5.3 现代控制理论系统镇定解析
现代控制理论（浓缩版）
现代控制理论（浓缩版）绪论1．经典控制理论与现代控制理论的比较。
经典控制理论也称为古典控制理论，多半是用来解决单输入-单输出的问题，所涉及的系统大多是线性定常系统，非线性系统中的相平面法也只含两个变量。
经典控制理论是以传递函数为基础、在频率域对单输入单输出控制系统进行分析和设计的理论。
它明显具有依靠手工进行分析和综合的特点，这个特点是与20世纪40~50年代生产发展的状况，以及电子计算机的发展水平尚处于初级阶段密切相关的。
在对精度要求不高的场合是完全可用的。
最大成果之一就是PID 控制规律的产生，PID 控制原理简单，易于实现，具有一定的自适应性与鲁棒性，对于无时间延时的单回路控制系统很有效，在工业过程控制中仍被广泛采用。
现代控制理论主要用来解决多输入多输出系统的问题，系统可以是线性或非线性的、定常或时变的。
确认了控制系统的状态方程描述法的实用性，是与状态方程有关的控制理论。
现代控制理论基于时域内的状态空间分析法，着重实现系统最优控制的研究。
从数学角度而言，是把系统描述为四个具有适当阶次的矩阵，从而将控制系统的一些问题转化为数学问题，尤其是线性代数问题。
而且，现代控制理论是以庞得亚金的极大值原理、别尔曼的动态规划和卡尔曼的滤波理论为其发展里程碑，揭示了一些极为深刻的理论结果。
面对现代控制理论的快速发展及成就，人们对这种理论应用于工业过程寄于乐期望。
但现代控制在工业实践中遇到的理论、经济和技术上的一些困难。
所以说，现代控制理论还存在许多问题，并不是“完整无缺”，这是事物存在矛盾的客观反应，并将推动现代控制理论向更深、更广方向发展。
如大系统理论和智能控制理论的出现，使控制理论发展到一个新阶段。
2．控制一个动态系统的几个基本步骤有四个基本步骤：建模，基于物理规律建立数学模型；系统辨识，基于输入输出实测数据建立数学模型；信号处理，用滤波、预报、状态估计等方法处理输出；综合控制输入，用各种控制规律综合输入。
现代控制理论稳定性的判定优秀详解
现代控制理论稳定性的判定优秀详解现代控制理论是工程控制科学的重要组成部分，它主要研究动态系统的稳定性问题。
在工程实践中，通过判定系统的稳定性，可以评估控制系统的性能和可靠性，为系统设计和运营提供重要依据。
本文将详细介绍现代控制理论中稳定性的判定方法和优点。
一、稳定性判定方法1. 传递函数法传递函数法是现代控制理论中最常用的一种稳定性判定方法。
它通过分析系统的传递函数，确定系统的极点位置，从而判断系统是否稳定。
对于一般系统，只需要确定传递函数的分母多项式的根的位置即可。
如果所有根的实部均小于零，则系统是稳定的；如果存在一个或多个根的实部大于零，则系统是不稳定的。
2. 状态方程法状态方程法是另一种常用的稳定性判定方法。
它将系统的动态行为表示为一组状态方程，通过求解状态方程的特征根来判断系统的稳定性。
如果所有特征根的实部均小于零，则系统是稳定的；如果存在一个或多个特征根的实部大于零，则系统是不稳定的。
3. 极点分布法极点分布法是一种图形法，通过绘制系统的极点在复平面上的分布图，可以直观地判断系统的稳定性。
如果所有极点都位于左半平面，则系统是稳定的；如果存在极点位于右半平面，则系统是不稳定的。
此外，如果存在虚轴上的极点，系统可能是临界稳定或者边界稳定。
二、稳定性判定方法的优点1. 灵活性现代控制理论中的稳定性判定方法具有很高的灵活性。
不同方法可以根据具体问题的特点选择使用，如传递函数法适合分析线性时不变系统，而状态方程法适合分析非线性或时变系统。
这样，工程师可以根据实际情况选择最合适的稳定性判定方法，保证判定结果的准确性。
2. 准确性现代控制理论中的稳定性判定方法基于严格的数学推导和分析，具有很高的准确性。
通过这些方法所得到的稳定性判定结果经过验证，在工程实践中得到了广泛应用。
3. 直观性极点分布法是现代控制理论中一种直观的稳定性判定方法。
通过绘制极点的分布图，可以直观地了解系统的稳定性状况。
这种直观性可以帮助工程师更好地理解和分析系统的动态行为，为控制系统的设计和调试提供有价值的参考。
现代控制理论分析解析
操作员没有执行 Power-hold mode
Modern Control Theory
Chapter 4 Stability Analysis of Control Systems
操作员抽出控制棒 使能量回复
Modern Control Theory
Chapter 4 Stability Analysis of Control Systems
几何意义：从 s( ) 出发的轨 迹，在 t t 0 的任何时刻总 不会超出 s( ) 。
Lyapunov意 义下稳定 Modern Control Theory
Chapter 4 Stability Analysis of Control Systems
4.1.2 稳定性的几个定义
２．渐进稳定（工程上常常要求渐近稳定。） 如果系统的平衡状态xe是稳定的。从平衡状态的某
个充分小的领域内出发的状态轨线 x( t ) ，当 t 时， 收敛于 xe，则称 0 xe为渐近稳定。 0 几何意义：
渐进稳定
xe 0
Modern Control Theory
Chapter 4 Stability Analysis of Control Systems
4.1.2 稳定性的几个定义
硬件没有失效 阀正常工作
电控柜没有停机
控制系统
Modern Control Theory
Chapter 4 Stability Analysis of Control Systems
蒸汽越多 反应越强
Modern Control Theory
Chapter 4 Stability Analysis of Control Systems
53 系统镇定问题
二、几个定理： （1）、状态反馈能镇定的充要条件： 中不能控 子系统为渐近稳定 （2）、输出反馈能镇定的充要条件： 中能控能 观子系统是输出反馈能镇定的；其余子系统是渐 近稳定的。
0
0
利用输出反馈未必能使能控能观的系统得到镇定。
பைடு நூலகம்
通过极点配置只要求把闭环极点配置在s平面左半平面不严格要求配置在期望的闭环极点上
5.3 系统镇定问题
0
一、系统镇定： 如果一个系统 通过状态反馈能使其渐进稳定，则称系 统是状态反馈能镇定的。 －－受控系统 ( A , B , C ) 通过反馈使其极点均具有负实部。 从而保证系统为渐近稳定。 通过极点配置，只要求把闭环极点配置在S平面左半平面， 不严格要求配置在期望的闭环极点上。
现代控制理论-系统综合
利用控制系统优化能源消耗，降低生产成本，同时减 少对环境的影响。
过程控制
通过实时监测和调控工业过程中的各种参数，确保产 品质量和生产安全。
航空航天控制系统
01
02
03
飞行姿态控制
利用现代控制理论设计的 控制系统，确保飞行器在 各种飞行状态下保持稳定。
导航与制导
通过精确的导航和制导系 统，确保航天器和导弹的 准确发射与命中目标。
现代控制理论-系统综合
目录
• 引言 • 现代控制理论概述 • 系统综合方法 • 系统综合应用 • 结论与展望
01
引言
背景与意义
工业自动化的发展
随着工业自动化水平的提高，对 控制系统的性能要求也越来越高， 现代控制理论在系统综合中的应 用显得尤为重要。
技术进步的推动
随着计算机技术和通信技术的快 速发展，为现代控制理论的应用 提供了强大的技术支持，使得复 杂系统的控制成为可能。
输出反馈系统综合
总结词
通过输出反馈实现系统的近似最优控制。
详细描述
输出反馈是一种基于系统输出的控制策略，通过将系统的输出信息反馈给控制 器，实现对系统的近似最优控制。这种方法适用于对系统内部状态难以直接获 取的情况。
线性二次最优控制
总结词
通过二次优化目标函数实现系统的最 优控制。
详细描述
线性二次最优控制是一种基于二次优 化目标函数的控制策略，通过最小化 目标函数实现系统的最优控制。这种 方法适用于线性系统，且目标函数可 以自由选择。
鲁棒控制系统综合
总结词
考虑系统的不确定性，实现鲁棒控制系统的综合设计。
详细描述
鲁棒控制系统综合是一种考虑系统不确定性因素的控制策略，通过设计鲁棒控制器实现对不确定系统 的稳定控制。这种方法适用于具有不确定性和扰动的控制系统。
现代控制理论的概念、方法
THANKS FOR WATCHING和优化控制，注重系统的全局性、 最优性和鲁棒性。
现代控制理论的重要性
工业自动化
现代控制理论为工业自动化提供了理论基础和技 术支持，提高了生产效率和产品质量。
航天与航空
在航天和航空领域，现代控制理论的应用对于飞 行器的稳定性和安全性至关重要。
能源与环境
在能源和环境领域，现代控制理论有助于实现能 源的高效利用和环境的可持续发展。
VS
详细描述
线性二次型最优控制基于最优控制理论， 通过最小化系统状态和控制输入的二次型 代价函数来寻找最优的控制策略。这种方 法能够有效地优化系统的性能，提高系统 的稳定性和动态响应能力。
预测控制
总结词
预测控制是一种基于模型预测和滚动优化的 控制方法。
详细描述
预测控制通过建立系统的预测模型，对未来 的系统行为进行预测，并滚动优化控制策略 以减小预测误差。这种方法具有较好的鲁棒 性和适应性，广泛应用于工业过程控制和智 能控制等领域。
现代控制理论的历史与发展
历史
现代控制理论起源于20世纪50年代，随着计算机技术和数学理论的不断发展而 逐步完善。
发展
现代控制理论的发展涉及多个学科领域，如线性系统理论、最优控制、鲁棒控 制、自适应控制等，为复杂系统的控制提供了更广泛和深入的理论基础。
02 现代控制理论的基本概念
系统建模
总结词
系统建模是现代控制理论的基础，它通过数学模型描述系统的动态行为。
详细描述
性能指标是用来评估控制系统性能的关键因素，包括稳定性、准确性、快速性和鲁棒性 等。稳定性表示系统在受到扰动后恢复平衡的能力；准确性表示系统输出与理想输出之 间的误差大小；快速性表示系统达到稳定状态所需的时间；鲁棒性表示系统在存在不确
考研现代控制理论知识点剖析
考研现代控制理论知识点剖析现代控制理论作为控制工程的重要分支，是在传统控制理论的基础上发展起来的。
它以数学模型为基础，利用系统分析和设计方法，实现对各类复杂系统的控制与优化。
本文将从控制系统的基本概念、控制器设计、状态空间分析等方面，对考研现代控制理论的核心知识点进行剖析。
一、控制系统的基本概念控制系统是指通过对被控对象进行操作，使其输出符合预期要求的系统。
它由被控对象、传感器、执行器和控制器四个基本部分构成。
被控对象是指需要进行控制的物理系统，如机械系统、电气系统等。
传感器用于对被控对象的各种状态或性能进行测量与检测，并将其转化为电信号。
执行器则根据控制器输出的信号，将其转化为能够直接或间接影响被控对象的物理量或信号。
控制器是整个控制系统的核心部分，它接收传感器的反馈信号，并根据预先设定的控制策略产生相应的控制信号。
二、控制器设计控制器设计是指通过对控制器参数的选择和调节，使得控制系统能够达到预期的控制目标。
常见的控制器设计方法主要有比例控制、积分控制、微分控制以及PID控制等。
比例控制是根据被控对象输出与期望输出之间的差异，按比例调节控制器输出信号。
积分控制在比例控制的基础上，增加对积分项的调节，使系统具有更好的稳定性和鲁棒性。
微分控制则通过对被控对象输出的变化率进行反馈调节，进一步提高系统响应速度和抗扰性。
PID控制则是综合了比例、积分和微分控制的优点，具有更广泛的应用范围和更好的控制性能。
三、状态空间分析状态空间分析是现代控制理论中的重要内容，它基于被控对象的状态变量，利用状态方程和输出方程描述系统的动态行为和输出特性。
状态方程是由被控对象的状态变量和外部输入所构成的一组常微分方程。
输出方程则将被控对象的状态变量与输出变量之间的关系表示出来。
通过状态空间分析，可以对系统的稳定性、可控性和可观测性等性质进行评估，并为控制器设计提供依据。
四、鲁棒控制鲁棒控制是现代控制理论中的另一个重要概念，它是指在系统参数变化或外部扰动存在的情况下，保持控制系统性能的一种控制策略。
现代控制理论完整版
现代控制理论HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】1、什么是对偶系统，从传递函数矩阵，特征多项式和能控、能观性说明互为对偶的两个系统之间的关系。
答：定义：如果两个系统满足A2=A1T，B2=C1T,C2=B1T，则称这两个系统互为对偶函数。
互为对偶系统传递函数矩阵互为转置特征多项式相同，一个函数的能控性等价于另一个函数的能观性。
2、什么是状态观测器？简述构造状态观测器的原则。
答：系统的状态不易检测，以原系统的输入和输出为输入量构造，一动态系统，使其输出渐近于原系统状态，此动态系统为原系统的状态观测器。
原则：（1）观测器应以原系统的输入和输出为输入量；（2）原系统完全能观或不能观于系统是渐近稳定的；（3）观测器的输出状态应以足够快速度超近于原系统状态；（4）有尽可能低的维数，以便于物理实现。
3、说明应用李氏第二法判断非线性系统稳定性基本思想和方法步骤和局限性。
答：基本思想：从能量观点分析平衡状态的稳定性。
（1）如果系统受扰后，其运动总是伴随能量的减少，当达到平衡状态时，能量达到最小值，则此平衡状态渐近稳定：（2）如果系统不断从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的：（3）如果系统的储能既不增加也不消耗，那么这个平衡状态时李亚普诺夫意义下的稳定。
方法步骤：定义一个正定的标量函数V（x）作为虚构的广义能量函数，然后根据V（x）=dV（x）/dt的符号特征来判别系统的稳定性。
局限性：李雅普诺夫函数V(x)的选取需要一定的经验和技巧。
4、举例说明系统状态稳定和输出稳定的关系。
答：关系：（1）状态稳定一定输出稳定，但输出稳定不一定状态稳定；（2）系统状态完全能观且能控=状态稳定与输出稳定等价。
举例：A的特征值 =-1 =1 所以状态不是渐进稳点的，W(s)的极点S=-1，所以输出稳点。
5、什么是实现问题什么是最小实现说明实现存在的条件。
现代控制原理第5章 系统运动的稳定性分析
5.1 李雅普诺夫稳定性定义 5.2 李雅普诺夫稳定性理论
5.3 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
* 5.5 李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。 稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。 1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
x0 x e , t 0 , t t 0
若能使系统从任意初态x0出发的解 x t , x0 , t 0 在t > t0的过 程中，都位于以xe为球心、任意规定的半径ε的闭球域
S(ε)内，即：
x t , x0 , t0 xe (t t0 )
则称系统的平衡状态 xe 在 李雅普诺夫意义下是稳定的。
李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般理论， 它采用状态空间描述，在分析一些特定的非线性系统的稳定 性时，有效地解决了其它方法所不能解决的问题。该理论比 经典控制理论中的稳定性判据适应范围更广。
5.1 李雅普诺夫稳定性定义
BIBO稳定性的概念
Bounded Input Bounded Output (BIBO) Stable
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义 设系统状态方程为： x f x , t , x R n 若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状 态，记为xe。故有下式成立：f xe , t 0 由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
现代控制理论教学课件
数字仿真软件 介绍常用的数字仿真软件，如 MATLAB/Simulink等，并解释其 基本原理和使用方法。
数字仿真实验设计 详细说明数字仿真实验的设计方 法，包括如何建立系统模型、如 何设计控制器、如何设置仿真参 数等。
该方法能够全面地反映系统的性能，具有较强的适用性和实用 性。同时，该方法可通过实验手段进行验证，可靠性高。
设计过程相对较为复杂，需要一定的专业知识和经验。
适用于高阶系统和多变量系统的控制器设计，广泛应用于工程 实践中。
最优控制设计法
定义
最优控制设计法是一种基于最优化理论进行控制器设计的 方法。
缺点
现代控制理论阶段
自20世纪60年代开始，状态空间 法成为主导，适用于多输入多输 出、非线性、时变系统的分析与 设计。
现代控制理论的特点
状态空间描述
现代控制理论基于状态空间描述 ，通过状态变量全面反映系统内 部状态，提供更深入的系统分析
。
时域分析法
相比古典控制理论的频域分析法， 现代控制理论采用时域分析法，能 够直接反映系统的时间响应特性。
05
现代控制理论进阶知 识
系统的数学模型 ，包括微分方程、差分方程和状态方程等
。
A 非线性现象
介绍系统中的非线性现象，如死区 、饱和、滞后等，并分析其对系统
性能的影响。
B
C
D
非线性系统设计
探讨非线性控制系统的设计方法，如反馈 线性化、滑模变结构控制、反步法等。
稳定性分析
利用状态空间方程的特征值分析系统的稳定性，通过判断 特征值的分布来确定系统的稳定性。
5.3 现代控制理论系统镇定解析
2) 对能控部分进行极点配置 由上可知,系统的能控部分为
1 0 1 0 ( A11 , B1 ) , 1 2 0 1
~ ~ ~, 设A* 为具有期望特征值的闭环系统矩阵且 A* A 11 B1 K1 本例中设期望的闭环极点取为-3和-2。
表明系统不完全能控.
取能控性分解变换矩阵Pc为:
0 1 1 , Pc 1 0 0 0 1 0 0 1 0 Pc1 0 0 1 1 0 1
于是可得
1 0 0 1 A Pc APc 1 2 1 , 0 0 1 1 0 1 B Pc B 0 1 0 0
例 考虑线性定常系统Σ(A,B,C),其中
0 0 5 2 0 ， B 1 2 ， C 0 0 1 A 1 0 1 0 1 3 0 1
分析通过输出反馈的系统可镇定性。 解 由系统的能控能观判据知,该系统是能控且能观的。
因此,系统Σ(A,B,C)通过输出反馈能镇定的充要条件 是Σ结构分解中的能控且能观部分 ( A22 , B2 , C2是能输 ) 出反馈极点配置的,其余部分是渐近稳定的。 由定理可知,能输出反馈镇定,一定可以状态反馈镇定。 但反之则不尽然,能状态反馈能镇定的,并不一定能输出 反馈镇定。
现代控制理论解读
现代控制理论知识结构（研究的顺序符合控制理论的一般步骤：系统建模、模型求解、提出性能指标、系统设计校正。
）一、系统的状态空间建模1、从2个角度4种方法建立状态空间表达式。
2、状态空间表达式的线性变换3、由状态空间表达式反推传递函数4、建立离散系统的状态空间表达式5、需要注意的地方6、公式集锦二、状态空间表达式的求解1、无输入的情况下状态变量求解（齐次方程求解）2、对于有输入的系统的状态变量求解（非齐次方程）3、、状态转移矩阵的性质及判别4、对于系统的状态转移矩阵的唯一性研究5、几点注意6、公式集锦三、提出性能指标：能控性和能观性。
及其判断方法1、提出能控性和能观性的原因。
2、判断能控性和能观性的方法：直观分析和四大判据3、得到能观能控标准型的两种方法4、几点注意5、系统的结构分解6、公式集锦四、系统设计校正：状态反馈1、状态反馈改变系统性能的原理2、状态反馈的特点3、两种计算K阵的方法4、公式集锦一、系统的状态空间建模1、从2个角度4种方法建立状态空间表达式。
已知一个物理系统，我们给它建立了一个微分方程模型，我们想用经典理论和现代理论对其进行研究，即建立传递函数模型和状态空间表达式。
经典的传递函数模型太好建了呀，直接变换，一比就出来了。
可是状态空间模型呢，我们有两个角度①我们当然可以根据模型的定义，利用系统的性能进行建模，这也是建立状态空间表达式的第一种方法。
②从经典控制模型的角度，首先1、运用将传递函数或结构图降阶，化成状态空间特有的结构图（不同于传递函数结构图，它只有积分器、加法器、减法器、系数器）这是第二种方法。
2、从经典控制理论的微分方程来建立。
（分成了单入单出、单入单出输入有导数项、多路多出）微分方程就是一串积分器，再加系数反馈就好了。
这是第三种方法3、传递函数（有三种方法、直接程序法、串联程序法、并联程序法）。
这是第四种方法这样说来，其实状态空间表达式所对应的结构图是从经典控制理论角度（三种方法）建立其模型的中介。
现代控制理论的主要内容
现代控制理论的主要内容介绍现代控制理论是控制工程领域的一门重要学科，它主要研究利用数学模型和计算机技术进行系统控制的方法和理论。
现代控制理论从20世纪50年代开始快速发展，并且在工业生产、航空航天、交通运输等领域有着广泛的应用。
本文将介绍现代控制理论的主要内容，包括控制理论的基本概念、常用的控制方法和现代控制系统的设计原则。
控制理论的基本概念系统在控制理论中，系统指的是需要被控制或调节的对象，可以是一个物理系统、一个工艺流程或是一个经济系统等。
系统可以被描述为由输入和输出组成的黑箱模型，通过对输入信号的调节，可以实现对输出信号的控制。
控制系统控制系统是由传感器、执行器、控制器和控制算法组成的一系列组件的集合。
控制系统的作用是通过对输入信号的调节，使得系统的输出达到预期的目标。
控制器根据传感器的反馈信息，通过控制算法计算出相应的控制信号，然后通过执行器对系统进行控制。
反馈控制反馈控制是控制系统中常用的一种控制方法。
它通过对系统输出的实时反馈信息进行测量和分析，然后根据反馈误差调节输入信号，使得输出信号逼近预期目标。
反馈控制能够提高系统的稳定性和鲁棒性，并且对系统参数变化有一定的适应性。
常用的控制方法比例积分微分控制（PID控制）PID控制是一种经典的控制方法，它根据误差的比例、积分和微分部分来计算控制信号。
比例部分根据当前误差与目标值之间的差异来计算控制信号，积分部分根据误差的累积值来计算控制信号，微分部分根据误差变化的速率来计算控制信号。
PID控制具有简单易实现、鲁棒性好的特点，在工业自动化控制中得到了广泛的应用。
线性二次调节（LQR）LQR是一种优化控制方法，它通过最小化系统状态变量和控制输入之间的二次代价函数来设计控制器。
LQR控制器的设计需要事先确定系统的数学模型，然后通过计算系统的状态反馈增益矩阵，将负反馈控制信号与系统状态进行线性组合。
LQR控制具有精确、快速、稳定的特点，在许多复杂系统中都有着广泛的应用。
现代控制理论第17讲
A11 A21 A = 0 0 0 A22 0 0 A13 A23 A33 A43 0 A24 0 A44
B1 B2 B = 0 0
C = C 1
[
0
C3
0
]
引入输出矩阵后， 引入输出矩阵后，闭环系统的系统矩阵
det[ sI − ( A + B H C )] = det[ sI − ( A11 + B1 H C 1 )] ⋅ det[ sI − A22 ] ⋅ det[ sI − A33 ] ⋅ det[ sI − A44 ]
【例5－４】 设系统
1 0 ɺ x = 0 0 − 1 0 0 1 y = 0 0 0 0 − 1 x + 1 u 0 0 0 x 1
系统解耦需要解决的问题： 系统解耦需要解决的问题： １、系统能解耦的充要条件？ 系统能解耦的充要条件？ ２、确定解耦控制规律和解耦系统的结构
一、前馈补偿器解耦
W0 ( s)
――待解解耦系统的传递函数阵； 待解解耦系统的传递函数阵； 待解解耦系统的传递函数阵 ――前馈补偿器的传递函数阵。 前馈补偿器的传递函数阵。 前馈补偿器的传递函数阵
二、系统镇定的条件 定理 对系统 Σ0 = ( A, B, C) 采用状态反馈能镇定的充要条件 是其不能控子系统为渐近稳定。 是其不能控子系统为渐近稳定。 证明：设受控系统是不完全能控的， 证明：设受控系统是不完全能控的，通过线性变换
现代控制理论知识点归纳
现代控制理论知识点归纳现代控制理论是指20世纪后半叶发展起来的控制理论，其主要特点是运用数学、电子和计算机等高科技手段解决实际控制问题，在控制理论研究和应用方面取得了巨大成就。
本文将对现代控制理论的知识点进行归纳，以便更好地理解和掌握该学科。
1. 控制系统的基本概念。
控制系统指通过对被控对象施加控制以达到预期目的的系统，由输入信号、控制器、被控对象和输出信号组成。
其中输入信号指控制器对被控对象的输入，包括指令信号、干扰信号和噪声信号；控制器是控制系统的核心，通常使用反馈控制器、前馈控制器和组合控制器等；被控对象是控制系统中被控制的对象，包括机械系统、电力系统、化学系统等；输出信号是被控对象的响应信号，可分析其稳定性、动态性能和鲁棒性等。
2. 系统建模和分析。
将实际控制系统抽象为数学模型是现代控制理论的基础。
系统建模的方法包括基于物理原理的建模、基于经验的建模和基于统计学的建模等。
针对特定的控制问题可采用不同的建模方法。
系统的分析包括稳定性分析、动态性能分析和鲁棒性分析等。
稳定性是控制系统的基本要求，通过判断系统是否稳定可以避免系统崩溃或振荡。
动态性能是指控制系统对输入信号的响应能力，包括动态误差、响应时间、超调量等性能指标。
鲁棒性是指控制系统对参数变化或外界干扰的鲁棒性，越强的控制系统对各种不确定因素的适应能力越强。
3. 控制器设计。
现代控制理论的目的是设计出满足控制要求的控制器，设计控制器的方法包括传统方法和现代方法。
传统方法是指使用PID控制器、状态反馈控制器、最优控制器等传统方法设计控制器。
现代方法是指使用神经网络、模糊控制、滑动模式控制等现代方法设计控制器。
设计控制器需要综合考虑系统的稳定性、动态性能和鲁棒性等因素。
4. 联合控制系统。
现代控制理论还涉及联合控制系统的研究，即将机械、电气、电子、计算机等多方面因素融合在一起，实现更加复杂的控制任务。
联合控制系统的研究需要考虑各种子系统之间的协同和交互作用，同时要保证系统的稳定性和鲁棒性。
现代控制理论
5.1.2 输出反馈
设线性定常系统为
Ax Bu x y Cx Du
其输入u ，状态变量 x，输出量y 的维数分别是r，n，m 状态反馈控制律 u Fv Hy
F输入变换阵
D
H输出反馈阵
+ +
v
+
F
u
B
+ +
∫
A
x
C
y
H
u Fv Hy Fv H (Cx Du )
0 0 0 s 3 18s 2 72s det(sI A) 1 s 6 0 1 s 12 0
a 0= 0，a1= 72，a2=18
5.2.1状态反馈极点配置
计算由期望闭环极点组决定的特征多项式
3 2 f ( s) ( s * ) ( s 2 )( s 1 j )( s 1 j ) s 4 s 6s 4 i * i 1 3
性能指标的类型
性能指标实质上是对所要综合的控制系统在运动过程行为 上的一种规定。
非优化型性能指标 (不等式型) 优化性型能指标 (极值型)
（1）镇定问题 （2）极点配置 （3）解耦控制 （4）跟踪问题
J (u()) ( x T Qx uT Ru)dt
0
5.1 反馈控制系统的基本结构
0 1 0 0 0 0 1 0 A bc K 0 0 0 0 1 (an 1 kn 1 ) (a0 k0 ) (a1 k1 )
sI ( Ac bc K ) s n ( an 1 kn 1 ) s n 1 ( a1 k1 ) s ( a0 k0 )
现代控制理论系统的稳定性分析
Modern Control Theory
系统的稳定性分析
系统的稳定性分析
给定一个静止的系统， （1）给了一个初始扰动，它是否 会恢复到静止状态； （2）在持续扰动下，系统的输出 是否有界； 不同的稳定性概念： （1）李雅普诺夫意义下的稳定性； （2）输入输出稳定性
B D A C
李雅普诺夫稳定性 李雅普诺夫第一方法：利用矩阵特征值 李雅普诺夫第二方法：利用能量函数（直接法） 李雅普诺夫（1857－1918） 1892年在博士论文中提出稳定性理论 1907（15年后）出版了法文版 1992（100年后）出版了英文版 当今任何一本控制期刊都有 李雅普诺夫的名字
V(x, t) 的正定性：存在正定函数W(x)，使得
V ( x, t ) > W ( x ) ， 对所有非零的x， V (0, t ) = 0
负定：V(x) 负定 ⇔ －V(x) 正定
能量函数 半正定：对所有x， V ( x ) ≥ 0，且 V (0) = 0 。 半负定： V(x) 半负定 ⇔ －V(x)半正定。 不定：无论在原点的多么小领域内V(x) 既可以取到正 值，也可以取到负值。
2 V ( x ) = x1 x2 + x2 是不定的。
二次型函数
n n
V ( x ) = ∑∑ pij xi x j = x T Px = [ x1
i =1 j =1
x2
⎡ p11 ⎢p L xn ] ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎣ pn1
p12 L p22 L M M pn 2 L
p1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ p2 n ⎥ ⎥ ⎢ 2⎥ M ⎥⎢M⎥ ⎥⎢ ⎥ pnn ⎦ ⎣ xn ⎦
矩阵P是对称的，称为表示矩阵。 二次型函数的定号性就是矩阵P的定号性。 问题：如何判别矩阵P的定号性？ 塞尔维斯特判据 对实对称矩阵
现代控制理论第5章答案
现代控制理论第五章习题答案5-1已知系统状态方程为：111001101011x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1，-2，-3。
解：依题意有：2011012112M bAbA b ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦3r a n k M =， 系统能控。
系统0(,,)A b C =∑的特征多项式为： 332(1)(1)1321I A λλλλλλ-=---+=-++则将系统写成能控标准I 型，则有010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦。
引入状态反馈后，系统的状态方程为：()x A bK x bu =++ ，其中3K ⨯为1矩阵，设[]012K k k k =，则系统(,,)KA bK C =∑的特征多项式为：32210()det[()](3)(2)(1)f I A bK k k k λλλλλ=-+=+--+-+-根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：*32()(1)(2)(3)6116f λλλλλλλ=+++=+++比较*()()f f λλ与各对应项系数，可解得：012599k k k =-=-=-，则有：[]-5-9-9K =。
5-3有系统：[]21001110x x u y x-⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦= （1） 画出模拟结构图。
（2） 若动态性能不满足要求，可否任意配置极点？ （3） 若指定极点为-3，-3，求状态反馈阵。
解（1）系统模拟结构图如下：（2）系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统(,,)A b C =∑完全能控。
1110011,01011A b -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对于系统0(,,)A b C =∑有：[]0111M b Ab ⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦2rankM =，系统能控，故若系统动态性能不满足要求，可任意配置极点。
（3）系统(,,)A b C =∑的特征多项式为：2(2)(1)32I A λλλλλ-=++=++则将系统写成能控标准I 型，则有010231x x u⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦。
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原系统的能控性分解为
1 0 0 1 0 x1 x1 1 2 1 0 1 u x2 0 0 1 x 0 0
由于该系统的不能控部分只有一个具有负实部的极点-1, 因此不能控子系统是稳定的,系统是可镇定的。
基于线性系统能控结构分解方法和状态反馈极点配置方法,可 得到如下状态反馈镇定算法。
状态反馈镇定算法:
步1: 将可镇定的系统(A,B,C)进行能控性分解,获得变换矩 阵Pc,并可得到
A11 A12 A P APc , 0 A22
1 c
B1 BP B 0 Nhomakorabea2) 对能控部分进行极点配置 由上可知,系统的能控部分为
1 0 1 0 ( A11 , B1 ) , 1 2 0 1
~ ~ ~, 设A* 为具有期望特征值的闭环系统矩阵且 A* A 11 B1 K1 本例中设期望的闭环极点取为-3和-2。
第五章 线性系统综合
5.3 系统镇定
受控系统通过状态反馈(或者输出反馈),使得闭环系统渐近稳 定,这样的问题称为镇定问题。
能通过反馈控制而达到渐近稳定的系统是可镇定的。
镇定只要求闭环极点位于复平面的左半开平面之内。
镇定问题的重要性主要体现在3个方面: 首先,稳定性往往是控制系统能够正常工作的必要条 件,是对控制系统的最基本的要求; 其次,许多实际的控制系统是以渐近稳定作为最终设 计目标;
~ ~ ~ C CPc [C1 C2 ]
其中, c ( A11 , B1 , C1 ) 为完全能控子系统; nc ( A22 ,0, C2 )为完全不 能控子系统。
(2) 由于线性变换不改变系统的特征值,故有:
sI1 A11 | sI A || sI A | 0 A12 | sI1 A11 | | sI 2 A22 | sI 2 A22
u Kx v
使得闭环系统状态方程
( A BK ) x Bu x
是镇定的,其中K为状态反馈矩阵,v为参考输入。
对是否可经状态反馈进行系统镇定问题,有如下2个定理。 定理5-3 状态完全能控的系统(A,B,C)可经状态反馈矩阵镇 定。 证明 根据状态反馈极点配置定理5-1,对状态完全能控的系 统,可以进行任意极点配置。 因此,也就肯定可以通过状态反馈矩阵K将系统的闭环极 点配置在s平面的左半开平面之内,即闭环系统是镇定的。 故证明了,完全能控的系统,必定是可镇定的。
1 c
~ 其中, ( A11, B1 ) 为完全能控部分, ( A22 ,0) 为完全不能控部分但 渐近稳定。
~
~ ~~ K 步2: 利用极点配置算法求取状态反馈矩阵 1 ,使得 A11 B1K1
具有一组稳定特征值。
步3: 计算原系统(A,B,C)可镇定的状态反馈矩阵
K [ K1 0] Pc1
表明系统不完全能控.
取能控性分解变换矩阵Pc为:
0 1 1 , Pc 1 0 0 0 1 0 0 1 0 Pc1 0 0 1 1 0 1
于是可得
1 0 0 1 A Pc APc 1 2 1 , 0 0 1 1 0 1 B Pc B 0 1 0 0
最后,稳定性往往还是确保控制系统具有其它性能和 条件,如渐近跟踪控制问题等。 镇定问题是系统极点配置问题的一种特殊情况,它只要求把 闭环极点配置在s平面的左侧,而并不要求将极点严格配置 在期望的极点上。
为了使系统稳定,只需将那些不稳定因子,即具有非负实 部的极点,配置到s平面的左半开平面即可。
例 给定线性定常系统
0 1 2 0 1 0 1 0 x 1 0 u x 1 1 1 0 1
试设计状态反馈矩阵K,使系统镇定.
解: 1) 对系统进行能控性分解。
rankB 0 1 1 2 2n3 AB rank 1 0 1 0 0 1 1 2
因此,通过状态(输出)反馈矩阵使系统的特征值得到相 应配置,把系统的特征值(即的特征值)配置在平面的左 半开平面就可以实现系统镇定。
下面分别介绍基于 状态反馈
输出反馈 的2种镇定方法。
5.3.1 状态反馈镇定
线性定常连续系统状态反馈镇定问题可以描述为: 对于给定的线性定常连续系统(A,B,C),找到一个状态反 馈控制律:
定理5-4 若系统(A,B,C)是不完全能控的,则线性状态反馈使 系统镇定的充要条件是系统的完全不能控部分是渐近稳定的, 即系统(A,B,C)不稳定的极点只分布在系统的能控部分。 证明 (1) 若系统(A,B,C)不完全能控,可以通过线性变换将其 按能控性分解为: ~ ~ ~ B1 A11 A12 ~ ~ 1 1 A Pc APc ~ B Pc B 0 0 A22
(3) 由于原系统(A,B,C)与结构分解后的系统 ( A, B, C ) 在稳定 性和能控性上等价,假设K为系统的任意状态反馈矩阵,对 ~ ~ ~ K KP [ K 引入状态反馈阵 c 1 K 2 ] ,可得闭环系统的系统矩阵 为
A11 A12 B1 A11 B1 K1 A12 B1 K 2 A BK K1 K 2 0 A22 0 A22 0