2013-2014学年高三理科数学附加题：训练13

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2013-2014年高考理科数学陕西卷试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(陕西卷)第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．1．(2013陕西，理1)设全集为R ，函数f (x )的定义域为M ，则R M 为( )．A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 1)∪(1，＋∞)．2．(2013陕西，理2)根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为( )．A ．25B ．30C ．31D ．613．(2013陕西，理3)设a ，b 为向量，则“|a·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．(2013陕西，理4)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )．A ．11B ．12C ．13D ．145．(2013陕西，理5)如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是( )． A ．π14-B ．π12- C ．π22-D ．π4 6．(2013陕西，理6)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假．命题是( )． A ．若|z1－z2|＝0，则12z z = B ．若12z z =，则12z z =C ．若|z1|＝|z2|，则1122z z z z⋅=⋅ D ．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22 7．(2013陕西，理7)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 8．(2013陕西，理8)设函数f (x )＝6100,x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≥⎩,,则当x ＞0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为 A ．－20 B ．20 C ．－15 D ．15 9．(2013陕西，理9)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )．A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]10．(2013陕西，理10)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有( )．A．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[x]C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y]第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．(2013陕西，理11)双曲线22116x ym-=的离心率为54，则m等于__________．12．(2013陕西，理12)某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________．13．(2013陕西，理13)若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为__________．14．(2013陕西，理14)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为__________．15．(2013陕西，理15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A．(不等式选做题)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为__________．B．(几何证明选做题)如图，弦AB与CD相交于O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝__________.C．(坐标系与参数方程选做题)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16．(2013陕西，理16)(本小题满分12分)已知向量a ＝1cos ,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，b ＝x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．17．(2013陕西，理17)(本小题满分12分)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．18．(2013陕西，理18)(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．19．(2013陕西，理19)(本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．20．(2013陕西，理20)(本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．21．(2013陕西，理21)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x，x ∈R . (1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图像相切，求实数k 的值；(2)设x ＞0，讨论曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m ＞0)公共点的个数； (3)设a ＜b ，比较2f a f b ()+()与f b f a b a()-()-的大小，并说明理由．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(陕西卷)第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)． 1．答案：D解析：要使函数f (x )1－x 2≥0，解得－1≤x ≤1，则M ＝[－1,1]，RM ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 2．答案：C解析：由算法语句可知0.5,50,250.650,50,x x y x x ≤⎧=⎨+(-)>⎩所以当x ＝60时，y ＝25＋0.6×(60－50)＝25＋6＝31.3．答案：C解析：若a 与b 中有一个为零向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件；若a 与b 都不为零向量，设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ，由|a ·b |＝|a ||b |得|cos θ|＝1，则两向量的夹角为0或π，所以a ∥b .若a ∥b ，则a 与b 同向或反向，故两向量的夹角为0或π，则|cos θ|＝1，所以|a ·b |＝|a ||b |，故“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件． 4．答案：B解析：840÷42＝20，把1,2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l ，则第k 段抽取的号码为l ＋(k －1)·20,1≤l ≤20,1≤k ≤42.令481≤l ＋(k －1)·20≤720，得25＋120l -≤k ≤37－20l.由1≤l ≤20，则25≤k ≤36.满足条件的k 共有12个． 5．答案：A解析：S 矩形ABCD ＝1×2＝2，S 扇形ADE ＝S 扇形CBF ＝π4.由几何概型可知该地点无信号的概率为 P ＝π2π2124FABCD ADE CB ABCDS S S S ---==-矩形扇形扇形矩形. 6．答案：D解析：对于选项A ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故12z z =，正确；对于选项B ，若12z z =，则122z z z ==，正确；对于选项C ，z 1·1z ＝|z 1|2，z 2·z 2＝|z 2|2，若|z 1|＝|z 2|，则1122z z z z ⋅=⋅，正确；对于选项D ，如令z 1＝i ＋1，z 2＝1－i ，满足|z 1|＝|z 2|，而z 12＝2i ，z 22＝－2i ，故不正确． 7．答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ．又sin A ＞0，∴sin A ＝1，∴π2A =，故△ABC 为直角三角形． 8．答案：A解析：当x ＞0时，f (x )＝0，则f [f (x )]＝66⎛= ⎝.663221666C (1)C (1)C rr rr r r r r r r r T x x x ----+⎛=⋅=-⋅=- ⎝.令3－r ＝0，得r ＝3，此时T 4＝(－1)336C ＝－20.9．答案：C解析：设矩形另一边长为y ，如图所示.404040x y -=，则x ＝40－y ，y ＝40－x .由xy ≥300，即x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30，故选C ．10．答案：D解析：对于选项A ，取x ＝－1.1，则[－x ]＝[1.1]＝1，而－[x ]＝－[－1.1]＝－(－2)＝2，故不正确；对于选项B ，令x ＝1.5，则[2x ]＝[3]＝3,2[x ]＝2[1.5]＝2，故不正确；对于选项C ，令x ＝－1.5，y ＝－2.5，则[x ＋y ]＝[－4]＝－4，[x ]＝－2，[y ]＝－3，[x ]＋[y ]＝－5，故不正确；对于选项D ，由题意可设x ＝[x ]＋β1,0≤β1＜1，y ＝[y ]＋β2,0≤β2＜1，则x －y ＝[x ]－[y ]＋β1－β2，由0≤β1＜1，－1＜－β2≤0，可得－1＜β1－β2＜1.若0≤β1－β2＜1，则[x －y ]＝[[x ]－[y ]＋β1－β2]＝[x ]－[y ]；若－1＜β1－β2＜0，则0＜1＋β1－β2＜1，[x －y ]＝[[x ]－[y ]＋β1－β2]＝[[x ]－[y ]－1＋1＋β1－β2]＝[x ]－[y ]－1＜[x ]－[y ]，故选项D 正确．第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．答案：9解析：由双曲线方程知a ＝4.又54c e a ==，解得c ＝5，故16＋m ＝25，m ＝9. 12．答案：π3解析：由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径r ＝1，高SO ＝2，则V 几何体＝1π2π323⨯⨯=.13．答案：－4解析：由y ＝|x －1|＝1,1,1,1x x x x -≥⎧⎨-+<⎩及y ＝2画出可行域如图阴影部分所示．令2x －y ＝z ，则y ＝2x －z ，画直线l 0：y ＝2x 并平移到过点A (－1,2)的直线l ，此时－z 最大，即z 最小＝2×(－1)－2＝－4. 14．答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·12n n (+)解析：第n 个等式的左边第n 项应是(－1)n ＋1n 2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n ＝12n n (+)，故有12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋112n n (+). 15．(2013陕西，理15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A ．答案：2解析：(am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋(a 2＋b 2)mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)≥2abmn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋2ab ＋b 2)＝2(a ＋b )2＝2(当且仅当m ＝n )．B ．解析：∠C 与∠A 在同一个O 中，所对的弧都是BD ，则∠C ＝∠A ．又PE ∥BC ，∴∠C ＝∠PED ．∴∠A＝∠PED ．又∠P ＝∠P ，∴△PED ∽△PAE ，则PE PD PA PE=，∴PE 2＝PA ·PD ．又PD ＝2DA ＝2，∴PA ＝PD ＋DA＝3，∴PE 2＝3×2＝6，∴PE C ．答案：2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)解析：由三角函数定义知y x＝tan θ(x ≠0)，y ＝x tan θ，由x 2＋y 2－x ＝0得，x 2＋x 2tan 2θ－x ＝0，x ＝211tan θ+＝cos 2θ，则y ＝x tan θ＝cos 2θtan θ＝sin θcos θ，又π2θ=时，x ＝0，y ＝0也适合题意，故参数方程为2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16．解：f (x )＝1cos ,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭x ，cos 2x )x sin x －12cos 2xx －12cos 2x＝ππcos sin 2sin cos 266x x -＝πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)f (x )的最小正周期为2π2ππ2T ω===，即函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π2， ∴ππ5π2666x -≤-≤.由正弦函数的性质，当ππ262x -=，即π3x =时，f (x )取得最大值1.当ππ266x -=-，即x ＝0时，f (0)＝12-，当π52π66x -=，即π2x =时，π122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴f (x )的最小值为12-.因此，f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值是1，最小值是12-.17．(1)解：设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴111nn a q S q (-)=-，∴11,1,1, 1.1n n na q S a q q q=⎧⎪=(-)⎨≠⎪-⎩(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，21k a +＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 12q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾，∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．18．(1)证法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立直角坐标系，如图．∵AB ＝AA 1∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)．由11A B ＝AB ，易得B 1(－1,1,1)．∵1AC ＝(－1,0，－1)，BD ＝(0，－2,0)，1BB ＝(－1,0,1)，∴1AC ·BD ＝0，1AC ·1BB ＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ．证法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD ．又∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C ．又∵OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1CAC ＝2，∴AC 2＝AA 12＋A 1C 2，∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C ．又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ． (2)解：设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵OC ＝(－1,0,0)，1OB ＝(－1,1,1)，∴10,0,OC x OB x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩n n ∴0,.x y z =⎧⎨=-⎩取n ＝(0,1，－1)，由(1)知，1AC ＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量， ∴cos θ＝|cos 〈n ，1AC 〉|12=.又∵0≤θ≤π2，∴π3θ=.19．解：(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝1223C 2C 3=，P (B )＝2435C 3C 5=.∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝2243515⨯=.13242335C C 4.C C 15P AB ⎛⎫⋅()== ⎪⋅⎝⎭或(2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝2435C 3C 5=，∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P (X ＝0)＝1224()35575P ABC =⨯⨯=，P (X ＝1)＝()()()P ABC P ABC P ABC ++ ＝2221321232035535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝2322231333335535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，P (X ＝3)＝P (ABC )＝2331835575⨯⨯=，∴X 的分布列为∴X 的数学期望40123757575757515EX ⨯+⨯+⨯+⨯==＝. 20．(1)解：如图，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M|，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴1||O M =1||O A =，=化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0，其中Δ＝－32kb ＋64＞0. 由求根公式得，x 1＋x 2＝282bkk -，① x 1x 2＝22b k，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以121211y yx x =-++，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ＞0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)． 21．解：(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 的图像在P (x 0，y 0)处相切，则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g ′(x 0)＝01x ，解得x 0＝e 2，21ek =. (2)曲线y ＝e x与y ＝mx 2的公共点个数等于曲线2e xy x=与y ＝m 的公共点个数．令()2e x x xϕ=，则3e 2()x x x x ϕ(-)'=， ∴φ′(2)＝0.当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(0,2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x )在(0，＋∞)上的最小值为2e (2)4ϕ=.当0＜m ＜2e 4时，曲线2e xy x =与y ＝m 无公共点；当2e 4m =时，曲线2e xy x =与y ＝m 恰有一个公共点；当2e 4m >时，在区间(0,2)内存在1x =，使得φ(x 1)＞m ，在(2，＋∞)内存在x 2＝m e 2，使得φ(x 2)＞m .由φ(x )的单调性知，曲线2e xy x=与y ＝m 在(0，＋∞)上恰有两个公共点．综上所述，当x ＞0时，若0＜m ＜2e 4，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2没有公共点；若2e 4m =，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有一个公共点；若2e 4m >，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有两个公共点．(3)解法一：可以证明2f a f b f b f a b a()+()()-()>-.事实上，2f a f b f b f a b a ()+()()-()>-⇔e e e e 2a b b ab a+->-⇔e e 2e e b a b a b a -->+⇔2e 12e eab a b a ->-+⇔212e 1b a b a -->-+(b ＞a )．(*) 令2()12e 1xx x ψ=+-+(x ≥0)，则2222212e e 14e e 1()02e 12e 12e 1x x x x x x x x ψ(+)-(-)'=-==≥(+)(+)(+)(仅当x ＝0时等号成立)，∴ψ(x )在[0，＋∞)上单调递增，∴x ＞0时，ψ(x )＞ψ(0)＝0.令x ＝b －a ，即得(*)式，结论得证．解法二：e e e e 22b a b af a f b f b f a b a b a()+()()-()+--=---＝e e e e 2e 2e 2b a b a b a b b a a b a +---+(-)＝e 2a b a (-)[(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a＋2]，设函数u (x )＝x e x＋x －2e x＋2(x ≥0)，则u ′(x )＝e x ＋x e x ＋1－2e x，令h (x )＝u ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋e x ＋x e x －2e x ＝x e x≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴u ′(x )单调递增，∴当x ＞0时，u ′(x )＞u ′(0)＝0， ∴u (x )单调递增．当x ＞0时，u (x )＞u (0)＝0.令x ＝b －a ，则得(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a＋2＞0，∴e e e e >02b a b ab a+---，因此，2f a f b f b f a b a()+()()-()>-.2014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西）卷数学（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

高三数学复习附加题专项训练15套有答案

ABC •••2013届高三数学复习附加题专项训练（一）烟雾满山飘制作上传选修4-2：矩阵与变换二阶矩阵M 对应的变换将点(1,1)-与(2,1)-分别变换为点(1,1)--与(0,2)-，设直线l 在变换M 作用下得到了直线:24m x y -=，求直线l 的方程答案：直线l 的方程为40x +=选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆sin a ρθ=（0a >）与直线()cos 1ρθπ+=4相切，求实数a 的值．答案：解得4a =+【必做题】22．如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.求APB ∆的重心G 的轨迹方程.答案：重心G 的轨迹方程为：221(34)20,(42)3x y x y x x --+-==-+即．23. 如图所示，某城市有南北街道和东西街道各2n +条，一邮递员从该城市西北角的邮局A 出发，送信到东南角B 地，要求所走路程最短.求该邮递员途径C 地的概率()f n 答案：概率[]2212222(1)!(2)!1()2(!)(22)!21n n n n C n n n f n C n n n ++++==⋅=++。

（第4题）BACA 1B 1C 12013届高三数学一轮复习附加题专项训练（二）1设A=1212⎤⎥⎢⎢⎢⎣，则6A的逆矩阵是。

答案：逆矩阵为 1 00 -1-⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

选修4-4：坐标系与参数方程已知点),(y x P 在椭圆1121622=+y x 上，试求y x z 32-=的最大值. 答案： 10z 的最大值是【必做题】22.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，且12AB AC A B ===．（1）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；（2）在棱11B C 上确定一点P ，使AP =1P AB A --的平面角的余弦值．答案（1）1AA 与棱BC 所成的角是π3．（2）二面角1P ABA --．23. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点(4,0)M .（1）若点F 到直线l l 的斜率；（4分）（2）设,A B 为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值.（6分）答案：（1）直线l 的斜率为（2）线段AB 中点的横坐标为定值2.2013届高三数学一轮复习附加题专项训练（三）选修4-2：矩阵与变换若点(2,2)A 在矩阵cos sin sin cos M αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应变换的作用下得到的点为(2,2)B -，求矩阵M 的逆矩阵答案： 10110-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M . 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求经过三点O (0，0)，A (2，2π)，B (4π)的圆的极坐标方程．解答： )4ρθπ=-．【必做题】第22题口袋中有3个白球，4个红球，每次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，如果取到白球，就停止取球，记取球的次数为X ．（I ）若取到红球再放回，求X 不大于2的概率；（II ）若取出的红球不放回，求X 的概率分布与数学期望．解答：（Ⅰ） ∴33(1)(2)49P P X P X ==+==；∴32631()12345277353535E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 第23题已知1()ln(1)(1)nf x a x x =+--,其中*n N ∈,a 为常数, (1)当2n =时,求函数()f x 的极值；(2)当1a =时,证明:对任意的正整数n ,当2x ≥时,()1f x x ≤-.答案:(1) 2n =时,当0a >时,()f x 在1x =+处取得极小值2(1(1ln )2a f a+=+；当0a ≤时, ()f x 无极值. (2)略2013届高三数学一轮复习附加题专项训练（四）选修4-2：矩阵与变换.已知矩阵1101,20201⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A B ，若矩阵AB 对应的变换把直线l ：20x y +-=变为直线'l ，求直线'l 的方程.答案：直线l '的方程为480x y +-=选修4-4：坐标系与参数方程求直线12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）被圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）截得的弦长．答案：弦长为【必做题】第22题假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5，记此时教室里敞开的窗户个数为X . （Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变.记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y ，求Y 的分布列.答案：（Ⅰ）X 的分布列为（Ⅱ）Y 的分布列为第23题已知2()1f x x x =+-,()ln g x =若对任意12x >,都有()()f x g x ≤,试求a 的取值范围.答案: a 的取值范围是[,)e +∞.2013届高三数学一轮复习附加题专项训练（五）1选修4-2：矩阵与变换设A=，则A 6= 答案：66cos -sin 0 14466-1 0sin cos 44ππππ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦选修4-4：坐标系与参数方程椭圆2211612x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值. 答案：当 53πθ=时，min d =，此时所求点为(2,3)-【必做题】第22题已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=o，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥．（I ）求证：1AC ⊥平面1A BC ；（II ）求1CC 到平面1A AB 的距离；答案：（I ）略（II ）1||||AC n d n ⋅==u u u u r rr 7．第23题设数列{}n a 满足*1112,().n n na a a n N a +==+∈ （1）证明：n a 对*n N ∈恒成立；（2）令*)n b n N =∈，判断n b 与1n b +的大小，并说明理由．23题提供答案证明：（1）111111(0)(0,1)12,22,{}(2,)12111k k n n kk kk k y x x x xa a a a a n a a nn k nk a a a ++=+>∈∈∞==+≥≥+∞===>>==>=+=+>=是减函数,x (1,+)为增函数。

北京市西城区2013—2014学年度高三年级第一学期期末数学理科

北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2014.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合{|02}A x x =<<，1{|||}B x x =≤，则集合A B = （）（A ）(0,1)（B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则c =（）（A ）4（B（C ）3（D4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）（A ）34 （B ）45（C ）56（D ）12．已知复数z 满足2i=1iz +，那么z 的虚部为（）（A ）1-（B ）i -（C ）1（D ）i5．已知圆22:(1)(1)1C x y ++-=与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧»AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（）（A）2y x =+-（B）1y x =+-（C）2y x =-+（D）1y x =+-6．若曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足（）（A ）22a b > （B ）11a b< （C ）0a b <<（D ）0b a <<7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[2,1]x ∈--时，()f x 的最小值为（）（A ）116-（B ） 18-（C ） 14-（D ） 08. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP =x ，则当[1,5]x ∈时，函数()y f x =的值域为（）（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，若向量OA AB ⊥，则实数k = ____． 10．若等差数列{}n a 满足112a =，465a a +=，则公差d =______；24620a a a a ++++= ______．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. （用数字作答）13．如图，,B C 为圆O 上的两个点，P 为CB 延长线上一点，PA 为圆O 的切线，A 为切点. 若2PA =，3BC =，则PB =______；ACAB=______．1侧(左)视图14．在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组220,0,2x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤所表示的平面区域为D .在映射,:u x y T v x y =+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v . （1）在映射T 的作用下，点(2,0)的原象是；（2）由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.（Ⅰ）若()2f α=[π,π]α∈-，求α的值；（Ⅱ）求函数()()y f x g x =+的单调增区间.16．（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值；（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当2a =时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3， H 是CF 的中点.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角H BD C --的大小.甲组乙组 891 a822 F CEHD18．（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由.19．（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为k ， O 为坐标原点. （Ⅰ）若抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，求k 的取值范围；（Ⅱ）设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D ，求OD 的最小值.20．（本小题满分13分）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . （Ⅰ）若114,2a q ==，求n T ；（Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q <<. （Ⅲ）证明：n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为1,a q N N **挝.北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2014.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．4 10．125511． 12．24 13．1 214．(1,1) π注：第10、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为π()sin()(0)3g x x ωω=->的最小正周期为π，所以2||ωπ=π，解得2ω=． ……………… 3分由 ()2f α=22α=，即 cos 22α=， ……… 4分所以 π22π4k α=±，k ∈Z . 因为 [π,π]α∈-，所以7πππ7π{,,,}8888α∈--. ……………… 6分（Ⅱ）解：函数 π()()2sin(2)3y f x g x x x =+=+-ππ2sin 2cos cos 2sin 33x x x =+- ……………… 8分1sin 222x x =πsin(2)3x =+， ……………10分由 2πππ2π2π232k k x -++≤≤， ………………11分解得 5ππππ1212k k x -+≤≤． ………………12分所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ[ππ]()1212k k k -+∈Z ,.…………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得 11(889292)[9091(90)]33a ++=+++， ……………… 2分解得 1a =. ……………… 3分（Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ， ……………… 4分依题意 0,1,2,,9a = ，共有10种可能. ……………… 5分由（Ⅰ）可知，当1a =时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当2,3,4,,9a = 时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．… 6分所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A ==． ……………… 7分（Ⅲ）解：当2a =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有339⨯=种，它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)， ……………… 9分则这两名同学成绩之差的绝对值X 的所有取值为0,1,2,3,4. ……………… 10分因此2(0)9P X ==，2(1)9P X ==，1(2)3P X ==，1(3)9P X ==，1(4)9P X ==. ……………… 11分所以随机变量X 的分布列为：………………12分所以X 的数学期望221115()01234993993E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………13分 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以 AC BD ⊥. ……… 1分因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，且四边形BDEF 是矩形，所以 ED ⊥平面ABCD ， ……………… 2分又因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 ED AC ⊥. …………… 3分因为 ED BD D = ，所以 AC ⊥平面BDEF . …………… 4分（Ⅱ）解：设AC BD O = ，取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，,O N 分别为,BD EF 的中点，所以 //ON ED ，又因为 ED ⊥平面ABCD ，所以 ON ⊥平面ABCD ，由AC BD ⊥，得,,OB OC ON 两两垂直.所以以O 为原点，,,OB OC ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系. ……… 5分因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，3BF =，所以(0,A ，(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，(1,0,3)E -，(1,0,3)F，C，13()22H . ………………6分因为 AC ⊥平面BDEF ，所以平面BDEF的法向量AC =. …………7分设直线DH 与平面BDEF 所成角为α，由33(,)222DH = ，得sin |cos ,|DH AC DH AC DH ACα⋅=<>=== ，所以直线DH 与平面BDEF. ………………9分（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得13()222BH =- ，(2,0,0)DB = .设平面BDH 的法向量为111(,,)x y z =n ，所以0,0,BH DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ………………10分即111130,20,x z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩ 令11z =，得(0,=n . ………………11分由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)ED =-，则00(01(3)1cos ,232ED ED ED⋅⨯+⨯+⨯-<>===-⨯n n n . ………………13分由图可知二面角H BD C --为锐角，所以二面角H BD C --的大小为60 . ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()()e xf x x a =+，x ∈R ，所以()(1)e x f x x a '=++． ……………… 2分令()0f x '=，得1x a =--． ……………… 3分当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：……………… 5分故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．………… 6分（Ⅱ）解：结论：函数()g x 有且仅有一个零点. ……………… 7分理由如下：由2()()0g x f x a x =--=，得方程2e x ax x -=，显然0x =为此方程的一个实数解.所以0x =是函数()g x 的一个零点. ……………… 9分当0x ≠时，方程可化简为e x ax -=.设函数()ex aF x x -=-，则()e 1x a F x -'=-，令()0F x '=，得x a =．当x 变化时，()F x 和()F x '的变化情况如下：即()F x 的单调增区间为(,)a +∞；单调减区间为(,)a -∞．所以()F x 的最小值min ()()1F x F a a ==-. ………………11分因为 1a <，所以min ()()10F x F a a ==->，所以对于任意x ∈R ，()0F x >，因此方程e x a x -=无实数解．所以当0x ≠时，函数()g x 不存在零点.综上，函数()g x 有且仅有一个零点. ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：抛物线2y x =的焦点为1(0,)4. ……………… 1分由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-， ……………… 2分令 0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -. ……………… 3分因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，所以 114k ->，解得 34k <. ……………… 5分（Ⅱ）解：由题意，设211(,)B x x ，222(,)C x x ，33(,)D x y ，联立方程21(1),,y k x y x -=-⎧⎨=⎩ 消去y ，得210x kx k -+-=，由韦达定理，得11x k +=，所以 11x k =-. ……………… 7分同理，得AC 的方程为11(1)y x k-=--，211x k =--. ……………… 8分对函数2y x =求导，得2y x '=，所以抛物线2y x =在点B 处的切线斜率为12x ，所以切线BD 的方程为21112()y x x x x -=-，即2112y x x x =-. ……………… 9分同理，抛物线2y x =在点C 处的切线CD 的方程为2222y x x x =-.………………10分联立两条切线的方程2112222,2,y x x x y x x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 解得12311(2)22x x x k k +==--，3121y x x k k==-，所以点D 的坐标为111((2),)2k k k k---. ………………11分因此点D 在定直线220x y ++=上. ………………12分因为点O 到直线220x y ++=的距离d ==所以5OD ≥，当且仅当点42(,)55D --时等号成立． ………………13分由3125y k k =-=-，得k =.所以当k =OD………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由等比数列{}n a 的14a =，12q =，得14a =，22a =，31a =，且当3n >时，01n a <<. ……………… 1分所以14b =，22b =，31b =，且当3n >时，[]0n n b a ==. ……………… 2分即 ,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥ ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为 201421()n T n n =+≤，所以 113b T ==，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤. ……………… 4分因为 []n n b a =，所以 1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤. ……………… 5分由 21a q a =，得 1q <. ……………… 6分因为 201220142[2,3)a a q =∈，所以 20122223qa >≥，第 11 页共 11 页所以 2012213q <<，即 120122()13q <<. ……………… 8分（Ⅲ）证明：（充分性）因为 1a N *Î，q N *Î，所以 11n n a a q N -*= ，所以 []n n n b a a == 对一切正整数n 都成立.因为 12n n S a a a =+++L ，12n n T b b b =+++L ，所以 n n S T =. ……………… 9分（必要性）因为对于任意的n N *Î，n n S T =，当1n =时，由1111,a S b T ==，得11a b =；当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，1n n n b T T -=-，得n n a b =.所以对一切正整数n 都有n n a b =.由 n b Z Î，0n a >，得对一切正整数n 都有n a N *Î， ………………10分所以公比21a q a =为正有理数. ………………11分假设 q N *Ï，令p q r=，其中,,1p r r N *?，且p 与r 的最大公约数为1. 因为1a 是一个有限整数，所以必然存在一个整数()k k N Î，使得1a 能被k r 整除，而不能被1k r+整除. 又因为111211k k k k a p a a q r++++==，且p 与r 的最大公约数为1. 所以2k a Z +Ï，这与n a N *Î（n N *Î）矛盾.所以q *∈N .因此1a N *Î，q *∈N . ……………13分。

石景山区2013—2014学年第一学期期末考试试卷高三数学(理科)

150o ，则 | PF | ______．
A1
14．已知四边形是边长为的正方形，且平面，为上动点，过且垂直于的平面交于，那么
异面直线 PC 与 BD 所成的角的度数为
P
，当三棱锥的体积取得最大值时，
四棱锥 P ABCD 的高 PA 的长为
．
三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分 13 分）
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知数列为等差数列，，那么数列通项公式为（
）
A．
B．
C．
D．
5．执行如图所示的程序框图，若输入的
则输出的 x 的值为（
）
x 的值为 2 ，
A． 3
B． 126
C． 127
D． 128
开始
输入 x
x 2x 1 否 x 126
．
1．已知集合 M x R x2 2 x 3 0 ， N x R x 1 0 ，那么 M N （）
A． { 1，0，1}
B． { 3， 2 ， 1}
C． { x 1 x 1}
i
2．复数
（
1i
1i
A．
22
）
1i
B．
22
D． { x 3 x 1}
1i
C．
22
1i
D．
22
3．已知向量 a ( x ，1) ， b (4 ，x) ，则“ x 2 ”是“ a ∥ b ”的（
格．
现从某校高三年级的 300名学生中随机抽取 30名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：

2013-2014学年高三理科数学附加题：训练14

高三数学理科附加题训练14
1.（选修4—2：矩阵与变换）
已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．
2．（选修4—4：坐标系与参数方程）
已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面
直角坐标系，直线l
的参数方程为1212
x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段
长度.
3．某从集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9M =中，抽取三个不同元素构成子集{}123,,a a a ．（Ⅰ）求对任意的i j ≠，满足2i j a a -≥的概率；
（Ⅱ）若123,,a a a 成等差数列，设其公差为()0ξξ>，求随机变量ξ的分布列与数学期望．
4．设函数(,)1(0,0)x
m f x y m y y ⎛⎫=+>> ⎪⎝
⎭. （1）当3m =时，求(6,)f y 的展开式中二项式系数最大的项；
（2）若31240234(4,)a a a a f y a y y y y =++++且332a =，求40i i a =∑；（3）设n 是正整数，t 为正实数，实数t 满足(,1)(,)n f n m f n t =，
求证：7(2010,)f f t >-．。

高三数学附加题练习(5套)

当轴时，，，此时，与矛盾，……………2分
所以设直线的方程为，代入，得，
则，，①所以，所以，②…4分
因为，所以，将①②代入并整理得，，
所以 .………………………………………………………………………………6分
⑵因为，所以，当且仅当，即时，取等，所以，所以的最大值为 .……………………10分
⑴设该参加者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为，，，该参加者有资格闯第三关为事件．
则．…………………………………………………4分
(2)由题意可知，的可能取值为，，，，，
，，
，
，，
所以的分布列为
……………………………………………………………8分
所以的数学期望 .……………………………10分
已知矩阵M=对应的变换将点A(1,1)变为A'(0,2),将曲线C:xy=1变为曲线C'.
(1)求实数a,b的值;(2)求曲线C'的方程.
2（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,已知直线被圆截得的弦长为 ,求的值.
【答案】直线的极坐标方程化为直角坐标方程为 ,
则，
，
因为，
所以是平面法向量，………2分
又因为，
所以，
故直线与平面所成角正弦值为．…………………5分
（2）设．
因为，所以．
解得，故存在满足条件的点P为AC的中点．……………10分
4已知动圆过点且与直线相切.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点作一条直线交轨迹于两点，轨迹在两点处的切线相交于点，为线段的中点，求证：轴.

2013高三数学理科模拟试题附加答案

2013高三数学理科模拟试题附加答案以下是xx为大家整理的关于《2013高三数学理科模拟试题附加答案》的文章，供大家学习参考！第一部分选择题（共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合≤ ≤ , ≤ ≤ ，则（）2. 计算：（）A． B．- C. 2 D. -23. 已知是奇函数，当时，，则（）A. 2B. 1C.D.4. 已知向量 ,则的充要条件是（）A． B． C． D．5. 若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是（）6. 已知函数，则下列结论正确的是（）A. 此函数的图象关于直线对称B. 此函数的值为1C. 此函数在区间上是增函数D. 此函数的最小正周期为7. 某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的值为31，则等于（）A. 0B. 1C. 2D. 38. 已知、满足约束条件，若，则的取值范围为（）A. [0，1]B. [1，10]C. [1，3]D. [2，3]第二部分非选择题（共100分）二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）。

（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

9. 已知等比数列的公比为正数，且，则 = .10. 计算 .11. 已知双曲线的一个焦点是（），则其渐近线方程为 .12. 若 n的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 .13. 已知依此类推，第个等式为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的只算前一题得分。

14. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C上的点到直线3 -4 +4=0的距离的值为15.（几何证明选讲选做题）如图，⊙O的直径AB＝6cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA＝30°，PC＝_____________三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2013年全国高考理科数学试题分类汇编13：排列、组合及二项式定理(S)

2013年高考数学（理）真题分类解析汇编10：排列、组合及二项式定理一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5,则=a （）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-【答案】D2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数（）A ．243B ．252C ．261D ．279【答案】B3 ．（2013年高考新课标1（理））设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m =（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））()()8411+x y +的展开式中22x y 的系数是（） A ．56B ．84C ．112D ．168【答案】D5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数（） A ．14 B ．13 C ．12 D ．10【答案】B6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））使得()3nx n N n+⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的为（） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】B7 ．（2013年高考四川卷（理））从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,a b ,共可得到lg lg a b -的不同值的个数（） A ．9B ．10C ．18D ．20【答案】C8 ．（2013年高考陕西卷（理））设函数61,00.,()x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x >0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为（）A ．-20B ．20C ．-15D ．15【答案】A9．（2013年高考江西卷（理））(x 2-32x )5展开式中的常数项为（） A ．80 B ．-80C ．40D ．-40【答案】C二、填空题10．（2013年高考四川卷（理））二项式5()x y +的展开式中,含23xy 的项的系数是_________.(用数字作答【答案】1011．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排,且B A ,均在C 的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答) 【答案】48012．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））从3名骨科.4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________(用数字作答) 【答案】59013．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））6x ⎛⎝的二项展开式中的常数项为______.【答案】1514．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ,则=A ________.【答案】10-15．（2013年高考上海卷（理））设常数a R ∈,若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-,则______a =【答案】2a =-16．（2013年高考北京卷（理））将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.【答案】9617．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））若8x ⎛+ ⎝的展开式中4x 的系数为7,则实数a =______.【答案】2118．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有____________种.(用数字作答).【答案】48019 ．2013年上海市春季高考数学试卷.10(1)x +的二项展开式中的一项是（）A ．45xB ．290xC ．3120xD ．4252x【答案】C 二、填空题1．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为2236=23⨯,所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=（参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为________________________【答案】48362．（2013年高考四川卷（理））二项式5()x y +的展开式中,含23x y 的项的系数是_________.(用数字作答)【答案】103．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为________(结果用数值表示).【答案】454．（2013年高考北京卷（理））将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.【答案】96。

2013年江苏高考数学试题和答案(含理科附加)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）参考公式：样本数据12,,,n x x x L 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑。

棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 为高。

棱柱的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 为高。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应．．．．．．位置上．．．。

1、函数3sin(2)4y x π=+的最小正周期为 ▲ 。

2、设2(2)z i =- (i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ 。

3、双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为 ▲ 。

4、集合{-1，0，1}共有 ▲ 个子集。

5、右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲ 。

6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ 。

7、现有某类病毒记作为m n X Y ，其中正整数,(7,9)m n m n ≤≤可以任意选取，则,m n 都取到奇数的概率为 ▲ 。

8、如图，在三棱柱A 1B 1C 1 -ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、A A 1的中点，设三棱锥F -ADE 的体积为1V ，三棱柱A 1B 1C 1 -ABC 的体积为2V ，则1V ：2V = ▲ 。

运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲 87 91 90 89 93 乙8990918892二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15、（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),0a b ααβββαπ==<<<r r。

（1）若||a b -=r ra b ⊥r r ；（2）设(0,1)c =r，若a b c +=r r r ，求βα,的值。

江苏省2014届高考数学附加题专项测试题

江苏省2013届高考数学附加题专项测试题(1)江苏高考考试说明中附加题圆锥曲线与方程中抛物线为B 级要求，2011年、2012年高考中均没有考查，预测2013年高考中可能会考查；(2)江苏高考考试说明附加题中对空间向量与立体几何是B 级要求，2009年、2010年、2012年高考没有考查，2011年高考考查空间角的概念，求线段的长.预测2013年高考会考[典例1]在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A (2,2)，其焦点F 在x 轴上．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求过焦点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；(3)设过点M (m,0)(m >0)的直线交抛物线C 于D ，E 两点，ME ＝2DM ，记D 和E 两点间的距离为f (m )，求f (m )关于m 的表达式．[解] (1)由题意，可设抛物线C 的标准方程为y 2＝2px .因为点A (2,2)在抛物线C 上，所以p ＝1.因此，抛物线C 的标准方程为y 2＝2x .(2)由(1)可得焦点F 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，0，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1.因此，所求直线的方程是x ＋y －12＝0.(3)法一：设点D 和E 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，直线DE 的方程是y ＝k (x －m )，k ≠0.将x ＝yk ＋m 代入y 2＝2x ，有ky 2－2y －2km ＝0，解得y 1,2＝1±1＋2mk 2k.由ME ＝2DM ，知1＋1＋2mk 2＝2(1＋2mk 2－1)，化简得k 2＝4m，因此DE 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2 ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 24(1＋2mk 2)k 2＝94(m 2＋4m )．所以f (m )＝32m 2＋4m (m >0)．法二：设D ⎝⎛⎭⎫s 22，s ，E ⎝⎛⎭⎫t22，t ，由点M (m,0)及ME ＝2DM得 12t 2－m ＝2⎝⎛⎭⎫m －s 22，t －0＝2(0－s )．因此t ＝－2s ，m ＝s 2，所以 f (m )＝DE ＝ ⎝⎛⎭⎫2s 2－s 222＋(－2s －s )2 ＝32m 2＋4m (m >0)．本小题主要考查直线、抛物线方程及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力． [演练1](2012·徐州信息卷)过直线x ＝－2上的动点P 作抛物线y 2＝4x 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)若切线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值； (2)求证：直线AB 恒过定点．证明：(1)不妨设A (t 21，2t 1)(t 1>0)，B (t 22，2t 2)(t 2<0)，P (－2，m )．因为y 2＝4x ，所以当y >0时，y ＝2x ，y ′＝1x，所以k 1＝1t 1.同理k 2＝1t 2.由k 1＝2t 1－m t 21＋2＝1t 1，得t 21－mt 1－2＝0. 同理t 22－mt 2－2＝0.所以t 1，t 2是方程t 2－mt －2＝0的两个实数根．所以t 1t 2＝－2.所以k 1k 2＝1t 1t 2＝－12为定值．(2)直线AB 的方程为y －2t 1＝2(t 2－t 1)t 22－t 21(x －t 21)，即y ＝2t 1＋t 2x ＋2t 1－2t 21t 1＋t 2，即y ＝2t 1＋t 2x ＋2t 1t 2t 1＋t 2，由于t 1t 2＝－2，所以直线方程化为y ＝2t 1＋t 2(x －2)，所以直线AB 恒过定点(2,0)． [典例2](2012·泰州期末)如图，在三棱锥P —ABC 中，平面ABC ⊥平面APC ，AB ＝BC ＝AP ＝PC ＝2，∠ABC ＝∠APC ＝90°.(1)求直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值；(2)若动点M 在底面三角形ABC 上，二面角M －P A －C 的余弦值为31111，求BM 的最小值．[解] (1)取AC 中点O ，∵AB ＝BC ，∴OB ⊥OC . ∵平面ABC ⊥平面APC ，平面ABC ∩平面APC ＝AC ， ∴OB ⊥平面P AC . ∴OB ⊥OP .以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系． ∵AB ＝BC ＝P A ＝2，∴OB ＝OC ＝OP ＝1.从而O (0,0,0)，B (1,0,0)，A (0，－1,0)，C (0,1,0)，P (0,0，1)，∴BC ＝(－1,1,0)，PB ＝(1,0，－1)，AP＝(0,1,1)．设平面PBC 的法向量n 1＝(x ，y ，z )，由BC ·n 1＝0，PB ·n 1＝0得方程组⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，x －z ＝0.取n 1＝(1,1,1)，∴cos 〈AP ，n 1〉＝AP·n 1| AP ||n 1|＝63.设P A 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈AD ，n 1〉|＝63.∴直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值为63. (2)由题意平面P AC 的法向量n 2＝(1,0,0)．设平面P AM 的法向量为n 3＝(x ，y ，z )，M (m ，n,0)．∵AP ＝(0,1,1)，AM＝(m ，n ＋1,0)，又∵AP ·n 3＝0，AM ·n 3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，mx ＋(n ＋1)y ＝0，取n 3＝⎝⎛⎭⎫n ＋1m ，－1，1.∴cos 〈n 2，n 3〉＝n 2·n 3|n 2||n 3|＝n ＋1m ⎝⎛⎭⎫n ＋1m 2＋2＝31111.∴⎝⎛⎭⎫n ＋1m 2＝9.∴n ＋1＝3m 或n ＋1＝－3m (舍去)．∴AM＝(m,3m,0)．又AB＝(1,1,0)，∴cos 〈AM ，AB 〉＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(m ，3m ，0)·(1，1，0)10m 2·2＝255.则sin 〈AM ，AB 〉＝53，∴d ＝AB ·55＝105.∴B 点到AM 的最小值为垂直距离d ＝105.考查空间向量在立体几何中的应用，求出平面的法向量是解题的关键． [演练2](2012·苏北四市二模)在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AB 的中点，点P 在平面A 1B 1C 1D 1中，D 1P ⊥平面PCE .(1)试求：线段D 1P 的长；(2)直线DE 与平面PCE 所成角的正弦值．解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D 1(0,0,2)，E (2,1,0)，C (0,2,0)．设P (x ，y,2)，则1D P＝(x ，y,0)， EP＝(x －2，y －1,2)， EC＝(－2,1,0)．因为D 1P ⊥平面PCE ，所以D 1P ⊥EP .D 1P ⊥EC .所以1D P ·EP＝0，1D P ·EC ＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧ x (x －2)＋y (y －1)＝0，－2x ＋y ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0(舍去)或⎩⎨⎧x ＝45，y ＝85.即P ⎝⎛⎭⎫45，85，2，所以1D P ＝⎝⎛⎭⎫45，85，0，所以D 1P ＝1625＋6425＝455.(2)由(1)知，DE＝(2,1,0)，1D P ＝⎝⎛⎭⎫45，85，0，1D P ⊥平面PEC ，设DE 与平面PEC 所成角为θ，1D P 与DE 所成角为α，则sin θ＝|cos α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1D P ·DE | 1D P ||DE |＝1655·8025＝45. 所以直线DE 与平面PEC 所成角的正弦值为45.[专题技法归纳](1)抛物线与直线的位置关系中重点考查顶点在原点的抛物线与过焦点的直线的位置关系，熟练掌握抛物线的几何性质，利用几何性质解决问题较为简单；(2)空间向量与立体几何主要考查向量的坐标表示、向量运算、平面的法向量、空间角及距离的计算．对于点的位置的探索问题，可以利用向量共线定理设元确定．1.(2012·苏北四市三模)在三棱锥S —ABC 中，底面是边长为23的正三角形，点S 在底面ABC 上的射影O 恰是BC 的中点，侧棱SA 和底面成45°角．(1) 若D 为侧棱SA 上一点，当SDDA 为何值时，BD ⊥AC ；(2) 求二面角S —AC —B 的余弦值大小．解：以O 点为原点，OC 为x 轴，OA 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系．因为△ABC 是边长为23的正三角形，又SA 与底面所成角为45°，所以∠SAO ＝45°.所以SO ＝AO ＝3.所以O (0,0,0)，C (3，0,0)，A (0,3,0)，S (0,0,3)，B (－3，0，0)．(1)设AD ＝a ，则D ⎝⎛⎭⎫0，3－22a ，22a ，所以BD ＝⎝⎛⎭⎫3，3－22a ，22a ，AC ＝(3，－3,0)．若BD ⊥AC ，则BD·AC ＝3－3⎝⎛⎭⎫3－22a ＝0，解得a ＝22，而AS ＝32，所以SD ＝ 2.所以SD DA ＝222＝12.(2)因为AS ＝(0，－3,3)，BC＝(23，0,0)．设平面ACS 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n 1·AC ＝(x ，y ，z )·(3，－3，0)＝3x －3y ＝0，n 1·AS＝(x ，y ，z )·(0，－3，3)＝－3y ＋3z ＝0，令z ＝1，则x ＝3，y ＝1，所以n 1＝(3，1,1)．而平面ABC 的法向量为n 2＝(0,0,1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝3×0＋1×0＋1×112＋12＋(3)2·1＝15，显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为55.2.(2012·镇江5月)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO .(1)若λ＝1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值； (2)若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值．解：(1)不妨设正方体的棱长为1，以DA ，DC ，1DD为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .则A (1,0,0)，O ⎝⎛⎭⎫12，12，0，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫14，14，12，于是DE ＝⎝⎛⎭⎫14，14，12，1CD ＝(0，－1,1)．由cos 〈DE ，1CD 〉＝DE ·1CD | DE|·| 1CD |＝36. 所以异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为36. (2)设平面CD 1O 的向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO ＝0，m ·1CD ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧12x 1－12y 1＝0，－y 1＋z 1＝0，取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m ＝(1,1,1)．由D 1E ＝λEO ，则E ⎝⎛⎭⎫λ2(1＋λ)，λ2(1＋λ)，11＋λ，DE ＝⎝⎛⎭⎫λ2(1＋λ)，λ2(1＋λ)，11＋λ.又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD ＝0，n ·DE ＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝0，λx 22(1＋λ)＋λy 22(1＋λ)＋z 21＋λ＝0，取x 2＝2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2,0，λ)．因为平面CDE ⊥平面CD 1O ，所以m ·n ＝0，得λ＝2.3.(2012·南通密卷)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，N 是BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上，且满足1A P ＝λ11A B.(1)当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大？(2)若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°，试确定点P 的位置．解：(1)以AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A —xyz ，则N ⎝⎛⎭⎫12，12，0，P (λ，0,1)，则PN ＝⎝⎛⎭⎫12－λ，12，－1，平面ABC 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，则sin θ＝|cos 〈PN ，n 〉|＝|PN·n || PN ||n |＝1⎝⎛⎭⎫λ－122＋54. 于是问题转化为二次函数求最值，而θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，当θ最大时，sin θ最大，所以当λ＝12时，sin θ最大，θ也最大．(2)已知给出了平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°，即可得到平面ABC 的一个法向量为n ＝1AA ＝(0,0,1)，设平面PMN 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，MP ＝⎝⎛⎭⎫λ，－1，12. 由⎩⎨⎧m ·NP ＝0，m ·MP ＝0，得⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫λ－12x －12y ＋z ＝0，λx －y ＋12z ＝0，解得⎩⎨⎧y ＝2λ＋13x ，z ＝2(1－λ)3x .令x ＝3，得m ＝(3,2λ＋1,2(1－λ))，于是由 |cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n|＝|2(1－λ)|9＋(2λ＋1)2＋4(1－λ)2＝22，解得λ＝－12，故点P 在B 1A 1的延长线上，且|A 1P |＝12.4．(2012·泰州期末)对称轴为坐标轴，顶点在坐标原点的抛物线C 经过两点A (a,2a )，B (4a,4a )(其中a 为正常数)．(1)求抛物线C 的方程；(2)设动点T (m,0)(m >a )，直线AT ，BT 与抛物线C 的另一个交点分别为A 1，B 1，当m 变化时，记所有直线A 1B 1组成的集合为M ，求证：集合M 中的任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上．解：(1)当抛物线焦点在x 轴上时，设抛物线方程y 2＝2px ，∵⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＝2pa ，16a 2＝8pa ，∴p ＝2a . ∴y 2＝4ax .当抛物线焦点在y 轴上时，设抛物线方程x 2＝2py ，∵⎩⎪⎨⎪⎧16a 2＝8pa ，a 2＝4pa ，方程无解，∴抛物线不存在．综上抛物线C 的方程为y 2＝4ax .(2)设A 1(as 2,2as )，B 1(at 2,2at )，T (m,0)(m >a )． ∵k TA ＝kTA 1，∴2a a －m ＝2as as 2－m ，∴as 2＋(m －a )s －m ＝0.∵(as ＋m )(s －1)＝0，∴s ＝－m a，∴A 1⎝⎛⎭⎫m 2a ，－2m . ∵k TB ＝kTB 1，∴4a 4a －m ＝2atat 2－m.∵2at 2＋(m －4a )t －2m ＝0，∴(2at ＋m )(t －2)＝0. ∴t ＝－m 2a.∴B 1⎝⎛⎭⎫m 24a ，－m . ∴直线A 1B 1的方程为y ＋2m ＝－2m ＋m m 2a －m 24a ⎝⎛⎭⎫x －m 2a . ∵直线的斜率为－4a3m 在(a ，＋∞)单调，∴集合M 中的直线必定相交．∵直线的横截距为－m 22a 在(a ，＋∞)单调，纵截距为－2m3在(a ，＋∞)单调，∴任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上．5．(2012·常州)已知斜率为k (k ≠0)的直线l 过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且交抛物线于A ，B 两点．设线段AB 的中点为M .(1)求点M 的轨迹方程；(2)若－2<k <－1时，点M 到直线l ′：3x ＋4y －m ＝0(m 为常数，m <13)的距离总不小于15，求m 的取值范围．解：(1)焦点F (1,0)，直线AB 方程为y ＝k (x －1)，因为k ≠0，所以x ＝yk ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y k ＋1，y 2＝4x得y 2－4ky －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，显然Δ>0恒成立，则y 0＝y 1＋y 22＝2k .又x 0＝y 0k ＋1，消去k ，得y 20＝2(x 0－1)，所以点M 的轨迹方程为y 2＝2(x －1)． (2)由(1)知，点M ⎝⎛⎭⎫2k2＋1，2k . 因为m <13，所以d ＝15⎪⎪⎪⎪6k 2＋8k－m ＋3＝15⎝⎛⎭⎫6k 2＋8k －m ＋3. 由题意，得15⎝⎛⎭⎫6k 2＋8k －m ＋3≥15，m ≤6k 2＋8k ＋2对－2<k <－1恒成立．因为－2<k <－1时，6k 2＋8k ＋2的最小值是－23，所以m ≤－23.6．(2012·南通密卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点为F 的抛物线x 2＝4y 上有两个动点A ，B ，且满足AF ＝λFB，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M .(1)求：OA ·OB的值； (2)证明：FM ·AB为定值．解：(1)设A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 224， ∵焦点F (0,1)，∴AF ＝⎝⎛⎭⎫－x 1，1－x 214，FB ＝⎝⎛⎭⎫x 2，x 224－1.∵AF ＝λFB，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝λx 2，1－x 214＝λ⎝⎛⎭⎫x 224－1，消λ，得x 1⎝⎛⎭⎫x 224－1＋x 2⎝⎛⎭⎫1－x 214＝0. 化简整理得(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1x 24＋1＝0. ∵x 1≠x 2，∴x 1x 2＝－4.∴y 1y 2＝x 214·x 224＝1.∴OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3.(2)证明：抛物线方程为y ＝14x 2，∴y ′＝12x .∴过抛物线A ，B 两点的切线方程分别为 y ＝12x 1(x －x 1)＋x 214和y ＝12x 2(x －x 2)＋x 224，即y ＝12x 1x －x 214和y ＝12x 2x －x 224.联立解出两切线交点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，－1. ∴FM ·AB ＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，－2·⎝⎛⎭⎫x 2－x 1，x 22－x 214 ＝x 22－x 212－x 22－x 212＝0(定值).7.(2012·淮阴联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,1)，P 是动点，且三角形POA 的三边所在直线的斜率满足k OP ＋k OA ＝k P A .(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ＝λOA ，直线OP 与QA 交于点M ，问：是否存在点P 使得△PQA 和△P AM 的面积满足S △PQA ＝2S △P AM ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)设点P (x ，y )为所求轨迹上的任意一点，则由kOP ＋k OA ＝k P A得，y x ＋1－1＝y －1x ＋1，整理得轨迹C 的方程为y ＝x 2(x ≠0且x ≠－1)．(2)设P (x 1，x 21)，Q (x 2，x 22)，由PQ＝λOA 可知直线PQ ∥OA ，则k PQ ＝k OA ，故x 22－x 21x 2－x 1＝1－0－1－0，即x 2＝－x 1－1. 直线OP 方程为y ＝x 1x .①直线QA 的斜率为(－x 1－1)2－1－x 1－1＋1＝－x 1－2，∴直线QA 方程为y －1＝(－x 1－2)(x ＋1)，即y ＝－(x 1＋2)x －x 1－1.②联立①②，得x ＝－12，∴点M 的横坐标为定值－12.由S △PQA ＝2S △P AM ，得到QA ＝2AM ，因为PQ ∥OA ，所以OP ＝2OM ，由PO ＝2 OM，得x 1＝1，∴P 的坐标为(1,1)．∴存在点P 满足S △PQA ＝2S △P AM ，P 的坐标为(1,1)．8.(2012·徐州一模)如图，过抛物线C ：y 2＝4x 上一点P (1，－2)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)求y 1＋y 2的值；(2)若y 1≥0，y 2≥0，求△P AB 面积的最大值．解：(1)因为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线C ： y 2＝4x 上，所以A ⎝⎛⎭⎫y 214，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 224，y 2， k P A ＝y 1＋2y 214－1＝4(y 1＋2)y 21－4＝4y 1－2，同理k PB ＝4y 2－2，依题有k P A ＝－k PB ，所以4y 1－2＝－4y 2－2，即y 1＋y 2＝4.(2)由(1)知k AB ＝y 2－y 1y 224－y 214＝1，设AB 的方程为 y －y 1＝x －y 214，即x －y ＋y 1－y 214＝0，P 到AB 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪3＋y 1－y 2142，AB ＝2⎪⎪⎪⎪y 214－y 224＝2|y 1－y 2|＝22|2－y 1|，所以S △P AB ＝12×⎪⎪⎪⎪3＋y 1－y 2142×22|2－y 1|＝14|y 21－4y 1－12||y 1－2|＝14|(y 1－2)2－16||y 1－2|，令y 1－2＝t ，由y 1＋y 2＝4，y 1≥0，y 2≥0，可知－2≤t ≤2.S △P AB ＝14|t 3－16t |，因为S △P AB ＝14|t 3－16t |为偶函数，只考虑0≤t ≤2的情况，记f (t )＝|t 3－16t |＝16t －t 3，f ′(t )＝16－3t 2>0，故f (t )在[0,2]是单调增函数，故f (t )的最大值为f (2)＝24，故S △P AB 的最大值为6.回顾2009～2012年的高考考题，附加题选做(四选二)中分别考查几何证明选讲、极坐标与参数方程、矩阵与变换、不等式选讲这四个内容，要求考生从中选择两个来完成，每题10分，难度不是很大，但是要求考生对所学知识点熟练掌握.[典例1](2012·江苏高考)如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD ＝DC ，连结AC ，AE ，DE .求证：∠E ＝∠C .[解] 证明：如图，连结AD .∵AB 是圆O 的直径， ∴∠ADB ＝90°. ∴AD ⊥BD . 又∵BD ＝DC ，∴AD 是线段BC 的中垂线． ∴AB ＝AC . ∴∠B ＝∠C .又∵D ，E 为圆上位于AB 异侧的两点， ∴∠B ＝∠E . ∴∠E ＝∠C .(1)本题利用中间量代换的方法证明∠E ＝∠C ，一方面考虑到∠B 和∠E 是同弧所对圆周角相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到∠B ＝∠C .(2)本题还可连结OD ，利用三角形中位线来证明∠B ＝∠C . [演练1](2012·泰州期末)已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连结FB ，FC .(1)求证：FB ＝FC ；(2)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝33，求AD 的长．解：(1)证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠DAC . ∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC . ∵∠EAD ＝∠F AB ＝∠FCB ， ∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC . (2)∵AB 是圆的直径，∴∠ACD ＝90°.∵∠EAC ＝120°，∴∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠D ＝30°.在Rt △ACB 中，∵BC ＝33，∠BAC ＝60°，∴AC ＝3. 又在Rt △ACD 中，∠D ＝30°，AC ＝3，∴AD ＝6. [典例2](2012·江苏高考)已知矩阵A 的逆矩阵A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 3412 －12，求矩阵A 的特征值．[解] ∵A －1A ＝E ，∴A ＝(A －1)－1.∵A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 34 12 －12，∴A ＝(A－1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 321.∴矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝λ2－3λ－4.令f (λ)＝0，解得矩阵A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.由矩阵A 的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A ，从而可求出矩阵A 的特征值． [演练2](2012·泰州期末)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，求满足AX ＝B 的二阶矩阵X .解：由题意得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1，∵AX ＝B ，∴X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －1－3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1. [典例3](2012·江苏高考)在极坐标中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．[解] ∵圆C 圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，∴在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1.∴圆C 的圆心坐标为(1,0)． ∵圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， ∴圆C 的半径为PC ＝(2)2＋12－2×1×2cos π4＝1.∴圆C 经过极点，∴圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.求圆的方程的关键是求出圆心坐标和圆的半径． [演练3](2012·南通二模)在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与圆C 2相切，求实数a 的值．解：C 1：(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心C 1(2,2)，半径r 1＝2 2. C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，圆心C 2(－1，－1)，半径r 2＝|a |. ∴圆心距C 1C 2＝3 2.两圆外切时，C1C2＝r1＋r2＝22＋|a|＝32，a＝±2；两圆内切时，C1C2＝|r1－r2|＝|22－|a||＝32，a＝±5 2.综上，a＝±2或a＝±5 2.[典例4](2012·江苏高考)已知实数x，y满足：|x＋y|<13，|2x－y|<16，求证：|y|<518.[证明]∵3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知|x＋y|<13，|2x－y|<16，∴3|y|<13＋16＝56.∴|y|<518.解决本题的关键是用(x＋y)和(2x－y)表示y.[演练4](2012·南通二模)已知x，y，z均为正数．求证：xyz＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.证明：因为x，y，z都为正数，所以xyz＋yzx＝1z⎝⎛⎭⎫xy＋yx≥2z.同理，可得yzx＋zxy≥2x，zxy＋xyz≥2y.将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得xyz＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.[专题技法归纳](1)几何证明选讲主要考查直线与圆的相切关系，弦切角定理是沟通角的桥梁，解决与圆有关的线段问题常利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理，并结合三角形相似等知识；(2)矩阵与变换主要考查变换、矩阵的特征值与特征向量、逆矩阵、二阶矩阵的乘法；(3)极坐标与参数方程主要考查参数方程与普通方程的互化及应用参数方程求最值、范围等问题；(4)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号化为不含绝对值的不等式，其过程体现了分类讨论思想的应用．1.(2012·苏北四市三模)如图，圆O 的直径AB ＝4，C 为圆周上一点，BC ＝2，过C 作圆O 的切线l ，过A 作l 的垂线AD 分别与直线l ，圆O 交于点D ，E ，求线段AE 的长．解：在Rt △ABC 中，因为AB ＝4，BC ＝2，所以∠ABC ＝60°，因为l 为过C 的切线，所以∠DCA ＝∠CBA ，所以∠DCA ＝∠ABC ＝60°.又因为AD ⊥DC ，所以∠DAC ＝30°.在△AOE 中，因为∠EAO ＝∠DAC ＋∠CAB ＝60°，且OE ＝OA ，所以AE ＝AO ＝12AB ＝2.2.如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O上一点，AE ＝AC ，求证：∠PDE ＝∠POC .证明：因AE ＝AC ，AB 为直径，故∠OAC ＝∠OAE .所以∠POC ＝∠OAC ＋∠OCA ＝∠OAE ＋∠OAC ＝∠EAC .又∠EAC ＝∠PDE ，所以∠PDE ＝∠POC .3．(2012·扬州期末)求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 26的特征值和特征向量．解：f (λ)＝(λ＋1)(λ－6)－8＝λ2－5λ－14＝(λ－7)(λ＋2)，由f (λ)＝0，可得λ1＝7，λ2＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧(7＋1)x －4y ＝0，－2x ＋(7－6)y ＝0 可得属于λ1＝7的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12. 由⎩⎪⎨⎪⎧(－2＋1)x －4y ＝0，－2x ＋(－2－6)y ＝0 可得属于λ1＝－2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－1. 4．(2012·南通二模)已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 5β.解：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－1＝λ2－2λ－3.令f (λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得它们对应的一个特征向量分别为 α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1. 令β＝m α1＋n α2，所以求得m ＝4，n ＝－3.M 5β＝M 5(4α1－3α2)＝4(M 5α1)－3(M 5α2)＝4(λ51α1)－3(λ52α2)＝4·35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3(－1)5⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤975969.5．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β.解：∵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 121，∴A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 243.设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A 2α＝β⇔⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 ⇔⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋2y 4x ＋3y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2.6．已知P (x ，y )是椭圆x 24＋y 2＝1上的点，求M ＝x ＋2y 的取值范围．解：∵x 24＋y 2＝1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)∴设P (2cos θ，sin θ)．∴M ＝x ＋2y ＝2cos θ＋2sin θ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. ∴M ＝x ＋2y 的取值范围是[－22，2 2 ]．7．(2012·泰州期末)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t ＋1(t 为参数)，求直线l被曲线C 截得的线段长度．解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为 x 2＋y 2－6y ＝0，即x 2＋(y －3)2＝9，它表示以(0,3)为圆心，3为半径的圆．直线方程l 的普通方程为y ＝3x ＋1，圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|3－1|3＋1＝1，故直线l 被曲线C 截得的线段长度为232－12＝4 2.8．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (1)求直线l 的倾斜角；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB .解：(1)设直线l 的倾斜角为θ，则⎩⎨⎧cos θ＝12，sin θ＝32且θ∈[0，π)，∴θ＝π3，即直线l 的倾斜角为π3.(2)l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋22， ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4的直角坐标方程为 ⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y －222＝1， ∴圆心⎝⎛⎭⎫22，22到直线l 的距离d ＝64， ∴AB ＝102. 9．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，求|x －y ＋1|的最大值．解：法一：|x －y ＋1|＝|(x －1)－(y －2)|≤|x －1|＋|y －2|≤2. 当且仅当x ＝2，y ＝3或x ＝0，y ＝1时，取等号． ∴|x －y ＋1|的最大值为2. 法二：∵|x －1|≤1，∴0≤x ≤2. ∵|y －2|≤1，∴1≤y ≤3. ∴－3≤－y ≤－1. ∴－2≤x －y ＋1≤2. ∴|x －y ＋1|的最大值为2.10．若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值．解：因为正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，所以⎝⎛⎭⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)]≥(1＋1＋1)2，即13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1，当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝13时，原式取最小值1.回顾2009～2012年的考题，离散型随机变量的概率分布与数学期望是考查的重点，但考查难度不大，考查的重点是根据题意分析写出随机变量的分布列.求解过程往往和排列、组合和概率相结合.数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在数学证明中有着广泛的应用.[典例1](2012·江苏高考)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P (ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．[解] (1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱．因此P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P (ξ＝2)＝6C 212＝666＝111， P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611.所以随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 2 P (ξ)411611111则其数学期望E (ξ)＝1×611＋2×111＝6＋211.本题考查概率分布、数学期望等基础知识．解题的关键是确定ξ的取值． [演练1](2012·扬州期末)口袋中有3个白球，4个红球，每次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，如果取到白球，就停止取球，记取球的次数为X .(1)若取到红球再放回，求X 不大于2的概率； (2)若取出的红球不放回，求X 的概率分布与数学期望．解：(1)∵P (X ＝1)＝37，P (X ＝2)＝3×472＝1249，∴P ＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝3349.(2)∵X 可能取值为1,2,3,4,5，P (X ＝1)＝A 13A 17＝37，P (X ＝2)＝A 14A 13A 27＝27，P (X ＝3)＝A 24A 13A 37＝635，P (X ＝4)＝A 34A 13A 47＝335，P (X ＝5)＝A 44A 13A 57＝135.∴X 的概率分布列为：X 1 2 3 4 5 P3727635335135∴E (X )＝1×37＋2×27＋3×635＋4×335＋5×135＝2.即X 的数学期望是2. [典例2]已知△ABC 的三边长为有理数． (1)求证：cos A 是有理数；(2)求证：对任意正整数n ，cos nA 是有理数． [证明] (1)由AB ，BC ，AC 为有理数及余弦定理知 cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC是有理数．(2)用数学归纳法证明cos nA 和sin A ·sin nA 都是有理数． ①当n ＝1时，由(1)知cos A 是有理数，从而有sin A·sin A＝1－cos2A也是有理数．②假设当n＝k(k≥1)时，cos kA和sin A·sin kA都是有理数．当n＝k＋1时，由cos(k＋1)A＝cos A·cos kA－sin A·sin kA，sin A·sin(k＋1)A＝sin A·(sin A·cos kA＋cos A·sin kA)＝(sin A·sin A)·cos kA＋(sin A·sin kA)·cos A，由①及归纳假设，知cos(k＋1)A与sin A·sin(k＋1)A都是有理数．即当n＝k＋1时，结论成立．综合①②可知，对任意正整数n，cos nA是有理数．本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力．[演练2](2012·常州)已知正项数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝1＋a n1＋a n(n∈N*)．用数学归纳法证明：a n<a n＋1(n∈N*)．证明：当n＝1时，a2＝1＋a11＋a1＝32，a1<a2，所以n＝1时，不等式成立；假设当n＝k(k∈N*)时，a k<a k＋1成立，显然a k>0. 则当n＝k＋1时，a k＋2－a k＋1＝1＋a k＋11＋a k＋1－a k＋1＝1＋a k＋11＋a k＋1－⎝⎛⎭⎫1＋a k1＋a k＝a k＋1－a k(1＋a k)(1＋a k＋1)>0，所以n＝k＋1时，不等式成立．综上所述，不等式a n<a n＋1(n∈N*)成立．[典例3](2012·盐城二模)某班级共派出n＋1个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队．入场时，领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有E n种排法；入场后，又需从男生(含男生甲)和女生中各选一名代表到主席台服务，共有F n种选法．(1)试求E n和F n；(2)判断ln E n和F n的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明．[解](1)由题意知E n＝A n n·A n n＝(n！)2，F n ＝C 1n ＋1·C 1n ＝n (n ＋1)．(2)因为ln E n ＝2ln n ！，F n ＝n (n ＋1)，所以ln E 1＝0<F 1＝2，ln E 2＝ln 4<F 2＝6，ln E 3＝ln 36<F 3＝12，…，因此猜想；当n ∈N *时都有ln E n <F n ，即2ln n ！<n (n ＋1)．下面用数学归纳法证明2ln n ！<n (n ＋1)(n ∈N *)． ①当n ＝1时，该不等式显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即2ln k ！<k (k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，2ln(k ＋1)！＝2ln(k ＋1)＋2ln k ！<2ln(k ＋1)＋k (k ＋1)，要证当n ＝k ＋1时不等式成立，只要证2ln(k ＋1)＋k (k ＋1)≤(k ＋1)(k ＋2)，即只要证ln(k ＋1)≤k ＋1.令f (x )＝ln x －x ，x ∈(1，＋∞)，因为f ′(x )＝1－x x <0，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递减，从而f (x )<f (1)＝－1<0，而k ＋1∈(1，＋∞)，所以ln(k ＋1)≤k ＋1成立，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综合①②，当n ∈N *时，都有ln E n <F n .本题考查排列组合等基础知识，考查数学归纳法的应用以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．这类问题以排列组合为主线，利用数学归纳法进行推理．利用导数研究函数的单调性证明ln(k ＋1)<k ＋1是关键．[演练3](2012·扬州期末)已知p (p ≥2)是给定的某个正整数，数列{a n }满足：a 1＝1，(k ＋1)a k ＋1＝p (k －p )a k ，其中k ＝1，2,3，…，p －1.(1)设p ＝4，求a 2，a 3，a 4； (2)求a 1＋a 2＋a 3＋…＋a p . 解：(1)由(k ＋1)a k ＋1＝p (k －p )a k ，得a k ＋1a k ＝p ×k －pk ＋1，k ＝1,2,3，…，p －1，即a 2a 1＝－4×4－12＝－6，a 2＝－6a 1＝－6； a 3a 2＝－4×4－23＝－83，a 3＝16； a 4a 3＝－4×4－34＝－1，a 4＝－16. (2)由(k ＋1)a k ＋1＝p (k －p )a k ，得a k ＋1a k ＝p ×k －pk ＋1，k ＝1,2,3，…，p －1，即a 2a 1＝－p ×p －12，a 3a 2＝－p ×p －23，…， a ka k －1＝－p ×p －(k －1)k ，以上各式相乘得a k a 1＝(－p )k －1×(p －1)(p －2)(p －3)…(p －k ＋1)k ！， ∴a k ＝(－p )k －1×(p －1)(p －2)(p －3)…(p －k ＋1)k ！＝(－p )k －1×(p －1)！k ！(p －k )！＝(－p )k －1p ×p ！k ！(p －k )！＝－(－p )k －2×C k p ＝－1p 2C k p (－p )k，k ＝1,2,3，…，p . ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a p＝－1p 2[C 1p (－p )1＋C 2p (－p )2＋C 3p (－p )3＋…＋C p p (－p )p ] ＝－1p2[(1－p )p －1]．[专题技法归纳]离散型随机变量的概率分布与数学期望是建立在传统的概率问题的基础之上的内容，高考新课程对这一内容的考查是B 级要求，常以实际应用题的形式出现，与数学建模能力的考查结合在一起，考查学生的数学应用意识以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．解决这一类问题，一定要注意认真审题，不仅要能在弄清题意的基础上，迅速地寻找出正确的解题思路，还要能够规范地表述解题的过程．这些，需要在复习中引起足够的重视，注意做好针对性的训练，力求做到求解这一类问题时能够得心应手、准确无误．1．有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一排组成.第一排明文字符ABCD密码字符 11 12 13 14 第二明文字符 E F G H 密码字符21222324排第三排明文字符 M N P Q 密码字符1234设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数． (1)求P (ξ＝2)；(2)求随机变量ξ的分布列和它的数学期望．解：(1)密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1,2列分别总是1,2，即只能取表格第1,2列中的数字作为密码．∴P (ξ＝2)＝2343＝18.(2)由题意可知，ξ的取值为2,3,4三种情形．若ξ＝3，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1,2,3或1,2,4.∴P (ξ＝3)＝2(22A 132C 23＋1)43＝1932. P (ξ＝4)＝A 13＋A 22＋A 23A 2243＝932. ∴ξ的分布列为：ξ 2 3 4 P181932932∴E (ξ)＝2×18＋3×1932＋4×932＝10132.A BED2.用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花．(1)求恰有两个区域用红色鲜花的概率；(2)记花圃中红色鲜花区域的块数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望E (ξ)．解：(1)设M 表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图，当区域A 、D 同色时，共有5×4×3×1×3＝180种；当区域A 、D 不同色时，共有5×4×3×2×2＝240种；因此，所有基本事件总数为：180＋240＝420种．又因为A 、D 为红色时，共有4×3×3＝36种；B 、E 为红色时，共有4×3×3＝36种；因此，事件M 包含的基本事件有：36＋36＝72种．所以P (M )＝72420＝635.(2)随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 2 P6352335635所以E (ξ)＝0×635＋1×2335＋2×635＝1.3．(2012·南通二模)某射击运动员向一目标射击，该目标分为3个不同部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6.击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．(1)若射击4次，每次击中目标的概率为13且相互独立．设ξ表示目标被击中的次数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)；(2)若射击2次均击中目标，A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求事件A 发生的概率．解：(1)依题意知ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，13，ξ的分布列： ξ 0 1 2 3 4 P168132812481881181数学期望E (ξ)＝0×1681＋1×3281＋2×2481＋3×881＋4×181＝43.(2)法一：设A i 表示事件“第一次击中目标时，击中第i 部分”，i ＝1,2,3. B i 表示事件“第二次击中目标时，击中第i 部分”，i ＝1,2,3. 依题意，知P (A 1)＝P (B 1)＝0.1，P (A 2)＝P (B 2)＝0.3， A ＝A 1B 1∪A 1B 1∪A 1B 1∪A 2B 2，所求的概率为 P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 1B 1)＋P (A 1B 1)＋P (A 2B 2) ＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2) ＝0.1×0.9＋0.9×0.1＋0.1×0.1＋0.3×0.3＝0.28. 即事件A 发生的概率为0.28.法二：记“第一部分至少击中一次”为事件C ，“第二部分被击中二次”为事件D ，则P (C )＝C 120.1×0.9＋0.1×0.1＝0.19， P (D )＝0.3×0.3＝0.09. P (A )＝P (C )＋P (D )＝0.28.即事件A 发生的概率为0.28.4.(2012·南通二模)已知函数f (x )＝(2x ＋1)ln(2x ＋1)－a (2x ＋1)2－x (a >0)．(1)若函数f (x )在x ＝0处取极值，求a 的值；(2)如图，设直线x ＝－12，y ＝－x 将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域(不含边界)，若函数y ＝f (x )的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a 的取值范围；(3)比较32×43×54×…×2 0122 011与23×34×45×…×2 0112 012的大小，并说明理由．解：(1)f (x )＝(2x ＋1)ln(2x ＋1)－a (2x ＋1)2－x (a >0)， f ′(x )＝2ln(2x ＋1)－4a (2x ＋1)＋1. ∵f (x )在x ＝0处取极值， ∴f ′(0)＝－4a ＋1＝0. ∴a ＝14⎝⎛⎭⎫经检验a ＝14符合题意. (2)因为函数的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，且当x ＝0时，f (0)＝－a <0. 又直线y ＝－x 恰好通过原点，所以函数y ＝f (x )的图象应位于区域Ⅳ内，于是可得f (x )<－x ，即(2x ＋1)ln(2x ＋1)－a (2x ＋1)2－x <－x . ∵2x ＋1>0，∴a >ln (2x ＋1)2x ＋1.令h (x )＝ln (2x ＋1)2x ＋1，∴h ′(x )＝2－2ln (2x ＋1)(2x ＋1)2.令h ′(x )＝0，得x ＝e －12.∵x >－12，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－12，e －12时，h ′(x )>0，h (x )单调递增；x ∈⎝⎛⎭⎫e －12，＋∞时，h ′(x )<0，h (x )单调递减．∴h max (x )＝h ⎝⎛⎭⎫e －12＝1e .∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞. (3)由(2)知，函数h (x )＝ln (2x ＋1)2x ＋1在x ∈⎝⎛⎭⎫e －12，＋∞时单调递减，函数p (x )＝ln xx 在x ∈(e ，＋∞)时单调递减．∴ln (x ＋1)x ＋1<ln xx ， ∴x ln(x ＋1)<(x ＋1)ln x . ∴ln(x ＋1)x <ln x (x＋1)，即(x ＋1)x <x (x＋1)．∴令x ＝3,4，…，2011，则43<34,54<45，…，2 0122 011<2 0112 012，又32×43<23×34，所以32×43×54…×2 0122 011<23×34×45…×2 0112 012.5．(2012·通州期末)求证：对于任意的正整数n ，(2＋3)n 必可表示成 s ＋s －1的形式，其中s ∈N *.证明：由二项式定理可知，(2＋3)n ＝C 0n 2n (3)0＋C 1n 2n －1(3)1＋C 2n 2n －2(3)2＋…＋C n n 20(3)n，设(2＋3)n ＝x ＋3y ＝x 2＋3y 2，而若有(2＋3)n ＝a ＋b ，a ，b ∈N *，则(2－3)n ＝a －b ，a ，b ∈N *，∵(a ＋b )·(a －b )＝(2＋3)n ·(2－3)n ＝1， ∴令a ＝s ，s ∈N *，则必有b ＝s －1.∴(2＋3)n 必可表示成s ＋s －1的形式，其中s ∈N *.6．若(x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n ，其中n ∈N *. (1)求a 0及S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ；(2)试比较S n 与(n －2)2n ＋2n 2的大小，并说明理由．解：(1)取x ＝1，则a 0＝2n ；取x ＝2，则a 0＋a 1＋…＋a n ＝3n ， ∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －2n . (2)要比较S n 与(n －2)2n ＋2n 2的大小，即比较3n 与(n －1)2n ＋2n 2的大小，当n ＝1时，3n >(n －1)2n ＋2n 2；当n ＝2,3时，3n <(n －1)2n ＋2n 2；当n ＝4,5时，3n >(n －1)2n ＋2n 2，猜想：当n ≥4时，3n >(n －1)2n ＋2n 2. 下面用数学归纳法证明：①由上述过程可知，n ＝4时结论成立， ②假设当n ＝k ，(k ≥4)时结论成立，即3k>(k－1)2k＋2k2，两边同乘以3得3k＋1>3[(k－1)2k＋2k2]＝k2k＋1＋2(k＋1)2＋[(k－3)2k＋4k2－4k－2]，而(k －3)2k＋4k2－4k－2＝(k－3)2k＋4(k2－k－2)＋6＝(k－3)2k＋4(k－2)(k＋1)＋6>0，所以3k＋1>()(k＋1)－12k＋1＋2(k＋1)2，即n＝k＋1时结论也成立．由①②知当n≥4时，3n>(n－1)2n＋2n2成立．综上所述，当n＝1时，S n＞(n－2)2n＋2n2；当n＝2,3时，S n＜(n－2)2n＋2n2；当n≥4时，S n＞(n－2)2n＋2n2.7．设二项展开式C n＝(3＋1)2n－1(n∈N*)的整数部分为A n，小数部分为B n.试用二项式定理推导A n和B n.解：因为C n＝(3＋1)2n－1＝C02n－1(3)2n－1＋C12n－1(3)2n－2＋…＋C2n－22n－13＋C2n－12n－1，①而(3－1)2n－1＝C02n－1(3)2n－1－C12n－1(3)2n－2＋…＋C2n－22n－13－C2n－12n－1，②①—②得：(3＋1)2n－1－(3－1)2n－1＝2(C12n－1·(3)2n－2＋C32n－1(3)2n－4＋…＋C2n－12n－1)∈N*. 而0<(3－1)2n－1<1，所以A n＝(3＋1)2n－1－(3－1)2n－1，B n＝(3－1)2n－1. 8．(2012·苏北四市一模)已知a n＝(1＋2)n(n∈N*)．(1)若a n＝a＋b2(a，b∈Z)，求证：a是奇数；(2)求证：对于任意n∈N*，都存在正整数k，使得a n＝k－1＋k.证明：(1)由二项式定理，得a n＝C0n＋C1n2＋C2n(2)2＋C3n(2)3＋…＋C n n(2)n，所以a＝C0n＋C2n(2)2＋C4n(2)4＋…＝1＋2C2n＋22C4n＋…，因为2C2n＋22C4n＋…为偶数，所以a是奇数．(2)由(1)设a n＝(1＋2)n＝a＋b2(a，b∈Z)，则(1－2)n＝a－b2，所以a2－2b2＝(a＋b2)(a－b2)＝(1＋2)n(1－2)n＝(1－2)n.当n为偶数时，a2＝2b2＋1，存在k＝a2，使得a n＝a＋b2＝a2＋2b2＝k＋k－1，当n为奇数时，a2＝2b2－1，存在k＝2b2，使得a n＝a＋b2＝a2＋2b2＝k－1＋k，综上，对于任意n∈N*，都存在正整数k，使得a n＝k－1＋k.。

2013-2014学年高三阶段测试(理科数学)答案

2013-2014学年高三阶段测试（理科数学）答案一．选择题1—5 DABAD 6—10BCBBC 11—12BA二、填空题（每小题5分，共20分） 13.617 14.-e -x 15.0 16.97- 三．解答题 17.（本小题满分10分）若sin α＋cos αsin α－cos α ＝2，求sin αcos α的值是解：sinα+cosα=2sinα-2cosαsinα=3cosα代入恒等式sin²α+cos²α=1cos²α=1/10原式=(3cosα)cosα=3cos²α=3/1018．（本小题满分12分）已知函数21()cos sin cos 2222x x x f x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若32()10f α=,求sin 2α的值. 解： (1)由已知,f(x)=212x cos 2x sin 2x cos 2-- 21sinx 21cosx 121--+=）（）（4x cos 22π+= 所以f(x)的最小正周期为2π,值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,22， (2)由(1)知,f(α)=，）（10234cos 22=+πα 所以cos(534=+πα). 所以）（）（42cos 22cos 2sin πααπα+-=+-= 257251814cos 212=-=+-=）（πα19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,60A = ,32,b c =332ABC S ∆=. （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求sin B 的值.解：（Ⅰ）由60A = 和332ABC S ∆=可得133sin6022bc = , 所以6bc =, 又32,b c =所以2,3b c ==.（Ⅱ）因为2,3b c ==,60A = ,由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得2222367a =+-=，即7a =. 由正弦定理sin sin a b A B=可得 72sin sin60B= ，所以21sin 7B =. 20. (本小题满分12分）已知二次函数()f x 的图像过A(－１，０)，B(3，０)，Ｃ（１，－８）．（1）求()f x 的解析式；（2）求不等式()0f x ≥的解集；（3）将()f x 的图象向右平移2个单位，求所得图象的函数解析式()g x ．解：(1)由题意可设f(x)=a(x+1)(x-3)，将C(1，-8)代入得-8=a(1+1)(1-3)，∴a=2，即f(x)=2(x+1)(x-3)=2x 2-4x-6。

2014年江苏高考理科附加题(10套)

2014江苏省数学高考附加题强化试题1班级姓名得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．选修4—2：矩阵与变换若点A （2，2）在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换的作用下得到的点为B （－2，2），求矩阵M 的逆矩阵．C.选修4 - 4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2αα=⎧⎨=+⎩x y （α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标.D.选修4－5：不等式选讲已知函数2222()()()()()3a b c f x x a x b x c ++=-+-+-+（,,a b c 为实数）的最小值为m ，若23a b c -+=，求m 的最小值．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22、如图，正四棱锥P ABCD -中，2,AB PA ==AC 、BD 相交于点O ，求：（1）直线BD 与直线PC 所成的角；（2）平面PAC 与平面PBC 所成的角23、设数列{}n a 满足2111,n n a a a a a +==+，{}* | |2R N n M a n a =∈∈，≤．（1）当(,2)a ∈-∞-时，求证：a ∉M ；（2）当1(0,]4a ∈时，求证：a M ∈；（3）当1(,)4a ∈+∞时，判断元素a 与集合M 的关系，并证明你的结论．江苏省数学高考附加题强化试题2班级姓名得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．选修4—2：矩阵与变换二阶矩阵M 对应的变换将点(1,1)-与(2,1)-分别变换成点(1,1)--与(0,2)-．求矩阵M ；C ．选修4—4：坐标系与参数方程若两条曲线的极坐标方程分别为ρ =l 与ρ =2cos(θ+π3)，它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．选修4—5：不等式选讲求函数()f x =[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（本小题10分）口袋中有)(*N ∈n n 个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X ．若307)2(==X P ，求（1）n 的值；（2）X 的概率分布与数学期望．23．（本小题10分）已知曲线1:(0)C y x x=>，过1(1,0)P 作y 轴的平行线交曲线C 于1Q ，过1Q 作曲线C 的切线与x 轴交于2P ，过2P 作与y 轴平行的直线交曲线C 于2Q ，照此下去，得到点列12,,P P ⋅⋅⋅，和12,,Q Q ⋅⋅⋅，设||n n n PQ a =*1|()n n n Q Q b n N +=∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：1222n n n b b b -++⋅⋅⋅+>-；江苏省数学高考附加题强化试题3班级姓名得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3cd ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长度.D ．（选修4－5：不等式选讲）设z y x ,,为正数，证明：()()()()3332222x y z x y z y x z z x y +++++++≥．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（本小题满分10分）某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计如表所示．(Ⅰ)从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率； (Ⅱ)从“青志队”中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE ．23．（本小题满分10分）设函数(,)1(0,0)xm f x y m y y ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭.（1）当3m =时，求(6,)f y 的展开式中二项式系数最大的项；（2）若31240234(4,)a a a a f y a y y y y =++++且332a =，求4i i a =∑；（3）设n 是正整数，t 为正实数，实数t 满足(,1)(,)n f n m f n t =，求证：7(2010,)f f t >-．江苏省数学高考附加题强化试题4班级姓名得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形''''A B C D ，其中(1,1)A ，(1,1)B -，(1,1)C --，'(3,3)A -，'(1,1)B ，'(1,1)D --．（1）求出矩阵M ；（2）确定点D 及点'C 的坐标．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）{(,),,A x y x y m ααα===+为参数}，{(,)3,3,B x y x t y t t ==+=-为参数}，且A B ≠∅，求实数m 的取值范围．D ．（选修4－5：不等式选讲）已知,,a b c R ∈，证明不等式：（1）66622218227a b c a b c ++≥；（2）22249236a b c ab ac bc ++≥++．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（本小题满分10分）如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且垂直于底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，M 为PC 上一点，且PA ∥平面BDM ．⑴求证：M 为PC 中点；⑵求平面ABCD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小．23．（本小题满分10分）已知抛物线L 的方程为()022>=p py x ，直线x y =截抛物线L 所得弦24=AB ．⑴求p 的值；⑵抛物线L 上是否存在异于点A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．江苏省数学高考附加题强化试题5班级姓名得分A PB C D M 第22题图21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．（选修4—2：矩阵与变换）求将曲线2y x =绕原点逆时针旋转90︒后所得的曲线方程．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）求圆心为36C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，半径为3的圆的极坐标方程.D ．（选修4－5：不等式选讲）已知c b a ,,均为正数，证明：36)111(2222≥+++++cb ac b a ，并确定c b a ,,为何值时，等号成立。

2014实战演练·高三数学附加分-参考答案与解析

2014实战演练·高三数学附加分参考答案与解析南京市、盐城市2013届高三第一次模拟考试21. A.解：连结OC ，BE.因为AB 是圆O 的直径，所以BE ⊥AE.因为AB ＝8，BC ＝4，所以OB ＝OC ＝BC ＝4，即△OBC 为正三角形．所以∠BOC ＝60°.(4分) 又直线l 切圆O 与于点C ，所以OC ⊥l.因为AD ⊥l ，所以AD ∥OC.所以∠BAD ＝∠BOC ＝60°.(8分)在Rt △BAE 中，因为∠EBA ＝90°－∠BAE ＝30°，所以AE ＝12AB ＝4.(10分)B. 解：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x)－4.(2分)因为λ1＝3是方程f(λ)＝0的一个根，所以(3－1)(3－x)－4＝0，解得x ＝1.(4分)由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ＝－1或3，所以λ2＝－1.(6分)设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，从而y ＝－x.(8分) 取x ＝1，得y ＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.(10分)C. 解：圆的极坐标方程化为直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4，所以圆心的直角坐标为(－1，0)，半径为2.(4分) 又直线方程可化为x ＋y －7＝0，(6分)所以圆心到直线的距离d ＝|－1－7|2＝42，所以AB 的最小值为42－2.(10分) D. 证明：因为a 1是正数，所以1＋a 1≥2a 1＞0.(5分)同理1＋a k ≥2a k ＞0(k ＝2，3，4，…，n)．因此(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )≥2n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ＝1时等号成立．因为a 1·a 2·…·a n ＝1，所以(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )≥2n .(10分)22. 解：(1) 记该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为P ，则P ＝⎝⎛⎭⎫C 12·23·13⎝⎛⎭⎫C 12·12·12＋⎝⎛⎭⎫23·23(12·12)＝13. 故该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为13.(4分)(2) 该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为 P ＝⎝⎛⎭⎫C 12·23·13[C 12·P 2·(1－P 2)]＋⎝⎛⎭⎫23·23P 22＝89P 2－49P 22. 因为该小组在这12次检测中获得“和谐组”的次数X ～B(12，P)，所以EX ＝12P.(7分) 由EX ≥5，得12⎝⎛⎭⎫89P 2－49P 22≥5，解得34≤P 2≤54. 因为P 2≤1，所以P 2的取值范围为⎣⎡⎦⎤34，1.(10分)23. (1) 解：因为T r ＋1＝C r n ·2n －r x r2. 令r2＝3，得r ＝6，故x 3的系数为C 6n ·2n －6＝14，解得n ＝7.(4分) (2) 证明：由二项式定理可知(2＋3)n ＝C 0n 2n ＋C 1n 2n －1(3)＋C 2n 2n －2(3)2＋…＋C r n 2n －r (3)r ＋…＋C n n (3)n ＝[C 0n 2n ＋C 2n 2n －2(3)2＋…]＋3(C 1n 2n －1＋C 3n ·2n －3·3＋…)．(6分) 令x ＝C 0n 2n ＋C 2n 2n －2(3)2＋…， y ＝C 1n 2n －1＋C 3n·2n －3·3＋…，显然x ∈N *，y ∈N *.则(2＋3)n ＝x ＋3y ，(2－3)n ＝x －3y ，所以(2＋3)n ·(2－3)n ＝x 2－3y 2＝1. 令s ＝x 2，则必有s －1＝x 2－1＝3y 2.从而(2＋3)n 必可表示成s ＋s －1的形式，其中s ∈N *.(10分)南通市2013届高三第一次调研测试21. A. 证明：(1) 连BE ，则∠E ＝∠C. 又∠ABE ＝∠ADC ＝90°， ∴ △ABE ∽△ADC ，∴AB AD ＝AE AC. ∴ AB ·AC ＝AE·AD.(5分)(2) 连结OF ，∵ F 是BC ︵的中点，∴ ∠BAF ＝∠CAF.由(1) 得∠BAE ＝∠CAD ，∴ ∠FAE ＝∠FAD.(10分)B. 解：设A ＝NM ，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0，(3分)设P(x′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上的对应的点为P(x ，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y′ x′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y′，y ＝x′， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x′＝y ，y ′＝－12x.(7分)又点P(x′，y ′)在曲线C ：y 2＝2x 上， ∴ ⎝⎛⎭⎫－12x 2＝2y ，即y ＝18x 2.(10分) C. 解：曲线C 的普通方程是x 23＋y 2＝1.(2分)直线l 的普通方程是x ＋3y －3＝0.(4分)设点M 的直角坐标是(3cos θ，sin θ)，则点M 到直线l 的距离是 d ＝|3cos θ＋3sin θ－3|2＝3|2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－1|2.(7分)因为－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤2，所以当sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1，即θ＋π4＝2k π－π2(k ∈Z )，即θ＝2k π－3π4(k ∈Z )时，d 取得最大值．此时3cos θ＝－62，sin θ＝－22. 综上所述，点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，7π6时，该点到直线l 的距离最大．(10分) 注：凡给出点M 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－62，－22，不扣分． D. 解：∵ a ＞0，b ＞0，2a ＋b ＝1，∴ 4a 2＋b 2＝(2a ＋b)2－4ab ＝1－4ab ，(2分) 且1＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤24，ab ≤18，(5分) ∴ S ＝2ab －4a 2－b 2＝2ab －(1－4ab)＝2ab ＋4ab －1≤2－12，当且仅当a ＝14，b ＝12时，等号成立．(10分)22. (1) 解：解法1：设M(x ，y)，P(x 1，0)，Q(0，y 2)，则由PR →·PM →＝0，PQ →＝12QM →及R(0，－3)，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1（x －x 1）＋（－3）y ＝0，－x 1＝12x ，y 2＝12y －12y 2，化简，得x 2＝4y.(4分)所以，动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线．(5分) 解法2：设M(x ，y)．由PQ →＝12QM →，得P ⎝⎛⎭⎫－x 2，0，Q ⎝⎛⎭⎫0，y 3. 所以，PR →＝⎝⎛⎭⎫x 2，－3，PM →＝⎝⎛⎭⎫3x 2，y . 由PR →·PM →＝0，得⎝⎛⎭⎫x 2，－3·⎝⎛⎭⎫32x ，y ＝0，即34x 2－3y ＝0，化简得x 2＝4y.(4分) 所以，动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线．(5分)(2) 证明：由题意，得AB →·CD →＝AB·CD ，圆C 2的圆心即为抛物线C 1的焦点F. 设A(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则AB ＝FA －FB ＝y 1＋1－1＝y 1.(7分) 同理CD ＝y 2.设直线l 的方程为x ＝k(y －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k （y －1），y ＝14x 2，得y ＝14k 2(y －1)2，即k 2y 2－(2k 2－4)y ＋k 2＝0.所以，AB →·CD →＝AB·CD ＝y 1y 2＝1.(10分)23. 解：(1) 当a ＝－1时，a 1＝－4，a n ＋1＝(－1)a n －1＋1. 令b n ＝a n －1，则b 1＝－5，b n ＋1＝(－1)b n .因为b 1＝－5为奇数，b n 也是奇数且只能为－1，所以，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5，n ＝1，－1，n ≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4，n ＝1，0，n ≥2.(3分)(2) 当a ＝3时，a 1＝4，a n ＋1＝3a n －1＋1.(4分)下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数．当n ＝1时，a 1＝4＝4×1，命题成立；设当n ＝k(k ∈N *)时，命题成立，则存在t ∈N *，使得a k ＝4t ，故a k ＋1＝3a k －1＋1＝34t －1＋1＝27·(4－1)4(t －1)＋1＝27·(4m ＋1)＋1＝4(27m ＋7)，其中，4m ＝44(t －1)－C 14（t －1）·44t －5＋…＋(－1)r C r 4（t －1）·44t －4－r ＋…－C 4t －34（t －1）·4，即m ∈Z ，所以当n ＝k ＋1时，命题成立．所以由数学归纳法原理知命题对n∈N*成立．(10分)苏州市2013届高三调研测试21. A. 证明：连结OP ，∵ 直线l 切圆O 于点P ， ∴ OP ⊥l.(2分)∵ AC ⊥l ，BD ⊥l ， ∴ OP ∥AC ∥BD.又OA ＝OB ，∴ PC ＝PD.(5分) ∵ OP ∥AC ，∴ ∠OPA ＝∠CAP.(8分) ∵ OP ＝OA.∴ ∠OPA ＝∠OAP. 则∠CAP ＝∠OAP.∴ AP 平分∠CAB.(10分)B. 解：设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 为矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 21属于特征值－1的一个非零特征向量．则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 x 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，(2分) ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋xb ＝－a ，2a ＋b ＝－b ，解得b ＝－a(由条件知a ≠0)，x ＝2.(5分) 因此M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221.特征方程为λ2－2λ－3＝0.(8分) ∵ λ≠－1，∴ λ＝3.(10分)C. 解：A(4，0)，B(0，2)，AB ＝2 5. 则直线AB 方程为x ＋2y －4＝0.(2分) 设P(4cos θ，2sin θ)，θ为锐角．则点P 到直线AB 的距离为d ＝|4cos θ＋4sin θ－4|5＝|42sin （θ＋45°）－4|5.(5分)∵ θ为锐角，∴ 45°＜θ＋45°＜135°. ∴22＜sin (θ＋45°)≤1，0＜42sin (θ＋45°)－4≤42－4. 则当θ＝45°时，d 取得最大值为42－45.(8分)此时，△PAB 面积S 取得最大值为 12×25×42－45＝42－4.(10分)D. 证明：∵ a 、b 、x 、y 都是正数，∴ (ax ＋by)(bx ＋ay)＝ab(x 2＋y 2)＋xy(a 2＋b 2)(2分) ≥ab(2xy)＋xy(a 2＋b 2)(5分) ＝(a ＋b)2xy.(8分)∵ a ＋b ＝1，∴ (a ＋b)2xy ＝xy.则(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy 成立．(10分)22. 解：(1) “第一次取得正品且第二次取得次品”的概率为 8×210×9＝845.(2分) (2) X 的取值为0、1、2，则 P(X ＝0)＝8×7×610×9×8＝715；(4分)P(X ＝1)＝8×7×2×310×9×8＝715；(6分)P(X ＝2)＝8×2×1×310×9×8＝115.(8分)故X 的分布列为：数学期望E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35.(10分)23. 解：(1) 由题意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A 1(0，0，3)，B 1(2，0，3)，C 1(0，4，3).A 1D →＝(1，2，－3)，A 1C 1→＝(0，4，0)．(2分)设平面A 1C 1D 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)． ∵ n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0.∴ x ＝3z ，y ＝0.令z ＝1，得x ＝3.n ＝(3，0，1)．(4分) 设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为θ， ∵ DB 1→＝(1，－2，3)，∴ sin θ＝|cos 〈DB 1→，n 〉|＝3×1＋0×（－2）＋1×310×14＝33535.(6分)(2) 设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c)． A 1B 1→＝(2，0，0)，∵ m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0， ∴ a ＝0，2b ＝3c.令c ＝2，m ＝(0，3，2)．(8分) 设二面角B 1A 1DC 1的大小为α，∴ |cos α|＝cos|〈m ，n 〉|＝|m·n ||m |·|m |＝|0×3＋3×0＋2×1|13×10＝265，则sin α＝3765＝345565.∴ 二面角B 1A 1DC 1的正弦值为345565.(10分)无锡市2012年秋学期普通高中期末考试试卷21. A. 证明：连结OD ，∵ OD ＝OA ，∴ ∠OAD ＝∠ODA. ∵ AD 平分∠BAE ，∴ ∠OAD ＝∠EAD ，(3分) ∴ ∠EAD ＝∠ODA ，∴ OD ∥AE.(5分) 又AE ⊥DE ，∴ DE ⊥OD ，(8分)又OD 为半径，∴ DE 是圆O 的切线．(10分)B. 解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2.(4分)设A(a ，b)，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 4，得⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－3，a ＋2b ＝4.(8分) 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，即A(－2，3)．(10分)C. 解：圆C ：ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2，即ρ＝－2sin θ，ρ2＝－2ρsin θ，(2分)∴ 圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，∴ 圆心C(0，－1)．(4分) 直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，即ρsin θ＋ρcos θ＝2，∴ 直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2.(7分)∵ 圆心C 到直线l 的距离为d ＝|－1－2|2＝322，(9分)∴ 动点M 到直线l 距离的最大值为322＋1.(10分)D. 证明：∵ |x ＋1|＋|x －1|＜4，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1，－2x ＜4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，2x ＜4，⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，2＜4，(2分) 解得－2＜x ＜－1或－1≤x ≤1或1＜x ＜2，(4分)∴ 4(a ＋b)2－(4＋ab)2＝－a 2b 2＋4a 2－16＋4b 2＝(a 2－4)(4－b 2)． ∵ a 、b ∈M ，即－2＜a ＜2，－2＜b ＜2， ∴ (a 2－4)(4－b 2)＜0，(8分) ∴ 4(a ＋b)2＜(4＋ab)2， ∴ 2|a ＋b|＜|4＋ab|.(10分)22. 解：(1) 设Y Y 的分布列如下：A 表示事件“银行工作人员在第6分钟开始办理第三位顾客的业务”，则事件A 对应两种情形： ① 办理第一位业务所需的时间为2 min ，且办理第二位业务所需的时间为3 min ； ② 办理第一位业务所需的时间为3 min ，且办理第二位业务所需的时间为2 min ； ∴ P(A)＝P(Y ＝2)P(Y ＝3)＋P(Y ＝3)P(Y ＝2)＝15×310＋310×15＝325.(3分)(2) X 的取值为0、1、2，X ＝0对应办理第一位业务所需的时间超过4 min ， ∴ P(X ＝0)＝P(Y ＞4)＝110，(5分)X ＝1对应办理第一位业务所需的时间为2 min 且办理第二位业务所需的时间超过2 min ，或办理第一位业务所需的时间为3 min 或办理第一位业务所需的时间为4 min ，∴ P(X ＝1)＝P(Y ＝2)P(Y ＞2)＋P(Y ＝3)＋(Y ＝4)＝15×45＋310＋25＝4350.(6分)X ＝2对应办理两位顾客业务时间均为2 min ， ∴ P(X ＝2)＝P(Y ＝2)P(Y ＝2)＝15×15＝125.(7分)∴ X 的分布列为：(9分)E(X)＝0×110＋1×4350＋2×125＝4750.(10分)23. (1) 解：由已知，得f′(x)＝x ＋1x.当x ∈[1，e]时，f ′(x)＞0，所以函数f(x)在区间[1，e]上单调递增，(2分) 所以函数f(x)在区间[1，e]上的最大、最小值分别为f(e)、f(1)．因为f(1)＝12，f(e)＝e 22＋1，所以函数f(x)在区间[1，e]上的最大值为e 22＋1、最小值为12.(4分)(2) 证明：当n ＝1时，不等式成立，(5分) 当n ≥2时，[g(x)]n －g(x n )＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x n－⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n＝C 1n xn－11x ＋C 2n x n －21x 2＋…＋C n －1n x 1x n －1＝C 1n x n －2＋C 2n x n －4＋…＋C n－1n1x n－2＝12[C 1n ⎝⎛⎭⎫x n －2＋1x n －2＋C 2n⎝⎛⎭⎫x n －4＋1x n －4＋…＋ C n －1n⎝⎛⎭⎫1x n －2＋x n －2]．(9分) 由已知x ＞0，所以[g(x)]n －g(x n )≥C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＝ 2n －2.(10分)常州市2013届高三上学期期末考试21. A. 证明：连结OF. 因为OC ＝OF ，所以∠OCF ＝∠OFC. 因为DF 切圆O 于F ，所以∠OFD ＝90°.所以∠OFC ＋∠CFD ＝90°.(4分)因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF ＋∠CEO ＝90°. 所以∠CFD ＝∠CEO ＝∠DEF ，所以DF ＝DE.(8分) 因为DF 是圆O 的切线，所以DF 2＝DB·DA. 所以DE 2＝DB·DA.(10分)B. 解：因为矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，化简，得c ＋d ＝6.(4分)因为矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤33c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，化简，得3c －2d ＝－2.(8分)解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4，故A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －12－13 12.(10分)C. 解：将曲线C 1、C 2化为直角坐标方程，得 C 1：x ＋3y ＋2＝0，C 2：(x －1)2＋(y －1)2＝2，(4分) ∵ 圆心C 2到直线C 1的距离 d ＝|1＋3＋2|12＋（3）2＝3＋32＞2，(8分) ∴ 曲线C 1与C 2相离．(10分)D. 证明：x 、y 、z 均为正实数，由柯西不等式，得[(y ＋z)＋(x ＋z)＋(x ＋y)]⎝⎛⎭⎫x 2y ＋z ＋y 2x ＋z ＋z2x ＋y ≥(x ＋y ＋z)2，(6分)∵ x ＋y ＋z ＝1，∴ x 2y ＋z ＋y 2x ＋z ＋z 2x ＋y ≥12.(10分)22. 解：(1) 设口袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为C 2nC 29，由题意知C 2nC 29＝512，化简得n 2－n －30＝0，解得n ＝6或n ＝－5(舍去)，故口袋中原有白球的个数为6.(4分)(2) 由题意，X 的可能取值为1，2，3，4. P(X ＝1)＝69＝23；P(X ＝2)＝3×69×8＝14；P(X ＝3)＝3×2×69×8×7＝114；P(X ＝4)＝3×2×1×69×8×7×6＝184.(8分)所以取球次数X 的概率分布列为：X 1 2 3 4 P2314114184所求数学期望为：E(X)＝1×23＋2×14＋3×114＋4×184＝107.(10分)23. 解：(1) a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，a 4＝15.(2分) (2) a n ＝16(n 3＋5n ＋6)．(4分)证明如下：当n ＝1时显然成立；设n ＝k(k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即a k ＝16(k 3＋5k ＋6)．(5分)则当n ＝k ＋1时，再添上第k ＋1个平面，因为它和前k 个平面都相交，所以可得k 条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这k 条交线可以把第k ＋1个平面最多划分成12[(k ＋1)2－(k ＋1)＋2]个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域．因此，空间区域的总数增加了12[(k ＋1)2－(k ＋1)＋2]个，(7分)从而a k ＋1＝a k ＋12[(k ＋1)2－(k ＋1)＋2]＝16(k 3＋5k ＋6)＋12[(k ＋1)2－(k ＋1)＋2] ＝16[(k ＋1)3＋5(k ＋1)＋6]，即当n ＝k ＋1时，结论也成立．综上所述，对n ∈N *，a n ＝16(n 3＋5n ＋6)．(10分)镇江市2013届高三上学期期末考试21. A. 证明：∵ AE ＝AC ，∠CDE ＝∠AOC ，(2分)又 ∠CDE ＝∠P ＋∠PFD ，∠AOC ＝∠P ＋∠OCP ，(6分) 从而∠PFD ＝∠OCP.(7分)在△PDF 与△POC 中，∠P ＝∠P ，∠PFD ＝∠OCP ，故△PDF ∽△POC.(10分)B. 解：设P(x 0，y 0)为曲线xy ＝1上的任意一点，在矩阵A 变换下得到另一点P′(x′0，y ′0)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 22 22－2222⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，(4分) 即⎩⎨⎧x′0＝22（x 0＋y 0），y ′0＝22（y 0－x 0），(6分)所以⎩⎨⎧x 0＝22（x′0－y′0），y 0＝22（x′0＋y′0），(8分)又点P 在曲线xy ＝1上，所以x 0y 0＝1，故有x′20－y′20＝2，即所得曲线方程为x 2－y 2＝2.(10分) C. 解：将极坐标方程转化成直角坐标方程： ρ＝3cos θ，即x 2＋y 2＝3x ，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94；(4分) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t ，即2x －y ＝3，(6分) d ＝|2×32－0－3|22＋（－1）2＝0，(8分)即直线经过圆心，所以直线截得的弦长为3.(10分)D. 解：(1) 由题设知：|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象(如图所示)，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．(5分)(2) 由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a.由图知|x ＋1|＋|x －2|≥3， ∴ －a ≤3，∴ a ≥－3.(10分)22. 解：设直线方程为y ＝x ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x ，y)，将y ＝x ＋m 代入y 2＝2x ，得x 2＋(2m －2)x ＋m 2＝0，(2分) ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2m －2）2－4m 2＞0，x 1＋x 2＝2－2m ，x 1x 2＝m 2，(6分) ∴ m ＜12，x ＝x 1＋x 22＝1－m ＞12，y ＝x ＋m ＝1，(9分)线段AB 中点M 的轨迹方程为y ＝1⎝⎛⎭⎫x ＞12.(10分) 23. (1) 解：∵ 函数f(x)＝ln(2－x)＋ax 在区间(0，1)上是增函数， ∴ f ′(x)＝－12－x ＋a ≥0在区间(0，1)上恒成立，(2分)∴ a ≥12－x.又g(x)＝12－x在区间(0，1)上是增函数，∴ a ≥g(1)＝1，即实数a 的取值范围为a ≥1.(3分) (2) 证明：先用数学归纳法证明0＜a n ＜1. 当n ＝1时，a 1∈(0，1)成立，(4分) 假设n ＝k 时，0＜a k ＜1成立，(5分)当n ＝k ＋1时，由(1)知a ＝1时，函数f(x)＝ln(2－x)＋x 在区间(0，1)上是增函数， ∴ a k ＋1＝f(a k )＝ln(2－a k )＋a k ，∴ 0＜ln2＝f(0)＜f(a k )＜f(1)＝1，(7分) 即0＜a k ＋1＜1成立，∴ 当n ∈N *时，0＜a n ＜1成立．(8分) 下证a n ＜a n ＋1.∵ 0＜a n ＜1，∴ a n ＋1－a n ＝ln(2－a n )＞ln1＝0.(9分) ∴ a n ＜a n ＋1.综上所述，0＜a n ＜a n ＋1＜1.(10分)。

2014北京西城区高三期末数学(理)试题答案

55
2014.1
13．1
2
14． (1,1)
π
注：第 10、13、14 题第一问 2 分，第二问 3 分.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分 13 分）
（Ⅰ）解：因为 g ( x )
sin(
x
π )(
0) 的最小正周期为 π
，
3
所以 2 ，解得 ω 2 ． |ω|
5
55
分
………………13
由
y3
1 k
k
2 5
，得 k
1
5
26
，验证知符合题意.
所以当 k 1 26 时， O D 有最小值 2 5 .
5
5
分
………………14
20．（本小题满分 13 分）
（Ⅰ）解：由等比数列{an} 的 a1 =
4 ，q =
1， 2
得 a1 = 4 ， a2 = 2 ， a3 = 1 ，且当 n > 3 时， 0 < an < 1 .
因为 bn = [an ] ，
所以 a1 [3, 4) ， an [2, 3)(2≤ n≤2014) . 分
由 q a2 ，得 q 1 . a1
分
因为 a2014 a2 q 2012 [ 2, 3) ，
所以 q 2012 ≥ 2 2 ， a2 3
所以
2 q 2012 1 ，即
21 ( ) 2012 q 1 .
(92, 90) ， (92, 91) ，
(92, 92) ，
……………… 9 分
则这两名同学成绩之差的绝对值 X 的所有取值为 0,1, 2, 3, 4 .

江苏省如东县2013-2014学年度第一学期高三期末考试四校联考数学试卷(理科)附加题

2013 2014学年度第一学期期末高三联考试卷数学附加题21．在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2(1x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数),以该直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,曲线P 的方程为24c o s 30ρρθ-+=. (1)求曲线C 的普通方程和曲线P 的直角坐标方程;(2)设曲线C 和曲线P 的交点为A 、B ,求||AB .22．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO ．（1）若λ＝1，求异面直线DE 与CD 1所成的角的余弦值；（2）若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值．AA 1 BC D OE B 1 C 1 D 1 （第22题图）23．已知曲线C 上任意一点M 到点F （0，1）的距离比它到直线2:-=y l 的距离小1。

（1）求曲线C 的方程；（2）过点P （2，2）的直线m 与曲线C 交于A ，B 两点，且AP PB =, 求直线m 的方程24．记)21()21)(21(2n x x x +⋅⋅⋅++的展开式中，x 的系数为n a ，2x 的系数为n b ,其中*N n ∈。

(1)求n a ；（2）是否存在常数p,q(p<q),使)21)(21(31n n n qp b ++=，对*N n ∈，2≥n 恒成立？证明你的结论2013 2014学年度第一学期高三联考试卷数学附加题21．在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2(1x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数),以该直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,曲线P 的方程为24cos 30ρρθ-+=.(1)求曲线C 的普通方程和曲线P 的直角坐标方程;(2)设曲线C 和曲线P 的交点为A 、B ,求||AB .解:(1)曲线C 的普通方程为01=--y x , ………………………3分曲线P 的直角坐标方程为03422=+-+x y x ………………………6分 (2)曲线P 可化为1)2(22=+-y x ,表示圆心在)0,2(,半径=r 1的圆, 则圆心到直线C 的距离为2221==d , ………………………8分所以2222=-=dr AB ………………………10分22．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO ．（1）若λ＝1，求异面直线DE 与CD 1所成的角的余弦值；（2）若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值．22．【解】(1)以1,,DA DC DD为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．则A (1，0，0)，()11022O ，，，()010C ，，，D 1(0，0，1)，E ()111442，，，于是()111DE = ，，，()1011CD =- ，，. ………………………3分 A A 1 BC D O EB 1C 1D 1 （第22题图）由cos 1DE CD 〈〉 ，＝11||||DE CD DE CD ⋅⋅.所以异面直线AE 与CD 1. ………………………5分（写负数扣1分）（2）设平面CD 1O 的向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO ＝0，m ·1CD＝0得 1111110220x y y z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，，取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m =(1，1，1) . ………………………7分由D 1E ＝λEO ，则E 12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，，DE =12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，. 又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD ＝0，n ·DE＝0.得 2222002(1)2(1)1y x y z λλλλλ=⎧⎪⎨++=⎪+++⎩，，取x 2=2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2，0，λ) .……9分因为平面CDE ⊥平面CD 1F ，所以·m n＝0，得λ＝2． ………………10分23．已知曲线C 上任意一点M 到点F （0，1）的距离比它到直线2:-=y l 的距离小1。

2014年高考理科数学总复习试卷第13卷题目及其答案

补2014年高考理科数学总复习试卷第13卷题目及其答案本卷分第Ⅰ卷(选择题、填空题)和第Ⅱ卷解答题两部分，满分150分.考试用时间120分钟. 注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上；2．第I 卷每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应表格指定位置上。

答在第Ⅰ卷上不得分；3．考试结束，考生只需将第Ⅱ卷（含答卷）交回。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么错误！嵌入对象无效。

如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率 ()(1)(012)kkn kn n P k C p p n n -=-= ，，，，第Ⅰ部分(选择题、填空题共70分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若集合2{|60}A x x x =--≤，{|14}B x x x =<->或，则集合A B 等于 A ．{}|34x x x >或≤ B ． {}|21x x --<≤ C ．{}|34x x <≤D ． {}|13x x -<≤2. 设复数z 满足2iz i =-(i 为虚数单位），则z =A ． 12i --B ．12i -C ．12i +D ．12i -+3．已知向量),2(t a =，)2,1(=b ，若1t t =时，b a //；2t t =时，b a ⊥，则A.1,421-=-=t tB. 1,421=-=t tC. 1,421-==t tD. 1,421==t t 4. 设a 、b 满足01a b <<<，则下列不等式中正确的是 A ．aba a < B ．abb b <C ．a aa b <D ．b bb a <5.在ABC ∆中，若a =1,60=C , c =3，则A 的值为A ．︒30B ．︒60C ．30150︒︒或D ．60120︒︒或6. 若m 、n 是两条不同的直线,αβγ、、是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是B OC.A 若βαβ⊥⊂,m ，则α⊥m . .B 若m//n n,,m ==γβγα ，则βα//. .C 若βαγα⊥⊥,，则γβ//. .D 若αβ//m ,m ⊥，则βα⊥.7．某工厂8年来某种产品的总产量C 与时间t （年）的函数关系如图，有下列说法：①前三年中，总产量增长的速度越来越快；②前三年中，总产量增长的速度越来越慢；③第三年后，这种产品停止生产；④第三年后，年产量保持不变，其中正确的是 .A ①、③ .B ②、③ .C ①、④ .D ②、④ 8．已知函数()2,f x x bx c =++其中04,04b c ≤≤≤≤.记函数满足()()21213f f ≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩的事件为A ,则事件A 的概率为A ．58B ．12C ．38D ．14第二部分非选择题(共110分)二.填空题：每小题5分, 共30分. 9. 甲，乙两人在相同条件下练习射击，每人打5发子弹，命中环数如下：则两人射击成绩的稳定程度较强的是__________________． 10. 如图，程序执行后输出的结果为_________．(说明：M N =是赋值语句，也可以写成M N ←，或:M N =)11. 若抛物线22y px =的焦点与双曲线1322=-y x 的右焦点重合，则p 的值为__________.12.221(1)x dx -=⎰______________.13. 已知m 为非零实数，若函数lg(1)1my x =--的图象关于原点成中心对称，则_______m =.选做题：在下面两道小题中选做一题，两题都选只计算前一题的得分. 14. （参数方程与极坐标）曲线2ρ=被直线2()1x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数所截得的弦长为_______.15（几何证明选讲）如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知23AD =，6AC =，圆O 的半径为3，则圆心O 到AC 的距离为．第Ⅱ卷(解答题共80分)甲 6 8 9 9 8 乙107779三.解答题16． (本题满分12分) 已知cos 2sin 0αα+=，其中παπ<<2．(Ⅰ) 求ααααcos sin 2cos 2sin --的值；(Ⅱ) 若53sin =β，πβπ<<2，求)cos(βα+的值．17 (本题满分14分)如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD 是正三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD .（Ⅰ）求证:平面⊥PAB 平面PAD ；（Ⅱ）求直线PC 与底面ABCD 所成角的正切值大小；（Ⅲ）设1=AB ,求点D 到平面PBC 的距离.18.(本题满分12分)甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响．射击环数的频率分布条形图如下：若将频率视为概率，回答下列问题：击中频率击中频率 0.45 0.17 8 9 10 射击环数0.35 0.15 0.17 8 9 10 射击环数甲乙A B CPD(Ⅰ) 求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率； (Ⅱ) 若甲、乙两运动员各自射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分布列及ξE ．19．(本题满分14分)已知函数x ax x x f 3)(23--= .（Ⅰ）若)(x f 在),1[+∞上是增函数, 求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若31-=x 是)(x f 的极大值点,求)(x f 在],1[a 上的最大值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数b ，使得函数bx x g =)(的图像与函数)(x f 的图像恰有3个交点？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由.20(本题满分14分)如图，已知点AC AB A =-),0,4(,且ABC ∆的内切圆方程为94)2(22=+-y x . （Ⅰ）求经过C B A ,,三点的椭圆标准方程；（Ⅱ）过椭圆上的点M 作圆的切线，求切线长最短时的点M 的坐标和切线长.21. (本题满分14分)已知数列{}n a 满足a a =1(2)a ≠-，1(46)41021n n n a n a n ++++=+（n *∈N ）．（Ⅰ）证明数列221n a n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等比数列，并求出通项n a ；（Ⅱ）如果1a =时，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试求出n S ，并证明当3n ≥时，有34111110n S S S +++< ． A BCy x O参考答案及评分标准一、解答部分给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题答案 BACCA D BA二、填空题 9. 甲； 10. 64； 11.4； 12.43； 13.2-； 14.14； 15.5 三、解答题 16.解：（Ⅰ） 0sin 2cos =+αα，即ααsin 2cos -= ------------------2分又παπ<<2，∴0sin ≠α∴45sin 2sin 2sin 4sin cos sin 2cos 2sin =++=--αααααααα ------------------4分（Ⅱ）由⑴知，ααsin 2cos -=，παπ<<2，又1cos sin 22=+αα-------5分∴552cos ,55sin -==αα ------------------7分 53sin =β，πβπ<<2∴ββ2sin 1cos --=545312-=⎪⎭⎫⎝⎛--= ------------------9分∴βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ 55535554552=⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-= ------------------12分 17. 解法一：（Ⅰ）证明PAD AB ABCD AB AD AB AD ABCD PAD ABCDPAD 平面底面底面平面底面平面⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⊥, -------------3分又PAB AB 平面⊂，∴PAB PAD ⊥平面平面 ------------------5分（Ⅱ）解：取AD 的中点F ，连结PF,CF ------------------6分PAD ∆ 是正三角形P F A D∴⊥，而平面ABCD ⊥平面PAD ，交于AD PF ∴⊥ABCD∴CF 是PC 在平面ABCD 上的射影，∴ABCD PC PCF 与底面是直线∠所成的角------------------8分设2,AD a =则3,5,PF a CF a ==在515tan ==∆CF PF PCF PCF 中，, ------------------9分即直线PC 与底面ABCD 所成的角的正切值大小是515----------------10分（Ⅲ）解：设点D 到平面PBC 的距离为h∵BCD P PBC D V V --=∴PF S h S BCD PBC ∙=∙∆∆ ----------11分在2==∆PC PB PBC 中，易知 ∴47=∆PBC S --------------12分又23,21==∆PF S BCD∴721472321=⨯=h ------------------13分即点D 到平面PBC 的距离为721------------------14分解法二：（Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系xyz D -，如图------------------1分不妨设)23,0,21(),0,1,1()0,0,1(-P B A 则 13(0,1,0),(,0,)22AB PA == ---------2分由PA AB PA AB ⊥=∙得0------------------3分由AD AB ⊥,∴PAD AB 平面⊥ ------------------4分又PAB AB 平面⊂ ∴平面PAD PAB 平面⊥------------------5分（Ⅱ）解：取AD 的中点F ，连结PF,CF∵AD PF ABCD PAD ⊥⊥，且平面平面,∴ABCD PF 平面⊥------------------6分 ∴CF 是PC 在平面ABCD 上的射影，∴所成的角与底面是直线ABCD PC PCF ∠------------------7分易知)0,0,21(),0,1,0(F C ∴)23,1,21(-=CP ，)0,1,21(-=CF 10cos ,4CP CF CP CF CP CF∙<>==∙------------------8分 ∴6415tan ,4510CP CF <>=⨯= ------------------9分 ∴直线PC 与底面ABCD 所成的角的正切值大小是515------------------10分（理）（Ⅲ）同解法一 18.(本题满分12分) 解法一：(Ⅰ) 甲运动员击中10环的概率是：10.10.10.450.35---=. ------------------1分设事件A 表示“甲运动员射击一次，恰好命中9环以上(含9环，下同)”，则()0.350.450.8P A =+= ------------------2分事件“甲运动员在3次射击中，至少1次击中9环以上”包含三种情况：恰有1次击中9环以上，概率为p 1=C 13·0.81·(1-0.8)2=0.096；恰有2次击中9环以上，概率为p 2=C 23·0.82·(1-0.8)1=0.384；恰有3次击中9环以上，概率为p 3=C 33·0.83·(1-0.8)0=0.512． ------------------4分因为上述三个事件互斥，所以甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率p= p 1+ p 2+ p 3=0.992． ------------------6分 (Ⅱ)记“乙运动员射击1次，击中9环以上”为事件B ，则P(B)=1—0.1—0.15=0.75． ------------------7分因为ξ表示2次射击击中9环以上的次数，所以ξ的可能取值是0，1，2. ---------8分因为P(ξ=2)=0.8·0.75=0.6； P(ξ=1)=0.8·(1-0.75)+(1-0.8)·0.75=0.35； P(ξ=0)=(1-0.8)·(1-0.75)=0.05．-----------------10分所以ξ的分布列是ξ12P 0.05 0.35 0.6----------11分所以E ξ=0×0.05+1×0.35+2×0.6=1.55． ----------12分解法二：设事件A 表示“甲运动员射击一次，恰好命中9环以上”(含9环，下同)，则P(A)=１－0.1－0.1=0.8． ------------------1分（Ⅰ）甲运动员射击3次，均未击中9环以上的概率为P 0=C 03·0.80·(1-0.8)3=0.008．------------------4分所以甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率P=1-P 0=0.992． --------6分（Ⅱ）同解法一．19. 解：(Ⅰ)323)(2'--=ax x x f 0≥在),1[+∞∈x 上恒成立, ------------------2分即)1(232332xx x x a -=-≤在),1[+∞∈x 上恒成立, ------------------3分得0≤a . ------------------5分(Ⅱ)0)31('=-f 得a =4. )3)(13(383)(2'-+=--=x x x x x f ---------6分在区间]4,1[上, )(x f 在]3,1[上为减函数,在]4,3[上为增函数. ---------8分而6)1(-=f ，12)4(-=f ，所以6)(m ax -=x f .------------------10分 (Ⅲ)问题即为是否存在实数b ，使得函数bx x x x =--3423恰有3个不同根.------------------11分方程可化为0)]3(4[2=+--b x x x等价于 0)3(42=+--b x x 有两不等于0的实根------------------12分 30-≠>∆b 且------------------13分所以3,7-≠->b b ------------------14分20. 解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为),0,0(122n m n m ny m x ≠>>=+，------------1分依题意知直线AB 的斜率存在，故设直线AB ：y=k （x+4） -----------2分因圆94)2(22=+-y x 的圆心为（2，0），半径32=r ，又因为直线AB 与圆相切所以，圆心为（2，0）到直线AB 的距离为321|402|2=++-=k k k d ------------------3分解得541,54121-==k k 或（2k 为直线AC 的斜率）所以直线AB 的方程为)4(541+=x y ，------------------4分又因为AB=AC ，点A(-4,0)在x 轴上，所以B 点横坐标为38322=+=B x ，把38=B x 代入直线AB 的方程解得35=B y ，)35,38(B ∴------------------5分把A(-4,0)，)35,38(B 代入椭圆方程得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-1)35()38(1)4(222n m m ，解得m=16，n=1-------6分所以椭圆的标准方程为11622=+y x .------------------7分 (Ⅱ)依题意设点M )sin ,cos 4(θθ，则圆心（2，0）与点M 的距离为θθ22sin )2cos 4(+-=d ------------------8分则切线长22r d l -=，而222481313(4cos 2)sin 15(cos )9154545l θθθ=-+-=-+≥，----------10分当158cos =θ时，min 13654515l ==， ------------------12分此时15161sin ±=θ，从而点M 的坐标为32161(,)1515±------------14分解法二：(Ⅰ)因为AB=AC ，点A(-4,0)在x 轴上，且ABC ∆的内切圆方程为94)2(22=+-y x ，所以B 点横坐标为38322=+=B x ， -----------------1分如图，由三角形内切圆的性质知 ADB Rt ∆∽ANM Rt ∆ ∴AM ABMN BD =即6)384(3222BBy y ++=，从而35=B yD N MA B CyxO)35,38(B ∴------------------3分当椭圆的焦点在x 轴上时，设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，则将A(-4,0)，)35,38(B 代入椭圆方程得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-1)35()38(1)4(222222b a a ，解得2a =16，2b =1 所以椭圆的标准方程为11622=+y x .------------------5分当椭圆的焦点在y 轴上时，设椭圆方程为)0(12222>>=+b a bx a y ，则将A(-4,0)，)35,38(B 代入椭圆方程得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-1)38()35(1)4(222222b ab ，解得2b =16，2a =1710与0>>b a 矛盾-----6分综上所述，所求椭圆的标准方程为11622=+y x .------------------7分 (Ⅱ) 依题意设点M ),(y x ，则圆心（2，0）与点M 的距离为22)2(y x d +-= ------------------8分则切线长22r d l -=，而45134513)1532(161594)2(222≥+-=-+-=x y x l ，------------------10分当1532=x 时，15654513min ==l ， ------------------12分此时15161±=y ，从而点M 的坐标为)15161,1532(±-------------14分.21.证明（Ⅰ）212104)64(21+++++=++n n a n a n n 12)2)(64(+++=n a n n ， 12)2(23221++⋅=++∴+n a n a nn ．令122++=n a b n n ，则n n b b 21=+． ……………………………………………………2分 321+=a b ，当2-≠a 时，01≠b ，则数列}122{++n a n 是等比数列，且公比为2．………………4分 112-⋅=∴n n b b ，即1232122-⋅+=++n n a n a ．解得223)12)(2(1-⋅++=-n n n a a （n N +∈） ……………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1=a 时，22)12(1-⋅+=-n n n a ，n n S n n 22)12(2725312-⋅+++⋅+⋅+=- ．令122)12(27253-⋅+++⋅+⋅+=n n n T ， ………………………① 则n n n n n T 2)12(2)12(2523212⋅++⋅-++⋅+⋅=- ， …………②由①-②：n n n n T 2)12()222(2312⋅+-++++=-- n n n 2)12(21)21(2231⋅+---⋅+=-12)21(-⋅-=n n ， 12)12(+⋅-=∴n n n T ， ……………………………………9分则n T S n n 2-=)12)(12(--=nn ． ………………………………10分n n n n n n n C C C C ++++=-1102 ，∴当3≥n 时，01122(1)n n n n n n n C C C C n -=+++≥+，则1212+≥-n n ．…12分 )12)(12(+-≥∴n n S n ，则)121121(21)12)(12(11+--=+-≤n n n n S n ．……13分因此，)]121121()9171()7151[(2111143+--++-+-≤+++n n S S S n 101)12151(21<+-=n ． ………………………………14分。