中国邮路问题的一个解法

w ( e) Φ
) e ∈ E(μ \ E 1
∑
w ( e) .
第 3 期 吴振奎 ,等 : 中国邮路问题的一个解法
( 2) 依据上面准则 1 , 准则 2 判优改进 , 调整 , 直至最优 .
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为方便计 , 下面称网络中的最优邮路为中国邮路 .
2 一个解法
处理中国邮路问题传统方法一上来并不考虑与奇点相关联的边的权数大小 , 因而添加重边消灭奇点 时多少带有盲目性 . 我们的方法正是针砭此弊 , 试图充分利用已给信息 , 尽可能地将初始方案做得好一些 ( 宛如运输问题 中的最小元素法或 Vogel 法和西北角法相较) , 以减少调整麻烦 , 其中关键是利用网络最小树理念 . 下面给出 "中国邮路问题" 初始方案的一种解法 : ( 1) 奇点处作出标记如加 3 " " ○ ; " " 或 ( 2) 求该网络最小树 ( 用避圈法或破圈法 , 且尽可能多保留与奇点相连的边) ; ( 3) 在最小树上的奇点处添加重复边 , 以消灭奇点 ; ( 4) 回到原问题 , 且按判优准则检验和调整 , 直至最优 .
∑
其中记号 Ⅰ 表示二集之通 , 记号 \ 表示二集相减 . 当然实际操作时 , 人们常采用下面判优的准则[ 3 ] : 准则 1 最优解中重边的重数不多于 2 ; 准则 2 最优解中每个初等圈中 , 重边总权数不大于该圈总权数的一半 . 这样 , 人们在求解中国邮路问题时 , 一般遵循下面步骤 : ( 1) 适当添加重边 , 以消灭奇点 ;
至此已给出最优邮路方案 .
4 缀言
通过上面的例子可以清楚地看到 :由于我们借助了最小树理念 , 使得我们在处理中国邮路问题时 , 已 充分考虑原有网络的信息 , 这样在添加重边 , 消灭奇点过程便有的放矢 , 避免盲目 . 诚然 , 这儿的办法仍仅是给出问题的初始方案 , 要判断其是否最优 , 仍需检验 .而邮路问题的困难之 处 , 正是检验工作的繁纷 , 且至今仍未能给出有效而简单的检验方法 .其实我们有时不必逐一去检验全部 有效的圈 ( 这些工作我们将另文给出) , 如此一来我们的工作还有些意义 , 至少它可以给出接近最优解的初 始解 . [ 2 ] 曾介绍 ,1973 年 J . Edmonds 和 E. L . Johnson 利用边无关集给出解中国邮路问题的更有效方法 [ 4 ] . 参考文献 :
Abstract : In t he paper ,a solution met hod of t he Chinese post man problem is given. Though still an initial formation of t he problem. ton circle scheme , at least t his scheme shortens t he distance wit h t he optimum solution for of considering sufficient in2 Key words :operational research ; Chinese post man problem ; optimum set ; minimum t ree ; odd point ; Hamil2
第 13 卷 3 期 第 2004 年 6 月
运 筹 与 理 管
OPERA TIONS RESEARCH AND MANA GEMEN T SCIENCE
Vol. 13 ,No. 3 J un. 2004
中国邮路问题的一个解法
吴振奎 , 王全文 , 刘振航
( 天津商学院 基础课教学部 ,天津 300134)
A Solution Metho d of the Chine se Po stman Pro blem
Wu Zhen2kui , Wang Quan2wen , Liu Zhen2hang
μ e∈
e ∈E 1 ) e ∈ E Ⅰ E(μ 1
( Depart ment of B asic Cou rses Ed ucation , Tianji n U ni versity of Com merce , Tianji n 300134 , Chi na )
收稿日期 :2003209209 作者简介 : 吴振奎 (19442) ,男 ,回族 ,河北沧洲人 ,教授 ,硕士 ,主要从事运筹学及数学方法研究 .
1 问题
"中国邮路问题" 是我国管梅谷教授率先提出并研究的一种图的极值问题[ 1 ] , 国际上称之为 "中国邮 ( 递员问题"Chinese Post man Problem) ,问题是这样叙述的 : 给定一个连通图 G = ( V , E) , 其中边 e 上分别赋权 w ( e) ( 非负) 构成一个网络 .今求 G 的一个圈μ ( 不一定是简单的) , 过每边至少一次且 μ 的总权数 ∑ ( e) 最小 [ 2 ] . w 若 G 不含奇点 , 则其有欧拉通路 ( 圈) , 问题直接获解 . 若 G 含奇点 , 则需添加重边 , 一是使奇点消灭构成新圈 μ , 二是使 μ 总权数最小 .显然此时等价于 ′ ′ 添加重边集 E1 Α E 的总权数 ∑ w ( e) 最小 .这种总权数最小的添加边集 E1 称为最优集 . 为此管梅谷先生于 1960 年给出下面判定定理 [ 2 ] : 定理 可行集 E1 是最优集 Ζ 对每个 ( 初等) 圈 μ 皆有
3 例证
下面我们通过几个例子 , 稍加证明 例1 求下面网络的最优邮路 ( 中国邮路) .
解 ( 1) 先在网络奇点处打上 ○ ( 下图 ( 1) ) " " ( 2) 求该网络最小树 ( 下图 ( 2) )
( 3) 在最小树上添加重复边 , 以消灭奇Baidu Nhomakorabea .
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运 筹 与 管 理 2004 年第 13 卷
[ 1 ] 管梅谷 . 奇偶点图上作业法 [J ] . 数学学报 ,1960 ,10 :2632266.
[ 2 ] 田丰 ,马仲蕃 . 图与网络流理论 [ M ] . 北京 : 科学出版社 ,1987. [ 3 ] 吴振奎 ,刘舒强 . 运筹学概论 [ M ] . 第二版 . 北京 : 中国经济出版社 ,2000. [ 4 ] Edmonds J , Johnson E L . Matching , Eulertouss and Chinese post man[J ] . Mat h. Programming , 1973 ,5 :882124.
摘 :本文给出中国邮路问题的一个解法 .虽然它仍只是初始方案 ,但因考虑了问题的足够信息 ,因而这种方 要 案至少拉近了与最优解的距离 . 关键词 : 运筹学 ; 中国邮路问题 ; 最优集 ; 最小树 ; 奇点 ; 哈密顿圈 中图分类号 :O22 文章标识码 :A 文章编号 :100723221 ( 2004) 0320044204
经检验 , 此已是最优解 . 与传统解法相较 , 优势自不待言 . 例2 求下面网络的最优邮路 .
解 按前述步骤分别有 :
经检验 , 此方案已是最优 . 例3 求下面网络的最优邮路 .
解 按下述步骤运作 :
第 3 期 吴振奎 ,等 : 中国邮路问题的一个解法
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