(新课标)高考数学大一轮复习第四章三角函数题组19文
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版强基版)：三角函数
所以π2＋kπ<α2<34π＋kπ，k∈Z，
则α2是第二或第四象限角，
又cos
α2＝－cos
α2，即
cos
α2<0，
所以α2是第二象限角.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.(2022·天津模拟)已知扇形的周长为15 cm，圆心角为3 rad，则此扇形
将
f(x)
的
图
象
向
左
平
移
π 3
个
单
位
长
度
得
g(x) ＝ 2sin 2x＋π3－π3 ＝
2sin2x＋π3的图象， 向右平移 φ(φ>0)个单位长度得 h(x)＝2sin2x－φ－π3＝2sin2x－2φ－π3 的图象，
由题意得 －2φ－π3＋2kπ＝π3(k∈Z)， 所以 φ＝kπ－π3(k∈Z)，又 φ>0，故 φ 的最小值为23π.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
f(x)－g(x)＝cos 2x＋sin 2x＝ 2sin2x＋π4，最小正周期为 T＝22π＝π， 选项 C 错误； f(x)－g(x)＝ 2sin2x＋π4，令π2＋2kπ≤2x＋π4≤32π＋2kπ(k∈Z)， 解得π8＋kπ≤x≤58π＋kπ，k∈Z，当 k＝0 时，π8≤x≤58π， 所以 f(x)－g(x)在(0，π)上的单调递减区间是π8，58π，选项 D 正确.
第四章 三角函数与解三角形
必刷小题7 三角函数
一、单项选择题
1.(2023·杭州模拟)设
α
是第三象限角，且cos
α2＝－cos α2，则α2的终边
【新课标】2019届高考数学大一轮复习试题：第四章_三角函数题组23_含解析
题组层级快练(二十三)1．函数f(x)＝(1＋cos2x)sin 2x 是( ) A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数答案 D解析 f(x)＝(1＋cos2x)sin 2x ＝2cos 2xsin 2x ＝12sin 22x ＝1－cos4x 4，则T ＝2π4＝π2且为偶函数．2．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)答案 A解析 对于选项A ，注意到y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x 的周期为π，且在[π4，π2]上是减函数，故选A. 3．函数y ＝2sin(π6－2x)(x ∈[0，π])的增区间是( )A ．[0，π3]B ．[π12，7π12]C ．[π3，5π6]D ．[5π6，π]答案 C解析 ∵y ＝2sin(π6－2x)＝－2sin(2x －π6)，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为[π3＋k π，5π6＋k π]，k ∈Z ，∴当k ＝0时，增区间为[π3，5π6]．4．已知f(x)＝sin 2x ＋sinxcosx ，则f(x)的最小正周期和一个单调增区间分别为( )A ．π，[0，π]B ．2π，[－π4，3π4]C ．π，[－π8，3π8]D ．2π，[－π4，π4]答案 C解析 由f(x)＝12sin2x ＋12(1－cos2x)＝2sin （2x －π4）＋12，得该函数的最小正周期是π.当2k π－π2≤2x－π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z 时，函数f(x)是增函数，即函数f(x)的单调增区间是[k π－π8，k π＋3π8]，其中k ∈Z .由k ＝0得到函数f(x)的一个单调增区间是[－π8，3π8]，结合各选项知，选C.5．(2016·北京朝阳区期末)已知函数f(x)＝sinx ＋3cosx ，设a ＝f(π7)，b ＝f(π6)，c ＝f(π3)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a<b<cB ．c<a<bC ．b<a<cD ．b<c<a答案 B解析 f(x)＝sinx ＋3cosx ＝2sin(x ＋π3)，因为函数f(x)在[0，π6]上单调递增，所以f(π7)<f(π6)，而c ＝f(π3)＝2sin 2π3＝2sin π3＝f(0)<f(π7)，所以c<a<b.6．(2016·南昌大学附中)设f(x)＝sin (ωx ＋φ)，其中ω>0，则f(x)是偶函数的充要条件是( ) A ．f(0)＝1 B ．f(0)＝0 C ．f ′(0)＝1 D ．f ′(0)＝0答案 D解析 f(x)＝sin (ωx ＋φ)是偶函数，有φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴f(x)＝±cos ωx.而f ′(x)＝±ωsin ωx ，∴f ′(0)＝0，故选D.7．(2014·天津)已知函数f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f(x)与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f(x)的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．π D ．2π 答案 C解析 f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2(sin ωx ×32＋cos ωx ×12)＝2sin (ωx ＋π6)， 令f(x)＝1，得sin (ωx ＋π6)＝12.∴ωx 1＋π6＝π6＋2k π或ωx 2＋π6＝5π6＋2k π.∵|x 1－x 2|min ＝π3，∴ω(x 2－x 1)＝2π3，∴ω＝2，∴T ＝2πω＝π.8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点(4π3，0)成中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 答案 A解析 依题意得3cos(8π3＋φ)＝0，8π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－136π(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6.9．已知函数y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，则实数ω的取值范围是( )A ．[－32，0) B ．[－3，0)C ．(0，32] D ．(0，3]答案 C解析 由于y ＝sinx 在[－π2，π2]上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，所以ω>0且π3·ω≤π2，则0<ω≤32. 10．已知函数f(x)＝cos(x ＋π4)·sinx ，则函数f(x)的图像( ) A ．关于直线x ＝π8对称B ．关于点(π8，－24)对称C ．最小正周期为2πD ．在区间(0，π8)上为减函数答案 A解析 化简f(x)＝cos(x ＋π4)·sinx ＝(22cosx －22sinx)·sinx ＝24(sin2x ＋cos2x －1)＝12sin(2x ＋π4)－24，则该函数图像的对称轴为直线x ＝π8＋k π2，k ∈Z ，A 正确；其对称中心(－π8＋k π2，－24)，k ∈Z ，B 不正确；其最小正周期为π，C 不正确；令π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，D 不正确，故选A.11．若将函数f(x)＝sin2x ＋cos2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.5π4 答案 C解析 f(x)＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，将其图像向右平移φ个单位得到g(x)＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8－φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像．∵g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像关于y 轴对称，即函数g(x)为偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝－k π2－π8，k ∈Z . 因此当k ＝－1时，φ有最小正值3π8.12．(2015·东北四校模拟)已知函数f(x)＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f(π8)＝－2，则f(x)的一个单调递增区间可以是( )A ．[－π8，3π8]B ．[5π8，9π8]C ．[－3π8，π8]D ．[π8，5π8]答案 D解析 ∵f(π8)＝－2，∴－2sin(2×π8＋φ)＝－2.即sin(π4＋φ)＝1.∵|φ|<π，∴φ＝π4.∴f(x)＝－2sin(2x ＋π4)．由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．当k ＝0时，π8≤x ≤5π8.13．设f(x)＝xsinx ，若x 1，x 2∈[－π2，π2]，且f(x 1)>f(x 2)，则下列结论中，必成立的是( )A ．x 1>x 2B ．x 1＋x 2>0C ．x 1<x 2D ．x 12>x 22答案 D14．若y ＝cosx 在区间[－π，α]上为增函数，则实数α的取值范围是________． 答案 －π<α≤015．将函数y ＝sin (ωx ＋φ)(π2<φ<π)的图像，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π3，所得到的函数图像均关于原点对称，则ω＝________．答案 12解析 注意到函数的两相邻对称中心之间距离是函数周期的一半，即有T 2＝23π－(－43π)＝2π，T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.16．已知函数f(x)＝sinx ＋acosx 的图像的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g(x)＝asinx ＋cosx 的初相是________．答案 23π解析 f ′(x)＝cosx －asinx ，∵x ＝5π3为函数f(x)＝sinx ＋acosx 的一条对称轴，∴f ′(5π3)＝cos 5π3－asin 5π3＝0，解得a ＝－33.∴g(x)＝－33sinx ＋cosx ＝233(－12sinx ＋32cosx)＝233sin(x ＋2π3)．17．已知函数f(x)＝（sinx －cosx ）sin2xsinx .(1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递减区间．答案 (1){x ∈R |x ≠k π，k ∈Z } T ＝π(2)[k π＋3π8，k π＋7π8](k ∈Z )解析 (1)由sinx ≠0，得x ≠k π(k ∈Z )． 故f(x)的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．因为f(x)＝(sinx －cosx)sin2xsinx＝2cosx(sinx －cosx) ＝sin2x －cos2x －1＝2sin(2x －π4)－1，所以f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sinx 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )．由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．所以f(x)的单调递减区间为[k π＋3π8，k π＋7π8](k ∈Z )．18．(2015·重庆理)已知函数f(x)＝sin(π2－x)sinx －3cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在[π6，2π3]上的单调性．答案 (1)T ＝π 2－32(2)增区间[π6，5π12]，减区间[5π12，2π3]解析 (1)f(x)＝sin(π2－x)sinx －3cos 2x ＝cosxsinx －32(1＋cos2x)＝12sin2x －32cos2x －32＝sin(2x －π3)－32， 因此f(x)的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈[π6，2π3]时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f(x)单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f(x)单调递减． 综上可知，f(x)在[π6，5π12]上单调递增；在[5π12，2π3]上单调递减．1．将函数f(x)＝sin2x(x ∈R )的图像向右平移π4个单位后，所得到的图像对应的函数的一个单调递增区间是( )A ．(－π4，0)B ．(0，π2)C ．(π2，3π4)D ．(3π4，π)答案 B解析 将函数f(x)＝sin2x(x ∈R )的图像向右平移π4个单位后得到函数g(x)＝sin2(x －π4)＝－cos2x 的图像，则函数g(x)的单调递增区间为[k π，k π＋π2]，k ∈Z ，而满足条件的只有B.2．(2016·北京顺义一模)已知函数f(x)＝cos(2x ＋π3)－cos2x ，其中x ∈R ，给出下列四个结论：①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数；②函数f(x)图像的一条对称轴是直线x ＝2π3；③函数f(x)图像的一个对称中心为(5π12，0)；④函数f(x)的单调递增区间为[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z .其中正确的结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 由已知得，f(x)＝cos(2x ＋π3)－cos2x ＝cos2xcos π3－sin2xsin π3－cos2x ＝－sin(2x ＋π6)，不是奇函数，故①错．当x ＝2π3时，f(2π3)＝－sin(4π3＋π6)＝1，故②正确；当x ＝5π12时，f(5π12)＝－sin π＝0，故③正确；令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，故④正确．综上，正确的结论个数为3.3．(2013·浙江理)已知函数f(x)＝Aco s(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R )，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 f(x)是奇函数时，φ＝π2＋k π(k ∈Z )； φ＝π2时，f(x)＝Acos (ωx ＋π2)＝－Asin ωx 为奇函数．所以“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的必要不充分条件，选B.4．已知函数f(x)＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π6)|对x ∈R 恒成立，且f(π2)>f(π)，则f(x)的单调递增区间是( )A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )D ．[k π－π2，k π](k ∈Z )答案 C解析 由题意知，f(x)在x ＝π6处取得最大值或最小值，∴x ＝π6是函数f(x)的对称轴．∴2×π6＋φ＝π2＋k π，φ＝π6＋k π，k ∈Z .又由f(π2)>f(π)，得sin φ<0.∴φ＝－56π＋2k π(k ∈Z )，不妨取φ＝－56π.∴f(x)＝sin(2x －5π6)．由2k π－π2≤2x －56π≤2k π＋π2，得f(x)的单调递增区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．5．若函数f(x)＝Msin (ωx ＋φ)(ω>0)在区间[a ，b]上是增函数，且f(a)＝－M ，f(b)＝M ，则函数g(x)＝Mcos (ωx ＋φ)在[a ，b]上( ) A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M答案 C解析 方法一(特值法)：取M ＝2，w ＝1，φ＝0画图像即得答案．方法二：T ＝2πw ，g(x)＝Mcos(wx ＋φ)＝Msin(wx ＋φ＋π2)＝Msin[w(x ＋π2w)＋φ]，∴g(x)的图像是由f(x)的图像向左平移π2w (即T4)得到的．由b －a ＝T2，可知，g(x)的图像由f(x)的图像向左平移b －a 2得到的．∴得到g(x)图像如图所示．选C.6．(2015·全国Ⅰ)函数f(x)＝cos (ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )A ．(k π－14，k π＋34)，k ∈ZB ．(2k π－14，2k π＋34)，k ∈ZC ．(k －14，k ＋34)，k ∈ZD ．(2k －14，2k ＋34)，k ∈Z答案 D解析 由题图知，函数f(x)的最小正周期T ＝(54－14)×2＝2，所以ω＝π，又(14，0)可以看作是余弦函数与平衡位置的第一个交点，所以cos(π4＋φ)＝0，π4＋φ＝π2，解得φ＝π4，所以f(x)＝cos(πx ＋π4)，所以由2kπ<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，解得2k －14<x<2k ＋34，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调递减区间为(2k －14，2k ＋34)，k ∈Z ，选D.7．(2013·江西理)函数y ＝sin2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________． 答案 π解析 y ＝sin2x ＋23sin 2x ＝sin2x －3cos2x ＋3＝2sin(2x －π3)＋3，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.8．(2015·天津文)已知函数f(x)＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f(x)的图像关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．答案 π2解析 f(x)＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ωx ＋π4)，因为函数f(x)的图像关于直线x ＝ω对称，所以f(ω)＝2sin (ω2＋π4)＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.9．(2013·安徽理)已知函数f(x)＝4cos ωx ·sin (ωx ＋π4)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间[0，π2]上的单调性．答案 (1)1 (2)单调递增区间为[0，π8]，单调递减区间为[π8，π2]解析 (1)f(x)＝4cos ωx ·sin (ωx ＋π4)＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2ωx ＋cos2ωx)＋2＝2sin (2ωx ＋π4)＋ 2.因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x ＋π4)＋ 2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f(x)单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间[0，π8]上单调递增，在区间[π8，π2]上单调递减．10．(2015·安徽文)已知函数f(x)＝(sinx ＋cosx)2＋cos2x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间[0，π2]上的最大值和最小值．解析 (1)因为f(x)＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sinxcosx ＋cos2x ＝1＋sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1， 所以函数f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x ＋π4)＋1.当x ∈[0，π2]时，2x ＋π4∈[π4，5π4]，由正弦函数y ＝sinx 在[π4，5π4]上的图像知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f(x)取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在[0，π2]上的最大值为2＋1，最小值为0.。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函
1 23 45
解析答案
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题型分类 深度剖析
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例 1 已知函数 y＝2sin2x＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相； 解 y＝2sin2x＋π3的振幅 A＝2， 周期 T＝22π＝π，初相 φ＝π3.
y＝Asin(ωx＋φ) 0
A
0
3π
_2__
_2_π_
－A
0
答案
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象 的步骤如下：
|φ|
| |
答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移 的长度一致.( × ) (2)y＝sinx－π4的图象是由 y＝sinx＋4π的图象向右平移2π个单位得到 的.( √ ) (3)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高 点的值与最低点的值确定的.( √ )
解析答案
题型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例 2 (1)已知函数 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π2)的图象上一个最 高点的坐标为(2， 2)，由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与 x 轴交于点(6,0)，则此函数的解析式为 y＝ 2sinπ8x＋π4 . 解析 由题意得 A＝ 2，T4＝6－2，所以 T＝16，ω＝2Tπ＝π8. 又 sinπ8×2＋φ＝1，所以π4＋φ＝π2＋2kπ (k∈Z). 又因为|φ|<2π，所以 φ＝π4.
高考数学一轮复习 第四章 三角函数 4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式课件 文
∴sin
α= 13 ,则sin α
9
2
=-cos
α= 1
sin2α
= 2 2 3
.
(2)由 sin
α
cos
α
1 5
,
sin2α cos2α 1,
消去cos α整理,得
25sin2α-5sin α-12=0,
解得sin α= 4 或sin α=- 3 .
高考文数
第四章 三角函数
§4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式
知识清单
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式 1.象限角
2.终边相同的角
3.弧度制 (1)角度制与弧度制的互化
1°=① 180
180
rad;1 rad=② ° .
(2)弧长及扇形面积公式 弧长公式:③ l=|α|r .
例1 已知角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边
在直线y=2x上,则cos 2θ= ( B )
A.- 4 B.- 3 C. 2 D. 3
5
5
3
4
解题导引
方法一:在角θ的终边上任取一点P,根据直线方程
设出点P的坐标 根据三角函数定义分别
求出sin θ与cos θ 利用二倍角公式求出cos 2θ
5
5
-
2
5 5
=- 3 .
5
综上可得,cos 2θ=- 3 ,故选B.
5
解法二:因为该直线的斜率k=2=tan θ,
所以cos
2θ= ccooss22θθ
高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第3讲两角和与差的正弦余弦和正切公式
(教材习题改编)已知
cos
α＝－35，α
是第三象限角，则
π cos(4
＋α)为( )
A．
2 10
C．7102
B．－
2 10
D．－7102
解析：选 A.因为 cos α＝－35，α 是第三象限的角， 所以 sin α＝－ 1－cos2α＝－ 1－（－35）2＝－45， 所以 cos(π4＋α)＝cos π4cos α－sin π4sin α＝ 22·(－35)－ 22·(－45) ＝ 102.
又 sin2α＋cos2α＝1，所以 sin α＝255，cos α＝ 55，则 cosα－π4
＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝ 55× 22＋255× 22＝31010.
答案：3
10 10
三角函数公式的直接应用
(1)已知 α∈π2，π，sin α＝153，则 tanα＋π4＝(
2．若 α＋β＝34π，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________． 解析：－1＝tan34π＝tan(α＋β)＝1t－antaαn＋αttaannββ， 所以 tan αtan β－1＝tan α＋tan β. 所以 1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2， 即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 答案：2
三角函数公式的活用 (高频考点) 三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题 的形式出现，研究三角函数的性质和解三角形常应用三角函数 公式．主要命题角度有： (1)两角和与差公式的逆用及变形应用； (2)二倍角公式的活用．
角度一 两角和与差公式的逆用及变形应用
(1)已知 sin α＋cos α＝13，则 sin2(π4－α)＝(
数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式学案理
4。
2同角三角函数的基本关系及诱导公式必备知识预案自诊知识梳理1。
同角三角函数的基本关系（1）平方关系:sin2α+cos2α=。
(2)商数关系:sinαcosα=(α≠π2+kπ,k∈Z)。
2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2-απ2+α正弦sin α余弦cos α正切tan α续表公式一二三四五六口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限1。
特殊角的三角函数值2.同角三角函数基本关系式的常用变形(1)（sin α±cos α）2=1±2sin αcos α；（2)sin α=tan αcos αα≠π2+kπ,k∈Z；(3）sin2α=sin2αsin2α+cos2α=tan2αtan2α+1;（4）cos 2α=cos 2αsin 2α+cos 2α=1tan 2α+1。
考点自诊1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”。
（1）对任意的角α，β有sin 2α+cos 2β=1。
( ） （2)若α∈R ，则tan α=sinαcosα恒成立.（ ）（3)sin （π+α）=-sin α成立的条件是α为锐角。
( )(4）若cos(n π—θ）=13(n ∈Z )，则cos θ=13.（ ）2。
(2020河北衡水中学模拟一,理3)已知cos α-π2=-2√55，α∈π，3π2,则tan α=（ ）A 。
2B 。
32C.1D.123。
(2020河北唐山模拟，理4）已知角α的顶点在原点,始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点A (2sin α，3）（sin α≠0），则cos α=( ）A.12B 。
-12C 。
√32D.-√324。
函数f (x )=15sin x+π3+cos x —π6的最大值为（ ) A.65B.1C.35D.15关键能力学案突破考点同角三角函数基本关系式的应用【例1】（1)若tan(α-π）=12，则sin 2α+1cos 2α-sin 2α=( )A。
2020版高考数学大一轮复习第4章三角函数、解三角形第1讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导
理科数学 第
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理科数学 第
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理科数学 第
理科数学 第
理科数学 第
技巧点拨 1.已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函 角的三角函数值进行求解.转化过程中注意口诀“奇变偶不 的应用. 2.对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存 充分利用给定的式子,结合诱导公式将角进行转化.
在终边上任取一个异于原点的点时应分两种情况,进而用三
求解.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角α的值,再求
(3)若角α终边上的点的坐标中含参数,要讨论参数的各种情
数值的符号.判断三角函数值的符号或根据三角函数值的符
般利用三角函数在各象限内的符号规律进行求解.
理科数学 第
考法2 利用同角三角函数的基本系和诱导公式化简求值
理科数学 第
理科数学 第
理科数学 第
理科数学 第
C方法帮•素养大提升
方法 分类讨论思想在三角函数 应用
方法 分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用
理科数学 第
理科数学 第
素养提升 (1)本题在三角函数的化简求值过程中,体现了分类讨论思想 种情况不符合题意,也不能省略讨论的步骤,提升数学思维的 (2)三角形中的三角函数问题,要注意隐含条件的挖掘以及三 理的应用.
C方法帮•素养大提升 方法 分类讨论思想在三角函数化简求值中的应用
理科数学 第
考情精解读
命题规律 聚焦核心素养
命题规律 考点内容
考纲要求
考题取样
1.任意角的三角函数
理解
2017北京,T12
2.同角三角函数的基 本关系
3.诱导公式
理解
2016全国Ⅲ,T5
2017版大一轮复习题组训练第四章三角函数题组19 含解析
题组层级快练(十九)1．下列各数中与sin2 016°的值最接近的是( ) A.12 B.32C ．－12D ．－32答案 C解析 2 016°＝5×360°＋180°＋36°， ∴sin2 016°＝－sin36°和－sin30°接近，选C. 2．sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( ) A ．1 B ．2sin 2α C ．0 D ．2 答案 D3．tan(5π＋α)＝m ，则sin （α－3π）＋cos （π－α）sin （－α）－cos （π＋a ）的值为( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1 D ．1 答案 A解析 由tan(5π＋α)＝m ，∴tan α＝m 原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝m ＋1m －1∴选A.4.1＋2sin （π－3）cos （π＋3）化简的结果是( ) A ．sin3－cos3 B ．cos3－sin3 C ．±(sin3－cos3) D ．以上都不对 答案 A解析 sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3， ∴1－2sin3·cos3＝（sin3－cos3）2＝|sin3－cos3|. ∵π2<3<π，∴sin3>0，cos3<0. ∴原式＝sin3－cos3，选A. 5．化简cos α1－sin α1＋sin α＋sin α1－cos α1＋cos α(π<α<3π2)得( )A ．sin α＋cos α－2B ．2－sin α－cos αC ．sin α－cos αD ．cos α－sin α解析 原式＝cos α（1－sin α）2cos 2α＋sin α（1－cos α）2sin 2α，∵π<α<32π，∴cos α<0，sin α<0.∴原式＝－(1－sin α)－(1－cos α)＝sin α＋cos α－2. 6．记cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝( ) A.1－k 2kB ．－1－k 2kC.k1－k 2D ．－k1－k 2答案 B解析 cos(－80°)＝cos80°＝k ，sin80°＝1－k 2，tan80°＝1－k 2k，tan100°＝－tan80°＝－1－k 2k.7．已知A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1，2，－2}B ．{－1，1}C ．{2，－2}D ．{1，－1，0，2，－2}答案 C解析 当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2； 当k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.8．(tanx ＋1tanx)cos 2x ＝( ) A ．tanx B ．sinx C ．cosx D.1tanx答案 D解析 (tanx ＋1tanx )cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sinxcosx ·cos 2x ＝cosx sinx ＝1tanx.9．若A 为△ABC 的内角，且sin2A ＝－35，则cos(A ＋π4)等于( )A.255B ．－255C.55D ．－55解析 cos 2(A ＋π4)＝[22(cosA －sinA)]2＝12(1－sin2A)＝45.又cosA<0，sinA>0，∴cosA －sinA<0. ∴cos(A ＋π4)＝－255.10．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23 D ．－2答案 A解析 由3sin α＝－cos α，得tan α＝－13.1cos 2α＋sin2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝1＋191－23＝103. 11．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( ) A ．－43B.54 C ．－34D.45答案 D解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45.12．(2016·山东师大附中月考)若cos(π6－α)＝m(|m|≤1)，则sin(23π－α)的值为( )A ．－mB ．－m 2C.m2 D ．m答案 D解析 sin(2π3－α)＝sin(π2＋π6－α)＝cos(π6－α)＝m ，选D.13．(2016·衡水调研卷)已知A 为锐角，lg(1＋cosA)＝m ，lg11－cosA ＝n ，则lgsinA 的值为( )A ．m ＋1nB.12(m －n) C.12(m ＋1n ) D.12(m －1n) 答案 B解析 lg(1＋cosA)＝m ，lg(1－cosA)＝－n ∴lg(1－cos 2A)＝m －n ∴lgsin 2A ＝m －n ∴lgsinA ＝12(m －n)选B.14．已知sin θ＝55，则sin 4θ－cos 4θ的值为________． 答案 －35解析 由sin θ＝55，可得cos 2θ＝1－sin 2θ＝45，所以sin 4θ－cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)(sin 2θ－cos 2θ)＝sin 2θ－cos 2θ＝15－45＝－35.15．化简sin 6α＋cos 6α＋3sin 2αcos 2α的结果是________． 答案 1解析 sin 6α＋cos 6α＋3sin 2αcos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 4α－sin 2αcos 2α＋cos 4α)＋3sin 2αcos 2α＝sin 4α＋2sin 2αcos 2α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2＝1. 16．化简1－2sin40°·cos40°cos40°－1－sin 250°为________．答案 117．若tan α＋1tan α＝3，则sin αcos α＝________，tan 2α＋1tan 2α＝________．答案 13，7解析 ∵tan α＋1tan α＝3，∴sin αcos α＋cos αsin α＝3.即sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝3.∴sin αcos α＝13.又tan 2α＋1tan 2α＝(tan α＋1tan α)2－2tan α1tan α＝9－2＝7. 18．(2016·浙江嘉兴联考)已知α为钝角，sin(π4＋α)＝34，则sin(π4－α)＝________，cos (α－π4)＝________． 答案 －74，34解析 sin(π4－α)＝cos[π2－(π4－α)]＝cos(π4＋α)，∵α为钝角，∴34π<π4＋α<54π.∴cos(π4＋α)<0.∴cos(π4＋α)＝－1－（34）2＝－74.cos (α－π4)＝sin[π2＋(α－π4)]＝sin(π4＋α)＝34.19．已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，试求2sin αcos α－cos α＋11－tan α的值．答案55－95解析 ∵cos α－sin α＝－55，∴1－2sin αcos α＝15. ∴2sin αcos α＝45.∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95.∵0<α<π2，∴sin α＋cos α＝35 5.与cos α－sin α＝－55联立，解得 cos α＝55，sin α＝255.∴tan α＝2. ∴2sin αcos α－cos α＋11－tan α＝45－55＋11－2＝55－95.1．若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 D 解析sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6，故选D.2．已知cosA ＋sinA ＝－713，A 为第四象限角，则tan α等于( )A.125B.512 C ．－125D ．－512答案 C解析 ∵cosA ＋sinA ＝－713，①∴(cosA ＋sinA)2＝(－713)2，∴2cosA ·sinA ＝－120169.∴(cosA －sinA)2＝(cosA ＋sinA)2－4cosAsinA. ∵A 为第四象限角，∴cosA －sinA ＝1713.②∴联立①②，∴cosA ＝513，sinA ＝－1213.∴tanA ＝sinA cosA ＝－125，选C.3．已知sin(π4＋α)＝32，则sin(3π4－α)的值为________．答案32解析 sin(3π4－α)＝sin[π－(π4＋α)]＝sin(π4＋α)＝32.4．若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于________．答案3解析 由二倍角公式可得sin 2α＋1－2sin 2α＝14，即－sin 2α＝－34，sin 2α＝34.又因为α∈(0，π2)，所以sin α＝32，即α＝π3，所以tan α＝tan π3＝ 3. 5．已知－π2<α<0，且函数f(α)＝cos(3π2＋α)－sin α·1＋cos α1－cos α－1.(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝15，求sin α·cos α和sin α－cos α的值．答案 (1)f(α)＝sin α＋cos α (2)－1225，－75解析 (1)f(α)＝sin α－sin α·（1＋cos α）21－cos 2α－1＝sin α＋sin α·1＋cos αsin α－1＝sin α＋cos α.(2)方法一：由f(α)＝sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin α·cos α＋cos 2α＝125，即2sinα·cos α＝－2425.∴sin α·cos α＝－1225.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝4925，又－π2<α<0，∴sin α<0，cos α>0，∴sin α－cos α<0，∴sin α－cos α＝－75.方法二：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎨⎧sin α＝－35，cos α＝45或⎩⎨⎧sin α＝45，cos α＝－35.∵－π2<α<0，∴⎩⎨⎧sin α＝－35，cos α＝45.∴sin α·cos α＝－1225，sin α－cos α＝－75.。
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1 3
.
∴ cos 2α (1 － sin 2β ) － (1 － cos2α )sin
2β＝
1 .
3
∴ cos 2α－ sin
2β＝
1 3.
17．(2015 ·广东文 ) 已知 tan α＝ 2.
(1)
求
tan
(
α＋
π 4)
的值；
sin2 α (2) 求 sin2 α＋ sin αcosα－ cos2α－ 1的值．
＝
2×
5＝
. 5
16．已知
1 cos ( α＋β）cos ( α－β ) ＝ 3，则
cos2α－ sin 2β＝ ________．
1 答案 3
解析
∵（cos αcos β－ sin
α sin
β )(cos
α cosβ＋ sin α sin
β
)
＝
1 ，∴
cos
2α
cos
2β－
sin
2
3
α sin
2β＝
4－2cos210° ＝ 2－cos210° ＝ 2.
π
33
5π
15．(2015 ·东北三校模拟 ) 若 cos ( α＋ 6 ) －sin α＝ 5 ，则 sin ( α＋ 6 ) ＝ ________．
3 答案
5
π
33
解析 ∵ cos ( α＋ 6 ) － sin α＝ 5 ，
3
1
33
∴ cos α－ sin α－ sin α＝ .
n 5
π＝
π
＝
π＝
π
π
sin （α－ 5 ）
sin （α－ 5 ）
sin （α－ 5 ） sin αco s 5 －cosαsi n 5
π
sin
5π
π
sin α π
π
cosα cos 5 ＋ sin 5
2· cos πcos 5 ＋ sin 5 5
π 3sin 5
＝ sin α π
π＝
π
＝ π ＝ 3，故选 C.
C． 1 答案 A
D． 2
解析 (tan10 °－ 3) · sin40 °
(2) 求 cos β的值．
10
9 10
答案 (1) － 10 (2) 50
π 解析 (1) ∵α，β∈ (0 ， 2 ) ，
π
π
从而－ 2 <α－β＜ 2 .
1 又∵ tan ( α－β ) ＝－ 3<0，
π ∴－ 2 <α－β <0.
10 ∴ sin ( α－β ) ＝－ .
10
3 10
(2) 由 (1) 可得， cos ( α－β ) ＝
答案 (1) － 3 (2) 1
解析
π
π t anα＋ tan 4
2＋ 1
(1)tan ( α＋ 4 ) ＝
π ＝ 1－2×１＝－ 3.
1－tan αta n 4
sin2 α (2)
sin2 α＋ sin αcosα－ cos2α－ 1
2sin αcosα ＝ sin2 α＋ sin αcosα－（ 2cos2α－ 1）－ 1
. 10
3
4
∵α为锐角，且 sin α＝ 5，∴ cos α＝ 5.
∴ cos β＝ cos [ α－ ( α－β )]
＝ cos αcos ( α－β ) ＋ sin α sin ( α－β）
4 3 10 3
10
＝ 5× 10 ＋ 5×( － 10 )
9 10
＝
.
50
1
1
1．(2015 ·重庆文 ) 若 tan α＝ ， tan ( α＋β ) ＝ ，则 tan β＝ (
1
3
14．求值： (1)
－
＝ ________；
sin10 ° sin80 °
3－sin70 ° (2) 2－cos210° ＝ ________．
答案 (1)4 (2)2
cos10°－ 3sin10 ° 解析 (1) 原式＝ sin10 °cos10°
1
3
2（ 2cos10°－ 2 sin10 °）
题组层级快练 ( 十九 )
1．(2015 ·新课标全国Ⅰ） sin20 ° cos10 °－ cos160 °sin10 °＝ (
)
3 A．－
2
3 B.
2
1
1
C．－ 2
D. 2
答案 D 1
解析 原式＝ sin20 ° cos10 °＋ cos20 ° sin10 °＝ sin(20 °＋ 10° ) ＝2.
π
43
7π
8．已知 cos ( α－ 6 ) ＋ sin α＝ 5 ，则 sin ( α＋ 6 ) 的值为 (
)
1
3
A. 2
B. 2
4 C．－
5
1 D．－
2
答案 C
π
3
3
43
解析 ∵ cos ( α－ ) ＋ sin α＝ cos α＋ sin α＝ ，
6
2
2
5
1
3
4
∴ 2cos α＋ 2 sin α＝ 5.
2sin αcosα ＝
sin2 α＋ sin αcosα－ 2cos2α
2tan α ＝ tan2 α＋ tan α－ 2
2×２ ＝ 22＋ 2－ 2＝ 1.
18．已知
α，β∈
(0
，
π )
2
，且
sin
3 α＝ 5， tan ( α－β ) ＝－
1 .
3
(1) 求 sin ( α－β ) 的值．
- 6 - / 11
sin47 °－ sin17 °cos30°
2．(2014 ·重庆文 )
cos17°
＝( )
3 A．－
2
1 B．－
2
1
3
C.
D.
2
2
答案 C
解析 sin47 °＝ sin(30 °＋ 17° ) ＝sin30 °cos17 °＋ cos30 °sin17 °，
sin30 °cos17°
1
∴原式＝
cos17°
2
2
5
3
3
33
6
即 2 cos α－ 2sin α＝ 5 ，得 cosα－ 3sin α＝ 5.
- 5 - / 11
5π
5π
5π
3
1
1
∴ sin ( α＋ 6 ) ＝ sin α cos 6 ＋cos α sin 6 ＝－ 2 sin α＋ 2cos α＝ 2(cos α－ 3sin α )
1 63
β，即 cos α (cos β＋ sin β ) ＝ sin α (cos β＋ sin β) ，因为 β 为锐角，所以 cosβ＋ sin β
≠ 0，所以 cos α＝ sin α，所以 tan α＝ 1.
5
10
π
10．(2016 ·成都一诊 ) 若 sin2 α＝ 5 ， sin ( β－α ) ＝ 10 ，且 α∈［4 ，π ] ，β∈ [ π，
7π
π
∴ sin( α＋
6
) ＝－ sin
( α＋
) 6
3
1
4
＝－ ( 2 sin α＋ 2cos α ) ＝－ 5.
9．(2016 ·太原模拟 ) 设 α，β均为锐角，且 cos ( α＋β ) ＝ sin ( α－β ) ，则 tan α的值为
()
A． 2
B. 3
C． 1
2 D.
2
答案 C
解析 由 cos ( α＋β ) ＝ sin ( α－β ) 得 cos αcos β－ sin α sin β＝ sin α cos β－ cosα sin
5．在△ ABC 中， tanA ＋ tanB ＋ 3＝ 3tanAtanB ，则 C 等于 ( )
π A.
3
2π B.
3
π C.
6
π D.
4
答案 A
解析 由已知得 tanA ＋ tanB ＝－ 3(1 － tanAtanB) ， tanA ＋tanB
∴ 1－ tanAtanB ＝－ 3 ，即 tan(A ＋ B) ＝－ 3.
3 10 ＝－ 10 ，∴ cos ( α＋β ) ＝ cos [2 α＋ ( β－α )] ＝ cos2 α cos( β－α ) － sin2 α sin ( β－α）
25
3 10
5 10 2
5π
7π
＝－ 5 × ( － 10 ) － 5 × 10 ＝ 2 ，且 α＋β∈［ 4 ， 2π ] ，故α＋β＝ 4 .
cosα cos 5 － sin 5
sin 5π
sin
π
5
2·
cos π
5
－ sin
5
cos 5
π1 12．(2013 ·新课标全国Ⅱ理 ) 设 θ 为第二象限角，若 tan ( θ＋ 4 ) ＝ 2，则 sin θ＋ cos θ＝ ________．
10 答案 － 5
π 1＋tan θ 1
1
1
解析 由 tan ( θ＋ 4 ) ＝ 1－tan θ ＝2，得 tan θ＝－ 3，即 sin θ＝－ 3cos θ.
3π
π
cos （α－ 10 ）
11．(2015 ·重庆理 ) 若 tan α＝ 2tan 5 ，则
π ＝(
)
sin （α－ 5 ）
A． 1
B． 2
C． 3
D． 4
答案 C