(新课标)高考数学大一轮复习第四章三角函数题组19文

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2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版强基版)：三角函数

所以π2＋kπ<α2<34π＋kπ，k∈Z，
则α2是第二或第四象限角，
又cos
α2＝－cos
α2，即
cos
α2<0，
所以α2是第二象限角.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.(2022·天津模拟)已知扇形的周长为15 cm，圆心角为3 rad，则此扇形
将
f(x)
的
图
象
向
左
平
移
π 3
个
单
位
长
度
得
g(x) ＝ 2sin 2x＋π3－π3 ＝
2sin2x＋π3的图象，向右平移 φ(φ>0)个单位长度得 h(x)＝2sin2x－φ－π3＝2sin2x－2φ－π3 的图象，
由题意得－2φ－π3＋2kπ＝π3(k∈Z)，所以 φ＝kπ－π3(k∈Z)，又 φ>0，故 φ 的最小值为23π.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
f(x)－g(x)＝cos 2x＋sin 2x＝ 2sin2x＋π4，最小正周期为 T＝22π＝π，选项 C 错误； f(x)－g(x)＝ 2sin2x＋π4，令π2＋2kπ≤2x＋π4≤32π＋2kπ(k∈Z)，解得π8＋kπ≤x≤58π＋kπ，k∈Z，当 k＝0 时，π8≤x≤58π，所以 f(x)－g(x)在(0，π)上的单调递减区间是π8，58π，选项 D 正确.
第四章三角函数与解三角形
必刷小题7 三角函数
一、单项选择题
1.(2023·杭州模拟)设
α
是第三象限角，且cos
α2＝－cos α2，则α2的终边

【新课标】2019届高考数学大一轮复习试题：第四章_三角函数题组23_含解析

题组层级快练(二十三)1．函数f(x)＝(1＋cos2x)sin 2x 是( ) A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数答案 D解析 f(x)＝(1＋cos2x)sin 2x ＝2cos 2xsin 2x ＝12sin 22x ＝1－cos4x 4，则T ＝2π4＝π2且为偶函数．2．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)答案 A解析对于选项A ，注意到y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x 的周期为π，且在[π4，π2]上是减函数，故选A. 3．函数y ＝2sin(π6－2x)(x ∈[0，π])的增区间是( )A ．[0，π3]B ．[π12，7π12]C ．[π3，5π6]D ．[5π6，π]答案 C解析 ∵y ＝2sin(π6－2x)＝－2sin(2x －π6)，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为[π3＋k π，5π6＋k π]，k ∈Z ，∴当k ＝0时，增区间为[π3，5π6]．4．已知f(x)＝sin 2x ＋sinxcosx ，则f(x)的最小正周期和一个单调增区间分别为( )A ．π，[0，π]B ．2π，[－π4，3π4]C ．π，[－π8，3π8]D ．2π，[－π4，π4]答案 C解析由f(x)＝12sin2x ＋12(1－cos2x)＝2sin （2x －π4）＋12，得该函数的最小正周期是π.当2k π－π2≤2x－π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z 时，函数f(x)是增函数，即函数f(x)的单调增区间是[k π－π8，k π＋3π8]，其中k ∈Z .由k ＝0得到函数f(x)的一个单调增区间是[－π8，3π8]，结合各选项知，选C.5．(2016·北京朝阳区期末)已知函数f(x)＝sinx ＋3cosx ，设a ＝f(π7)，b ＝f(π6)，c ＝f(π3)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a<b<cB ．c<a<bC ．b<a<cD ．b<c<a答案 B解析 f(x)＝sinx ＋3cosx ＝2sin(x ＋π3)，因为函数f(x)在[0，π6]上单调递增，所以f(π7)<f(π6)，而c ＝f(π3)＝2sin 2π3＝2sin π3＝f(0)<f(π7)，所以c<a<b.6．(2016·南昌大学附中)设f(x)＝sin (ωx ＋φ)，其中ω>0，则f(x)是偶函数的充要条件是( ) A ．f(0)＝1 B ．f(0)＝0 C ．f ′(0)＝1 D ．f ′(0)＝0答案 D解析 f(x)＝sin (ωx ＋φ)是偶函数，有φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴f(x)＝±cos ωx.而f ′(x)＝±ωsin ωx ，∴f ′(0)＝0，故选D.7．(2014·天津)已知函数f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f(x)与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f(x)的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．π D ．2π 答案 C解析 f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2(sin ωx ×32＋cos ωx ×12)＝2sin (ωx ＋π6)，令f(x)＝1，得sin (ωx ＋π6)＝12.∴ωx 1＋π6＝π6＋2k π或ωx 2＋π6＝5π6＋2k π.∵|x 1－x 2|min ＝π3，∴ω(x 2－x 1)＝2π3，∴ω＝2，∴T ＝2πω＝π.8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点(4π3，0)成中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 答案 A解析依题意得3cos(8π3＋φ)＝0，8π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－136π(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6.9．已知函数y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，则实数ω的取值范围是( )A ．[－32，0) B ．[－3，0)C ．(0，32] D ．(0，3]答案 C解析由于y ＝sinx 在[－π2，π2]上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，所以ω>0且π3·ω≤π2，则0<ω≤32. 10．已知函数f(x)＝cos(x ＋π4)·sinx ，则函数f(x)的图像( ) A ．关于直线x ＝π8对称B ．关于点(π8，－24)对称C ．最小正周期为2πD ．在区间(0，π8)上为减函数答案 A解析化简f(x)＝cos(x ＋π4)·sinx ＝(22cosx －22sinx)·sinx ＝24(sin2x ＋cos2x －1)＝12sin(2x ＋π4)－24，则该函数图像的对称轴为直线x ＝π8＋k π2，k ∈Z ，A 正确；其对称中心(－π8＋k π2，－24)，k ∈Z ，B 不正确；其最小正周期为π，C 不正确；令π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，D 不正确，故选A.11．若将函数f(x)＝sin2x ＋cos2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.5π4 答案 C解析 f(x)＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，将其图像向右平移φ个单位得到g(x)＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8－φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像．∵g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像关于y 轴对称，即函数g(x)为偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝－k π2－π8，k ∈Z . 因此当k ＝－1时，φ有最小正值3π8.12．(2015·东北四校模拟)已知函数f(x)＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f(π8)＝－2，则f(x)的一个单调递增区间可以是( )A ．[－π8，3π8]B ．[5π8，9π8]C ．[－3π8，π8]D ．[π8，5π8]答案 D解析 ∵f(π8)＝－2，∴－2sin(2×π8＋φ)＝－2.即sin(π4＋φ)＝1.∵|φ|<π，∴φ＝π4.∴f(x)＝－2sin(2x ＋π4)．由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．当k ＝0时，π8≤x ≤5π8.13．设f(x)＝xsinx ，若x 1，x 2∈[－π2，π2]，且f(x 1)>f(x 2)，则下列结论中，必成立的是( )A ．x 1>x 2B ．x 1＋x 2>0C ．x 1<x 2D ．x 12>x 22答案 D14．若y ＝cosx 在区间[－π，α]上为增函数，则实数α的取值范围是________．答案－π<α≤015．将函数y ＝sin (ωx ＋φ)(π2<φ<π)的图像，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π3，所得到的函数图像均关于原点对称，则ω＝________．答案 12解析注意到函数的两相邻对称中心之间距离是函数周期的一半，即有T 2＝23π－(－43π)＝2π，T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.16．已知函数f(x)＝sinx ＋acosx 的图像的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g(x)＝asinx ＋cosx 的初相是________．答案 23π解析 f ′(x)＝cosx －asinx ，∵x ＝5π3为函数f(x)＝sinx ＋acosx 的一条对称轴，∴f ′(5π3)＝cos 5π3－asin 5π3＝0，解得a ＝－33.∴g(x)＝－33sinx ＋cosx ＝233(－12sinx ＋32cosx)＝233sin(x ＋2π3)．17．已知函数f(x)＝（sinx －cosx ）sin2xsinx .(1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递减区间．答案 (1){x ∈R |x ≠k π，k ∈Z } T ＝π(2)[k π＋3π8，k π＋7π8](k ∈Z )解析 (1)由sinx ≠0，得x ≠k π(k ∈Z )．故f(x)的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．因为f(x)＝(sinx －cosx)sin2xsinx＝2cosx(sinx －cosx) ＝sin2x －cos2x －1＝2sin(2x －π4)－1，所以f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sinx 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )．由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．所以f(x)的单调递减区间为[k π＋3π8，k π＋7π8](k ∈Z )．18．(2015·重庆理)已知函数f(x)＝sin(π2－x)sinx －3cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在[π6，2π3]上的单调性．答案 (1)T ＝π 2－32(2)增区间[π6，5π12]，减区间[5π12，2π3]解析 (1)f(x)＝sin(π2－x)sinx －3cos 2x ＝cosxsinx －32(1＋cos2x)＝12sin2x －32cos2x －32＝sin(2x －π3)－32，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈[π6，2π3]时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f(x)单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在[π6，5π12]上单调递增；在[5π12，2π3]上单调递减．1．将函数f(x)＝sin2x(x ∈R )的图像向右平移π4个单位后，所得到的图像对应的函数的一个单调递增区间是( )A ．(－π4，0)B ．(0，π2)C ．(π2，3π4)D ．(3π4，π)答案 B解析将函数f(x)＝sin2x(x ∈R )的图像向右平移π4个单位后得到函数g(x)＝sin2(x －π4)＝－cos2x 的图像，则函数g(x)的单调递增区间为[k π，k π＋π2]，k ∈Z ，而满足条件的只有B.2．(2016·北京顺义一模)已知函数f(x)＝cos(2x ＋π3)－cos2x ，其中x ∈R ，给出下列四个结论：①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数；②函数f(x)图像的一条对称轴是直线x ＝2π3；③函数f(x)图像的一个对称中心为(5π12，0)；④函数f(x)的单调递增区间为[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z .其中正确的结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析由已知得，f(x)＝cos(2x ＋π3)－cos2x ＝cos2xcos π3－sin2xsin π3－cos2x ＝－sin(2x ＋π6)，不是奇函数，故①错．当x ＝2π3时，f(2π3)＝－sin(4π3＋π6)＝1，故②正确；当x ＝5π12时，f(5π12)＝－sin π＝0，故③正确；令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，故④正确．综上，正确的结论个数为3.3．(2013·浙江理)已知函数f(x)＝Aco s(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R )，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 f(x)是奇函数时，φ＝π2＋k π(k ∈Z )； φ＝π2时，f(x)＝Acos (ωx ＋π2)＝－Asin ωx 为奇函数．所以“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的必要不充分条件，选B.4．已知函数f(x)＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π6)|对x ∈R 恒成立，且f(π2)>f(π)，则f(x)的单调递增区间是( )A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )D ．[k π－π2，k π](k ∈Z )答案 C解析由题意知，f(x)在x ＝π6处取得最大值或最小值，∴x ＝π6是函数f(x)的对称轴．∴2×π6＋φ＝π2＋k π，φ＝π6＋k π，k ∈Z .又由f(π2)>f(π)，得sin φ<0.∴φ＝－56π＋2k π(k ∈Z )，不妨取φ＝－56π.∴f(x)＝sin(2x －5π6)．由2k π－π2≤2x －56π≤2k π＋π2，得f(x)的单调递增区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．5．若函数f(x)＝Msin (ωx ＋φ)(ω>0)在区间[a ，b]上是增函数，且f(a)＝－M ，f(b)＝M ，则函数g(x)＝Mcos (ωx ＋φ)在[a ，b]上( ) A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M答案 C解析方法一(特值法)：取M ＝2，w ＝1，φ＝0画图像即得答案．方法二：T ＝2πw ，g(x)＝Mcos(wx ＋φ)＝Msin(wx ＋φ＋π2)＝Msin[w(x ＋π2w)＋φ]，∴g(x)的图像是由f(x)的图像向左平移π2w (即T4)得到的．由b －a ＝T2，可知，g(x)的图像由f(x)的图像向左平移b －a 2得到的．∴得到g(x)图像如图所示．选C.6．(2015·全国Ⅰ)函数f(x)＝cos (ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )A ．(k π－14，k π＋34)，k ∈ZB ．(2k π－14，2k π＋34)，k ∈ZC ．(k －14，k ＋34)，k ∈ZD ．(2k －14，2k ＋34)，k ∈Z答案 D解析由题图知，函数f(x)的最小正周期T ＝(54－14)×2＝2，所以ω＝π，又(14，0)可以看作是余弦函数与平衡位置的第一个交点，所以cos(π4＋φ)＝0，π4＋φ＝π2，解得φ＝π4，所以f(x)＝cos(πx ＋π4)，所以由2kπ<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，解得2k －14<x<2k ＋34，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调递减区间为(2k －14，2k ＋34)，k ∈Z ，选D.7．(2013·江西理)函数y ＝sin2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________．答案 π解析 y ＝sin2x ＋23sin 2x ＝sin2x －3cos2x ＋3＝2sin(2x －π3)＋3，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.8．(2015·天津文)已知函数f(x)＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f(x)的图像关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．答案 π2解析 f(x)＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ωx ＋π4)，因为函数f(x)的图像关于直线x ＝ω对称，所以f(ω)＝2sin (ω2＋π4)＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.9．(2013·安徽理)已知函数f(x)＝4cos ωx ·sin (ωx ＋π4)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间[0，π2]上的单调性．答案 (1)1 (2)单调递增区间为[0，π8]，单调递减区间为[π8，π2]解析 (1)f(x)＝4cos ωx ·sin (ωx ＋π4)＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2ωx ＋cos2ωx)＋2＝2sin (2ωx ＋π4)＋ 2.因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x ＋π4)＋ 2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f(x)单调递增；当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间[0，π8]上单调递增，在区间[π8，π2]上单调递减．10．(2015·安徽文)已知函数f(x)＝(sinx ＋cosx)2＋cos2x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间[0，π2]上的最大值和最小值．解析 (1)因为f(x)＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sinxcosx ＋cos2x ＝1＋sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1，所以函数f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x ＋π4)＋1.当x ∈[0，π2]时，2x ＋π4∈[π4，5π4]，由正弦函数y ＝sinx 在[π4，5π4]上的图像知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f(x)取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在[0，π2]上的最大值为2＋1，最小值为0.。

高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形 4.4 函

sin[2(x－φ)＋4π]＝sin(2x＋4π－2φ)，又∵g(x)是偶函数，∴4π－2φ＝kπ＋π2(k∈Z). ∴φ＝－k2π－π8(k∈Z). 当 k＝－1 时，φ 取得最小正值38π.
1 23 45
解析答案
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题型分类深度剖析
题型一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例 1 已知函数 y＝2sin2x＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；解 y＝2sin2x＋π3的振幅 A＝2，周期 T＝22π＝π，初相 φ＝π3.
y＝Asin(ωx＋φ) 0
A
0
3π
_2__
_2_π_
－A
0
答案
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤如下：
|φ|
| |
答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( × ) (2)y＝sinx－π4的图象是由 y＝sinx＋4π的图象向右平移2π个单位得到的.( √ ) (3)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的.( √ )
解析答案
题型二由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例 2 (1)已知函数 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π2)的图象上一个最高点的坐标为(2， 2)，由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与 x 轴交于点(6,0)，则此函数的解析式为 y＝ 2sinπ8x＋π4 . 解析由题意得 A＝ 2，T4＝6－2，所以 T＝16，ω＝2Tπ＝π8. 又 sinπ8×2＋φ＝1，所以π4＋φ＝π2＋2kπ (k∈Z). 又因为|φ|<2π，所以 φ＝π4.

高考数学一轮复习第四章三角函数 4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式课件文

2
∴sin
α= 13 ,则sin α
9
2

=-cos
α= 1
sin2α
= 2 2 3
.
(2)由 sin
α

cos
α

1 5
,
sin2α cos2α 1,
消去cos α整理,得
25sin2α-5sin α-12=0,
解得sin α= 4 或sin α=- 3 .
高考文数
第四章三角函数
§4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式
知识清单
考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式 1.象限角
2.终边相同的角
3.弧度制 (1)角度制与弧度制的互化

1°=① 180
180
rad;1 rad=② ° .
(2)弧长及扇形面积公式弧长公式:③ l=|α|r .
例1 已知角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边
在直线y=2x上,则cos 2θ= ( B )
A.- 4 B.- 3 C. 2 D. 3
5
5
3
4
解题导引
方法一:在角θ的终边上任取一点P,根据直线方程
设出点P的坐标根据三角函数定义分别
求出sin θ与cos θ 利用二倍角公式求出cos 2θ
5
5

-

2
5 5

=- 3 .
5
综上可得,cos 2θ=- 3 ,故选B.
5
解法二:因为该直线的斜率k=2=tan θ,
所以cos
2θ= ccooss22θθ

高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第3讲两角和与差的正弦余弦和正切公式

(教材习题改编)已知
cos
α＝－35，α
是第三象限角，则
π cos(4
＋α)为( )
A．
2 10
C．7102
B．－
2 10
D．－7102
解析：选 A.因为 cos α＝－35，α 是第三象限的角，所以 sin α＝－ 1－cos2α＝－ 1－（－35）2＝－45，所以 cos(π4＋α)＝cos π4cos α－sin π4sin α＝ 22·(－35)－ 22·(－45) ＝ 102.
又 sin2α＋cos2α＝1，所以 sin α＝255，cos α＝ 55，则 cosα－π4
＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝ 55× 22＋255× 22＝31010.
答案：3
10 10
三角函数公式的直接应用
(1)已知 α∈π2，π，sin α＝153，则 tanα＋π4＝(
2．若 α＋β＝34π，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．解析：－1＝tan34π＝tan(α＋β)＝1t－antaαn＋αttaannββ，所以 tan αtan β－1＝tan α＋tan β. 所以 1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2，即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 答案：2
三角函数公式的活用 (高频考点) 三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题的形式出现，研究三角函数的性质和解三角形常应用三角函数公式．主要命题角度有： (1)两角和与差公式的逆用及变形应用； (2)二倍角公式的活用．
角度一两角和与差公式的逆用及变形应用
(1)已知 sin α＋cos α＝13，则 sin2(π4－α)＝(

数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式学案理

4。

2同角三角函数的基本关系及诱导公式必备知识预案自诊知识梳理1。

同角三角函数的基本关系（1）平方关系:sin2α+cos2α=。

(2)商数关系:sinαcosα=(α≠π2+kπ,k∈Z)。

2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2-απ2+α正弦sin α余弦cos α正切tan α续表公式一二三四五六口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限1。

特殊角的三角函数值2.同角三角函数基本关系式的常用变形(1)（sin α±cos α）2=1±2sin αcos α；（2)sin α=tan αcos αα≠π2+kπ,k∈Z；(3）sin2α=sin2αsin2α+cos2α=tan2αtan2α+1;（4）cos 2α=cos 2αsin 2α+cos 2α=1tan 2α+1。

考点自诊1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”。

（1）对任意的角α，β有sin 2α+cos 2β=1。

( ）（2)若α∈R ，则tan α=sinαcosα恒成立.（）（3)sin （π+α）=-sin α成立的条件是α为锐角。

( )(4）若cos(n π—θ）=13(n ∈Z )，则cos θ=13.（）2。

(2020河北衡水中学模拟一,理3)已知cos α-π2=-2√55，α∈π，3π2,则tan α=（）A 。

2B 。

32C.1D.123。

(2020河北唐山模拟，理4）已知角α的顶点在原点,始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点A (2sin α，3）（sin α≠0），则cos α=( ）A.12B 。

-12C 。

√32D.-√324。

函数f (x )=15sin x+π3+cos x —π6的最大值为（ ) A.65B.1C.35D.15关键能力学案突破考点同角三角函数基本关系式的应用【例1】（1)若tan(α-π）=12，则sin 2α+1cos 2α-sin 2α=( )A。

2020版高考数学大一轮复习第4章三角函数、解三角形第1讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导

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技巧点拨 1.已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函角的三角函数值进行求解.转化过程中注意口诀“奇变偶不的应用. 2.对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存充分利用给定的式子,结合诱导公式将角进行转化.
在终边上任取一个异于原点的点时应分两种情况,进而用三
求解.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角α的值,再求
(3)若角α终边上的点的坐标中含参数,要讨论参数的各种情
数值的符号.判断三角函数值的符号或根据三角函数值的符
般利用三角函数在各象限内的符号规律进行求解.
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考法2 利用同角三角函数的基本系和诱导公式化简求值
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C方法帮•素养大提升
方法分类讨论思想在三角函数应用
方法分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用
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素养提升 (1)本题在三角函数的化简求值过程中,体现了分类讨论思想种情况不符合题意,也不能省略讨论的步骤,提升数学思维的 (2)三角形中的三角函数问题,要注意隐含条件的挖掘以及三理的应用.
C方法帮•素养大提升方法分类讨论思想在三角函数化简求值中的应用
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考情精解读
命题规律聚焦核心素养
命题规律考点内容
考纲要求
考题取样
1.任意角的三角函数
理解
2017北京,T12
2.同角三角函数的基本关系
3.诱导公式
理解
2016全国Ⅲ,T5

2017版大一轮复习题组训练第四章三角函数题组19 含解析

题组层级快练(十九)1．下列各数中与sin2 016°的值最接近的是( ) A.12 B.32C ．－12D ．－32答案 C解析 2 016°＝5×360°＋180°＋36°， ∴sin2 016°＝－sin36°和－sin30°接近，选C. 2．sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( ) A ．1 B ．2sin 2α C ．0 D ．2 答案 D3．tan(5π＋α)＝m ，则sin （α－3π）＋cos （π－α）sin （－α）－cos （π＋a ）的值为( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1 D ．1 答案 A解析由tan(5π＋α)＝m ，∴tan α＝m 原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝m ＋1m －1∴选A.4.1＋2sin （π－3）cos （π＋3）化简的结果是( ) A ．sin3－cos3 B ．cos3－sin3 C ．±(sin3－cos3) D ．以上都不对答案 A解析 sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3， ∴1－2sin3·cos3＝（sin3－cos3）2＝|sin3－cos3|. ∵π2<3<π，∴sin3>0，cos3<0. ∴原式＝sin3－cos3，选A. 5．化简cos α1－sin α1＋sin α＋sin α1－cos α1＋cos α(π<α<3π2)得( )A ．sin α＋cos α－2B ．2－sin α－cos αC ．sin α－cos αD ．cos α－sin α解析原式＝cos α（1－sin α）2cos 2α＋sin α（1－cos α）2sin 2α，∵π<α<32π，∴cos α<0，sin α<0.∴原式＝－(1－sin α)－(1－cos α)＝sin α＋cos α－2. 6．记cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝( ) A.1－k 2kB ．－1－k 2kC.k1－k 2D ．－k1－k 2答案 B解析 cos(－80°)＝cos80°＝k ，sin80°＝1－k 2，tan80°＝1－k 2k，tan100°＝－tan80°＝－1－k 2k.7．已知A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1，2，－2}B ．{－1，1}C ．{2，－2}D ．{1，－1，0，2，－2}答案 C解析当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；当k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.8．(tanx ＋1tanx)cos 2x ＝( ) A ．tanx B ．sinx C ．cosx D.1tanx答案 D解析 (tanx ＋1tanx )cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sinxcosx ·cos 2x ＝cosx sinx ＝1tanx.9．若A 为△ABC 的内角，且sin2A ＝－35，则cos(A ＋π4)等于( )A.255B ．－255C.55D ．－55解析 cos 2(A ＋π4)＝[22(cosA －sinA)]2＝12(1－sin2A)＝45.又cosA<0，sinA>0，∴cosA －sinA<0. ∴cos(A ＋π4)＝－255.10．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23 D ．－2答案 A解析由3sin α＝－cos α，得tan α＝－13.1cos 2α＋sin2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝1＋191－23＝103. 11．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( ) A ．－43B.54 C ．－34D.45答案 D解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45.12．(2016·山东师大附中月考)若cos(π6－α)＝m(|m|≤1)，则sin(23π－α)的值为( )A ．－mB ．－m 2C.m2 D ．m答案 D解析 sin(2π3－α)＝sin(π2＋π6－α)＝cos(π6－α)＝m ，选D.13．(2016·衡水调研卷)已知A 为锐角，lg(1＋cosA)＝m ，lg11－cosA ＝n ，则lgsinA 的值为( )A ．m ＋1nB.12(m －n) C.12(m ＋1n ) D.12(m －1n) 答案 B解析 lg(1＋cosA)＝m ，lg(1－cosA)＝－n ∴lg(1－cos 2A)＝m －n ∴lgsin 2A ＝m －n ∴lgsinA ＝12(m －n)选B.14．已知sin θ＝55，则sin 4θ－cos 4θ的值为________．答案－35解析由sin θ＝55，可得cos 2θ＝1－sin 2θ＝45，所以sin 4θ－cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)(sin 2θ－cos 2θ)＝sin 2θ－cos 2θ＝15－45＝－35.15．化简sin 6α＋cos 6α＋3sin 2αcos 2α的结果是________．答案 1解析 sin 6α＋cos 6α＋3sin 2αcos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 4α－sin 2αcos 2α＋cos 4α)＋3sin 2αcos 2α＝sin 4α＋2sin 2αcos 2α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2＝1. 16．化简1－2sin40°·cos40°cos40°－1－sin 250°为________．答案 117．若tan α＋1tan α＝3，则sin αcos α＝________，tan 2α＋1tan 2α＝________．答案 13，7解析 ∵tan α＋1tan α＝3，∴sin αcos α＋cos αsin α＝3.即sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝3.∴sin αcos α＝13.又tan 2α＋1tan 2α＝(tan α＋1tan α)2－2tan α1tan α＝9－2＝7. 18．(2016·浙江嘉兴联考)已知α为钝角，sin(π4＋α)＝34，则sin(π4－α)＝________，cos (α－π4)＝________．答案－74，34解析 sin(π4－α)＝cos[π2－(π4－α)]＝cos(π4＋α)，∵α为钝角，∴34π<π4＋α<54π.∴cos(π4＋α)<0.∴cos(π4＋α)＝－1－（34）2＝－74.cos (α－π4)＝sin[π2＋(α－π4)]＝sin(π4＋α)＝34.19．已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，试求2sin αcos α－cos α＋11－tan α的值．答案55－95解析 ∵cos α－sin α＝－55，∴1－2sin αcos α＝15. ∴2sin αcos α＝45.∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95.∵0<α<π2，∴sin α＋cos α＝35 5.与cos α－sin α＝－55联立，解得 cos α＝55，sin α＝255.∴tan α＝2. ∴2sin αcos α－cos α＋11－tan α＝45－55＋11－2＝55－95.1．若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 D 解析sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6，故选D.2．已知cosA ＋sinA ＝－713，A 为第四象限角，则tan α等于( )A.125B.512 C ．－125D ．－512答案 C解析 ∵cosA ＋sinA ＝－713，①∴(cosA ＋sinA)2＝(－713)2，∴2cosA ·sinA ＝－120169.∴(cosA －sinA)2＝(cosA ＋sinA)2－4cosAsinA. ∵A 为第四象限角，∴cosA －sinA ＝1713.②∴联立①②，∴cosA ＝513，sinA ＝－1213.∴tanA ＝sinA cosA ＝－125，选C.3．已知sin(π4＋α)＝32，则sin(3π4－α)的值为________．答案32解析 sin(3π4－α)＝sin[π－(π4＋α)]＝sin(π4＋α)＝32.4．若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于________．答案3解析由二倍角公式可得sin 2α＋1－2sin 2α＝14，即－sin 2α＝－34，sin 2α＝34.又因为α∈(0，π2)，所以sin α＝32，即α＝π3，所以tan α＝tan π3＝ 3. 5．已知－π2<α<0，且函数f(α)＝cos(3π2＋α)－sin α·1＋cos α1－cos α－1.(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝15，求sin α·cos α和sin α－cos α的值．答案 (1)f(α)＝sin α＋cos α (2)－1225，－75解析 (1)f(α)＝sin α－sin α·（1＋cos α）21－cos 2α－1＝sin α＋sin α·1＋cos αsin α－1＝sin α＋cos α.(2)方法一：由f(α)＝sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin α·cos α＋cos 2α＝125，即2sinα·cos α＝－2425.∴sin α·cos α＝－1225.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝4925，又－π2<α<0，∴sin α<0，cos α>0，∴sin α－cos α<0，∴sin α－cos α＝－75.方法二：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎨⎧sin α＝－35，cos α＝45或⎩⎨⎧sin α＝45，cos α＝－35.∵－π2<α<0，∴⎩⎨⎧sin α＝－35，cos α＝45.∴sin α·cos α＝－1225，sin α－cos α＝－75.。

高考数学一轮复习第四篇三角函数与解三角形专题4.1 角与弧度制、三角函数的概念练习(含解析)-

专题4.1 角与弧度制、三角函数的概念【考试要求】1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性；2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．【知识梳理】1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝l r (弧长用l 表示) 角度与弧度的换算1°＝π180 rad ；1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π° 弧长公式弧长l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 2 3.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x(x ≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.【微点提醒】1.若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α>α>sin α. 2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.3.象限角的集合4.轴线角的集合【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.( )(2)锐角是第一象限角，反之亦然.( )(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.( )(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×【解析】 (1)锐角的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)第一象限角不一定是锐角.(3)顺时针旋转得到的角是负角.(4)终边相同的角不一定相等.【教材衍化】2.(必修4P12例2改编)已知角α的终边过点P (8m ，3)，且cos α＝－45，则m 的值为()A.－12B.12C.－32D.32【答案】 A【解析】由题意得m <0且8m(8m )2＋32＝－45，解得m ＝－12. 3.(必修4P4例1改编)在－720°～0°X 围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________.【答案】 {－675°，－315°}【解析】所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )，得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z ).解得k ＝－2或k ＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.【真题体验】4.(2019·某某模拟)若sin θ·cos θ<0，tan θsin θ>0，则角θ是( ) A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】 D【解析】由tan θsin θ>0，得1cos θ>0，故cos θ>0.又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角.5.(2019·日照一中质检)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为________.【答案】 3【解析】设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝α·r ，所以α＝ 3.6.(2019·某某模拟)已知角α的终边在直线y ＝－x 上，且cos α<0，则tan α＝________.【答案】－1【解析】如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P (x ，y )，则y ＝－x ，由三角函数的定义得tan α＝y x ＝－x x＝－1.【考点聚焦】考点一角的概念及其集合表示【例1】 (1)若角α是第二象限角，则α2是( ) A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________.【答案】 (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π 【解析】 (1)∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角. (2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π.【规律方法】 1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角.2.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2k π＋α(0≤α<2π)(k ∈Z )的形式，然后再根据α所在的象限予以判断.【训练1】 (1)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A.M ＝N B.M ⊆NC.N ⊆MD.M ∩N ＝∅(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的X 围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________.【答案】 (1)B (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z 【解析】 (1)由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N . (2)在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，所以，所求角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z . 考点二弧度制及其应用【例2】 (经典母题)已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的面积. 【答案】见解析【解析】由已知得α＝π3，R ＝10， ∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2). 【迁移探究1】若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.【答案】见解析【解析】l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)， S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12·l ·R －12·R 2·sin π3＝12·10π3·10－12·102·32＝50π－7533(cm 2). 【迁移探究2】若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【答案】见解析【解析】由已知得，l ＋2R ＝20，即l ＝20－2R (0<R <10).所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5 cm 时，S 取得最大值25 cm 2，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.【规律方法】1.应用弧度制解决问题的方法：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.2.求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.【训练2】 (一题多解)(2019·某某质检)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A.6平方米B.9平方米C.12平方米D.15平方米【答案】 B【解析】法一如图，由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝4，在Rt△AOD 中，可得∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12AO ＝12×4＝2，于是矢＝4－2＝2.由AD ＝AO ·sin π3＝4×32＝23，得弦AB ＝2AD ＝4 3. 所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12×(43×2＋22)＝43＋2≈9(平方米). 法二由已知，可得扇形的面积S 1＝12r 2θ＝12×42×2π3＝16π3，△AOB 的面积S 2＝12×OA ×OB ×sin ∠AOB＝12×4×4×sin 2π3＝4 3. 故弧田的面积S ＝S 1－S 2＝16π3－43≈9(平方米). 考点三三角函数的概念【例3】 (1)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫sin π3，cos π3，则sin(π＋α)＝( ) A.－32B.－12C.12D.32(2)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】 (1)B (2)C【解析】 (1)易知sin π3＝32，cos π3＝12，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 由三角函数的定义可得sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，则sin(π＋α)＝－sin α＝－12. (2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角；由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限角.【规律方法】 1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.三角函数线的应用问题的求解思路确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解.【训练3】 (1)(2019·某某一中月考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，若点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45和⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则cos(α＋β)的值为( )A.－2425B.－725C.0D.2425(2)满足cos α≤－12的角α的集合为________. 【答案】 (1)A (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z 【解析】 (1)由三角函数的定义可得cos α＝35，sin α＝45，cos β＝－45，sin β＝35. 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－2425. (2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的X 围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .【反思与感悟】1.在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP |＝r 一定是正值.2.在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是体现数学直观想象核心素养.【易错防X 】1.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角.2.相等的角终边相同，但终边相同的角不一定相等.3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟)一、选择题1.给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确的命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】 C【解析】－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确.2.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A.2k π＋45°(k ∈Z ) B.k ·360°＋94π(k ∈Z ) C.k ·360°－315°(k ∈Z ) D.k π＋5π4(k ∈Z ) 【答案】 C【解析】与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，排除A ，B ，易知D 错误，C 正确.3.(2019·某某区模拟)已知角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝7π3，则m 的值为( ) A.27 B.127C.9 D.19【答案】 B【解析】 ∵tan 7π3＝3m m＝m －16＝3，∴m －1＝33＝27， ∴m ＝127，故选B.4.已知点M 在角θ终边的反向延长线上，且|OM |＝2，则点M 的坐标为( )A.(2cos θ，2sin θ)B.(－2cos θ，2sin θ)C.(－2cos θ，－2sin θ)D.(2cos θ，－2sin θ)【答案】 C【解析】由题意知，M 的坐标为(2cos(π＋θ)，2sin(π＋θ))，即(－2cos θ，－2sin θ).5.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】 B【解析】由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0，综上知θ2为第二象限角.6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝() A.－45B.－35C.35D.45【答案】 B【解析】由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ.将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1中可得cos 2θ＝15，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.7.(2019·潍坊一模)若角α的终边过点A (2，1)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝( )A.－255 B.－55C.55D.255【答案】 A【解析】由三角函数定义，cos α＝25＝255，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos α＝－255.8.已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6【答案】 D【解析】由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6. 二、填空题9.(2019·某某徐汇区调研)已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m 等于________. 【答案】 3【解析】由题意知m >0且sin θ＝m 16＋m 2＝35，解得m ＝3. 10.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________. 【答案】 π3【解析】设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.11.(2019·某某调研)设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝________.【答案】－43【解析】因为α是第二象限角，所以cos α＝15x <0，即x <0. 又cos α＝15x ＝x x 2＋16，解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43. 12.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值X 围是________.【答案】 (－2，3]【解析】 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上.∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4【答案】 A【解析】举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错.综上可知只有③正确.14.(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15B.55C.255D.1 【答案】 B 【解析】由题意可知tan α＝b －a 2－1＝b －a ，又cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－（b －a ）21＋（b －a ）2＝23， ∴5(b －a )2＝1，得(b －a )2＝15，则|b －a |＝55. 15.函数y ＝2sin x －1的定义域为________.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )【解析】 ∵2sin x －1≥0，∴sin x ≥12. 由三角函数线画出x 满足条件的终边X 围(如图阴影所示).∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ).16.已知sin α<0，tan α>0.(1)求角α的集合；(2)求α2的终边所在的象限； (3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号. 【答案】见解析【解析】(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z . (2)由(1)知2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ，故k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2的终边在第二、四象限. (3)当α2在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0， sin α2<0，cos α2>0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号. 综上，tan α2sin α2cos α2取正号. 【新高考创新预测】17.(多填题)某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A ，B 两点的距离d (单位：cm)表示成t (单位：s)的函数，则d ＝________(其中t ∈[0，60])；d 的最大值为________cm.【答案】 10sin πt 6010 【解析】根据题意，得∠AOB ＝t 60×2π＝πt 30，故d ＝2×5sin ∠AOB 2＝10sin πt 60(t ∈[0，60]).∵t ∈[0，60]，∴πt 60∈[0，π]，当t ＝30时，d 最大为10 cm.。

2023年高考数学一轮考点复习第四章三角函数、解三角形第一讲任意角和弧度制及任意角的三角函数

练案[22] 第四章三角函数、解三角形第一讲任意角和弧度制及任意角的三角函数A 组基础巩固一、单选题1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] ①中－3π4是第三象限角，故①错．②中4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确．③中－400°＝－360°－40°，从而－400°是第四象限角，③正确．④中－315°＝－360°＋45°，从而－315°是第一象限角，④正确．2．(2022·吉林长春模拟预测)2022年北京冬奥会开幕式倒计时环节把二十四节气与古诗词、古谚语融为一体，巧妙地呼应了今年是第二十四届冬奥会，更是把中国传统文化和现代美学完美地结合起来，彰显了中华五千年的文化自信．地球绕太阳的轨道称为黄道，而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分的，当太阳垂直照射赤道时定为“黄经零度”，即春分点，从这里出发，每前进15度就为一个节气，从春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏等等．待运行一周后就又回到春分点，此为一心归年，共360度，因此分为24个节气，则今年高考前一天芒种为黄经( B )A ．60度B ．75度C．270度D．285度[解析]春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏、小满、芒种，所以芒种为黄经15×5＝75度．故选B.3．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( B )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]由题意知tan α<0，cos α<0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B.4．在△ABC中，若sin A·cos B·tan C<0，则△ABC的形状是( B )A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定[解析]∵△ABC中每个角都在(0，π)内，∴sin A>0.∵sin A·cos B·tan C<0，∴cos B·tan C<0.若B，C同为锐角，则cos B·tan C>0.∴B，C中必定有一个钝角．∴△ABC是钝角三角形．故选B.5．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( B )A．sin α＋cos α<0 B．tan α－sin α<0C．cos α－tan α<0 D．tan αsin α<0[解析]α是第三象限角，sin α<0，cos α<0，tan α>0，可得A、C、D成立，故选B.6．(2022·辽宁大连二十四中高一期中)已知边长为63的等边△ABC的外接圆圆心为O，则∠AOC所对的劣弧长为( D )A．π B．2πC．3π D．4π[解析] 因为边长为63的等边△ABC 的外接圆圆心为O ，则O 为等边△ABC 的中心，故∠AOC ＝2π3，且OA ＝OC ＝633＝6，故∠AOC 所对的劣弧长为6×2π3＝4π，故选D.7．(2022·衡水模拟)点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12[解析] 点P 运动的弧长所对圆心角的弧度数为2π3，由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.8．(2022·深圳模拟)已知角α的始边为x 轴正半轴，终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则实数m 的值为( A )A.12 B ．－12 C ．±12D ．±32[解析] 角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，即P (－8m ，－3)．又cos α＝－45<0，∴角α的终边在第三象限，则m >0.∵|OP |＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，解得m ＝12(负值舍去)．二、多选题9．下列各式中结果为正值的是( ACD ) A ．sin 1 125° B ．tan 3712π·sin 3712π C.sin 5tan 5D ．sin|－1|[解析] 确定一个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪个象限，确定一个式子的符号，则需观察构成该式的结构特点及每部分的符号．对于A ，因为1 125°＝1 080°＋45°，所以1 125°是第一象限角，所以sin 1 125°>0；对于B ，因为3712π＝2π＋1312π，则3712π是第三象限角，所以tan 3712π>0，sin 3712π<0，故tan 3712π·sin 3712π<0；对于C ，因为5弧度的角在第四象限，所以sin 5<0，tan 5<0，故sin 5tan 5>0；对于D ，因为π4<1<π2，所以sin|－1|>0.10．(2023·吉林长春普通高中模拟改编)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线x ＋y ＝0上，则角α的取值集合是( AD )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π－π4，或α＝2k π＋3π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝2k π＋3π4，k ∈ZC.⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π－π4，k ∈Z[解析] 因为直线x ＋y ＝0的倾斜角是3π4，所以终边落在直线x ＋y ＝0上的角的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧ α⎪⎪⎪ α＝2k π－π4或α＝2k π＋⎭⎬⎫3π4，k ∈Z 或⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π－π4，k ∈Z .故选A 、D.11.(2023·山东新高考模拟)如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1,0)，∠BOA ＝60°，质点A 以1 rad/s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则( ABD )A ．经过1 s 后，∠BOA 的弧度数为π3＋3 B ．经过π12 s 后，扇形AOB 的弧长为7π12 C ．经过π6 s 后，扇形AOB 的面积为π3D ．经过5π9 s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇[解析] 经过1 s 后，质点A 运动1 rad ，质点B 运动2 rad ，此时∠BOA 的弧度数为π3＋3，故A 正确；经过π12 s 后，∠AOB ＝π12＋π3＋2×π12＝7π12，故扇形AOB 的弧长为7π12×1＝7π12，故B 正确；经过π6 s 后，∠AOB ＝π6＋π3＋2×π6＝5π6，故扇形AOB 的面积为S ＝12×5π6×12＝5π12，故C 不正确；设经过t s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇，则t (1＋2)＋π3＝2π，解得t ＝5π9(s)，故D 正确．三、填空题12．－2 020°角是第_二__象限角，与－2 020°角终边相同的最小正角是_140°__，最大负角是_－220°__.[解析] 因为－2 020°＝－6×360°＋140°，所以－2 020°角的终边与140°角的终边相同．所以－2 020°角是第二象限角，与－2 020°角终边相同的最小正角是140°.又140°－360°＝－220°，故与－2 020°终边相同的最大负角是－220°.13．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于 π3 . [解析] 设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎨⎧l ＝π3，r ＝2.14．(2022·江苏宿迁高一期中)月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是△ABC 的外接圆和以AB 为直径的圆的一部分，若∠ACB ＝2π3，南北距离AB 的长大约60 3 m ，则该月牙泉的面积约为_2_028__m 2(精确到整数位)(参考数据：π≈3.14，3≈1.73)[解析] 设△ABC 的外接圆的半径为r ，则2r ＝AB sin 2π3＝60332＝120，得r ＝60，因为月牙内弧所对的圆心角为2π－2×2π3＝2π3，所以内弧的弧长l ＝60×2π3＝40π，所以弓形ABC 的面积为S 1＝12×40π×60－12×60×60×sin 2π3＝1 200π－9003，以AB 为直径的半圆的面积为12π×(303)2＝1 350π，所以该月牙泉的面积为 1 350π－(1 200π－9003)＝150π＋9003≈2 028.15．函数y ＝2sin x －1的定义域为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) .[解析] ∵2sin x －1≥0， ∴sin x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分)．∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )．B 组能力提升1．(多选题)下列结论中正确的是( BCD )A ．若角α的终边过点P (3k,4k )(k ≠0)，则sin α＝45B ．若α是第一象限角，则α2为第一或第三象限角C ．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度D ．若0<α<π2，则sin α<tan α[解析] 当k ＝－1时，P (－3，－4)，则sin α＝－45，故A 错误； ∵2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z ， ∴k π<α2<k π＋π4，k ∈Z ，∴α2为第一或第三象限角，故B 正确； |α|＝l r ＝6－42＝1，故C 正确；∵0<α<π2，∴sin α<tan α⇔sin α<sin αcos α⇔cos α<1，故D 正确． 2．设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z，那么( B )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅[解析] 由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .3．(多选题)(2023·唐山模拟)函数f (x )＝sin x |sin x |＋cos x |cos x |＋tan x|tan x |的值可能为( BC )A ．1B ．－1C ．3D ．－3[解析] 由sin x ≠0，cos x ≠0，知x 终边不在坐标轴上，若x 为第一象限角，f (x )＝sin x sin x ＋cos x cos x ＋tan xtan x ＝3.若x 为第二象限角，f (x )＝sin x sin x ＋cos x －cos x ＋tan x－tan x ＝－1.若x 为第三象限角，f (x )＝sin x －sin x ＋cos x －cos x＋tan xtan x ＝－1. 若x 为第四象限角，f (x )＝sin x －sin x ＋cos x cos x ＋tan x－tan x＝－1. 故选B 、C.4．(2023·江西吉安期末)达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑数百年让无数观赏者入迷．某爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A ，B 处作圆弧所在圆的切线，两条切线交于点C ，测得AB ＝12.6 cm ，∠ACB ＝2π3，则《蒙娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为(单位：cm)( C )。

2023版高考数学一轮总复习4-1三角函数的概念同角三角函数的基本关系和诱导公式习题

4.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系和诱导公式基础篇固本夯基考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系和诱导公式 1.(2022届河南重点中学模拟,1)已知sin37°=35,则cos593°=( ) A.35 B.-35 C.45 D.-45 答案 B2.(2022届江西十七校期中,3)当θ∈(0,π2)时,若cos (5π6-θ)=-12,则sin (θ+π6)的值为( )A.12 B.√32 C.-√32D.-12答案 B3.(2020课标Ⅱ,2,5分)若α为第四象限角,则 ( ) A.cos2α>0 B.cos2α<0 C.sin2α>0 D.sin2α<0 答案 D4.(2021陕西榆林一模,3)如图,角α,β的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆O 分别交于A,B 两点,则θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.cos(α-β)B.cos(α+β)C.sin(α-β)D.sin(α+β) 答案 A5.(2021四川宜宾二诊,3)若点sin5π6,cos5π6在角α的终边上,则sinα=( )A.√32 B.12 C.-√32 D.-12 答案 C6.(2021河南中原名校联盟4月联考,4)已知cos 20212π+α=-12,α∈(π2,π),则cosα=( )A.12 B.-12 C.√32 D.-√32 答案 D7.(2020成都七中模拟,2)记cos(-80°)=k,那么tan100°=( ) A.√1-θ2θ B.-√1-θ2θ C.√ D.-√答案 B8.(2021云南顶级名校期末联考,6)设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数,若f(2020)=1,则f(2021)=( ) A.1 B.2 C.0 D.-1 答案 D9.(2020皖北名校3月联考,13)sin613°+cos1063°+tan30°的值为 . 答案√3310.(2021安徽黄山二模,13)若一扇形的圆心角为144°,半径为10cm,则扇形的面积为 cm 2. 答案 40π11.(2021山西三市五校3月联考,14)已知cos (π2-α)+sin (π2+β)=1,则cos 2(32π+θ)+cosβ-1的取值范围为 .答案 [-14,0]12.(2022届湖南名校10月联考,14)如图所示的时钟显示的时刻为3:30,此时时针与分针的夹角为α(0<θ≤π2).若一个半径为12的扇形的圆心角为α,则该扇形的弧长为 .答案 5π13.(2022届黑龙江八校期中,14)化简:tan(π-θ)cos(2π-θ)sin (-θ+3π2)cos(-θ-π)sin(-π-θ)的值为 .答案 -1综合篇知能转换考法一三角函数定义的应用1.(2022届成都蓉城名校联盟联考一,8)已知角θ的终边过点A(6,a),且sin(θ-3π)=45,则tan (2θ-π4)=( )A.1731B.-3117C.317D.-731答案 A2.(2022届安徽六安一中月考三,9)在平面直角坐标系xOy 中,α为第四象限角,角α的终边与单位圆O 交于点P(x 0,y 0),若cos α+π6=45,则x 0=( ) A.4√3-310B.4√3+310C.4√3-410D.4√3±310答案 A3.(2021黑龙江牡丹江二模,6)角α的终边上一点P(a,2a)(a≠0),则2sinα-cosα=( ) A.√55B.-√55C.√55或-√55D.3√55或-3√55答案 D4.(2021河南洛阳重点中学模拟,6)现有如下结论:①若点P(a,2a)(a≠0)为角α的终边上一点,则sinα=2√55;②同时满足sinα=12,cosα=√32的角有无数个;③设tanα=12且π<α<32π,则sinα=-√55;④设cos(sinθ)·tan(cosθ)>0(θ为象限角),则θ是第一象限角,其中正确结论的序号为( )A.①②B.②③C.①③D.②④ 答案 B5.(2020太原名校联盟4月模拟,7)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,将角α的终边按顺时针方向旋转π6后经过点(-3,4),则cosα=( )A.3√3+410B.-3√3+410C.3√3-410D.4-3√310答案 B6.(2018浙江,18,14分)已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P (-35,-45). (1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=513,求cosβ的值.解析 (1)由角α的终边过点P (-35,-45)得sinα=-45,所以sin(α+π)=-sinα=45.(2)由角α的终边过点P (-35,-45)得cosα=-35,由sin(α+β)=513得cos(α+β)=±1213.由β=(α+β)-α得cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,所以cosβ=-5665或cosβ=1665.考法二同角三角函数的基本关系的应用1.(2022届江西十七校期中,5)已知tanθ=2,则(sinθ-3cosθ)2-1的值为( ) A.-45 B.45 C.-15 D.15 答案 A2.(2021江西萍乡二模,5)已知tanα=-2,则sin2α+cos 2α的值为( ) A.45B.-45C.35D.-35答案 D3.(2021湘豫名校联盟4月联考,8)若tanα=2sin(α-π),则cos2α=( ) A.-14B.1C.-12或0 D.-12或1答案 D4.(2020河南禹州高级中学月考,4)α∈(π4,π2),12sin θ+12cos θ=35,则tan2α=( ) A.247B.-247C.±247D.-724答案 B5.(2020辽宁丹东二模,8)在△ABC 中,cosA+sinA=15,则tan (θ-π4)=( ) A.7 B.-17 C.±7 D.±17答案 A6.(2020浙江,13,6分)已知tanθ=2,则cos2θ= ,tan (θ-π4)= . 答案 -35;137.(2022届新疆克拉玛依模拟三,15)在△ABC 中,已知sinA+cosA=15,则sinA-cosA= . 答案 758.(2022届宁夏长庆高级中学月考一,17)已知函数y=sinθ+cosθ+2sinθcosθ. (1)设变量t=sinθ+cosθ,试用t 表示y=f(t),并写出t 的取值范围; (2)求函数y=f(t)的值域.解析 (1)因为t=sinθ+cosθ(θ∈R),sin 2θ+cos 2θ=1,所以2sinθcosθ=t 2-1,故f(t)=t 2+t-1,t=sinθ+cosθ=√2sin (θ+π4)∈[-√2,√2],故t 的取值范围为[-√2,√2]. (2)由(1)知y=f(t)=t 2+t-1=(θ+12)2-54(t∈[-√2,√2]),由二次函数的性质可知,y=f(t)的最小值为f (-12)=-54,又f(-√2)=1-√2,f(√2)=1+√2,所以y=f(t)的值域为[-54,1+√2].。

高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形 4

高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4.5 三角函数的图象与性质考试要求 1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的性质．知识梳理1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R {x | x ≠k π ⎭⎬⎫＋π2 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间⎣⎡ 2k π－π2，⎦⎤2k π＋π2[2k π－π，2k π]⎝⎛ k π－π2，⎭⎫k π＋π2递减区间⎣⎡ 2k π＋π2，⎦⎤2k π＋3π2[2k π，2k π＋π]对称中心 (k π，0) ⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0⎝⎛⎭⎫k π2，0对称轴方程 x ＝k π＋π2x ＝k π常用结论1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )．(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (2)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (3)y ＝sin|x |是偶函数．( √ )(4)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期．( √ ) 教材改编题1．若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( )A ．T ＝π，A ＝1B ．T ＝2π，A ＝1C ．T ＝π，A ＝2D ．T ＝2π，A ＝2 答案 A2．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π＋π6k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π2＋π6k ∈Z答案 D解析由2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π6，k ∈Z .3．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间是________．答案 ⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 解析因为y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，求得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，可得函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .题型一三角函数的定义域和值域例1 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z 解析要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1解析设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]．当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－1＋222. ∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1.教师备选1．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 解析要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 2．函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________．答案 1解析由题意可得 f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴cos x ∈[0,1]． ∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )取最大值为1. 思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解． (2)三角函数值域的不同求法①把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域． ②把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域． ③利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．跟踪训练1 (1)(2021·北京)函数f (x )＝cos x －cos 2x ，试判断函数的奇偶性及最大值( ) A ．奇函数，最大值为2 B ．偶函数，最大值为2 C ．奇函数，最大值为98D ．偶函数，最大值为98答案 D 解析由题意，f (－x )＝cos (－x )－cos (－2x ) ＝cos x －cos 2x ＝f (x )，所以该函数为偶函数，又f (x )＝cos x －cos 2x ＝－2cos 2x ＋cos x ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫cos x －142＋98，所以当cos x ＝14时，f (x )取最大值98.(2)函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为________．答案 ⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 ∵函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2，∴应满足⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <π2＋k π，－3≤x ≤3，其中k ∈Z ，∴－3≤x <－π2或0<x <π2，∴函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2.题型二三角函数的周期性、奇偶性、对称性例2 (1)(2019·全国Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增的是( ) A ．f (x )＝|cos 2x | B ．f (x )＝|sin 2x |答案 A解析 A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．(2)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ＋1，φ∈(0，π)，且f (x )为偶函数，则φ＝________，f (x )图象的对称中心为________．答案5π6 ⎝⎛⎭⎫π4＋k π2，1，k ∈Z 解析若f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ＋1为偶函数，则－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝5π6.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋1＝3cos 2x ＋1，由2x ＝π2＋k π，k ∈Z 得x ＝π4＋k π2，k ∈Z ，∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π4＋k π2，1，k ∈Z . 教师备选1．下列函数中，是周期函数的为( ) A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |答案 B解析 ∵cos|x |＝cos x ，∴y ＝cos|x |是周期函数．其余函数均不是周期函数． 2．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)，若f (x )为奇函数，则φ＝________. 答案 π3解析若f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ为奇函数，则－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝π3.思维升华 (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为πω求解．跟踪训练2 (1)(2021·全国乙卷)函数f (x )＝sin x 3＋cos x3最小正周期和最大值分别是( )A ．3π和 2B ．3π和2C ．6π和 2D ．6π和2答案 C解析因为函数f (x )＝sin x 3＋cos x3＝2⎝⎛⎭⎫22sin x 3＋22cos x 3＝2⎝⎛⎭⎫sin x 3cos π4＋cos x 3sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π4，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π13＝6π，最大值为 2.(2)已知f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)是定义域为R 的奇函数，且当x ＝3时，f (x )取得最小值－3，当ω取得最小正数时，f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 022)的值为( ) A.32 B ．－6－3 3 C ．1 D ．－1答案 B解析 ∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)是定义域为R 的奇函数， ∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，则φ＝π2，则f (x )＝－A sin ωx .当x ＝3时，f (x )取得最小值－3，故A ＝3，sin 3ω＝1， ∴3ω＝π2＋2k π，k ∈Z .∴ω的最小正数为π6，∴f (x )＝－3sin π6x ，∴f (x )的周期为12，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 022) ＝168×0＋f (1)＋f (2)＋…＋f (6) ＝－6－3 3.(3)(2022·郑州模拟)设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋34，则下列叙述正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为2π B ．f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 C ．f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的最小值为－54 D ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称答案 C解析对于A ，f (x )的最小正周期为2π2＝π，故A 错误；对于B ，∵sin ⎝⎛⎭⎫2×π12－π3＝－12≠±1，故B 错误；对于C ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－1，32， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋34∈⎣⎡⎦⎤－54，3＋34， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的最小值为－54，故C 正确；对于D ，∵f ⎝⎛⎭⎫2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3－π3＋34＝34， ∴f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，34对称，故D 错误．题型三三角函数的单调性命题点1 求三角函数的单调区间例3 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________．答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3 ＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 故所求函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．延伸探究 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3在[0，π]上的单调递减区间为________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，5π12和⎣⎡⎦⎤11π12，π 解析令A ＝⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ， B ＝[0，π]，∴A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤0，5π12∪⎣⎡⎦⎤11π12，π， ∴f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0，5π12和⎣⎡⎦⎤11π12，π. 命题点2 根据单调性求参数例4 (1)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.答案 32解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 单调递增；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 单调递减．由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，知π2ω＝π3， ∴ω＝32. (2)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤12，54解析由π2<x <π，ω>0，得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4，因为y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ，所以⎩⎨⎧ ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z . 又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋54≤0，k ∈Z ，且2k ＋54>0，k ∈Z ，解得k ＝0，所以ω∈⎣⎡⎦⎤12，54.教师备选(2022·定远县育才学校月考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7 D ．1答案 B解析因为x ＝－π4为f (x )的零点， x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，所以2n ＋14·T ＝π2(n ∈N )，即2n ＋14·2πω＝π2(n ∈N )，所以ω＝2n ＋1(n ∈N )，即ω为正奇数．因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则5π36－π18＝π12≤T 2，即T ＝2πω≥π6，解得ω≤12.当ω＝11时，－11π4＋φ＝k π，k ∈Z ，因为|φ|≤π2，所以φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时，11x －π4∈⎝⎛⎭⎫13π36，46π36，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不单调，不满足题意；当ω＝9时，－9π4＋φ＝k π，k ∈Z ，因为|φ|≤π2，所以φ＝π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时，9x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫3π4，3π2，此时f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，符合题意．故ω的最大值为9.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)下列区间中，函数f (x )＝7sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π答案 A解析令－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z .取k ＝0，则－π3≤x ≤2π3.因为⎝⎛⎭⎫0，π2⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以区间⎝⎛⎭⎫0，π2是函数f (x )的单调递增区间． (2)(2022·开封模拟)已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上单调递增，则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎝⎛⎦⎤13，23D.⎣⎡⎦⎤23，2答案 A解析当－π6<x <π3时，－πω6＋π3<ωx ＋π3<πω3＋π3，当x ＝0时，ωx ＋π3＝π3. 因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上单调递增，所以⎩⎨⎧ －πω6＋π3≥－π2，πω3＋π3≤π2，解得ω≤12，因为ω>0，所以ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12. 课时精练1．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π]C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 答案 D 解析将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.2．函数f (x )＝2sin π2x －1的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤π3＋4k π，5π3＋4k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤13＋4k ，53＋4k (k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤π6＋4k π，5π6＋4k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤16＋4k ，56＋4k (k ∈Z ) 答案 B解析由题意，得2sin π2x －1≥0， π2x ∈⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )，则x ∈⎣⎡⎦⎤13＋4k ，53＋4k (k ∈Z )． 3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x －π12是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数D ．最小正周期为π的非奇非偶函数答案 D解析由题意可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12－π2 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋5π12， ∴f (x )＝12－12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，由函数奇偶性的定义易知，f (x )为非奇非偶函数． 4．函数f (x )＝sin x ＋x cos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )答案 D解析由f (－x )＝sin －x ＋－x cos －x ＋－x2 ＝－sin x －x cos x ＋x 2＝－f (x )，得f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ；又f ⎝⎛⎭⎫π2＝1＋π2⎝⎛⎭⎫π22＝4＋2ππ2>1， f (π)＝π－1＋π2>0，排除B ，C. 5．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ，下列命题中为假命题的是( )A ．函数y ＝f (x )的周期为πB ．直线x ＝π4是y ＝f (x )图象的一条对称轴 C ．点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )图象的一个对称中心D ．y ＝f (x )的最大值为 2答案 B解析因为f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，所以f (x )的最大值为2，故D 为真命题；因为ω＝2，故T ＝2π2＝π，故A 为真命题；当x ＝π4时，2x －π4＝π4，终边不在y 轴上，故直线x ＝π4不是y ＝f (x )图象的一条对称轴，故B 为假命题；当x ＝π8时，2x －π4＝0，终边落在x 轴上，故点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )图象的一个对称中心，故C 为真命题．6．(2022·广州市培正中学月考)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |，下列叙述正确的是( )A ．f (x )是奇函数B ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增C ．f (x )的最大值为2D ．f (x )在[－π，π]上有4个零点答案 C解析 f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，f (x )是偶函数，A 错误；当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，单调递减，B 错误；f (x )＝sin|x |＋|sin x |≤1＋1＝2，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，C 正确；在[－π，π]上，当－π<x <0时，f (x )＝sin(－x )＋(－sin x )＝－2sin x >0，当0<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x >0，f (x )的零点只有π，0，－π共三个，D 错误．7．写出一个周期为π的偶函数f (x )＝________.(答案不唯一) 答案 cos 2x8．(2022·上外浦东附中检测)若在⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的实数值满足等式cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1，则实数k 的取值范围是________．答案 0≤k <1解析函数f (x )＝cos 2x ＋3sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时， f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6单调递增；当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6单调递减， f (0)＝2sin π6＝1， f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2＝2， f ⎝⎛⎭⎫π2＝2sin 7π6＝－1，所以在⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的实数值满足等式cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1，则1≤k ＋1<2，所以0≤k <1.9．已知函数f (x )＝4sin ωx sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－1(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω及f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )图象的对称中心．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝⎛⎭⎫12sin ωx ＋32cos ωx －1 ＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1 ＝1－cos 2ωx ＋3sin 2ωx －1 ＝3sin 2ωx －cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6. ∵最小正周期为π，∴2π2ω＝π， ∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π (k ∈Z )．(2)令2x －π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π12＋k π2，0，k ∈Z .10．(2021·浙江)设函数f (x )＝sin x ＋cos x (x ∈R )．(1)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22的最小正周期； (2)求函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值．解 (1)因为f (x )＝sin x ＋cos x ，所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝cos x －sin x ，所以y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22＝(cos x －sin x )2 ＝1－sin 2x .所以函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)f ⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin x ，所以y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin x (sin x ＋cos x ) ＝2(sin x cos x ＋sin 2x ) ＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －12cos 2x ＋12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋22. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时，函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤0，π2上取得最大值，且y max ＝1＋22.11．(2022·苏州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，则下列结论不正确的是( ) A ．x ＝－π6是函数f (x )的一个零点 B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上单调递增 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 D ．函数f ⎝⎛⎭⎫x －π3是偶函数答案 D解析对于A 选项，因为f ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin 0＝0，故x ＝－π6是函数f (x )的一个零点，A 对；对于B 选项，当－5π12≤x ≤π12时，－π2≤2x ＋π3≤π2，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上单调递增，B 对；对于C 选项，因为对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π12，C 对；对于D 选项，令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，则g ⎝⎛⎭⎫π6＝0，g ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π3≠0，故函数f ⎝⎛⎭⎫x －π3不是偶函数，D 错． 12．(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－cos 2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的最大值为3－12B ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫7π6，0对称C ．f (x )的图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z ) D ．f (x )在[0,2π]上有2个零点答案 C解析 f (x )＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32－cos 2x ＝12＋12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝34sin 2x －34cos 2x ＋12＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋12，则f (x )的最大值为1＋32，A 错误；易知f (x )图象的对称中心的纵坐标为12， B 错误；令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，此即f (x )图象的对称轴方程，C 正确；由f (x )＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋12＝0，得sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－33，当x ∈[0,2π]时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，11π3，作出函数y ＝sin x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，11π3的图象，如图所示．所以方程sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－33在[0,2π]上有4个不同的实根，即f (x )在[0,2π]上有4个零点，D 错误．13．(2022·绵阳中学实验学校模拟)已知sin x ＋cos y ＝14，则sin x －sin 2y 的最大值为______．答案 916解析 ∵sin x ＋cos y ＝14，sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝14－cos y ∈[－1,1]， ∴cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，54，即cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，1， ∵sin x －sin 2y ＝14－cos y －(1－cos 2y ) ＝cos 2y －cos y －34＝⎝⎛⎭⎫cos y －122－1，又cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，1，利用二次函数的性质知，当cos y ＝－34时， (sin x －sin 2y )max ＝⎝⎛⎭⎫－34－122－1＝916. 14．(2022·苏州八校联盟检测)已知f (x )＝sin x ＋cos x ，若y ＝f (x ＋θ)是偶函数，则cos θ＝________.答案 ±22解析因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，所以f (x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π4，又因为y ＝f (x ＋θ)是偶函数，所以θ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即θ＝π4＋k π，k ∈Z ，所以cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋k π＝±22.15．(2022·江西九江一中模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，若方程f (x )＝0在[0,2π]上有且仅有6个根，则实数ω的值可能为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析令f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＝0，则ωx ＋π3＝k π，k ∈Z ，所以x ＝－π3ω＋k πω，k ∈Z ，所以当x ≥0时，函数f (x )的第一个零点为x 1＝－π3ω＋πω＝2π3ω，第六个零点为x 6＝－π3ω＋6πω＝17π3ω，第七个零点为x 7＝－π3ω＋7πω＝20π3ω，因为方程f (x )＝0在[0,2π]上有且仅有6个根等价于函数y ＝f (x )在[0,2π]上有且仅有6个零点，所以17π3ω≤2π<20π3ω，所以176≤ω<103. 16．已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－12. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若函数y ＝|f (x )|－m 在区间⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8上恰有两个零点x 1，x 2. ①求m 的取值范围；②求sin(x 1＋x 2)的值．解 (1)f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－12＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π42＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－12 ＝12－24cos 2x ＋24sin 2x ＋22cos 2x －12＝24sin 2x ＋24cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，结合正弦函数的图象与性质，可得当－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，即－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )时，函数单调递增， ∴函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )． (2)①令t ＝2x ＋π4，当x ∈⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8时，t ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π，12sin t ∈⎣⎡⎦⎤－14，12， ∴y ＝⎪⎪⎪⎪12sin t ∈⎣⎡⎦⎤0，12(如图)．∴要使y ＝|f (x )|－m 在区间⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8上恰有两个零点，m 的取值范围为14<m <12或m ＝0. ②设t 1，t 2是函数y ＝⎪⎪⎪⎪12sin t －m 的两个零点⎝⎛⎭⎫即t 1＝2x 1＋π4，t 2＝2x 2＋π4，由正弦函数图象性质可知t 1＋t 2＝π，即2x 1＋π4＋2x 2＋π4＝π. ∴x 1＋x 2＝π4，∴sin(x 1＋x 2)＝22.。

高考数学一轮总复习教学课件第四章三角函数、解三角形第一课时余弦定理和正弦定理

,

= =c=csin C,
判断三角形形状的两种途径
[针对训练] (2020·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为
2

a,b,c,已知 cos (+A)+cos A=.
(1)求A;

2
(1)解:由已知得 sin A+cos A=,

2
即 cos A-cos A+=0,

sin B=2× = ,

2
由余弦定理 a =b +c -2bccos A,

2

2
得 2= +c -2× c· ,即 2c -2c-3=0,解得 c=
+

综上,b= ,c=
+

.

或 c=
-

(舍去).
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下
所以 sin B=
×

=

=

.

- = ,
(3)求sin(2A-B)的值.

解:(3)因为 cos A=- ,所以 <A<π,故 0<B< ,又 sin A=

2sin Acos A=2×

(-
,所以 c;
2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况
项目
A为锐角
A为钝角或直角
图形

【2022高考数学一轮复习(步步高)】第四章 §4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式

§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式⎝⎛⎭⎫α±π2，α±π的正弦、余弦、正切.1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan αtan α－tan α－tan α口诀奇变偶不变，符号看象限微思考1．诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示所有诱导公式均可看作k ·π2±α(k ∈Z )和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k 是奇数还是偶数．2．同角三角函数关系式的常用变形有哪些？提示同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α等．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝13，则cos α＝－13.( √ ) 题组二教材改编 2．若sin α＝55，π2<α<π，则tan α等于( ) A ．－2 B ．2 C.12 D ．－12答案 D解析 ∵π2<α<π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－255，∴tan α＝sin αcos α＝－12.3．已知tan α＝2，则3sin α－cos αsin α＋2cos α等于( )A.54 B ．－54 C.53 D ．－53 答案 A解析原式＝3tan α－1tan α＋2＝3×2－12＋2＝54.4．化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为．答案－sin 2α解析原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.题组三易错自纠5．(多选)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值是( )A ．2B ．1C ．－2D ．0 答案 AC解析当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；当k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.6．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为．答案－23解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴sin θ－cos θ＝－23.题型一同角三角函数基本关系式的应用1．(2021·北京市西城区模拟)已知α∈(0，π)，cos α＝－35，则tan α等于( )A.34 B ．－34 C.43 D ．－43 答案 D解析因为cos α＝－35且α∈(0，π)，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以tan α＝sin αcos α＝－43.故选D.2．已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为．答案－105解析由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. 3．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为．答案－3解析由角α的终边落在第三象限，得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.4．已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝ .答案－125解析方法一由sin θ＋cos θ＝713，得sin θcos θ＝－60169，因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝1－2sin θcos θ＝1713，联立⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝713，sin θ－cos θ＝1713，解得⎩⎨⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513，所以tan θ＝－125.方法二因为sin θ＋cos θ＝713，所以sin θcos θ＝－60169，由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.又sin θcos θ＝－60169<0，θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0. 所以sin θ＝1213，cos θ＝－513.所以tan θ＝sin θcos θ＝－125.方法三由sin θ＋cos θ＝713，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169.齐次化切，得tan θtan 2θ＋1＝－60169，即60tan 2θ＋169tan θ＋60＝0，解得tan θ＝－125或tan θ＝－512.又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0，所以θ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以tan θ＝－125. 思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.题型二诱导公式的应用例1 (1)在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点P (3,4)，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2 021π2等于( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D.45答案 B解析由题意知sin α＝45，cos α＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫α－2 021π2＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＝－cos α＝－35. (2)已知f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为．答案 12解析因为f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α) ＝－sin α(－cos α)(－cos α)⎝⎛⎭⎫－sin αcos α＝cos α，所以f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos π3＝12. 思维升华 (1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.跟踪训练1 (1)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫π6－α等于( ) A.513 B.1213 C ．－513 D ．－1213 答案 B解析因为sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝1213，所以cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝1213. (2)(2021·江西临川第一中学等九校联考)已知α∈(0，π)，且cos α＝－1517，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan(π＋α)等于( )A ．－1517 B.1517 C ．－817 D.817答案 D解析 sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan(π＋α)＝cos α·tan α＝sin α，因为α∈(0，π)，且cos α＝－1517，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－15172＝817，即sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan(π＋α)＝817.故选D.题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例2 (1)(2021·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( ) A.355 B.377 C.31010 D.13答案 C解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角)．(2)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15.求sin 2x ＋2sin 2x1－tan x 的值．解由已知，得sin x ＋cos x ＝15，两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，由－π<x <0知，sin x <0，又sin x cos x ＝－1225<0，∴cos x >0，∴sin x －cos x <0，故sin x －cos x ＝－75.∴sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形． (2)注意角的范围对三角函数符号的影响．跟踪训练2 (1)(2021·潍坊调研)已知3sin ⎝⎛⎭⎫33π14＋α＝－5cos ⎝⎛⎭⎫5π14＋α，则tan ⎝⎛⎭⎫5π14＋α等于( ) A ．－53 B ．－35 C.35 D.53答案 A解析由3sin ⎝⎛⎭⎫33π14＋α＝－5cos ⎝⎛⎭⎫5π14＋α，得sin ⎝⎛⎭⎫5π14＋α＝－53cos ⎝⎛⎭⎫5π14＋α，所以tan ⎝⎛⎭⎫5π14＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫5π14＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π14＋α＝－53cos ⎝⎛⎭⎫5π14＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π14＋α＝－53.(2)已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 021)的值为．答案－3解析因为f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，所以f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，所以f (2 021)＝a sin(2 021π＋α)＋b cos(2 021π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β＝－3.课时精练1．sin 1 050°等于( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 答案 B解析 sin 1 050°＝sin(3×360°－30°)＝－sin 30°＝－12.2．已知α是第四象限角，tan α＝－815，则sin α等于( )A.1517 B ．－1517 C.817 D ．－817 答案 D解析因为tan α＝－815，所以sin αcos α＝－815，所以cos α＝－158sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝64289，又α是第四象限角，所以sin α＝－817.3．(2020·杭州学军中学模拟)已知cos 31°＝a ，则sin 239°·tan 149°的值为( ) A.1－a 2aB.1－a 2C.a 2－1aD ．－1－a 2答案 B解析 sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－a 2.4．(2020·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－2，则tan α＋1tan α等于( )A ．2 B.12 C ．－2 D ．－12答案 A解析由已知得1＋2sin αcos α＝2， ∴sin αcos α＝12，∴tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2.5．(多选)在△ABC 中，下列结论正确的是( ) A ．sin(A ＋B )＝sin C B ．sinB ＋C 2＝cos A2C ．tan(A ＋B )＝－tan C ⎝⎛⎭⎫C ≠π2 D ．cos(A ＋B )＝cos C 答案 ABC解析在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，A 正确． sinB ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A2，B 正确． tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ⎝⎛⎭⎫C ≠π2，C 正确． cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，D 错误．故选ABC.6．(多选)若sin α＝45，且α为锐角，则下列选项中正确的有( )A ．tan α＝43B ．cos α＝35C ．sin α＋cos α＝85D ．sin α－cos α＝－15答案 AB解析 ∵sin α＝45，且α为锐角，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，故B 正确，∴tan α＝sin αcos α＝4535＝43，故A 正确，∴sin α＋cos α＝45＋35＝75≠85，故C 错误，∴sin α－cos α＝45－35＝15≠－15，故D 错误．7．(2020·河北九校联考)已知点P (sin 35°，cos 35°)为角α终边上一点，若0°≤α<360°，则α＝ . 答案 55°解析由题意知cos α＝sin 35°＝cos 55°， sin α＝cos 35°＝sin 55°，P 在第一象限， ∴α＝55°.8．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝⎛⎭⎫－4π3的值是．答案－334解析原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3 ＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334.9．(2020·上饶模拟)sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋17π12＝ . 答案 13解析由sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13，得cos ⎝⎛⎭⎫α＋17π12＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2－π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13. 10．若3sin α＋cos α＝0，则cos 2α＋2sin αcos α的值为．答案310解析 3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－13，所以cos 2α＋2sin αcos α1＝cos 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋2tan α1＋tan 2α＝1－231＋⎝⎛⎭⎫－132＝310. 11．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan (α＋π)tan (－α－π)sin (－α－π). (1)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，α是第三象限角，求f (α)的值； (2)若α＝－31π3，求f (α)的值．解 f (α)＝sin α·cos α·tan α(－tan α)·sin α＝－cos α. (1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α＝15， ∴sin α＝－15. ∵α是第三象限角，∴cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－152＝－265. f (α)＝－cos α＝265. (2)f (α)＝－cos ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－π3＝－12. 12．已知－π2<α<0，且函数f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin α·1＋cos α1－cos α－1. (1)化简f (α)；(2)若f (α)＝15，求sin αcos α和sin α－cos α的值．解 (1)f (α)＝sin α－sin α·(1＋cos α)21－cos 2α－1 ＝sin α＋sin α·1＋cos αsin α－1＝sin α＋cos α. (2)方法一由f (α)＝sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin α·cos α＋cos 2α＝125，即2sin α·cos α＝－2425.∴sin α·cos α＝－1225. 又－π2<α<0，∴sin α<0，cos α>0，∴sin α－cos α<0，∵(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝4925，∴sin α－cos α＝－75.方法二联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎨⎧ sin α＝－35，cos α＝45或⎩⎨⎧ sin α＝45，cos α＝－35.∵－π2<α<0，∴⎩⎨⎧ sin α＝－35，cos α＝45，∴sin αcos α＝－1225，sin α－cos α＝－75.13．(2020·河北六校联考)若sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，则sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α)等于( )A.35 B.53 C.45 D.54答案 B解析方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，则sin α＝－35.原式＝cos α(－cos α)tan 2αsin α(－sin α)(－sin α)＝－1sin α＝53.14．已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝ .答案－43解析因为θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35， sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4－θcos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝－4535＝－43.15.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则sin 2θ－cos 2θ的值是．答案－725解析由题意可知，拼图中的每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ，小正方形的边长为cos θ－sin θ，∵小正方形的面积是125， ∴(cos θ－sin θ)2＝125， ∵θ为直角三角形中较小的锐角，∴cos θ>sin θ，∴cos θ－sin θ＝15，又∵(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝125， ∴2sin θcos θ＝2425， ∴1＋2sin θcos θ＝4925，即(cos θ＋sin θ)2＝4925， ∴cos θ＋sin θ＝75， ∴sin 2θ－cos 2θ＝(cos θ＋sin θ)(sin θ－cos θ)＝－725.16．已知sin α＝1－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋β，求sin 2α＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－β＋1的取值范围．解因为sin α＝1－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋β＝1－cos β，所以cos β＝1－sin α.因为－1≤cos β≤1，所以－1≤1－sin α≤1,0≤sin α≤2，又－1≤sin α≤1，所以sin α∈[0,1]．所以sin 2α＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－β＋1＝sin 2α＋cos β＋1＝sin 2α－sin α＋2＝⎝⎛⎭⎫sin α－122＋74.(*) 又sin α∈[0,1]，所以当sin α＝12时，(*)式取得最小值74；当sin α＝1或sin α＝0时，(*)式取得最大值2，故所求取值范围为⎣⎡⎦⎤74，2.。

2022届高考数学统考一轮复习第四章三角函数的图象与性质学案文含解析新人教版

高考数学统考一轮复习：第三节三角函数的图象与性质【知识重温】一、必记2个知识点1．周期函数(1)周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有①________________，那么函数f(x)就叫做周期函数．②________________叫做这个函数的周期．(2)最小正周期，如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个③________________，那么这个④________________就叫做f(x)的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易受基本函数影响，遗漏问题的多解，同时也可能忽视“k∈Z”这一条件．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( ) (2)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴．( ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( )(4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (5)y ＝sin|x |是偶函数．( )(6)若sin x >22，则x >π4.( )二、教材改编2．下列关于函数y ＝4sin x ，x ∈[0,2π]的单调性的叙述，正确的是( ) A ．在[0，π]上单调递增，在[π，2π]上单调递减B ．在[0，π2]上单调递增，在[3π2，2π]上单调递减C ．在[0，π2]及[3π2，2π]上单调递增，在[π2，3π2]上单调递减D ．在[π2，3π2]上单调递增，在[0，π2]及[3π2，2π]上单调递减3．函数y ＝－32cos(12x －π6)的最大值为________，此时x 的集合为________．三、易错易混4．关于三角函数的图象，有下列说法： ①y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象关于y 轴对称； ②y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图象相同；③y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图象关于x 轴对称； ④y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图象关于y 轴对称．其中正确的是________．(写出所有正确说法的序号)5．函数y ＝1＋2sin(π6－x )的单调增区间是________．四、走进高考6．[2019·全国卷Ⅱ]下列函数中，以π2为周期且在区间(π4，π2)单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos 2x |B ．f (x )＝|sin 2x |C ．f (x )＝cos |x |D ．f (x )＝sin |x |考点一三角函数的定义域[自主练透型]1．y ＝cos x －12的定义域为________．2．函数y ＝1tan x －1的定义域为________．3．函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －12的定义域为________．悟·技法求与三角函数有关的函数定义域的基本方法是“数形结合”，也就是在求这类函数定义域时，往往需要解有关的三角不等式，而解三角不等式的方法是：要么利用正、余弦曲线，正切曲线，要么利用单位圆等图形的直观形象来解决问题.考点二三角函数的值域与最值[互动讲练型][例1] (1)[2019·全国卷Ⅰ]函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________． (2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x ·cos x ，x ∈[0，π]的值域为________．悟·技法三角函数最值或值域的三种求法(1)直接法：利用sin x ，cos x 的值域．(2)化一法：化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，确定ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题.[变式练]——(着眼于举一反三)1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0C ．－1D ．－1－ 32．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________．考点三三角函数的性质[互动讲练型] 考向一：三角函数的周期性[例2] 函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2 D ．2π考向二：三角函数的对称性[例3] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( ) A ．关于直线x ＝π4对称 B ．关于直线x ＝π8对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称考向三：三角函数的单调性[例4] 已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈[0，π]，则f (x )的单调递增区间为________．悟·技法1.奇偶性与周期性的判断方法(1)奇偶性：由正、余弦函数的奇偶性可判断y ＝A sin ωx 和y ＝A cos ωx 分别为奇函数和偶函数．(2)周期性：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω＞0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的周期为πω求解．2．求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求它的单调区间.[变式练]——(着眼于举一反三)3．[2021·贵阳市监测考试]已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin 2x ，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )D ．[k π－π2，k π](k ∈Z )4．关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减 C.⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π5．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.第三节三角函数的图象与性质【知识重温】①f (x ＋T )＝f (x ) ②T ③最小正数 ④最小正数 ⑤{y |－1≤y ≤1} ⑥{y |－1≤y ≤1}⑦R ⑧⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π ⑨⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π ⑩[(2k －1)π，2k π] ⑪[2k π，(2k ＋1)π] ⑫⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π ⑬π2＋2k π ⑭－π2＋2k π ⑮2k π ⑯π＋2k π ⑰奇函数 ⑱偶函数 ⑲奇函数 ⑳(k π，0)，k ∈Z ○21⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ○22⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z ○23x ＝k π＋π2，k ∈Z ○24x ＝k π，k ∈Z ○252π ○262π ○27π 【小题热身】1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)×2．解析：结合正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象可知C 正确．答案：C3．解析：当cos(12x －π6)＝－1，即12x －π6＝π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝4k π＋7π3，k ∈Z 时，函数y 有最大值32.答案：32 {x |x ＝4k π＋7π3，k ∈Z }4．解析：对于②，y ＝cos(－x )＝cos x ，y ＝cos|x |＝cos x ，故其图象相同；对于④，y ＝cos(－x )＝cos x ，故其图象关于y 轴对称；由图象(图略)可知①③均不正确．故正确的说法是②④.答案：②④5．解析：y ＝1＋2sin(π6－x )＝1－2sin(x －π6)．令u ＝x －π6，根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y ＝sin u 的单调递减区间，解π2＋2k π≤x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得2π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π(k ∈Z )，故函数y ＝1＋2sin(π6－x )的单调递增区间是[2π3＋2k π，5π3＋2k π](k ∈Z )．答案：[2π3＋2k π，5π3＋2k π](k ∈Z )6．解析：当x ∈(π4，π2)时，2x ∈(π2，π)，由于f 1(x )＝cos 2x 在x ∈(π4，π2)上单调递减，且cos2x <0，故f (x )＝|cos 2x |在(π4，π2)上单调递增．f 1(x )＝cos 2x 的周期为π，f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，故A 符合题意．而f (x )＝|sin 2x |以π2为周期，在(π4，π2)上单调递减；f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π；f (x )＝sin|x |不是周期函数，故选A.答案：A 课堂考点突破考点一1．解析：要使函数有意义，则cos x ≥12，由三角函数图象可得：－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z .故函数y 的定义域为{x |－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z }．答案：{x |－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z }2．解析：要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z故函数的定义域为{x |x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z }．答案：{x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }3．解析：要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，k ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z . 所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )．所以函数的定义域为{x |2k π<x ≤2k π＋π3，k ∈Z }．答案：{x |2k π<x ≤2k π＋π3，k ∈Z }考点二例1 解析：(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1，令cos x ＝t ，则t ∈[－1,1]． f (t )＝－2t 2－3t ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫t ＋342＋178，易知当t ＝1时，f (t )min ＝－2×12－3×1＋1＝－4. 故f (x )的最小值为－4.(2)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时y min ＝－1 ∴函数的值域为[－1,1]．答案：(1)－4 (2)[－1,1] 变式练1．解析：∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3. 答案：A2．解析：由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最小值为－22. 答案：－22考点三例2 解析：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.故选B.答案：B例3 解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的最小正周期为π， ∴2πω＝π，ω＝2， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.当x ＝π4时，2x ＋π4＝3π4， ∴A 、C 两项错误；当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，∴B 项正确，D 项错误．答案：B例4 解析：由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z .又x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π4. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π4 变式练3．解析：f (x )＝cos 2x ＋ 3 sin 2x ＝2sin(2x ＋π6)，则由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )，故选A.答案：A4．解析：y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错误；y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，B 错误；由2x －π3＝k π2得x ＝k π4＋π6(k ∈Z )，得函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π4＋π6，0，k ∈Z ，故C 正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期为π2，D 错误．答案：C5．解析：解法一由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.解法二由题意，得f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3ω＝1. 由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝32＋6k (k ∈Z )，所以当k＝0时，ω＝32.答案：32。

2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第4章函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b,0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为__y＝__1_0_s_i_n_π8_x_＋__3_4π__＋__2_0_，__x∈__[_6_,_1_4_] ___.
解析从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，所以 A＝12×(30－10)＝10，b＝12×(30＋10)＝20，又12×2ωπ＝14－6，所以 ω＝π8.
(2)已知函数 f(x)＝sin 2x－ 3cos 2x，将 y＝f(x)的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移 1 个单位长度得到函数 y＝g(x)的图象，则所得函数的最小正周期为___π___，g－34π的值为__3___.
解析由题意知函数 f(x)＝sin 2x－ 3cos 2x＝2sin2x－π3，将 y＝f(x)的图象向左平移π6个单位长度，可得 y＝2sin2x＋π3－π3＝2sin 2x 的图象，
√C.2，41π，－π3
D.2,4π，－π3
解析由题意知 A＝2，f＝T1＝2ωπ＝41π，初相为－π3.
3.函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到的图象对应的函数解析式是__y_＝__s_in__12_x__.
解析根据函数图象变换法则可得.
4.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足
又π8×10＋φ＝2kπ，k∈Z,0<φ<π，所以 φ＝34π，
所以 y＝10sinπ8x＋34π＋20，x∈[6,14].
题组三易错自纠 5.y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是___π_2＋__4__.
解析相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为 π2＋4.

高考数学一轮总复习第四章三角函数1三角函数的基本概念课件理

(5)－300°角与 60°角的终边相同． (6)若 A＝{α|α＝2kπ ，k∈Z}，B＝{α|α＝4kπ ，k∈Z}，则 A＝B.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)×
2．(课本习题改编)与 2 019°终边相同的角是( A．39° C．－39°
答案 D
)
B．141° D．－141°
答案 D
)
B．9π 10 D. 9 π
5．(2018· 衡水中学月考)已知角 α 的终边过点(－1， 3)，则 tanα ＝________．
答案－ 3
6．(2017· 北京，文)在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 1 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称．若 sinα ＝3，则 sin β ＝________．
课前自助餐
角的概念 (1)象限角：角 α 的终边落在第几象限就称 α 为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限． (2)终边相同的角：两角的终边重合． (3)与 α 终边相同的角的集合为{β|β＝k· 360°＋α，k∈Z}．
(4)各象限角的集合为Ⅰ象限：{α|k·360°<α <k·360°＋90 °，k∈Z}，Ⅱ象限：{α|k·360°＋90°<α <k·360°＋180°，k ∈Z}， Ⅲ象限： {α|k·360°＋180°<α <k· 360°＋270°， k∈Z}， Ⅳ象限：{α|k·360°－90°<α <k·360°，k∈Z}．
【解析】本题主要考查角度与弧度的互化及终边相同角的表示方法． 35π π 350 (1)α1＝－350°＝－180π＝－ 18 ＝－2π＋18， 860 43 7 α2＝860°＝180π＝ 9 π＝4π＋9π. ∴α1 在第一象限，α2 在第二象限． 3 3 (2)∵5π＝5×180°＝108°，设 θ＝k· 360°＋β1(k∈Z)，由－720°≤θ＜0°，∴－720°≤k·360°＋108°＜0°.