数列不等式的放缩法(学习课资)

1
1 (n N)
13 35 5 7
(2n 1)(2n 1) 2
分析 左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩.
Q
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
左边 1 [(1 1) (1 1) L ( 1 1 )]
2 3 35
2n 1 2n 1
1 (1 1 ) 1 表面是证数列不等式， 2 2n 1 2 实质是数列求和
4 2 2 3 n n 1
4 22 3 3
当n = 1, 2时，不等式显然公开也课资 成立.
13
变式3
求证：1
1 22
1 32
L
1 n2
5 3
(n N)
分析 变式3的结论比变式2更强，要达目的，须将
变式2放缩的“度”进一步修正，如何修正？
思路二 将通项放得比变式2思路二更小一点.
1 n2
1 n2
1
4 4n2 1
2( 1 2n 1
1) 2n 1
(n 2)
保留 第一
4
左边
1
2
(13
1) 5
(
1 5
1 7
)
L
(
1 2n 1
1 2n
Hale Waihona Puke Baidu
1)
项， 从第 二项
1 2(1 1 ) 1 2 1 5 (n 2)
3 2n 1
33
开始 放缩
当n = 1时，不等式显然也公开成课资立.
14
评注
对1 n2
公开课资
9
变式1 求证：1 1 1 L 1 2 (n N)
22 32
n2
分析 左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消
模型后求和.
Q 1 1 1 1 (n 2) n2 n(n 1) n 1 n
保留第一项， 从第二项开
始放缩
左边 1 (1 1) (1 1) L ( 1 1)
2 23
13 35 5 7
(2n 1)(2n 1) 2
变式1
求证：1
1 22
1 32
L
1 n2
2
(n N)
变式2 (2013广东理)
求证：1
1 22
1 32
L
1 n2
7 4
(n N)
变式3
求证：1
1 22
1 32
L
1 n2
5 3
(n N)
公开课资
8
例2 (2013广东文 )
求证： 1 1 1 L
1 n(n 1)
1 n 1
1 n
(n 3)
保留前两项，从 第三项开始放缩
左边
1
1 22
(1 1) (1 1) L 23 34
( 1 1) n 1 n
1 1 1 1 7 1 7 (n 3) 42n 4n 4
当n = 1, 2时，不等式公显开课资然也成立.
11
变式2 (2013广东理19第(3)问)
思路一 将变式2思路二中通项从第三项才开始放缩.
1 n2
1 n2 1
1( 1 1 ) 2 n 1 n 1
(n 3)
保留前两项， 从第三项开
始放缩
左边
1
1 22
1 2
( 12
1) 4
(1 3
1) 5
L
(
n
1 1
n
1 1)
1 1 1 (1 1 1 1 ) 1 1 1 (1 1) 5 (n 3)
问题是将通项 an 放缩为可以求和且“不大不小”的 什么样的 bn 才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不
多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项
相消模型等. 实际问题中， bn 大多是等比模型或裂项相
消模型.
公开课资
7
例2 (2013广东文 )
求证： 1 1 1 L
1
1 (n N)
和，如何放缩？
注意到 n n
2n n 2n
将通项放缩为 错 位相减模型
左边 1 2 3 L n 2 n 2 2
2 22 23
2n
2n
公开课资
6
【方法总结之一】
n
放缩法证明与数列求和有关的不等式，若 ai 可直 i 1
接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要
先将通项 an 放缩后再求和.
公开课资
3
变式1
求证：1 2
2 22
3 23
L
n 2n
2
(n N)
分析 不等式左边可用“错位相减法”求和.
由错位相减法得
1 2 3 L n 2 n 2 2
2 22 23
2n
2n
表面是证数列不等式， 实质是数列求和
公开课资
4
变式2
求证： 2
1
1
1 22
1
1 23
1
L
1 2n
1
“放缩法” 证 明数列不等式
公开课资
1
n
（一）形如 a k (k为常数） i
i 1
例1 求证：1 1 1 L 1 1 (n N)
2 22 23
2n
变式1 求证：1 2 3 L n 2 (n N)
2 22 23
2n
变式2
求证： 1 2 1
1 22 1
1 23 1
L
1 2n 1
L
(
n
1 1
n
1 1)
1 1 (1 1 1 1 ) 1 1 (1 1) 7 (n 2)
2 2 n n1
2 24
当n = 1时，不等式显然公开课也资 成立.
12
变式3
求证：1
1 22
1 32
L
1 n2
5 3
(n N)
分析 变式3的结论比变式2更强，要达目的，须将
变式2放缩的“度”进一步修正，如何修正？
n 1 n
11 1 2 (n 2) n
当n = 1时，不等式显然也成立.
公开课资
10
变式2 (2013广东理)
求证：1
1 22
1 32
L
1 n2
7 4
(n N)
分析 变式2的结论比变式1强，要达目的，须将
变式1放缩的“度”进行修正，如何修正？
思路一 将变式1的通项从第三项才开始放缩.
1 n2
1
(n N)
变式3 求证： 1 2 3 L n 2 (n N)
2 1 22 2 23 3
2n n
公开课资
2
例1
求证：1 2
1 22
1 23
L
1 2n
1
(n N)
分析 不等式左边可用等比数列前n项和公式求和.
左边
1 (1 1 ) 2 2n
1 1
1
1 2n
1
2
表面是证数列不等式，
实质是数列求和
1
(n N)
分析 左边不能直接求和，须先将其通项放缩后 求和，如何放缩？
注意到 1 1 2n 1 2n
将通项放缩为 等比数列
11
左边 1 1 2 22
1 23
L
1 2n
(1 ) 2 2n
1 1
1 1
2n
1
2
公开课资
5
变式3
求证： 2
1
1
22
2
2
23
3
3
L
n 2n n
2
(n N)
分析 左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求
求证：1
1 22
1 32
L
1 n2
7 4
(n N)
分析 变式2的结论比变式1强，要达目的，须将变
式1放缩的“度”进行修正，如何修正？
思路二 将通项放得比变式1更小一点. 保留第一项，
从第二项开
1 n2
1 n2 1
1( 1 2 n 1
1) n 1
(n
2)
始放缩
左边
1
1 2
(1
1) 3
(
1 2
1) 4