剪力弯矩图习题课20页PPT
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《剪力图弯矩》课件
《剪力图弯矩》 PPT课件
contents
目录
• 引言 • 剪力与弯矩的基本概念 • 剪力图与弯矩图的绘制方法 • 剪力图与弯矩图的实例分析 • 剪力图与弯矩图的应用 • 总结与展望
01
引言
课程背景
介绍《剪力图弯矩》PPT课件的背景 ，包括课程所属领域、相关领域的应 用和发展趋势。
简要介绍课程涉及的主要知识点和技 能点，以及它们在工程实践中的重要 性。
使杆件发生剪切变形，产生剪切应力。
弯矩定义
弯矩
在截面上弯曲方向上的外力矩，通常用M表示。
弯矩产生的条件
当物体受到与杆件轴线不平行的外力作用时，就会在杆件的横截面 上产生弯矩。
弯矩作用效果
使杆件发生弯曲变形，产生弯曲应力。
剪力与弯矩的关系
1
剪力和弯矩是相互关联的物理量，它们之间存在 一定的关系。在受力分析中，剪力和弯矩的确定 通常需要同时考虑。
01
探讨了剪力图和弯矩图在实际工程中的应用。
02
重点与难点解析
重点：剪力图和弯矩图的绘制方法。
03
本课程总结
• 难点：剪力图和弯矩图在实际工程中的应 用。
本课程总结
01
学习收获
02
掌握了剪力和弯矩的基本概念。
03
学会了如何绘制剪力图和弯矩图。 Nhomakorabea04了解了剪力图和弯矩图在实际工程中的应 用。
下一步学习计划
总结词
剪力图与弯矩图的特征
总结词
剪力图与弯矩图的绘制方法
详细描述
框架结构的剪力图和弯矩图呈现出更为复杂的分布形式， 包括节点区域的集中力和弯矩等。同时，框架结构的整体 稳定性也是剪力图和弯矩图分析的重要内容之一。
contents
目录
• 引言 • 剪力与弯矩的基本概念 • 剪力图与弯矩图的绘制方法 • 剪力图与弯矩图的实例分析 • 剪力图与弯矩图的应用 • 总结与展望
01
引言
课程背景
介绍《剪力图弯矩》PPT课件的背景 ，包括课程所属领域、相关领域的应 用和发展趋势。
简要介绍课程涉及的主要知识点和技 能点，以及它们在工程实践中的重要 性。
使杆件发生剪切变形，产生剪切应力。
弯矩定义
弯矩
在截面上弯曲方向上的外力矩，通常用M表示。
弯矩产生的条件
当物体受到与杆件轴线不平行的外力作用时，就会在杆件的横截面 上产生弯矩。
弯矩作用效果
使杆件发生弯曲变形，产生弯曲应力。
剪力与弯矩的关系
1
剪力和弯矩是相互关联的物理量，它们之间存在 一定的关系。在受力分析中，剪力和弯矩的确定 通常需要同时考虑。
01
探讨了剪力图和弯矩图在实际工程中的应用。
02
重点与难点解析
重点：剪力图和弯矩图的绘制方法。
03
本课程总结
• 难点：剪力图和弯矩图在实际工程中的应 用。
本课程总结
01
学习收获
02
掌握了剪力和弯矩的基本概念。
03
学会了如何绘制剪力图和弯矩图。 Nhomakorabea04了解了剪力图和弯矩图在实际工程中的应 用。
下一步学习计划
总结词
剪力图与弯矩图的特征
总结词
剪力图与弯矩图的绘制方法
详细描述
框架结构的剪力图和弯矩图呈现出更为复杂的分布形式， 包括节点区域的集中力和弯矩等。同时，框架结构的整体 稳定性也是剪力图和弯矩图分析的重要内容之一。
材料力学4-弯矩图剪力图 PPT课件
梁上最大弯矩可能发生在Fs(x) = 0 的截面上或梁段边界 的截面上。最大剪力发生在全梁或梁段的界面。
在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中力的 值。弯矩图的相应处形成尖角。
在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力 偶的值，但剪力图无变化。
矩就等于梁在各项荷载单独作用下同一 横截面上弯矩的代数和。
叠加原理：由几个外力共同作用时所引起的某一参数 （内力、应力、位移），就等于每个外力单独作用时 所引起的该参数值的代数和。
• 5.4 内力与分布荷载间的关系及其应用
剪力图上某点处的切线斜率 等于该点处荷载集度的大小
弯矩图上某点处的切线斜率 等于该点处剪力的大小。
q(x)、Fs (x)图、M（x）图三者间的关系
梁上有向下的均布荷载，即 q(x) < 0 Fs (x)图为一向右下方倾斜的 直线 M(x)图为一向下凸的二次抛 物线
• 5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图
一、剪力和弯矩方程： 剪力和弯矩沿梁长度方向的表达式，表示的是剪力和
弯矩沿轴线长度方向的分布情况
二、剪力图和弯矩图 以X轴表示横截面位置，以纵坐标表示相应截面
上的剪力Fs 、弯矩M，称为剪力图、弯矩图。 剪力图为正值画在x 轴上侧，负值画在x 轴下侧 弯矩图为正值画在x 轴下侧，负值画在x 轴上侧
作剪力图和弯矩图的几条规律
梁上集中力作用处左、右两侧横截面上，剪 力值（图）有突变，其突变值等于集中力的 数值。在此处弯矩图则形成一个尖角。
梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上 的弯矩值（图）也有突变，其突变值等于 集中力偶矩的数值。但在此处剪力图没有 变化。
作剪力图和弯矩图的几条规律
梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界 截面处；梁上的最大弯矩发生在全梁或各梁 段的边界截面，或Fs = 0的截面处。
剪力弯矩图习题课
复习与提问
★提问5条绘制剪力图和弯矩图的规律： • 在无荷载作用区，剪力图为一段平行于X轴的直
线，当剪力图为正时，弯矩图斜向右下方，当 剪力图为负时，弯矩图斜上右上方。 • 均布荷载作用下：荷载朝下方，剪力图往右降， 弯矩图凹向上。 • 集中力作用处，剪力图发生突变，突变的绝对 值等于该集中力值，弯矩图发生转折。 • 集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图发生 突变，突变的值等于该集中力偶。 • 在剪力为零的截面有弯矩的极值。
A截面 应力 分布图
C截面 应力 分布图
Amax
M A y2 Iz
C截面上部受压 ：
Cmax
MC y1 Iz
由于 MA y2 MC y1 ，最大压应力发生在A截面的下边缘
max
Amax
M A y2 Iz
69MPa
100MPa
压应力强度足够。
+ 7KN·m
DE 段内 FS=2KN>0 所以 M 为一上升斜直 线。由于 E 处为自由端，
又没有集中力偶作用， 故E处的弯矩 ME=0 。
全梁的 M 图见图示。
4KN·m +
7KN·m
8KN·m
2KN·m
例8-10 分析梁上荷载作用情况，试用规律做下图梁 的剪力图和弯矩图。
mo=16kN/m
ql2/8-mo/2 最终弯矩图
ql2/8
为了研究纯弯曲梁横截面上的正应力分布规律及计算， 要综合考虑变形的几何关系，物理关系及静力平衡关系。
二、几何方面
（由实验观察得如下现象：）
a.变形后，所有横向线仍保持 为直线，只是相对倾斜了一个 角度。
图 9-2
★提问5条绘制剪力图和弯矩图的规律： • 在无荷载作用区，剪力图为一段平行于X轴的直
线，当剪力图为正时，弯矩图斜向右下方，当 剪力图为负时，弯矩图斜上右上方。 • 均布荷载作用下：荷载朝下方，剪力图往右降， 弯矩图凹向上。 • 集中力作用处，剪力图发生突变，突变的绝对 值等于该集中力值，弯矩图发生转折。 • 集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图发生 突变，突变的值等于该集中力偶。 • 在剪力为零的截面有弯矩的极值。
A截面 应力 分布图
C截面 应力 分布图
Amax
M A y2 Iz
C截面上部受压 ：
Cmax
MC y1 Iz
由于 MA y2 MC y1 ，最大压应力发生在A截面的下边缘
max
Amax
M A y2 Iz
69MPa
100MPa
压应力强度足够。
+ 7KN·m
DE 段内 FS=2KN>0 所以 M 为一上升斜直 线。由于 E 处为自由端，
又没有集中力偶作用， 故E处的弯矩 ME=0 。
全梁的 M 图见图示。
4KN·m +
7KN·m
8KN·m
2KN·m
例8-10 分析梁上荷载作用情况，试用规律做下图梁 的剪力图和弯矩图。
mo=16kN/m
ql2/8-mo/2 最终弯矩图
ql2/8
为了研究纯弯曲梁横截面上的正应力分布规律及计算， 要综合考虑变形的几何关系，物理关系及静力平衡关系。
二、几何方面
（由实验观察得如下现象：）
a.变形后，所有横向线仍保持 为直线，只是相对倾斜了一个 角度。
图 9-2
剪力图和弯矩图例题弯矩图例题(共15张PPT)
3.作剪应力图和弯矩图
最大剪力发生在梁端，其值为
F 1ql 2 Qmax
最大弯矩发生在跨中，它的数值为Mmax
1 ql 2 8
例题3 简支梁受集中作用如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力
FAyFl b,FByFl a
2.列剪力方程和弯矩方程 AC段：
FQ(x)
FAy
Fb l
〔0<x<a 〕
• 口诀表述：剪力图 力偶荷载无影响。
•
弯矩图 力偶荷载有突变。
二、根据内力图规律做图
１.剪力图与荷载的关系
〔１〕在均布荷载作用段， FQ图是斜直线，倾斜方向与荷载指向相同
(2)无荷载作用区段，即q(x)=0，FQ图为平行x轴的直线。
(3)在集中力作用处，FQ图有突变，突变方向与外力一致，且突变的数值等于该集
例7 外伸梁如下图，试画出该梁的内力图。
m=3.6kNm
P＝3kN
x
AD
C
RA
a=0.6m a=0.6m
q=10kN/m
B E
2a=1。2m
RB
解：
〔1〕求梁的支座反力
由 mA0
P 5 aR3 am 1q2 a20
B
2
解得
R BP2q a R A5kN
由 Y 0
P R AR B 2 q a 0
解得
M(x)FAyxFl b (0≤x≤a)
CB段：
F Q(x)F Ay FF l bFF l a(a<x<l)
Fa M (x)F Ax yF (xa )l (lx)
(0≤x≤l)
3.作剪力图和弯矩图
Q图 M图
图三
剪力图和弯矩图(史上最全面)ppt课件
1.25 1
q=2kN/m
+
x
_
1
26
§4–5 按叠加原理作弯矩图
一、叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独
作用于结构而引起的内力的代数和。
Q(P1P2 Pn) Q1(P1) Q2(P2) Qn(Pn)
M (P1P2 Pn) M1(P1) M2(P2) Mn(Pn)
分区点A： Q qa; M qa2
M 的驻点： Q 0 ; M 3 qa2 2
x
右端点： Q 0; M 3 qa2 2
22
[例5] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。AB=BC=CD=a
q AB
RA qa Q qa/2
+ – qa/2
qa2 CD
RD
– qa/2
M
qa2/2
+
–
3qa2/8 qa2/2
1
第四章 弯曲内力
§4–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图 §4–2 梁的剪力和弯矩 §4–3 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图 §4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用 §4–5 按叠加原理作弯矩图 §4–6 平面刚架和曲杆的内力图
弯曲内力习题课
2
§4–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
求支反力qa2qa2qa2241练习直接画内力图p12944dj对称载荷m反对称载荷同时可以提前讲内力图的对称关系2改错见下页ppt3由q图作m图和载荷图p135416b由m图作q图和载荷图p135417a4讲解组合梁的内力图p13046aqa4qa43qa47qa4qa323qa已知q图求外载及m图梁上无集中力偶
qL 1
2q
解：截面法求内力。 1--1截面处截取的分离体
建筑力学弯矩图、剪力图课件
弯矩图与剪力图的应用场景
应用场景
弯矩图和剪力图广泛应用于建筑结构设计和 分析中。例如，在桥梁、高层建筑、大跨度 结构等的设计过程中，都需要利用弯矩图和 剪力图来评估结构的承载能力、稳定性以及 可能发生的变形和破坏。
实际应用
在实际应用中，结构工程师通常会根据结构 的形状、尺寸、材料特性以及所受外力等因 素，绘制出相应的弯矩图和剪力图。通过对 比和分析这些图，可以确定结构的薄弱环节 ，优化设计方案，提高结构的安全性和稳定
要点一
总结词
剪力图在工程中用于表示剪切应力分布情况。
要点二
详细描述
剪切应力是物体受到剪切力作用时产生的应力。剪力图通 过将剪切应力分布情况以图形的方式表示出来，帮助工程 师了解剪切应力对结构的影响，从而进行合理的结构设计 和优化。
实际工程案例的总结与启示
总结词
实际工程案例表明，弯矩图和剪力图在结构设计中具有 重要意义。
框架结构的剪力图
总结词
框架结构的剪力图较为复杂，需要综合考虑框架的各个部分 。
详细描述
框架结构的剪力图由多个杆件的剪力图组成，需要考虑框架 的整体平衡和稳定性。在绘制框架结构的剪力图时，需要先 分析框架的整体受力情况，然后分别绘制各个杆件的剪力图 ，并确保它们在连接点处协调一致。
弯矩图与剪力图的
位置的变化情况。
02
剪力图绘制原理
根据结构在不同截面处的剪力值，绘制出剪力图，用以表示剪力随截面
位置的变化情况。
03
弯矩图和剪力图的绘制步骤
先计算出各截面的弯矩和剪力值，然后按照一定的比例绘制出弯矩图和
剪力图。在绘制过程中，需要注意坐标轴的选择和单位统一。
弯矩图的绘制
03
简单梁的弯矩图
工程力学之剪力图与弯矩图(PPT46页)
Fy＝0， FP－FQC＝0
M C＝0，
M
＋
C
M
－
A
FP
l＝0
FQC＝ FP
M
＝
C
FP
l
结果均为正值表明所假设 的C截面上的剪力和弯矩的 正方向是正确的。
MA＝0 MO=2FPl
F
P
DB
3、应用截面法确定D截面 上的内力分量
F左P 部A本分l例梁C中，所如选果l 择以的C、研究D剪截对力面象假和以都设弯右是截矩部C开均、分横为梁D截正截作面方面为上向以平的。
根据2-2截面右侧的外力计算Q2 、 M2 Q2 =+(q·1.5)－RB =12·1.5－29 =－11kN
M2 =－(q·1.5)·1.5/2+RB·1.5 =－(12·1.5)·1.5/2+29·1.5 = 30 kN·m
Q3 M3
Q2 RA
RA qa 2a qa
a
qa 4 3qa
2
2
A
通的过外上力述相计平算衡可，以因看而出可，以截直Q面接4上通的过q内一a 力侧 与杆RB该段截上面的3一外q4侧力a 杆直上接
RA
求得截面Q上3 的内力.
M4
5qa2 4
★ 可以直接通过截面一侧杆段上的横向力的代数和直 接求得截面上的剪力，通过一侧杆段上横向力对截面 的力矩以及力偶之代数和求得截面上的弯矩
梁横截面推上导应弯力曲非应均力匀和分变布形，公式强；度失效最先从 应力最大点处建发立生弯。曲其强强度度和计刚算度不设计仅方要法考。虑内力最 大的“危险截面”，而且要考虑应力最大的“危险 点”
绝大多数细长梁的失效，主要与正应力有关， 剪应力的影响是次要的。
【全套】剪力图和弯矩图课件
一、弯曲的概念 1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
3
3. 工程实例
4
4. 对称弯曲：
横截面对称的杆件发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内。
P
q
P
1
2
M 纵向对 称面
非对称弯曲—— 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在对称面内，这种 弯曲则统称为非对称弯曲。
3. 支座简化
6
3. 支座简化 ①固定铰支座
2个约束，1个自由度。如：桥梁 下的固定支座，止推滚珠轴承等。
②可动铰支座 1个约束，2个自由度。
如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。
③固定端
3个约束，0个自由度。如：游泳池 XA
MA
的跳水板支座，木桩下端的支座等。 7
YA
4. 梁的三种基本形式 ①简支梁
Q2 q(x2 a L)
y
mB(Fi) 0 ,
qL
qLx2
M2
1 2
q(x2
a)2
0
M2
1 2
q(x2
a)2
qLx2
2q 1
1a
2b
x
图（a）
B M2
x2
Q2
图（c）
15
§4–3 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
Q Q(x) M M (x)
剪力方程 弯矩方程
2. 剪力图和弯矩图：
剪力图
Q Q(x) 的图线表示
弯矩图
M M (x) 的图线表示
16
3
3. 工程实例
4
4. 对称弯曲：
横截面对称的杆件发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内。
P
q
P
1
2
M 纵向对 称面
非对称弯曲—— 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在对称面内，这种 弯曲则统称为非对称弯曲。
3. 支座简化
6
3. 支座简化 ①固定铰支座
2个约束，1个自由度。如：桥梁 下的固定支座，止推滚珠轴承等。
②可动铰支座 1个约束，2个自由度。
如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。
③固定端
3个约束，0个自由度。如：游泳池 XA
MA
的跳水板支座，木桩下端的支座等。 7
YA
4. 梁的三种基本形式 ①简支梁
Q2 q(x2 a L)
y
mB(Fi) 0 ,
qL
qLx2
M2
1 2
q(x2
a)2
0
M2
1 2
q(x2
a)2
qLx2
2q 1
1a
2b
x
图（a）
B M2
x2
Q2
图（c）
15
§4–3 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
Q Q(x) M M (x)
剪力方程 弯矩方程
2. 剪力图和弯矩图：
剪力图
Q Q(x) 的图线表示
弯矩图
M M (x) 的图线表示
16
剪力图和弯矩图-课件(PPT-精)
02 剪力图和弯矩图的绘制
绘制步骤
确定受力点
首先确定梁的受力点，通常为 梁的两端或支撑点。
分析受力
分析梁所受的剪力和弯矩，确 定剪力和弯矩的大小和方向。
绘制剪力图和弯矩图
根据分析结果，在梁上标出剪 力和弯矩的大小和方向，并绘 制剪力图和弯矩图。
标注数据
在剪力图和弯矩图上标注相关 数据，如剪力和弯矩的大小、
3
优化施工图设计
通过分析剪力图和弯矩图，可以发现施工图设计 中的不足之处，并进行优化改进，提高施工图设 计的合理性和可行性。
在施工过程中的应用
监控施工过程
在施工过程中，通过实时监测剪 力图和弯矩图的动态变化，可以 及时发现施工中的问题，采取相
应的措施进行调整和处理。
评估施工效果
根据剪力图和弯矩图的监测结果， 可以对施工效果进行评估，判断 施工是否符合设计要求和质量标
计算公式
剪力Q=F*sin(a)，其中F为外力，a为 外力与杆件轴线的夹角；弯矩M=F*d， 其中F为外力，d为外力作用点到杆件 固定端的距离。
计算步骤
注意事项
在计算过程中应注意单位的统一，并 考虑杆件的固定端约束条件。
先确定杆件上各点的外力大小和方向， 然后根据公式计算各点的剪力和弯矩， 最后绘制剪力图和弯矩图。
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实例3
一斜梁在水平载荷作用下的剪力图 和弯矩图解读。
04 剪力图和弯矩图的应用
在结构设计中的应用
评估结构的承载能力
通过分析剪力图和弯矩图，可以确定结构在不同受力情况下的承 载能力，从而确保结构的安全性和稳定性。
优化结构设计
通过调整剪力图和弯矩图的分布和大小，可以优化结构设计，降低 材料消耗，提高结构的经济性和环保性。
剪力图和弯矩图 ppt课件
-
x
l/2
29
求剪力和弯矩的简便方法
◆ 横截面上的 剪力 在数值上等于此横截面的 左侧 或 右 侧 梁段上所有竖向 外力（包括斜向外力的竖向分力）的 代数和 。外力正负号的规定与剪力正负号的规定相同。
剪力符号：当截面上的剪力使考虑的脱离体有顺时针转动 趋势时的剪力为正；反之为负。
ppt课件
30
◆ 横截面上的 弯矩 在数值上等于此横截面的 左侧 或 右侧 梁 段上的 外力（包括外力偶）对该截面形心的力矩之代数和 。外 力矩的正负号规定与弯矩的正负号规定相同。
C
x
A
xm
M
ppt课件
B
4
取右段梁为研究对象。 其剪力的指向和弯矩
y
FA
m FS
C
x
A
xm
M
的转向则与取右段梁为
P
FB
研究对象所示相反。
m
M
FS m
B
ppt课件
5
2、FS 和 M 的正负号的规定 （1）剪力 FS 的符号
剪力 FS 使 梁的微段发生 “ 左上右下 ” 的错动为 正。 或使 考虑的脱离体有顺时针转动趋势的剪力为正。
ppt课件
11
绘剪力图和弯矩图的基本方法：首先分别写出梁 的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们作图。
Fs(x)
o
x
o
x
Fs 图的坐标系
M(x)
M 图的坐标系
不论在截面的 左侧 或 右侧 向上的外力均将引起
正值 的弯矩，而向下 的外力则引起 负值 的弯矩。
ppt课件
12
例题：图示简支梁 ，在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用。 试作此梁的剪力图和弯矩图。
【正式版】轴力剪力弯矩图PPT
例：作图示刚架的轴力图、剪力图、弯矩图。
例：作图示刚架的轴力图、剪力图、弯矩图。
例：作图示刚架的弯矩图。
例：作图示刚架的轴力图、剪力图、弯矩图。
qa
Q图
qa
N图 2qa
qa2 / 2 M图 qa 2
qa 2 C2L7TU18
例：作图示刚架的弯矩图。
q
例：作图示刚架的弯矩图。
a 例：作图示刚架的弯矩图。
感谢观看
例：作图示刚架的弯矩图。
a
例：作图示刚架的轴力图、剪力图、弯矩图。
例：作图示刚架的弯矩图。
例：作图示刚架的弯矩图。
例：作图示刚架的轴力图、剪力图、弯矩图。
例：作图示刚架的弯矩图。
例：作图示刚架的弯矩图。
例：作图示刚架的弯矩图。
例：作图示刚架的轴力图、剪力图、弯矩图。
例：作图示刚架的轴力图、剪力图、弯矩图。
例：作图示刚架的弯矩图。
例：作图示刚架的弯矩图。
例：作图示刚架的弯矩图。
例：作图示刚架的轴力图、剪力图、弯矩图。
例：作图示刚架的弯矩图。
qa
2a
4
qa
qa
qa 2 2
qa 4
qa 2 qa 2
2
2
qa 2 2
M图
CL7TU19
例：作图示刚架的弯矩图。
Pa
P
a
Pa
a
P
M图
P P
CL7TU20
例：作图示刚架的弯矩图。 qa 2
qa 2 2
a
2
qa
qa
2
qa
qa 2
M图
CL7TU21
例：图示曲杆，其轴线为圆形，写出其轴 力、剪力和弯矩方程式，并作弯矩图。
03剪力图和弯矩图-课件(PPT-精)
x
内力偶 M 称为 弯矩
y
FA
m FS
C
x
A
xm
M
结论
a
P
m
梁在弯曲变形时，
横截面上的内力有
A
B
两个，即，
m x
剪力 FS 弯矩 M
y
FA
m FS
C
x
A
xm
M
取右段梁为研究对象。 其上剪力的指向和弯矩
y
FA
m FS
C
x
A
xm
M
的转向则与取右段梁为
P
FB
研究对象所示相反。
m
M
FS m
B
2、FS 和 M 的正负号的规定 （1）剪力 FS 的符号
二、列剪力方程和弯矩方程 ，画剪力图和弯矩图
①梁的不同截面上的内力是不同的，即剪力和弯矩是随截面的 位置而变化。 ② 为了便于形象的看到内力的变化规律，通常是将剪力和弯矩 沿梁长的变化情况用图形来表示—剪力图和弯矩图。 ③剪力图和弯矩图都是函数图形，其横坐标表示梁的截面位置， 纵坐标表示相应的剪力和弯矩。 ④剪力图和弯矩图的画法是：先列出剪力和弯矩随截面位置变 化的函数式，再由函数式画出函数图形。
1、用截面法求横截面上的内力
a
P
m
A
B
m x
用截面法假想地在 横截面mm处把梁分
a
P
m
为两段，先分析梁左段。 A
B
m
由平衡方程得
x
y 0 FAFS 0 可得 FS = FA
FS 称为 剪力
y
FA
m
C
A
xm
FS x
由平衡方程
03剪力图和弯矩图-课件
B
C
x x
l
CB段：
FsxPlbPPla (axl) MxFB(lx)PlbxP(xa)Pla(lx)
(axl)
F
S ( x1)
Pb l
FS(x2)
Pa l
P
FA a
b
FB
A
B
C
x1 x2
l
Pb/l
+
-
Pa/l
M(x1)Pl bx1
M(x2)Pl a(lx2)
P
第9章 弯 曲
§9-1 剪力和弯矩 •剪力图和弯矩图 §9-2 剪力图和弯矩图的进一步研究 §9-3 弯曲正应力 §9-4 求惯性矩的平行移轴公式 §9-5 弯曲切应力
§9-6 梁的强度条件 §9-7 挠度和转角 §9-8 弯曲应变能 §9-9 斜弯曲 §9-10 超静定梁
材料力学发展大事记 —梁的弯曲问题
q
x l
q
FS
M x
根据研究对象的平衡条件列剪力方程和弯矩方程
FS(x)qx (0xl) M(x)1qx2 (0xl)
2
括号里的不等式说明对应的内力方程所使用的区段。
FS(x)qx (0xl) M(x)1qx2 (0xl)
2
剪力图为一斜直线
FS (0) 0 FS (l) ql
FA
P
a
b
FB
A
B
C
l
解：求梁的支反力
FA
Pb l
FB
Pa l
FA
P
FB
a
b
A
B
C
l
因为 AC 段和 CB 段的内力方程不同，所以必须分段写 剪力方程和弯矩方程。
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Q D 左 34 7K N
D 处有向上支座反力 RD 作用，剪力图在 D 处 有突变，突变值就是 RD=9KN 。D右 处的剪力 为：
Q D 右 792K N
DE 段内无荷载作用， 剪力图为一水平线，从 D右 一直延伸到 E左 。
在 E 处有集中力 P2 向下作用，Q 图又回到零。
全梁的 Q 图见图示。
拉应力强度足够。
2．压应力强度校核
A截面下部受压 ：
A截面 应力 分布图
C截面 应力 分布图
Amax
MA y2 Iz
C截面上部受压 ：
Cmax
MC y1 Iz
由于 M Ay2M Cy1，最大压应力发生在A截面的下边缘
m a x A m a x M I A z y 2 6 9 M P a 1 0 0 M P a
D截面 y
7.25
压拉
15.75
10
END
压应力强度足够。
• 例9A11 铸铁梁的截面为T字形，其容许拉应力 [σt]=40MPa，容许压应力[σc]=100MPa，试校核梁 的正应力强度。若梁的截面倒置，情况又如何?
q=10kN/m
A
C
2m
3m
Q) 20kN
M)
20kN·m
D P=20kN x B
1m
10 A截面
30 200mm
200 yc 30
d Rd 2a
答： Q图 qa
qa
qa
M图
M
例8-11 试用叠加法作梁的弯矩图。
mo
q
mo
A
B
A
q
BA
B
mo
mo/2
mo
mo/2
ql2/8 mo
ql2/8-mo/2 最终弯矩图
ql2/8
为了研究纯弯曲梁横截面上的正应力分布规律及计算， 要综合考虑变形的几何关系，物理关系及静力平衡关系。
二、几何方面
A截面 应力 分布图
A截面为负弯矩，上部受拉
Amax
MA Iz
y1
C截面 应力
C截面为正弯矩，下部受拉
分布图
Cmax
MC Iz
y2
由于 M Cy2M Ay1，最大拉应力发生在C截面下边缘
m a x C m a x M I C z y 2 3 4 .5 M P a 4 0 M P a
yc3013700187503300220000185 139mm
(三)截面对中性轴的惯性矩
Iz2 0 0 1 2 3 0 32 0 0 3 0 4 6 23 0 1 1 2 7 0 33 0 1 7 0 5 4 2 4 0 .3 1 0 6m 4
（四）校核梁的强度（绘出应力分布图） 1.拉应力强度校核
全梁的 M 图见图示。
4KN·m +
7KN·m
8KN·m
2KN·m
例8-10 利用q,Q,M之间的微分关系，作图示梁的 剪力图和弯矩图。
mo=16kN/m
A RA=5.5kN
C 2m
q=2kN/m
P2=2kN
E
D
B RD=12.5kN
6m
2m
5.5kN
Q)
+
2.75m
6kN + 2kN
- 6.5kN
（三）作弯矩图
由于A 为铰支座， 又没有集中力偶作用， 所以 MA=0 ；弯矩从零 开始在 AB 段内 Q=7KN>0 ，所以 M 为 一上升斜直线。
B、A 两截面的弯矩
之差即为剪力图（ AB 段）
的面积。
+
即 M B M A 7 1 7 K N m7KN·m
DE 段内 Q=2KN>0 ，所以 M 为 一上升斜直线。由于 E 处为自由端，又没有集 中力偶作用，故E处的 弯矩 ME=0 。
（由实验观察得如下现象：）
a.变形后，所有横向线仍保持 为直线，只是相对倾斜了一个 角度。
图 9-2
b. 变形后，所有纵向线变成 曲线，仍保持平行;上、下部 分的纵向线分别缩短和伸长 。
根据上述现象，设想梁内部的变形与外表观察到的现象 相一致，可提出如下假设： a. 平面假设：变形前横截面是平面，变形后仍是平面，只是 转过一个角度，仍垂直于变形后梁的轴线。 b. 中性层假设：梁内存在一个纵向层，在变形时，该层的纵 向纤维即不伸长也不缩短，称为中性轴。
（二）作剪力图
由梁 A 端开始。
由于 A 处有向上支座 反力 RA=7KN ，Q 图由零 向上突变，突变值为 RA=7KN 。
由于 AB 段内无分布荷 载，所以 AB 段的剪力图为 一水平直线，并从 A 点一直 延伸到 B 点稍偏左截面处。
由于 B 处有向下集中 力 P1 的作用，Q 图上向下 有一突变，突变值为 P1=10KN ，所以 B 右段面的 剪力值为：
Q B 右 71 0 3K N
BC 段内无分布荷载， 所以 BC 段的剪力图为一 水平线，并从 B右 一直延 伸到 C 点。
由于 CD 段有 向下的均布荷载作 用，即 q(x)=2KN/m（常数）， 所以该段 Q 图为 一下降的斜直线。
C、D 两截面 的剪力之差等于荷 载在该段之和，即 -2×2=-4KN ，所以 D左 截面的剪力值 为：
图 9-3
例1：有一外伸梁受力情况如图所示，截面采用T型截面，已
知材料的容许拉应力为 试校核梁的强度。
40MPa,容许压应力
100MPa
Z
20kN·m
10kN·m
弯矩图
解（一）作梁的弯矩图如图 最大正弯矩
M c10K N .m
最大负弯矩
M A20K N .m
A截面 C截面 z
压拉
（二）确定中性轴的位置 截面形心距底边
5kN ·m M)
+
8kN ·m -
+ 2.56kN ·m
11kN ·m
例8C1 作图示梁的内力图
20kN 40kN·m
c
a
1 Ra
4m
10kN/m
b Rb
答： Q图 (kN)
15 20
M图 (kN·m)
M
20 20
X=2.5m 25
31.25
例8C2 画内力图
qa2
baΒιβλιοθήκη cRa a Rb 2a
q
D 处有向上支座反力 RD 作用，剪力图在 D 处 有突变，突变值就是 RD=9KN 。D右 处的剪力 为：
Q D 右 792K N
DE 段内无荷载作用， 剪力图为一水平线，从 D右 一直延伸到 E左 。
在 E 处有集中力 P2 向下作用，Q 图又回到零。
全梁的 Q 图见图示。
拉应力强度足够。
2．压应力强度校核
A截面下部受压 ：
A截面 应力 分布图
C截面 应力 分布图
Amax
MA y2 Iz
C截面上部受压 ：
Cmax
MC y1 Iz
由于 M Ay2M Cy1，最大压应力发生在A截面的下边缘
m a x A m a x M I A z y 2 6 9 M P a 1 0 0 M P a
D截面 y
7.25
压拉
15.75
10
END
压应力强度足够。
• 例9A11 铸铁梁的截面为T字形，其容许拉应力 [σt]=40MPa，容许压应力[σc]=100MPa，试校核梁 的正应力强度。若梁的截面倒置，情况又如何?
q=10kN/m
A
C
2m
3m
Q) 20kN
M)
20kN·m
D P=20kN x B
1m
10 A截面
30 200mm
200 yc 30
d Rd 2a
答： Q图 qa
qa
qa
M图
M
例8-11 试用叠加法作梁的弯矩图。
mo
q
mo
A
B
A
q
BA
B
mo
mo/2
mo
mo/2
ql2/8 mo
ql2/8-mo/2 最终弯矩图
ql2/8
为了研究纯弯曲梁横截面上的正应力分布规律及计算， 要综合考虑变形的几何关系，物理关系及静力平衡关系。
二、几何方面
A截面 应力 分布图
A截面为负弯矩，上部受拉
Amax
MA Iz
y1
C截面 应力
C截面为正弯矩，下部受拉
分布图
Cmax
MC Iz
y2
由于 M Cy2M Ay1，最大拉应力发生在C截面下边缘
m a x C m a x M I C z y 2 3 4 .5 M P a 4 0 M P a
yc3013700187503300220000185 139mm
(三)截面对中性轴的惯性矩
Iz2 0 0 1 2 3 0 32 0 0 3 0 4 6 23 0 1 1 2 7 0 33 0 1 7 0 5 4 2 4 0 .3 1 0 6m 4
（四）校核梁的强度（绘出应力分布图） 1.拉应力强度校核
全梁的 M 图见图示。
4KN·m +
7KN·m
8KN·m
2KN·m
例8-10 利用q,Q,M之间的微分关系，作图示梁的 剪力图和弯矩图。
mo=16kN/m
A RA=5.5kN
C 2m
q=2kN/m
P2=2kN
E
D
B RD=12.5kN
6m
2m
5.5kN
Q)
+
2.75m
6kN + 2kN
- 6.5kN
（三）作弯矩图
由于A 为铰支座， 又没有集中力偶作用， 所以 MA=0 ；弯矩从零 开始在 AB 段内 Q=7KN>0 ，所以 M 为 一上升斜直线。
B、A 两截面的弯矩
之差即为剪力图（ AB 段）
的面积。
+
即 M B M A 7 1 7 K N m7KN·m
DE 段内 Q=2KN>0 ，所以 M 为 一上升斜直线。由于 E 处为自由端，又没有集 中力偶作用，故E处的 弯矩 ME=0 。
（由实验观察得如下现象：）
a.变形后，所有横向线仍保持 为直线，只是相对倾斜了一个 角度。
图 9-2
b. 变形后，所有纵向线变成 曲线，仍保持平行;上、下部 分的纵向线分别缩短和伸长 。
根据上述现象，设想梁内部的变形与外表观察到的现象 相一致，可提出如下假设： a. 平面假设：变形前横截面是平面，变形后仍是平面，只是 转过一个角度，仍垂直于变形后梁的轴线。 b. 中性层假设：梁内存在一个纵向层，在变形时，该层的纵 向纤维即不伸长也不缩短，称为中性轴。
（二）作剪力图
由梁 A 端开始。
由于 A 处有向上支座 反力 RA=7KN ，Q 图由零 向上突变，突变值为 RA=7KN 。
由于 AB 段内无分布荷 载，所以 AB 段的剪力图为 一水平直线，并从 A 点一直 延伸到 B 点稍偏左截面处。
由于 B 处有向下集中 力 P1 的作用，Q 图上向下 有一突变，突变值为 P1=10KN ，所以 B 右段面的 剪力值为：
Q B 右 71 0 3K N
BC 段内无分布荷载， 所以 BC 段的剪力图为一 水平线，并从 B右 一直延 伸到 C 点。
由于 CD 段有 向下的均布荷载作 用，即 q(x)=2KN/m（常数）， 所以该段 Q 图为 一下降的斜直线。
C、D 两截面 的剪力之差等于荷 载在该段之和，即 -2×2=-4KN ，所以 D左 截面的剪力值 为：
图 9-3
例1：有一外伸梁受力情况如图所示，截面采用T型截面，已
知材料的容许拉应力为 试校核梁的强度。
40MPa,容许压应力
100MPa
Z
20kN·m
10kN·m
弯矩图
解（一）作梁的弯矩图如图 最大正弯矩
M c10K N .m
最大负弯矩
M A20K N .m
A截面 C截面 z
压拉
（二）确定中性轴的位置 截面形心距底边
5kN ·m M)
+
8kN ·m -
+ 2.56kN ·m
11kN ·m
例8C1 作图示梁的内力图
20kN 40kN·m
c
a
1 Ra
4m
10kN/m
b Rb
答： Q图 (kN)
15 20
M图 (kN·m)
M
20 20
X=2.5m 25
31.25
例8C2 画内力图
qa2
baΒιβλιοθήκη cRa a Rb 2a
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