2018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案：2.6 正态分布-缺答案

_2.6正_态_分_布[对应学生用书P43]1．概率密度曲线对于某一随机变量的频率分布直方图，若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图上的频率折线将趋于一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线．2．正态密度曲线3．正态分布若X 是一个随机变量，则对任给区间(a ，b ]，P(a <X ≤b )恰好是正态密度曲线下方和x 轴上(a ，b ]上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X 服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X ～N (μ，σ2)．4．标准正态分布正态分布N (0,1)称为标准正态分布． 5．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为68.3%； 落在区间P (μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%； 落在区间P (μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%. 6．中心极限定理在独立地大数量重复试验时，就平均而言，任何一个随机变量的分布都将趋近于正态分布，这就是中心极限定理．1．在正态分布X ～N (μ，σ2)中，μ就是随机变量X 的均值，σ2就是随机变量X 的方差，它们分别反映X 取值的平均大小和稳定程度．2．正态密度曲线的性质(1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； (3)曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； (4)曲线与x 轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图①；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“尖陡”；σ越大，曲线越“扁平”，如图②.[对应学生用书P44][例1] 如图所示，是一个正态密度曲线．试根据该图像写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出随机变量的数学期望和方差．[思路点拨] 解答本题可首先借助图像观察该函数的对称轴及最大值，然后结合φμ，σ(x )＝12πσe －(x －μ)22σ2可知μ及σ的值．[精解详析] 从给出的正态密度曲线可知，该正态密度曲线关于直线x ＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20.12π·σ＝12π，解得σ＝ 2. 于是概率密度函数的解析式是f (x )＝12π· e －(x －20)24，x ∈(－∞，∞)．随机变量的数学期望是μ＝20，方差是σ2＝()22＝2.[一点通] 利用图像求正态密度曲线的方程．关键是确定μ，σ.结合图像，利用正态密度曲线的两条性质：一是对称轴，二是最值即可求出μ，σ.相应参数确定了，代入f (x )＝12πσe －(x －μ)22σ2即可．1．下列函数是正态密度函数的是________．(1)f (x )＝12πσe (x －μ)22σ2，μ，σ(σ>0)都是实数(2)f (x )＝2π2πe －x 22(3)f (x )＝122πe －(x －124)(4)f (x )＝12πe x 22解析：本题考查正态密度函数，可对照 f (x )＝12π·σe －(x －μ)22σ2，其中指数部分的σ应与系数的分母处的σ保持一致，系数为正数且指数为负数． (1)有两处错误，分别是2π·σ错为2πσ，指数错为正数．(3)从系数可得σ＝2，从而指数处可得σ＝2，显然不符．(4)中指数为正，错误．答案：(2)2．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π.求该正态分布的概率密度函数的解析式．解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图像关于y 轴对称，即μ＝0.由于12πσ＝12π·4，得σ＝4， 故该正态分布的概率密度函数的解析式是 φμ，σ(x )＝142πe －x 232，x ∈(－∞，＋∞).[例2]关于正态曲线φ(x)＝12πσe－(x－μ)22σ2，x∈(－∞，＋∞)，σ>0有以下命题：①正态密度曲线关于直线x＝μ对称；②正态密度曲线关于直线x＝σ对称；③正态密度曲线与x轴一定不相交；④正态密度曲线与x轴一定相交；⑤正态密度曲线所代表的函数是偶函数；⑥曲线对称轴由μ确定，曲线的形状由σ决定；⑦当μ一定时，σ越大，曲线越“扁平”，σ越小，曲线越“尖陡”．其中正确的是________(填序号)．[思路点拨]根据正态分布曲线的性质可直接判断．[精解详析]根据正态分布曲线的性质可得，由于正态密度曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处于最高点并由该点向左、右两边无限延伸，逐渐降低的曲线，该曲线总是位于x轴的上方，曲线形状由σ决定，而且当μ一定时，比较若干个不同的σ对应的正态曲线，可以发现σ越大，曲线越“扁平”，σ越小，曲线越“尖陡”．故①③⑥⑦正确．[答案]①③⑥⑦[一点通]解决正态曲线的性质问题，应对正态曲线的简单性质要熟练掌握并且能够应用，尤其是对称性，最高点的位置，曲线左右无限延伸并逐渐降低，要结合正态曲线的图象理解并掌握．3．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1＞0)和N(μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图像如图所示．则下列说法正确的是________．①μ1<μ2，σ1<σ2；②μ1<μ2，σ1>σ2；③μ1>μ2，σ1<σ2；④μ1>μ2，σ1>σ2.解析：当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“扁平”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“尖陡”，表示总体的分布越集中，这个性质可直接判断．由正态曲线性质知μ1<μ2，σ1<σ2.答案：①4．标准正态分布N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率分别为p1，p2，则p1与p2的大小关系为________．解析：根据正态曲线的特点，关于x＝0对称，故在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率相等，即p1＝p2.答案：p1＝p2[例3](1)P(X≤1.26)；(2)P(X>1.26)；(3)P(0.51<X≤3.2)；(4)P(X≤－2.1)．[思路点拨]借助正态密度曲线的性质将问题转化为P(X≤m)的形式，然后查标准正态分布表求值．[精解详析](1)P(X≤1.26)＝0.896 2.(2)P(X>1.26)＝1－P(X≤1.26)＝1－0.896 2＝0.103 8.(3)P(0.51<X≤1.2)＝P(X≤1.2)－P(X≤0.51)＝0.884 9－0.695 0＝0.189 9.(4)P(X≤－2.1)＝P(X≥2.1)＝1－P(X≤2.1)＝1－0.982 1＝0.017 9.[一点通]由于标准正态分布表是针对X≥0设计的，若X<0，则须转换再查表，在查表前，可画个草图将所求的概率进行转化，然后再查表．5．已知随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，若P(X>8)＝0.4则P(X<0)＝________.解析：∵随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，μ＝4，P(X>8)＝0.4，∴P(X<0)＝P(X>8)＝0.4.答案：0.46．已知X～N(3，σ2)，若P(X≤2)＝0.2，则P(X≤4)等于________．解析：由正态分布知识，因为X～N(3，σ2)，所以P(X≤3)＝0.5，P(X≤2)＝0.2＝P(X>4)，所以P(X≤4)＝1－P(X>4)＝1－0.2＝0.8.答案：0.81．求随机变量的正态密度函数时，只需求出μ σ即可，也就是求出样本的均值及标准差．2．在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称性．[对应课时跟踪训练(十七)]一、填空题1．正态曲线关于y 轴对称，当且仅当它所对应的正态总体均值为________． 解析：正态曲线关于直线x ＝μ对称，当曲线关于y 轴对称时，说明μ＝0. 答案：02．设随机变量X ～N (1,4)，若P (X ≥a ＋b )＝P (X ≤a －b )，则实数a 的值为________． 解析：∵P (X ≥a ＋b )＝P (X ≤a －b )， ∴(a ＋b )＋(a －b )2＝1.∴a ＝1.答案：13．已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)，若P (X >2)＝0.023，则P (－2≤X ≤2)＝________.解析：∵随机变量X 服从标准正态分布N (0，σ2)， ∴正态曲线关于直线x ＝0对称，又P (X ＞2)＝0.023. ∴P (X ＜－2)＝0.023.∴P (－2≤X ≤2)＝1－2×0.023＝0.954. 答案：0.9544.右图是三个正态分布X ～N (0，0.25)，Y ～N (0,1)，Z ～N (0,4)的密度曲线，则三个随机变量X ，Y ，Z 对应曲线分别是图中的________、________、________.解析：在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”． 答案：① ② ③5．某中学有1 000人参加高考并且数学成绩近似地服从正态分布N (100,102)，则此校数学成绩在120分以上的考生人数约为________(φ(2)≈0.977)．解析：用X 表示此中学数学高考成绩， 则X ～N (100,102)，∴P (X >120)＝1－P (X ≤120)＝1－φ⎝ ⎛⎭⎪⎫120－10010≈0.023，∴120分以上的考生人数约为1 000×0.023＝23. 答案：23 二、解答题6.如图为某地成年男性体重的正态分布密度曲线图，试根据图像写出其正态分布密度函数，并求出随机变量的期望与方差．解：由图易知，该正态曲线关于x ＝72对称，最大值为1102π，所以μ＝72.再1σ2π＝1102π得σ＝10， 于是概率密度函数的解析式是f (x )＝1102π·e －(x －72)2200，x ∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝72，方差是σ2＝100.7．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N (60,100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？ 解：设学生的得分情况为随机变量X ，X ～N (60,100)． 则μ＝60，σ＝10.(1)P (30<X ≤90)＝P (60－3×10<X ≤60＋3×10)＝0.997 4. ∴P (X >90)＝12[1－P (30<X ≤90)]＝0.001 3，∴学生总数为：130.001 3＝10 000(人)．(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8. 设分数线为x . 则P (X ≥x 0)＝0.022 8.∴P (120－x 0<x <x 0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4.又知P(60－2×10<x<60＋2×10)＝0.954 4. ∴x＝60＋2×10＝80(分)．即受奖学生的分数线是80分．8．若随机变量X～N(0,1)，查表求：(1)P(0<X≤2.31)；(2)P(1.38≤x<0)；(3)P(|X|<0.5)．解：(1)P(0<X≤2.31)＝P(X≤2.31)－P(X≤0) ＝0.989 6－0.5＝0.489 6.(2)P(－1.38≤X<0)＝P(0<X≤1.38)＝P(X≤1.38)－P(X≤0)＝0.916 2－0.5＝0.416 2.(3)P(|X|<0.5)＝P(－0.5<X<0.5)＝P(－0.5<X≤0)＋P(0<X<0.5)＝2P(0<X<0.5)＝2[P(X<0.5)－P(X≤0)]＝2(0.691 5－0.5)＝2×0.191 5＝0.383 0.。