角动量定理 角动量守恒定律
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角动量定理 角动量守恒定律
，质点对圆心的 特例：做圆周运动时，由于 r v 角动量大小为 L rmv ，
大小不变，方向不变。 质点对圆心O的角动角动量守恒定律
dL d dr d p Lrp (r p) pr dt dt dt dt dr dr v, p v (mv ) 0 dt dt
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实验：质量为m的小球系在 轻绳的一端，绳穿过一竖 直的管子，一手握管，另 一手执绳。
实验发现： 则
v2r2 v1r1
mv2r2 mv r1 1
表明小球对圆心的角动量保持不变。 解释：作用在小球上的有心力对力心的力矩为零， 故小球的角动量守恒。
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行星绕太阳的运动： 作用在行星上的万有引力（有心力）对太阳（力 心）的力矩为零，因此，行星在运动过程中，对太阳 的角动量保持不变。
§3-4 质点的角动量定理与角动量守恒定律
一、角动量（动量矩）
由于动量 不能描述转动问题。 引入质点对参考点O的角动量（angular momentum）：
L r p r (mv )
大小： L rmv sin 方向：右手螺旋定则确定
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L r p r (mv )
r p 常矢量
pd 常量
在有心力场中，关于力心的角动量守恒。
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例2-17 发射宇宙飞船去考察一质量m1半径 R 的行星， 当飞船静止于距行星中心 4R 处时，以速度 发射一 质量为 m2 (m2远小于飞船质量)的仪器, 要使仪器恰好 掠着行星的表面着陆，q角应是多少? 着陆滑行初速度 v 多大?
解：有心力场中， 运用角动量守恒和(m1 , m2 )系统 机械能守恒定律：
大小不变，方向不变。 质点对圆心O的角动角动量守恒定律
dL d dr d p Lrp (r p) pr dt dt dt dt dr dr v, p v (mv ) 0 dt dt
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实验：质量为m的小球系在 轻绳的一端，绳穿过一竖 直的管子，一手握管，另 一手执绳。
实验发现： 则
v2r2 v1r1
mv2r2 mv r1 1
表明小球对圆心的角动量保持不变。 解释：作用在小球上的有心力对力心的力矩为零， 故小球的角动量守恒。
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行星绕太阳的运动： 作用在行星上的万有引力（有心力）对太阳（力 心）的力矩为零，因此，行星在运动过程中，对太阳 的角动量保持不变。
§3-4 质点的角动量定理与角动量守恒定律
一、角动量（动量矩）
由于动量 不能描述转动问题。 引入质点对参考点O的角动量（angular momentum）：
L r p r (mv )
大小： L rmv sin 方向：右手螺旋定则确定
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L r p r (mv )
r p 常矢量
pd 常量
在有心力场中，关于力心的角动量守恒。
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例2-17 发射宇宙飞船去考察一质量m1半径 R 的行星， 当飞船静止于距行星中心 4R 处时，以速度 发射一 质量为 m2 (m2远小于飞船质量)的仪器, 要使仪器恰好 掠着行星的表面着陆，q角应是多少? 着陆滑行初速度 v 多大?
解：有心力场中， 运用角动量守恒和(m1 , m2 )系统 机械能守恒定律：
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量
刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积；方向与角速度的方向相同。
2、刚体定轴转动的角动量定理
（1）微分形式：刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩，等于刚体绕该定轴的角动量随时间的变化率。
（2）积分形式：当物体绕某定轴转动时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩作用，物体的角动量保持不变。
练习：1角动量守恒的条件是 。
0=M 11222
1ωωJ J Mdt t t -=⎰刚体 ） 21J J ==ωJ 恒量
ωJ L =()ωJ dt d dt dL M ==。
角动量 角动量守恒定律
角动量与线动量关系
角动量与线动量的关系
角动量是线动量在物体绕某点或某轴 转动时的表现形式，二者之间存在密 切关系。
动量守恒定律
在不受外力作用的情况下，物体的总 动量（包括线动量和角动量）保持不 变，即动量守恒定律。
02
角动量守恒定律
守恒条件及适用范围
守恒条件
当系统不受外力矩作用时，系统的角动量守恒。即在没有外力矩的情况下，系统内部各部分之间的相 互作用力不会导致系统总角动量的改变。
06
总结与展望
课程内容回顾与总结
角动量的定义与性
质
角动量是物体绕某点或某轴转动 的动量，具有矢量性质，其大小 与物体的质量、速度和转动半径 有关。
角动量守恒定律的
表述
在没有外力矩作用的情况下，系 统内的角动量保持不变，即角动 量守恒。
角动量守恒定律的
应用
角动量守恒定律在天体物理、刚 体转动、分子运动等领域有广泛 应用，如行星运动、陀螺仪工作 原理等。
对未来研究方向的展望
角动量守恒定律在复 杂系统较成熟，但在复 杂系统中的应用还有待深入研究， 如多体问题、非线性问题等。
角动量与其他物理量 的关系研究
角动量与能量、动量等物理量之 间存在一定的联系，未来可以进 一步探讨它们之间的关系，以及 如何利用这些关系解决实际问题。
在机械工程中，飞轮储能系统被应用 于能量回收和节能领域。飞轮储能系 统利用刚体定轴转动的角动量守恒定 律，通过加速和减速飞轮来储存和释 放能量。这种储能方式具有高效率、 环保等优点，在电动汽车、风力发电 等领域具有广阔的应用前景。
04
质点和质点系相对于固定 点角动量守恒
质点相对于固定点角动量定义和性质
双星系统由两颗互相绕转的恒星组成。在双星系统中，两颗恒星的角动量守恒，因此它们的轨道周期、距离和质量之 间存在一定关系。
6角动量定理角动量守恒定律
M L dL t dt
t
M (t t0 ) L L0 t0 Mdt L L0
若M 0
L L ——质点的角动量守恒 0
➢ 角动量守恒，动量未必守恒
4．质点系的角动量定理和角动量守恒定律
M
L
t
dL
dt
M
(t
t0
)
L
L0
t
t0
M
dt
L
L0
若M 0
L L0 ——质点系的角动量守恒
速下摆。问小球 1 和 2 分别在什么位置脱离细杆？（分别求出小
球 1 和 2 脱离细杆时细杆与水平线的夹角）。
解：（1）
机械能守恒:
0
mgl
sin
2mgl
sin
1 2
(2m)v12
1 2
mv
2 2
v1 v2 l
B
2g sin
3l
角动量定理：
2
l
Bm
2mgl cos mgl
L = 2mlv1 mlv2
B
略不计的刚性细杆可绕
通过其中点 O 的光滑水
2 平轴在竖直面内自由转 B m
l
动。两质量分别为 2m
Ol
1 A
2m
和 m 的小球 1 和 2（可
视为质点）串在细杆上，
A
它们与细杆之间的静摩
擦系数为 5 3 / 6 。开始时细杆静止在水平位置，小球 1 和 2
分别位于紧靠细杆两端点 A 和 B 的位置。系统自水平位置以零初
1．力矩
力
F
对参考点
O
的力矩定义为：
M rF
大小：M Fr sin Fd
方向：沿r F方向
t
M (t t0 ) L L0 t0 Mdt L L0
若M 0
L L ——质点的角动量守恒 0
➢ 角动量守恒，动量未必守恒
4．质点系的角动量定理和角动量守恒定律
M
L
t
dL
dt
M
(t
t0
)
L
L0
t
t0
M
dt
L
L0
若M 0
L L0 ——质点系的角动量守恒
速下摆。问小球 1 和 2 分别在什么位置脱离细杆？（分别求出小
球 1 和 2 脱离细杆时细杆与水平线的夹角）。
解：（1）
机械能守恒:
0
mgl
sin
2mgl
sin
1 2
(2m)v12
1 2
mv
2 2
v1 v2 l
B
2g sin
3l
角动量定理：
2
l
Bm
2mgl cos mgl
L = 2mlv1 mlv2
B
略不计的刚性细杆可绕
通过其中点 O 的光滑水
2 平轴在竖直面内自由转 B m
l
动。两质量分别为 2m
Ol
1 A
2m
和 m 的小球 1 和 2（可
视为质点）串在细杆上，
A
它们与细杆之间的静摩
擦系数为 5 3 / 6 。开始时细杆静止在水平位置，小球 1 和 2
分别位于紧靠细杆两端点 A 和 B 的位置。系统自水平位置以零初
1．力矩
力
F
对参考点
O
的力矩定义为：
M rF
大小：M Fr sin Fd
方向：沿r F方向
角动量守恒
解 碰撞前M落在 A点的速度
vM = (2gh)1 2
碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度
u= l
2
M、N和跷板组成的系统，角动量守恒
mvM
l 2
=
J
2mu
l 2
=
1 12
ml 2
1 2
ml 2
M
h
N
C
A
B
l
l/2
mvM
l 2
=Jຫໍສະໝຸດ 2mul 2
=
1 12
ml 2
1 2
ml 2
o
m
m
o
o
m
掌握
2、质点的角动量定理
0
即
累积效应:
M t 2 dt = L - L
t1
2
1
3、质点的角动量守恒定理
守恒条件： (1) (2)
熟练掌握
例：彗星绕太阳作椭圆
r
轨道运动，太阳位于椭
圆轨道的一个焦点上，
问系统的角动量是否守
恒？近日点与远日点的
速度谁大？
二、刚体定轴转动的角动量定理及守恒定律
（D）8v 9L
v om o
mv
书 例4 一杂技演员M由距水平跷板高为 h 处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一 端的演员N弹了起来．问演员N可弹起多高?
N
C
B
l
M
h A
l/2
设跷板是匀质的，长度为l，质量为m'，
跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动， 演员的质量均为m．假定演员M落在跷板上， 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞．
掌握
1 刚体定轴转动
大学物理-角动量定理和角动量守恒定律
当系统所受外力矩为零时，系统内各物体角动量 之和保持不变。
系统内物体之间的相互作用力矩不会改变系统的 总角动量。
角动量守恒的应用举例
天体运动
行星绕太阳公转、卫星绕地球运 行等天体运动中，角动量守恒定
律是重要的理论基础。
陀螺仪
陀螺仪利用角动量守恒原理，通过 高速旋转来保持方向稳定，广泛应 用于导航、制导和控制系统。
机械系统
在机械系统中，如旋转机械、齿轮 传动等，角动量守恒定律用于分析 系统的动态平衡和稳定性。
04 角动量定理与守恒定律的 实际意义
在天文学中的应用
描述行星和卫星的运动
角动量定理和守恒定律在天文学中用于描述行星和卫星围绕中心天体的运动。 这些定律帮助科学家理解天体的旋转和轨道运动，以及它们之间的相互作用。
预测天文现象
通过应用角动量定理和守恒定律，科学家可以预测天文现象，如行星的轨道变 化、卫星的旋转等。这些预测有助于更好地理解宇宙的演化。
在航天工程中的应用
航天器姿态控制
角动量定理和守恒定律在航天工程中用于控制航天器的姿态 。通过合理地布置航天器上的动量轮，可以调整航天器的角 动量，实现姿态的稳定和控制。
L = m × v × r，其中L是 角动量，m是质量，v是 速度，r是转动半径。
角动量单位
在国际单位制中，角动量 的单位是千克·米²/秒 (kg·m²/s)。
角动量定理表述
角动量定理
01
对于一个封闭系统，其总角动量保持不变，即系统内力的力矩
之和为零。
表述形式
02
dL/dt = ΣM = 0，其中dL/dt表示角动量的时间变化率，ΣM表
角动量守恒的应用
角动量守恒定律在许多物理现 象中都有应用，如行星运动、 陀螺仪等。
系统内物体之间的相互作用力矩不会改变系统的 总角动量。
角动量守恒的应用举例
天体运动
行星绕太阳公转、卫星绕地球运 行等天体运动中，角动量守恒定
律是重要的理论基础。
陀螺仪
陀螺仪利用角动量守恒原理，通过 高速旋转来保持方向稳定，广泛应 用于导航、制导和控制系统。
机械系统
在机械系统中，如旋转机械、齿轮 传动等，角动量守恒定律用于分析 系统的动态平衡和稳定性。
04 角动量定理与守恒定律的 实际意义
在天文学中的应用
描述行星和卫星的运动
角动量定理和守恒定律在天文学中用于描述行星和卫星围绕中心天体的运动。 这些定律帮助科学家理解天体的旋转和轨道运动，以及它们之间的相互作用。
预测天文现象
通过应用角动量定理和守恒定律，科学家可以预测天文现象，如行星的轨道变 化、卫星的旋转等。这些预测有助于更好地理解宇宙的演化。
在航天工程中的应用
航天器姿态控制
角动量定理和守恒定律在航天工程中用于控制航天器的姿态 。通过合理地布置航天器上的动量轮，可以调整航天器的角 动量，实现姿态的稳定和控制。
L = m × v × r，其中L是 角动量，m是质量，v是 速度，r是转动半径。
角动量单位
在国际单位制中，角动量 的单位是千克·米²/秒 (kg·m²/s)。
角动量定理表述
角动量定理
01
对于一个封闭系统，其总角动量保持不变，即系统内力的力矩
之和为零。
表述形式
02
dL/dt = ΣM = 0，其中dL/dt表示角动量的时间变化率，ΣM表
角动量守恒的应用
角动量守恒定律在许多物理现 象中都有应用，如行星运动、 陀螺仪等。
角动量定理、角动量守恒定律
在 M d L 中 ，若 M 0 dt
即：J J
1
2
M 0 的原因可能有：
则 L常量
（1） F 0 （不受外力）
（2）外力作用于转轴上
（3）外力作用线通过转轴
（4）外力作用线与转轴平行
以上几种情况对定轴转动均没有作用，则刚
体对此轴的角动量守恒。
角动量守恒定律也适用于定轴转动系统。
例1：一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上，双臂伸 直水平地举起两哑铃，在该人把此二哑铃水平收缩 到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统 的：
（A）机械能守恒，角动量守恒 （B）机械能守恒，角动量不守恒 （C）机械能不守恒，角动量守恒 （D）机械能不守恒，角动量不守恒
选C
像其他所有行星一样，太阳是由大量的灰尘雾和早 先充满宇宙空间的气体所组成。在几十亿年的时间内， 这些物质在引力的吸引下，慢慢缩聚起来，刚开始的时 候，这些气体团旋转的很慢，后来随着它们体积的缩小， 旋转速度不断提高，这个道理就和滑冰运动员把自己的 双臂逐渐收拢起来的时候，她的旋转速度就会不断加快 的道理一样。缩聚和旋转速度的加快，使组成太阳的物 质变成一个碟子般的东西。
2、刚体的角动量定理 在定轴转动中
MJaJddJ
dt dt
积分形式：
0 tM d tL L 1 2d L L 2 L 1 J2 J1
左边为对某个固定转轴的外力矩的作用在某段时间内 的积累效果，称为冲量矩。 右边为刚体对同一转动轴的角动量的增量。
3、角动量守恒定律
盘状星系——角动量守恒的结果
例2：有一个半径为R的水平圆转台，可绕通过其中心的竖 直固定光滑轴转动，转动惯量为J，开始时转台以匀 角速度 0 转动，此时有一质量为m的人站在转台中 心。随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时 转台的角速度为：
-角动量定理角动量守恒定律
太原理工大学物理系
结论： 1）内力对定点的力矩之和为零。 2）只有外力矩才能改变系统的总角动量。 3.质点系的对轴的角动量
L Lxi Ly j Lzk M Mxi M y j Mzk
质点系对x轴的角动量定理
Mx
dLx dt
太原理工大学物理系
质点系的角动量守恒定律可以表示为三 个分量形式
解：小球的合外力矩为 0 ，故角动量守恒 。 有：
L = mvr = 恒量 即： m v1 r1 =m v2 r2
v2
r1v1 r2
太原理工大学物理系
五、质点系的角动量与角动量守恒
1.质点系对定点的角动量
P2
第i个质点对o点的角动量
r2
Li ri Pi
o
质点系对o点的角动量
ri fi 质点系受到的内力矩的矢量和
i
太原理工大学物理系
可以证明：内力 对定 点的力矩之和为零，即
ri fi 0
i
质点系内的重要结论之三
有 M
ri Fi
i
M外
dL dt
质点系的角动量定理：质点系对某定点的角动量的
时间变化率等于质点系对该点的合外力矩。
力矩在y轴方向的分量
M y zFx xFz
力矩在z轴方向的分量
M z xFy yFx
太原理工大学物理系
力矩在某一方向的分量称为力对该轴的力矩。
当质点在oxy平面内运动时，质点
z 所受的力也在该平面时，角动量和力
矩只有在z轴有分量。
Lx 0 Ly 0 Lz L
Mx 0 My 0 Mz M
角动量定理和角动量守恒定律
O
M
l
l /2
1 1 2 2 l 0 = Ml ω + (Mg ) 2 3 2
3g ω= l
m
第二阶段：碰撞瞬间角动量守恒（不是动量守恒） 第二阶段：碰撞瞬间角动量守恒（不是动量守恒） 1 1 2 1 2 ′ + mVl = ( M + m)lV ， V = ω′l Ml ω = Ml ω 3 3 3
t2
∫
例：水平面内，均质杆 (M, l) 水平面内， 子弹 (m,V ) 击穿杆的 自由端后速度降为 V / 2 求：杆转动的角速度 ω 解：角动量守恒 3mV V 1 2 mVl = m l + Ml ω ， ω = 2Ml 2 3
O
M
l
ω
m
V /2
V
例：rA = 0.2m ，mA = 2kg
ω0A = 50rads rB = 0.1m ，mB = 4kg ω0B = 200rads 1
dL d dω = (Iω) = I = Iβ = M dt dt dt dL = M ：角动量定理 dt dL = Mdt
L = ∫ Mdt
t1 t2
y
x
如果 M = 0 ，则 L = C ：角动量守恒定律 非刚体， 一般随时间变化， 非刚体， I 一般随时间变化， M = Iβ 不成立 角动量定理及角动量守恒定律仍成立！ 角动量定理及角动量守恒定律仍成立！ 定轴转动， dL = M ， dL = Mdt ， L = Mdt 定轴转动， dt t1 L = C ， L = Iω ， M = Iβ
如果合外力矩 M = 0
例：圆锥摆球在水平面内匀速转动 分别对固定点 A和 O ，讨论 小球受到的张力矩，重力矩， 小球受到的张力矩，重力矩， LA 合力矩和角动量 对 A: M = R ×T = 0
角动量定理和角动量守恒定律
角动量定理和角动量守恒定律
角动量定理和角动量守恒定律是描述刚体运动时的两个基本定律。
下面进行简单的介绍：
1. 角动量定理
角动量定理是描述角动量变化的定律。
它表示为：物体所受外力矩等于物体角动量对时间的变化率。
即
I*ω= ΔL/Δt
其中，I 为物体的转动惯量，ω为物体的角速度，L 为物体的角动量。
这个定理表明了一个物体的角动量发生变化时，必定受到了外部的力矩作用，即力矩等于角动量的变化率。
2. 角动量守恒定律
角动量守恒定律是描述角动量不变的定律，即如果没有外部力矩作用，系统的总角动量保持不变。
即：
L = L0
其中，L 为系统的总角动量，L0 为系统在某一时刻的总角动量。
这个定律表明，如果没有外部力矩作用，那么系统的总角动量保持不变。
如果一个物体在自由运动时，角动量发生变化，那么它将会改变自身的旋转状态（比如转速、方向等）。
总之，角动量定理和角动量守恒定律是描述刚体运动和角动量变化的基本定理，可以帮助我们更好地理解物体的运动和变化规律。
3.4 角动量定理 角动量守恒定律
r L
L = rpsinα = mrvsinα
r r 大小： 大小： L = r P sin α
r r 方向： 方向：垂直 r， P 组成的平面
S
α r
P
r r
O
特例： 特例：质点作圆周运动
L = rp = mrv
1
SI
2
kgm /s
2
r 量纲： 量纲： L = M L 2 T
第3章 动量与角动量
m
r0
v
R
OM
v0
θ
质点的动量矩守恒 1 GMm 1 2 GMm 2 mv0 = mv 2 r0 2 R
mv0r0sinθ = mvR
v0r0sinθ v= = 4v0sinθ R
3GM v =v0 1+ 2 v 2R 0
1/ 2
1 3GM sinθ = 1+ 2 4 2R 0 v
∑
i
r r ri × f i = 0
i
i
i
内力对定点的力矩之和为零
(自证 自证) 自证
r 质点系内的重要结论之三 r r dL r L = ∑ Li M外 = i dt
第3章 动量与角动量
13
冲量矩
r r r r r t2 L2 r ∫ M外dt = ∫r dL = L2 L1 = L t1 L1
(3)力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影， (3)力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影， 力对任意点的力矩 等于该力对该轴的力矩。 等于该力对该轴的力矩。 例2：圆锥摆球在水平面内匀速转 ： A r 分别讨论对固定点A和 点 动，分别讨论对固定点 和O点， r Lo T θ 小球受的张力矩，重力矩和角动量。 小球受的张力矩，重力矩和角动量。 LA R v v v 对于A点 解： 对于 点 MA = R ×T r O v v v = mgR sin θ = mgr Mg = R×mg mg v v v LA = R×mv
3-(5)、角动量角动量守恒
+
人
m
X
t
0
人 dt
人
M
2m
M
t
0
台dt
M
台
2m
台 (3)
人 台 2 (4)
A
人
m
台
A
台
4m Mm 2M
人
Mm
例3：一木杆长 l 可绕光滑端轴O旋转。设这时 有一质量为m的子弹以水平速度 v 射入杆端并 箝入杆内，求杆偏转的角度。 已知： M , l , m, v 求： ? 解： N N O O
C：开始不旋转的物体，当其一 部分旋转时，必引起另一部分 朝另一反方向旋转。
'
讨 论 子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
o
v
子 弹 击 入 杆
o
圆 锥 摆
o
T
'
m
v
p
o
v
R
以子弹和沙袋为系统 以子弹和杆为系统 圆锥摆系统 动量守恒； 动量不守恒； 动量不守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 . 机械能不守恒 . 机械能守恒 .
M
t1
x
dt
dL
Lx 1
x
Lx 2 Lx1
t2
Ly 2 y
M
t1
t2
dt
dL
L y1
Lz 2
y
Ly 2 Ly1
Lz 2 Lz1
M
t1
z
dt
dL
Lz 1
z
角动量定理（积分形式） 作用在质点系的角冲量等于系统角动量的增量。
物理-角动量定理与角动量守恒定律
dt
dt
i
当质点系相对惯性系中某给定参考点的合外力 矩为零时，该质点系对同一参考点的总角动量保持 不变。
——角动量守恒定律
当 M Mi 0，则L Li 恒矢量
Hale Waihona Puke 说明1、同一问题中应 用角动量定理或判断角动量守恒时， M 与 L 必须相对同一参考点计算！
2、如果相对某一特殊参考点，合外力矩为零，系统只 只对这一特殊点角动量守恒，但相对其他参考点的 角动量不一定也守恒；
当 M Mi 0，则L Li 恒矢量
说明
3、关于角动量守恒与动量守恒的条件：
一般地
(ri Fi ) 0 与
Fi 0 彼此独立！
角动量守恒与动量守恒也是相互独立的。
例：行星在绕太阳的公转过程：动量不守恒，
但对太阳的角动量守恒。
MS
rF
0
z LS
LS
r m
恒矢量
S
如直角坐标系中。沿 z 轴分量式为：
当 Mz Miz 0，则Lz Liz 恒量
5. 适用范围：惯性系；
讨论：为什么许多星系是扁盘状旋转结构？
银河系
讨论：为什么许多星系是扁盘状旋转结构？
初始角动量
径向
轴向
引力 收缩
L守恒
引力 收缩
速度增大 离心力增大
引力 收缩
达到平衡
高速旋转的盘形结构
dL L2 (t2 ) L1(t1 )
t1
L1 (t1 )
—— M在时间t t2 t1内的角冲量（冲量矩）
（积分式）
对同一参考点，质点所受合力在某一时间内的 角冲量等于同时间内角动量的增量 。
说明
•直角坐标系中的分量式（如Z轴分量式）：
第5节 角动量定理、角动量守恒定
解 (1) 在图(a)中由圆心O点向质量m引矢量 r0 ，则
L0 r0 mv
其方向垂直于轨道平面沿OB方向向上，因为 r0 ⊥mv，故
L0 r mv mr 2
即圆锥摆对圆心O点的角动量 L0 是个沿OB向上的大小和方向都不变的恒矢量.
16
在图(b)中，由悬点B向在某位置P处的质点m引矢径
L
0
·
r
mv
L r mv
螺旋法则确定。 注意：为表示是对哪个参考点的角动量，通常将角动量 L 画在参考点上。
角动量是矢量，角动量 L 的方向垂直于 r 和 mv 所组成的平 面，其指向可用右手
L 的大小为 L r mv sin
★ 在直角坐标系中
mv mv x i mv y j mv z k
2
l mv mlr
(2) 如图(c)，质点m所在位置对于圆心O，张力T的力矩为
M T0 r0 T
其方向垂直于纸面向外，大小为
M T0 r0T sin r0T cos
因在竖直方向有Tcosθ＝mg，所以
M T0 r0 mg
17
此时重力对圆心O的力矩为
M mg0 r0 mg
Lz r sin mv r mv
Lz
Lz r mv sin r mv
r
mv
mv
☆ 质点动量不在转动平面内，则只需考虑动量 在转动平面内的分量； 或运用坐标分量式求得：
Lz x mv y ymv x
10
2.5.2 质点的角动量定理
Fx
Fy
Fz
M z xFy yFx
角动量定理角动量守恒定律
应用牛顿第二定律
在系统整体上应用牛顿第二定律，得到系统受到的合外力矩为零时 的角动量守恒条件。
推导角动量守恒定律
根据系统总角动量和角动量守恒的条件，推导出角动量守恒定律， 即在合外力矩为零时，系统总角动量保持不变。
推导过程中的注意事项与难点解析
注意事项
在推导过程中，需要注意定义和计算过程中的符号约定，以及正确应用牛顿第二 定律。
角动量定理与守恒定律的适用范围
角动量定理适用于描述物体在受到外 力矩作用下的旋转运动，特别是需要 分析力矩对旋转运动的影响时。
角动量守恒定律适用于描述某些特定 条件下物体的旋转运动，如系统不受 外力矩作用或系统内力的力矩相互抵 消等。
04
角动量定理与守恒定律的 推导过程
角动量定理的推导过程
定义角动量
03
角动量守恒定律则是在一定条件下，物体的角动量保持不变 。
角动量定理与守恒定律的区别
角动量定理是一个运动方程，用于描 述旋转运动的物体在外力矩作用下的 运动规律，而角动量守恒定律则是一 个守恒条件，用于描述某些特定情况 下旋转运动的物体角动量的保持。
VS
角动量定理是一个瞬时规律，关注的 是物体在某一时刻的运动状态，而角 动量守恒定律则是一个时间平均规律， 关注的是物体在一段时间内的平均运 动状态。
矩作用会导致旋转物体角动量的增加或减少。
02
揭示旋转运动的本质
角动量定理阐明了旋转运动的本质特征，即旋转物体的角动量是守恒的，
但可以通过力矩作用进行改变。
03
指导设计旋转机械
角动量定理在旋转机械设计和运行中具有指导意义，例如在电动机、发
电机、陀螺仪等设备的设计中，需要考虑力矩作用和角动量的变化。
角动量守恒定律的物理意义
在系统整体上应用牛顿第二定律，得到系统受到的合外力矩为零时 的角动量守恒条件。
推导角动量守恒定律
根据系统总角动量和角动量守恒的条件，推导出角动量守恒定律， 即在合外力矩为零时，系统总角动量保持不变。
推导过程中的注意事项与难点解析
注意事项
在推导过程中，需要注意定义和计算过程中的符号约定，以及正确应用牛顿第二 定律。
角动量定理与守恒定律的适用范围
角动量定理适用于描述物体在受到外 力矩作用下的旋转运动，特别是需要 分析力矩对旋转运动的影响时。
角动量守恒定律适用于描述某些特定 条件下物体的旋转运动，如系统不受 外力矩作用或系统内力的力矩相互抵 消等。
04
角动量定理与守恒定律的 推导过程
角动量定理的推导过程
定义角动量
03
角动量守恒定律则是在一定条件下，物体的角动量保持不变 。
角动量定理与守恒定律的区别
角动量定理是一个运动方程，用于描 述旋转运动的物体在外力矩作用下的 运动规律，而角动量守恒定律则是一 个守恒条件，用于描述某些特定情况 下旋转运动的物体角动量的保持。
VS
角动量定理是一个瞬时规律，关注的 是物体在某一时刻的运动状态，而角 动量守恒定律则是一个时间平均规律， 关注的是物体在一段时间内的平均运 动状态。
矩作用会导致旋转物体角动量的增加或减少。
02
揭示旋转运动的本质
角动量定理阐明了旋转运动的本质特征，即旋转物体的角动量是守恒的，
但可以通过力矩作用进行改变。
03
指导设计旋转机械
角动量定理在旋转机械设计和运行中具有指导意义，例如在电动机、发
电机、陀螺仪等设备的设计中，需要考虑力矩作用和角动量的变化。
角动量守恒定律的物理意义
5 刚体的角动量定理和角动量守恒定律
§4-5 刚体的角动量定理和
角动量守恒定律
一．刚体的角动量定理
dL 刚体转动定理的 M dt 可以改写为 Mdt dL
对上式积分，得 式中 t
t2
1
t2
t1
t2 Mdt dL L2 L1
t1
Mdt
叫做合外力矩在
t 2 t1
时间内的冲量矩。上式表明：刚体所受合外力矩 的冲量矩，等于刚体在这段时间内刚体的角动量 的增量，这就是刚体的角动量定理。 在SI制中，冲量矩的单位式 N m s
I1 2kg m2 。 在外力推动后， 此系统开始以 n1 15 转/分转动， 转动中摩擦力矩忽略不计。
2 I 0 . 80 kg m 当人的两臂收回， 使系统的转动惯量就为 2 时， 它的转速 n2
。
光滑的水平桌面上有一长 2l、质量为 m 的匀质细杆，可绕过其中心、垂直于杆的竖直轴自 由转动。开始杆静止在桌面上。有一质量为 m 的小球沿桌面以速度 v 垂直射向杆一端，与 杆发生完全非弹性碰撞后，粘在杆端与杆一起转动。求碰撞后系统的角速度。
2 rel dt
0 T T 0
M 2m M
2M 因此，在此时间内，人相对ห้องสมุดไป่ตู้地面转过的角度为0 d t M 2m
T
M 2m M 2m T dt dt 0 M M
转台相对于地面转动的角度为
T
0
2m T 4m dt dt M 0 M 2m
2
二．角动量守恒定律 由刚体的角动量定理可见,当刚体所受的合外 力矩为零,则
L I 常量
3
上式说明,当刚体所受的合外力矩为零,或者不受外 力距的作用时,刚体的角动量保持不变,这就是角动量 守恒定律。 必须指出，这个定律不仅对一个刚体有效，对转动 惯量I会变化的物体，或者绕定轴转动的力学系统仍然 成立。如果转动过程中，转动惯量保持不变，则物体 以恒定的角速度转动；如果转动惯量发生改变，则物 体的角速度也随之改变，但两者之积保持恒定。 应用角动量守恒定律时，还应该注意的是，一个系 统内的各个刚体或质点的角动量必须是对于同一个固 定轴说的。
角动量守恒定律
一．刚体的角动量定理
dL 刚体转动定理的 M dt 可以改写为 Mdt dL
对上式积分，得 式中 t
t2
1
t2
t1
t2 Mdt dL L2 L1
t1
Mdt
叫做合外力矩在
t 2 t1
时间内的冲量矩。上式表明：刚体所受合外力矩 的冲量矩，等于刚体在这段时间内刚体的角动量 的增量，这就是刚体的角动量定理。 在SI制中，冲量矩的单位式 N m s
I1 2kg m2 。 在外力推动后， 此系统开始以 n1 15 转/分转动， 转动中摩擦力矩忽略不计。
2 I 0 . 80 kg m 当人的两臂收回， 使系统的转动惯量就为 2 时， 它的转速 n2
。
光滑的水平桌面上有一长 2l、质量为 m 的匀质细杆，可绕过其中心、垂直于杆的竖直轴自 由转动。开始杆静止在桌面上。有一质量为 m 的小球沿桌面以速度 v 垂直射向杆一端，与 杆发生完全非弹性碰撞后，粘在杆端与杆一起转动。求碰撞后系统的角速度。
2 rel dt
0 T T 0
M 2m M
2M 因此，在此时间内，人相对ห้องสมุดไป่ตู้地面转过的角度为0 d t M 2m
T
M 2m M 2m T dt dt 0 M M
转台相对于地面转动的角度为
T
0
2m T 4m dt dt M 0 M 2m
2
二．角动量守恒定律 由刚体的角动量定理可见,当刚体所受的合外 力矩为零,则
L I 常量
3
上式说明,当刚体所受的合外力矩为零,或者不受外 力距的作用时,刚体的角动量保持不变,这就是角动量 守恒定律。 必须指出，这个定律不仅对一个刚体有效，对转动 惯量I会变化的物体，或者绕定轴转动的力学系统仍然 成立。如果转动过程中，转动惯量保持不变，则物体 以恒定的角速度转动；如果转动惯量发生改变，则物 体的角速度也随之改变，但两者之积保持恒定。 应用角动量守恒定律时，还应该注意的是，一个系 统内的各个刚体或质点的角动量必须是对于同一个固 定轴说的。
大学物理——角动量定理和角动量守恒定律
解：把飞船和排出的 废气看作一个系统， 废气质量为m。可以 认为废气质量远小于 飞船的质量，
dm/2
u
Lg
r
L0
u dm/2
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所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等 于飞船自身的角动量，即
L0＝J
在喷气过程中，以dm表示dt时间内喷出的气体
， 这 些 气 体 对 中 心 轴 的 角 动 量 为 dm·r(u+v) ， 方 向
量为JB=20kgm2 。开始时A轮的转速为600r/min，B
轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在 啮合过程中，两轮的机械能有何变化？
A
B
C
A
B
C
A
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解：以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在
啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的 切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴 有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外 力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律 可得
由匀减速直线运动的公式得
0 v2 2as
亦即 v 2 2gs
（3）
（4）
由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得
3gl 3 2gs
l
（5）
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当’取正值，则棒向左摆，其条件为
3gl 3 2gs 0
亦即l >6s；当’取负值，则棒向右摆，其条件
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数为 。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。
求相撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说明
棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。
解：这个问题可分为三个阶段
定轴转动的角动量定理角动量守恒定律
定轴转动的角动量定理角 动量守恒定律
• 引言 • 定轴转动的角动量定理 • 角动量守恒定律 • 定轴转动与角动量定理、守恒定律的
关系 • 总结与展望
01
引言
定义与概念
角动量定理
描述转动物体角动量随时间变化 的规律。
角动量守恒定律
在没有外力矩作用的情况下，一 个系统的角动量保持不变。
角动量定理和角动量守恒定律的重要性
基础物理理论
是经典力学和天体力学中的重要理论，为理解物体运动规律提供了基础。
应用广泛
在日常生活、工程技术和科学研究轴转动的角动量定理
定理的表述
角动量定理
对于一个质点绕定轴的转动，其角动 量（定义为质点到旋转轴的距离乘以 质点的速度在垂直于该轴的平面上的 投影）是一个守恒量。
定律的表述
角动量守恒定律是指对于一个封闭系统，其角动量在不受外力矩作用的情况下保持 不变。
角动量 = 转动惯量 × 角速度。
当系统不受外力矩作用时，角动量保持不变。
定律的证明
证明角动量守恒定律需要应用牛顿第二定律和向心力公 式。
当系统不受外力矩作用时，根据牛顿第二定律，合外力 为零，因此合外力矩也为零。
综合应用场景
在分析卫星运动、行星运动、陀螺仪的工作原理等问题时，需要综合考虑定轴转动、角动量定理和守恒定律。
具体应用
通过分析卫星绕地球转动的角动量定理和守恒定律，可以解释卫星轨道的稳定性；在陀螺仪中，利用角动量守恒 定律实现定向稳定控制。
05
总结与展望
总结
01 02
角动量定理
定轴转动的角动量定理描述了物体转动时角动量与力矩之间的关系，即 角动量等于力矩与时间的乘积。这个定理在物理学中有着广泛的应用， 如陀螺仪、行星运动等领域。
• 引言 • 定轴转动的角动量定理 • 角动量守恒定律 • 定轴转动与角动量定理、守恒定律的
关系 • 总结与展望
01
引言
定义与概念
角动量定理
描述转动物体角动量随时间变化 的规律。
角动量守恒定律
在没有外力矩作用的情况下，一 个系统的角动量保持不变。
角动量定理和角动量守恒定律的重要性
基础物理理论
是经典力学和天体力学中的重要理论，为理解物体运动规律提供了基础。
应用广泛
在日常生活、工程技术和科学研究轴转动的角动量定理
定理的表述
角动量定理
对于一个质点绕定轴的转动，其角动 量（定义为质点到旋转轴的距离乘以 质点的速度在垂直于该轴的平面上的 投影）是一个守恒量。
定律的表述
角动量守恒定律是指对于一个封闭系统，其角动量在不受外力矩作用的情况下保持 不变。
角动量 = 转动惯量 × 角速度。
当系统不受外力矩作用时，角动量保持不变。
定律的证明
证明角动量守恒定律需要应用牛顿第二定律和向心力公 式。
当系统不受外力矩作用时，根据牛顿第二定律，合外力 为零，因此合外力矩也为零。
综合应用场景
在分析卫星运动、行星运动、陀螺仪的工作原理等问题时，需要综合考虑定轴转动、角动量定理和守恒定律。
具体应用
通过分析卫星绕地球转动的角动量定理和守恒定律，可以解释卫星轨道的稳定性；在陀螺仪中，利用角动量守恒 定律实现定向稳定控制。
05
总结与展望
总结
01 02
角动量定理
定轴转动的角动量定理描述了物体转动时角动量与力矩之间的关系，即 角动量等于力矩与时间的乘积。这个定理在物理学中有着广泛的应用， 如陀螺仪、行星运动等领域。
角动量定理及角动量守恒定律
角动量定理及角动量守恒定律一、力对点的力矩：如图所示,定义力F对O 点的力矩为： F r M ⨯=大小为: θsin Fr M ＝力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋法则来判断：把右手拇指伸直,其余四指弯曲，弯曲的方向由矢径通过小于1800的角度转向力的方向时,拇指指向的方向就是力矩的方向.二、力对转轴的力矩:力对O 点的力矩在通过O 点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。
1）力与轴平行，则0=M;2）刚体所受的外力F 在垂直于转轴的平面内，转轴和力的作用线之间的距离d 称为力对转轴的力臂。
力的大小与力臂的乘积，称为力F对转轴的力矩,用M表示。
力矩的大小为： Fd M ＝或： θsin Fr M ＝其中θ是F 与r的夹角.3）若力F不在垂直与转轴的平面内,则可把该力分解为两个力,一个与转轴平行的分力1F，一个在垂直与转轴平面内的分力2F ，只有分力2F 才对刚体的转动状态有影响.对于定轴转动，力矩M 的方向只有两个，沿转轴方向或沿转轴方向反方向，可以化为标量形式，用正负表示其方向.三、合力矩对于每个分力的力矩之和。
合力 ∑=i F F合外力矩 ∑∑∑=⨯=⨯=⨯i i i M F r F r F r M＝即 ∑i M M＝四、质点的角动量定理及角动量守恒定律在讨论质点运动时，我们用动量来描述机械运动的状态，并讨论了在机械运动过程中所遵循的动量守恒定律。
同样，在讨论质点相对于空间某一定点的运动时，我们也可以用角动量来描述物体的运动状态。
角动量是一个很重要的概念，在转动问题中，它所起的作用和(线）动量所起的作用相类似。
在研究力对质点作用时,考虑力对时间的累积作用引出动量定理，从而得到动量守恒定律；考虑力对空间的累积作用时,引出动能定理，从而得到机械能守恒定律和能量守恒定律。
至于力矩对时间的累积作用，可得出角动量定理和角动量守恒定律；而力矩对空间的累积作用，则可得出刚体的转动动能定理，这是下一节的内容.本节主要讨论的是绕定轴转动的刚体的角动量定理和角动量守恒定律，在这之前先讨论质点对给定点的角动量定理和角动量守恒定律。
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10 4 mg sin 1 mg cos 1 3 3 1 6
.
f2
N2
2
l mg O
f1 l 1 2mg N1
由于球 1 的初始位置紧靠轻杆末端，因此球 1 脱离 细杆时细杆与水平线夹角也为
1
6
因轻杆没有质量，球 1 一旦脱离轻杆，球 2 与轻杆间的相互作用 立即消失，此后球 2 只受重力作用而作斜抛运动，其初速度：
若M 0 L L0 ——质点系的角动量守恒
内力不改变系统的总角动量
t0
例 6.1 如图，质量为 m 的小球，拴于不可伸长的 轻绳上，在光滑水平桌面上作匀速圆周运动，其 半径为 R，角速度为 ，绳的另一端通过光滑的竖 直管用手拉住，如把绳向下拉 R/2 时角速度 为 多少？
m
R
F
解：
L mvR mR
2
R 1 2 L' mv' mR ' 2 4
L L'
' 4
m
R
F
例6.2 如图所示，质量为 m的小球 B放在光滑的水平 槽内，现以一长为 l的细绳连接另一质量为m的小球
A，开始时细绳处于松弛状态, A与B相距为l/2。球A
以初速度v0 在光滑的水平地面上向右运动。当A运 动到图示某一位置时细绳被拉紧，试求B球开始运 动时速度vB的大小。
3gl 2 g sin 1 v0 l 3l 3
y v0 B2 A
0
初速度的方向与水平线的夹角：
0
2 1
3
mg
l O
2 1
x
得任意 t 时刻球2的位置坐标：
3gl 3 2 x l cos 1 v 0 cos 0t l t B 2 6 gl 1 2 1 1 y l sin 1 v 0 sin 0t gt l t gt 2 2 2 2 2
.
N2
mg
O
同理对小球2：
f1 l 1 N1
4 N 2 3 mg cos f 1 mg sin 2 3
2mg
小球 1 与杆之间的摩擦力先达到最大静摩擦力， 故小球 1 先滑动. 设球 1 开始滑动时，细杆与水平线夹角为 1 ，则
f1 (1 ) N1 (1 )
m
h
M
a v
1 2 h sin 2 at h a0 h R sin a R R 1 a t 2 0 2
a v0 0R
h 10 gh （2） v 2a sin 3 v0 1 1 2 2a0 R gh R R R 3
A
球2脱离细杆时，
l 2 x2 y 2
v0
y A
t 2 (t 2 2
l 2l t )0 g 3g
B2
0
15 l t (1 ) 3 g
2 3 5 l x 6 y 2 15 l 6
mg
l O
2 1
x
A 2 B2Βιβλιοθήκη 3 5 cos 2 l 6 x
B
vB
l/2
l
vAy 300 A A vA vAx
解：
mv0 mvB mvAx
mv0l / 2 mvAxl sin 300 mvAyl cos300 vB cos300 vAx cos300 mvAy sin 300 3 vB v0 7
B vB l vAy 300 A A vA vAx
L
O
r
m
d
v
3．质点的角动量定理和角动量守恒定律
若M 0
L dL M t dt t M (t t0 ) L L0 Mdt L L0
t0
L L0 ——质点的角动量守恒
角动量守恒，动量未必守恒
4．质点系的角动量定理和角动量守恒定律 L d L M t dt t M (t t0 ) L L0 Mdt L L0
l/2
解： （1） 机械能守恒: 1 1 2 2 0 mgl sin 2mgl sin (2m)v1 mv 2 2 2 v1 v 2 l B
2 g sin 3l
2 B m O 1
角动量定理：
l
l
L 2mgl cos mgl cos t L = 2mlv1 mlv 2 = 3ml 2 L 3ml 2 3ml 2 t t
1．力矩
力 F 对参考点 O 的力矩定义为：
M r F
大小：M Fr sin Fd 沿 方向： r F 方向
M
O d
r P
F
2．质点的角动量
质点对参考点O的角动量定义为：
L r p r mv
大小 : L rp sin pd mvd 方向 : 沿r p方向
g cos 3l
A 2m
A
对小球1：
2mg cos N1 2ma1t 2ml f1 2mg sin 2ma1n 2ml 2
4 N1 mg cos 3 f 10 mg sin 1 3
f2 2 l
v v cos , cos 2R 2R
vt s h h 0 t cos cos cot 2R 2R 2R R
（2）根据角动量守恒和机械能守恒定律
1 2 1 mgh mv mR 2 2 2 2 0 mv|| R mR 2
解得： gh 10 gh 2 v 2 1 sin 3 1 gh cos 2 1 2 gh R 1 sin 2 R 3
另解： （1）
( M m) g sin 5 g a ' 2 M m sin 3 a mg sin cos 1 g 0 M m sin 2 3
m
h
v
v|| v cos R v v v0 v0 R sin v v 1 1 1 mgh m(v cos R) 2 mv2 sin 2 mR 2 2 2 2 2 0 m(v cos R) mR
2 78.2
解：（1）
tan
m
R 1 2 R 2
h
v
5 2 5 sin , cos 5 5 v0 R 螺旋环的角动量：
L mi v0 R mv0 R mR 2
i
角动量守恒：
0 mv|| R mR2 v v v0 v|| v cos R
m
h
v0 R
v
.
f2
N2
2
l mg O
f1 l 1 2mg N1
由于球 1 的初始位置紧靠轻杆末端，因此球 1 脱离 细杆时细杆与水平线夹角也为
1
6
因轻杆没有质量，球 1 一旦脱离轻杆，球 2 与轻杆间的相互作用 立即消失，此后球 2 只受重力作用而作斜抛运动，其初速度：
若M 0 L L0 ——质点系的角动量守恒
内力不改变系统的总角动量
t0
例 6.1 如图，质量为 m 的小球，拴于不可伸长的 轻绳上，在光滑水平桌面上作匀速圆周运动，其 半径为 R，角速度为 ，绳的另一端通过光滑的竖 直管用手拉住，如把绳向下拉 R/2 时角速度 为 多少？
m
R
F
解：
L mvR mR
2
R 1 2 L' mv' mR ' 2 4
L L'
' 4
m
R
F
例6.2 如图所示，质量为 m的小球 B放在光滑的水平 槽内，现以一长为 l的细绳连接另一质量为m的小球
A，开始时细绳处于松弛状态, A与B相距为l/2。球A
以初速度v0 在光滑的水平地面上向右运动。当A运 动到图示某一位置时细绳被拉紧，试求B球开始运 动时速度vB的大小。
3gl 2 g sin 1 v0 l 3l 3
y v0 B2 A
0
初速度的方向与水平线的夹角：
0
2 1
3
mg
l O
2 1
x
得任意 t 时刻球2的位置坐标：
3gl 3 2 x l cos 1 v 0 cos 0t l t B 2 6 gl 1 2 1 1 y l sin 1 v 0 sin 0t gt l t gt 2 2 2 2 2
.
N2
mg
O
同理对小球2：
f1 l 1 N1
4 N 2 3 mg cos f 1 mg sin 2 3
2mg
小球 1 与杆之间的摩擦力先达到最大静摩擦力， 故小球 1 先滑动. 设球 1 开始滑动时，细杆与水平线夹角为 1 ，则
f1 (1 ) N1 (1 )
m
h
M
a v
1 2 h sin 2 at h a0 h R sin a R R 1 a t 2 0 2
a v0 0R
h 10 gh （2） v 2a sin 3 v0 1 1 2 2a0 R gh R R R 3
A
球2脱离细杆时，
l 2 x2 y 2
v0
y A
t 2 (t 2 2
l 2l t )0 g 3g
B2
0
15 l t (1 ) 3 g
2 3 5 l x 6 y 2 15 l 6
mg
l O
2 1
x
A 2 B2Βιβλιοθήκη 3 5 cos 2 l 6 x
B
vB
l/2
l
vAy 300 A A vA vAx
解：
mv0 mvB mvAx
mv0l / 2 mvAxl sin 300 mvAyl cos300 vB cos300 vAx cos300 mvAy sin 300 3 vB v0 7
B vB l vAy 300 A A vA vAx
L
O
r
m
d
v
3．质点的角动量定理和角动量守恒定律
若M 0
L dL M t dt t M (t t0 ) L L0 Mdt L L0
t0
L L0 ——质点的角动量守恒
角动量守恒，动量未必守恒
4．质点系的角动量定理和角动量守恒定律 L d L M t dt t M (t t0 ) L L0 Mdt L L0
l/2
解： （1） 机械能守恒: 1 1 2 2 0 mgl sin 2mgl sin (2m)v1 mv 2 2 2 v1 v 2 l B
2 g sin 3l
2 B m O 1
角动量定理：
l
l
L 2mgl cos mgl cos t L = 2mlv1 mlv 2 = 3ml 2 L 3ml 2 3ml 2 t t
1．力矩
力 F 对参考点 O 的力矩定义为：
M r F
大小：M Fr sin Fd 沿 方向： r F 方向
M
O d
r P
F
2．质点的角动量
质点对参考点O的角动量定义为：
L r p r mv
大小 : L rp sin pd mvd 方向 : 沿r p方向
g cos 3l
A 2m
A
对小球1：
2mg cos N1 2ma1t 2ml f1 2mg sin 2ma1n 2ml 2
4 N1 mg cos 3 f 10 mg sin 1 3
f2 2 l
v v cos , cos 2R 2R
vt s h h 0 t cos cos cot 2R 2R 2R R
（2）根据角动量守恒和机械能守恒定律
1 2 1 mgh mv mR 2 2 2 2 0 mv|| R mR 2
解得： gh 10 gh 2 v 2 1 sin 3 1 gh cos 2 1 2 gh R 1 sin 2 R 3
另解： （1）
( M m) g sin 5 g a ' 2 M m sin 3 a mg sin cos 1 g 0 M m sin 2 3
m
h
v
v|| v cos R v v v0 v0 R sin v v 1 1 1 mgh m(v cos R) 2 mv2 sin 2 mR 2 2 2 2 2 0 m(v cos R) mR
2 78.2
解：（1）
tan
m
R 1 2 R 2
h
v
5 2 5 sin , cos 5 5 v0 R 螺旋环的角动量：
L mi v0 R mv0 R mR 2
i
角动量守恒：
0 mv|| R mR2 v v v0 v|| v cos R
m
h
v0 R
v