高考数学第40炼 利用函数性质与图像解不等式
利用函数图象求不等式解集
画 出 一 次 函 数 y = k1 x + b 和 y = k2 x + b 的 图
象，通过观察可以得到不等式 k 1 x + b > k 2 x + b 和
k 1 x + b < k 2 x + b 的 解 集 ，还 可 以 得 到 不 等 式 组
{
{
k 1 x + b > 0， k 1 x + b < 0，
b 相 交 于 点 A（m，3），则 关 于 x
ì 4 - 2x ( x < 1)，
ïï
| x - 3 |，根据题意得 y = | x - 1 | + | x - 3 | = í 2 (1 ≤ x < 3)，
ïï
î 2x - 4 ( x ≥ 3)，
的 不 等 式 x + 1 ≤ ax + b 的
解集是
示，可以发现函数 y = | x - 1 | + | x - 3 |与 y = x + 2 的
图象有两个交点，这两个交点坐标分别是
，
；通 过 观 察 图 象 ，便 可 得 到 不 等 式 | x - 1 | +
| x - 3 | > x + 2 的解集。这个不等式的解集为
。
由 函 数 图 象 得 y = 4 - 2x 与 y = x + 2 有 交 点 ，则
的图象的上方时，对应 x 的取值范围，即可得到不
等式的解集。
［ 问 题 解 决 ］将 绝 对 值 函 数 化 为 y =
ì 4 - 2x ( x < 1)，
ïï
í 2 (1 ≤ x < 3)， 观察图象，求直线 y = 4 - 2x 与 y =
学思探微，归纳剖析——备考不等式及其解法
8
本质上是解不等式 f
'(
x)
>0,
'(
x)<0。 含
f
参数的不 等 式 需 要 对 参 数 进 行 分 类 讨 论,讨
论的依据常常是判断对应 方 程 是 否 有 实 根 及
比较对应 方 程 的 根 的 大 小,考 查 函 数、方 程、
不等式之间的相互转化,
是综合性题目。
(
2
0
2
3 年 合 肥 质 检 )已 知 函 数
例 3
x)
=
f(
解集为
(
2
0
2
3 年 重 庆 质 检 )已 知 函 数
l
o
x>1,
g2 x,
则 f(
x)
<f(
x+1)的
2
x -1,
x≤1,
。
解析:当 x ≤0 时,
x +1≤1,
x )<
f(
2
等价 于 x2 -1< (
x+1)
x +1) -1,解 得
f(
-
1
<x≤0;
2
当 0<x ≤1 时,
x +1>1,此 时 f (
x)=
x -1≤0,
x +1)=l
o
x +1)>0,所 以
g2 (
f(
2
;
恒有 f(
x)
<f(
x+1)
a
c
+b ≤
-1 的 解 集 为 [
x1 ,
x2 ]∪ {
x3 }
论如何用图像来理解高考数学中的各种函数
论如何用图像来理解高考数学中的各种函数在高考数学中，函数是一个非常重要的概念，它是数学中的一个基础性概念，涉及到关于数的运算、变化、数量之间的关系等方面。
在高考数学中，常见的函数类型包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等等。
要想真正理解这些函数，我们可以利用图像来进行解析和具体化。
1. 一次函数一次函数是指函数的自变量的最高次数为一的函数，通常可以用直线来表示。
一般的一次函数的一般式为y = kx + b，其中k代表斜率，b代表截距。
当k>0时，表示函数单调递增；当k<0时，表示函数单调递减；当k=0时，表示函数为常数函数。
对于一次函数，我们可以通过以下几种方法来理解它：1）根据函数的一般式y = kx + b，我们可以通过选取不同的x 值，绘制出对应的y坐标，来得到一条直线。
通过观察这个直线的斜率和截距，我们可以得到一些直线的性质和规律，帮助我们更好地理解一次函数。
2）我们可以通过对一次函数图像的观察，来得到一些几何上的性质。
比如，当一次函数的斜率大于0时，直线从左下方向右上方倾斜；当一次函数的斜率小于0时，直线从左上方向右下方倾斜；当一次函数的斜率等于0时，直线平行于x轴。
这些性质可以帮助我们更好地掌握一次函数的变化规律。
3）我们可以通过对一次函数的导数的分析，来更深入地理解一次函数。
一次函数的导数恒为常数，这意味着一次函数的变化是匀速变化，这一点可以通过一次函数图像的直线形态得到证明。
2. 二次函数二次函数是指函数的自变量的最高次数为2的函数。
它通常可以用一条抛物线来表示。
一般的二次函数的一般式为y = ax^2 + bx + c，其中a>0。
二次函数的图像通常具有开口向上或者开口向下的形态。
对于二次函数，我们可以通过以下几种方法来理解它：1）我们可以通过图像来得到一些关于二次函数的性质和规律。
比如，当二次函数的系数a>0时，函数图像开口向上；当二次函数的系数a<0时，函数图像开口向下。
高中数学必修一利用函数的图象解不等式
算 相应方程的根，或说明方程无实根
3. 写 出不等式的解集。
习题讲解
1.使函数 y 2(x 1)(x 2) 的函数值 y 0
的自变量 x 的取值范围是（ A ）.
A. 2 x 1 C. x 1, 或 x 2
因为 b2 4ac (5)2 4 2 3 1 0
方程 2x2 5x 3 0 的两根分别是：
x1
1,或x2
3 2
因此，原不等式 2x2 5x 3 的解集为
{x | x 1,或x 3} 2
解一元二次不等式步骤：
一看、二算、三写
1. 看二次项的系数是否为正 ；若为负， 通过对 不等式的变形化为正。
问题1：二次项系数是什么？图象开口怎样？
二次项系数a=2>0 ,图象开口向上 问题2：判别式△=？
判别式△= b2 4ac (5)2 4 2 3 1 0
问题3：求对应方程 2x2 5x+3=0 的两根？
x1
1,或x2
3 2
问题4：画出函数
y
2x2 y
5x
-1 o
2x
习题2变型一 若已知函数 y ax2 bx c 的图像如
图所示，则不等式 ax2 bx c 0 的解集为 {x | x1 x x2}
不等式 ax2 bx c 0 的解集为 y
{x|x x1或x x2}
x1 o
x2 x
习题2变型二
若已知函数 y ax2 bx c 的图像如
R
o
x
小结： 一元二次不等式图象解法表(a >0)
(江苏版)高考数学一轮复习 专题4.4 三角函数图像与性质(讲)-江苏版高三全册数学试题
专题4.4 三角函数图像与性质【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1． 函数y ＝2sin 12x －3的最小正周期是________．【解析】最小正周期T ＝2π12＝4π.2． 函数y ＝A sin x ＋1(A >0)的最大值是5，则它的最小值是________．【解析】依题意得A ＋1＝5，所以A ＝4，所以函数y ＝4sin x ＋1的最小值为－4＋1＝－3. 3.判断函数y ＝2cos x 在[－π，0]上的单调性：____________．(填“增函数”或“减函数”) 【解析】由余弦函数的单调性，得函数y ＝2cos x 在[－π，0]上是增函数． 4.不等式2sin x >3的解集为______________________________． 【解析】不等式2sin x >3，即sin x >32，由函数y ＝sin x 的图像得所求解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x π3＋2k π<x <2π3＋2k π，k ∈Z .题组二 常错题5．函数y ＝1－2cos x 的单调递减区间是___________________________．【解析】函数y ＝1－2cos x 的单调递减区间即函数y ＝－cos x 的单调递减区间，也即函数y ＝cos x 的单调递增区间，即[2k π－π，2k π](k ∈Z )．6．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图像分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为________．【解析】设直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 的图像的交点为M (a ，y 1)，直线x ＝a 与函数g (x )＝cos x的图像的交点为N (a ，y 2)，则|MN |＝|y 1－y 2|＝|sin a －cos a |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫a －π4≤2，7．函数f (x )＝2sin x4对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为________．题组三 常考题8．定义在区间[0，2π]上的函数y ＝sin 2x 的图像与y ＝sin x 的图像的交点个数是________． 【解析】由sin 2x ＝sin x 得sin x ＝0或cos x ＝12，因为x ∈[0，2π]，所以x ＝0，π3，π，5π3，2π，交点个数是5.9． 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|sin x |，③y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5中，最小正周期为π的所有函数是________．(填序号)【解析】函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝sin x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻折至x 轴上方，即可得到y ＝|sin x |的图像，所以其最小正周期为π，②正确；函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的最小正周期为π2，④不正确．【知识清单】1．正弦、余弦、正切函数的图像与性质 1.三角函数线三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。
高考数学冲刺函数性质与图像变换全解析
高考数学冲刺函数性质与图像变换全解析高考对于每一位学子来说都是人生中的一次重要挑战，而数学作为其中的关键学科，更是备受关注。
在数学的众多知识点中，函数的性质与图像变换一直是重点和难点。
在高考冲刺阶段，对这部分内容进行全面、深入的复习和理解，将有助于我们在考试中取得更好的成绩。
一、函数的基本性质1、单调性函数的单调性是指函数在定义域内的某个区间上，函数值随自变量的增大而增大或减小的性质。
判断函数单调性的方法通常有定义法、导数法等。
定义法：设函数$f(x)＄的定义域为$I$，对于定义域$I$内某个区间$D$上的任意两个自变量的值$x_1$，＄x_2$，当$x_1 ＜ x_2$时，都有$f(x_1) ＜ f(x_2)＄（或$f(x_1) ＞ f(x_2)＄），那么就说函数$f(x)＄在区间$D$上是增函数（或减函数）。
导数法：若函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内可导，当$f'（x) ＞0$时，函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内单调递增；当$f'（x) ＜ 0$时，函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内单调递减。
2、奇偶性奇偶性是函数的另一个重要性质。
若对于函数$f(x)＄定义域内的任意一个$x$，都有$f(x) ＝ f(x)＄，则称$f(x)＄为偶函数；若对于函数$f(x)＄定义域内的任意一个$x$，都有$f(x) ＝ f(x)＄，则称$f(x)＄为奇函数。
判断函数奇偶性的一般步骤为：首先确定函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数；如果对称，再判断$f(x)＄与$f(x)＄的关系。
3、周期性对于函数$f(x)＄，如果存在一个不为零的常数$T$，使得当$x$取定义域内的每一个值时，＄f(x ＋ T) ＝ f(x)＄都成立，那么就把函数$y＝ f(x)＄叫做周期函数，周期为$T$。
常见的周期函数如正弦函数、余弦函数等。
4、对称性函数的对称性包括轴对称和中心对称。
专题三：利用函数研究不等式、方程问题
得������ ∈ (������, +∞)
函数������ ������ 在区间(0,1)递减，在(������, +∞)递增 ������ ������ ������������������ ≥ ������ ������ = ������
������ ������ ≥ ������在(0, +∞)恒成立 即恒有������ − ������ ≥ ������������������
������������ , ������������为方程������������ + ������ + ������ ������ + ������ = ������的根 ������������ + ������������ = −������������ − ������
������1������ + ������������������ = ������ + ������������ + ������ ������������������ + ������������������ = ������ − ������������ + ������
在(������2, +∞)，������′ ������ >0函数递减
������(������)极大值 = ������ ������������ = ������������������(������������������ + ������������������), ������(������)极小值 = ������ ������2 = ������������2(������2������ + ������������2),
高中数学例题：利用函数图象解简单的三角不等式
高中数学例题：利用函数图象解简单的三角不等式例．画出正弦函数sin y x =（x ∈R ）的简图，并根据图象写出：（1）12y ≥时x 的集合；（2）122y -≤≤时x 的集合。
【思路点拨】用“五点法”作出y=sin x 的简图。
【解析】（1）过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭点作x 轴的平行线，从图象中看出：在[0，2π]区间与正弦曲线交于1,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭、51,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭两点，在[0，2π]区间内，12y ≥时x 的集合为566x x ππ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭。
当x ∈R 时，若12y ≥，则x 的集合为522,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭。
（2）过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭、⎛ ⎝⎭两点分别作x 轴的平行线，从图象中看出：在[0，2π]区间，它们分别与正弦曲线交于71,62π⎛⎫- ⎪⎝⎭，111,62π⎛⎫- ⎪⎝⎭点和3π⎛ ⎝⎭，2,32π⎛ ⎝⎭点，那么当12y -≤≤时，x 的集合为 2722,22,6336x k x k k Z x k x k k Z ππππππππ⎧⎫⎧⎫-+≤≤+∈+≤≤+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭或 2711722,22,3663x k x k k Z x k x k k Z ππππππππ⎧⎫⎧⎫+≤≤+∈+≤≤+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭。
【总结升华】利用三角函数的图象或三角函数线，都可解简单的不等式，但需注意解的完整性，此外数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的数学式子转化为形象直观的图象，平时解题时要灵活运用。
举一反三：【变式1】已知3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，解不等式sin x ≥。
【解析】画出函数y=sin x ，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象，画出函数y =的图象，如下图，两函数的图象交于A 、B 两点，其中,3A π⎛- ⎝⎭，4,3B π⎛ ⎝⎭，故满足sin x ≥的x 的取值范围是4,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
借助函数图象巧解不等式
借助函数图象巧解不等式提要：数形结合的思想是研究数学的一种重要的思想方法。
本文论述了利用函数求不等式的解集的问题，结合一节初三数学常态课实例进行阐述，抓住所解不等式的结构特征,适当构造函数,并利用现代信息技术在课堂上借助软件快速的绘制函数图象，利用函数的图象和性质解不等式，往往会优化解题过程,甚至出奇制胜,给人耳目一新的感觉。
关键词：数形结合；函数；不等式一、数形结合的内涵“数缺形，少直观；形缺数，难入微”，数形结合的思想，就是研究数学的一种重要的思想方法。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形之间的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
把握、运用好数形结合，能激发学生兴趣，促进学生情感、态度、价值观的发展，提高课堂教学效果，有利于数学知识的应用与推广。
二、数形结合，求不等式的解集不等式知识是初中数学中的一个重要知识，也是人们解决生产生活问题的一个有力工具，因此怎样解不等式就成为问题解决的关键。
初三的学生已经学习了函数、方程、不等式的有关内容，但是所学知识就像一盘散沙，学生并不清楚前后知识之间的内在联系。
遇到解不等式的问题，学生也更容易想到用代数的方法解决问题，一元一次不等式很容易求解，但对于解分式不等式和一元二次不等式等问题，用代数方法来解，必须进行分类讨论，而分类讨论思想对学生来说本身就是一个难点，在分类中学生很容易漏解或者考虑不全面，而借助函数图象，学生就能直观地得到不等式的解集。
如何更好地帮助学生掌握函数、方程、不等式之间的内在联系一直是笔者想要解决的问题。
(一)数形结合,求一元一次不等式的解集例1：解不等式课堂上所有的学生都是利用不等式的性质直接求不等式的解集。
笔者开始上课时并没有急于让学生尝试用一次函数图象来求不等式的解集，而是在后面求分式不等式的解集，学生出现困难的时候，返回例1引导学生利用一次函数图象求不等式的解集。
一元一次不等式用代数方法求解的确更简单，但我们的目的在于通过简单的、学生熟知的知识介绍新的方法，用新的方法解决棘手的问题。
利用函数性质与图像解不等式典例精讲
利用函数性质与图像解不等式典例精讲1.定义在0,+∞ 上的可导函数f x 满足：xf x <f x ，f 1 =0，则f x x <0的解集为()A . 0,1B . 0,1 ∪1,+∞C . 1,+∞D . ∅思路：本题并没有f x 的解析式，所以只能考虑利用函数的单调性来解不等式。
由条件xf x <f x 可得xf x -f x <0，进而联想到有可能是通过导数的乘除运算法则所得，再结合所解不等式f x x <0，发现f x x =xf x -f x x 2，刚好与条件联系起来，故设F x =f x x ，则F x =f x x=xf x -f x x 2<0⇒F x 在0,+∞ 上单调递减。
F 1 =f 1 1=0，所以f x x<0的解集为1,+∞ 答案：C 2.f (x )的定义域为R ，f (−1)=2，对任意的x ∈R ，有f (x )>2，则f (x )>2x +4的解集是；思路：所解不等式化为f (x )-2x +4>0，令g x =f x -2x +4，则g x =f x -2由f (x )>2可得g x >0(这也是为何构造g x 的原因)，g x 在R 上单调递增。
考虑g 1 =f 1 -2×1+4=0，∴g x >0⇒x ∈1,+∞答案：1,+∞3.设定义在-1,1 上的函数f x 的导函数为f x =5+cos x ，且f 0 =0，则不等式f x -1 +f 1-x 2 <0的解集为思路：由f x =5+cos x 可得原函数f x =5x +sin x +C (注意由导函数反求原函数时要带个常数C )，再由f 0 =0可得C =0，∴f x =5x +sin x (看到函数解析式的反应：定义域？奇偶性？)显然f x 是奇函数，且在-1,1 单调递增。
进而不等式可利用单调性解出x 的范围。
巧用函数图象破解不等式问题
巧用函数图象破解不等式问题求解不等式问题往往需要一定的技巧.这里介绍利用图象法求不等式(组)的解集，可以迅速准确巧妙地求解不等式问题. 一、知识储备 以一次函数为例.1. 一个函数值的正负 设一次函数为(0)y kx b k =+≠，其图象与x 轴交于0(,0)x . (1)若0k >，如图1.当0x x <时，函数图象对应的部分在x 轴下方，所以函数值0y <，因此不等式0kx b +<的解集是0x x <；当0x x >时，函数图象对应的部分在x 轴上方，所以函数值0y >，因此不等式0kx b +>的解集是0x x >.(2)若0k <，如图2.当0x x <时，函数图象对应的部分在x 轴上方，所以函数值0y >，因此不等式0kx b +>的解集是0x x <；当0x x >时，函数图象对应的部分在x 轴下方，所以函数值0y <，因此不等式0kx b +<的解集是0x x >.2.比较两个函数值的大小如图3，设两个一次函数分别为1111(0)y k x b k =+≠，2222(0)y k x b k =+≠，两个函数图象交于00(,)x y .当0x x <时，函数1111(0)y k x b k =+≠的图象对应的部分函数在2222(0)y k x b k =+≠的图象对应的部分的上方，所以12y y >，因此不等式1122k x b k x b +>+的解集是0x x <； 当0x x >时，函数1111(0)y k x b k =+≠的图象对应的部分函数在2222(0)y k x b k =+≠ 的图象对应的部分的下方，所以12y y <，因此不等式1122k x b k x b +<+的解集是0x x >.二、应用举例 1. 巧画图象例1 如图4，直线y kx b =+经过(2,1)A ，(1,2)B --两点，则不等式122x kx b >+>- 的解集为.简析 本题一般解法是:先运用待定系数法求出一次函数y kx b =+表达式为1y x =-，再解不等式组11212x x x ⎧>-⎪⎨⎪->-⎩，从而求出原不等式的解集.这种解法虽然不失一般性，但是对于本题来说，解题过程显得麻烦.若能巧妙利用条件画出函数12y x =的图象，便可直 接从图象看出原不等式的解集.巧解 容易看出函数12y x =的图象经过点(2,1)A ，图象为直线OA ，如图5. 观察图象可知，不等式12x kx b >+的解集是2x <; 不等式2kx b +>-的解集是1x >-.所以，原不等式的解集是12x -<<.2.巧用平移例2 若函数y kx b =-的图象如图6所示，则关于x 的不等式(3)0k x b -->的解集 是 .简析 本题很难用常规思维求解.事实上，如果根据图象可以判断出0k <，不等式(3)0k x b -->两边都除以k 时，不等号必须改变方向，应该得30bx k--<，所以3b x k <+.又因为y kx b =-经过点(2,0)，代入后又得2b k=，所以原不等式的解集是5x <.这个解法不仅麻烦，更容易出错.若能看出不等式左端的代数式对应的函数图象可以通过直线y kx b =-平移获得，即 可巧解.巧解 把直线y kx b =-向右平移3个单位，得到直线(3)y k x b =--，并且它与x 轴交于(5,0)(如图7).观察可见原不等式的解集是5x <. 3.巧用与x 轴交点坐标例3 如图8，直线y x b =+与4(0)y ax a a =-≠的交点的横坐标为2，则关于x 的不等式40x b ax a +>->的解集为 .简析 本题的易错点在于求不等式40ax a ->解集时，两边除以a ，得40x ->，已错也.学生解含有字母系数的不等式总不设防，容易犯错.而变换一下策略就能避开陷阱. 因为不等式40ax a ->表示函数4(0)y ax a a =-≠的值大于0，所以只需求出函数4y ax a =-的图象与x 轴交点的横坐标，即可利用图象得出不等式40ax a ->的解集.巧解 令40y ax a =-=，解得4x =，如图9.观察图象，可得不等式40ax a ->的解集是 4x <;又不等式4x b ax a +>->的解集是 2x >.所以，原不等式的解集是24x <<. 4.巧变形，再用图例 4 一次函数y ax b =+与正比例函数y x =的图象如图10所示，则不等式(1)0a x b -+<的解集是.简析 本题一般解法是，先求出一次函数y ax b =+与正比例函数y x =的图象的交点坐标(2,2)，再把(2,2)和(5,0)分别代入y ax b =+，得2250a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得23103a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩然后代入原不等式求出解集，甚是麻烦.若将原不等式适当变形，利用图象求解集，则非常简单.巧解 将不等式(1)0a x b -+<变形为ax b x +<，此不等式表示一次函数y ax b =+的值小于正比例函数y x =的值.观察图象，可知x 的取值范围是2x >，即为原不等式的解集. 例5 一次函数y ax b =+与反比例函数ky x=的在同一坐标系内的图象如图11所示，则不等式4kax b a x+-≥的解集是 .简析 本题一般解法是:把(2,0)-和(0,2)-分别代入一次函数y ax b =+表达式，可求得1a =-，2b =-.把2x =代入2y x =--，得4y =-，把(2,4)-代入反比例函数表达式k y x =，得8k =-，所以，原不等式是824x x ----≥-，即82x x-+≥-，它表示一次函数2y x =-+的值大于或等于反比例函数8y x =-的值，令82x x -+=-，解得12x =-，24x =，利用图象可得不等式82x x -+≥-的解集是2x ≤-或04x <≤，即为原不等式的解集.巧解 把不等式4k ax b a x +-≥变形为(4)ka xb x-+≥，它表示一次函数(4)y a x b =-+的值大于或等于反比例函数ky x=的值.而一次函数(4)y a x b =-+的图象可由y ax b =+的图象向右平移4个单位长度得到，并且一次函数(4)y a x b =-+的图象与y ax b =+的图象恰好关于原点对称，如图12.我们知道，反比例函数ky x=图象也关于原点对称，因此一次函数y ax b =+的图象与反比例函数ky x=的图象的交点A ，B 和一次函数(4)y a x b =-+的图象与反比例函数ky x=上的图象的交点'A ，'B 分别关于原点对称.根据对称性，可知点'A ，'B 的横坐标分别是4和2-，所以原不等式的解集是2x ≤-或04x <≤.从以上数例可以看出，用图象法求不等式的解集，重在观察图象，巧在充分利用和发掘题目自身的隐含条件，化隐为显，把问题转化为基本模型，即可顺利解决，大大提高了求解不等式问题的效率.。
利用函数图象解一类不等式
利用函数图像解一类不等式桐乡市濮院桐星学校 潘铁丰 课堂教学研究一、教学目标1、知识与技能：理解函数图像的意义，能用函数图像解特殊不等式。
2、方法与过程： 把不等式问题转化成函数问题，并结合图像分析解答。
4、情感态度与价值观：体验图象解题的优越性，增强学生应用数形结合思想的意识。
二、教学重难点重点：掌握用函数图像解不等式问题的方法。
难点：如何把不等式问题转化成函数图像问题。
三、课堂设计：1、探究活动一：利用图象解不等式此不等式中含有分式，是一类特殊的不等式，如何求解学生不甚明白。
引导学生其求解方法可以分为两种：一、把分式方程转化为整式方程，但需要进行分类讨论；二、转化成函数问题，结合图像进行求解。
因为利用图像后问题变得直观、简单，故我们选择后者。
引导学生如何利用图像解不等式：①设函数②画草图③选图像（选择符合条件的那部分图像）④ 定范围（定出选取图象的自变量取值范围）让学生理解不等式问题是如何转化成函数问题是一个难点，对于 学生可能会不理解，所以在下面又给出解释，即自变量x 取何值时，函数值y>4。
不等式问题又转变成已知函数值范围，求自变量范围的问题。
要解决自变量x 取何值时，函数值y>4,必须先找到y>4的那部分图像，然后根据图像再去求出自变量x 的范围，这其中包含了逆向思维，学生其实很难想到，也是本节课的又难点。
探究活动二：解不等式: 本题作为上一题的巩固提高,其基本过程和上题一样：①设函数44>x 4)4(>=x y xx 32<+②画草图③选图像（选择符合条件的那部分图像）④定范围（定出选取图象的自变量取值范围）同样要先找到y1<y2时的图像，再确定自变量x的取值范围，此处特别强调根据反比例函数的性质，x=0是取不到的，因此y轴也是分界线。
四、总结反思对于初中生来说函数是一个比较难以理解的概念，很多学生函数题会做，但不见得就理解，本节课正是想通过不等式、函数表达式、函数图像，让学生有机会去体验他们各自的意义，为以后的数学学习打好基础。
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第40炼 利用函数性质与图像解不等式高中阶段解不等式大体上分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等）；一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算。
相比而言后者往往需要构造函数，利用函数单调性求解，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大。
本章节以一些典型例题来说明处理这类问题的常规思路。
一、基础知识：（一）构造函数解不等式1、函数单调性的作用：在单调递增，则()f x [],a b (在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<数值大小关系的桥梁）2、假设在上连续且单调递增，，则时，()f x [],a b ()()00,,0x a b f x ∃∈=()0,x a x ∈;时， (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符()0f x <()0,x x b ∈()0f x >号）3、导数运算法则：（1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+（2）()()()()()()()'''2f x f xg x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4、构造函数解不等式的技巧：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。
所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。
在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。
两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。
在构造时多进行试验与项的调整（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图像只是辅助手段。
所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点。
那么问题便易于解决了。
（二）利用函数性质与图像解不等式：1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系。
通常可作草图帮助观察。
例如：的对称轴为，且在但增。
则可以()f x 1x =()1,+∞作出草图（不比关心单调增的情况是否符合，不会影响结论），得到：距离越()f x 1x =近，点的函数值越小。
从而得到函数值与自变量的等价关系2、图像与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如，其中的图像均可作出。
再由()()f x g x <()(),f x g x 可知的图像在图像的下方。
按图像找到符合条件的范围即可。
()()f x g x <()f x ()g x 二、典型例题：例1：定义在上的可导函数满足：，，则()0,+∞()f x ()()'xfx f x <()10f =的解集为（ ）()0f x x< A.B.C .D.()0,1()()0,11,+∞ ()1,+∞∅思路：本题并没有的解析式，所以只能考虑利用函数的单调性来解不等式。
由条件()f x 可得，进而联想到有可能是通过导数的乘除运算法则所()()'xf x f x <()()'0xf x f x -<得，再结合所解不等式，发现，刚好与条件联系起()0f x x <()()()''2f x xf x f x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭来，故设，则在()()f x F x x =()()()()'''20f x xf x f x F x x x -⎛⎫==< ⎪⎝⎭()F x ⇒()0,+∞上单调递减。
，所以的解集为()()11=01f F =()0f x x<()1,+∞答案：C 小炼有话说：（1）在解题过程中目标要明确：既然不能用传统方法解不等式，则要靠函数单调性，进而目标为构造函数并求单调性，要确定单调性则要分析所构造函数的导函数的符号（2）此题构造的关键点有二：一是轮流求导的特点，进而联想到导数乘除()()'xfx f x <法运算，二是所求不等式所给予的“暗示”。
所以解此类题目一定要让条件与结论“对上话”（3）体会条件的作用：提供零点以便配合单调性求解()10f =例2： 函数的定义域为，，对任意的，有，则)(x f R 2)1(=-f R x ∈2)(>'x f 的解集是；42)(+>x x f 思路：所解不等式化为，令，则()240f x x -+>()()24g x f x x =-+()()''2g x f x =-由可得（这也是为何构造的原因），在上单调递增。
考2)(>'x f ()'0g x >()g x ()g x R 虑，()()112140g f =-⨯+=()()01,g x x ∴>⇒∈+∞答案：()1,+∞例3：设定义在上的函数的导函数为，且，则不()1,1-()f x ()'5cos f x x =+()00f =等式的解集为_________()()2110f x f x -+-<思路：由可得原函数（注意由导函数反求原函数()'5cos fx x =+()5sin f x x x C =++时要带个常数），再由可得，（看到函数解析式的C ()00f =0C =()5sin f x x x ∴=+反应：定义域？奇偶性？）显然是奇函数，且在单调递增。
进而不等式可利()f x ()1,1-用单调性解出的范围。
x ()()()()()222110111f x f xf x f x f x-+-<⇒-<--=-，所以(2211111111x x x x x -<-<⎧⎪-<-<⇒∈⎨⎪-<-⎩答案：(x ∈小炼有话说：（1）本题尽管求出的的解析式，但由于靠解析式所解得不等式过于复()f x 杂，所以依然选择利用单调性（2）要掌握一些能直接判断单调性与奇偶性的方法，常见的判断方法如下：()f x 奇偶性：① 奇+奇→奇 ② 偶+偶→偶 ③ 奇×奇→偶 ④ 奇×偶→奇 ⑤ 偶×偶→偶单调性：① 增+增→增 ② 减+减→减 ③ 增×（-1）→减 ④ 1/增 →减（仅在函数值恒正或恒负时成立）（3）本题求解有一个重要细节：由于定义在上，所以()f x ()1,1-()()211f x f x --，要保证均在上21,1x x --()1,1-（4）要培养一个习惯：拿到函数，首先看定义域，其次看函数的三个性质是否有能直接判断的（尤其奇偶性），再根据条件分析。
例4：函数是定义在上的奇函数，，当时，有)(x f R 0)2(=f 0>x 0)()(2<-'x x f x f x 成立，则不等式的解集是（ ）0)(>⋅x f x A ．B ．(2,0)(2,)-+∞ (2,0)(0,2)- C ． D ．[来源:学科网ZXXK](,2)(0,2)-∞- (,2)(2,)-∞-+∞ 思路：，令，则在单调()'2()()00f x xf x f x x x ⎛⎫'-<⇒< ⎪⎝⎭()()f x F x x =()F x ()0,+∞递增，因为是奇函数，所以可判断为偶函数。
另一方面，的解集)(x f ()F x 0)(>⋅x f x 与的解集相同，进而只需求出的解集。
，由增函数可()f x x ()0F x >()()2202f F ==得时，，由对称性可知时，()2,x ∈+∞()0F x >(),2x ∈-∞-()0F x >答案：D例5：若函数是定义在上的偶函数，且在区间上是单调增函数.如果实数()f x R [)0,+∞t 满足时，那么的取值范围是.()()1ln ln 21f t f f t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭t 思路：根据函数为偶函数，而与互为相反数的特点可化简所求不等式：()f x ln t 1ln t，由偶函数与()()()()1ln ln 21ln 1f t f f f t f t ⎛⎫+<⇒< ⎪⎝⎭单调性作草图可得：距离轴约近，函数值越小，所以可得y ，解出的范围即可ln 1t <t 解：所解不等式等价于：()()()ln ln 21f t f t f +-<为偶函数 ()f x ()()ln ln f t f t =-为偶函数，且上单增()()ln 1f t f ∴<()f x [)0,+∞ ∴ln 11ln 1t t <⇒-<<1,t e e ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭答案：1,t e e⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭小炼有话说：遇到单调性与对称轴已知的函数，可以作草图并得到距离对称轴远近与函数值的大小的等价关系。
例6： 已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，R ()y f x =()'fx ()()'f x f x <且为偶函数，，则不等式的解集为____________()1y f x =+()21f =()xf x e <思路：考虑条件能够提供什么，为偶函数的图像关于轴对()1y f x =+⇒()1f x +0x =称的图像关于轴对称；，由轮流求导⇒()f x 1x =()()()''()0fx f x f x f x <⇒-<的特点联想到导数的乘除运算法则（极有可能是除法，则要猜想分母），观察所求不等式与条件的联系，而()()1xx f x f x e e <⇔<()()()()()()'''2x x x x x f x e f x e f x f x f x e e e --⎛⎫== ⎪⎝⎭，进而找到联系。
构造函数，则，()()x f x F x e =()()()()'''0x xf x f x f x F x e e -⎛⎫==< ⎪⎝⎭得到在单调递增，所解不等式也变为求的解。
考虑时()F x (),-∞+∞()1F x <()1F x =的值，再利用单调性求解。
，而，考虑x ()21f =()()222121f F e e==≠，图像关于轴对称，故,()()()0000f F f e==()f x 1x =()()021f f ==()01F ∴=由在单调递增可得的解集为()F x (),-∞+∞()1F x <(),0-∞答案：(),0-∞小炼有话说：（1）本题所给条件比较零散。