2离散付里叶变换复习与习题课

小结
• • • • • • • • 本章主要讲几个问题： （1）付里叶变换的四种形式 （2）离散付里叶级数 （3）离散付里叶变换 （4）离散付里叶变换的有关性质 （5）频率抽样理论 （6）离散付里叶变换的应用 （7）DFT逼近连续时间信号产生的问题
四种不同付里叶变换对
• 傅 里 叶 级 数(FS)：连 续 时 间 , 离 散 频 率 的傅里叶变换。 • 连 续 傅 里 叶 变 换(FT)：连 续 时 间 , 连 续 频率的傅里叶变换。 • 序 列 的 傅 里 叶 变 换(DTFT):离 散 时 间 , 连 续 频 率 的 傅 里 叶 变 换. • 离 散 傅 里 叶 变 换(DFT):离 散 时 间 , 离 散 频率的傅里叶变换
频率抽样理论
• （1）频域抽样不失真条件:长度为M的有限长序 列,频域抽样不失真的条件： 频域抽样点数N要 大于或等于序列长度M, 即满足N≥M.此时可得到 • （2）频域内插公式
N− 1 jw
xN (n) = ~N (n)RN (n) = ∑x(n + rN)RN (n) = x(n) x
r =−∞
−j 2π kn N
)
N 2 = −( ) 2 π N 2 = −( ) 2 π
d e 2 ∑ dk n=0 d2 δ (k) 2 dk
专题2：已知X(k),求IDFT。
已 下 X (k), 求 (n) = IDFT[ X (k)] : 知 列 x N jθ e k =m 2 N − jθ X (k) = e k = N −m 2 0 其 k 它
X1(w) …..
2π
8π 10π 16π 18π
w
X2(w)
看出：混叠现象
2π
6π 8π10π 14π 16π18π 22π
w
看出：混叠现象 X3(w)
6π 8π 10π
1处 理机 对实 数序列 谱分析 作 ， 要 求谱 分辨 F ≤ 50Hz, 率 信 号最 高频 率为 KHz, 试 确定 以下各参 数： 1 （）最 1 小记 录时 T m 间 in; (2)最 大取 样间 T m 隔 ax; (3)最 少采样 点数 m N ax; (4)在 频带 宽度 不变 的情况 ， 下 将 频率 分辨 率提高一 的N值 倍 。
∞
π 2 X（ ) = ∑X (k)Φ(w − e k) N k =0 wN sin ( ) − j ( N−1)w 1 2 e 2 Φk (w) = w N sin ( ) 2
DFT的应用
• （1）用DFT计算线性卷积 • （2）用DFT去逼近连续信号 • （3）用DFT进行谱分析
DFT 做 傅 里 叶 变 换 (级 数) 的 逼近时所产生的问题
1 解 x(n) = ∑X (k)e ： N n=0 2π 2π 1 N jθ j N mn N − jθ j N ( N−m)n = [ e e + e e ] N 2 2π 2 2π −j mn 1 jθ j N mn − jθ = [e e +e e N ] 2 1 2π = cos(θ + mn) 2 N
= ∑x(n)W
n=0
N−1
nk N
• 反变换
1 x(n) = IDFT[X (k)] = ∑X (k)e N k=0
N−1
2π j nk N
= ∑x(k)W
k =0
N−1
−nk N
• X(k)、x(n)为有限长序列的离散付里叶变换对， 已知其中一个序列就能确定另一个序列。
DFT性质一览表1
DFT性质一览表2
2π kn N
a jw0n − jw n = ∑ (e + e 0 )e n=0 2 2π 2π N− 1 j ( w n− kn) − j ( w n+ kn) 0 0 a N N = ∑ (e +e ) n=0 2 w0 w0 a = [δ (k − ) + δ (k + )] 2 2 π 2 π 可 调 特 直 求 。 用 制 性 接 得
2π kn N
(b)x(n) = an RN (n) 解 X（ ) = ∑x(n)e ： k = ∑ane
n=0 N− 1 n=0 2π −j kn N −j 2π k N N− 1 −j
2π kn N
= =
1− (ae
)N
1− ae 1− a N 1− ae
−j
−j
2π k N
2π k N
(c)x(n) = δ (n − n0 ),0 < n0 < N 解 X（ ) = ∑x(n)e ： k =e
5 m=0
∑x(m) y((n − m))
∞ m=0
14
15
∑x(m) y(n − m)
m=0
∑x(m) y(n − m)
14 以n = 0,1,2⋯ 逐一考虑f (n)和 x(n) * y(n)的异同处，可以得出： 设L = N + M −1 = 6 +15 −1 = 20点为线卷积的长度； S = M = 15点，为圆卷积的长度 ； P = 2*(L − S) = 2*5 = 10点为不相同的点数； R = P / 2 = 5点为一开始不相 同的点数 ; 可知 n = 0,1,2,3,4,为圆卷积与线卷积不相同的点 ： ; n = 5,6,⋯ ,为圆 14 卷积与线卷积相同的点
x(n) 0 ≤ n ≤ 5 x(n) = 他 0 其 n y(n) 0 ≤ n ≤ 14 y(n) = x(n) = 他 0 其 n
解 ： (k) = ∑x(n)e X
n=0
14
−j
2 π k n N
Y (k) = ∑y(n)e
n=0
14
−j
π 2 k n N
f (n) = x(n) ⊗ y(n) = ID T[ X (k) (k)] F Y 2 π 14 j k n 1 N = ∑X (k)Y(k)e N n=0 = 线 卷 积 ： x(n) * y(n) = =
解 ： ∵F ≤ 50Hz, f h = 1KHz, （） 小 录 间 min ; 1 最 记 时 T 1 Tmin = = 20ms F 大 样 隔 (2)最 取 间 Tmax ; 1 1 Tmax = = = 0.5ms 2 f h 2*1*1000 (3)最 采 点 Nmin ; 少 样 数 2 f h 2*1*1000 N= = = 40 F 50 (4)在 带 度 变 情 下 频 宽 不 的 况 ， 将 率 辨 提 一 的 值 频 分 率 高 倍 N 。 此 F = 25Hz, 时 N = 80
j
N−1
2π kn N
专题3.根据DFT性质求解X(k)
(c)x(n) = δ (n − n0 ),0 < n0 < N DFT 解 ∵δ (n) 1 ： → ∴根 ∴根 时 特 : 据 移 性
δ (n − n0 ) e →
DFT
2π −j kn0 N
专题4.圆周卷积
• P105页，第10题 • 设有两序列，各作15点的DFT，然后将 两个DFT相乘，再求乘积的IDFT，设所 得结果为f(n),问f(n)的哪些点对应于 x(n)*y(n)线卷积应得到的点。
另外，还有作图求圆卷积。我这里就不在做了。
专题5.频率采样理论
今对三个正弦信号：x1(t) = cos 2πt, x2(t) = −cos 6πt，x3(t) = cos10πt 进行理想采样，采样频率为 Ωs = 8π ,画出它们的频谱并解释频谱混叠现象。 解：看出采样频率为Ωs = 8π , 则x1(t)经采样后的波形不产生混叠 而x2(t)和x3(t)经采样后的波形都产生混叠。
傅 里 叶 级 数(FS)
• 周期连续时间信号 非周期离散频谱密 度函数。 • 周期为Tp的周期性连续时间函数 x(t) 可展 成傅里叶级数X(jk 0) ,是离散非周期性频 谱 , 表 示为:
FS
DFT
• 正变换
X (k) = DFT[x(n)] = ∑x(n)e
n=0
N−1
−j
2π nk N
−j 2π kn0 N n=0 N− 1 −j 2π kn N
(d)x(n) = n RN (n)
2
解 X（ ) = ∑x(n)e ： k = ∑n e
2 n=0 N− 1 n=0 2π N− 1 −j kn N 2 N− 1
N− 1
−j
2π kn N 2 −j 2π kn N
N 2 d = ∑− ( ) (e 2 2 π dk n=0
• 混 叠 现 象: • 频谱泄漏 • 栅栏效应
专题1.直接用DFT公式求解X(k)
• P205页：第6题 • 试求以下有限长序列的N点DFT（闭合表 达式）。
(a)x(n) = a(cos w0n)RN (n) 解 X（ ) = ∑x(n)e ： k = ∑a(cos w0n)e
n=0 N− 1 N− 1 n=0 −j 2π kn N −j N− 1 −j