高考数学第40炼 利用函数性质与图像解不等式
利用函数图象求不等式解集
画 出 一 次 函 数 y = k1 x + b 和 y = k2 x + b 的 图
象，通过观察可以得到不等式 k 1 x + b > k 2 x + b 和
k 1 x + b < k 2 x + b 的 解 集 ，还 可 以 得 到 不 等 式 组
{
{
k 1 x + b > 0， k 1 x + b < 0，
b 相 交 于 点 A（m，3），则 关 于 x
ì 4 - 2x ( x < 1)，
ïï
| x - 3 |，根据题意得 y = | x - 1 | + | x - 3 | = í 2 (1 ≤ x < 3)，
ïï
î 2x - 4 ( x ≥ 3)，
的 不 等 式 x + 1 ≤ ax + b 的
解集是
示，可以发现函数 y = | x - 1 | + | x - 3 |与 y = x + 2 的
图象有两个交点，这两个交点坐标分别是
，
；通 过 观 察 图 象 ，便 可 得 到 不 等 式 | x - 1 | +
| x - 3 | > x + 2 的解集。这个不等式的解集为
。
由 函 数 图 象 得 y = 4 - 2x 与 y = x + 2 有 交 点 ，则
的图象的上方时，对应 x 的取值范围，即可得到不
等式的解集。
［ 问 题 解 决 ］将 绝 对 值 函 数 化 为 y =
ì 4 - 2x ( x < 1)，
ïï
í 2 (1 ≤ x < 3)， 观察图象，求直线 y = 4 - 2x 与 y =
学思探微，归纳剖析——备考不等式及其解法
8
本质上是解不等式 f
'(
x)
>0,
'(
x)<0。 含
f
参数的不 等 式 需 要 对 参 数 进 行 分 类 讨 论,讨
论的依据常常是判断对应 方 程 是 否 有 实 根 及
比较对应 方 程 的 根 的 大 小,考 查 函 数、方 程、
不等式之间的相互转化,
是综合性题目。
(
2
0
2
3 年 合 肥 质 检 )已 知 函 数
例 3
x)
=
f(
解集为
(
2
0
2
3 年 重 庆 质 检 )已 知 函 数
l
o
x>1,
g2 x,
则 f(
x)
<f(
x+1)的
2
x -1,
x≤1,
。
解析:当 x ≤0 时,
x +1≤1,
x )<
f(
2
等价 于 x2 -1< (
x+1)
x +1) -1,解 得
f(
-
1
<x≤0;
2
当 0<x ≤1 时,
x +1>1,此 时 f (
x)=
x -1≤0,
x +1)=l
o
x +1)>0,所 以
g2 (
f(
2
;
恒有 f(
x)
<f(
x+1)
a
c
+b ≤
-1 的 解 集 为 [
x1 ,
x2 ]∪ {
x3 }
论如何用图像来理解高考数学中的各种函数
论如何用图像来理解高考数学中的各种函数在高考数学中，函数是一个非常重要的概念，它是数学中的一个基础性概念，涉及到关于数的运算、变化、数量之间的关系等方面。
在高考数学中，常见的函数类型包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等等。
要想真正理解这些函数，我们可以利用图像来进行解析和具体化。
1. 一次函数一次函数是指函数的自变量的最高次数为一的函数，通常可以用直线来表示。
一般的一次函数的一般式为y = kx + b，其中k代表斜率，b代表截距。
当k>0时，表示函数单调递增；当k<0时，表示函数单调递减；当k=0时，表示函数为常数函数。
对于一次函数，我们可以通过以下几种方法来理解它：1）根据函数的一般式y = kx + b，我们可以通过选取不同的x 值，绘制出对应的y坐标，来得到一条直线。
通过观察这个直线的斜率和截距，我们可以得到一些直线的性质和规律，帮助我们更好地理解一次函数。
2）我们可以通过对一次函数图像的观察，来得到一些几何上的性质。
比如，当一次函数的斜率大于0时，直线从左下方向右上方倾斜；当一次函数的斜率小于0时，直线从左上方向右下方倾斜；当一次函数的斜率等于0时，直线平行于x轴。
这些性质可以帮助我们更好地掌握一次函数的变化规律。
3）我们可以通过对一次函数的导数的分析，来更深入地理解一次函数。
一次函数的导数恒为常数，这意味着一次函数的变化是匀速变化，这一点可以通过一次函数图像的直线形态得到证明。
2. 二次函数二次函数是指函数的自变量的最高次数为2的函数。
它通常可以用一条抛物线来表示。
一般的二次函数的一般式为y = ax^2 + bx + c，其中a>0。
二次函数的图像通常具有开口向上或者开口向下的形态。
对于二次函数，我们可以通过以下几种方法来理解它：1）我们可以通过图像来得到一些关于二次函数的性质和规律。
比如，当二次函数的系数a>0时，函数图像开口向上；当二次函数的系数a<0时，函数图像开口向下。
高中数学必修一利用函数的图象解不等式
算 相应方程的根，或说明方程无实根
3. 写 出不等式的解集。
习题讲解
1.使函数 y 2(x 1)(x 2) 的函数值 y 0
的自变量 x 的取值范围是（ A ）.
A. 2 x 1 C. x 1, 或 x 2
因为 b2 4ac (5)2 4 2 3 1 0
方程 2x2 5x 3 0 的两根分别是：
x1
1,或x2
3 2
因此，原不等式 2x2 5x 3 的解集为
{x | x 1,或x 3} 2
解一元二次不等式步骤：
一看、二算、三写
1. 看二次项的系数是否为正 ；若为负， 通过对 不等式的变形化为正。
问题1：二次项系数是什么？图象开口怎样？
二次项系数a=2>0 ,图象开口向上 问题2：判别式△=？
判别式△= b2 4ac (5)2 4 2 3 1 0
问题3：求对应方程 2x2 5x+3=0 的两根？
x1
1,或x2
3 2
问题4：画出函数
y
2x2 y
5x
-1 o
2x
习题2变型一 若已知函数 y ax2 bx c 的图像如
图所示，则不等式 ax2 bx c 0 的解集为 {x | x1 x x2}
不等式 ax2 bx c 0 的解集为 y
{x|x x1或x x2}
x1 o
x2 x
习题2变型二
若已知函数 y ax2 bx c 的图像如
R
o
x
小结： 一元二次不等式图象解法表(a >0)
(江苏版)高考数学一轮复习 专题4.4 三角函数图像与性质(讲)-江苏版高三全册数学试题
专题4.4 三角函数图像与性质【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1． 函数y ＝2sin 12x －3的最小正周期是________．【解析】最小正周期T ＝2π12＝4π.2． 函数y ＝A sin x ＋1(A >0)的最大值是5，则它的最小值是________．【解析】依题意得A ＋1＝5，所以A ＝4，所以函数y ＝4sin x ＋1的最小值为－4＋1＝－3. 3.判断函数y ＝2cos x 在[－π，0]上的单调性：____________．(填“增函数”或“减函数”) 【解析】由余弦函数的单调性，得函数y ＝2cos x 在[－π，0]上是增函数． 4.不等式2sin x >3的解集为______________________________． 【解析】不等式2sin x >3，即sin x >32，由函数y ＝sin x 的图像得所求解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x π3＋2k π<x <2π3＋2k π，k ∈Z .题组二 常错题5．函数y ＝1－2cos x 的单调递减区间是___________________________．【解析】函数y ＝1－2cos x 的单调递减区间即函数y ＝－cos x 的单调递减区间，也即函数y ＝cos x 的单调递增区间，即[2k π－π，2k π](k ∈Z )．6．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图像分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为________．【解析】设直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 的图像的交点为M (a ，y 1)，直线x ＝a 与函数g (x )＝cos x的图像的交点为N (a ，y 2)，则|MN |＝|y 1－y 2|＝|sin a －cos a |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫a －π4≤2，7．函数f (x )＝2sin x4对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为________．题组三 常考题8．定义在区间[0，2π]上的函数y ＝sin 2x 的图像与y ＝sin x 的图像的交点个数是________． 【解析】由sin 2x ＝sin x 得sin x ＝0或cos x ＝12，因为x ∈[0，2π]，所以x ＝0，π3，π，5π3，2π，交点个数是5.9． 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|sin x |，③y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5中，最小正周期为π的所有函数是________．(填序号)【解析】函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝sin x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻折至x 轴上方，即可得到y ＝|sin x |的图像，所以其最小正周期为π，②正确；函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的最小正周期为π2，④不正确．【知识清单】1．正弦、余弦、正切函数的图像与性质 1.三角函数线三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。
高考数学冲刺函数性质与图像变换全解析
高考数学冲刺函数性质与图像变换全解析高考对于每一位学子来说都是人生中的一次重要挑战，而数学作为其中的关键学科，更是备受关注。
在数学的众多知识点中，函数的性质与图像变换一直是重点和难点。
在高考冲刺阶段，对这部分内容进行全面、深入的复习和理解，将有助于我们在考试中取得更好的成绩。
一、函数的基本性质1、单调性函数的单调性是指函数在定义域内的某个区间上，函数值随自变量的增大而增大或减小的性质。
判断函数单调性的方法通常有定义法、导数法等。
定义法：设函数$f(x)＄的定义域为$I$，对于定义域$I$内某个区间$D$上的任意两个自变量的值$x_1$，＄x_2$，当$x_1 ＜ x_2$时，都有$f(x_1) ＜ f(x_2)＄（或$f(x_1) ＞ f(x_2)＄），那么就说函数$f(x)＄在区间$D$上是增函数（或减函数）。
导数法：若函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内可导，当$f'（x) ＞0$时，函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内单调递增；当$f'（x) ＜ 0$时，函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内单调递减。
2、奇偶性奇偶性是函数的另一个重要性质。
若对于函数$f(x)＄定义域内的任意一个$x$，都有$f(x) ＝ f(x)＄，则称$f(x)＄为偶函数；若对于函数$f(x)＄定义域内的任意一个$x$，都有$f(x) ＝ f(x)＄，则称$f(x)＄为奇函数。
判断函数奇偶性的一般步骤为：首先确定函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数；如果对称，再判断$f(x)＄与$f(x)＄的关系。
3、周期性对于函数$f(x)＄，如果存在一个不为零的常数$T$，使得当$x$取定义域内的每一个值时，＄f(x ＋ T) ＝ f(x)＄都成立，那么就把函数$y＝ f(x)＄叫做周期函数，周期为$T$。
常见的周期函数如正弦函数、余弦函数等。
4、对称性函数的对称性包括轴对称和中心对称。
专题三：利用函数研究不等式、方程问题
得������ ∈ (������, +∞)
函数������ ������ 在区间(0,1)递减，在(������, +∞)递增 ������ ������ ������������������ ≥ ������ ������ = ������
������ ������ ≥ ������在(0, +∞)恒成立 即恒有������ − ������ ≥ ������������������
������������ , ������������为方程������������ + ������ + ������ ������ + ������ = ������的根 ������������ + ������������ = −������������ − ������
������1������ + ������������������ = ������ + ������������ + ������ ������������������ + ������������������ = ������ − ������������ + ������
在(������2, +∞)，������′ ������ >0函数递减
������(������)极大值 = ������ ������������ = ������������������(������������������ + ������������������), ������(������)极小值 = ������ ������2 = ������������2(������2������ + ������������2),
高中数学例题：利用函数图象解简单的三角不等式
高中数学例题：利用函数图象解简单的三角不等式例．画出正弦函数sin y x =（x ∈R ）的简图，并根据图象写出：（1）12y ≥时x 的集合；（2）122y -≤≤时x 的集合。
【思路点拨】用“五点法”作出y=sin x 的简图。
【解析】（1）过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭点作x 轴的平行线，从图象中看出：在[0，2π]区间与正弦曲线交于1,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭、51,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭两点，在[0，2π]区间内，12y ≥时x 的集合为566x x ππ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭。
当x ∈R 时，若12y ≥，则x 的集合为522,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭。
（2）过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭、⎛ ⎝⎭两点分别作x 轴的平行线，从图象中看出：在[0，2π]区间，它们分别与正弦曲线交于71,62π⎛⎫- ⎪⎝⎭，111,62π⎛⎫- ⎪⎝⎭点和3π⎛ ⎝⎭，2,32π⎛ ⎝⎭点，那么当12y -≤≤时，x 的集合为 2722,22,6336x k x k k Z x k x k k Z ππππππππ⎧⎫⎧⎫-+≤≤+∈+≤≤+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭或 2711722,22,3663x k x k k Z x k x k k Z ππππππππ⎧⎫⎧⎫+≤≤+∈+≤≤+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭。
【总结升华】利用三角函数的图象或三角函数线，都可解简单的不等式，但需注意解的完整性，此外数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的数学式子转化为形象直观的图象，平时解题时要灵活运用。
举一反三：【变式1】已知3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，解不等式sin x ≥。
【解析】画出函数y=sin x ，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象，画出函数y =的图象，如下图，两函数的图象交于A 、B 两点，其中,3A π⎛- ⎝⎭，4,3B π⎛ ⎝⎭，故满足sin x ≥的x 的取值范围是4,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
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第40炼 利用函数性质与图像解不等式高中阶段解不等式大体上分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等）；一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算。
相比而言后者往往需要构造函数，利用函数单调性求解，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大。
本章节以一些典型例题来说明处理这类问题的常规思路。
一、基础知识：（一）构造函数解不等式1、函数单调性的作用：在单调递增，则()f x [],a b (在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<数值大小关系的桥梁）2、假设在上连续且单调递增，，则时，()f x [],a b ()()00,,0x a b f x ∃∈=()0,x a x ∈;时， (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符()0f x <()0,x x b ∈()0f x >号）3、导数运算法则：（1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+（2）()()()()()()()'''2f x f xg x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4、构造函数解不等式的技巧：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。
所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。
在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。
两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。
在构造时多进行试验与项的调整（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图像只是辅助手段。
所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点。
那么问题便易于解决了。
（二）利用函数性质与图像解不等式：1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系。
通常可作草图帮助观察。
例如：的对称轴为，且在但增。
则可以()f x 1x =()1,+∞作出草图（不比关心单调增的情况是否符合，不会影响结论），得到：距离越()f x 1x =近，点的函数值越小。
从而得到函数值与自变量的等价关系2、图像与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如，其中的图像均可作出。
再由()()f x g x <()(),f x g x 可知的图像在图像的下方。
按图像找到符合条件的范围即可。
()()f x g x <()f x ()g x 二、典型例题：例1：定义在上的可导函数满足：，，则()0,+∞()f x ()()'xfx f x <()10f =的解集为（ ）()0f x x< A.B.C .D.()0,1()()0,11,+∞ ()1,+∞∅思路：本题并没有的解析式，所以只能考虑利用函数的单调性来解不等式。
由条件()f x 可得，进而联想到有可能是通过导数的乘除运算法则所()()'xf x f x <()()'0xf x f x -<得，再结合所解不等式，发现，刚好与条件联系起()0f x x <()()()''2f x xf x f x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭来，故设，则在()()f x F x x =()()()()'''20f x xf x f x F x x x -⎛⎫==< ⎪⎝⎭()F x ⇒()0,+∞上单调递减。
，所以的解集为()()11=01f F =()0f x x<()1,+∞答案：C 小炼有话说：（1）在解题过程中目标要明确：既然不能用传统方法解不等式，则要靠函数单调性，进而目标为构造函数并求单调性，要确定单调性则要分析所构造函数的导函数的符号（2）此题构造的关键点有二：一是轮流求导的特点，进而联想到导数乘除()()'xfx f x <法运算，二是所求不等式所给予的“暗示”。
所以解此类题目一定要让条件与结论“对上话”（3）体会条件的作用：提供零点以便配合单调性求解()10f =例2： 函数的定义域为，，对任意的，有，则)(x f R 2)1(=-f R x ∈2)(>'x f 的解集是；42)(+>x x f 思路：所解不等式化为，令，则()240f x x -+>()()24g x f x x =-+()()''2g x f x =-由可得（这也是为何构造的原因），在上单调递增。
考2)(>'x f ()'0g x >()g x ()g x R 虑，()()112140g f =-⨯+=()()01,g x x ∴>⇒∈+∞答案：()1,+∞例3：设定义在上的函数的导函数为，且，则不()1,1-()f x ()'5cos f x x =+()00f =等式的解集为_________()()2110f x f x -+-<思路：由可得原函数（注意由导函数反求原函数()'5cos fx x =+()5sin f x x x C =++时要带个常数），再由可得，（看到函数解析式的C ()00f =0C =()5sin f x x x ∴=+反应：定义域？奇偶性？）显然是奇函数，且在单调递增。
进而不等式可利()f x ()1,1-用单调性解出的范围。
x ()()()()()222110111f x f xf x f x f x-+-<⇒-<--=-，所以(2211111111x x x x x -<-<⎧⎪-<-<⇒∈⎨⎪-<-⎩答案：(x ∈小炼有话说：（1）本题尽管求出的的解析式，但由于靠解析式所解得不等式过于复()f x 杂，所以依然选择利用单调性（2）要掌握一些能直接判断单调性与奇偶性的方法，常见的判断方法如下：()f x 奇偶性：① 奇+奇→奇 ② 偶+偶→偶 ③ 奇×奇→偶 ④ 奇×偶→奇 ⑤ 偶×偶→偶单调性：① 增+增→增 ② 减+减→减 ③ 增×（-1）→减 ④ 1/增 →减（仅在函数值恒正或恒负时成立）（3）本题求解有一个重要细节：由于定义在上，所以()f x ()1,1-()()211f x f x --，要保证均在上21,1x x --()1,1-（4）要培养一个习惯：拿到函数，首先看定义域，其次看函数的三个性质是否有能直接判断的（尤其奇偶性），再根据条件分析。
例4：函数是定义在上的奇函数，，当时，有)(x f R 0)2(=f 0>x 0)()(2<-'x x f x f x 成立，则不等式的解集是（ ）0)(>⋅x f x A ．B ．(2,0)(2,)-+∞ (2,0)(0,2)- C ． D ．[来源:学科网ZXXK](,2)(0,2)-∞- (,2)(2,)-∞-+∞ 思路：，令，则在单调()'2()()00f x xf x f x x x ⎛⎫'-<⇒< ⎪⎝⎭()()f x F x x =()F x ()0,+∞递增，因为是奇函数，所以可判断为偶函数。
另一方面，的解集)(x f ()F x 0)(>⋅x f x 与的解集相同，进而只需求出的解集。
，由增函数可()f x x ()0F x >()()2202f F ==得时，，由对称性可知时，()2,x ∈+∞()0F x >(),2x ∈-∞-()0F x >答案：D例5：若函数是定义在上的偶函数，且在区间上是单调增函数.如果实数()f x R [)0,+∞t 满足时，那么的取值范围是.()()1ln ln 21f t f f t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭t 思路：根据函数为偶函数，而与互为相反数的特点可化简所求不等式：()f x ln t 1ln t，由偶函数与()()()()1ln ln 21ln 1f t f f f t f t ⎛⎫+<⇒< ⎪⎝⎭单调性作草图可得：距离轴约近，函数值越小，所以可得y ，解出的范围即可ln 1t <t 解：所解不等式等价于：()()()ln ln 21f t f t f +-<为偶函数 ()f x ()()ln ln f t f t =-为偶函数，且上单增()()ln 1f t f ∴<()f x [)0,+∞ ∴ln 11ln 1t t <⇒-<<1,t e e ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭答案：1,t e e⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭小炼有话说：遇到单调性与对称轴已知的函数，可以作草图并得到距离对称轴远近与函数值的大小的等价关系。
例6： 已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，R ()y f x =()'fx ()()'f x f x <且为偶函数，，则不等式的解集为____________()1y f x =+()21f =()xf x e <思路：考虑条件能够提供什么，为偶函数的图像关于轴对()1y f x =+⇒()1f x +0x =称的图像关于轴对称；，由轮流求导⇒()f x 1x =()()()''()0fx f x f x f x <⇒-<的特点联想到导数的乘除运算法则（极有可能是除法，则要猜想分母），观察所求不等式与条件的联系，而()()1xx f x f x e e <⇔<()()()()()()'''2x x x x x f x e f x e f x f x f x e e e --⎛⎫== ⎪⎝⎭，进而找到联系。
构造函数，则，()()x f x F x e =()()()()'''0x xf x f x f x F x e e -⎛⎫==< ⎪⎝⎭得到在单调递增，所解不等式也变为求的解。
考虑时()F x (),-∞+∞()1F x <()1F x =的值，再利用单调性求解。
，而，考虑x ()21f =()()222121f F e e==≠，图像关于轴对称，故,()()()0000f F f e==()f x 1x =()()021f f ==()01F ∴=由在单调递增可得的解集为()F x (),-∞+∞()1F x <(),0-∞答案：(),0-∞小炼有话说：（1）本题所给条件比较零散。