2013-2014学年高三理科数学附加题：训练10

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2013-2014年高考理科数学陕西卷试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(陕西卷)第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．1．(2013陕西，理1)设全集为R ，函数f (x )的定义域为M ，则R M 为( )．A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 1)∪(1，＋∞)．2．(2013陕西，理2)根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为( )．A ．25B ．30C ．31D ．613．(2013陕西，理3)设a ，b 为向量，则“|a·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．(2013陕西，理4)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )．A ．11B ．12C ．13D ．145．(2013陕西，理5)如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是( )． A ．π14-B ．π12- C ．π22-D ．π4 6．(2013陕西，理6)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假．命题是( )． A ．若|z1－z2|＝0，则12z z = B ．若12z z =，则12z z =C ．若|z1|＝|z2|，则1122z z z z⋅=⋅ D ．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22 7．(2013陕西，理7)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 8．(2013陕西，理8)设函数f (x )＝6100,x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≥⎩,,则当x ＞0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为 A ．－20 B ．20 C ．－15 D ．15 9．(2013陕西，理9)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )．A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]10．(2013陕西，理10)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有( )．A．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[x]C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y]第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．(2013陕西，理11)双曲线22116x ym-=的离心率为54，则m等于__________．12．(2013陕西，理12)某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________．13．(2013陕西，理13)若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为__________．14．(2013陕西，理14)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为__________．15．(2013陕西，理15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A．(不等式选做题)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为__________．B．(几何证明选做题)如图，弦AB与CD相交于O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝__________.C．(坐标系与参数方程选做题)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16．(2013陕西，理16)(本小题满分12分)已知向量a ＝1cos ,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，b ＝x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．17．(2013陕西，理17)(本小题满分12分)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．18．(2013陕西，理18)(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．19．(2013陕西，理19)(本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．20．(2013陕西，理20)(本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．21．(2013陕西，理21)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x，x ∈R . (1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图像相切，求实数k 的值；(2)设x ＞0，讨论曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m ＞0)公共点的个数； (3)设a ＜b ，比较2f a f b ()+()与f b f a b a()-()-的大小，并说明理由．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(陕西卷)第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)． 1．答案：D解析：要使函数f (x )1－x 2≥0，解得－1≤x ≤1，则M ＝[－1,1]，RM ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 2．答案：C解析：由算法语句可知0.5,50,250.650,50,x x y x x ≤⎧=⎨+(-)>⎩所以当x ＝60时，y ＝25＋0.6×(60－50)＝25＋6＝31.3．答案：C解析：若a 与b 中有一个为零向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件；若a 与b 都不为零向量，设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ，由|a ·b |＝|a ||b |得|cos θ|＝1，则两向量的夹角为0或π，所以a ∥b .若a ∥b ，则a 与b 同向或反向，故两向量的夹角为0或π，则|cos θ|＝1，所以|a ·b |＝|a ||b |，故“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件． 4．答案：B解析：840÷42＝20，把1,2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l ，则第k 段抽取的号码为l ＋(k －1)·20,1≤l ≤20,1≤k ≤42.令481≤l ＋(k －1)·20≤720，得25＋120l -≤k ≤37－20l.由1≤l ≤20，则25≤k ≤36.满足条件的k 共有12个． 5．答案：A解析：S 矩形ABCD ＝1×2＝2，S 扇形ADE ＝S 扇形CBF ＝π4.由几何概型可知该地点无信号的概率为 P ＝π2π2124FABCD ADE CB ABCDS S S S ---==-矩形扇形扇形矩形. 6．答案：D解析：对于选项A ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故12z z =，正确；对于选项B ，若12z z =，则122z z z ==，正确；对于选项C ，z 1·1z ＝|z 1|2，z 2·z 2＝|z 2|2，若|z 1|＝|z 2|，则1122z z z z ⋅=⋅，正确；对于选项D ，如令z 1＝i ＋1，z 2＝1－i ，满足|z 1|＝|z 2|，而z 12＝2i ，z 22＝－2i ，故不正确． 7．答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ．又sin A ＞0，∴sin A ＝1，∴π2A =，故△ABC 为直角三角形． 8．答案：A解析：当x ＞0时，f (x )＝0，则f [f (x )]＝66⎛= ⎝.663221666C (1)C (1)C rr rr r r r r r r r T x x x ----+⎛=⋅=-⋅=- ⎝.令3－r ＝0，得r ＝3，此时T 4＝(－1)336C ＝－20.9．答案：C解析：设矩形另一边长为y ，如图所示.404040x y -=，则x ＝40－y ，y ＝40－x .由xy ≥300，即x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30，故选C ．10．答案：D解析：对于选项A ，取x ＝－1.1，则[－x ]＝[1.1]＝1，而－[x ]＝－[－1.1]＝－(－2)＝2，故不正确；对于选项B ，令x ＝1.5，则[2x ]＝[3]＝3,2[x ]＝2[1.5]＝2，故不正确；对于选项C ，令x ＝－1.5，y ＝－2.5，则[x ＋y ]＝[－4]＝－4，[x ]＝－2，[y ]＝－3，[x ]＋[y ]＝－5，故不正确；对于选项D ，由题意可设x ＝[x ]＋β1,0≤β1＜1，y ＝[y ]＋β2,0≤β2＜1，则x －y ＝[x ]－[y ]＋β1－β2，由0≤β1＜1，－1＜－β2≤0，可得－1＜β1－β2＜1.若0≤β1－β2＜1，则[x －y ]＝[[x ]－[y ]＋β1－β2]＝[x ]－[y ]；若－1＜β1－β2＜0，则0＜1＋β1－β2＜1，[x －y ]＝[[x ]－[y ]＋β1－β2]＝[[x ]－[y ]－1＋1＋β1－β2]＝[x ]－[y ]－1＜[x ]－[y ]，故选项D 正确．第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．答案：9解析：由双曲线方程知a ＝4.又54c e a ==，解得c ＝5，故16＋m ＝25，m ＝9. 12．答案：π3解析：由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径r ＝1，高SO ＝2，则V 几何体＝1π2π323⨯⨯=.13．答案：－4解析：由y ＝|x －1|＝1,1,1,1x x x x -≥⎧⎨-+<⎩及y ＝2画出可行域如图阴影部分所示．令2x －y ＝z ，则y ＝2x －z ，画直线l 0：y ＝2x 并平移到过点A (－1,2)的直线l ，此时－z 最大，即z 最小＝2×(－1)－2＝－4. 14．答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·12n n (+)解析：第n 个等式的左边第n 项应是(－1)n ＋1n 2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n ＝12n n (+)，故有12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋112n n (+). 15．(2013陕西，理15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A ．答案：2解析：(am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋(a 2＋b 2)mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)≥2abmn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋2ab ＋b 2)＝2(a ＋b )2＝2(当且仅当m ＝n )．B ．解析：∠C 与∠A 在同一个O 中，所对的弧都是BD ，则∠C ＝∠A ．又PE ∥BC ，∴∠C ＝∠PED ．∴∠A＝∠PED ．又∠P ＝∠P ，∴△PED ∽△PAE ，则PE PD PA PE=，∴PE 2＝PA ·PD ．又PD ＝2DA ＝2，∴PA ＝PD ＋DA＝3，∴PE 2＝3×2＝6，∴PE C ．答案：2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)解析：由三角函数定义知y x＝tan θ(x ≠0)，y ＝x tan θ，由x 2＋y 2－x ＝0得，x 2＋x 2tan 2θ－x ＝0，x ＝211tan θ+＝cos 2θ，则y ＝x tan θ＝cos 2θtan θ＝sin θcos θ，又π2θ=时，x ＝0，y ＝0也适合题意，故参数方程为2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16．解：f (x )＝1cos ,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭x ，cos 2x )x sin x －12cos 2xx －12cos 2x＝ππcos sin 2sin cos 266x x -＝πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)f (x )的最小正周期为2π2ππ2T ω===，即函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π2， ∴ππ5π2666x -≤-≤.由正弦函数的性质，当ππ262x -=，即π3x =时，f (x )取得最大值1.当ππ266x -=-，即x ＝0时，f (0)＝12-，当π52π66x -=，即π2x =时，π122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴f (x )的最小值为12-.因此，f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值是1，最小值是12-.17．(1)解：设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴111nn a q S q (-)=-，∴11,1,1, 1.1n n na q S a q q q=⎧⎪=(-)⎨≠⎪-⎩(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，21k a +＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 12q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾，∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．18．(1)证法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立直角坐标系，如图．∵AB ＝AA 1∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)．由11A B ＝AB ，易得B 1(－1,1,1)．∵1AC ＝(－1,0，－1)，BD ＝(0，－2,0)，1BB ＝(－1,0,1)，∴1AC ·BD ＝0，1AC ·1BB ＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ．证法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD ．又∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C ．又∵OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1CAC ＝2，∴AC 2＝AA 12＋A 1C 2，∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C ．又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ． (2)解：设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵OC ＝(－1,0,0)，1OB ＝(－1,1,1)，∴10,0,OC x OB x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩n n ∴0,.x y z =⎧⎨=-⎩取n ＝(0,1，－1)，由(1)知，1AC ＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量， ∴cos θ＝|cos 〈n ，1AC 〉|12=.又∵0≤θ≤π2，∴π3θ=.19．解：(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝1223C 2C 3=，P (B )＝2435C 3C 5=.∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝2243515⨯=.13242335C C 4.C C 15P AB ⎛⎫⋅()== ⎪⋅⎝⎭或(2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝2435C 3C 5=，∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P (X ＝0)＝1224()35575P ABC =⨯⨯=，P (X ＝1)＝()()()P ABC P ABC P ABC ++ ＝2221321232035535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝2322231333335535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，P (X ＝3)＝P (ABC )＝2331835575⨯⨯=，∴X 的分布列为∴X 的数学期望40123757575757515EX ⨯+⨯+⨯+⨯==＝. 20．(1)解：如图，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M|，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴1||O M =1||O A =，=化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0，其中Δ＝－32kb ＋64＞0. 由求根公式得，x 1＋x 2＝282bkk -，① x 1x 2＝22b k，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以121211y yx x =-++，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ＞0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)． 21．解：(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 的图像在P (x 0，y 0)处相切，则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g ′(x 0)＝01x ，解得x 0＝e 2，21ek =. (2)曲线y ＝e x与y ＝mx 2的公共点个数等于曲线2e xy x=与y ＝m 的公共点个数．令()2e x x xϕ=，则3e 2()x x x x ϕ(-)'=， ∴φ′(2)＝0.当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(0,2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x )在(0，＋∞)上的最小值为2e (2)4ϕ=.当0＜m ＜2e 4时，曲线2e xy x =与y ＝m 无公共点；当2e 4m =时，曲线2e xy x =与y ＝m 恰有一个公共点；当2e 4m >时，在区间(0,2)内存在1x =，使得φ(x 1)＞m ，在(2，＋∞)内存在x 2＝m e 2，使得φ(x 2)＞m .由φ(x )的单调性知，曲线2e xy x=与y ＝m 在(0，＋∞)上恰有两个公共点．综上所述，当x ＞0时，若0＜m ＜2e 4，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2没有公共点；若2e 4m =，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有一个公共点；若2e 4m >，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有两个公共点．(3)解法一：可以证明2f a f b f b f a b a()+()()-()>-.事实上，2f a f b f b f a b a ()+()()-()>-⇔e e e e 2a b b ab a+->-⇔e e 2e e b a b a b a -->+⇔2e 12e eab a b a ->-+⇔212e 1b a b a -->-+(b ＞a )．(*) 令2()12e 1xx x ψ=+-+(x ≥0)，则2222212e e 14e e 1()02e 12e 12e 1x x x x x x x x ψ(+)-(-)'=-==≥(+)(+)(+)(仅当x ＝0时等号成立)，∴ψ(x )在[0，＋∞)上单调递增，∴x ＞0时，ψ(x )＞ψ(0)＝0.令x ＝b －a ，即得(*)式，结论得证．解法二：e e e e 22b a b af a f b f b f a b a b a()+()()-()+--=---＝e e e e 2e 2e 2b a b a b a b b a a b a +---+(-)＝e 2a b a (-)[(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a＋2]，设函数u (x )＝x e x＋x －2e x＋2(x ≥0)，则u ′(x )＝e x ＋x e x ＋1－2e x，令h (x )＝u ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋e x ＋x e x －2e x ＝x e x≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴u ′(x )单调递增，∴当x ＞0时，u ′(x )＞u ′(0)＝0， ∴u (x )单调递增．当x ＞0时，u (x )＞u (0)＝0.令x ＝b －a ，则得(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a＋2＞0，∴e e e e >02b a b ab a+---，因此，2f a f b f b f a b a()+()()-()>-.2014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西）卷数学（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

高三数学复习附加题专项训练15套有答案

ABC •••2013届高三数学复习附加题专项训练（一）烟雾满山飘制作上传选修4-2：矩阵与变换二阶矩阵M 对应的变换将点(1,1)-与(2,1)-分别变换为点(1,1)--与(0,2)-，设直线l 在变换M 作用下得到了直线:24m x y -=，求直线l 的方程答案：直线l 的方程为40x +=选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆sin a ρθ=（0a >）与直线()cos 1ρθπ+=4相切，求实数a 的值．答案：解得4a =+【必做题】22．如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.求APB ∆的重心G 的轨迹方程.答案：重心G 的轨迹方程为：221(34)20,(42)3x y x y x x --+-==-+即．23. 如图所示，某城市有南北街道和东西街道各2n +条，一邮递员从该城市西北角的邮局A 出发，送信到东南角B 地，要求所走路程最短.求该邮递员途径C 地的概率()f n 答案：概率[]2212222(1)!(2)!1()2(!)(22)!21n n n n C n n n f n C n n n ++++==⋅=++。

（第4题）BACA 1B 1C 12013届高三数学一轮复习附加题专项训练（二）1设A=1212⎤⎥⎢⎢⎢⎣，则6A的逆矩阵是。

答案：逆矩阵为 1 00 -1-⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

选修4-4：坐标系与参数方程已知点),(y x P 在椭圆1121622=+y x 上，试求y x z 32-=的最大值. 答案： 10z 的最大值是【必做题】22.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，且12AB AC A B ===．（1）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；（2）在棱11B C 上确定一点P ，使AP =1P AB A --的平面角的余弦值．答案（1）1AA 与棱BC 所成的角是π3．（2）二面角1P ABA --．23. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点(4,0)M .（1）若点F 到直线l l 的斜率；（4分）（2）设,A B 为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值.（6分）答案：（1）直线l 的斜率为（2）线段AB 中点的横坐标为定值2.2013届高三数学一轮复习附加题专项训练（三）选修4-2：矩阵与变换若点(2,2)A 在矩阵cos sin sin cos M αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应变换的作用下得到的点为(2,2)B -，求矩阵M 的逆矩阵答案： 10110-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M . 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求经过三点O (0，0)，A (2，2π)，B (4π)的圆的极坐标方程．解答： )4ρθπ=-．【必做题】第22题口袋中有3个白球，4个红球，每次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，如果取到白球，就停止取球，记取球的次数为X ．（I ）若取到红球再放回，求X 不大于2的概率；（II ）若取出的红球不放回，求X 的概率分布与数学期望．解答：（Ⅰ） ∴33(1)(2)49P P X P X ==+==；∴32631()12345277353535E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 第23题已知1()ln(1)(1)nf x a x x =+--,其中*n N ∈,a 为常数, (1)当2n =时,求函数()f x 的极值；(2)当1a =时,证明:对任意的正整数n ,当2x ≥时,()1f x x ≤-.答案:(1) 2n =时,当0a >时,()f x 在1x =+处取得极小值2(1(1ln )2a f a+=+；当0a ≤时, ()f x 无极值. (2)略2013届高三数学一轮复习附加题专项训练（四）选修4-2：矩阵与变换.已知矩阵1101,20201⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A B ，若矩阵AB 对应的变换把直线l ：20x y +-=变为直线'l ，求直线'l 的方程.答案：直线l '的方程为480x y +-=选修4-4：坐标系与参数方程求直线12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）被圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）截得的弦长．答案：弦长为【必做题】第22题假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5，记此时教室里敞开的窗户个数为X . （Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变.记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y ，求Y 的分布列.答案：（Ⅰ）X 的分布列为（Ⅱ）Y 的分布列为第23题已知2()1f x x x =+-,()ln g x =若对任意12x >,都有()()f x g x ≤,试求a 的取值范围.答案: a 的取值范围是[,)e +∞.2013届高三数学一轮复习附加题专项训练（五）1选修4-2：矩阵与变换设A=，则A 6= 答案：66cos -sin 0 14466-1 0sin cos 44ππππ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦选修4-4：坐标系与参数方程椭圆2211612x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值. 答案：当 53πθ=时，min d =，此时所求点为(2,3)-【必做题】第22题已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=o，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥．（I ）求证：1AC ⊥平面1A BC ；（II ）求1CC 到平面1A AB 的距离；答案：（I ）略（II ）1||||AC n d n ⋅==u u u u r rr 7．第23题设数列{}n a 满足*1112,().n n na a a n N a +==+∈ （1）证明：n a 对*n N ∈恒成立；（2）令*)n b n N =∈，判断n b 与1n b +的大小，并说明理由．23题提供答案证明：（1）111111(0)(0,1)12,22,{}(2,)12111k k n n kk kk k y x x x xa a a a a n a a nn k nk a a a ++=+>∈∈∞==+≥≥+∞===>>==>=+=+>=是减函数,x (1,+)为增函数。

石景山区2013—2014学年第一学期期末考试试卷高三数学(理科)

150o ，则 | PF | ______．
A1
14．已知四边形是边长为的正方形，且平面，为上动点，过且垂直于的平面交于，那么
异面直线 PC 与 BD 所成的角的度数为
P
，当三棱锥的体积取得最大值时，
四棱锥 P ABCD 的高 PA 的长为
．
三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分 13 分）
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知数列为等差数列，，那么数列通项公式为（
）
A．
B．
C．
D．
5．执行如图所示的程序框图，若输入的
则输出的 x 的值为（
）
x 的值为 2 ，
A． 3
B． 126
C． 127
D． 128
开始
输入 x
x 2x 1 否 x 126
．
1．已知集合 M x R x2 2 x 3 0 ， N x R x 1 0 ，那么 M N （）
A． { 1，0，1}
B． { 3， 2 ， 1}
C． { x 1 x 1}
i
2．复数
（
1i
1i
A．
22
）
1i
B．
22
D． { x 3 x 1}
1i
C．
22
1i
D．
22
3．已知向量 a ( x ，1) ， b (4 ，x) ，则“ x 2 ”是“ a ∥ b ”的（
格．
现从某校高三年级的 300名学生中随机抽取 30名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：

2013-2014学年高三理科数学附加题：训练14

高三数学理科附加题训练14
1.（选修4—2：矩阵与变换）
已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．
2．（选修4—4：坐标系与参数方程）
已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面
直角坐标系，直线l
的参数方程为1212
x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段
长度.
3．某从集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9M =中，抽取三个不同元素构成子集{}123,,a a a ．（Ⅰ）求对任意的i j ≠，满足2i j a a -≥的概率；
（Ⅱ）若123,,a a a 成等差数列，设其公差为()0ξξ>，求随机变量ξ的分布列与数学期望．
4．设函数(,)1(0,0)x
m f x y m y y ⎛⎫=+>> ⎪⎝
⎭. （1）当3m =时，求(6,)f y 的展开式中二项式系数最大的项；
（2）若31240234(4,)a a a a f y a y y y y =++++且332a =，求40i i a =∑；（3）设n 是正整数，t 为正实数，实数t 满足(,1)(,)n f n m f n t =，
求证：7(2010,)f f t >-．。

2014年江苏高考理科附加题(10套)

2014省数学高考附加题强化试题1班级得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每题10分,计20分.B ．选修4—2：矩阵与变换假设点A 〔2，2〕在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换的作用下得到的点为B 〔－2，2〕，求矩阵M 的逆矩阵．C.选修4 - 4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2αα=⎧⎨=+⎩x y 〔α为参数〕，求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标.D.选修4－5：不等式选讲函数2222()()()()()3a b c f x x a x b x c ++=-+-+-+〔,,a b c 为实数〕的最小值为m ，假设23a b c -+=，求m 的最小值．[必做题] 第22、23题,每题10分,计20分.22、如图，正四棱锥P ABCD -中，2,AB PA =，AC 、BD 相交于点O ，求：〔1〕直线BD 与直线PC 所成的角；〔2〕平面PAC 与平面PBC 所成的角23、设数列{}n a 满足2111,n n a a a a a +==+，{}* | |2R N n M a n a =∈∈，≤．〔1〕当(,2)a ∈-∞-时，求证：a ∉M ；〔2〕当1(0,]4a ∈时，求证：a M ∈；〔3〕当1(,)4a ∈+∞时，判断元素a 与集合M 的关系，并证明你的结论．省数学高考附加题强化试题2班级得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每题10分,计20分.B ．选修4—2：矩阵与变换二阶矩阵M 对应的变换将点(1,1)-与(2,1)-分别变换成点(1,1)--与(0,2)-．求矩阵M ；C ．选修4—4：坐标系与参数方程假设两条曲线的极坐标方程分别为=l 与=2cos(θ+π3)，它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．选修4—5：不等式选讲求函数()212f x x x =+-[必做题] 第22、23题,每题10分,计20分.22．〔本小题10分〕口袋中有)(*N ∈n n 个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X ．假设307)2(==X P ，求〔1〕n 的值；〔2〕X 的概率分布与数学期望．23．〔本小题10分〕曲线1:(0)C y x x=>，过1(1,0)P 作y 轴的平行线交曲线C 于1Q ，过1Q 作曲线C 的切线与x 轴交于2P ，过2P 作与y 轴平行的直线交曲线C 于2Q ，照此下去，得到点列12,,P P ⋅⋅⋅，和12,,Q Q ⋅⋅⋅，设||n n n P Q a =*1|()n n n Q Q b n N +=∈．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕求证：1222n nn b b b -++⋅⋅⋅+>-；省数学高考附加题强化试题3班级得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每题10分,计20分.B ．〔选修4—2：矩阵与变换〕矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3cd ，假设矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．C ．〔选修4—4：坐标系与参数方程〕曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕，求直线l 被曲线C 截得的线段长度.D ．〔选修4－5：不等式选讲〕设z y x ,,为正数，证明：()()()()3332222x y z x y z y x z z x y +++++++≥．[必做题] 第22、23题,每题10分,计20分.22．〔本小题总分值10分〕某中学选派40名同学参加世博会青年志愿者效劳队〔简称“青志队〞〕，他们参加活动的次数统计如表所示．(Ⅰ)从“青志队〞中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率； (Ⅱ)从“青志队〞中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE ．23．〔本小题总分值10分〕设函数(,)1(0,0)x m f x y m y y ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭. 〔1〕当3m =时，求(6,)f y 的展开式中二项式系数最大的项；〔2〕假设31240234(4,)a a a a f y a y y y y =++++且332a =，求40i i a =∑；〔3〕设n 是正整数，t 为正实数，实数t 满足(,1)(,)nf n m f n t =，求证：7(2010,)f f t >-．省数学高考附加题强化试题4班级得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每题10分,计20分.B ．〔选修4—2：矩阵与变换〕在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形''''A B C D ，其中(1,1)A ，(1,1)B -，(1,1)C --，'(3,3)A -，'(1,1)B ，'(1,1)D --．〔1〕求出矩阵M ；〔2〕确定点D 及点'C 的坐标．C ．〔选修4—4：坐标系与参数方程〕{(,),,A x y x y m ααα===+为参数}，{(,)3,3,B x y x t y t t ==+=-为参数}，且A B ≠∅，数m 的取值围．D ．〔选修4－5：不等式选讲〕,,a b c R ∈，证明不等式：〔1〕66622218227a b c a b c ++≥；〔2〕22249236a b c ab ac bc ++≥++．[必做题] 第22、23题,每题10分,计20分.22．〔本小题总分值10分〕如下图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且垂直于底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，M 为PC 上一点，且PA ∥平面BDM ．⑴求证：M 为PC 中点；⑵求平面ABCD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小．23．〔本小题总分值10分〕抛物线L 的方程为()022>=p py x ，直线x y =截抛物线L 所得弦24=AB ．⑴求p 的值；⑵抛物线L 上是否存在异于点A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有一样的切线．假设存在，求出点C 的坐标；假设不存在，请说明理由．AP B C D M第22题图省数学高考附加题强化试题5班级得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每题10分,计20分.B ．〔选修4—2：矩阵与变换〕求将曲线2y x =绕原点逆时针旋转90︒后所得的曲线方程．C ．〔选修4—4：坐标系与参数方程〕求圆心为36C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，半径为3的圆的极坐标方程.D ．〔选修4－5：不等式选讲〕c b a ,,均为正数，证明：36)111(2222≥+++++cb ac b a ，并确定c b a ,,为何值时，等号成立。

北京101中学2013-2014学年上学期高三年级10月段考数学试卷(理科) 后有答案

北京101中学2013-2014学年上学期高三年级10月段考数学（理科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{}1,0=A ，{}3,0,1+-=a B ，且B A ⊆，则a 等于A. -3B. -2C. 0D. 12. 已知21,e e 是不共线向量，2121,2e e e e -=+=λ，当∥时，实数λ等于A. -2B. -1C. 21-D. 03. 已知i 是虚数单位，则复数3232i i i z ++=所对应的点落在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 一个锥体的主视图和左视图如下图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是5. 要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42sin 2πx y 的图象上所有的点的A. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度 B. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度C. 横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度D. 横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度6. 已知正项数列{}n a 中，21212212,2,1-++===n n n a a a a a （2≥n ），则6a 等于A. 16B. 8C. 22D. 47. 已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，若()x f 在区间[]()2,1>a a 上单调递增，且()0>x f ，则以下不等式不一定成立的是A. ()()0f a f >B. ()a f a f >⎪⎭⎫⎝⎛+21C. ()a f a a f ->⎪⎭⎫⎝⎛+-131D. ()2131->⎪⎭⎫⎝⎛+-f a a f8. 设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射V a V V f ∈→,:，记a 的象为()a f ，若映射V V f →:满足：对所有a 、V b ∈及任意实数λ，μ都有()()()b f a f b a f μλμλ+=+，则f 称为平面M 上的线性变换，下列命题中假命题是A. 设f 是平面M 上的线性变换，a 、V b ∈，则()()()b f a f b a f +=+B. 对V a ∈，设()a a f -=，则f 是平面M 上的线性变换C. 若e 是平面M 上的单位向量，对V a ∈，设()e a a f +=，则f 是平面M 上的线性变换D. 设f 是平面M 上的线性变换，V a ∈，则对任意实数k 均有()()a kf ka f =二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

高三数学附加题练习1-12

(2)用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花．
①求恰有两个区域用红色鲜花的概率；
②记花圃中红色鲜花区域的块数为S，求S的分布列及其数学期望E(S)．
高三数学附加题练习（五）
班级姓名
1．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD的四个顶点A(0，1)，B(2，1)，C(2，3)，D(0，2)，经矩阵M＝表示的变换作用后，四边形ABCD变为四边形A1B1C1D1，问：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积是否相等？试证明你的结论．
高三数学附加题练习（九）
班级姓名
1．已知矩阵 ,向量 .
(Ⅰ)求的特征值、和特征向量、；
(Ⅱ)计算的值.
2．已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线，相交于，两点.
（Ⅰ）把曲线，的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求弦的长度.
3．在四棱锥中，底面为直角梯形， ∥ ，， ⊥平面，，， .
(1)求油罐被引爆的概率；
(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为，求的分布列及的数学期望．
4．已知两曲线，，．
（1）求两曲线Leabharlann 交点坐标；（2）设两曲线在交点处的切线分别与轴交于两点，求的长．
高三数学附加题练习（三）
班级姓名
1．已知圆锥曲线的极坐标方程为的焦点极坐标和准线极坐标方程．
（1）请预测旅客乘到第一班客车的概率；
（2）旅客候车时间的分布列；
（3）旅客候车时间的数学期望．
高三数学附加题练习（六）
班级姓名
1．已知矩阵，点，点 .

高三数学附加题练习(5套)

当轴时，，，此时，与矛盾，……………2分
所以设直线的方程为，代入，得，
则，，①所以，所以，②…4分
因为，所以，将①②代入并整理得，，
所以 .………………………………………………………………………………6分
⑵因为，所以，当且仅当，即时，取等，所以，所以的最大值为 .……………………10分
⑴设该参加者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为，，，该参加者有资格闯第三关为事件．
则．…………………………………………………4分
(2)由题意可知，的可能取值为，，，，，
，，
，
，，
所以的分布列为
……………………………………………………………8分
所以的数学期望 .……………………………10分
已知矩阵M=对应的变换将点A(1,1)变为A'(0,2),将曲线C:xy=1变为曲线C'.
(1)求实数a,b的值;(2)求曲线C'的方程.
2（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,已知直线被圆截得的弦长为 ,求的值.
【答案】直线的极坐标方程化为直角坐标方程为 ,
则，
，
因为，
所以是平面法向量，………2分
又因为，
所以，
故直线与平面所成角正弦值为．…………………5分
（2）设．
因为，所以．
解得，故存在满足条件的点P为AC的中点．……………10分
4已知动圆过点且与直线相切.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点作一条直线交轨迹于两点，轨迹在两点处的切线相交于点，为线段的中点，求证：轴.

2013高三数学理科模拟试题附加答案

2013高三数学理科模拟试题附加答案以下是xx为大家整理的关于《2013高三数学理科模拟试题附加答案》的文章，供大家学习参考！第一部分选择题（共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合≤ ≤ , ≤ ≤ ，则（）2. 计算：（）A． B．- C. 2 D. -23. 已知是奇函数，当时，，则（）A. 2B. 1C.D.4. 已知向量 ,则的充要条件是（）A． B． C． D．5. 若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是（）6. 已知函数，则下列结论正确的是（）A. 此函数的图象关于直线对称B. 此函数的值为1C. 此函数在区间上是增函数D. 此函数的最小正周期为7. 某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的值为31，则等于（）A. 0B. 1C. 2D. 38. 已知、满足约束条件，若，则的取值范围为（）A. [0，1]B. [1，10]C. [1，3]D. [2，3]第二部分非选择题（共100分）二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）。

（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

9. 已知等比数列的公比为正数，且，则 = .10. 计算 .11. 已知双曲线的一个焦点是（），则其渐近线方程为 .12. 若 n的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 .13. 已知依此类推，第个等式为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的只算前一题得分。

14. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C上的点到直线3 -4 +4=0的距离的值为15.（几何证明选讲选做题）如图，⊙O的直径AB＝6cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA＝30°，PC＝_____________三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2013-2014学年高三阶段测试(理科数学)答案

2013-2014学年高三阶段测试（理科数学）答案一．选择题1—5 DABAD 6—10BCBBC 11—12BA二、填空题（每小题5分，共20分） 13.617 14.-e -x 15.0 16.97- 三．解答题 17.（本小题满分10分）若sin α＋cos αsin α－cos α ＝2，求sin αcos α的值是解：sinα+cosα=2sinα-2cosαsinα=3cosα代入恒等式sin²α+cos²α=1cos²α=1/10原式=(3cosα)cosα=3cos²α=3/1018．（本小题满分12分）已知函数21()cos sin cos 2222x x x f x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若32()10f α=,求sin 2α的值. 解： (1)由已知,f(x)=212x cos 2x sin 2x cos 2-- 21sinx 21cosx 121--+=）（）（4x cos 22π+= 所以f(x)的最小正周期为2π,值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,22， (2)由(1)知,f(α)=，）（10234cos 22=+πα 所以cos(534=+πα). 所以）（）（42cos 22cos 2sin πααπα+-=+-= 257251814cos 212=-=+-=）（πα19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,60A = ,32,b c =332ABC S ∆=. （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求sin B 的值.解：（Ⅰ）由60A = 和332ABC S ∆=可得133sin6022bc = , 所以6bc =, 又32,b c =所以2,3b c ==.（Ⅱ）因为2,3b c ==,60A = ,由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得2222367a =+-=，即7a =. 由正弦定理sin sin a b A B=可得 72sin sin60B= ，所以21sin 7B =. 20. (本小题满分12分）已知二次函数()f x 的图像过A(－１，０)，B(3，０)，Ｃ（１，－８）．（1）求()f x 的解析式；（2）求不等式()0f x ≥的解集；（3）将()f x 的图象向右平移2个单位，求所得图象的函数解析式()g x ．解：(1)由题意可设f(x)=a(x+1)(x-3)，将C(1，-8)代入得-8=a(1+1)(1-3)，∴a=2，即f(x)=2(x+1)(x-3)=2x 2-4x-6。

2014年江苏高考理科附加题(10套)

2014江苏省数学高考附加题强化试题1班级姓名得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．选修4—2：矩阵与变换若点A （2，2）在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换的作用下得到的点为B （－2，2），求矩阵M 的逆矩阵．C.选修4 - 4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2αα=⎧⎨=+⎩x y （α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标.D.选修4－5：不等式选讲已知函数2222()()()()()3a b c f x x a x b x c ++=-+-+-+（,,a b c 为实数）的最小值为m ，若23a b c -+=，求m 的最小值．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22、如图，正四棱锥P ABCD -中，2,AB PA ==AC 、BD 相交于点O ，求：（1）直线BD 与直线PC 所成的角；（2）平面PAC 与平面PBC 所成的角23、设数列{}n a 满足2111,n n a a a a a +==+，{}* | |2R N n M a n a =∈∈，≤．（1）当(,2)a ∈-∞-时，求证：a ∉M ；（2）当1(0,]4a ∈时，求证：a M ∈；（3）当1(,)4a ∈+∞时，判断元素a 与集合M 的关系，并证明你的结论．江苏省数学高考附加题强化试题2班级姓名得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．选修4—2：矩阵与变换二阶矩阵M 对应的变换将点(1,1)-与(2,1)-分别变换成点(1,1)--与(0,2)-．求矩阵M ；C ．选修4—4：坐标系与参数方程若两条曲线的极坐标方程分别为ρ =l 与ρ =2cos(θ+π3)，它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．选修4—5：不等式选讲求函数()f x =[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（本小题10分）口袋中有)(*N ∈n n 个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X ．若307)2(==X P ，求（1）n 的值；（2）X 的概率分布与数学期望．23．（本小题10分）已知曲线1:(0)C y x x=>，过1(1,0)P 作y 轴的平行线交曲线C 于1Q ，过1Q 作曲线C 的切线与x 轴交于2P ，过2P 作与y 轴平行的直线交曲线C 于2Q ，照此下去，得到点列12,,P P ⋅⋅⋅，和12,,Q Q ⋅⋅⋅，设||n n n PQ a =*1|()n n n Q Q b n N +=∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：1222n n n b b b -++⋅⋅⋅+>-；江苏省数学高考附加题强化试题3班级姓名得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3cd ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长度.D ．（选修4－5：不等式选讲）设z y x ,,为正数，证明：()()()()3332222x y z x y z y x z z x y +++++++≥．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（本小题满分10分）某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计如表所示．(Ⅰ)从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率； (Ⅱ)从“青志队”中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE ．23．（本小题满分10分）设函数(,)1(0,0)xm f x y m y y ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭.（1）当3m =时，求(6,)f y 的展开式中二项式系数最大的项；（2）若31240234(4,)a a a a f y a y y y y =++++且332a =，求4i i a =∑；（3）设n 是正整数，t 为正实数，实数t 满足(,1)(,)n f n m f n t =，求证：7(2010,)f f t >-．江苏省数学高考附加题强化试题4班级姓名得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形''''A B C D ，其中(1,1)A ，(1,1)B -，(1,1)C --，'(3,3)A -，'(1,1)B ，'(1,1)D --．（1）求出矩阵M ；（2）确定点D 及点'C 的坐标．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）{(,),,A x y x y m ααα===+为参数}，{(,)3,3,B x y x t y t t ==+=-为参数}，且A B ≠∅，求实数m 的取值范围．D ．（选修4－5：不等式选讲）已知,,a b c R ∈，证明不等式：（1）66622218227a b c a b c ++≥；（2）22249236a b c ab ac bc ++≥++．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（本小题满分10分）如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且垂直于底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，M 为PC 上一点，且PA ∥平面BDM ．⑴求证：M 为PC 中点；⑵求平面ABCD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小．23．（本小题满分10分）已知抛物线L 的方程为()022>=p py x ，直线x y =截抛物线L 所得弦24=AB ．⑴求p 的值；⑵抛物线L 上是否存在异于点A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．江苏省数学高考附加题强化试题5班级姓名得分A PB C D M 第22题图21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．（选修4—2：矩阵与变换）求将曲线2y x =绕原点逆时针旋转90︒后所得的曲线方程．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）求圆心为36C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，半径为3的圆的极坐标方程.D ．（选修4－5：不等式选讲）已知c b a ,,均为正数，证明：36)111(2222≥+++++cb ac b a ，并确定c b a ,,为何值时，等号成立。

2014实战演练·高三数学附加分-参考答案与解析

2014实战演练·高三数学附加分参考答案与解析南京市、盐城市2013届高三第一次模拟考试21. A.解：连结OC ，BE.因为AB 是圆O 的直径，所以BE ⊥AE.因为AB ＝8，BC ＝4，所以OB ＝OC ＝BC ＝4，即△OBC 为正三角形．所以∠BOC ＝60°.(4分) 又直线l 切圆O 与于点C ，所以OC ⊥l.因为AD ⊥l ，所以AD ∥OC.所以∠BAD ＝∠BOC ＝60°.(8分)在Rt △BAE 中，因为∠EBA ＝90°－∠BAE ＝30°，所以AE ＝12AB ＝4.(10分)B. 解：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x)－4.(2分)因为λ1＝3是方程f(λ)＝0的一个根，所以(3－1)(3－x)－4＝0，解得x ＝1.(4分)由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ＝－1或3，所以λ2＝－1.(6分)设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，从而y ＝－x.(8分) 取x ＝1，得y ＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.(10分)C. 解：圆的极坐标方程化为直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4，所以圆心的直角坐标为(－1，0)，半径为2.(4分) 又直线方程可化为x ＋y －7＝0，(6分)所以圆心到直线的距离d ＝|－1－7|2＝42，所以AB 的最小值为42－2.(10分) D. 证明：因为a 1是正数，所以1＋a 1≥2a 1＞0.(5分)同理1＋a k ≥2a k ＞0(k ＝2，3，4，…，n)．因此(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )≥2n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ＝1时等号成立．因为a 1·a 2·…·a n ＝1，所以(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )≥2n .(10分)22. 解：(1) 记该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为P ，则P ＝⎝⎛⎭⎫C 12·23·13⎝⎛⎭⎫C 12·12·12＋⎝⎛⎭⎫23·23(12·12)＝13. 故该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为13.(4分)(2) 该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为 P ＝⎝⎛⎭⎫C 12·23·13[C 12·P 2·(1－P 2)]＋⎝⎛⎭⎫23·23P 22＝89P 2－49P 22. 因为该小组在这12次检测中获得“和谐组”的次数X ～B(12，P)，所以EX ＝12P.(7分) 由EX ≥5，得12⎝⎛⎭⎫89P 2－49P 22≥5，解得34≤P 2≤54. 因为P 2≤1，所以P 2的取值范围为⎣⎡⎦⎤34，1.(10分)23. (1) 解：因为T r ＋1＝C r n ·2n －r x r2. 令r2＝3，得r ＝6，故x 3的系数为C 6n ·2n －6＝14，解得n ＝7.(4分) (2) 证明：由二项式定理可知(2＋3)n ＝C 0n 2n ＋C 1n 2n －1(3)＋C 2n 2n －2(3)2＋…＋C r n 2n －r (3)r ＋…＋C n n (3)n ＝[C 0n 2n ＋C 2n 2n －2(3)2＋…]＋3(C 1n 2n －1＋C 3n ·2n －3·3＋…)．(6分) 令x ＝C 0n 2n ＋C 2n 2n －2(3)2＋…， y ＝C 1n 2n －1＋C 3n·2n －3·3＋…，显然x ∈N *，y ∈N *.则(2＋3)n ＝x ＋3y ，(2－3)n ＝x －3y ，所以(2＋3)n ·(2－3)n ＝x 2－3y 2＝1. 令s ＝x 2，则必有s －1＝x 2－1＝3y 2.从而(2＋3)n 必可表示成s ＋s －1的形式，其中s ∈N *.(10分)南通市2013届高三第一次调研测试21. A. 证明：(1) 连BE ，则∠E ＝∠C. 又∠ABE ＝∠ADC ＝90°， ∴ △ABE ∽△ADC ，∴AB AD ＝AE AC. ∴ AB ·AC ＝AE·AD.(5分)(2) 连结OF ，∵ F 是BC ︵的中点，∴ ∠BAF ＝∠CAF.由(1) 得∠BAE ＝∠CAD ，∴ ∠FAE ＝∠FAD.(10分)B. 解：设A ＝NM ，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0，(3分)设P(x′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上的对应的点为P(x ，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y′ x′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y′，y ＝x′， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x′＝y ，y ′＝－12x.(7分)又点P(x′，y ′)在曲线C ：y 2＝2x 上， ∴ ⎝⎛⎭⎫－12x 2＝2y ，即y ＝18x 2.(10分) C. 解：曲线C 的普通方程是x 23＋y 2＝1.(2分)直线l 的普通方程是x ＋3y －3＝0.(4分)设点M 的直角坐标是(3cos θ，sin θ)，则点M 到直线l 的距离是 d ＝|3cos θ＋3sin θ－3|2＝3|2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－1|2.(7分)因为－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤2，所以当sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1，即θ＋π4＝2k π－π2(k ∈Z )，即θ＝2k π－3π4(k ∈Z )时，d 取得最大值．此时3cos θ＝－62，sin θ＝－22. 综上所述，点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，7π6时，该点到直线l 的距离最大．(10分) 注：凡给出点M 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－62，－22，不扣分． D. 解：∵ a ＞0，b ＞0，2a ＋b ＝1，∴ 4a 2＋b 2＝(2a ＋b)2－4ab ＝1－4ab ，(2分) 且1＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤24，ab ≤18，(5分) ∴ S ＝2ab －4a 2－b 2＝2ab －(1－4ab)＝2ab ＋4ab －1≤2－12，当且仅当a ＝14，b ＝12时，等号成立．(10分)22. (1) 解：解法1：设M(x ，y)，P(x 1，0)，Q(0，y 2)，则由PR →·PM →＝0，PQ →＝12QM →及R(0，－3)，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1（x －x 1）＋（－3）y ＝0，－x 1＝12x ，y 2＝12y －12y 2，化简，得x 2＝4y.(4分)所以，动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线．(5分) 解法2：设M(x ，y)．由PQ →＝12QM →，得P ⎝⎛⎭⎫－x 2，0，Q ⎝⎛⎭⎫0，y 3. 所以，PR →＝⎝⎛⎭⎫x 2，－3，PM →＝⎝⎛⎭⎫3x 2，y . 由PR →·PM →＝0，得⎝⎛⎭⎫x 2，－3·⎝⎛⎭⎫32x ，y ＝0，即34x 2－3y ＝0，化简得x 2＝4y.(4分) 所以，动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线．(5分)(2) 证明：由题意，得AB →·CD →＝AB·CD ，圆C 2的圆心即为抛物线C 1的焦点F. 设A(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则AB ＝FA －FB ＝y 1＋1－1＝y 1.(7分) 同理CD ＝y 2.设直线l 的方程为x ＝k(y －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k （y －1），y ＝14x 2，得y ＝14k 2(y －1)2，即k 2y 2－(2k 2－4)y ＋k 2＝0.所以，AB →·CD →＝AB·CD ＝y 1y 2＝1.(10分)23. 解：(1) 当a ＝－1时，a 1＝－4，a n ＋1＝(－1)a n －1＋1. 令b n ＝a n －1，则b 1＝－5，b n ＋1＝(－1)b n .因为b 1＝－5为奇数，b n 也是奇数且只能为－1，所以，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5，n ＝1，－1，n ≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4，n ＝1，0，n ≥2.(3分)(2) 当a ＝3时，a 1＝4，a n ＋1＝3a n －1＋1.(4分)下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数．当n ＝1时，a 1＝4＝4×1，命题成立；设当n ＝k(k ∈N *)时，命题成立，则存在t ∈N *，使得a k ＝4t ，故a k ＋1＝3a k －1＋1＝34t －1＋1＝27·(4－1)4(t －1)＋1＝27·(4m ＋1)＋1＝4(27m ＋7)，其中，4m ＝44(t －1)－C 14（t －1）·44t －5＋…＋(－1)r C r 4（t －1）·44t －4－r ＋…－C 4t －34（t －1）·4，即m ∈Z ，所以当n ＝k ＋1时，命题成立．所以由数学归纳法原理知命题对n∈N*成立．(10分)苏州市2013届高三调研测试21. A. 证明：连结OP ，∵ 直线l 切圆O 于点P ， ∴ OP ⊥l.(2分)∵ AC ⊥l ，BD ⊥l ， ∴ OP ∥AC ∥BD.又OA ＝OB ，∴ PC ＝PD.(5分) ∵ OP ∥AC ，∴ ∠OPA ＝∠CAP.(8分) ∵ OP ＝OA.∴ ∠OPA ＝∠OAP. 则∠CAP ＝∠OAP.∴ AP 平分∠CAB.(10分)B. 解：设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 为矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 21属于特征值－1的一个非零特征向量．则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 x 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，(2分) ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋xb ＝－a ，2a ＋b ＝－b ，解得b ＝－a(由条件知a ≠0)，x ＝2.(5分) 因此M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221.特征方程为λ2－2λ－3＝0.(8分) ∵ λ≠－1，∴ λ＝3.(10分)C. 解：A(4，0)，B(0，2)，AB ＝2 5. 则直线AB 方程为x ＋2y －4＝0.(2分) 设P(4cos θ，2sin θ)，θ为锐角．则点P 到直线AB 的距离为d ＝|4cos θ＋4sin θ－4|5＝|42sin （θ＋45°）－4|5.(5分)∵ θ为锐角，∴ 45°＜θ＋45°＜135°. ∴22＜sin (θ＋45°)≤1，0＜42sin (θ＋45°)－4≤42－4. 则当θ＝45°时，d 取得最大值为42－45.(8分)此时，△PAB 面积S 取得最大值为 12×25×42－45＝42－4.(10分)D. 证明：∵ a 、b 、x 、y 都是正数，∴ (ax ＋by)(bx ＋ay)＝ab(x 2＋y 2)＋xy(a 2＋b 2)(2分) ≥ab(2xy)＋xy(a 2＋b 2)(5分) ＝(a ＋b)2xy.(8分)∵ a ＋b ＝1，∴ (a ＋b)2xy ＝xy.则(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy 成立．(10分)22. 解：(1) “第一次取得正品且第二次取得次品”的概率为 8×210×9＝845.(2分) (2) X 的取值为0、1、2，则 P(X ＝0)＝8×7×610×9×8＝715；(4分)P(X ＝1)＝8×7×2×310×9×8＝715；(6分)P(X ＝2)＝8×2×1×310×9×8＝115.(8分)故X 的分布列为：数学期望E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35.(10分)23. 解：(1) 由题意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A 1(0，0，3)，B 1(2，0，3)，C 1(0，4，3).A 1D →＝(1，2，－3)，A 1C 1→＝(0，4，0)．(2分)设平面A 1C 1D 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)． ∵ n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0.∴ x ＝3z ，y ＝0.令z ＝1，得x ＝3.n ＝(3，0，1)．(4分) 设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为θ， ∵ DB 1→＝(1，－2，3)，∴ sin θ＝|cos 〈DB 1→，n 〉|＝3×1＋0×（－2）＋1×310×14＝33535.(6分)(2) 设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c)． A 1B 1→＝(2，0，0)，∵ m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0， ∴ a ＝0，2b ＝3c.令c ＝2，m ＝(0，3，2)．(8分) 设二面角B 1A 1DC 1的大小为α，∴ |cos α|＝cos|〈m ，n 〉|＝|m·n ||m |·|m |＝|0×3＋3×0＋2×1|13×10＝265，则sin α＝3765＝345565.∴ 二面角B 1A 1DC 1的正弦值为345565.(10分)无锡市2012年秋学期普通高中期末考试试卷21. A. 证明：连结OD ，∵ OD ＝OA ，∴ ∠OAD ＝∠ODA. ∵ AD 平分∠BAE ，∴ ∠OAD ＝∠EAD ，(3分) ∴ ∠EAD ＝∠ODA ，∴ OD ∥AE.(5分) 又AE ⊥DE ，∴ DE ⊥OD ，(8分)又OD 为半径，∴ DE 是圆O 的切线．(10分)B. 解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2.(4分)设A(a ，b)，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 4，得⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－3，a ＋2b ＝4.(8分) 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，即A(－2，3)．(10分)C. 解：圆C ：ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2，即ρ＝－2sin θ，ρ2＝－2ρsin θ，(2分)∴ 圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，∴ 圆心C(0，－1)．(4分) 直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，即ρsin θ＋ρcos θ＝2，∴ 直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2.(7分)∵ 圆心C 到直线l 的距离为d ＝|－1－2|2＝322，(9分)∴ 动点M 到直线l 距离的最大值为322＋1.(10分)D. 证明：∵ |x ＋1|＋|x －1|＜4，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1，－2x ＜4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，2x ＜4，⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，2＜4，(2分) 解得－2＜x ＜－1或－1≤x ≤1或1＜x ＜2，(4分)∴ 4(a ＋b)2－(4＋ab)2＝－a 2b 2＋4a 2－16＋4b 2＝(a 2－4)(4－b 2)． ∵ a 、b ∈M ，即－2＜a ＜2，－2＜b ＜2， ∴ (a 2－4)(4－b 2)＜0，(8分) ∴ 4(a ＋b)2＜(4＋ab)2， ∴ 2|a ＋b|＜|4＋ab|.(10分)22. 解：(1) 设Y Y 的分布列如下：A 表示事件“银行工作人员在第6分钟开始办理第三位顾客的业务”，则事件A 对应两种情形： ① 办理第一位业务所需的时间为2 min ，且办理第二位业务所需的时间为3 min ； ② 办理第一位业务所需的时间为3 min ，且办理第二位业务所需的时间为2 min ； ∴ P(A)＝P(Y ＝2)P(Y ＝3)＋P(Y ＝3)P(Y ＝2)＝15×310＋310×15＝325.(3分)(2) X 的取值为0、1、2，X ＝0对应办理第一位业务所需的时间超过4 min ， ∴ P(X ＝0)＝P(Y ＞4)＝110，(5分)X ＝1对应办理第一位业务所需的时间为2 min 且办理第二位业务所需的时间超过2 min ，或办理第一位业务所需的时间为3 min 或办理第一位业务所需的时间为4 min ，∴ P(X ＝1)＝P(Y ＝2)P(Y ＞2)＋P(Y ＝3)＋(Y ＝4)＝15×45＋310＋25＝4350.(6分)X ＝2对应办理两位顾客业务时间均为2 min ， ∴ P(X ＝2)＝P(Y ＝2)P(Y ＝2)＝15×15＝125.(7分)∴ X 的分布列为：(9分)E(X)＝0×110＋1×4350＋2×125＝4750.(10分)23. (1) 解：由已知，得f′(x)＝x ＋1x.当x ∈[1，e]时，f ′(x)＞0，所以函数f(x)在区间[1，e]上单调递增，(2分) 所以函数f(x)在区间[1，e]上的最大、最小值分别为f(e)、f(1)．因为f(1)＝12，f(e)＝e 22＋1，所以函数f(x)在区间[1，e]上的最大值为e 22＋1、最小值为12.(4分)(2) 证明：当n ＝1时，不等式成立，(5分) 当n ≥2时，[g(x)]n －g(x n )＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x n－⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n＝C 1n xn－11x ＋C 2n x n －21x 2＋…＋C n －1n x 1x n －1＝C 1n x n －2＋C 2n x n －4＋…＋C n－1n1x n－2＝12[C 1n ⎝⎛⎭⎫x n －2＋1x n －2＋C 2n⎝⎛⎭⎫x n －4＋1x n －4＋…＋ C n －1n⎝⎛⎭⎫1x n －2＋x n －2]．(9分) 由已知x ＞0，所以[g(x)]n －g(x n )≥C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＝ 2n －2.(10分)常州市2013届高三上学期期末考试21. A. 证明：连结OF. 因为OC ＝OF ，所以∠OCF ＝∠OFC. 因为DF 切圆O 于F ，所以∠OFD ＝90°.所以∠OFC ＋∠CFD ＝90°.(4分)因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF ＋∠CEO ＝90°. 所以∠CFD ＝∠CEO ＝∠DEF ，所以DF ＝DE.(8分) 因为DF 是圆O 的切线，所以DF 2＝DB·DA. 所以DE 2＝DB·DA.(10分)B. 解：因为矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，化简，得c ＋d ＝6.(4分)因为矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤33c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，化简，得3c －2d ＝－2.(8分)解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4，故A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －12－13 12.(10分)C. 解：将曲线C 1、C 2化为直角坐标方程，得 C 1：x ＋3y ＋2＝0，C 2：(x －1)2＋(y －1)2＝2，(4分) ∵ 圆心C 2到直线C 1的距离 d ＝|1＋3＋2|12＋（3）2＝3＋32＞2，(8分) ∴ 曲线C 1与C 2相离．(10分)D. 证明：x 、y 、z 均为正实数，由柯西不等式，得[(y ＋z)＋(x ＋z)＋(x ＋y)]⎝⎛⎭⎫x 2y ＋z ＋y 2x ＋z ＋z2x ＋y ≥(x ＋y ＋z)2，(6分)∵ x ＋y ＋z ＝1，∴ x 2y ＋z ＋y 2x ＋z ＋z 2x ＋y ≥12.(10分)22. 解：(1) 设口袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为C 2nC 29，由题意知C 2nC 29＝512，化简得n 2－n －30＝0，解得n ＝6或n ＝－5(舍去)，故口袋中原有白球的个数为6.(4分)(2) 由题意，X 的可能取值为1，2，3，4. P(X ＝1)＝69＝23；P(X ＝2)＝3×69×8＝14；P(X ＝3)＝3×2×69×8×7＝114；P(X ＝4)＝3×2×1×69×8×7×6＝184.(8分)所以取球次数X 的概率分布列为：X 1 2 3 4 P2314114184所求数学期望为：E(X)＝1×23＋2×14＋3×114＋4×184＝107.(10分)23. 解：(1) a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，a 4＝15.(2分) (2) a n ＝16(n 3＋5n ＋6)．(4分)证明如下：当n ＝1时显然成立；设n ＝k(k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即a k ＝16(k 3＋5k ＋6)．(5分)则当n ＝k ＋1时，再添上第k ＋1个平面，因为它和前k 个平面都相交，所以可得k 条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这k 条交线可以把第k ＋1个平面最多划分成12[(k ＋1)2－(k ＋1)＋2]个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域．因此，空间区域的总数增加了12[(k ＋1)2－(k ＋1)＋2]个，(7分)从而a k ＋1＝a k ＋12[(k ＋1)2－(k ＋1)＋2]＝16(k 3＋5k ＋6)＋12[(k ＋1)2－(k ＋1)＋2] ＝16[(k ＋1)3＋5(k ＋1)＋6]，即当n ＝k ＋1时，结论也成立．综上所述，对n ∈N *，a n ＝16(n 3＋5n ＋6)．(10分)镇江市2013届高三上学期期末考试21. A. 证明：∵ AE ＝AC ，∠CDE ＝∠AOC ，(2分)又 ∠CDE ＝∠P ＋∠PFD ，∠AOC ＝∠P ＋∠OCP ，(6分) 从而∠PFD ＝∠OCP.(7分)在△PDF 与△POC 中，∠P ＝∠P ，∠PFD ＝∠OCP ，故△PDF ∽△POC.(10分)B. 解：设P(x 0，y 0)为曲线xy ＝1上的任意一点，在矩阵A 变换下得到另一点P′(x′0，y ′0)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 22 22－2222⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，(4分) 即⎩⎨⎧x′0＝22（x 0＋y 0），y ′0＝22（y 0－x 0），(6分)所以⎩⎨⎧x 0＝22（x′0－y′0），y 0＝22（x′0＋y′0），(8分)又点P 在曲线xy ＝1上，所以x 0y 0＝1，故有x′20－y′20＝2，即所得曲线方程为x 2－y 2＝2.(10分) C. 解：将极坐标方程转化成直角坐标方程： ρ＝3cos θ，即x 2＋y 2＝3x ，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94；(4分) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t ，即2x －y ＝3，(6分) d ＝|2×32－0－3|22＋（－1）2＝0，(8分)即直线经过圆心，所以直线截得的弦长为3.(10分)D. 解：(1) 由题设知：|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象(如图所示)，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．(5分)(2) 由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a.由图知|x ＋1|＋|x －2|≥3， ∴ －a ≤3，∴ a ≥－3.(10分)22. 解：设直线方程为y ＝x ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x ，y)，将y ＝x ＋m 代入y 2＝2x ，得x 2＋(2m －2)x ＋m 2＝0，(2分) ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2m －2）2－4m 2＞0，x 1＋x 2＝2－2m ，x 1x 2＝m 2，(6分) ∴ m ＜12，x ＝x 1＋x 22＝1－m ＞12，y ＝x ＋m ＝1，(9分)线段AB 中点M 的轨迹方程为y ＝1⎝⎛⎭⎫x ＞12.(10分) 23. (1) 解：∵ 函数f(x)＝ln(2－x)＋ax 在区间(0，1)上是增函数， ∴ f ′(x)＝－12－x ＋a ≥0在区间(0，1)上恒成立，(2分)∴ a ≥12－x.又g(x)＝12－x在区间(0，1)上是增函数，∴ a ≥g(1)＝1，即实数a 的取值范围为a ≥1.(3分) (2) 证明：先用数学归纳法证明0＜a n ＜1. 当n ＝1时，a 1∈(0，1)成立，(4分) 假设n ＝k 时，0＜a k ＜1成立，(5分)当n ＝k ＋1时，由(1)知a ＝1时，函数f(x)＝ln(2－x)＋x 在区间(0，1)上是增函数， ∴ a k ＋1＝f(a k )＝ln(2－a k )＋a k ，∴ 0＜ln2＝f(0)＜f(a k )＜f(1)＝1，(7分) 即0＜a k ＋1＜1成立，∴ 当n ∈N *时，0＜a n ＜1成立．(8分) 下证a n ＜a n ＋1.∵ 0＜a n ＜1，∴ a n ＋1－a n ＝ln(2－a n )＞ln1＝0.(9分) ∴ a n ＜a n ＋1.综上所述，0＜a n ＜a n ＋1＜1.(10分)。

2014北京西城区高三期末数学(理)试题答案

55
2014.1
13．1
2
14． (1,1)
π
注：第 10、13、14 题第一问 2 分，第二问 3 分.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分 13 分）
（Ⅰ）解：因为 g ( x )
sin(
x
π )(
0) 的最小正周期为 π
，
3
所以 2 ，解得 ω 2 ． |ω|
5
55
分
………………13
由
y3
1 k
k
2 5
，得 k
1
5
26
，验证知符合题意.
所以当 k 1 26 时， O D 有最小值 2 5 .
5
5
分
………………14
20．（本小题满分 13 分）
（Ⅰ）解：由等比数列{an} 的 a1 =
4 ，q =
1， 2
得 a1 = 4 ， a2 = 2 ， a3 = 1 ，且当 n > 3 时， 0 < an < 1 .
因为 bn = [an ] ，
所以 a1 [3, 4) ， an [2, 3)(2≤ n≤2014) . 分
由 q a2 ，得 q 1 . a1
分
因为 a2014 a2 q 2012 [ 2, 3) ，
所以 q 2012 ≥ 2 2 ， a2 3
所以
2 q 2012 1 ，即
21 ( ) 2012 q 1 .
(92, 90) ， (92, 91) ，
(92, 92) ，
……………… 9 分
则这两名同学成绩之差的绝对值 X 的所有取值为 0,1, 2, 3, 4 .

江苏省如东县2013-2014学年度第一学期高三期末考试四校联考数学试卷(理科)附加题

2013 2014学年度第一学期期末高三联考试卷数学附加题21．在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2(1x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数),以该直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,曲线P 的方程为24c o s 30ρρθ-+=. (1)求曲线C 的普通方程和曲线P 的直角坐标方程;(2)设曲线C 和曲线P 的交点为A 、B ,求||AB .22．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO ．（1）若λ＝1，求异面直线DE 与CD 1所成的角的余弦值；（2）若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值．AA 1 BC D OE B 1 C 1 D 1 （第22题图）23．已知曲线C 上任意一点M 到点F （0，1）的距离比它到直线2:-=y l 的距离小1。

（1）求曲线C 的方程；（2）过点P （2，2）的直线m 与曲线C 交于A ，B 两点，且AP PB =, 求直线m 的方程24．记)21()21)(21(2n x x x +⋅⋅⋅++的展开式中，x 的系数为n a ，2x 的系数为n b ,其中*N n ∈。

(1)求n a ；（2）是否存在常数p,q(p<q),使)21)(21(31n n n qp b ++=，对*N n ∈，2≥n 恒成立？证明你的结论2013 2014学年度第一学期高三联考试卷数学附加题21．在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2(1x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数),以该直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,曲线P 的方程为24cos 30ρρθ-+=.(1)求曲线C 的普通方程和曲线P 的直角坐标方程;(2)设曲线C 和曲线P 的交点为A 、B ,求||AB .解:(1)曲线C 的普通方程为01=--y x , ………………………3分曲线P 的直角坐标方程为03422=+-+x y x ………………………6分 (2)曲线P 可化为1)2(22=+-y x ,表示圆心在)0,2(,半径=r 1的圆, 则圆心到直线C 的距离为2221==d , ………………………8分所以2222=-=dr AB ………………………10分22．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO ．（1）若λ＝1，求异面直线DE 与CD 1所成的角的余弦值；（2）若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值．22．【解】(1)以1,,DA DC DD为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．则A (1，0，0)，()11022O ，，，()010C ，，，D 1(0，0，1)，E ()111442，，，于是()111DE = ，，，()1011CD =- ，，. ………………………3分 A A 1 BC D O EB 1C 1D 1 （第22题图）由cos 1DE CD 〈〉 ，＝11||||DE CD DE CD ⋅⋅.所以异面直线AE 与CD 1. ………………………5分（写负数扣1分）（2）设平面CD 1O 的向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO ＝0，m ·1CD＝0得 1111110220x y y z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，，取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m =(1，1，1) . ………………………7分由D 1E ＝λEO ，则E 12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，，DE =12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，. 又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD ＝0，n ·DE＝0.得 2222002(1)2(1)1y x y z λλλλλ=⎧⎪⎨++=⎪+++⎩，，取x 2=2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2，0，λ) .……9分因为平面CDE ⊥平面CD 1F ，所以·m n＝0，得λ＝2． ………………10分23．已知曲线C 上任意一点M 到点F （0，1）的距离比它到直线2:-=y l 的距离小1。