2019年高考数学一轮复习专题1.1集合的概念及其基本运算(练)理

第01节集合的概念及其基本运算
A基础巩固训练
1．【2018湖北5月押题】设集合，，则下列结论正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【名师点睛】集合的基本运算的关注点
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
2．【2018浙江5月考试】已知集合，，若，则
A． B． C．
D．
【答案】B
【解析】分析：由可得是方程的两根，再根据韦达定理列方程求解即可．
详解：，
由，可得是方程得两根，
由韦达定理可得，即，故选B．
【名师点睛】集合的基本运算的关注点：
（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；
（3）注意划归思想的应用，常常转化为方程问题以及不等式问题求解．
3．【2018云南玉溪一模】已知集合，，
则的元素个数为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【名师点睛】本题考查了两个集合的交点个数问题，主要注意两个集合都为点集，所以交集的个数也就是两个方程的解的个数，因此可以通过方程思想来解，属于简单题．
4．【2018三明一中模拟】设集合，，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分析：化简集合，根据交集的定义计算．
详解：因为集合，
化简，
所以，故选D．
【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合．
5．【2018浙江台州模拟】设全集是实数集，或，，则
（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分析：首先解一元二次不等式，求得集合N，应用补集的定义求得集合M，再结合交集定义求得
，从而求得结果．
详解：由于，所以，，所以
，故选C．
【名师点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，需要明确集合的运算法则，注意对应集合中元素的特征，从而求得结果．
B能力提升训练
1．【2018安庆一中模拟】已知全集，集合，，则下图中阴影部分所表示的集合为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分析：求出函数的值域可得集合，解不等式可得集合，然后可求出
．
详解：由题意得，．
∴．图中阴影部分所表示的集合为，∴．故选B．
【名师点睛】本题考查函数值域的求法、不等式的解法和集合的运算，解答的关键是正确理解图中阴影部分所表示的集合的含义．
2．【2018河北衡水押题】已知集合，，则（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分析：首先根据分式不等式的解法以及指数不等式，化简集合A，B，之后根据交集的定义写出．
详解：集合，，则
，故选B．
【名师点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，在解题的过程中，需要先将集合中的元素确定，之后再根据集合的交集中元素的特征，求得结果．
3．【2018河南押题】已知集合，，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分析：由题意首先求得集合Q 和集合，然后进行交集运算即可求得最终结果． 详解：因为，， 所以
．即
．
本题选择C 选项．
【名师点睛】本题主要考查集合的交并补混合运算及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力． 4．【2018广东江门一模】已知
，
，若
，则实数
的取值范围是 ． 【答案】
【名师点睛】解答本题注意两点：一是弄清两个集合的含义，二是要借助数形结合的方法解决问题．解题时将两集合间的包含关系转化为圆与直线相离或相切处理，然后根据圆心到直线的距离大于或等于半径来解决．
5．【2018内蒙古呼和浩特一模】已知集合
，集合
，集合
，
若A B C ⋃⊆，则实数m 的取值范围是______________． 【答案】1,12⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【解析】由题意， {|12}A B x x ⋃=-＜＜ ，
∵集合{|1
0}C x mx A B C =+⋃⊆＞， ， ①111102022
m x m m m m -
∴-≥∴≥-∴-≤＜，＜，，，＜； ②m 0= 时，成立；
③1101101m x m m m m -
∴-≤-∴≤∴≤＞，＞，，，＜， 综上所述， 112m -≤≤， 故答案为1
12
m -≤≤．
C 思维拓展训练 1．【2018郑州模拟】已知全集，集合
，
，
则
中元素的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】D
【名师点睛】集合的基本运算的关注点
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 2．【2018重庆二诊】设集合()()(){
}
22
,|3sin 3cos 1,A x y x y R ααα=
+++=∈，
(){},|34100B x y x y =++=，记P A B =⋂，则点集P 所表示的轨迹长度为（ ）
A ．．．．【答案】D
【解析】由题意得圆()()2
2
3sin 3cos 1x y αα+++=的圆心()3sin ,3cos αα--在圆229x y +=上，当α变
化时，该圆绕着原点转动，集合A 表示的区域是如图所示的环形区域．
由于原点()0,0到直线34100x y ++=的距离为
2d ==，所以直线34100x y ++=恰好与圆环
的小圆相切．
所以P A B =⋂表示的是直线34100x y ++=截圆环的大圆2216x y +=所得的弦长．
故点集P 所表示的轨迹长度为=D ．
【名师点睛】解答本题的关键是正确理解题意，弄懂集合A 和P A B =⋂的含义，然后将问题转化为求圆的弦长的问题处理，在圆中求弦长时要用到由半径、弦心距和半弦长构成的直角三角形，然后利用勾股定理求解．
3．【2018福建莆田模拟】设非空集合
满足：当
时，有
．给出如下三个命题：①
若，则； ②若，则；③若，则．其中正确命题的个数是
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】D
【解析】分析：先根据非空集合满足：当
时，有
得到
且
，然后对三
个命题一一进行验证即可． 详解：由定义设非空集合，
满足
时，有
知，符合定义的参数的值，
一定大于等于或小于等于，惟如此才能保证时，
有
即
，符合条件的的值一定大于等于，小于等于，
惟如此才能保证打时，有即
，正对各个命题进行判断： 对于①
，故必有
，可得
；
②，则，解之可得，
对于③，若，则，解之得，
正确命题有个，故选D ．
【名师点睛】本题主要考查元素与集合、不等式的解法以及转化与划归思想的应用，属于难题．转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点．以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中．本题中，将集合问题转化为不等式问题是解题的根据．
4．【2018上海普陀二模】设集合1|,2x
M y y x R ⎧⎫⎪⎪⎛⎫
==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
，
()()()1|1112,121N y y x m x x m ⎧⎫⎛⎫
==+-+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭
，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是
_________． 【答案】()1,0-
【解析】 1|,2x
M y y x R ⎧⎫⎪⎪⎛⎫
==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
()0,=+∞， N M ⊆，
()()()111121y x m x m ⎛⎫∴=+-+-- ⎪-⎝⎭在[]1,2 上恒为正，设()111f x m ⎛⎫
=+ ⎪-⎝⎭
()()()112x m x -+--，则()()10
{ 20f f >>，即10
{ 1
10
1
m m ->+>-，得11
{ 1,0m m m -<<><，即10m -<<，实数m 的取值范围是()1,0-，故答案为()1,0-．
5．【2018河北邯郸一模】已知集合1
{|}2
M x x =≥-， 32
{|310}A x M x x a =∈-+-=，
{|20}B x M x a =∈--=，若集合A B ⋃的子集的个数为8，则a 的取值范围为__________．
【答案】51,11,28⎡⎫⎛
⎫-
-⋃-⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝
⎭
【名师点睛】
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．。