＝0，解得．∵x∈（﹣1，），f′（x）＜0 且x∈（，+∞），f′（x）＞0．∴为f（x）的极小值点．∵函数f（x）在区间（a，a+2）上存在极小值．∴即．故答案为：．13．【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2AA1，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝BC＝2AA1＝2，则A（2，0，0），C1（0，2，1），B1（2，2，1），C（0，2，0），＝（﹣2，2，1），＝（﹣2，0，﹣1），设直线AC1与B1C所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴直线AC1与B1C所成角的余弦值为．故答案为：．14．【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在①中，若m⊥n，n∥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故①错误；在②中，若m∥β，β⊥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故②错误；在③中，m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故③错误；在④中，若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则由线面垂直的判定定理得m⊥α，故④正确．故答案为：④．15．【解答】解：由题意可得△AF1F2为等边三角形，即有2c＝a，b＝＝c，可得椭圆方程为3x2+4y2＝12c2，设直线AB的方程为x＝﹣y+c，代入椭圆方程可得3（y2+c2﹣cy）+4y2＝12c2，化为5y2﹣2cy﹣9c2＝0，解得y＝c或y＝﹣c，即有△AF1B的面积为•2c•|y A﹣y B|＝c•c＝40，可得c＝5，即有椭圆的焦距为10．故答案为：10．16．【解答】解：圆心坐标C（0，1），半径R＝2，则直径为2，要使在圆C：x2+（y﹣1）2＝1上存在两个不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，即MN＝MP，则MN的最大值为直径2，即MP的最大值为2，即圆心C到直线y＝kx﹣5的最大值距离d＝1+2＝3，即圆心到直线l：kx﹣y﹣5＝0的距离d满足d≤3，即≤3，则≥2，平方得1+k2≥4，得k2≥3，得k≥或k≤﹣（舍），则k的最小值为，故答案为：二、解答题：本大题共7小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．【解答】解：（1）若p为真命题，即点（1，﹣2）在圆C1：（x﹣m）2+（y+2）2＝9内，则（1﹣m）2+（﹣2+2）2＜9，解得﹣2＜m＜4，即m的取值范围为（﹣2，4）；（2）若q为真命题，即圆C1与圆C2外离，则＞5，解得m＞3或m＜﹣5，即m的取值范围是（﹣∞，﹣5）∪（3，+∞）；（3）因为“p或q为真命题，则p，q中至少有一个是真命题即可，所以m的取值范围为（﹣∞，﹣5）∪（﹣2，+∞）18．【解答】证明：（1）∵E，F分别是BC，CD的中点，∴EF∥BD，∵EF⊄平面PBD，BD⊂平面PBD，∴EF∥平面PBD．（2）设AB＝a，∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，BC＝AB，E，F分别为BC，CD的中点，且PF⊥平面ABCD，∴EF＝a，AE＝a，AF＝，∴AE2+EF2＝AF2，∴AE⊥EF，∵PF⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PF⊥AE，∵PF∩EF＝F，∴AE⊥平面PEF．19．【解答】解：（1）双曲线C1：﹣＝1（m＞0，n＞0）经过点（，0），可得m2＝3，其中一条近线的方程为y＝x，可得＝，解得m＝，n＝1，即有双曲线C1的方程为﹣y2＝1；（2）椭圆C2：+＝1（a＞b＞0）与双曲线C1有相同的焦点，可得a2﹣b2＝4，①椭圆C2的左焦点，左顶点和上顶点分别为F（﹣2，0），A（﹣a，0），B（0，b），由点F到直线AB：bx﹣ay+ab＝0的距离为，可得＝，化为a2+b2＝7（a﹣2）2，②由①②解得a＝4，b＝2，则椭圆C2的方程为+＝1．20．【解答】解：若直线l与x轴垂直，则直线l的方程为x＝1，若直线l与x轴不垂直，则设l的方程为y+4＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣4＝0．（1）若直线l与x轴垂直，则直线l和圆C相切，符号条件若直线l与x轴不垂直，若直线和圆相切，得圆心到直线的距离d＝＝＝3，解得k＝，即直线l的方程为7x﹣24y﹣103＝0，综上直线l的方程为7x﹣24y﹣103＝0或x＝1（2）设M（x，y），则由MA＝2MB，得，MA2＝4MB2，即（x﹣1）2+y2＝4[（x﹣7）2+y2]整理得：（x﹣9）2+y2＝16，即点M在圆（x﹣9）2+y2＝16上，①根据题意直线l与圆（x﹣9）2+y2＝16有公共点，注意到直线l的斜率明显存在，因此直线l：kx﹣y﹣k﹣4＝0与圆（x﹣9）2+y2＝16有公共点，即＝≤4，解得0≤k≤，即直线l的斜率的范围[0，]．②∵M在圆（x﹣9）2+y2＝16上，∴当点M的坐标为（9，4）或（9，﹣4）时，M到x轴上的距离d取得最大值4，则△MAB面积的最大值为AB•d max＝＝12，此时直线l的方程为x﹣y﹣5＝0或y＝﹣4．21．【解答】解：（1）①若a＝0，f（x）＝，则f（x）的单调递减区间为（1，+∞）；②若a＜0，则f′（x）＝．令f′（x）＜0，得，即x＜或x＞1．则f（x）的单调减区间为（﹣∞，），（1，+∞）；（2）f′（x）＝，0＜a＜1．当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（1，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．∴f（x）的极小值为为f（）＝＝．当a＝时，函数f（x）的极小值f（）取得最大值为．22．【解答】解：（1）根据条件知正四棱锥V﹣ABCD的高为＝3，根据条件，B（2，2，0），C（﹣2，2，0），D（﹣2，﹣2，0），V（0，0，3），E（﹣1，1，），∴＝（﹣3，﹣1，），＝（1，3，），∴向量，的夹角的余弦值为cos＜＞＝＝＝﹣．（2）＝（4，0，0），设平面BVC的一个法向量＝（x，y，z），则，取y＝3，得＝（0，3，2），同理可得平面DVC的一个法向量＝（﹣3，0，2），设二面角B﹣VC﹣D的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴二面角B﹣VC﹣D的余弦值为．23．【解答】解：（1）∵椭圆+＝1（a＞b＞0）过点（1，e），（e，），∴，解得a＝，b＝c＝1，∴椭圆方程为+y2＝1．（2）椭圆的准线方程为x＝2，则M（2，0），当直线l与x轴垂直或与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB；当直线l与x轴不垂直且不重合时，设l的方程为y＝k（x﹣m），k≠0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（2k2+1）x2﹣4mk2x+2m2k2﹣2＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，（*），∵∠OMA＝∠OMB总成立，又MA，MB斜率存在，故MA，MB的斜率和总为0，＝0对k∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒成立，即＝﹣对k∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒成立，即2x1x2﹣（m+2）（x1+x2）+4m＝0k∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒成立，代入（*）式并整理得m＝1．（3）假设存在这样的点M′（x0，0），（其中x0＞a）满足条件，则M′A，M′B的斜率同时存在且和为0，即+＝0，根据题意，只需要考虑直线l与x轴不垂直也不重合的情形，结合（2）中（*）式有：x0＝＝＝＝＝＝为定值，∴这样的点M′如果存在，其坐标只可能为（，0），∵m∈（0，），∴满足条件，∴M′坐标为（，0）．。
2020-2021学年江苏省常州市高二上学期期末数学试题及答案解析
绝密★启用前2020-2021学年江苏省常州市高二上学期期末数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．两实数a ，b 满足a b <，则下列结论正确的是（ ） A ．22a b < B ．2b ab >C ．33a b <D ．11a b> 答案：C根据不等式的性质及特殊值法即可求解.解：取2,0a b =-=时，可判断22a b <错误；取2,1a b =-=-，可判断2b ab >错误； 由不等式性质可知33a b a b <⇒<成立，取2,1a b =-=，可判断11a b>错误. 故选：C2．不等式22730x x -+>的解集为（ ）A ．13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1,32⎛⎫⎪⎝⎭C ．13),2(,⎛⎫--+-∞∞ ⎪⎝⎭D ．1,(3,)2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭答案：D直接根据一元二次不等式的解法求解.解：由22730x x -+>可得(21)(3)0x x -->， 解得3x >或12x <， 所以不等式的解集为1,(3,)2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭， 故选：D3．设i 是虚数单位，若复数z 满足()310z i -=，则在复平面内复数z 对应的点的坐标为（ ） A ．()1,3 B ．()3,1C ．()1,3--D ．()3,1--答案：B按照复数的除法运算法则化简z ，再写出对应的坐标解：()()()()103103333i i z i i i +-+===+- 对应的坐标为()3,1 故选B4．在空间直角坐标系O xyz -中，向量()1,1,2a =--，()1,1,3b =分别为异面直线1l ，2l 的方向向量，则异面直线1l ，2l 所成角的余弦值为（ ） A． B．11-CD．11答案：C根据向量的夹角直接计算即可求解. 解：因为()1,1,2a =--，()1,1,3b =，所以cos ,11||||a ba b a b →→→→→→⋅<>===-， 因为异面直线1l ，2l 所成角为锐角或直角， 所以异面直线1l ，2l， 故选：C5．若椭圆2214x y +=与双曲线2221(0)x y a a -=>的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A．2y x =± B．y = C ．12y x =±D ．2y =±x答案：A求出椭圆的焦点坐标，再求出a ，再求渐近线方程即可.解：2214x y +=的焦点为30,213a +=，a =所以渐近线的方程为2y x =± 故选：A6．设抛物线24y x =的焦点为F ，以F 为端点的射线与抛物线相交于A ，与抛物线的准线相交于B ，若4FB FA =，则FA FB ⋅=（ ） A ．9 B ．8C ．6D ．4答案：A根据平行关系可证明N 点，A 点分别是线段BF ，NF 的中点，再根据比列关系求A 点横坐标即可求解.解：设FB 交y 轴于N 点，如图，由准线与y 轴平行，且O 为中点， 所以N 是BF 中点， 因为4FB FA =， 所以A 是NF 的中点，设A 的横坐标为m,则由抛物线的定义,||||(1)1AF AC m m ==--=+，由AC 与x 轴平行，可得1342m +=， 解得12m =∴334622FA FB ==⨯=，， ∴⋅=FA FB |FA||FB|=9， 故选：A【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义及平行关系，建立比列关系求出||AF 的长，是解题的关键所在，属于中档题.7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列命题一定正确的是（ ） A ．若20200S >，则10a > B ．若20210S >，则10a > C ．若20200S >，则20a > D ．若20210S >，则20a >答案：B根据等比数列的前n 项和公式分别讨论20200S >和20210S >即可得答案. 解：当1q =时，2020120200S a =>，故10a >，20a >， 当1q ≠时，()202012020101a q S q-=>-，分以下几种情况，当1q <-时，10a <，此时210a a q =>； 当10q -<<时，10a >，此时120a a q =<， 当01q <<时，10a >，此时210a a q =>； 当1q >时，10a >，此时210a a q =>； 故当20200S >时，1a 与2a 可正可负，故排除A 、C. 当1q =时， 2021120210S a =>，故10a >， 20a >； 当1q ≠时，()202112021101a q S q-=>-，由于20211q-与1q -同号，故10a >，所以21a a q =符号随q 正负变化，故D 不正确，B 正确； 故选：B【点睛】关键点点睛：本题解决时根据等比数列的求和公式，分类讨论公比的情形是解决问题的关键，分析出首项及公比的情况即可确定第二项的符号,属于中档题.8．在我国古代数学著作《九章算术》里有这样一段描述：今有良马和驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.当二马相逢时，良马所行路程为（ ） A ．1345里 B ．1395里C ．1440里D ．1470里答案：B根据题中条件，确定两马每日的所行路程构成等差数列，设n 天后两马相逢，根据两马所行总路程是两地距离的2倍，列出方程，即可求解.解：设良马每天所行路程为{}n a ，则{}n a 是以103为首项，以13为公差的等差数列， 其前n 项为n A ，驽马每天所行路程为{}n b ，则{}n b 是以97为首项，以12-为公差的等差数列，其前项为n B ， 设共用n 天二马相逢，则21125n n A B +=⨯, 所以(1)(1)110313972250222n n n n n n --⎛⎫+⨯++⨯-= ⎪⎝⎭， 化简得2313600n n +-=，解得9n =， 因此良马所行路程为99810391313952A ⨯=⨯+⨯=. 故选：B.二、多选题9．若正实数a ，b 满足1a b +=，则下列结论正确的有（ ）A ．14ab ≤B ≥C ．114a b+≥D ．2212a b +≥答案：ACD由正实数a ,b 满足1a b +=,再根据基本不等式判断判断每个选项的正误.解：0a >,0b >,且1a b +=,1a b ∴=+≥14ab ∴≤,故A 正确；(2112a ba b +=++=+≤+=,≤故B 错误； 因为1114a b a b ab ab++==≥,故C 正确； 因为()222112121242a b a b ab ab +=+-=-≥-⨯=,故D 正确. 故选：ACD【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，已知312a =，120S >，130S <，则下列结论正确的有（ ） A ．670a a +< B ．70a <C ．d 可以取负整数D ．对任意*n N ∈，有6n S S ≤答案：BD利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可判断出结论． 解：因为12112111202S a d ⨯=+⋅>， 13113121302S a d ⨯=+⋅< 所以112110,60a d a d +>+<， 即6770,0,a a a +>< 所以60a >，由312a =得1122a d =-，联立112110,60a d a d +>+<可解得 2437d -<<-， 故等差数列{}n a 是单调递减的，且60a >， 70,a < 所以对任意*n N ∈，有6n S S ≤ 综上可知BD 正确， 故选：BD【点睛】关键点点睛：由120S >，130S <解得60a >，70a <是求解本题的关键所在，由此结合条件求出d 的范围，判断数列的单调性，求出6n S S ≤，属于中档题.11．2020年11月28日，“嫦娥五号”顺利进入环月轨道，其轨道是以月球的球心F 为一个焦点的椭圆(如图所示).已知它的近月点A(离月球表面最近的点)距离月球表面m 千米，远月点B(离月球表面最远的点)距离月球表面n 千米，AB 为椭圆的长轴，月球的半径为R 千米.设该椭圆的长轴长，焦距分别为2a ，2c ，则下列结论正确的有（ ）A ．2m naB ．2m na R +=+ C ．2n mc -=D ．2n mc R -=+ 答案：BC根据图形椭圆长轴长为22a R m n =++，利用椭圆几何性质及图形再写出,a c a c -+即可求解. 解：由题意可知22a R m n =++， 所以2m na R +=+， 因为a c R m -=+，a c R n ，所以2n mc -=故选：BC12(的倒数)的双曲线称为黄金双曲线.已知黄金双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>)的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴端点分别为1A ，2A (其中1A 在2A 左侧)，虚轴端点分别为1B ，2B ，过2F 作x 轴的垂线与双曲线交于P ，Q 两点，则下列结论正确的有（ ） A ．245POF ∠=︒ B ．12PQ F F =C ．211B F A △为锐角三角形D ．12B B 是12A A ，12F F 的等比中项答案：ABD 根据离心率，得到512ca ，2212b a=，将12x a =代入双曲线方程，根据题中条件，求出222PF QF OF ==，可判断AB 正确；再由计算11120B F B A =⋅，可判断C 错；计算21221210F F B A B A -=⋅，可判断D 正确.解：因为离心率为c e a ==，则512c a， 所以)2222214b a a =-=，则2221x a =，其左右焦点分别为1,0F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,0F ⎫⎝⎪⎪⎭；令x a =代入2221x a =可得y =，因为过2F 作x 轴的垂线与双曲线交于P ，Q 两点，则222PF QF OF ===，所以245POF ∠=︒，12PQ F F =，即AB 正确； 又实轴端点分别为()1,0A a -，()2,0A a ；虚轴端点分别为1B ，2B ，不妨记()10,B b -，()20,B b ，则()11,B F c b =-，()12,B A a b =，所以22211120B F B A a c b ⋅=-+=+=， 则1112B F B A ⊥，即211B F A △为直角三角形，故C 错； 又122B B b =，122A A a =，122F F c =，所以222212121244440F F B B ac b A A -=-=-⋅=， 即12B B 是12A A ，12F F 的等比中项，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据离心率用a 表示出双曲线的方程，得到焦点坐标、实轴端点和虚轴端点坐标，即可结合双曲线的性质求解；解决此类题目要求学生要有较强的计算能力.（求解时，也可用特殊值法，直接令2a =或其它常数，进行求解.）三、填空题13．若正项等比数列{}n a 满足154a a =，当2414a a +取最小值时，数列{}n a 的公比是__________. 答案：2根据等比数列的性质，得到244a a =，由基本不等式求出2414a a +的最小值，由等号成立的条件，即可求出公比.解：设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，因为154a a =，所以由等比数列的性质可得，244a a =；因此2424141422a a a a +≥⋅=， 当且仅当2414a a =，即2424a q a ==，即2q （负值舍去）时，等号成立.所以数列{}n a 的公比是2. 故答案为：2.14．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第35项是__________.答案：171根据杨辉三角，总结出规律，确定其第()2k k ≥行的第三个数的通项，再确定第35项是第19行的第三个数，由通项公式，即可求出结果. 解：由杨辉三角可得，第2行的第三个数为1； 第3行的第三个数为12+； 第4行的第三个数为123++； 第5行的第三个数为1234+++； ……因此第()2k k ≥行的第三个数为()123...1k ++++-， 而该数列的第35项是第19行的第三个数， 所以第35项是()18118123 (181712)+++++==. 故答案为：171.15．在三棱锥O ABC -中，E 为OA 中点，13CF CB =，若OA a →=，OB b →=，OC c →=，EF p a q b r c →→→=++，则p q r ++=__________.答案：12根据向量的加减法运算结合图形直接计算即可. 解：如图，故12112()23233EF EA AB BF a b a c b a b c →→→→→→→→→→→→=++=+-+-=-++，11212332p q r ∴++=-++=故答案为：1216．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上存在点P ，使得124PF PF =，其中1F ，2F 分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的取值范围是__________. 答案：3,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭利用椭圆定义122PF PF a +=，可求出185a PF =，225a PF =，再利用椭圆焦半径范围可求出离心率取值范围.解：设椭圆的焦距为()20c c >，由椭圆的定义可得122PF PF a +=，又124PF PF = 可得185a PF =，225aPF = 由题意可得8525aa c a a c⎧≤+⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩，解得315ca ≤< 315e ∴≤<故答案为：3,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)．四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a =，728S =. （1）求{}n a 的通项公式：（2）若110m m a a +≤<，求m S 的值. 答案：（1）122n a n =+（2）100 （1）根据等差数列的通项公式及求和公式列方程求解即可； （2）由不等式可求出m ，利用求和公式即可求解. 解：（1）23a =，728S =，217413707(3)18a a d S a a d =+=⎧∴⎨==+=⎩，解得151,22a d ==， 511(1)2222n a n n ∴=+-⨯=+，（2）由（1）知，5151(1)102222m m +-≤<+， 解得1516()m m Z <≤∈，16m ∴=，1651615116100222S ⨯∴=⨯+⨯=.18．已知对任意(1,)x ∈+∞，不等式24451x x m x x -+-≤≤+-成立，记满足条件的m 的取值集合为A ，记关于y 的不等式()222300y ay a a +-≤>的解集为B .（1）求集合A 与B ；（2）若“t A ∈”是“t B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 答案：（1）[]1,5A =-；[]3,B a a =-；（2）5a ≥.（1）通过配方，求出245x x -+-的最大值，利用基本不等式求出41x x +-的最小值，得到m 的范围，确定集合A ；解一元二次不等式()222300y ay a a +-≤>，直接得到B ；（2）根据“t A ∈”是“t B ∈”的充分不必要条件，得到A 是B 的真子集，由（1）列出不等式求解，即可的出结果.解：（1）当(1,)x ∈+∞时，()2245211x x x -+-=---≤-，当且仅当2x =时，245x x -+-取得最大值；44111511x x x x +=-++≥=--，当且仅当411x x -=-，即3x =时，等号成立；因为对任意(1,)x ∈+∞，不等式24451x x m x x -+-≤≤+-成立， 所以15m -≤≤；即[]1,5A =-；由22230y ay a +-≤可得()()30y a y a -≤+，因为0a >，所以3a y a -≤≤，即[]3,B a a =-；（2）若“t A ∈”是“t B ∈”的充分不必要条件，则A 是B 的真子集， 所以315a a -≤-⎧⎨≥⎩，解得5a ≥，即实数a 的取值范围是5a ≥. 【点睛】结论点睛：根据命题的充分条件与必要条件求参数时，一般可根据如下规则求解： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．19．在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC CC ===，90ACB ∠=︒，点D 在棱AC 上(不同于点A ，C)，点E 为棱1CC 的中点.（1）求直线1BC 与平面1A BE 所成角的正弦值； （2）若二面角1A BE D --的余弦值为66，求线段CD 的长. 答案：（1）36（2）1 （1）建立空间直角坐标系，根据线面角公式求解即可； （2）设(,0,0)(02)D <<，根据二面角公式及二面角1A BE D --的余弦值为6解方程即可求解.解：(1)如图建立空间直角坐标系C 一xyz ,则B(0,2,0)，C (0,0,2)，E(0,0,1 )，A 1(2,0,2).11(0,2,2),(2,0,1),(0,2,1)BC EA EB ∴=-==-.设平面1A BE 的法向量为(,,)n x y z =,则2020x z y z +=⎧⎨-=⎩,令x = 1,则(1,1,2)n =--.所以1113cos ,.6||||BC n BC n BC n⋅<>==-所以直线BC 与平面1A BE （2）设(,0,0)(02)D <<，则(,2,0)BD →=-,设平面BED 的法向量为(,,)m x y z →=，则2020x y y z λ-=⎧⎨-=⎩,令y = 1,则2(,1,2)m λ→=.因为二面角1A BE D --的余弦值为6所以2|5|||cos ,6||||6m n m n m n →→→-⋅<>===⨯， 解得1λ=， 所以1CD =【点睛】关键点点睛：向量法求二面角的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，斜率为3的直线l 与抛物线C 交于A ，B两点，与x 轴交于点P.（1）若5AF BF +=，求直线l 的方程；（2）若3AP PB =，求弦AB 的长. 答案：（1）186230x y --=（2（1）设直线l ：3y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得123x x +=；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：13x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果. 解：（1）由焦点为()1,0F 知，2p =， 所以抛物线方程为24y x =，设直线l 方程为：3y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：1225AF BF x x +=++= 123x x ∴+=联立234y x m y x=+⎧⎨=⎩得：()229640x m x m +-+=则()2264360m m ∆=-->13m ∴<126439m x x -∴+=-=，解得：236m =- ∴直线l 的方程为：2336y x =-，即：186230x y --=（2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：13x y t =+联立2134x y t y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：24403y y t --= 则161609t ∆=+> 19t ∴>-1243y y ∴+=，124y y t3AP PB =123y y ∴=- 223y ∴=-，12y = 1243y y ∴=-则AB ===【点睛】关键点点睛：根据题意，合理设直线方程的形式，利用抛物线的定义，联立抛物线方程，利用韦达定理，弦长公式，对计算要求较高，属于中档题.21．已知数列{}n a 的奇数项是首项为1，公差为d 的等差数列，偶数项是首项为2，公比为q 的等比数列.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足34S a =，3542a a a +=+· （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设实数0M >，若对于任意*k N ∈，都有(]2120,k kS M a -∈求M 的最小值. 答案：（1）22,23,n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⨯⎩是奇数是偶数（2）1 . （1）将已知条件12343542a a a a a a a ++=⎧⎨+=+⎩整理为121211222d qd d q +++=⎧⎨+++=+⎩求出q 和d 的值即可求出通项；（2）先利用分组求和求出21k S -，利用通项求出2k a ，可得22121121113232213k k k k k S k a k ----==+⨯⨯+--，构造数列()2112321k k f k -=+⨯-，利用作差法判断其单调性，可得M 的范围，即可求解. 解：（1）由题意可得11a =，22a =， 因为34S a =，3542a a a +=+，所以12343542a a a a a a a ++=⎧⎨+=+⎩，即121211222d q d d q +++=⎧⎨+++=+⎩整理得：4232d qd q +=⎧⎨=⎩解得：23d q =⎧⎨=⎩，所以22,23,n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⨯⎩是奇数是偶数， ()()2113212422k k k S a a a a a a ---=+++++++()()012135212333k k -=++++-+⨯+++()()121113*********k k k k k --⨯-+-=+⨯=+--，221222323k k k a --=⨯=⨯，所以22121121113232213kkkkkS kak----==+⨯⨯+--，令()2112321kkf k-=+⨯-，则()()()22122231211132323k k kk k k kf k f k-+---+++-=-=⨯⨯⨯，令()2223g k k k=-++，对称轴为12k=，所以()2223g k k k=-++随k的增大而减小，()130g=>，()222222310g=-⨯+⨯+=-<，所以()()21f f>，()()()234f f f>>>，所以2k=时，()2112321kkf k-=+⨯-最大值为()2112121223f=+=⨯-，所以1M≥，所以M的最小值为1.【点睛】易错点睛：本题是函数与数列的综合问题，解决该问题应该注意的事项：(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.22．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>过点()1,e，且32e=，其中e为椭圆C的离心率.若A，B分别是椭圆C的上顶点与右顶点，动直线()0y kx k=>与椭圆C 交于E，F两点，其中点E在第一象限.（1）求椭圆C的方程；（2）设AEB△，AFB△的面积分别为1S，2S，求21SS的最小值，并求出此时k的值.答案：（1）2214x y +=；（2）21S S的最小值为3+k 的值为12. （1）根据题中条件，由椭圆的性质列出方程组，求出22,a b ，即可得出椭圆方程；（2）先由（1）得到()0,1A ，()2,0B ，求出直线AB 的方程，根据题意，设()00,E x y ，得()00,F x y --，联立直线()0y kx k =>与椭圆方程，求出00,x y ，再分别记点E ，F 到直线AB 的距离为1d ，2d ，根据点到直线距离公式， 以及三角形面积公式，得到2211S d S d =，利用基本不等式，即可求出其最小值，以及取最小值时的k 值.解：（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()1,e，且e =e 为椭圆C 的离心率，所以222222112e a b c e a a b c ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，即2222222112c a a b c a a b c⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得222143b a c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为2214xy +=；（2）由（1）可得，()0,1A ，()2,0B ， 所以直线AB 的方程为121x y+=，即220x y +-=， 由题意，设()00,E x y ()00x >，因为直线()0y kx k =>与椭圆C 交于E ，F 两点，所以()00,F x y --；由00220014y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩可得2220014x k x +=，则0x =0y = 分别记点E ，F 到直线AB 的距离为1d ，2d ，则1d ===，因为0k >，所以()()22121440k kk +-+=>，则102k >+，因此1212k d +=同理2212kd+==，又AEB△，AFB△的面积分别为1S，2S，所以2221111221111221AB dS dkS dA dB====+=++-211111 121k=+==+≥+=+-3=+当且仅当214k=，即12k=（负值舍去）时，等号成立.故21SS的最小值为3+，此时k的值为12.【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线中三角形的面积问题时，一般需要联立直线与曲线方程，根据韦达定理，以及三角形面积公式表示出三角形的面积，再结合相关知识即可求解三角形面积的最值或面积之比的最值等.。
江苏省常州市高二上学期数学期末考试试卷
江苏省常州市高二上学期数学期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） 直线 l1 过点 A(3，1)，B(-3，4)，直线 l2 过点 C(1，3)，D(-1，4)，则直线 l1 与 l2 的位置关系 为（ ）A . 平行B . 重合C . 垂直D . 无法判断2. （2 分） (2019·浙江模拟) 双曲线的焦点坐标是（ ）A.B. C.D. 3. （2 分） 下列命题中错误的是 （ ） A . 在空间直角坐标系中，在 x 轴上的点的坐标一定是(0，b ， c) B . 在空间直角坐标系中，在 yOz 平面上的点的坐标一定是(0，b ， c) C . 在空间直角坐标系中，在 z 轴上的点的坐标可记作(0,0，c) D . 在空间直角坐标系中，在 xOz 平面上的点的坐标是(a,0，c) 4. （2 分） (2018·延边模拟) 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成， 则该几何体的体积为（ ）第 1 页 共 20 页A. B. C. D. 5. （2 分） (2020 高一下·扬州期中) 过点 A（1，2）作圆 x2+（y﹣1）2＝1 的切线，则切线方程是（ ） A . x＝1 B . y＝2 C . x＝2 或 y＝1 D . x＝1 或 y＝2 6. （2 分） 若 和 都是定义在 上的函数，则“ 与 同是奇函数或偶函数”是“ 是偶函数”的（ ） A . 充分非必要条件. B . 必要非充分条件. C . 充要条件. D . 既非充分又非必要条件7. （2 分） (2018 高二上·大庆期中) 若抛物线顶点为，对称轴为 x 轴，焦点在上那么抛物线的方程为（ ）A.第 2 页 共 20 页B. C. D. 8. （2 分） 已知 为两条不同直线, 为两个不同平面,给出下列命题:①②③④其中的正确命题序号（ ）A . ③④B . ②③C . ①②D . ①②③④9. （2 分） 设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与 该双曲线的一条渐近线垂直，那 么此双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D. 10. （2 分） 已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2，则四面体 ABCD 的体积的取值范围是 （）A.第 3 页 共 20 页B.C.D.二、 填空题 (共 7 题；共 7 分)11.（1 分）已知一个三棱锥的体积和表面积分别为 V，S，若 V=2，S=3，则该三棱锥内切球的表面积是________．12. （1 分） (2018 高二上·西城期末) 经过点且与直线垂直的直线方程为________.13. （1 分） 已知 =(-3,2.1), =(-1,0,4)，则向量 与 ﹣λ 垂直的充要条件是 λ=________14. （1 分） (2017 高三上·宿迁期中) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（﹣1，0），B（1，0）均在圆 C： （x﹣3）2+（y﹣4）2=r2 外，且圆 C 上存在唯一一点 P 满足 AP⊥BP，则半径 r 的值为________．15. （1 分） (2020 高一下·宁波期中) 已知为等腰直角三角形，C 为直角顶点，AC 中点为，斜边上中线 CE 所在直线方程为，且点 C 的纵坐标大于点 E 的纵坐标，则 AB 所在直线的方程为________.16. （1 分） (2016 高二上·临漳期中) 直线 mx+ny﹣3=0 与圆 x2+y2=3 没有公共点，若以（m，n）为点 P 的坐标，则过点 P 的一条直线与椭圆的公共点有________个．17. （1 分） (2017 高二上·芜湖期末) 若圆 x2+y2﹣ax+2y+1=0 与圆 x2+y2=1 关于直线 y=x﹣l 对称，过点 C （﹣a，a）的圆 P 与 y 轴相切，则圆心 P 的轨迹方程为________．三、 解答题 (共 5 题；共 25 分)18. （5 分） (2018 高二上·安庆期中) 已知圆 C 的圆心在直线 x﹣2y﹣3=0 上，并且经过 A（2，﹣3）和 B（﹣ 2，﹣5），求圆 C 的标准方程．19. （5 分） 如图，ABCD 为直角梯形，∠C=∠CDA=90°，AD=2BC=2CD=2，P 为平面 ABCD 外一点，且 PB⊥BD．（1）求证：PA⊥BD；第 4 页 共 20 页（2）若直线 l 过点 P，且直线 l∥直线 BC，试在直线 l 上找一点 E，使得直线 PC∥平面 EBD； （3）若 PC⊥CD，PB=4，求四棱锥 P﹣ABCD 的体积．20. （5 分） (2020 高二上·深圳期末) 设椭圆方程（）， ， 是椭圆的左右焦点，以 ， 及椭圆短轴的一个端点为顶点的三角形是面积为 的正三角形.（1） 求椭圆方程；（2） 过 分别作直线 ， ，且两点，求四边形面积的最小值.，设 与椭圆交于 ， 两点， 与椭圆交于 ，21. （5 分） (2018 高三上·南阳期末) 如图 1，在平行四边形， 、 分别为 、的中点，现把平行四边形接、、．中， 1沿，，折起如图 2 所示，连（1） 求证：；（2） 若，求二面角的正弦值．22. （5 分） (2018 高二上·深圳期中) 已知椭圆 的标准方程为 ，且离心率为 ．（1） 求椭圆的标准方程；（2） 过椭圆长轴上一点作两条互相垂直的弦第 5 页 共 20 页，该椭圆经过点．若弦的中点分别为，证明：直线恒过定点．第 6 页 共 20 页一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)答案：1-1、 考点： 解析：参考答案答案：2-1、 考点：解析： 答案：3-1、 考点： 解析： 答案：4-1、第 7 页 共 20 页考点： 解析：答案：5-1、 考点：解析： 答案：6-1、 考点： 解析：第 8 页 共 20 页答案：7-1、 考点： 解析：答案：8-1、 考点：解析：答案：9-1、 考点： 解析：答案：10-1、 考点：第 9 页 共 20 页解析：二、 填空题 (共 7 题；共 7 分)答案：11-1、 考点：解析： 答案：12-1、 考点：解析： 答案：13-1、 考点：第 10 页 共 20 页解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共25分)答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
常州市教育学会2021-2022学年高二上学期期末数学试卷(含答案解析)
常州市教育学会2021-2022学年高二上学期期末数学试卷班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________一、单选题（本大题共8小题，共40分）1、直线x+√3y=0的倾斜角的大小是（）A. 30°B. 60°C. 150°D. 120°2、函数f(x)=xe x的单调递增区间是（）A. (−∞,−1)B. (−∞,0)C. (0,+∞)D. (−1,+∞)3、南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，5，11，21，37，61，则该数列的第7项为（）A. 95B. 131C. 139D. 1414、若点P是圆C：x2+y2+2y=0上一点，则点P到直线2x−y+4=0的距离最大值为（）A. √5−1B. √5+2C. 2D. √5+15、已知函数f(x)=2lnx−x+ax在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,1]B. (−∞,1)C. (1,+∞)D. [1,+∞)6、记S n为等差数列{a n}的前n项和，给出下列4个条件：①a1=1；②a4=4；③S3=9；④S5=25，若只有一个条件不成立，则该条件为（）A. ①B. ②C. ③D. ④7、已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点为F1、F2，其渐近线上横坐标为12的点P满足PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则a=（）A. 14B. 12C. 2D. 48、已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+2n(n∈N∗)，b n=a n+1a n.设t∈Z，若对于∀n∈N∗，都有b n>t恒成立，则t的最大值为（）A. 3B. 4C. 7D. 9二、多选题（本大题共4小题，共20分）9、已知曲线C的方程为x2k−2+y26−k=1(k∈R)，则下列结论正确的是（）A. 当k=4时，曲线C为圆B. “k>4”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分而不必要条件C. 存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为√2D. 当k=0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y=±√3x10、已知函数f(x)=(x−a)(x−3)2，当x=3时，f(x)有极大值，则a的取值可以是（）A. 6B. 5C. 4D. 311、已知S n是等差数列{a n}的前n项和，且S5<S6=S7>S8，则下列命题正确的是（）A. S5<S9B. 该数列的公差d<0C. a7=0D. S12>012、古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值m(m≠1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，A(−2,0)，B(4,0)，点P满足PAPB =12.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（）A. C的方程为(x+4)2+y2=12B. 当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线C. 在C上存在K使得KO=2KAD. 在x轴上存在异于A，B的两个定点D，E，使得PDPE =12三、填空题（本大题共4小题，共20分）13、抛物线y=2x2的焦点到准线的距离是．14、在正项等比数列{a n}中，若a1a5a9=64，a6与a7的等差中项为12，则a10等于______．15、美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画切面圆柱体(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线)的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一个底角为45°的直角梯形(如图所示)，则该椭圆的离心率为．16、定义在R 上的函数f(x)满足f′(x)−f(x)<2e x ，其中e 为自然对数的底数，f(2)=4e 2，则满足f(a)2>ae a 的a 的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17、(本小题10.0分)等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，且a 1+a 3=8，a 4−a 2=4． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)记数列{1S n }的前n 项和为T n ，若T n >99100，求n 的最小值．18、(本小题12.0分)已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx +c(a,b,c 为常数)． (1)求曲线y =f(x)在点(0,f(0)处的切线方程；(2)若a =b =4，且函数f(x)有三个互不相同的零点，求实数c 的取值范围． 19、(本小题12.0分)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：x24+y 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，且椭圆C 1与抛物线C 2：y 2=2px(p >0)在第一象限的交点为Q ，已知∠F 1QF 2=60°． (1)求ΔF 1QF 2的面积； (2)求抛物线C 2的标准方程． 20、(本小题12.0分)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且2S n =3a n −3，等差数列{b n }中，b 3=23，b 5=19． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式a n ，b n ；(2)定义：a ∗b ={a,a ≤bb,a >b ，记c n =a n ∗b n ，求数列{c n }的前20项和T 20．21、(本小题12.0分)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e =2√23，且椭圆C 经过点M(3√2,√2)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点M 作两条不同的直线与椭圆C 分别交于点A ，B(均异于点M).若∠AMB 的角平分线与y 轴平行，试探究直线AB 的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由． 22、(本小题12.0分)已知函数f(x)=ae x+sinx，a∈R，e为自然对数的底数．(1)当a=1时，证明：∀x∈(−∞,0]，f(x)≥1；(2)若函数f(x)在(−π2,0)上存在极值点，求实数a的取值范围．参考答案及解析1.答案：C解析：本题考查直线方程，考查直线的斜率与倾斜角之间的关系，属于基础题．利用直线方程可求得直线的斜率，从而可求得其倾斜角．∵直线的方程为：x+√3y=0，∴其斜率为−√3，3(θ为该直线的倾斜角)，即tanθ=−√33又θ∈[0,π),∴θ=150°．即其倾斜角为150°．所以选C．2.答案：D解析：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，此题是基础题．对函数f(x)=xe x进行求导，然后令导函数大于0求出x的范围，即可得到答案．由函数f(x)=xe x，得f′(x)=e x+xe x=e x(x+1)，因为e x>0，由f′(x)=e x(x+1)>0，得：x>−1．所以，函数f(x)=xe x的单调递增区间是(−1,+∞)．所以选D．3.答案：A解析：由题意可知1，5，11，21，37，61，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，的差的数列为：4，6，10，16，24，⋅⋅⋅⋅⋅⋅则这个数列的差组成的数列为2，4，6，8，⋅⋅⋅⋅⋅⋅的差是一个等差数列，设原数列的第7项为x，则x−61=24+10，解得x=95，∴原数列的第7项是95．所以选：A．利用已知条件，推导出数列的差数的差组成的数列是等差数列，转化求解即可．本题考查等差数列在生产生活中的实际运用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：D解析：圆C：x2+y2+2y=0的标准方程为x2+(y+1)2=1，表示以C(0,−1)为圆心，半径等于1的圆．圆心到直线的距离为d=1+4√4+1=√5，故圆C上的点到直线l的距离最大值为√5+1．所以选：D．把圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标和半径，再求出圆心到直线的距离为d，把d加上半径即为所求．本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．5.答案：D解析：因为函数f(x)=2lnx−x+ax ，则f′(x)=2x −1−ax2，由已知可得f′(x)=2x−1−ax2≤0，解得a≥−x2+2x在(0,+∞)上恒成立，只需a≥(−x2+2x)max，因为−x2+2x=−(x−1)2+1，当x=1时，(−x2+2x)max=1，故a≥1，即实数a的取值范围为[1,+∞)，所以选：D．由已知求出函数的导函数，再由已知可得f′(x)=2x −1−ax2≤0，即a≥−x2+2x在(0,+∞)上恒成立，只需a≥(−x2+2x)max，然后根据二次函数的性质求出最大值即可求解．本题考查了利用函数的单调性求解参数范围的问题，涉及到导函数的性质应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．6.答案：B解析：若a1=1，a4=4同时成立，则d=1，此时S3=1+2+3=6，S5=1+2+3+4+5=15≠25与题意不符，所以①②不能同时成立，③④一定成立，由{3a 1+3d =95a 1+10d =25，解得d =2，a 1=1，①成立，②不成立， 所以选：B ．分析①②同时成立时，求出首项及公差，结合等差数列的求和公式得出③④是否可能． 本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用问题，是基础题．7.答案：B解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，向量的数量积与向量的垂直关系，考查转化思想以及计算能力，是中档题．根据题意求出P 的坐标，利用已知条件列出方程，化简求解a 即可． 双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的焦点为F 1(−c,0)，F 2(c,0)，渐近线上横坐标为12的点P ， 不妨取P 在第一象限， 可得P(12,b2a) 因为点P 满足PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以PF 1⊥PF 2， 所以(12+c)2+(b 2a )2+(12−c)2+(b2a )2=4c 2，① c 2=a 2+b 2，②解①得1+b 2a 2=4c 2，将②代入可得：1+c 2−a 2a2=4c2， 解得a =12．所以选：B ．8.答案：A解析：利用数列的递推公式可得数列{an2n +1}是以32为首相以32为公比的等比数列，即可求出列数列{a n }的通项公式，再根据函数的性质求出b n 的范围，即可求出t 的范围．本题考查了数列的递推关系式和通项公式的求法和函数的值域，属于中档题． ∵a n+1=3a n +2n ，∴a n+12n =3a n 2n+1， ∴a n+12n+1=32⋅a n2n+12，∴a n+12n+1+1=32(a n2n+1)，∵a 1=1， ∴a 121+1=32，∴数列{an2n+1}是以32为首相以32为公比的等比数列， ∴a n2n+1=(32)n ，∴a n =3n −2n ， ∴b n =a n+1a n=3n+1−2n+13n −2n=3⋅(32)n−2(32)n −1=3+1(32)n−1， ∵∀n ∈N ∗，∴(32)n −1≥12∴0<1(32)n −1≤2，∴3<b n ≤5，对于∀n ∈N ∗，都有b n >t 恒成立，∴t ≤3∴t 的最大值为3， 所以选：A ．9.答案：AD解析：当k =4时，曲线C 的方程为x 2+y 2=4，该曲线表示圆，故A 正确；由6>k >4时，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，k >6时，“曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线”，所以“k >4”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件，故B 错误； 不存在实数k 使得曲线C 为双曲线，其离心率为√2，故C 不正确；当k =0时，曲线C 为双曲线y 26−x 22=1，其渐近线方程为y =±√3x ，D 正确；所以选：AD ．根据曲线所表示的方程的特征对选项进行逐一计算即可判断．本题考查了椭圆与双曲线方程的性质，充分必要条件的判断，属于基础题．10.答案：ABC解析：本题考查导数的综合应用，利用导数求函数极值，解题中需要理清思路，属于中档题．求导得f′(x)=3x2−(2a+12)x+9+6a，由于当x=3时，f(x)有极大值，则f′(x)=0有两个根，其中一个根为3，设另一个根为x0，且3<x0，列出不等式组，求解a，即可得出答案．因为f(x)=(x−a)(x−3)2，(a∈R)f′(x)=3x2−(2a+12)x+9+6a=(x−3)2+2(x−a)(x−3)=(x−3)(3x−2a−3)，因为当x=3时，f(x)有极大值，所以f′(x)=0有两个不同的根，其中一个根为3，设另一个根为x0，且3<x0，>3，所以2a+33所以a>3，所以符合上述要求的一个a的值为4、5、6，所以选ABC．11.答案：BCD解析：本题考查命题真假的判断，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．由题意推导出a6>0，a7=0，a8<0，从而得到等差数列{a n}中前6项为正，从第8项起为负，结合等差数列的性质和前n项和的公式对对选项进行判断即可．由S5<S6可得S6−S5=a6>0，S6=S7可得S7−S6=a7=0，S7>S8可得S8−S7=a8<0，∴等差数列{a n}的公差d<0，故B正确；∴等差数列{a n}中前6项为正，第7项为0，从第8项起为负，故C正确；∴S9−S5=a9+a8+a7+a6=2(a8+a7)=2a8<0，即S9<S5故A错误；×12=6(a6+a7)=6a6>0，故D正确．S12=a1+a122所以选BCD．12.答案：BD解析：本题考查轨迹方程的求法，考查圆方程的求法和运用，以及两点距离公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．设P(x,y)，运用两点的距离公式，化简可得P的轨迹方程，可判断A；当A，B，P三点不共线时，由|OA| |OB|=12=|PA||PB|，由角平分线定理的逆定理，可判断B；若在C上存在点M，使得|KO|=2|KA|，可设K(x,y)，运用两点的距离公式，可得K的轨迹方程，联立P的轨迹方程，即可判断C；假设在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得PDPE =12，设出D，E的坐标，求得轨迹方程，对照P的轨迹方程可得D，E，可判断D．在平面直角坐标系xOy中，A(−2,0)，B(4,0)，点P满足PAPB =12，设P(x,y)，则√(x+2)2+y2√(x−4)+y2=12，即x2+y2+8x=0，化简可得(x+4)2+y2=16，故A错误；当A，B，P三点不共线时，由|OA||OB|=12=|PA||PB|，可得射线PO是∠APB的平分线，故B正确；若在C上存在点K，使得|KO|=2|KA|，可设K(x,y)，即有√x2+y2=2√(x+2)2+y2，化简可得x2+y2+163x+163=0，联立x2+y2+8x=0，可得方程组无解，故不存在点K在圆C上，故C错误．假设在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得PDPE =12，可设D(m,0)，E(n,0)，可得√(x−n)2+y2√(x−m)+y2=2，化简可得3x2+3y2−(8m−2n)x+4m2−n2=0，由P的轨迹方程为x2+y2+8x=0，可得8m−2n=−24，4m2−n2=0，解得m=−6，n=−12或m=−2，n=4(舍去)，即存在D(−6,0)，E(−12,0)，故D正确．所以选BD．13.答案：14解析：本题考查抛物线的方程，焦点与准线，属于基础题．将抛物线方程化成标准形式得：x2=12y，从而得到焦点与准线，即可得解．∵抛物线y =2x 2化成标准方程，可得x 2=12y ∴2p =12，可得p2=18．∴抛物线的焦点坐标为F(0,18)，准线方程为：y =−18． 因此抛物线的焦点到准线的距离是14， 所以答案为：14．14.答案：128解析：正项等比数列{a n }中，a 1a 5a 9=a 53=64，所以a 5=4，又因为a 6与a 7的等差中项为12，所以a 6+a 7=24， 设{a n }的公比为q ，q >0， 则4q +4q 2=24，化简得q 2+q −6=0，解得q =2或q =−3(舍去)， 所以a 10=a 5q 5=4×25=128． 所以答案为：128．根据等差与等比数列的定义与性质，即可求出公比和对应的项．本题考查了等差与等比数列的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．15.答案：√22解析：本题考查椭圆的实际应用，椭圆性质的应用，属于基础题．由题意可得长轴长，短轴长的值，进而求出焦距的值，再求离心率的值． 设圆柱的半径为r ，最长母线与最短母线所在截面如图所示， 所以DE =2r ，CD =√2DE =2rsin45∘=2√2r ，即长轴长2a =2√2r ，a =√2r ，短轴长2b =2r ，所以b =r ，c 2=a 2−b 2=r 2， 所以e =c a =√22所以答案为：√22．16.答案：(−∞,2)解析：∵f′(x)−f(x)<2e x ∴构造函数g(x)=f(x)e x−2x ， 则g′(x)=f′(x)−f(x)e x−2， ∴g′(x)<0，g(x)在R 上为减函数 ∵f(x)2>xe x ⇔g(x)>0， 而g(2)=f(2)e 2−4且f(2)=4e 2，∴g(2)=0，∴f(x)2>xe x 的解集为(−∞,2)． 故满足f(a)2>ae a 的a 的取值范围是(−∞,2)．所以答案为：(−∞,2)．由f′(x)−f(x)<2e x 知，可构造函数g(x)=f(x)e x−2x ，g′(x)<0⇒g(x)在R 上为减函数；于是f(x)2>xe x ⇔g(x)>0，由g(2)=f(2)e 2与f(2)=4e 2可得：g(2)=0，于是可得答案．本题考查利用导数判断函数单调性的问题，构造新函数是关键，利用单调性解不等式，建议积累有关这方面题的解题经验，多总结．属于中档题目．17.答案：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意{2a 1+2d =82d =4，解得{a 1=2d =2，所以a n =2n ；(2)由(1)得S n =n 2+n ，则1S n=1n 2+n =1n −1n+1，所以T n =1S 1+1S 2+⋯+1S n =(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)=1−1n+1，因为T n >99100，即1−1n+1>99100，解得n >99，所以n 的最小值为100．解析：(1)由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求； (2)由等差数列的求和公式和数列的裂项相消求和可得T n ，解不等式可得所求最小值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.答案：(1)f′(x)=3x 2+2ax +b ，f′(0)=b ，又f(0)=c ，所以曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y =bx +c ； (2)当a =b =4时，f′(x)=3x 2+8x +4 令f′(x)=0解得x =−2，x =−23所以，当x <−2或x >−23时，f′(x)>0，当−2<x <−23时，f′(x)<0，即f(x)在(−∞,−2)和(−23,+∞)上单调增，在(−2,−23)上单调减， 当x =−2时，y 取极大值c ，当x =−23时，y 取极小值c −3227因为函数f(x)有三个不同的零点，所以c >0且c −3227<0，解得0<c <3227所以，实数c 的取值范围是(0,3227)． 解析：本题考查了导数的几何意义及利用导数求函数的极值，函数零点的应用，属于中档题． (1)由导数几何意义得切线斜率为f′(0)，再根据斜截式写出切线方程；(2)根据导数求出函数单调性，由函数图像可知，极大值大于零且极小值小于零，解不等式可得c 的取值范围．19.答案：(1)由椭圆方程知a =2，b =1，c =√3,F 1(−√3,0),F 2(√3,0)，设|QF 1|=m ，|QF 2|=n ，则{m +n =2a,(2c)2=m 2+n 2−2mncos60∘，即{m +n =4,m 2+n 2−mn =12,{m +n =4,m 2+n 2−mn =12,，求得mn =43，所以ΔF 1QF 2的面积为12mnsin60°=12×43×√32=√33；(2)设Q(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)．由(1)中S ΔF 1QF 2=12×|F 1F 2|×y 0=√3y 0=√33，得y 0=13．又x 024+y 02=1，x 0=4√23，所以Q(4√23,13)．代入抛物线方程得(13)2=2p ×4√23，所以p =√248．所以抛物线的标准方程为y 2=√224x ．解析：本题考查抛物线的标准方程的求法，椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．(1)设|QF 1|=m ，|QF 2|=n ，利用椭圆定义以及余弦定理，求解mn ，然后求解三角形的面积； (2)设Q(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，通过三角形的面积、椭圆方程求解Q 的坐标，然后求解抛物线方程即可．20.答案：(1)由题意，当n =1时，2S 1=3a 1−3⇒a 1=3≠0，当n ≥2时，2S n =3a n −3，2S n−1=3a n−1−3， 两式相减得，2a n =3a n −3a n−1，即a n =3a n−1． ∴{a n }是首项为3，公比为3的等比数列． ∴a n =3n ，设数列{b n }的公差为d ，∵b 5−b 3=19−23=−4=2d ， ∴d =−2⇒b 1=27． ∴b n =29−2n ．(2)由a n ≤b n ⇒3n ≤29−2n ⇒n ≤2． ∴c n =a n ∗b n ={3n ,1≤n ≤2,29−2n,n ≥3，∴T 20=a 1+a 2+b 3+b 4+b 5+⋯+b 20=3+32+b 3+b 202⋅18=3+9+23−112⋅18=12+18×6=120．解析：(1)结合已知递推公式可得a n =3a n−1，然后结合等比数列的通项公式可求a n ，结合等差数列的通项公式先求出公差d 及首项，进而可求； (2)由已知定义，结合等差数列的求和公式可求．本题主要考查了利用数列的递推公式及等差，等比数列的通项公式，还考查了等差数列的求和公式的应用，属于中档题．21.答案：(1)由e =2√23，得c 2a2=a2−b 2a 2=89，所以a 2=9b 2，① 又椭圆过点M(3√2,√2)，则18a 2+2b2=1，②，由①②解得a =6，b =2，所以椭圆的标准方程为x 236+y 24=1．(2)设直线MA 的斜率为k ，点A(x 1,y 1)，B(x 2；y 2)，因为∠AMB 的平分线与y 轴平行，所以直线MA 与MB 的斜率互为相反数，则直线MB 的斜率为−k ．联立直线MA 与椭圆方程，得{y =kx +√2−3√2kx 236+y 24=1．，整理，得(9k 2+1)x 2+18√2k(1−3k)x +162k 2−108k −18=0， 所以x 1=18√2(3k 2−k)9k 2+1−3√2，同理可得x 2=18√2(3k 2+k)9k 2+1−3√2，所以x 2−x 1=36√2k 9k 2+1，x 2+x 1=108√2k29k 2+1−6√2，又y 2−y 1=−kx 2+√2+3√2k −(kx 1+√2−3√2k)=−k(x 2+x 1)+6√2k =−108√2k 39k 2+1+12√2k =12√2k9k 2+1，所以k AB =y 2−y1x 2−x 1=12√2k9k 2+136√2k 9k 2+1=13为定值．解析：(1)通过椭圆的离心率，结合椭圆过点M(3√2,√2)，求解a ，b 得到椭圆方程．(2)设直线MA 的斜率为k ，点A(x 1,y 1)，B(x 2；y 2)，∠AMB 的平分线与y 轴平行，所以直线MA 与MB 的斜率互为相反数，则直线MB 的斜率为−k.直线MA ：y =kx +√2−3√2k ，联立直线MA 与椭圆方程，求出A 、B 横坐标，然后求解AB 的斜率即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22.答案：(1)当a =1时，f(x)=1e x +sinx ，则f′(x)=−1e x+cosx ， 当x ∈(−∞,0]时，0<e x ≤1，则−1e x≤−1，又因为cosx ≤1，所以当x ∈(−∞,0]时，f′(x)=−1e x+cosx ≤0，仅x =0时，f′(x)=0，所以f(x)在(−∞,0]上是单调递减，所以f(x)≥f(0)=1，即f(x)≥1． (2)f′(x)=−ae x +cosx ，因为x ∈(−π2,0)，所以cosx >0，e x >0，①当a ≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(−π2,0)上单调递增，没有极值点． ②当a >0时，f′(x)=−ae x +cosx ，在(−π2,0)上单调递增，因为f′(−π2)=−a ⋅e π2<0，f′(0)=−a +1．当a ≥1时，x ∈(−π2,0)时，f′(x)<f′(0)=−a +1≤0， 所以f(x)在(−π2,0)上单调递减，没有极值点．当0<a<1时，f′(0)=−a+1>0，所以存在x0∈(−π2,0)，使f′(x0)=0，当x∈(−π2,x0)时，f′(x)<0，x∈(x0,0)时，f′(x)>0，所以f(x)在x=x0处取得极小值，x0为极小值点．综上可知，若函数f(x)在(−π2,0)上存在极值点，则实数a∈(0,1)．解析：本题考查了导数的综合应用及极值点引出的含参问题，综合性高，难度较大．(1)把a=1代入，直接用导数法证明即可；(2)对f(x)求导，f′(x)=−ae x+cosx，对a进行讨论，判断函数f(x)的极值，确定a的范围．。
2025届江苏省常州市常州中学高三数学第一学期期末复习检测试题含解析
2025届江苏省常州市常州中学高三数学第一学期期末复习检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|A x y ==，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．AB A =B ．A B B ⋃=C ．()UA B =∅ D ．UB A ⊆2．在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域内存在点()00,x y ，使不等式0010x my ++≤成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．5(,]2-∞-B ．1(,]2-∞-C ．[4,)+∞D ．(,4]-∞-3．已知复数z 满足(1)2z i -=，其中i 为虚数单位，则1z -=（ ）． A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i -4．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n ，则2nx ⎛ ⎝的展开式中2x 项的系数为( )A ．60B ．80C ．90D ．1206．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）A ．4amB ．2a m+ C ．2a mm+ D ．42a mm+ 7．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10B ．9C ．8D ．78．1x <是12x x+<-的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要9．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）10．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解，则t的取值范围是（ ） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+D ．(],112ln 2-∞-+11．正项等比数列{}n a 中的1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则20206log a =（ ） A ．1-B ．1C ．2D ．212．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．323B ．643C ．16D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省常州市第五中学2022年高二数学文上学期期末试卷含解析
江苏省常州市第五中学2022年高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，，，不共线，其中共线的是（）A. B.C. D. 两两不共线参考答案：B12. 已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是A. 2B. 3C.D.参考答案：A3. 甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）A. 36种B. 48种C. 96种D. 192种参考答案：C试题分析：设4门课程分别为1，2，3，4，甲选修2门，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6种情况，同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4种情况，∴不同的选修方案共有6×4×4=96种，故选C．4. 已知椭圆E： (a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )参考答案：D5. 函数在区间[－1,5]上的图象如图所示，，则下列结论正确的是（）A. 在区间(0,4)上，g(x)先减后增且B. 在区间(0,4)上，g(x)先减后增且C. 在区间(0,4)上，g(x)递减且D. 在区间(0,4)上，g(x)递减且参考答案：D【分析】由定积分，微积分基本定理可得：f（t）dt表示曲线f（t）与t轴以及直线t＝0和t＝x所围区域面积，当x增大时，面积增大，减小，g（x）减小，故g（x）递减且g（x）＜0，得解．【详解】由题意g（x）f（t）dt，因为x∈（0，4），所以t∈（0，4），故f（t）<0，故f（t）dt的相反数表示曲线f（t）与t轴以及直线t＝0和t＝x所围区域面积，当x增大时，面积增大，减小，g（x）减小，故g（x）递减且g（x）＜0，故选：D．【点睛】本题考查了定积分，微积分基本定理，属中档题．6. 已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣6n，第k项满足7＜a k＜10，则k=（）A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：C【考点】8E：数列的求和．【分析】数列{a n}的前n项和S n=n2﹣6n，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，n=1时，a1=1﹣6=﹣5，可得a n，【解答】解：数列{a n}的前n项和S n=n2﹣6n，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣6n﹣[（n﹣1）2﹣6（n﹣1）]=2n﹣7，n=1时，a1=1﹣6=﹣5，也成立．∴a n=2n﹣7，∵第k项满足7＜a k＜10，∴7＜2k﹣7＜10，解得，取k=8．故选：C．【点评】本题考查了数列递推关系、不等式的解法、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7. 以等腰直角三角形ABC斜边AB的中线CD为棱，将△ABC折叠，使平面ACD⊥平面BCD，则AC与BC 的夹角为（）A．30°B．60°C．90°D．不确定参考答案：B【考点】异面直线及其所成的角．【分析】先判断折叠后△ACD，△BCD，△ABD的形状，进而判断出△ABC的形状，从而可得答案．【解答】解：如图所示：折叠后∠ACD=∠BCD=45°，AD⊥CD，BD⊥CD，则∠ADB为二面角A﹣CD﹣B的平面角，又平面ACD⊥平面BCD，所以∠ADB=90°，所以△ADB为等腰直角三角形，设AD=1，则AC=BC=AB=，所以△ABC为正三角形，所以∠ACB=60°．故选：B．8. b＝c＝0是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A9. 设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g (1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为( )A．4 B．－C．2D．－参考答案：A略10. 已知P是椭圆上的动点，则P点到直线的距离的最小值为（）A. B. C. D.参考答案：A试题分析：设，由点到直线距离公式有，最小值为.考点：直线与圆锥曲线位置关系．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中直线BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值是．参考答案：【考点】直线与平面所成的角．【分析】以D为原点，AD为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值．【解答】解：以D为原点，AD为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则B（1，1，0），C1（0，1，1），D（0，0，0），D1（0，0，1），=（﹣1，0，1），=（0，0，1），=（1，1，0），设平面BB1D1D的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，0），设直线BC1与平面BB1D1D所成角为θ，则sinθ===，∴cosθ==，∴直线BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为．故答案为：．【点评】本题考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．12. 已知点是函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点是函数的图象上任意不同两点，则类似地有_________________成立．参考答案：13. 若f（cosx）=cos2x，则f（﹣）的值为．参考答案：【考点】二倍角的余弦．【分析】利用二倍角的余弦公式，求得f（x）的解析式，可得f（﹣）的值．【解答】解：∵f（cosx）=cos2x=2cos2x﹣1，∴f（x）=2x2﹣1（﹣1≤x≤1），则f（﹣）=2?﹣1=﹣，故答案为：﹣．14. 江苏省高中生进入高二年级时需从“物理、化学、生物、历史、地理、政治、艺术”科目中选修若干进行分科，分科规定如下：从物理和历史中选择一门学科后再从化学、生物、地理、政治中选择两门学科作为一种组合，或者只选择艺术这门学科，则共有_________种不同的选课组合.（用数字作答）参考答案：13【分析】先从物理和历史中选择一门学科，再从化学、生物、地理、政治中选择两门学科作为一种组合，再根据题意求解.【详解】先从从物理和历史中选择一门学科有种，再从化学、生物、地理、政治中选择两门学科作为一种组合有种，所以共有种.故答案为：13【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15. 已知点（2，3）在双曲线C：上，C的焦距为4，则它的离心率为．参考答案：2略16. 已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3·a 7=－12，a 4＋a 6=－4，则S 20= ．参考答案：18017. 口袋内有一些大小相同的红球，白球和黑球，从中任摸一球，摸出红球的概率是0.3，摸出黑球的概率是0.5，那么摸出白球的概率是参考答案：0.2三、解答题：本大题共5小题，共72分。
江苏省常州市第五中学2020年高二数学理期末试卷含解析
江苏省常州市第五中学2020年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图甲所示，三棱锥的高，，，M、N分别在和上，且，，图乙中的四个图像大致描绘了三棱锥的体积V 与的变化关系，其中正确的是（）参考答案：A, ,是抛物线的一部分．2. 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的渐近线方程为( )A.B． C. D．参考答案：A3. 已知两点、，直线过点且与线段的延长线相交，则直线的斜率的取值范围是：A.或B.C. D.参考答案：B4. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：A5. 复数的实部是（）A．-1 B．1 C．0 D．-2参考答案：A略6. 在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．b=10，A=45°，C=70° B．a=60，c=48，B=60°C．a=7，b=5，A=80° D．a=14，b=16，A=45°参考答案：D【考点】正弦定理．【分析】A、由A和C的度数，利用三角形内角和定理求出B的度数，再由b的值，利用正弦定理求出a与c，得到此时三角形只有一解，不合题意；B、由a，c及cosB的值，利用余弦定理列出关系式，得到b2小于0，无解，此时三角形无解，不合题意；C、由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由a大于b得到A大于B，可得出此时B只有一解，不合题意；D、由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由a小于b得到A小于B，可得出此时B有两解，符合题意．【解答】解：A、∵A=45°，C=70°，∴B=65°，又b=10，∴由正弦定理==得：a==，c=，此时三角形只有一解，不合题意；B、∵a=60，c=48，B=60°，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=3600+2304﹣2880=3024＞0，∴此时三角形有一解，不合题意；C、∵a=7，b=5，A=80°，∴由正弦定理=得：sinB=，又b＜a，∴B＜A=80°，∴B只有一解，不合题意；D、∵a=14，b=16，A=45°，∴由正弦定理=得：sinB==＞，∵a＜b，∴45°=A＜B，∴B有两解，符合题意，故选D【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的边角关系，以及三角形的内角和定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．7. 已知，则（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：B略8. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线参考答案：D【考点】抛物线的定义；棱柱的结构特征．【分析】由线C1D1垂直平面BB1C1C，分析出|PC1|就是点P到直线C1D1的距离，则动点P满足抛物线定义，问题解决．【解答】解：由题意知，直线C1D1⊥平面BB1C1C，则C1D1⊥PC1，即|PC1|就是点P到直线C1D1的距离，那么点P到直线BC的距离等于它到点C1的距离，所以点P的轨迹是抛物线．故选D．9. 若A（－2，3），B（3，－2），C（，）三点共线，则的值为（）A． B．2 C．D．－2参考答案：A10. 设变量x，y满足约束条件：.则目标函数z=2x+3y的最小值为A． 6 B. 7 C. 8 D. 23参考答案：B 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 棱长为1的正方体中，、分别是、的中点，则点到平面的距离是。
常州市第五中学高二第一学期期末数学复习卷10
高二数学期末复习卷（4）一．填空题： 1. 2(2)(1)12i i i ++=-__________ 2. 已知质点运动方程为23+-=t t S （S 的单位是m ，t 的单位是s ），则该质点在s t 2=时刻的瞬时速度为__________3. 中心在原点，一个焦点坐标为(0,5)，短轴长为4的椭圆方程为__________4. 函数3323++-=x x y 的单调增区间是__________5. 已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为__________ 6. 已知函数f (x )＝x 2－2ln x , 则f (x )的极小值是__________7. 如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4m 时，测得拱桥内水面宽为16m ；当水面升高3m 后，拱桥内水面的宽度为__ __m ． 8. 双曲线2214x y k +=的离心率2e <,则k 的取值范围是_________ 9. 命题“ax 2－2ax ＋ 3 > 0恒成立”是假命题．．．, 则实数a 的取值范围是__________ 10. *111()1()23f n n n =++++∈N L ，计算得3(2)2f =，(4)2f >，5(8)2f >， (16)3f >，7(32)2f >．由此推测，当2n >时，有 11. 当x 2－2x ＜8时, 函数y ＝x 2－x －5x ＋2的最小值是__________ 12. 设A 、B 是椭圆1162522=+y x 上不同的两点，点C (-3,0)，若A 、B 、C 共线，则CBAC 的取值范围是__________13. 已知命题p ：2215x x --≤0，命题q ：2221x x m --+≤0，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为__________14. 对任意的实数x ＞0, 总有a －2x －|ln x |≤0, 则实数a 的范围为__________ 164二．解答题：15. 若椭圆22110x y m +=与双曲线221x y b -=有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点0(P x ，求椭圆及双曲线的方程．16. 设命题:p x ∃∈R ，220x ax a +-=. 命题:q x ∀∈R ，24ax x a ++≥221x -+. 如果命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围17. 已知函数21()ln 2f x x x =+． （1）求函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值；（2）求证：在区间(1)+∞，上，函数()f x 的图象在函数32()3g x x =的图象的下方．18. 已知某公司生产品牌服装的年固定成本是10万元，每生产千件，须另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R （x ）万元，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<-)10(31000108)100(308.10)(22x x xx x x R（Ⅰ）写出年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？19. 顶点在坐标原点的抛物线C 以双曲线x 212－y 24＝1的左准线l 为准线，F 为抛物线C 的焦点，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，AF ＞BF .（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线AB 的倾斜角为π3，求AF 的长度．20. 已知函数32()(0,)f x ax bx cx a x R =++≠∈为奇函数，()f x 在1x =处取极大值2.（1）求函数()y f x =的解析式； （2）记()()(1)ln f x g x k x x=++，求函数()y g x =的单调区间； （3）在（2）的条件下，当2k =时，若函数()y g x =的图像的直线y x m =+的下方，求m 的取值范围.。
2021-2022学年江苏省常州市金坛市第五高级中学高二数学理期末试题含解析
2021-2022学年江苏省常州市金坛市第五高级中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 两条平行直线3x﹣4y+12=0与3x﹣4y﹣13=0间的距离为（）A．B．C．D．5参考答案：D【考点】两条平行直线间的距离．【专题】计算题；规律型；方程思想；直线与圆．【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：两条平行直线3x﹣4y+12=0与3x﹣4y﹣13=0间的距离为： =3．故选：D．【点评】本题考查平行线之间的距离公式的求法，考查计算能力．2. 下列有关命题的说法正确的是（）A. 若“”为假命题，则p，q均为假命题B. “”是“”的必要不充分条件C. 命题“若，则”的逆否命题为真命题D. 命题“，使得”的否定是：“，均有”参考答案：C【分析】对每一个命题逐一判断得解.【详解】A. 若为假命题，则中至少有一个假命题，所以该选项是错误的；B. 是的充分不必要条件，因为由得到“x=-1或x=6”，所以该选项是错误的；C. 命题若则的逆否命题为真命题，因为原命题是真命题，而原命题的真假性和其逆否命题的真假是一致的，所以该选项是正确的；D. 命题使得的否定是：均有，所以该选项是错误的.故答案为：C【点睛】本题主要考查复合命题的真假和充要条件的判断，考查逆否命题及其真假，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.3. a,b∈R，且a>b，则下列不等式中恒成立的是（）A.a2>b2B.( ) a <()bC.lg(a－b)>0D.>1参考答案：B4. 抛掷一枚均匀的硬币4次，出现正面次数多余反面次数的概率是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】抛掷一枚均匀的硬币4次，相当于进行4次独立重复试验，利用n次独立重复试验中事件A 恰好发生k次的概率计算公式能求出出现正面次数多余反面次数的概率．【解答】解：抛掷一枚均匀的硬币4次，相当于进行4次独立重复试验，∴出现正面次数多余反面次数的概率：p==．故选：D．5. 不等式的解集为A． B． C． D．参考答案：A略6. 若实数a，b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（）A．18 B．6 C．2D．2参考答案：B【考点】基本不等式．【分析】先判断3a与3b的符号，利用基本不等式建立关系，结合a+b=2，可求出3a+3b的最小值【解答】解：由于3a＞0，3b＞0，所以3a+3b===6．当且仅当3a=3b，a=b，即a=1，b=1时取得最小值．故选B7. 设，若，则=（）A. B.1 C.D.参考答案：C略8. ．双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.参考答案：B略9. 已知实数，则满足不等式的概率为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】在坐标平面中画出基本事件的总体和随机事件中包含的基本事件对应的平面区域，算出它们的面积后可得所求的概率.【详解】基本事件的总体对应的不等式组为，设为“不等式成立”，它对应的不等式组为前者对应的平面区域为正方形边界及其内部，后者对应的平面区域为四边形及其内部（阴影部分），故，故选D.【点睛】几何概型的概率计算关键在于测度的选取，测度通常是线段的长度、平面区域的面积、几何体的体积等．10. 已知抛物线的焦点坐标是（0，-3），则该抛物线的标准方程为（） A． B． C． D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ．参考答案：（-4,2）12. 若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有数列b n =(n ∈N *)也为等差数列.类比上述性质，相应地：若数列{C n }是等比数列，且C n >0(n ∈N *),则有d n =____________ (n ∈N *)也是等比数列. 参考答案：略13. 若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，则圆锥的体积是 ．参考答案：【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，利用圆锥的底面周长就是圆锥的侧面展开图的弧长，推出底面半径与母线的关系，通过圆锥的表面积求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积． 【解答】解：设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，则，得l=6r ，S=πr 2+πr?6r=7πr 2=15π，得，圆锥的高h=即，．故答案为：． 14. 已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是参考答案：0<略15. 在4名男生3名女生中，选派3人作为“519中国旅游日庆典活动”的志愿者，要求既有男生又有女生，且男生甲和女生乙至多只能一人参加，则不同的选派方法有_▲_种（用数作答）. 参考答案：2516. 某省工商局于2014年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的饮料的合格率为80%，现有甲、乙、丙3人聚会，选用6瓶饮料，并限定每人喝2瓶．则甲喝2瓶合格的饮料的概率是_______（用数字作答）．参考答案：0.6417. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市。
【高二】江苏省常州市高二上学期期末考试数学理试题
【高二】江苏省常州市高二上学期期末考试数学理试题试卷说明：常州市上学期期末考试高二数学理试题 1参考公式：，其中表示底面积，表示高．一填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．1，则”的否命题为▲ ．2．若直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为▲ ．3. “”是成立”的▲ 条件（在充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要中选一个填写）4．圆心为，且经过点的圆的标准方程为▲ ．5．（理科做）已知，且，则的值为▲ ．6三棱锥的侧棱两两垂直且长度分别为2cm，3cm，1cm，则的是▲cm3．7的渐近线方程为，则它的离心率为▲ ．8．已知点P在抛物线上运动，F为抛物线的焦点，点M的坐标为（3,2），当PM+PF取最小值时点P的坐标为▲ ．9．已知圆C经过直线与坐标轴的两个交点，且经过抛物线的焦点，则圆C的方程为▲ ．10．已知动圆C与圆及圆都内切，则动圆圆心C的轨迹方程为▲ ．11．(理科做) 如图，在三棱锥中，，，，，则BC和平面ACD所成角的正弦值为▲ ．12．如图正方体在面对角线上，下列四个命题：∥平面；；面面；三棱锥的体积不变.其中正确的命题的是▲ ．13．若直线与曲线恰有一个公共点，则实数的取值范围为▲ ．14．已知椭圆：的轴长为2，离心率为，设过直线与椭圆交于不同的两点AB，A，B作直线的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．，若直线l 的斜率,则的取值范围▲ ．二解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.1514分）已知为实数，：点在圆的内部；：都有.（1）若为真命题，求的取值范围；（2）若为假命题，求的取值范围；（3）若“且”为假命题，且“或”为真命题，求的取值范围．16．（本小题满分14分）如图，斜四棱柱的底面是矩形，平面⊥平面，分别为的中点. 求证：（1）；（2）∥平面.17．（本小题满分14分）已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，且两条曲线都经过点.（1）求这两条曲线的标准方程；（2）已知点在抛物线上，且它与双曲线的左，右焦点构成的三角形的面积为4，求点的坐标.18．（本小题满分16分）已知圆.（1）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程；（2）若圆的半径为4，圆心在直线：上，且与圆内切，求圆的方程．19.（理科做）如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，且，顶点在底面内的射影恰好落在的中点上.（1）求证：；（2）若，求直线与所成角的余弦值；（3）若平面与平面所成的二面角为，求的值.20．（本小题满分16分）已知分别是椭圆的左，右顶点，点在椭圆上，且直线与直线的斜率之积为．（1）的标准方程；（2）为椭圆上除长轴端点外的任一点，与椭圆的右准线分别交于点，．轴上是否存在,使得?若存在求的若不存在,说明理由，求的取值范围. 高二数学答案 1一填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1，则2． 3．充分不必要4.5. （文科）（理科） 6.1 7. 8.（1，2）9. (写一般式也对) 10. 11.（文科）（理科）12.①③④ 13．或 14．.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．1514分）解：（1）由题意得，，解得，故为真命题时的取值范围为．……………………4分（2）若为真命题，则，解得，故为假命题时的取值范围．……………………8分（3）由题意得，与一真一假，从而当真假时有无解；……………………10分当假真时有解得．……………………12分∴实数的取值范围是．……………………14分16. （本小题满分14分）证明：（1）由底面为矩形得到，……………………2分又∵平面⊥平面，平面平面平面=，∴平面．……………………4分又∵面，∴．……………………6分（2）设中点为，连结，．∵分别为的中点，∴．……………………8分在矩形中，由是的中点，得到且，…………10分∴．∴四边形是平行四边形，∴. ……12分∵，平面，∴∥平面．……………………14分17. （本小题满分14分）解：（1）∵抛物线经过点，∴，解得，∴抛物线的标准方程为. ……………………3分∴抛物线的焦点为，∴双曲线的焦点为．法一：∴ ，，∴，．……………5分∴．∴双曲线的标准方程为. ……………………8分法二：，∵双曲线经过点，∴，……………5分解得，.∴双曲线的标准方程为. ……………………8分（2）设点的坐标为，由题意得，，∴，…………………11分∵点在抛物线上，∴，∴点的坐标为或. …………14分18．（本小题满分16分）解：（1）①若直线的斜率不存在，直线：，符合题意．…………………2分②若直线的斜率存在，设直线为，即．由题意得，，…………………4分解得，∴直线：. …………………7分∴直线的方程是或．…………………8分（2）依题意，设，由题意得，圆C的圆心圆C的半径，. ……………12分∴，解得，∴ 或. …………………14分∴圆的方程为或．………16分19. （本小题满分16分）解：（文科做）（1）当时，，定义域为，则. …………………………………………………………………2分令，列表：……………4分1+0―?极大值?当时，取得极大值. ……………………7分（2），∴．………………9分若，，在上递增；……………………11分若，当时，，单调递增；当时，，单调递减．…………………14分∴当时，的增区间为，当时，的增区间为，减区间为．…………………16分（理科做）因为中点为点在平面内的射影，所以面．作的平行线交与点，则.建立如图所示的空间直角坐标系2分设，则,．∴．∵，∴ . ……………………6分（2）由，得，于是∵，8分∴，∴直线PD与AB所成的角的余弦值为10分（3）设平面PAB的法向量为可得设平面PCD的法向量为由题意得，∵∴令，得，………12分∴，……………………14分∵平面与平面所成的二面角为，∴解得，即．……………………16分20. （本小题满分16分）（1），，∴，由点在椭圆C上，则有：，……………………2分由以上两式可解得．．4分（2）．5分假设存在,使得()．直线的方程为，令，，∴点坐标为．的方程为，令，，∴点坐标为．7分若，则，∵ ，，∴．9分∵点在椭圆上，∴，∴ ，代入上式，得，∴，∴点的．11分②∵，，∴．，，∴．．…………………13分设函数，定义域为，当时，即时，在上单调递减，的取值范围为，当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，的取值范围为．时，的取值范围为，当时，的取值范围为．16分每天发布最有价值的高考资源每天发布最有价值的高考资源每天发布最有价值的高考资源（第12题图）（第11题理科图）（第16题图）（第19题理科图）（第20题）（第20题图）江苏省常州市高二上学期期末考试数学理试题感谢您的阅读，祝您生活愉快。
江苏省常州市溧阳市2021-2022学年高二上学期期末数学试题
2021—2022学年度第一学期期末质量调研测试高二数学试题2022.1一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在等差数列{n a }中，86a =，110a =，则1a 的值为（）A ．18B ．20C ．22D ．242．直线52100x y --=在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则有（）A ．2a =，5b =B ．2a =，5b =-C ．2a =-，5b =D ．2a =-，5b =-3．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，准线为l ，点P 在抛物线上，直线PF 交x 轴于Q 点，且4PF FQ =，则点P 到准线l 的距离为（）A ．4B ．5C ．6D ．74．设{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①{}2n a 是等比数列；②{}1n n a a +是等比数列；③1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；④lg n a 是等比数列.其中正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线为20x y -=，则双曲线的离心率为A ．5或54B C D ．5或536．设a R ∈，若函数3ax y e x =+，x R ∈有大于零的极值点，则A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-7．已知数列{n a }满足1+=n n a n ，则202020211222222320212022a a a a ++++= （）A ．20222021B ．20212022C ．20232022D ．202220238．将224x y +=上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线C ，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB 中点坐标为M （1，12），那么直线l 的方程为（）A ．220x y +-=B ．20x y -=C ．230x y --=D ．220x y ++=二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知直线l ：10kx y k -+-=和圆O ：2216x y +=，则（）A ．直线l 恒过定点()1,1-B ．若1k =-，则直线l 被圆O 截得的弦长为C ．存在k 使得直线l 与直线0l ：220x y -+=垂直D ．直线l 与圆O 相交10．已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的有（）A ．100a =B ．10S 最小C ．712S S =D ．200S =11．已知函数32()26f x x x x =-+-，其导函数为()'f x ，下列命题中为真命题的是（）A ．()f x 的单调减区间是2(,2)3B ．()f x 的极小值是﹣6C ．过点()0,0只能作一条直线与()y f x =的图象相切D ．()f x 有且只有一个零点12．数列{n a }的通项公式满足n na k n=（*n ∈N ），下列描述中正确的有（）A ．当23k =时，数列{n a }一定有最大值B ．当12k =时，数列{n a }为递减数列C ．当10,2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，数列{n a }为递减数列D ．当()0,1k ∈，且1kk-为整数时，数列{n a }必存在两项相等的最大项三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知()()225f x h f x hx h h +-=++，用割线逼近切线的方法可以求得'()f x =___________.14．已知1F ，2F 为椭圆C 22:12516x y +=的焦点，点P 在椭圆C 上，1260F PF ∠=，则12F PF △的面积为___________.15．已知数列{n a }的通项公式为2215n n a n -=-，前n 项和为n S ，当n S 取得最小值时，n 的值为___________.16．已知函数()()2422ln2f x ax a x x =+--，若()y f x =在定义域内有两个零点，那么实数a 的取值范围为___________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．在等比数列{n a }中，(1)12a =，12q =-，求10S ；(2)12q =，100150S =，求246100a a a a ++++ 的值.18．在平面直角坐标系xOy 中，点A （2，4），直线l ：24y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上，圆心也在直线1y x =-上.(1)求圆C 的方程；(2)过点A 作圆C 的切线，求切线的方程.19．如图，矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线24y x =-在x 轴上方的曲线上，求矩形面积最大时的边长.20．{n a }是公差为1的等差数列，6713a a a +=.正项数列{n b }的前n 项和为n S ，且423n n S b +=.(1)求数列{n a }和数列{n b }的通项公式；(2)在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1b ，11x ，2b 成等差数列，在2b 和3b 之间插入2个数21x ，22x ，使2b ，21x ，22x ，3b 成等差数列，…，在n b 和1n b +之间插入n 个数1n x ，2n x ，…，nn x ，使n b ，1n x ，2n x ，…，nn x ，1n b +成等差数列.①记12n n n nn p x x x =+++ ，求{n p }的通项公式；②求11212212n n n nn T x x x x x x =+++++++L L 的值.21．已知中心在坐标原点O 的椭圆，左右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，M ，N 分别为椭圆的上下顶点，且满足222MF NF ⋅=-.(1)求椭圆方程；(2)已知点C 满足25OC OF =，点T 在椭圆上（T 异于椭圆的顶点），直线NT 与以C 为圆心的圆相切于点P ，若P 为线段NT 的中点，求直线NT 的方程；(3)过椭圆内的一点D （0，t ），作斜率为k 的直线l ，与椭圆交于A ，B 两点，直线OA ，OB 的斜率分别是1k ，2k ，若对于任意实数k ，存在实数m ，使得12k k mk +=，求实数m 的取值范围.22．已知函数()()21ln 12f x a x x x =++-（a 为非零常数）(1)若f （x ）在1x =处的切线经过点（2，ln2），求实数a 的值；(2)()y f x =有两个极值点1x ，2x .①求实数a 的取值范围；②若12x x <，证明：()2120f x x ->.1．B 【分析】根据等差数列通项公式相关计算求出公差，进而求出首项.【详解】设公差为d ，由题意得：11836a a d -==-，解得：2d =-，所以81761420a a d =-=+=.故选：B 2．B 【分析】将直线方程的一般形式化为截距式，由此可得其在x 轴和y 轴上的截距.【详解】直线方程52100x y --=化成截距式为125x y+=-，所以2a =，5b =-．故选：B.3．C 【分析】根据题干条件得到相似，进而得到55P F y y ==，求出点P 到准线l 的距离.【详解】由题意得：()0,1F ，准线方程为1y =-，因为4PF FQ =，所以55P F y y ==，故点P 到准线l 的距离为16P y +=.故选：C 4．C 【分析】根据等比数列的性质对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的个数.【详解】{}n a 是等比数列可得1nn aq a -=（q 为定值）①222211nn n n a a q a a --⎛⎫== ⎪⎝⎭为常数，故①正确②21111n n n n n n a a a q a a a ++--==，故②正确③11111n n n n a a a q a --==为常数，故③正确④1lg lg n n a a -不一定为常数，故④错误故选C.【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，属于基础题.5．B 【分析】分双曲线的焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，求出b a的值，利用e 双曲线的离心率的值.【详解】若焦点在x 轴上，则有2b a =，则双曲线的离心率为ce a==若焦点在y 轴上，则有2a b =，则12b a =，则双曲线的离心率为c e a ==.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，在双曲线的焦点位置不确定的情况下，要对双曲线的焦点位置进行分类讨论，考查计算能力，属于基础题.6．B 【详解】试题分析：设3ax y e x =+，则()3ax f x ae =+'，若函数在x ∈R 上有大于零的极值点．即()30ax f x ae =+='有正根，当有()30ax f x ae =+='成立时，显然有0a <，此时13ln()x a a=-．由0x >，得参数a 的范围为3a <-．故选B ．考点：利用导数研究函数的极值．7．B 【分析】先将通项公式化简然后用裂项相消法求解即可.【详解】因为()()221111(1)111nn a n n n n n n n +===++++，202020211222222320212022a a a a ++++= 11111111202111223342022202220222022-+-+-++-=-= .故选：B 8．A 【分析】先根据题意求出曲线C 的方程，然后利用点差法求出直线l 的斜率，从而可求出直线方程【详解】设点(,)P x y 为曲线C 上任一点，其在224x y +=上对应在的点为00(,)x y ，则002x x y y =⎧⎨=⎩，得002x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以2244x y +=，所以曲线C 的方程为22416+=x y ，设1122(,),(,)A x y B x y ，则22112222416416x y x y ⎧+=⎨+=⎩，两方程相减整理得21212121()()4()()0x x x x y y y y +-++-=，因为AB 中点坐标为M （1，12），所以121212122x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即212121x x y y +=⎧⎨+=⎩，所以2121()2()0x x y y -+-=，所以212112y y x x -=--，所以直线l 的方程为11(1)22y x -=--，即220x y +-=，故选：A 9．CD 【分析】将直线l 整理为()11y k x +=+，再结合点斜式方程即可判断A ，再根据直线过定点()1,1--可判断D 选项，利用几何法求弦长判断B 选项，根据直线垂直的关系求解判断C 选项.【详解】解：对于A 选项，直线l ：10kx y k -+-=整理得()11y k x +=+，故直线过定点()1,1--，故A 选项错误；对于B 选项，当1k =-时，直线l ：20x y ++=，此时圆O ：2216x y +=的圆心到直线的距离为d =l 被圆O截得的弦长为=，故B 选项错误；对于C 选项，当直线l 与直线0l ：220x y -+=垂直，则2k =-，故存在k 满足条件，故C 选项正确；对于D 选项，由于点()1,1--在圆O 内，故直线l 与圆O 相交，故D 选项正确.故选：CD 10．AC 【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项和公式，结合已知条件得到1a 和d 的关系，然后对选项逐一分析即可.【详解】根据题意，数列{}n a 是等差数列，若1385,a a S +=即111510828,a a d a d ++=+变形可得19,a d =-()()1110n a a n d n d =+-=-，则100,a =故A 正确；不能确定1a 和d 的符号，不能确定10S 最小，故B 不正确；由()()()2111919222n n n dn n ddS na nd n n --=+=-+=⨯-，由二次函数图像的性质可知，712,S S =故C 正确；201201920180190102dS a d d d ⨯=+=-+=当公差不为0时，200S ≠,则D 不正确.故选：AC 11．BCD 【分析】求出函数()f x 的导数，即可得出其单调性和极值，从而判断ABD 的真假，再根据导数的几何意义求切线方程即可判断C 的真假．【详解】因为2()341'=-+f x x x ，令()0f x '>，得13x <或1x >，则()f x 在1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增；令()0f x '<，得113x <<，则()f x 在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．所以极小值为()160f =-<，极大值为11580327f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，而()36f =，故()f x 存在唯一一个零点01,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，A 错误，B 、D 正确；设过点()0,0的直线与()y f x =的图象相切，切点为()()00,x f x ，因为()2000341f x x x '=-+，()32000026f x x x x =-+-，所以切线方程为()()()32000300042631y x x x x x x x --+-=-+-．将()0,0代入，得320030x x -+=．令32()3g x x x =-+，则2()32(32)g x x x x x '=-=-，所以()g x 在(,0)-∞，2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．因为()290g -=-<，(0)30g =>，2770327g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以方程()0g x =只有一解，即过点()0,0只能作一条直线与()y f x =的图象相切，故C 正确．故选：BCD ．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，导数的几何意义的应用，以及零点存在性定理的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．12．ACD 【分析】求出数列分别递增递减时需满足的条件，直接代入条件判断AB 即可，根据10,2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求出112k k <-判断C ，由()0,1k ∈得出数列的单调性变化情况，求出最大项即可判断D.【详解】由题意只需考虑()0,1k ∈的情况：由11(1)(1)1n n n n k a a n k n k n n k n k++<⇔⋅<+⋅⇔<+⇔<-，11(1)(1)1n n n n ka a n k n k n n k n k++>⇔⋅>+⋅⇔>+⇔>-可知，当23k =时，21kk=-，当2n >时，数列{}n a 递减，所以{n a }一定有最大值，故A 正确；当12k =时，212111,2()222a a ==⋅=，故12,a a =故数列{}n a 不是递减数列，故B 错误；当10,2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，112k k <-，所以1121k n k ≥>>-时，数列{}n a 为递减数列，故C 正确；设1km k=-，当n m >，即1n m ≥+时，数列{}n a 为递减数列，当n m <时，数列{}n a 为递增数列，1mk m =+，最大项为1111,(1)(),(1)1(1)m m m m m m mm m m a a m m m m ++++==+=+++所以数列{n a }必存在两项相等的最大项，故D 正确.故选：ACD 13．25x +【分析】根据导数的定义直接计算即可【详解】因为()()225f x h f x hx h h +-=++，所以'0()()()lim h f x h f x f x h→+-=2025lim h hx h h h→++=0lim(25)25h x h x →=++=+，故答案为：25x +14．3【分析】设12,PF m PF n ==，然后根据椭圆的定义和余弦定理列方程组可求出mn ，再由三角形的面积公式可求得结果【详解】由2212516x y +=，得2225,16a b ==，则5,4,3a b c ===，设12,PF m PF n ==，则210m n a +==，在12F PF △中，1260F PF ∠= ，由余弦定理得，222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，所以22242cos 60c m n mn =+-︒，236()3m n mn=+-所以31003664mn =-=，所以643mn =，所以12116416sin 6022323F PF S mn =︒=⨯⨯ ，故答案为：315．7【分析】首先求出数列的正负项，再判断n S 取得最小值时n 的值.【详解】当()()022150n a n n ≤⇔--≤，*n N ∈，解得：2,3,4,5,6,7n =，当1n =和8n ≥时，0n a >，所以n S 取得最小值时，7n =.故答案为：716．()0,1【分析】先求定义域，再求导，针对a 分类讨论，结合单调性，极值，最值得到11ln 0a a+-<，研究其单调性及其零点，求出结果.【详解】()()2422ln2f x ax a x x =+--定义域为()0,∞+，()()()()()2822121411822ax a x ax x f x ax a x x x +---+'=+--==，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，()f x 在()0,∞+单调递减，不会有两个零点，故舍去；当0a >时，在1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上()0f x '>，()f x 单调递增，在10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上()0f x '<，()f x 单调递减，故()min 111ln 2f x f a a a ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，又因为0x →时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞，故要想()y f x =在定义域内有两个零点，则11ln 0a a +-<，令()11ln h a a a =+-，0a >，()2110h a a a'=+>，()h a 单调递增，又()10h =，故当()0,1a ∈时，11ln 0a a +-<.故答案为：()0,117．(1)341256(2)50【分析】（1）直接利用等比数列的求和公式求解即可，（2）由已知条件结合等比数的性质可得()100241003S a a a =+++ ，从而可求得答案，或直接利用等比数列的求和公式化简求解(1)()101011012112413411113102425612a q S q ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦===-= ⎪-⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭.(2)方法1：100123499100S a a a a a a =++++⋯++()24100241002a a a a a a =+++++ .()241003150a a a =+++= ∴2410050a a a +++= .方法2：1001100112150112a S ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎛⎫- -⎦⎪⎝⎭==，整理得：100111752a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎦又50210024100111421113214a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎢⎥⎢⎥++⎣==- ⎪⎝⎭-⎦ 275503=⨯=18．(1)()()22321x y -+-=(2)2x =或34220x y +-=【分析】（1）直接求出圆心的坐标，写出圆的方程；（2）分斜率存在和斜率不存在进行分类讨论，利用几何法列方程，即可求解.(1)由圆心C 在直线l ：24y x =-上可设：点(),24C a a -，又C 也在直线1y x =-上，∴241a a -=-，∴3a =又圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为()()22321x y -+-=.(2)当直线垂直于x 轴时，与圆C 相切，此时直线方程为2x =.当直线与x 轴不垂直时，设过A 点的切线方程为()42y k x -=-，即240kx y k --+=1=，解得34k =-.此时切线方程为34220x y +-=，.综上所述，所求切线为2x =或34220x y +-=19．当矩形面积最大时，矩形边AB 长3，BC 长83【分析】先设出B 点坐标，进而表示出矩形的面积，通过求导可求出其最大面积.【详解】设点()2,4B x x -，那么矩形面积()232428S x x x x =-=-+，(0,2)x ∈.268S x =-+'令0S '=解得x =.所以S 在（02）上单调递；..所以当x =时，S 有最大值.此时8,33AB BC ==答：当矩形面积最大时，矩形边AB 长3，BC 长83.20．(1)n a n =，1123n n b -=⋅(2)①3n nn p =；②123343n n n T +⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用等差数列的通项公式将6713a a a +=展开化简，求得首项，可得n a ；根据递推式423n n S b +=，确定112b =，再写出11423n n S b --+=，两式相减可求得n b ；（2）①根据等差数列的性质，采用倒序相加法求得结果；②根据数列的通项的特征，采用错位相减法求和即可.(1)设数列{n a }的公差为d ()0d ≠，则d =1，由6713a a a +=，即1121112a d a d +=+，可得11a d ==，所以{n a }的通项公式为n a n =；由423n n S b +=可知：当111,423n S b =+=，得112b =，当2n ≥时，11423,423n n n n S b S b --+=+=，两式相减得；14220n n n b b b -+-=，即113n n b b -=，所以{n b }是以112b =为首项，13为公比的等比数列，故1123n n b -=⋅.(2)①()12(1)211,n nn n n n nn n n n n n n p x x x x p x x x x --=+++=+++ ，两式相加，得()()()()()121112.n n n n n n n n n n n n p x x x x x x n b b +-=++++⋯++=+所以()11112223233n n n n n nn n n p b b +-⎛⎫=+=+= ⎪⋅⋅⎝⎭；②12121121..3333n n n n n n T p p p --=++⋯+=++++ ，231112133333n n n n n T +-=++++ ，两式相减得：21111[1211133133]333313nn n n n n n T ++⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++=-- ，故123343n n n T +⎛⎫=- ⎪⎝⎭.21．(1)2243x y +=140y --=y -=(3)[2,)∞+【分析】（1）由已知可得222c b -=-，12c e a ==，再结合222a b c =+可求出22,a b ，从而可求得椭圆方程，（2）设直线:NT y kx =y ，解方程可求出点T 的坐标，从而可得NT 中点P 的坐标，而CP NT ⊥，可得1N CP T k k ⋅=-解方程可求出k 的值，即可得到直线NT 的方程，（3）设直线:l y kx t =+，代入椭圆方程中消去y ，利用根与系数的关系结合直线的斜率公式可得22223t m t =--，再由[20,3)t ∈，可求出m 的取值范围(1)设2F （c ，0），M （0，b ），N （0，-b ），()()22,,,MF c b NF c b =-= 22222MF NF c b ⋅=-=- ①，又12c e a ==②，222a b c =+③，由①②③得224,3a b ==，所以椭圆方程为2243x y +=1.(2)由题C 1(5，0），设直线:NT y kx =22143y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩联立得()22340k x +-=1220,34x x k ==+，那么222(,3434T k k-++，N （0，-NT中点P .所以CP k =因为直线NT 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP NT⊥所以1N CP T k k ⋅=-所以得2430k -+=，解得k =k =所以直线NT40y --=0y -=.(3)设直线:l y kx t =+，联立方程22143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223484120k x ktx t +++-=设A （1(x ，1y ），B 2(x ，2y ），则21212228412,3434kt t x x x x k k -+=-=++()212121221212122223t x x y y t t kt k k k k k k x x x x x x t ++=+=+++=+=--…由12k k mk +=对任意k 成立，得22223t m t =--点D 在椭圆内，所以[20,3)t ∈，所以2m ≥，所以m 的取值范围为[2,)∞+.22．(1)1a =(2)①（0，1）；②证明见解析【分析】小问1先求出切线方程，再将点（2，ln2），代入即可求出a 的值；小问2的①通过求导，再结合函数的单调性求出a 的取值范围；②结合已知条件，构造新函数即可得到证明.(1)()11a f x x x =+-+'()()11,1ln222a f f a ==-'，∴切线方程为()1ln2122a y a x -+=-，将点(2,ln 2)代入解得：1a =(2)①()()211,111x a a f x x x x x +-'=+-=>-++当10a -≥时，即1a ≥时，()0f x '≥，f （x ）在（-1，+∞）上单调递增；f （x ）无极值点，当01a <<时，由()0f x '=得，12x x ==故f （x ）在（-1，+∞）上单调递增，f （x ）有两个极值点；.当0a <时，由()0f x '=得，0x =f （x ）在（1-+∞）上单调递此时，f （x ）有1个极值点，综上，当01a <<时，f （x ）有两个极值点，即12x x ==a 的范围是（0，1）②由（2）可知12120,1x x x x a +==-，又由01a <<可知1210,01x x -<<<<，可得2122,1x x a x =-=-.要证()2120f x x ->，即证()2220f x x +>，即证()22222ln 10a x x x ++->，即证()()22222221ln 10x x x x -++->即证()()22221ln 10x x x ++->令函数()()()21ln 10t x x x x =++->，x ∈（0，1）()()12ln 10t x x =++>'，故t （x ）在（0，1）上单调递增，又()00t =所以()0t x >在()0,1x ∈上恒成立，即()()22221ln 10x x x ++->所以()2120f x x ->.。
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第五中学高二数学复习卷（8）
一、填空题
1. 复数)21(2i i -的实部是__________
2. 已知条件1:2
p a >且21>b ， :1q a b +>，则p 是q 的__________条件 3. 函数[]3235,1,3y x x x =-+∈-值域为__________
4. 若方程22
133
x y k k +=-+（k R ∈）表示双曲线，则k 的范围是__________ 5. 在复平面内，Ｏ是原点，,,表示的复数分别为,51,23,2i i i +++-那么表示的复数为__________
6. 函数2()(2)x f x e x x =-的单调递减区间为__________
7. 已知椭圆13
422=+y x 上一点P 到左焦点的距离为25,则它到右准线的距离为__________ 8. 抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是__________
9. 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AC AB ,互相垂直，则三角形边长之间满足关系：.222BC AC AB =+若三棱锥BCD A -的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为__________
10. 设命题
p :()x f x a =是减函数，命题q :关于x 的不等式20x x a ++>的解集为R ，如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则实数a 的取值范围是__________
11. 水波的半径以1/m s 的速度向外扩张，当半径为5m 时，这时水波圆面积的膨胀率是__________
12. 在直角坐标系xOy 中，设A 点是曲线311(0)C y ax a =+>：与曲线22252C x y +=： 的一个公共点，若1C 与2C 在A 点处的切线互相垂直，则实数a 的值是__________
13. 设F 是椭圆C ：22
1(0,0)x y a b a b
+=>>的右焦点，C 的一个动点到F 的最大距离为d ,若C 的右准线上存在点P ,使得PF d =，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________
14. 设函数
23211()2ln ,()1,32f x x x h x x x mx =-=-++，()()()g x f x h x '=- 在[]1,3上恰有两个不同零点，则实数的m 取值范围是__________
二、解答题
15. 已知命题A “2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”．
（1）写出命题A 的否定；
（2）若命题A 是假命题，求出实数a 的取值范围.
16. 已知二次函数
2()f x ax bx c =++（0c >）的导函数的图象如图所示： （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）令()()f x g x x
=，求()y g x =在[1,2]上的最大值．
第16题图
E C 17. ⑴证明：当a ＞1时，不等式23a 12a 13a a
+>+成立. ⑵要使上述不等式23a 12a 13a a +>+成立，能否将条件“a ＞1”适当放宽？若能，请放
宽条件并说明理由；若不能，也请说明理由.
⑶请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，并给予证明.
18. 现要设计一个如图所示的金属支架（图中实线所示）,设计要求是:支架总高度AH 为6米,底座BCD EF 是以B 为顶点, 以CDEF 为底面的正四棱锥, ,,,C D E F 在以半径为1米的圆上,支杆AB ⊥底面CDEF .市场上,底座单价为每米10元,支杆AB 单价为每米20元.
设侧棱BC 与底面所成的角为θ.
（1）写出tan θ的取值范围；
（2）当θ取何值时,支架总费用y （元）最少?
19. 已知抛物线2:2(0)C y px p =＞的准线为l ，过(1,0)M l 相交于点P ，与C 的一个交点为Q ， PM MQ = ．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点(1,0)K -的直线m 与C 相交于A 、B 两点，
①若2BM AM =，求直线AB 的方程；
②若点A 关于x 轴的对称点为D ，求证：点M 在直线BD 上．
20. 已知函数()()()f x x x a x b =--，点()()()(),,,A s f s B t f t ．
（Ⅰ）若30==，b a ，函数()f x 在)3,(+t t 上既能取到极大值，又能取到极小值，求t
的取值范围；
（Ⅱ）当0=a 时，
()ln 10++≥f x x x 对任意的1,2⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
x 恒成立，求b 的取值范围； （Ⅲ）若0a b <<，函数()f x 在x s =和x t =处取得极值，且32<+b a ，O 是坐标
原点，证明：直线OA 与直线OB 不可能垂直．。