2020年普通高等学校招生全国统一考试全国III卷文科数学真题试卷
2020年全国卷(3)文科数学
2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷（Ⅲ）文科数学适用地区：云南、贵州、四川、广西、西藏等一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3,5,7,11}A =，{315}B x x =<<，则A B 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．52.复数(1)1z i i ⋅+=-，则z =A ．1i -B ．1i +C ．i -D ．i 3.设一座样本数据1x ，2x ，，n x 的方差为0.01，则数据110x ，210x ，，10nx 的方差为A ．0.01B ．0.1C ．1D ．10 4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型0.23(53)()1t K I t e --=+，其中K 为最大确诊病例数，当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln193≈）A ．60B ．63C ．66D ．69 5.sin sin()13πθθ++=，则sin()6πθ+=A ．12BC ．23D6.在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，1AC BC ⋅=，则点C 的轨迹是 A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．直线7.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物C ：22y px =（0p >）交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为A ．1(,0)4B ．1(,0)2 C ．(1,0) D ．(2,0)8.点(0,1)-到直线(1)y k x =+的距离的最大值为A ．1 B．2 9.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A．6+．4+ C．6+ D．4+10.设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则 A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<11.在ABC ∆中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则tan B =AB．．． 12.设函数1()sin sin f x x x=+，则 A ．()f x 有最小值为2 B ．()f x 的图像关于y 轴对称 C ．()f x 的图像关于x π=轴对称 D ．()f x 的图像关于2x π=轴对称二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0201x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为 .14.设双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线为y =，则双曲线的离心率为 .15.设函数()x e f x x a =+，若1(1)4f =，则a = .16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第1721题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）设等比数列{}n a 满足124a a +=，318a a -=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列3{log }n a 的前n 项和n S ，若13m m m S S S +++=，求m . 18.（本小题满分12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园（Ⅰ）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（Ⅱ）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（Ⅲ）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面22⨯列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为一天中到公园锻炼的人次与该市当附：其中22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，19.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别在棱1DD ，1BB 上，且2DE =1ED ，12BF FB =.（Ⅰ）当AB BC =时，EF AC ⊥. （Ⅱ）证明：点1C 在平面AEF 内；20.（本小题满分12分）已知函数32()f x x kx k =-+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围. 21.（本小题满分12分）已知椭圆C ：222125x y m+=（05m <<）的离心率为4，A ，B 分别为C 的左、右顶点.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ ∆的面积.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.ABC DEFA 1B 1C 1D 122.（本小题满分10分）（选修44-：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为22223x t ty t t⎧=--⎨=-+⎩（t为参数且1t≠）.C与坐标轴交于A，B两点.（Ⅰ）求AB；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.23.（本小题满分10分）（选修45-：不等式选讲）设a，b，c R∈，1a b c++=，1abc=.（Ⅰ）证明：0ab bc ca++<；（Ⅱ）用max{,,}a b c表示a，b，c的最大值，证明：max{,,}a b c≥.。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 文(全国卷3,含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 文（全国卷3）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,在涂选其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求的.）1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，，2．()()12i i +-=（ ）A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）4．若1sin 3α=，则cos2α=（ ）A ．89B ．79C ．79-D ．89-5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.76．函数 ()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为（ ）A ．4π B ．2πC ．πD ．2π7．下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是（ ）A ．()ln 1y x =-B ．()ln 2y x =-C ．()ln 1y x =+D ．()ln 2y x =+8．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是（ ）A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，9．函数422y x x =-++的图像大致为（ ）10．已知双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的离心率为2，则点()40，到C 的渐近线的距离为（ ）A ．2B ．2C ．322D ．2211．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π12．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ）A ．123B ．183C ．243D ．543二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．14．某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．15．若变量x y ，满足约束条件23024020.x y x y x ++⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥，≥，≤则13z x y =+的最大值是________．16．已知函数()()2ln11f x x x =--+，()4f a =，则()f a -=________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：共60分。
2020年全国3卷 文科数学真题(pdf版含解析)
2020年全国3卷文科数学真题（解析版）一、选择题：（每小题5分，共60分）1.已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【详解】由题得，{5,7,11}A B ⋂=，所以A ∩B 中元素的个数为3.故选：B考点：集合的运算2.若()11+=-z i i ，则z =（）A.1–iB.1+iC.–iD.i【答案】D 【详解】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i =.故选：D 考点：复数的运算3.设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为（）A.0.01B.0.1C.1D.10【答案】C【详解】因为数据(1,2,,)i ax b i n +=L ，的方差是数据(1,2,,)i x i n =L ，的方差的2a 倍，所以所求数据方差为2100.01=1⨯故选：C考点：方差的性质4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（ln19≈3）A.60B.63C.66D.69【答案】C 【详解】()()0.23531t KI t e--=+ ，所以()()0.23530.951t KI t K e**--==+，则()0.235319t e *-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈.故选：C.考点：对数的运算5.已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A.12B.33C.23D.22【答案】B【详解】由题意可得：13sin sin cos 122θθθ++=，则：3sin 122θθ+=，1sin cos 223θθ+=，从而有：sin coscos sin 663ππθθ+=，即3sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：B.6.在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（）A.圆 B.椭圆C.抛物线D.直线【答案】A【详解】设()20AB a a =>，以AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：()(),0,,0A a B a -，设(),C x y ，可得：()(),,,AC x a y BC x a y →→=+=-，从而：()()2AC BC x a x a y →→⋅=+-+，结合题意可得：()()21x a x a y +-+=，整理可得：2221x y a +=+，即点C 的轨迹是以AB 为半径的圆.故选：A.考点：轨迹方程7.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（）A.（14，0） B.（12，0） C.（1，0） D.（2，0）【答案】B【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,C D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx π∠=∠=，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.考点：抛物线8.点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（）A.1B.C.D.2【答案】B【详解】由(1)y k x =+可知直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即为||AP =故选：B.考点：直线的定点与点线距9.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.6+4B.C.D.4+2【答案】C【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△由勾股定理得：AB AD DB ===∴ADB △是等边三角形∴211sin 60222ADB S AB AD =⋅⋅︒=⋅=△∴表面积：632=⨯++.故选：C.考点：三棱锥表面积计算10.设a =log 32，b =log 53，c =23，则（）A.a <c <bB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b【答案】A 【详解】因为333112log 2log 9333a c =<==，355112log 3log 25333b c =>==，所以a c b <<.故选：A考点：对数大小比较11.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（）A.B.C.D.【答案】C【详解】设,,AB c BC a CA b===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=2221cos sin tan 299a cb B B B ac +-==∴==∴=故选：C考点：余弦定理与解三角形12.已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（）A.f (x )的最小值为2B.f (x )的图像关于y 轴对称C.f (x )的图像关于直线x π=对称D.f (x )的图像关于直线2x π=对称【答案】D【详解】sin x 可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x xπ≠∴≠∈-=--=-∴Q Q ()f x 关于原点对称；11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x x ππ-=--≠-=+=Q 故B 错；()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对故选：D考点：函数的对称性二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大，平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大，由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ，所以max 31227z =⨯+⨯=.故答案为：7.考点：线性规划14.设双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线为y 2x ，则C 的离心率为_________．【答案】3【详解】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y =，所以2b a =，2213c b e a a==+=.3考点：双曲线的渐近线与离心率15.设函数e ()xf x x a =+．若(1)4e f '=，则a =_________．【答案】1【详解】由函数的解析式可得：()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++，则：()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++，据此可得：()241aee a =+，整理可得：2210a a -+=，解得：1a =.故答案为：1.考点：导数的运算16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【答案】23【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O，由于AM ==122S =⨯⨯=△ABC ，设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322r =⨯++⨯=解得：2r =，其体积：3433V r π==.故答案为：3.考点：圆锥的内切球三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设等比数列{a n }满足124a a +=，318a a -=．（1）求{a n }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3a n }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ．【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，有1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以13-=n n a ；（2）令313log log 31n n n b a n -===-，所以(01)(1)22n n n n n S +--==，根据13m m m S S S +++=，可得(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=，整理得2560m m --=，因为0m >，所以6m =，18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400](400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）72（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，P (K 2≥k )0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：人次400≤人次400>空气质量不好3337空气质量好228()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥；（2）点1C 在平面AEF 内．【详解】（1）因为长方体1111ABCD A B C D -,所以1BB ⊥平面ABCD ∴1AC BB ⊥,因为长方体1111,ABCD A B C D AB BC -=,所以四边形ABCD 为正方形AC BD ∴⊥因为11,BB BD B BB BD =⊂I 、平面11BB D D ,因此AC ⊥平面11BB D D ,因为EF ⊂平面11BB D D ,所以AC EF ⊥；（2）在1CC 上取点M 使得12CM MC =,连,DM MF ,因为111112,//,=D E ED DD CC DD CC =,所以11,//,ED MC ED MC =所以四边形1DMC E 为平行四边形，1//DM EC ∴因为//,=,MF DA MF DA 所以四边形MFAD 为平行四边形，1//,//DM AF EC AF ∴∴因此1C 在平面AEF 内20.已知函数32()f x x kx k =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．【详解】（1）由题，'2()3f x x k =-，当0k ≤时，'()0f x ≥恒成立，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0k >时，令'()0f x =，得x ='()0f x <，得x <<令'()0f x >，得x <x >()f x在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增.（2）由（1）知，()f x 有三个零点，则0k >，且(00f f ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即22203203k k ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得4027k <<，当4027k <<>，且20f k =>，所以()f x在上有唯一一个零点，同理1k --<32(1)(1)0f k k k --=--+<，所以()f x在(1,k --上有唯一一个零点，又()f x在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点，综上可知k 的取值范围为4(0,27.21.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<的离心率为4，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【详解】（1） 222:1(05)25x y C m m +=<<∴5a =，b m =，根据离心率4c e a ====，解得54m =或54m =-(舍)，∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2） 点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又 90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=，∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y+=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时，故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：222311110555125211d ⨯-⨯+===+，根据两点间距离公式可得：()()2265205AQ =++-=，∴APQ 面积为：1555252⨯=；②当P 点为(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ==，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A -(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：()2283111405185185811d ⨯--⨯+=+，根据两点间距离公式可得：()()226580185AQ =++-=∴APQ 面积为：1518522185=，综上所述，APQ 面积为：52.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2222x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩，(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点.（1）求|AB |：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程.【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -.AB ∴==；（2）由（1）可知12030(4)AB k -==--，则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.[选修4-5：不等式选讲]23.设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c．【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++= ，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++.,,a b c 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--= ，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=.当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即max{,,}a b c .2020年全国3卷文科数学真题（原卷版）一、选择题：（每小题5分，共60分）1已知集合A ＝{1，2，3，5，7，11}，B ＝{x|3<x<15}，则A ∩B 中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.52.若(1)1z i i +=-，则z ＝（）A.1－iB.1＋iC.－iD.i3.设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为（）A.0.01B.0.lC.1D.104.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：()0.23(53)1t K I t e--=+，其中K 为最大确诊病例数。
2020年全国卷三文科数学高考试题(详细解析版)
1．已知集合 A 1，2，3，5，7，11 ， B x | 3 x 15 ，则 A∩B 中元素的个数为
A．2 C．4 答案：B
B．3 D．5
解析：由交集的定义可知 A∩B={5，7，11} ，故选 B
2．若 z (1 i) 1 i ，则 z=
A．1–i
B．1+i
C．–i
D．i
答案：C
解析：因为 z (1 i) 1 i ，所以 z 1 i (1 i)2 2i i ，故选 C 1 i (1 i)(1 i) 2
3．设一组样本数据 x1，x2，…，xn 的方差为 0.01，则数据 10x1，10x2，…，10xn 的方差为
B．f(x)的图像关于 y 轴对称 D．f(x)的图像关于直线 x 对称
2
解析：对于A，因为当 sin x 0 时， f (x) 0 ，故A错误.
第 4页 /共 12页
对于B，因为函数
f
(x)
的定义域为 {x
|
x
kπ, k
Z} ，又因为
f
(x)
sin(x)
1 sin( x)
f
(x)
，
故函数是奇函数，故B错误;
绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
全国卷三文科数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文（全国卷3,含答案）
2020年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试数学试题⽂（全国卷3,含答案）2020年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试数学试题⽂（全国卷3）注意事项：1．答题前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号码填写在答题卡上.2．回答选择题时,选出每⼩题答案后,⽤铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊.如需改动,⽤橡⽪擦⼲净后,在涂选其它答案标号.回答⾮选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上⽆效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回。
⼀、选择题（本题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给的四个选项中，只有⼀项符合题⽬要求的.）1．已知集合{}|10A x x=-≥，{}012B=，，，则A B=I（）A．{}0B．{}1C．{}12，D．{}012，，2．()()12i i+-=（）A．3i--B．3i-+C．3i-D．3i卯眼，图中⽊构件右边的⼩长⽅体是棒头．若如图摆放的⽊构件与某⼀带卯眼的⽊构件咬合成长⽅体，则咬合时带卯眼的⽊构件的俯视图可以是（）4．若1sin3α=，则cos2α=（）A．89B．79C．79-D．89-5．若某群体中的成员只⽤现⾦⽀付的概率为0.45，既⽤现⾦⽀付也⽤⾮现⾦⽀付的概率为0.15，则不⽤现⾦⽀付的概率为（）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.76．函数()2tan1tanxf xx=+的最⼩正周期为（）2πC．πD．2π7．下列函数中，其图像与函数lny x=的图像关于直线1x=对称的是（）A．()ln1y x=-B．()ln2y x=-C．()ln1y x=+D．()ln2y x=+8．直线20x y++=分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆()22 22x y-+=上，则ABP⾯积的取值范围是（）A．[]26，B．[]，D．2232，9．函数422y x x=-++的图像⼤致为（）10．已知双曲线22221x yCa b-=：（00a b>>，）的离⼼率为2，则点()40，到C的渐近线的距离为（）A．2B．2C．322D．2211．ABC ?的内⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ?的⾯积为222 4a b c +-，则C =（）A ．2πB ．3π12．设A ，B ，C ，D 是同⼀个半径为4的球的球⾯上四点，ABC ?为等边三⾓形且其⾯积为93，则三棱锥D ABC -体积的最⼤值为（）A ．123B ．183C ．243D ．543⼆、填空题（本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分）13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．14．某公司有⼤量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较⼤差异．为了解客户的评价，该公司准备进⾏抽样调查，可供选择的抽样⽅法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样⽅法是________．15．若变量x y ，满⾜约束条件23024020.x y x y x ++??-+??-?≥，≥，≤则13z x y =+的最⼤值是________．16．已知函数()()2ln11f x x x =--+，()4f a =，则()f a -=________．三、解答题（共70分，解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，每个试题考⽣都必须作答，第22、23题为选考题，考⽣根据要求作答．）（⼀）必考题：共60分。
2020年全国III卷文科数学高考试题及解析
2020年普通高等学校招生全国Ⅲ卷统一考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}1,2,3,5,7,11A =，{}|315B x x =<<，则A B 中元素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5解析：这是求A 和B 两个集合的交集，A 集合中的元素在（3，15）中的有5、7和11三个，所以正确答案为B，特别注意B 的不等式不包含等号，也即A 中的3不能包含进去。
点评：集合一般比较简单2.若)1z i i +=-，则z =（）A.1i- B.1i + C.i - D.i 解析：1(1)(1)21(1)(1)2i i i i z i i i i ----====-++-所以z=i点评：这个是一个复数的化简，共轭复数的概念，还是基题，送分题。
3．设一组样本数据12,,...,n x x x 的方差为0.01，则数据12n 10,10,...,10x x x 的方差为A．0.01B．0.1C．1D．10解析：设第一组数的平均值为x 则222121()()...()0.01n S x x x x x x =-+-++-=则10x1,10x2,....10xn 的平均值为10x22212222222(1010)(1010)...(1010)10(110()....10011n S x x x x x x x x x x S =-+-++-==-+-+=点评：考查统计方差的概念，特别要清楚，方差是不用开方的，而标准差是要开方的，4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531t KI t e --=+，其中K 为最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（）（其中In19≈3）A.60B.63C.66D.69解析：代入解方程即可以0.23(53)()0.951t KI t Ke --==+0.23(53)1110.9519t e ---==两边同取以19为底的对数ln190.23(53)t -=--解得t=66点评：本题结合时事，实际是取对数的形式，解指数方程，要求对对数和指数之间的转换非常熟练。
2020年高考文科数学全国卷3(附答案与解析)
数学试卷 第1页（共20页） 数学试卷 第2页（共20页）绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅲ卷文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1235711A =，，，，，，{}|315B x x =＜＜，则A B 中元素的个数为 ( )A .2B .3C .4D .52.若()1i 1i z +=-，则z = A .1i -B .1i +C .i -D .i3.设一组样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差为0.01，则数据110x ，210x ，…，10n x 的方差为( )A .0.01B .0.1C .1D .104.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531t K I t e --=+，其中K 为最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln193≈）( ) A .60B .63C .66D .69 5.已知πsin sin 13θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则πsin 6θ⎛⎫+=⎪⎝⎭( )A .12BC .23D.2 6.在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点.若1AC BC ⋅=，则点C 的轨迹为( ) A .圆B .椭圆C .抛物线D .直线7.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线()2:20C y px p =＞交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为( )A .104⎛⎫ ⎪⎝⎭，B .102⎛⎫ ⎪⎝⎭， C .()10，D .()20，8.点()01-，到直线()1y k x =+距离的最大值为( )A .1BCD .2 9.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A. B.C.D.10.设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则( )A .a c b ＜＜B .a b c ＜＜C .b c a ＜＜D .c a b ＜＜ 11.在ABC △中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则tan B =( )AB. C.D.12.已知函数()1sin sin f x x x=+，则( )A .()f x 的最小值为2B .()f x 的图像关于y 轴对称C .()f x 的图像关于直线πx =对称D .()f x 的图像关于直线π2x =对称毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共20页） 数学试卷 第4页（共20页）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0201x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≥，≤，则32z x y =+的最大值为________.14.设双曲线2222:1x y C a b-=()00a b ＞，＞的一条渐近线为y =，则C 的离心率为________. 15.设函数()xe f x x a =+，若()14ef '=，则a =________. 16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的切球表面积为________. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）设等比数列{}n a 满足124a a +=，318a a -=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}3log n a 的前n 项和.若13m m m S S S +++=，求m .18.（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天空气质量不好附：()()()()2n ad bc a b c d a c K b d -=++++，.19.（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，在E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =，证明：数学试卷 第5页（共20页） 数学试卷 第6页（共20页）（1）当AB BC =时，EF AC ⊥； （2）点1C 在平面AEF 内.20.（12分）已知函数()32f x x kx k =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围.21.（12分）已知椭圆()222:10525x y C m m+=＜＜，A ，B 分别为C 的左、右顶点.（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为()222123x t tt t y t t ⎧=--⎪≠⎨=-+⎪⎩为参数且，C 与坐标轴交于A ，B 两点. （1）求AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分） 设a ，b ，c ∈R ，0a b c ++=，1abc =. （1）证明：0ab bc ca ++＜；（2）用{}max a b c ，，表示a ，b ，c 中的最大值，证明：{}max a b c ，，毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第7页（共20页） 数学试卷 第8页（共20页）2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅲ卷文科数学答案解析一、选择题 1.【答案】B【解析】采用列举法列举出AB 中元素的即可.由题意，{}5711AB =，，，故AB 中元素的个数为3. 故选：B【考点】集合的交集运算 2.【答案】D【解析】先利用除法运算求得z ，再利用共轭复数的概念得到z 即可.因为()()()21i 1i 2ii 1i 1i 1i 2z ---====-++-，所以i z =.故选：D . 【考点】复数的除法运算，共轭复数的概念 3.【答案】C【解析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.因为数据i ax b +，()12i n =，，…，的方差是数据i x ，()12i n =，，…，的方差的2a 倍，所以所求数据方差为2100.011⨯=，故选：C . 【考点】方差 4.【答案】C【解析】将t t *=代入函数()()0.23531t K I t e--=+结合()0.95I t K *=求得t *即可得解.()()0.23531t K I t e --=+，所以()()0.23530.951t KI tK e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *+≈≈. 故选：C .【考点】对数的运算，指数与对数的互化 5.【答案】B【解析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.由题意可 得：1sin sin 12θθθ+=，则：3sin 12θθ=1cos 2θθ+，从而有：sin coscos sin663ππθθ+=，即πsin 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：B .【考点】两角和与差的正余弦公式及其应用 6.【答案】A【解析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.设()20AB a a =＞，以AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：()0A a -，，()0B a ，，设()C x y ，，可得：()AC x a y →=+，，()BC x a y →=-，，从而：()()2AC BC x a x a y →→⋅=+-+，结合题意可得：()()21x a x a y +-+=，整理可得：2221x y a +=+，即点C 的轨迹是以AB .故选：A .【考点】平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解 7.【答案】B【解析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4DOx EOx π∠=∠=，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.因为直线2x =与抛物线()220y px p =＞交于E ，D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以数学试卷 第9页（共20页） 数学试卷 第10页（共20页）()22D ，，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为102⎛⎫⎪⎝⎭，，故选：B . 【考点】圆锥曲线，直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标 8.【答案】B【解析】首先根据直线方程判断出直线过定点()10P -，，设()01A -，，当直线()1y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线()1y k x =+距离最大，即可求得结果.由()1y k x =+可知直线过定点()10P -，，设()01A -，，当直线()1y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线()1y k x =+距离最大，即为AP =.故选：B . 【考点】解析几何初步的问题，直线过定点，利用几何性质 9.【答案】C【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDBS S S ===⨯⨯=△△△，根据勾股定理可得：AB AD DB ===∴ADB △是边长为(2°11sin 6022ADB S AB AD =⋅⋅==△，∴该几何体的表面积是：632⨯++故选：C .【考点】根据三视图求立体图形的表面积，根据三视图画出立体图形 10.【答案】A【解析】分别将a ，b 改写为331log 23a =，351log 33b =，再利用单调性比较即可.因为333112log 2log 9333a c ===＜，355112log 3log 25333b c ===＞，所以a c b ＜＜.故选：A .【考点】对数式大小的比较 11.【答案】C【解析】先根据余弦定理求c ，再根据余弦定理求cos B ，最后根据同角三角函数关系求tan B .设AB c =，BC a =，CA b =，22222cos 91623493c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，3c ∴=，2221cos9a c bB +-==，sinB ∴=tan B ∴=.故选：C . 【考点】余弦定理，同角三角函数关系 12.【答案】D【解析】根据基本不等式使用条件可判断A ；根据奇偶性可判断B ；根据对称性判断C ，D .sin x 可以为负，所以A 错；sin 0x ≠，()x k k π∴≠∈Z ，()()1sin sin f x x f x x-=--=-，()f x ∴关于原点对称；()()12sin sin f x x f x x π-=--≠，()()1sin sin f x x f x xπ-=+=，故B 错；()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对.故选：D .【考点】函数定义域与最值，奇偶性，对称性 二、填空题 13.【答案】7【解析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.不等式组所表示的可行域如图.因为32z x y =+，所以322x z y =-+，易知截距2z 越大，则z 越大，平移直线32x y=-，当322x zy =-+经过A点时截距最大，此时数学试卷 第11页（共20页） 数学试卷 第12页（共20页）z 最大，由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，()12A ，，所以max 31227z =⨯+⨯=.故答案为：7.【考点】简单线性规划的应用，线性目标函数的最大值【解析】根据已知可得a=结合双曲线中a ，b ，c 的关系，即可求解.由双曲线方程22221x y a b -=可得 其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y=，所以ba=c e a ===故【考点】双曲线性质 15.【答案】1【解析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a 的方程，解方程即可确定实数a 的值.由函数的解析式可得：()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++，则：()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++，据此可得：()241aeea =+，整理可得：2210a a -+=，解得：1a =.故答案为：1.【解析】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2BC =，3AB AC ==，且点M 为BC边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于AM ==122S =⨯⨯=△ABC r，则： ()11113322222ABC AOB BOC AOCS S S S AB r BC r AC r r =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯++⨯=△△△△，解得：r =，其体积：343Vr π==.. 三、解答题17.【答案】（1）13n n a -= （2）6m =数学试卷 第13页（共20页） 数学试卷 第14页（共20页）【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式.设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，有1121148a a q a q a +=-=⎧⎨⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以13n n a -=.（2）由（1）求出{}3log n a 的通项公式，利用等差数列求和公式求得n S ，根据已知列出关于m 的等量关系式，求得结果.令313log log 31n n n b a n -===-，所以()()01122n n n n n S +--==，根据13m m m S S S +++=，可得()()()()1123222m m m m m m -++++=，整理得2560m m --=，因为0m ＞，所以6m =.【考点】比数列通项公式基本量的计算，等差数列求和公式的应用18.【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09 （2）350锻炼的人次与该市 当天的空气质量有关.【解析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率.由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=. （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果.由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=.（3）根据表格中的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，再结合临界值表可得结()21003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈＞，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市 当天的空气质量有关.【考点】利用频数分布表计算频率和平均数，独立性检验的应用19.【答案】（1）因为长方体1111ABCD A B C D -，所以1BB ABCD ⊥平面，1AC BB ∴⊥，因为长方体1111ABCD A B C D -，AB BC =，所以四边形ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥.因为1BB BD B =，111BB BD BB D D ⊂、平面，因此11AC BB D D ⊥平面，因为11EF BB D D ⊂平面，所以AC EF ⊥.（2）在1CC 上取点M 使得12CM MC =，连DM ，MF ，因为12D E ED =，11DD CC ∥，11DD CC =，所以1ED MC =，1ED MC ∥，所以四边形1DMC E 为平行四边形，1DM EC ∴∥.因为MF DA ∥，MF DA =，所以四边形MFAD 为平行四边形，DM AF ∴∥，1EC AF ∴∥，因此1C 在平面AEF 内. 【解析】（1）根据正方形性质得AC BD ⊥，根据长方体性质得1AC BB ⊥，进而可证数学试卷 第15页（共20页） 数学试卷 第16页（共20页）11AC BB D D ⊥平面，即得结果.因为长方体1111ABCD A B C D -，所以1BB ABCD ⊥平面，1AC BB ∴⊥，因为长方体1111ABCD A B C D -，AB BC =，所以四边形ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥.因为1BB BD B =，111BB BD BB D D ⊂、平面，因此11AC BB D D ⊥平面，因为11EF BB D D ⊂平面，所以AC EF ⊥.（2）只需证明1EC AF ∥即可，在1CC 上取点M 使得12CM MC =，再通过平行四边形性质进行证明即可.在1CC 上取点M 使得12CM MC =，连DM ，MF ，因为12D E ED =，11DD CC ∥，11DD CC =，所以1ED MC =，1ED MC ∥，所以四边形1DMC E 为平行四边形，1DM EC ∴∥.因为MF DA ∥，MF DA =，所以四边形MFAD 为平行四边形，DM AF ∴∥，1EC AF ∴∥，因此1C 在平面AEF 内.【考点】线面垂直判定定理，线线平行判定20.【答案】（1）由题，()23f x x k '=-，当0k ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递 增；当0k ＞时，令()0f x '=，得x =，令()0f x '＜，得x ，令()0f x '＞，得x -＜x 所以()f x在⎛上单调递减，在⎛-∞ ，，⎫+∞⎪⎪上单调递增. 【解析】（1）()23f x x k '=-，对k 分0k ≤和0k ＞两种情况讨论即可.由题，()23f x x k '=-，当0k ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递增；当0k ＞时，令()0f x '=，得x =，令()0f x'＜， 得x ，令()0f x '＞，得x -＜x ()f x在⎛ ⎝上单调递减，在⎛-∞⎝，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增. （2）()f x 有三个零点，由（1）知0k ＞，且00ff ⎧⎛⎪ ⎪⎝⎨⎪⎪⎩＞＜，解不等式组得到k 的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可.由（1）知，()f x 有三个零点，则0k ＞，且00f f ⎧⎛⎪ ⎪⎝⎨⎪⎪⎩＞＜，即22203203k k ⎧+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，解 得4027k ＜＜，当4027k ＜＜且20fk =＞，所以()f x 在上有唯一一个零 点，同理1k --＜()()23110f k k k --=--+＜，所以()f x 在1k ⎛--⎝，上有唯一一个零点，又()f x 在⎛ ⎝上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点，综上可知k 的取值范数学试卷 第17页（共20页） 数学试卷 第18页（共20页）围为4027⎛⎫ ⎪⎝⎭，.【解析】（1）因为()2:10525x yC m m+=＜＜，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案.()222:10525x y C m+=＜＜，5a ∴=，b m =，根据离心率c e a ====解得54m =或54m =-（舍），C ∴的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=. （2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ △的面积.点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N .根据题意画出图形，如图BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=，又90PBM QBN ∠+∠=，90BQN QBN ∠+∠=，PBM BQN ∴∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ()50B ∴，，651PM BN ∴==-=，设P 点为()P P x y ，，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，P ∴点为()31，或()31-，， ①当P 点为()31，时，故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，2MB NQ ∴==，可得：Q 点为()62，，画 出图象，如图()50A -，，()62Q ，，可求得直线AQ 的直线方程为：211100xy -+=，根据点到直线距离公式可得P 到 直线AQ 的距离为：d ===，根据两点间距离公式可得：AQ =APQ ∴△面积为：15252⨯=；②当P 点为()31-，时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，8MB NQ ∴==，可得：Q 点为()68，， 画出图象，如图()50A -，，()68Q ，，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P数学试卷 第19页（共20页） 数学试卷 第20页（共20页）到直线AQ 的距离为：d ===根据两点间距离公式可得：AQ ==APQ ∴△面积为：1522=，综上所述，APQ △面积为：52.【考点】椭圆标准方程，三角形面积，椭圆的离心率定义，数形结合求三角形面积【解析】（1）由参数方程得出A ，B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值.令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即()012A ，.令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即()40B -，.AB ∴=（2）由A ，B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.由（1）可知()120304AB k -==--， 则直线AB 的方程为()34y x =+，即3120x y -+=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=可得，直线AB 的极坐标方程 为3cos sin 120ρθρθ-+=.【考点】利用参数方程求点的坐标，直角坐标方程化极坐标方程 23.【答案】（1）()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. a ，b ，c 均不为0，则2220a b c ++＞，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++＜. （2）不妨设{}max a b c a =，，，由0a b c ++=，1abc =可知，0a ＞，0b ＜，0c ＜.a b c =--，1a bc=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc ++++∴=⋅===≥.当且仅当b c =时，取等号，a ∴{}3max 4a b c ，，.【解析】（1）由()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明.()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++.a ，b ，c 均不为0，则2220a b c ++＞，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++＜. （2）不妨设{}max a b c a =，，，由题意得出0a ＞，0b c ，＜，由()222322b c b c bca aa bcbc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明.不妨设{}max a b c a =，，，由0a b c ++=，1abc =可知，0a ＞，0b ＜，0c ＜，a b c =--，1a bc=，()222322224b c b c bc bc bca a a bcbcbc++++∴=⋅===≥.当且仅当b c =时，取等号，a ∴{}3max 4a b c ，，.【考点】不等式的基本性质，基本不等式的应用。
2020年全国统一高考数学3卷(文科)
根据立体图形可得：
根据勾股定理可得：
是边长为 的等边三角形
根据三角形面积公式可得：
该几何体的表面积是： .
故选：C.
10.设 ， ， ，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
分别将 , 改写为 ， ，再利用单调性比较即可.
【详解】因为 ， ，
【答案】C
【分析】
根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.
【详解】因为数据 的方差是数据 的方差的 倍，
所以所求数据方差为
故选：C
4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： ，其中K为最大确诊病例数．当I( )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（）（ln19≈3）
从而： ，
结合题意可得： ，
整理可得： ，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心， 为半径的圆.
故选：A.
7.设 为坐标原点，直线 与抛物线C： 交于 ， 两点，若 ，则 的焦点坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
根据题中所给的条件 ，结合抛物线的对称性，可知 ，从而可以确定出点 的坐标，代入方程求得 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
所以 .
故选：A.
11.在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则tanB=（）
A. B. 2 C. 4 D. 8
【答案】C
【分析】
先根据余弦定理求 ，再根据余弦定理求 ，最后根据同角三角函数关系求
【详解】设
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 文(全国卷3,含解析)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A ⋂B 中元素的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B2．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由题意：12z i =-- .本题选择B 选项.3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2020年1月至2020年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A ．月接待游客逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】由折线图，7月份后月接待游客量减少，A错误；本题选择A选项.4．已知4 sin cos3αα-=，则sin2α=（）A．79- B．29-C．29D．79【答案】A5．设x，y满足约束条件3260x yxy+-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z=x-y的取值范围是（）A．[–3,0]B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3]【答案】B【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点()0,3A处取得最小值033z=-=- . 在点()2,0B处取得最大值202z=-= .本题选择B选项.6．函数f(x)=15sin(x+3π)+cos(x−6π)的最大值为（）A．65B．1 C．35D．15【答案】A【解析】由诱导公式可得：cos cos sin 6233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 则：()16sin sin sin 53353f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , 函数的最大值为65. 本题选择A 选项. 7．函数y =1+x +2sin xx 的部分图像大致为（ ）A BD ．C D 【答案】D8．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【解析】如果，画出圆柱的轴截面，11,2AC AB ==，所以3r BC ==，那么圆柱的体积是223314V r h πππ==⨯⨯=⎝⎭，故选B. 10．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（ ）A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【答案】C【解析】根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜线在平面内的射影，A.若11A E DC ⊥，那么11D E DC ⊥，很显然不成立；B.若1A E BD ⊥，那么BD AE ⊥，显然不成立；C.若11A E BC ⊥，那么11BC B C ⊥，成立，反过来11BC B C ⊥时，也能推出11BC A E ⊥,所以C 成立，D.若1A E AC ⊥，则AE AC ⊥，显然不成立，故选C.11．已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A ．6B ．3 C ．23D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离22d a a b==+，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a = ，63c e a ==，故选A.12．已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =（ ）A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国卷三文科数学高考试题(word版+详细解析版)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷三文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}1235711，，，，，A =，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为 A ．2 B ．3C ．4D ．5答案：B解析：由交集的定义可知A ∩B ={5711}，，，故选B 2．若)(1i 1i z +=-，则z =A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i答案：C解析：因为)(1i 1i z +=-，所以21i (1i)2i i 1i (1i)(1i)2z ---====-++-，故选C 3．设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为A ．0.01B ．0.1C ．1D ．10答案：C解析：数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差等于数据x 1，x 2，…，x n 的方差210，即0.011001⨯=，故选C4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t KI t --+，其中K 为最大确诊病例数．当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln193)≈A ．60B ．63C ．66D ．69答案：C解析：由0.23(53)()=1e t KI t --+可得ln 1()530.23K I t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+-，所以若*()0.95I t K =时，*ln 1ln190.955353660.230.23K K t ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=+≈-，故选C. 5．已知πsin sin=3θθ++（）1，则πsin =6θ+（） A ．12 BC ．23 D答案：B解析：因为πsin sin =3θθ++（）1，所以13sin sin sin 1226πθθθθθθ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，所以πsin 6（+θ，故选B 6．在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线答案：A解析：取线段AB 的中点O ，则AC OC OA =-，BC OC OB OC OA =-=+，因为=1AC BC ⋅，所以221OC OA -=，所以22||||1OC OA =+，即|||OC OA =C的轨迹为以线段AB 中点为A。