辽宁省瓦房店市第八初级中学九年级数学上册《垂直于弦的直径》课件人教新课标版
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九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径课件 (新版)新人教版
xué)过程小组交流： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD， 使CD⊥AB，垂足为E ，你能找出图中相 等的量吗？你通过什么样的方式得到(dé dào)结论C ？
O·
A
E
B
D
设计(shè jì)意图：
通过小组合作交流， 教师演示，得出叠合 法的证明方法，突破 本节课的一个难点。
第十页，共14页。
教学过程
《垂直于弦的直径 (zhíjìng)》
第一页，共14页。
说
课
流 教材
教学(jiāo xué)重 难点分
析
教法学 (fǎxué) 法分析
程
(jiàocái) 分析
教学
流程
教学 策略
第二页，共14页。
一、教材 (1j、ià地o位c和á作i用)分： 析
既是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性 的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、 垂直关系(guān xì)的重要依据，同时也是为进行圆的 计算本和节知作识图(z提hī供sh了i)在方中法招和考依试中据所. 占的分值:
2010年 3分
2011年 3分
2012年 3分
第三页，共14页。
2、教学目标 （1）知识技能：
①使学生理解圆的轴对称性； ②掌握垂径定理；
③学会运用垂径定理解决有关的证明、 计算和作图问题。 （2）能力目标：
培养学生观察能力、分析能力及联想 能力。 （3）情感(qínggǎn)目标：
通过联系、发展、对立与统一的思考
验证(yànzhèng)篇:
垂径定理：垂直于弦的直（径板平分块三） C
(píngfēn)弦，并且平分(píngfēn)弦所
对的1、两文条字弧语．言:
(1)条件（2 ）结论
O·
A
E
B
D
设计(shè jì)意图：
通过小组合作交流， 教师演示，得出叠合 法的证明方法，突破 本节课的一个难点。
第十页，共14页。
教学过程
《垂直于弦的直径 (zhíjìng)》
第一页，共14页。
说
课
流 教材
教学(jiāo xué)重 难点分
析
教法学 (fǎxué) 法分析
程
(jiàocái) 分析
教学
流程
教学 策略
第二页，共14页。
一、教材 (1j、ià地o位c和á作i用)分： 析
既是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性 的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、 垂直关系(guān xì)的重要依据，同时也是为进行圆的 计算本和节知作识图(z提hī供sh了i)在方中法招和考依试中据所. 占的分值:
2010年 3分
2011年 3分
2012年 3分
第三页，共14页。
2、教学目标 （1）知识技能：
①使学生理解圆的轴对称性； ②掌握垂径定理；
③学会运用垂径定理解决有关的证明、 计算和作图问题。 （2）能力目标：
培养学生观察能力、分析能力及联想 能力。 （3）情感(qínggǎn)目标：
通过联系、发展、对立与统一的思考
验证(yànzhèng)篇:
垂径定理：垂直于弦的直（径板平分块三） C
(píngfēn)弦，并且平分(píngfēn)弦所
对的1、两文条字弧语．言:
(1)条件（2 ）结论
人教版九年级数学上册 《垂直于弦的直径》圆PPT教学课件
5
分析：∵OC⊥AB，OC 过圆心 O，∴CA＝12AB．∵AB＝4，∴AC＝2.在 Rt△AOC
中，由勾股定理，得 OA＝ AC2＋OC2＝ 22＋12＝ 5，即⊙O 的半径为 5. 答案：B
第五页，共二十四页。
6
基础过关
1．下列结论正确的是( A ) A．经过圆心的直线是圆的对称轴 B．直径是圆的对称轴 C．与圆相交的直线是圆的对称轴 D．与直径相交的直线是圆的对称轴
人教版九年级数学上册 《垂直于弦的直径》圆PPT教学课件
科 目：数学 适用版本：人教版 适用范围：【教师教学】
垂直于弦的直径
第一页，共二十四页。2以练Fra bibliotek学名师点睛
知识点 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴．
知识点 2 垂径定理及其推论 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
由勾股定理，得 OA2＝OD2＋AD2，即 r2＝(r－10)2＋302，解得 r＝50.即这个车轮 的外圆半径为 50 cm.
第十八页，共二十四页。
19
13．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D． (1)求证：AC＝BD； (2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且点O到直线AB的距离为6，求AC的 长．
第六页，共二十四页。
7
2．如图，⊙O 的直径 AB⊥弦 CD 于点 E，则下列结论中一定正确的是( B )
A．AE＝OE C．OE＝12CE
B．CE＝DE D．∠AOC＝60°
第七页，共二十四页。
8
3．【教材 P83 练习 T1 变式】如图，在半径为 5 的⊙O 中，弦 AB＝6，OP⊥AB， 垂足为点 P，则 OP 的长为( C )
课件《垂直于弦的直径》优秀课件完整版_人教版1
∴⊙O的半径为5厘米。
解决求赵州桥拱半径的问题
AB
如图，用A⌒B表示主桥拱，设A⌒B所在圆的圆心为O，半 径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC 与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是A⌒B 的中点， C是AB的中点，CD 就是拱高．AB=48米，CD=16米
C
A
D
B
R
O
三、
A⌒D=⌒BD
Ｄ
垂径定理的推论
通过垂径定理的证明及应用，我们还可以进一步得到 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦，并且平分弦所对的两条弧.
例 如图所示，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦， AM＝ BM，OM∶OC＝3∶5，求AB的长.
解：∵圆O的直径CD=10cm， ∴圆O的半径为5cm，即OC=5cm， ∵OM：OC=3：5， ∴OM= 3 OC=3cm， 连接OA，5 ∵AB⊥CD， ∴M为AB的中点，即AM=BM=1 AB，
船能过拱桥吗
如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出 水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水 面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
●相信自己能独立 完成解答.
船能过拱桥吗
解 : 如 图 ,用 AB表 示 桥 拱 , AB 所 在 圆 的 圆 心 为O,半 径为 R m, 6．下列经说法过错圆误的心是O( 作) 弦 A B 的 垂 线 O D, D 为 垂 足 , 与AB 相 交 于 点 C . 根
㎝，
O
D
A
B
C
C
O
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A
B
圆心到弦的距离d、弦长a中，
D
人教版《垂直于弦的直径》数学公开课PPT1
∴AE=BE, (3)已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为——
. O 设
，则
，
∴ 四边形ADOE为正方形.
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 2、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点，且0C＝OD.
AC =BC, AD =BD. 定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
8.已知：在⊙O中，弦AB⊥CD于P，⊙O的半径为5，AB=8，CD=6， OE⊥AB，OF⊥CD。求四边形OEPF的周长
3
5
4
5
3
4
随堂训练：1.填空
(1)已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和 7cm的两部分，则弦和圆心的距离为—2—cm.
知识回顾：垂径定理的内容是什么？
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且
平分弦所对的两条弧．
条件 CD为直径 CD⊥AB
结论
A⌒E=B⌒E A⌒C=B⌒C
AD=BD
垂径定理的几何语言叙述:
∵∴CADE为=B直E径，，A⌒CC=DB⌒⊥C，AAB⌒D=B⌒D．
C
O·
A
E
B
D
应用垂径定理的书写步骤1
定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.∵ CD是直源自,应用垂径定理的书写步骤1
定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
定理辨析
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
C
O
A
E
最新人教版初中九年级上册数学《垂直于弦的直径》精品课件
常言道：人生就是一场修行，生活只是一个状态，学习也只是一个习惯，只 要你我保持积极向上、乐观好学、求实奋进的状态，相信不久的将来我们一定会 取得更大的进步。
最后祝：您生活愉快，事业节节高。
已垂知足：为在E．⊙O满圆中足是，什轴C么D对条是称件直图才径形能，呢证？A明B是弦， CD⊥AB， C
左图是轴对称图形吗？
O
E A
B
D
大胆猜想 是轴对称图形．
证明：连结OA、OB.
C
则OA＝OB．
又∵CD⊥AB，
∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.
O
∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线
E A
O
D
B N
注意
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说. 如果具备：
（1）过圆心
（2）垂直于弦
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任意 两 个条件都可以推出其 他 三 个结论.
垂径定理的推论
条件 结论
命题
①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦 垂 所对的两条弧. 径 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂 定 直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 理 方法规律：利用垂径定理解决问题，通常是根据
题意作出辅助线，构造出直角三角形后利用勾股 定理解答.
课后小知识
学习方法指导
同学们，天道酬勤，一个人学习成绩的优劣取决于他的学习 能力，学习能力包括三个要素：
第二种情况：当AB、CD在圆心O的异侧时， 如图(2)，同第一种情况可得OE=5cm,OM=12cm ，
∴EM=OM+OE=17cm. 即AB和CD之间的距离为7cm或17cm.
最后祝：您生活愉快，事业节节高。
已垂知足：为在E．⊙O满圆中足是，什轴C么D对条是称件直图才径形能，呢证？A明B是弦， CD⊥AB， C
左图是轴对称图形吗？
O
E A
B
D
大胆猜想 是轴对称图形．
证明：连结OA、OB.
C
则OA＝OB．
又∵CD⊥AB，
∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.
O
∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线
E A
O
D
B N
注意
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说. 如果具备：
（1）过圆心
（2）垂直于弦
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任意 两 个条件都可以推出其 他 三 个结论.
垂径定理的推论
条件 结论
命题
①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦 垂 所对的两条弧. 径 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂 定 直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 理 方法规律：利用垂径定理解决问题，通常是根据
题意作出辅助线，构造出直角三角形后利用勾股 定理解答.
课后小知识
学习方法指导
同学们，天道酬勤，一个人学习成绩的优劣取决于他的学习 能力，学习能力包括三个要素：
第二种情况：当AB、CD在圆心O的异侧时， 如图(2)，同第一种情况可得OE=5cm,OM=12cm ，
∴EM=OM+OE=17cm. 即AB和CD之间的距离为7cm或17cm.
最新新课标人教版九上数学 24.1.2垂直于弦的直径 (课件)
被平分的弦是直径
所以猜想1有问题，我们不妨要求被平分的
弦不能是直径，提出猜想2再来研究一下是
否成立
猜想2：如果有一条直径平分一条不是直径的弦，那么它就能垂直于这条弦，
也能评分这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧
已知：如图，CD 是⊙O 的直径，CD平分弦AB于点E.
求证：CD ⊥AB于点E ，
C
AC = BC ，BD = AD
·
O
∴ CD ⊥ AB于点E，
AC BC，
E
B
A
AD BD.
试一试：更换条件你还能证明吗？
D
探究
①过圆心
②垂直于弦
③平分弦
猜想3：已知①⑤
？
②③④
猜想3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直
平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧.
④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
C
正确
·
O
E
B
A
D
归纳
已知
结论
周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．
集合定义：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离
等于定长r的点的集合
什么叫做弦？
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫
做直径.
什么叫做弧？
连圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.
我们学习完圆的定义后，这节课来学习一下圆的性质
弧
·
直径
弦
新知学习
命题
①②
③④⑤
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
①③
②④⑤
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
①④
②③⑤
最新人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》优质教学课件
线段: AE=BE
C
劣弧: A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D
理由如下：
·O
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧
的两个半圆重合，点A与点B重合， A E
B
AE与BE重合，A⌒C和B⌒C，A⌒D与B⌒D
D
重合．
归纳总结
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧． C
推导格式：
∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE，A⌒C =B⌒C，A⌒D =B⌒D.
思考探索
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平 分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真 命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧． 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个 结论吗？
证明猜想
① CD是直径 ③ AE=BE
② CD⊥AB，垂足为E ④ A⌒C=B⌒C ⑤ A⌒D=B⌒D
求证：A⌒C＝B⌒D.
C
证明：作直径MN⊥AB.
A
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则A⌒M＝B⌒M，C⌒M＝D⌒M
M
D B
.O
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）. N
∴A⌒M－C⌒M＝B⌒M－D⌒M.
∴A⌒C＝B⌒D.
归纳总结
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E
.O
AC
DB
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心
·O AE B
D
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种
语言要相互转化，形成整体，才能运用自如．
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不 是，请说明为什么？
人教版数学垂直于弦的直径PPT优秀课件1
D
. A
M
B
O
C
注意 为什么强调这里的弦 不是直径？
一个圆的任意两条 直径总是互相平分但 它们不一定互相垂直. 因此这里的弦如果是直 径，结论不一定成立．
M A
C
D
B N
推论： C、AM=OM D、CM=DM
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AMA为⊙O上点C、D以外的任意一点。 可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径
即CD所在直线是AA'的垂直平分线 判断下列图形，能否使用垂径定理？
在Rt△OAM和Rt△OBM中, 已知：在⊙O中，CD是任意一条直径， A为⊙O上点C、D以外的任意一点。
1
2
3
4
请选择
1、在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB 为直径，则下列结论不正确的是（C ）
A、A⌒C=A⌒D B、B⌒C=B⌒D C、AM=OM D、CM=DM
直于弦，并且平分弦所对的两 (2)能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论.
难点：利用垂径定理进行计算或证明. 4、⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.
条弧． 难点：利用垂径定理进行计算或证明.
证明：过点A作AA'⊥CD,交⊙O于点A'，垂足为M,连结OA、OA'. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A'，即: 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 并且平分弦所对的两条弧. 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
你能证明你的结论吗？
已知：在⊙O中，CD是任意一条
人教新课标版初中九上垂直于弦的直径ppt课件
新人教新课标版九年级（上）24.1.2垂直于弦的直径复习旧知：1、弦的定义？2、直径的定义?把_个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次”你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现:圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.思考：如图，AB是OO的一条弦，做直径CD ,使CD丄AB ,垂足为E .(1)圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ (対韶瞬轆殯勰(2)线段:AE=BE 弧：AC = BC = 把圆沿會賣厳b折叠时,CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合* 2 分别与BC產合。
DAE二BE, AC = BC AD=BD 即直径CD平分弦AB r 并且平分AE^ ACB 这样，我们就得到垂径定理: 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧• 推论:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧■例1、如图，赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶•它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37111,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m ,求赵洲桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）？解：如图，用曉示主桥拱，设 所在圆的圆心为O ,半径为 R •经过圆心O 作弦力3的垂线D 为垂足，OC 与力3相 交于点D ,根据前面的结论，D 是AB 的中点，伍屋 的中点f在RfOAD 中，由勾股定理，得OA 2 = AD 2 +即 R 2=1OB 2+ ( R - 7.23 ) 2 解得:R=27.3 ( m ) • •赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.CD 就是拱咼.在图中 AB=37 , CD=7.23 ,AD = 1AB |1X 37=18.5 OD = OC - CD = R - 7.23 B归纳：1、两条辅肋线：半径、圆心到弦的垂线段.2、一个RM :半径、圆心到弦的垂线段、半弦.3、两个定理:垂径定理、勾股定理.跟踪练习：1 .判断：(1 )垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两弧.(X)(2) 平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧.() «(3) 经过弦的中点的直径一定垂直于弦.(为(4) 圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行• ( *(5 )弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.(02、已知在OO中，弓玄AB的长为A8cm,圆心O到力册距离为3s,求0湘半径.解：连结OZ •过0（乍OF丄力3,垂足为F, 贝0OF二3 cm, AE- BE.:AB-Zcm :.AE-^cm在RfAO曲.根据勾股定理有CM二5s • •0湘半径为5s.3、在以圆心的两个同心圆中, 大圆的弦AB交小圆于C, Q两点. 求证:AC= BD.证明：过0（乍OELZB,垂足为F,贝^AE=BE, CE 二DE. AE-CE二BE- DE.所以,AC= BD通过本节课的学习你收获了什么？作业布置课本P89 1、2。
九年级数学 《垂直于弦的直径》课件 人教新课标版
6 10 8C 8 D
OC OB2 BC2 102 82 6
答:截面圆心O到水面的距离为6.
CD=OD－OC =10－6=4
例1：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径
OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
变式一：
若已知排水管的半径OB=10，
d +( ) =R2
条件
AE=BE
结论
⌒⌒ AC=BC ⌒⌒ AD=BD
CD过圆心
E
C
⌒ 已知AB如图，你能平分这条弧？
第一步：连接AB
A
O
.
B
B
E A D
第二步：作AB的垂直平分线
F
例1：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径
OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。 排水管中水最深是多少? 解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: AC=BC= 1 AB= 1 ×16=8 2 2 由勾股定理得:
解得 R≈27.9（m）. 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
O
练习：
1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心到AB 5cm 的距离为3cm,则⊙O的半径为 .
2.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为 8cm，则这弓形所在圆的半径为 13cm .
C
A
C 4∟
O
·
3
B
8
A
D
12
O
B
(1)题
赵州桥主桥拱的半径是多少？
做一做：
大家把事先准备好的一个圆，沿着圆的任意 一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？ 由此你能得到什么结论？圆有几条对称轴？
找一找 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC=BC，AD=BD. 在下列哪个图中有AE=BE，
OC OB2 BC2 102 82 6
答:截面圆心O到水面的距离为6.
CD=OD－OC =10－6=4
例1：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径
OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
变式一：
若已知排水管的半径OB=10，
d +( ) =R2
条件
AE=BE
结论
⌒⌒ AC=BC ⌒⌒ AD=BD
CD过圆心
E
C
⌒ 已知AB如图，你能平分这条弧？
第一步：连接AB
A
O
.
B
B
E A D
第二步：作AB的垂直平分线
F
例1：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径
OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。 排水管中水最深是多少? 解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: AC=BC= 1 AB= 1 ×16=8 2 2 由勾股定理得:
解得 R≈27.9（m）. 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
O
练习：
1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心到AB 5cm 的距离为3cm,则⊙O的半径为 .
2.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为 8cm，则这弓形所在圆的半径为 13cm .
C
A
C 4∟
O
·
3
B
8
A
D
12
O
B
(1)题
赵州桥主桥拱的半径是多少？
做一做：
大家把事先准备好的一个圆，沿着圆的任意 一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？ 由此你能得到什么结论？圆有几条对称轴？
找一找 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC=BC，AD=BD. 在下列哪个图中有AE=BE，
九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》教学课件(新版)新人教版
∵CD过圆心(CD为直径)，CD ⊥ AB，
C
∴AE=BE， AC= BC, AD= BD
注意:过圆心和垂直于弦两个条件缺一不可
O
进一步，我们还可以得到结论：
A
E
B
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧。 •即：如果CD过圆心，且AE=BE则 CD⊥AB， AC= BC, AD= BD
O OE就是 弦心距
A C E D B
.
2.⊙O的半径是10cm, 弦AB的长是12cm，则AB的弦心 距是______ 3.过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长8cm，那么 ⊙O的半径等于____，OM的长为_____
4.如图：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，
若AE=9， BE=1， 求CD的长。
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的 跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
你能利用垂径定理解决求 赵州桥拱半径的问题吗?
7.2m
37.4m
C
A
R 18.7
D
R-7.2
B
用 弧AB表示主桥拱，设弧AB所 在圆的圆心为O，半径为R． 经过圆心O 作OC⊥AB 于D， OC交AB 于点D，连接AO AB=37.4，CD=7.2，
解： OE
AB
在Rt △ AOE 中
2 2
1 1 AE AB 8 4 2 2
2
A A
E
B
AO OE AE
·
O
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm 答：⊙O的半径为5cm.
C
∴AE=BE， AC= BC, AD= BD
注意:过圆心和垂直于弦两个条件缺一不可
O
进一步，我们还可以得到结论：
A
E
B
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧。 •即：如果CD过圆心，且AE=BE则 CD⊥AB， AC= BC, AD= BD
O OE就是 弦心距
A C E D B
.
2.⊙O的半径是10cm, 弦AB的长是12cm，则AB的弦心 距是______ 3.过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长8cm，那么 ⊙O的半径等于____，OM的长为_____
4.如图：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，
若AE=9， BE=1， 求CD的长。
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的 跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
你能利用垂径定理解决求 赵州桥拱半径的问题吗?
7.2m
37.4m
C
A
R 18.7
D
R-7.2
B
用 弧AB表示主桥拱，设弧AB所 在圆的圆心为O，半径为R． 经过圆心O 作OC⊥AB 于D， OC交AB 于点D，连接AO AB=37.4，CD=7.2，
解： OE
AB
在Rt △ AOE 中
2 2
1 1 AE AB 8 4 2 2
2
A A
E
B
AO OE AE
·
O
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm 答：⊙O的半径为5cm.
新人教版《垂直于弦的直径》课件公开课PPT
·O
AE B D
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相
互转化,形成整体,才能运用自如.
辨析
1.下列图形是否具备垂径定理的条件？ 如果不是，请说明为什么？
C
C
O
A
E
B
D
c
A
D
B
O
O
A
E
B
D
C
A
O
D
B
C
O
A
O
A
E
B
C
B
辨析
2.如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，
则下列结论中不成立的是（ ）
2、能正确区分平方根与算术平方根的意义；
O
已化知(同抛平物行线于C第1:三y=x条2-直2x线的或图同象垂如直图于所第示三,把条C1直的线图)，象沿y轴翻折,得到抛物线C2的图象,抛物线C1与抛物线C2的图象合称图象C3.
根弦据心刚 距才：的圆证心明到我弦们的知距道离，点A和点A′是对称点．请同学们用对称的知识找出图中能够重合的几何图形．
温（馨3）提若示A：B=垂8 c径m定，理CD是=2圆cm中，一求个⊙重O要的的半定径理. ,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
如剪图一， 个A圆B形是纸⊙片O的，直沿径着，它C的D为任弦意，一C条D直⊥径AB对于折E，，则重下复列做结几论次中，不你成发立现的了是什（么？）由此你能得到什么结论？
∵不管m为何实数,总有(m-2)2≥0,∴Δ=(m-2)2+3>0,
2.运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
求⊙O的弦半心径．距：圆心到弦的距离 A OE· （A综A4解如22化2① (方(解121．.、.CC掌已))3上：图(抛法：与与设求同）如能握知所 (， 物二 (BB原抛平11若图正CC点抛))述在线 ：计物设设相相行DA，确到物,⊙上 如.B划线每 每等 等符于在区=直线O是 果安C个个8吗吗合第⊙分1中线Cc否 两排足足的？？条m1三O平，的:存 条y，的球球顶中件条AA方=弦距DD在 直xC工为为点，的直2根与与DA离-一 线人xxAA=B点2线与元元BB的2B的的x点都有DD的P、或c算，，坐概相只相长m和P图A同y术使每每，标念等有等为C第人象垂为平得个个求,，吗一吗8并三.如直互方四c篮篮⊙并？个？m画条图于相根边球球O，会为,为出直其所第的垂的形为为圆度什什抛线坐示三半直意Ayy心量么么物元元平标C,条径且把义PO点？？线，，行为D直.相到C；到是C根根1，(线2等A的2直正,据 B据那的-)2的图的，线方√题题么图两(象距"的形意意这象3条沿离"距?得得;若)弦y为)离.轴77存，xx3。＝＝翻在cOm55折D,yy求．⊥，，,得出A44到B00点于xx抛＋＋PD的物22，00坐线yyO＝＝标EC⊥233;的若44A00C图不00于，，象存E解解，,在抛得得求,物说xx证线明＝＝：C理55100四由与，，边;抛yy＝＝形物77A00线D..O答CE2是：的正每图方个象形足合．球称为图5象0元C3，. 每个篮球为70元
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